样本与抽样分布
概率论与数理统计 第六章 样本及抽样分布
x0 o.w.
n 1
n5
n 15
15
（2）t-分布（学生分布）
设 X ~ N ( 0 ,1), Y ~ 2 ( n ) 且X、Y为独立随 机变量，则称随机变量
t
X Y /n
X
1 n 2 ( X 12 ...... X n )
为自由度为n的t-分布。记为： t ~ t ( n ) 。
3
§1 随机样本
总体: 研究对象在某项数量指标的全体. 记为X。通常称总体X。 个体: 总体X中的每一个元素（实数）xi。 根据总体所含的个体数分为： 有限总体和无限总体。
4
总体与取样
X1
X
X2 X3 Xn
取样模型
X
X2 X1
X3
X4
X5
河流污染取样
5
总体、样本、统计量
总体 样本 统计量
X1 X2
2 ( n ) 分布:
具有可加性
2 X X 12 ...... X n , X i ~ N (0,1)
3. 4.
t ( n ) 分布:
X ~ N (0,1), Y ~ 2 ( n )
t(n) X Y /n
F ( n1 , n 2 ) 分布: U ~ 2 ( n1 ), V ~ 2 ( n 2 )
F (n1 , n2 )
19
分位点及性质:
定义: Pr[ X z ]
z
(1)标准正态分布分位点
(x)
( x)dx 1 ( x)dx
z
z1
( x)
Pr[ X z ]
数理统计基础公式详解样本统计量与抽样分布
数理统计基础公式详解样本统计量与抽样分布数理统计作为一门重要的学科，为我们分析和理解数据提供了基础和方法。
在数理统计中，样本统计量和抽样分布是两个关键概念。
本文将详细解释这些概念，并介绍相关的公式和定理。
一、样本统计量样本统计量是从数据样本中计算得到的数值，用于描述总体的特征。
常用的样本统计量有平均值、方差、标准差、相关系数等。
下面我们将详细介绍这些统计量以及它们的计算公式。
1. 平均值平均值是一组数据的总和除以观测数量，用于衡量数据的集中趋势。
样本平均值的计算公式如下：\[ \overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \]其中，\( \overline{x} \) 表示样本平均值，\( x_i \) 表示第 i 个观测值，n 表示观测数量。
2. 方差方差衡量了一组数据的离散程度，它表示各观测值与平均值之差的平方和的平均值。
样本方差的计算公式如下：\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2}{n-1} \]其中，\( S^2 \) 表示样本方差，\( x_i \) 表示第 i 个观测值，\( \overline{x} \) 表示样本平均值，n 表示观测数量。
3. 标准差标准差是方差的平方根，用于衡量数据的离散程度。
样本标准差的计算公式如下：\[ S = \sqrt{S^2} \]其中，S 表示样本标准差，\( S^2 \) 表示样本方差。
4. 相关系数相关系数衡量了两个变量之间的线性关系的强弱和方向。
样本相关系数的计算公式如下：\[ r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})(y_i -\overline{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2 \sum_{i=1}^{n} (y_i - \overline{y})^2}} \]其中，r 表示样本相关系数，\( x_i \) 和 \( y_i \) 分别表示第 i 个观测值的两个变量，\( \overline{x} \) 和 \( \overline{y} \) 分别表示两个变量的样本平均值，n 表示观测数量。
概率论 第六章 样本及抽样分布
一般，设 x1,x2, …,xn 是总体F的一个容 量为n的样本值，先将x1,x2, …,xn 按自小到 大的次序排列，并重新编号，设为
x(1) ≤x(2) ≤…≤x(n) 则经验分布函数Fn(x)的观察值为
0,
若x x(1) ,
性质：
(1) limf (t)
1
e ; t2 2
n
2
(2)当n 45时 取t (n) Z .
