随机样本和抽样分布
样本统计数抽样分布规律
样本统计数抽样分布规律
（一）随机样本平均数抽样分布的规律
１、总体标准差已知
ⅰ. 从一个正态总体抽出的随机样本,无论样本容量大小，其样本平均数的抽样分布必呈正态分布
ⅱ. 若总体不是正态分布，但具有一定量的μ和σ2，只要样本容量n足够大（一般n>30），从总体抽出的样本平均数也近似地服从正态分布N(μ,σ2/n )，称为中心极限定理。
ⅲ. 总体不呈正态，且n较小时的平均数分布－t分布
２、总体标准差未知
总体σ2未知，n较小时，不服从正态分布，而是服从自由度为n-1的t分布
（二）样本总和数的抽样分布规律与样本平均数的抽样分布规律一致。
（三）两个随机样本的平均数差数的抽样分布
1、从两个正态总体抽出的随机样本的平均数差数的分布
总体1～N(μ１，σ12),以n1抽样: s1；
总体2～N(μ２，σ22),以n2抽样: s2；
ⅰ、标准差σ1、σ２已知：
两者抽样相互独立，则两个独立随机抽取的样本平均数间差数X1-X2的抽样分布必遵循正态分布：
ⅱ、标准差σ1、σ２未知：
（1）若σ1、σ２未知，但两个总体相互独立而且都是正态分布，同时σ1=σ２=σ，则差数分布服从自由度为df1+df2 的t分布, 其中df1=n1-1, df2=n2-1；
ⅲ、当两个总体标准差σ1和σ2未知，且σ1≠σ2，符合近似t检验
因为σ1≠σ2，差数标准误需用两个样本的S1、S2均方分别估σ1，σ2
2、两个样本抽自同一正态总体，其平均数差数的抽样分布无论样本容量大小，必呈正态分布。
3、两个样本抽自同一非正态总体，其平均数差数的抽样分布按中心极限定理在n1,n2＞30，接近正态分布。
数理统计中的随机抽样和抽样分布——概率论知识要点
数理统计中的随机抽样和抽样分布——概率论知识要点概率论作为数理统计的基础，是研究随机现象及其规律的数学分支。
在数理统计中，随机抽样和抽样分布是非常重要的概念，本文将对这两个概念进行详细介绍和解释。
一、随机抽样随机抽样是指从总体中以随机的方式选择样本的过程。
在进行随机抽样时，每个个体被选中的概率应该是相等的，这样才能保证样本的代表性和可靠性。
随机抽样的方法有很多种，常用的包括简单随机抽样、分层抽样和系统抽样等。
1. 简单随机抽样简单随机抽样是最基本的抽样方法，它的特点是每个个体被选中的概率相等且相互独立。
简单随机抽样可以通过随机数表、随机数发生器等工具来实现。
在实际应用中，简单随机抽样常用于总体规模较小的情况。
2. 分层抽样分层抽样是将总体划分为若干个层次，然后从每个层次中随机选择样本。
这种抽样方法可以保证不同层次的个体在样本中的比例与总体中的比例相同，从而提高样本的代表性。
3. 系统抽样系统抽样是按照一定的规则从总体中选取样本的方法。
例如，可以按照一定的间隔从总体中选择样本，这个间隔称为抽样间隔。
系统抽样的优点是操作简便，但也存在可能引入系统误差的风险。
二、抽样分布抽样分布是指在随机抽样的基础上，通过大量重复抽样得到的统计量的分布情况。
在数理统计中，常用的抽样分布包括正态分布、t分布和F分布等。
1. 正态分布正态分布是一种重要的抽样分布，它具有对称、单峰和钟形曲线的特点。
在大样本情况下，根据中心极限定理，样本均值的分布接近于正态分布。
正态分布在数理统计中的应用非常广泛，例如用于估计总体均值和总体方差等。
2. t分布t分布是用于小样本情况下的抽样分布。
它相比于正态分布来说，具有更宽的尾部和更矮的峰值。
t分布的形状取决于自由度，自由度越大，t分布越接近于正态分布。
t分布在小样本情况下的参数估计和假设检验中经常被使用。
3. F分布F分布是用于比较两个样本方差是否显著不同的抽样分布。
F分布的形状取决于两个样本的自由度，它具有右偏和非对称的特点。
