习题六 样本及抽样分布.
西南交通大学概率论和数理统计第五次作业答案
3
西南交通大学 2019—2020 学年第（一）学期《概率论与数理统计 B》课程习题答案
解：因为 X n
N (0,1) ，所以
9. 设 X1, X 2,, X5 是独立且服从相同分布的随机变量，且每一个 Xi i 1,2,,5都服从
N
0,1
。（1）试给出常数 c
，使得
c
X12
X
2 2
服从 2 分布，并指出它的自由度；（2）试给
出常数 d ，使得 d X1 X 2 服从 t 分布，并指出它的自由度。
X
2 3
X
2 4
11. 设 X1, X 2 ,, X n 是取自总体 X 的一个样本，其中 X 服从参数为 的泊松分布，其
中 未知， 0 ，求 的矩估计与最大似然估计，如得到一组样本观测值：
X
0 1 2 34
频数 17 20 10 2 1
求 的矩估计值与最大似然估计值。
解： EX ，故 的矩估计量 ˆ X 。
X
另，X 的密度函数为
f X x
e x 0
x 0 x0
故似然函数为
L
对数似然函数为
n
en
Xi
i 1
0
X i 0, i 1,2,, n 其他
ln
L
n
ln
n
X
i
i 1
d
ln L
d
n
n
i 1
Xi
0
解得 的最大似然估计量 ˆ n 1 。
贾俊平《统计学》课后习题及详解(统计量及其抽样分布)【圣才出品】
第6章 统计量及其抽样分布一、思考题1．什么是统计量？为什么要引进统计量？统计量中为什么不含任何未知参数？ 答：（1）设是从总体中抽取的容量为的一个样本，如果由此样本构造一个函数，不依赖于任何未知参数，则称函数是一个统计量。
（2）在实际应用中，当从某总体中抽取一个样本后，并不能直接应用它去对总体的有关性质和特征进行推断，这是因为样本虽然是从总体中获取的代表，含有总体性质的信息，但仍较分散。
为了使统计推断成为可能，首先必须把分散在样本中关心的信息集中起来，针对不同的研究目的，构造不同的样本函数。
（3）统计量是样本的一个函数。
由样本构造具体的统计量，实际上是对样本所含的总体信息按某种要求进行加工处理，把分散在样本中的信息集中到统计量的取值上，不同的统计推断问题要求构造不同的统计量，所以统计量不包含未知参数。
2．判断下列样本函数哪些是统计量？哪些不是统计量？12n X X X ，，…，X n 12()n T X X X ，，…，12()n T X X X ，，…，1121021210310410()/10min()T X X X T X X X T X T X μμσ=+++==-=-…，，…，（）/答：统计量中不能含有未知参数，故、是统计量，、不是统计量。
3．什么是次序统计量？答：设是从总体中抽取的一个样本，称为第个次序统计量，它是样本满足如下条件的函数：每当样本得到一组观测值…，时，其由小到大的排序中，第个值就作为次序统计量的观测值，而称为次序统计量，其中和分别为最小和最大次序统计量。
4．什么是充分统计量？答：在统计学中，假如一个统计量能把含在样本中有关总体的信息一点都不损失地提取出来，那对保证后边的统计推断质量具有重要意义。
统计量加工过程中一点信息都不损失的统计量通常称为充分统计量。
5．什么是自由度？答：统计学上的自由度是指当以样本的统计量来估计总体的参数时，样本中独立或能自由变化的变量的个数。
习题六样本及抽样分布解答
样本及抽样分布一、填空题1.设来自总体X的一个样本观察值为：...................... 则样本均值二 ____________ ,样本方差二 2.716,;2.在总体X~N(5,16)中随机地抽取一个容量为36的样本，则均值戸落在4与6之间的概率=_;3.设某厂生产的灯泡的使用寿命X-NQOOO'b1)(单位：小时)，抽取一容量为9 的样本，得到 1 = 940,$ = 100,则 <940)= __________________________________ ;4.设乂人…儿为总体X~N(0,0.5，)的一个样本，则P(工X：〉4) = _;1=15.设X1,X2,...,X6为总体X - 7V(0,1)的一个样本，且cY服从F分布，这里，y =(x1 + x2+XJ+(X4 + X5 + X6)2,则 c = 1/3 ;6.设随机变量X,Y相互独立，均服从N(0,3‘)分布且X P X2,...,X9与K，E，…必分别是来自总体X』的简单随机样本，则统计量U=, + “乜服从参数为_9牌+…+玲」的t 分布。