（三）设Ｘ~２(n1), Y~ ２(n2), 且Ｘ 与Ｙ相互独立，则随机变量
F X/ n1 Y / n2
则称F服从第一自由度为n1，第二自由 度为n2的F分布，记作
F~F(n1 ，n2)
F分布的分布密度为
2 2
E( X 2 ) D( X ) (E( X ))2
2 2
n
E(S 2 )
E[ 1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2 ]
E[
1
n
(
n 1 i1
X
2 i
2
n X )]
1
n
E(
n 1 i1
X
2 i
nX
2
)
1 [E( n 1
n i 1
X
2 i
)
E(n X
2
)]
1[ n 1
n i 1
考察某厂生产的电容器
的使用寿命。在这个试验 中什么是总体，什么是个 体。
解 个体是每一个电容器 的使用寿命；总体X是各个 电容器的使用寿命的集合。
2. 样本
为推断总体分布及各种特征，按一定规 则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以 获得有关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所抽取的部分个体称为样本. 样 本中所包含的个体数称为样本容量.
样本及其抽样分布基本概念
第六章
样本及抽样分布
第1，2节 基本概念
一、总体、个体 二、随机样本、直方图 三、样本函数与统计量 四、小结
一、总体与个体
一个统计问题总有它明确的研究对象.
研究对象的全体称为总体(母体)， 总体中每个成员称为个体.
总体
总体 …
研究某批灯泡的心每个 个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标 在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有 的数量指标的全体就是总体.
直方图
5
8
4.5
7
4 6
3.5 5
3
2.5
4
2
3
1.5 2
1
1 0.5
0
0
140
150
160
170
180
190
200
147
157
167
177
187
197
三、统计量
由样本推断总体特征,需要对样本进行 “加工”,“提炼”.这就需要构造一些样本的 函数,它把样本中所含的信息集中起来.
1. 代表性： X1,X2,…, Xn中每一个与所考察的 总体X有相同的分布. 2. 独立性： X1,X2,…, Xn是相互独立的随机变量.
满足上述两条性质的样本称为简单随机样本. 获得简单随机样本的抽样方法称为简单随机抽样.
为了使大家对总体和样本有一个明确的 概念,我们给出如下定义:
定义 一个随机变量X或其相应的分布 函数F(x)称为一个总体.
4. 直方图 4.1 频数--频率分布表
样本数据的整理是统计研究的基础，整理数据的最 常用方法之一是给出其频数分布表或频率分布表。
例3 为研究某厂工人生产某种产品的能力， 我们随机调查了20位工人某天生产的该种产品 的数量，数据如下
报告中的随机抽样与样本分布分析方法
报告中的随机抽样与样本分布分析方法一、随机抽样的概念及意义随机抽样是指从总体中按照一定的概率规则，以任意方式选择样本的一种抽样方法。
通过随机抽样得到的样本能够代表总体的特征，从而使得研究结果具有可信度和普适性。
随机抽样的意义在于降低研究误差、节省调查成本、提高调查效率，并确保研究结果的可靠性。
二、简单随机抽样方法简单随机抽样是指在总体中以相同的概率随机选取个体作为样本的一种抽样方法。
它具有容易实施、适用范围广的特点。
在实际应用中，可以使用随机数表或随机数生成器来进行简单随机抽样。
在抽样过程中，需要注意避免人为干预，保证抽样的随机性和公正性。
三、系统抽样方法系统抽样是指按照一定的规则在总体中选择个体作为样本的一种抽样方法。
它常用于在总体有序排列的情况下，根据设定的抽样比率进行个体的选择。
系统抽样相对于简单随机抽样来说更加方便快捷，且能够保证样本具有代表性。
四、整群抽样方法整群抽样是指将总体划分为若干个互不重叠的群体，然后从其中随机选择若干个群体作为样本的一种抽样方法。
整群抽样能够更好地保留总体的内部结构和联系，并且能够提高调查效率。
在实际应用中，选择合适的群体进行抽样可以根据总体的特点和调查的目的而定。
五、分层抽样方法分层抽样是指将总体按一定的规则划分为若干个层次，然后从每个层次中随机抽取一定数量的个体作为样本的一种抽样方法。