概率与统计中的随机抽样与抽样分布
概率与统计中的随机抽样与抽样分布概率与统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科，而随机抽样与抽样分布是其中关键的概念。
本文旨在探讨随机抽样和抽样分布在概率与统计中的作用和应用。
1. 随机抽样在概率与统计学中，随机抽样是一种方法，通过从总体中随机选择样本来推断总体的特征。
随机抽样的目的是保证样本具有代表性，从而使得样本能够准确地反映总体的特征。
在实践中，随机抽样通常通过随机数生成器来实现，确保每个个体都有相同的机会被选入样本。
2. 简单随机抽样简单随机抽样是随机抽样的一种基本方法。
在简单随机抽样中，每个个体被选入样本的概率是相等的，且个体的选择是相互独立的。
简单随机抽样可以有效减少个体的偏倚，使样本更具代表性。
3. 抽样分布抽样分布是指在随机抽样过程中，某一统计量的分布情况。
在概率与统计中，我们常常关注样本均值、样本方差等统计量的分布情况，从而推断总体的特征。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，抽样分布可以近似服从正态分布。
这一性质使得我们能够应用正态分布的性质进行统计推断。
4. 抽样分布的应用抽样分布在概率与统计中有广泛的应用。
通过对随机抽样得到的样本统计量进行分析，我们可以进行总体均值的估计、比较不同样本的差异、构建置信区间、进行假设检验等。
这些应用使得我们能够通过分析样本数据，推断总体的特征，做出科学决策。
总结：概率与统计中的随机抽样与抽样分布是统计学中的重要概念。
随机抽样保证样本具有代表性，而抽样分布则帮助我们推断总体的特征。
掌握随机抽样与抽样分布的原理和应用，对于数据分析和统计推断具有重要意义。
在实践中，我们需要注意样本的随机性和样本容量的大小，以保证抽样的准确性和结果的可靠性。
通过深入研究和应用随机抽样和抽样分布的理论，我们能够更好地理解和分析数据，为决策提供科学的依据。
概率论 第六章 样本及抽样分布
一般，设 x1,x2, …,xn 是总体F的一个容 量为n的样本值，先将x1,x2, …,xn 按自小到 大的次序排列，并重新编号，设为
x(1) ≤x(2) ≤…≤x(n) 则经验分布函数Fn(x)的观察值为
0,
若x x(1) ,
性质：
(1) limf (t)
1
e ; t2 2
n
2
(2)当n 45时 取t (n) Z .
（三）设Ｘ~２(n1), Y~ ２(n2), 且Ｘ 与Ｙ相互独立，则随机变量
F X/ n1 Y / n2
则称F服从第一自由度为n1，第二自由 度为n2的F分布，记作
F~F(n1 ，n2)
F分布的分布密度为
2 2
E( X 2 ) D( X ) (E( X ))2
2 2
n
E(S 2 )
E[ 1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2 ]
E[
1
n
(
n 1 i1
X
2 i
2
n X )]
1
n
E(
n 1 i1
X
2 i
nX
2
)
1 [E( n 1
n i 1
X
2 i
)
E(n X
2
)]
1[ n 1
n i 1
考察某厂生产的电容器
的使用寿命。在这个试验 中什么是总体，什么是个 体。
解 个体是每一个电容器 的使用寿命；总体X是各个 电容器的使用寿命的集合。
2. 样本
为推断总体分布及各种特征，按一定规 则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以 获得有关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所抽取的部分个体称为样本. 样 本中所包含的个体数称为样本容量.