分层抽样能够保证样本更精确地反映各层次的特征，提高样本的代表性。
在实际应用中，需要根据总体的特点、抽样目标和可行性等因素来决定分层抽样的方案。
六、样本分布分析方法样本分布分析是指通过对样本数据进行统计学分析，了解样本的特征和总体参数的分布情况。
常见的样本分布分析方法包括描述统计、假设检验、置信区间估计等。
通过样本分布分析可以评估样本的质量、推断总体的特征以及验证研究假设的合理性。
在实际应用中，样本分布分析方法有助于准确地利用样本数据进行决策和预测。
总结：报告中的随机抽样与样本分布分析方法在实际应用中起着重要的作用。
样本及抽样分布
样本及抽样分布§6.1 基本概念一、总体:在统计学中, 我们把所研究的全部元素组成的集合称作母体或总体, 总体中的每一个元素称为个体。
我们只研究感兴趣的某个或者几个指标(记为X)，因此把这些指标的分布称为总体的分布，记为X～F(x)。
二、样本:设总体X具有分布函数F(x),若X1, X2,…,Xn是具有分布函数F(x)的相互独立的随机向量，则称其为总体F（或总体X ）的简单随机样本, 简称样本,它们的观察值x1,x2, …, xn称为样本观察值, 又称为X 的n 个独立的观察值。
三、统计量:设X 1, X 2, …, X n 是来自总体X 的一个样本, g (X 1, X 2, …, X n )是一个与总体分布中未知参数无关的样本的连续函数，则称g (X 1,X 2,…,X n )为统计量。
统计量是样本的函数,它是一个随机变量，如果x 1, x 2, …, x n 是样本观察值, 则g (x 1, x 2, …, x n )是统计量g (X 1, X 2, …, X n )的一个观察值.四、 常用的统计量:, ,)(x 11s ,,x 1x 1. n12i2n1i 称为样本方差均值仍称为样本它们的观察值为∑∑==--==i i x n n .B ,,1,2,X A ,1k 2.22221S S nn B k ≈-====当样本容量很大时时当时当3.kkkk若总体X 的k 阶矩E(X )存在,则当n时, A .P注：ni i 111. X X ;n ==∑样本均值2n 2i i 112. S (X );n-1X ==-∑样本方差n kk i 113. k A X , k 1, 2,;n i ===∑样本阶原点矩nk i i 114. k B (X ) , k 2, 3,.n k X ==-=∑样本阶中心矩4.样本的联合分布：2) 若总体X 是离散型随机变量，其分布律为 p x =P (X=x ) , x=x 1,x 2,… 则样本X 1, X 2, …, X n 的联合分布:11112(,,)(),,;(1,2,,)nn n i i i i P X y X y P X y y x x i n =======∏其中12n *12i 13)(), ,X , (, ,)()n n i X f x X X f x x x f x ==∏若具有概率密度则的联合概率密度为12121211)(),,,,, ,,,:()()n n n*n i i X ~F x X X X F X X X F x , x ,x F x ==∏若为的一个样本则的联合分布函数为例1：X~U (0,θ),X 1, X 2, …, X n 是来自X 的样本，求（X 1, X 2, …, X n ）的联合密度函数。
随机样本与抽样分布
随机样本与抽样分布一、引言随机样本和抽样分布是统计学中非常重要的概念，它们在统计推断和假设检验中起着核心作用。
本文将从理论和实践两个方面来探讨随机样本和抽样分布的相关知识，帮助读者更好地理解和应用这些概念。
二、随机样本1. 随机样本的定义随机样本是指从总体中以随机的方式抽取出来的样本。
在实际调查和研究中，通常需要根据一定的规则和方法来获取样本，而随机样本则是保证了每个总体单位有相同被选入样本的机会，从而能够更好地代表总体特征。
2. 随机样本的特点随机样本具有以下特点： - 代表性：通过随机抽样得到的样本能够较好地代表总体特征。
- 可比性：不同的随机样本之间可以进行比较分析，结果具有一定的可靠性。
- 独立性：各个个体之间的选取是相互独立的，不会受到其他因素的影响。
三、抽样分布1. 抽样分布的概念抽样分布是指统计量由一个个样本算出来时所得到的概率分布。
在统计推断中，我们通常需要根据样本来对总体参数进行估计或进行假设检验，而抽样分布则是帮助我们推断出总体参数的分布情况。
2. 常见的抽样分布(1) 正态分布当总体服从正态分布时，根据中心极限定理可知，样本均值的抽样分布也会趋近于正态分布，而且当样本量大于30时，可以认为近似服从正态分布。