随机样本与抽样分布
随机样本与抽样分布一、引言随机样本和抽样分布是统计学中非常重要的概念，它们在统计推断和假设检验中起着核心作用。
本文将从理论和实践两个方面来探讨随机样本和抽样分布的相关知识，帮助读者更好地理解和应用这些概念。
二、随机样本1. 随机样本的定义随机样本是指从总体中以随机的方式抽取出来的样本。
在实际调查和研究中，通常需要根据一定的规则和方法来获取样本，而随机样本则是保证了每个总体单位有相同被选入样本的机会，从而能够更好地代表总体特征。
2. 随机样本的特点随机样本具有以下特点： - 代表性：通过随机抽样得到的样本能够较好地代表总体特征。
- 可比性：不同的随机样本之间可以进行比较分析，结果具有一定的可靠性。
- 独立性：各个个体之间的选取是相互独立的，不会受到其他因素的影响。
三、抽样分布1. 抽样分布的概念抽样分布是指统计量由一个个样本算出来时所得到的概率分布。
在统计推断中，我们通常需要根据样本来对总体参数进行估计或进行假设检验，而抽样分布则是帮助我们推断出总体参数的分布情况。
2. 常见的抽样分布(1) 正态分布当总体服从正态分布时，根据中心极限定理可知，样本均值的抽样分布也会趋近于正态分布，而且当样本量大于30时，可以认为近似服从正态分布。
(2) t 分布在总体标准差未知且根据小样本得到的数据时，往往使用t分布来进行统计推断。
t分布相较于正态分布，在小样本情况下具有更大的尾部面积，更符合对总体参数进行估计时对抽样误差可能带来的影响。
(3) 卡方分布卡方分布是一种重要的统计分布，在统计学中有着广泛的应用。
在假设检验、方差分析等领域都有着重要作用。
四、随机样本与抽样分布在实际中的应用随机样本和抽样分布在现实生活和科学研究中都有着重要应用。
例如，在医学研究中，需要通过对患者进行随机抽样来获取数据，然后利用抽样分布的知识对药物疗效等进行评估；在市场调查中，通过对消费者群体进行随机抽样，并利用抽样分布进行数据处理和结果推断。
应用数理统计(武汉理工大)1-样本及抽样分布
3. X 与S 2独立，且 X ~ t(n 1)
S/ n
第一章 样本与抽样分布
设有两个独立正态总体
X ~ N (1, 12 ),样本 X1,X2,,Xn1，
Y ~ N (2, 22 ) 样本 Y1,Y2,,Yn2，
它们的样本均值及样本方差分别为
1 n1
1 n2
X
n1
如 样本均值, 样本方差, 样本矩
经验分布函数F n ( x )
第一章 样本与抽样分布
顺序统计量
设X1, X2, , Xn是总体X 的样本，将样本的各分量由
小到大的顺序排列成： X (1) X (2) X (n) 称 X (1) X (2) X (n) 为顺序统计量。
X (1) min{X1, X 2 , , X n} X (n) max{X1, X 2 , , X n} 极差 R X (n) X (1)
X
2 n
,
Xi
~ N (0,1)
称 2 服从自由度是 n 的卡方分布。
概率密度为
f
(x
)
n 22
1 ( n )
x
n 1 x
2 e2
,
x
0,
2
0 , x 0
第一章 样本与抽样分布
2 分布的性质
① E ( 2(n ) ) = n， D ( 2(n) ) = 2 n
T
X Y / n 则称 T 服从自由度是n的t 分布
概率密度为
f (t)
( n 1) 2
n ( n )
1
t2 n
n1 2
t 分布的性质
2
随机样本与抽样分布
随机样本与抽样分布随机样本是指从总体中按照一定的概率分布规律随机选择的样本。
在统计学中，随机样本是进行统计推断的基础，通过对随机样本的分析可以得出对总体的推断。
而抽样分布则是指在多次独立重复抽取同样大小的随机样本，并计算所得样本统计量的分布情况。
本文将从随机样本的概念、抽样方法、抽样误差以及抽样分布的特点等方面进行探讨。
一、随机样本的概念随机样本是指从总体中按照一定的概率分布规律随机选择的样本。
在进行统计推断时，我们往往无法对整个总体进行调查，而是通过对随机样本的研究来推断总体的特征。
随机样本的选择要具有代表性和随机性，确保样本能够准确反映总体的特征。
通过对随机样本的分析，可以得出对总体的推断，从而进行决策和预测。
二、抽样方法抽样是指从总体中选择样本的过程，其目的是获取代表性的样本以进行统计推断。
常见的抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样、整群抽样和系统抽样等。
简单随机抽样是指从总体中随机选择若干个体作为样本，每个个体被选中的概率相等且相互独立。
分层抽样是将总体按照某种特征分成若干层，然后从每一层中分别进行简单随机抽样。
整群抽样是将总体分成若干群，然后随机选择若干群作为样本。
系统抽样是按照一定的规律从总体中选择样本，如每隔若干个单位选择一个单位作为样本。
三、抽样误差抽样误差是指由于样本选择不足以代表总体而导致的误差。
抽样误差的大小受到多种因素的影响，包括样本容量、抽样方法、总体的特征等。
通常情况下，样本容量越大、抽样方法越科学、总体的特征越均匀，抽样误差就越小。
在进行统计推断时，需要对抽样误差进行估计，并考虑其对推断结果的影响。
四、抽样分布抽样分布是指在多次独立重复抽取同样大小的随机样本，并计算所得样本统计量的分布情况。
常见的抽样分布包括 t 分布、F 分布和χ² 分布等。
其中 t 分布适用于小样本情况下对总体均值的推断，F 分布适用于对总体方差的推断，χ² 分布适用于对总体分布的推断。
四章样本及抽样分布
E(X )
1 n
n i 1
E( X i )
D(X )
1 n2
n
2
D(Xi )
i 1
n
X ~ N(, 2 )
n
X ~ N (0, 1) / n
iid
2.若X1,,X n ~ N (, 2 ), 则 (1) X与S 2相互独立; (2) 2
(n 1)S 2
2
~
2 (n 1);
(3)T X ~ t(n 1).