(2) t 分布在总体标准差未知且根据小样本得到的数据时，往往使用t分布来进行统计推断。
t分布相较于正态分布，在小样本情况下具有更大的尾部面积，更符合对总体参数进行估计时对抽样误差可能带来的影响。
(3) 卡方分布卡方分布是一种重要的统计分布，在统计学中有着广泛的应用。
在假设检验、方差分析等领域都有着重要作用。
四、随机样本与抽样分布在实际中的应用随机样本和抽样分布在现实生活和科学研究中都有着重要应用。
例如，在医学研究中，需要通过对患者进行随机抽样来获取数据，然后利用抽样分布的知识对药物疗效等进行评估；在市场调查中，通过对消费者群体进行随机抽样，并利用抽样分布进行数据处理和结果推断。
概率论与数理统计-第六章
这200人的年龄数据。
总体：北京市民的年龄 随机变量：年龄X
个体：张三28岁；李四5岁；
样本：{ 28；5；14；56；23；2；39；…；69} 样本容量：200
抽样：随机抽取200人进行调查的过程
6
例2：为了确定工厂生产的电池电量分布情况，在
产品中随机抽取500个，测量其电量。记录了
x
0
F n1 , n2
F分布的分位数
x
F分布的上α分位点
对于给定的 , 0 1, 称满足条件
F n1 , n2
f x; n1 , n2 dx 的点F n1 , n2
为F n1 , n2 分布的上 分位数。F n1 , n2 的值可查F 分布表
17
不易计算！
18
抽样分布 —— 任意统计量 Q = g (X1, X2, …, Xn ) 的分布函数 抽样分布的计算： 多维随机变量（独立、同分布）的函数的分布 函数的计算问题。
得到统计量 Q 的抽样分布，就可以用来解决
关于总体 X 的统计推断问题。
19
关于随机变量独立性的两个定理
解：(1)作变换 Yi
显然Y1 , Y2 ,
2 n i 1
Xi
, Yn相互独立，且Yi N 0,1 i 1, 2,
Xi
i 1, 2,
,n
,n
于是 (
) Yi 2 2 n
2 i 1
28
n
(2)
2 ( X X ) X1 X 2 ~ N (0, 2 2 ), 1 2 2 ~ 2 (1) 2
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第六章样本与抽样分布§6.1 数理统计的基本概念一．数理统计研究的对象例：有一批灯泡，要从使用寿命这个数量指标来看其质量,设寿命用X表示。
(1)若规定寿命低于1000小时的产品为次品。
此问题是求P(X 1000)=F(10000),求F(x)? (2)从平均寿命、使用时数长短差异来看其质量，即求E(x)?、D(x)?。
要解决二个问题1．试验设计抽样方法。
2．数据处理或统计推断。
方法具有“从局部推断总体”的特点。
二.总体（母体）和个体1.所研究对象的全体称为总体，把组成总体的每一个对象成员（基本单元）称为个体。
说明：(1)对总体我们关心的是研究对象的某一项或某几项数量指标(或属性指标)以及他们在整体中的分布。
所以总体是个体的数量指标的全体。
(2)为研究方便将总体与一个R.V X对应(等同)。
a.总体中不同的数量指标的全体，即是R.V.X的全部取值。
b.R.V X的分布即是总体的分布情况。
例：一批产品是100个灯泡，经测试其寿命是：1000小时1100小时1200小时20个30个50个X 1000 1100 1200P 20/100 30/10050/100(设X表示灯泡的寿命)可知R.V.X的分布律，就是总体寿命的分布，反之亦然。
常称总体X，若R.VX～F(x)，有时也用F(x)表示一个总体。
(3)我们对每一个研究对象可能要观测两个或多个数量指标，则可用多维随机向量（X,Y,Z, …）去描述总体。
2.总体的分类有限总体无限总体三．简单随机样本.1.定义6.1 ：从总体中抽得的一部分个体组成的集合称为子样（样本），取得的个体叫样品，样本中样品的个数称为样本容量（也叫样本量）。
每个样品的测试值叫观察值。
取得子样的过程叫抽样。
样本的双重含义：(1)随机性：用(X1，X2,……X n) n维随机向量表示。
X i表示第i个被抽到的个体，是随机变量。
（i=1,2,…n）(2)确定性：(x1,x2,……x n)表示n个实数，即是每个样品Xi观测值x i(i=1,2,…n)。
2.定义6.2：设总体为X，若X1,X2……X n相互独立且与X同分布，则称（X1,X2 (X)n）为来自总体X的容量为n的简单随机样本（简称样本）。
3.已知总体的分布写出子样的分布(1)已知总体X～F(x),则样品X i～F(x i) i=1,2…n样本（X1,X2…X n）的联合分布为：F(x 1,x 2…x n )=P(X 1≤x 1,X ≤2x 2…X ≤n x n) =∏=ni 1P(X ≤x i) =∏=ni 1F(x i) 若总体X ～f(x ),样品X i ～f(x i ) i=1,2……n样本（X 1,X 2……X n）的联合密度是 ： f(x 1,x 2……x n )=∏=ni 1f(x i)例:总体X ～N(),2σμ，写出该总体样本（X 1,X 2…X n）的 联合密度。
(2)若总体X 是离散型随机变量，一般给出分布律：P(X=x k ) = p k . k=1,2……要写出概率函数f(x )即f(x )=P(X=x k )=i k p i k =1,2….., n i ,...,2,1=例: 总体X ～π(λ)写出该总体样本(X 1,X 2,…X n )的联合概率函数例：总体X ～B(1,p)， 0<p <1写出其样本（X 1,X 2,……X n）的联合概率函数。
四 经验分布函数与直方图1.样本的经验分布函数(1)定义：设(x 1, x 2,…x n )是来自总体X 的一组样本值。
将它们按由小到大排序为：x 1*≤x 2*≤…≤x i *≤…≤x n * 对任意的实数x ，定义函数：F n * (x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=<≤<**+**x x n k x x x nk x x n k k 11,...2,1011 则称F *n (x )为总体X 的经验分布函数。
(2)格列文科定理:设总体X的分布函数、经验分布函数分别为F(x)、F n*(x),则有：P {}0)()(=-*+∞<<∞-∞→XFxFSupLimnxn=1上式表明，当∞→n，概率为1的有F)(x n均匀地趋于F(x)。
2总体的概率密度的估计−直方图（第一版）[p143 例6.3]可以用SAS下的interactive data analysis 模块演示。
五 统计量与样本的数字特征1 定义6.3: 设X 1,X 2,…,X n 是来自总体X 的容量为n 的样本，g(x 1, x 2,…,x n )是定义在R n或R n子集上的普通函数。
如果g 中不含有任何未知量，则称g(X 1,X 2,…,X n )为统计量。
2.常用的统计量（样本的数字特征）定义6.4：设X 1,X 2,…,X n 是来自总体X 的样本，则称∑∆=ni X n X 11 为样本均值()∑--=∆n i X X n S 12211为样本方差,...3,2,1,11==∑=∆K X n M n i Ki K 为样本k 阶原点矩 为样本k 阶中心矩3.重要性质定理6.1：设总体X 不论服从什么分布，只要其二阶矩存在，即E(X)=μ、D(X)=б2都存在，则： (1) E(X )=E(X)=μ(2)D(X )=n 1D(X)=n2σ(3) E(S 2)=D(X)=б2重要恒等式:()21212X n X X X nini-=-∑∑§6.2 抽样分布统计量是样本的函数，它是一个随机变量。
统计量的分布称为抽样分布。
一. 三个重要分布(一)2χ分布1. 定义6.5：设X 1，X 2，…X n 相互独立，均服从N(0,1)，则称随机变量222221...n n X X X χ=+++服从自由度为n的2χ分布，记为()n 2χ，即：)(~22n n χχ。
2.定理3.8：)(2n χ的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧=>⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ≤--0,210 ,0221222),(y n y e y yn n n y χ其中⎰+∞--=Γ01)(dt x e t tx定理的说明见P146页。