第四 章 样本及抽样分布
引言 run 随机样本 抽样分布
4.1 随机样本 一、总体与样本
1. 总体：研究对象旳全体。 一般指研究对象旳某项数量指标。 构成总体旳元素称为个体。
从本质上讲，总体就是所研究旳随机变量或 随机变量旳分布。
2. 样本：来自总体旳部分个体X1， … ，Xn 假如满足： （1）同分布性： Xi， i=1,…,n与总体同分布. （2）独立性： X1，… ，Xn 相互独立； 则称为容量为n 旳简朴随
P{ 1
1
P{ 1 F
F (n2 , n1)}
} 1
F F1 (n1, n2 )
P{ 1
1 }
得证!
F F1 (n1, n2 )
4.3 正态总体旳抽样分布定理
iid
1.若X1 ,,Xn ~ N(, 2 ), 则U
X / n
~
N(0, 1)
证明:
X
1 n
n i 1
Xi
是n 个独立旳正态随 机变量旳线性组合,故 服从正态分布
i 1
称为自由度为n的 2 分布.
2.2—分布旳密度函数f(y)曲线
f
(y)
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0.2 0.1 -2 -1
u 0.025
u 0.005
1 .9 6 2 .5 7 5
•
u 1
2
0.4
0.3
0.2
/2 0.1
-u•
-2 /-21
/2
1 u•2/2
常用 数字
(2) 2 ( n ) 分布( n为自由度 )
定义 设 X1,X2,,Xn相互独立,
且都服从标准正态分布N (0,1),则
n
Xi2 ~ 2(n)
i1
n = 1 时,其密度函数为 1.2 1
f (x)
1 x e , 12 2x
2
0.8
x0 0.6
0.4
0.2
0,
x0
2
4
6
8 10
n = 2 时,其密度函数为
f(x)
1e2x, 2
0,
x0 x0
为参数为1/2的指数分布.
0.4 0.3 0.2 0.1
2
4
6
8
10
一般 自由度为 n 的 2 (n) 的密度函数为
1 10 10i1
xi2
47522.5
抽样分布
确定统计量的分布是数理统计的基 本问题之一.
正态总体是最常见的总体,本节介 绍的几个抽样分布均对正态总体而言.
二、统计中常用分布
(1) 正态分布
若 X1,X2,,Xn ~ N(i,i2)
则
n
n aiXi ~N
aii,
n
ai2i2
Xi 相
i1
i1
f(r1,r2,L ,rn )
为一实值连续函数,且不含有未知参数, 则称随机变量 f(X1,X2,L,Xn)为统计量.
若 (x1,x2,L ,xn )是一个样本值,称
f(x1,x2,L,xn )
为统计量 f(X1,X2,L,Xn) 的一个样本值
例 X~N (,2 是),未,知2 参数,
(X 1,X 2,,X n) 是一样本, 则
0.2
n=1
0.1
n=20
-3 -2 -1
123
t 分布的图形(红色的是标准正态分布)
t 分布的性质
1°f n(t)是偶函数,
n ,fn(t) (t)1 2et2 2
2°T 分布的 分位数 t 与双测
分位数 t/2 均 有表可查.