3.图形.分布函数图：data Kf;do x=0 to 30 by0.1;y= PROBCHI(x, 8);output;end;run;proc gplot data=kf;plot y*x=1 ;symbol1v=none i=join r=1c=black; run;密度函数图：n=1,5,15data kf;do y=0to20by0.1;z0=(y**(-0.5)*exp(-y/2))/(2**0.5* GAMMA(0.5));z1=(y**(1.5)*exp(-y/2))/(2**2.5* GAMMA(2.5)); z2=(y**(6.5)*exp(-y/2))/(2**7.5* GAMMA(7.5)); output;end;run;proc gplot data =kf;plot z0*y=1 z1*y=1 z2*y=1 /overlay ; symbol1 v =none i =join r =1 c =black; run;求概率：自由度为n=25, P{X<34.382}的概率这样求。
data ;p=PROBCHI(34.382,25); put p=; run ;其它可类推。
4.性质①若)(~22n χχ,则E(2χ)=n ，D(2χ)=2n②若),(~1221n χχ),(~2222n x χ且它们相互独立,则)(~2122221n n ++χχχ③若n X X X ,...,,21相互独立,均服从N (μ,σ2),则~)(11222∑-=niX X μσ)(2n χ④总体X 服从参数为λ的指数分布；X 1,X 2,…,X n 是来自该总体的样本.则:2(~2)(221_nX n niX χλλ∑=(二).t 分布定义6.6:设X ～N (0,1),Y ～χ2(n)且它们相互独立,则称随机变量n Y X T n/=服从自由度为n 的t 分布,记为t(n),即)(~n t T n 。
定理3.9:n T 的概率密度为212)1()2()21(),(+-+Γ+Γ=n n n n n n t T t π -∝<t<+∝性质：(1)t 分布的密度是偶函数,图形为:n=1, 10, 100时data student;do t=-3 to 3 by 0.01;z1=(gamma(1)*(1+t**2)**(-1))/((3.1415926)**0.5*gamma(0.5));z10=(gamma(5.5)*(1+t**2/10)**(-5.5))/((10*3.1415926)**0.5*gamma(5));z100=(gamma(50.5)*(1+t**2/100)**(-50.5))/(100*(3.1415926)**0.5*gamma( 50));output;end;run;proc gplot data=student;plot z1*t=1 z10*t=1 z100*t=1/ overlay ;symbol1v=none i=join r=1c=black;run;类似N(0,1)图形，n越大峰值越高。
分布函数图：n=10.data t;do x=-5to5by0.1;y=PROBT(x, 10);output;end;run;proc gplot data=t;plot y*x=1 ;run;(2)可证明当n >45时,t 分布与()1,0N 接近。
(3)当n>2时，E(T)=0,2)(-=n nT D （证略）(三)F 分布定义 6.7：设V ～χ2(m),W ～χ2(n),且它们相互独立，则称随机变量nW m VF n m =,服从第一自由度为m 、第二自由度为n 的F 分布，记为F(m,n)， 即F m,n ～F(m,n)。
定理3.10：F m,n 为服从第一自由度为m ，第二自由度为n的F 分布的随机变量, 则其密度函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=>+ΓΓ+Γ<+--0y )1())(()2()2()2(0y 0212),,(n m m y n m y n m n m n m n m n m y F图形： 给定m,n 可画出一个密度图形密度函数图：data f;%macro a(m,n,x);data a;do y=0 to 2 by 0.01;F&x=(gamma((&m+&n)/2)*(&m/&n)**(&m/2)*y**(&m/2-1))/(gamma(&m/2)*gamma (&n/2)*(1+(&m*y/&n))**(&m+&n)/2);output;end;data F;merge a f;%mend a;%a(10,25,1);%a(10,5,2);run;proc gplot data=f;plot F1*y=1 F2*y=1 / overlay ;symbol1v=none i=join r=1c=black;run;易推知：1～F(n,m)①若F～F(m,n)，则F②若X～t (n)，则X2～F(1,n)练习：书上P151有证明。