PT t
0.35 0.3
t t1
1n
Xni 1X i,
S2n1 1i n1X iX2
是统计量, 其中 Xi ~N(,2)
但
1
2
n
Xi
i1
2
不是统计量.
若 , 已知,则为统计量
常用统计量
设 (X 1,X 2,,X n)是来自总体 X 的容量
为 n 的样本,称统计量
(1)
X1 n ni1
Xi
为样本均值
(2)
S2 1 n n1i1
f
(x)
1 2x n21 e x , n 22 (n2)
x0
其中，
0, x0
(x) tx1etdt 0
在x > 0时收敛，称为函数，具有性质
(x1)x(x),(1)1, (1/2)
(n1)n!(nN)
0.4 0.3 0.2 0.1
n=2
n=3 n=5 n = 10
n = 15
5 10 15 20 25
2
Xi X
为样本方差
S
1n n1i1
2
Xi X
为样本标准差
(3)
k
1 n
n i1
Xik
为样本的k
阶原点矩
例如 1 X
例 从一批机器零件毛坯中随机地抽取 10件, 测得其重量为(单位: 公斤):
210, 243, 185, 240, 215, 228, 196, 235, 200, 199
N / n 10.
总体中个体总数 样本容量
设总体 X 的分布函数为F (x),则样本 (X1,X2,,Xn)的联合分布函数为
n
F总(x1,x2,L,xn) F(xi)
i1
若总体X 的d.f.为 f( x),则样本 的联合 d.f.为
n
f总(x1,x2,L,xn) f(xi ) i1
统计量 设 (X1,X2, 是,X 取n)自总体X 的一个样本,
求这组样本值的均值、方差、二阶原点 矩.
解 令 (x1,x2,,x10)
(210,243,185,240,215,
228,196,235,200,199)
则 x 1 (230243185240215
10 228196235200199)
217.19
s29 1i110(xi x)243.433
2
参数估计
推断 统计学
假设检验
回归分析
其余还有：方差分析、聚类分析、因子分析等
4.1.1 总体与样本
一、基本概念
总体 —— 研究对象全体元素组成的集合 所研究对象的某个(或某些)数量指标的
全体,它是一个随机变量(或多维随机变量). 记为X .
X 的分布函数和数字特征称为总体的 分布函数和数字特征.
P 2(10)18.307 0.05
n = 10
•20.05(10)
(3) t 分布 (Student 分布)
定义 设 X~N(0,1),Y~2(n),X ,Y相互独立,
T X Y n
则称 T 服从自由度为 n 的T 分布. 其密度函数为
f(t)Γ nΓ n21n1tn2n21
2
t
0.4
0.3
2 ( n ) 分布的性质
1 E 2 ( n ) n , D 2 ( n ) 2 n
2 若 X12(n1),X22(n2),X1,X2相互独立 则X1＋ X2～ 2(n1＋ n2)
3 n时， 2(n)正态分布
4 2(n)分布的上 分位数有表可查
例
02.05(10) 18.307
个体 —— 组成总体的每一个元素 即总体的每个数量指标,可看作随机
变量 X 的某个取值.用 表X i示.
样本 —— 从总体中抽取的部分个体. 用 (X1,X2,,Xn)表示, n 为样本容量.
称 (x1,x2,为,x总n)体 X 的一个容量为n的样本
观测值,或称样本的一个实现.
样本空间 —— 样本所有可能取值的集合.
简单随机样本 若总体 X 的样本 ( Nhomakorabea1,X2, 满,足Xn:)
(1) X1,X2, 与,XX有n 相同的分布
(2) X1,X2, 相,互X独n 立
则称 (X1,X2,L为,简Xn单) 随机样本. 一般,对有限总体,放回抽样所得到的样 本为简单随机样本,但使用不方便,常用 不放回抽样代替.而代替的条件是
i1
互
特别地,
独
若 X1,X2,,Xn ~ Xi ~N(,2) 立
则
X1 n ni1
Xi
~N,n2
中心极限定理
标准正态分布的 分位数
定义
若P(Xu，)则称u为标准正态
分布的 分位数.
若P( Xu/,2则)称u/2为标准
正态分布的双侧 分位数.
标准正态分布的 分位数图形
0.4
0.3
u 0.05 1 .6 4 5