7.设乂泌尽儿是取自X〜N(0,2‘)正态总体的简单随机样本且Y = 6r(X,-2X2)2 +Z?(3X3-4XJ2,,则a = _f b = _______________ 时，统计量 Y服从才分布，其自由度为2 ;8.设总体X服从正态分布X~N(0,2'),而X-X?,…,X“是来自总体的简单随机X~V2 . . V2样本，则随机变量y= 化十… 利服从F 分布，参数为 10,5 ;2(X] + ...+ Xd)9.设随机变量X〜则Y〜F(n, 1);10. 设随机变量X ~F(S)且P(|X|>A) = 0.3, A 为常数，则P(X>— 1 «11若岳,…，乙是取自正态总体"(〃,□)的一个样本，则§ =服从 _____________« £12样本(X 】，…，X”)的函数/(X|，…，X”)称为 ______________ ,其中/(X”…，X”)不含未知参数。
《概率与数理统计》第06章 - 样本及抽样分布
(3)g( x1, x2 ,L xn )是统计量g(X1, X2 ,L Xn )的观察值
几个常见统计量
样本平均值
X
1 n
n i 1
Xi
它反映了 总体均值 的信息
样本方差
S 2
1 n1
n i 1
(Xi
X )2
它反映了总体 方差的信息
n
1
1
n
X
2 i
i 1
nX
2
样本标准差
S
1 n
n
1
(
i 1
X
i
是来自总体的一个样本，则
(1) E( X ) E( X ) ,
(2) D( X ) D( X ) 2 n ,
n
(3) E(S 2 ) D( X ) 2
矩估计法的 理论根据
若总体X的k阶矩E( X k ) k存在，则
(4) Ak
1 n
n i 1
Xik
p k
k 1, 2,L .
(3)证明：E(S2 )
定义 设X1 , X2 ,L , Xn是来自总体X的一个样本， g( X1 , X 2 ,L , X n )是X1 , X 2 ,L , X n的函数，若g 中不含未知参数，则g( X1 , X 2 ,L , X n )称是一 个统计量.
请注意 :
(1)X1, X2 ,L
X
是样本，也是随机变量
n
(2)统计量是随机变量的函数，故也是随机变量
1
e
(
xi 2
2
)2
2
n
( xi )2
1
e i1 2 2
n
2
第二节
抽样分布
抽样与抽样分布(试题及答案)
第五章抽样与抽样分布一、单项选择题(以下每小题各有四项备选答案，其中只有一项是正确的。
)1．抽样推断的主要目的是( )。
A．用统计量来推算总体参数B．对调查单位作深入研究C．计算和控制抽样误差D．广泛运用数学方法[答案] A[解析] 抽样调查是指从总体中按随机原则抽取部分单位作为样本，进行观察研究，并根据这部分单位的调查结果来推断总体，以达到认识总体的一种统计调查方法，因此，抽样推断的主要目的是用已知的统计量来推算未知的总体参数。
2．抽样调查中，无法消除的误差是( )。
A．抽样误差B．责任心误差C．登记误差D．系统性误差[答案] A[解析] 抽样误差是指在遵循了随机原则的条件下，不包括登记误差和系统性误差在内的，用样本指标代表总体指标而产生的不可避免的误差。
3．在其他条件相同的情况下，重复抽样的抽样平均误差和不重复抽样相比，( )。
A．前者一定小于后者B．前者一定大于后者C．两者相等D．前者可能大于，也可能小于后者[答案] B[解析] 以抽样平均数的抽样平均误差为例进行说明：在重复抽样条件下，抽样平均数的平均误差的计算公式：；在不重复抽样条件下，抽样平均数的平均误差的计算公式：。
因为，故。
4．拟分别对甲、乙两个地区大学毕业生在试用期的工薪收入进行抽样调查。
据估计甲地区大学毕业生试用期月工薪的方差要比乙区高出一倍。
在样本量和抽样方法相同的情况下，甲区的抽样误差要比乙区高( )。
A．41.4% B．42.4% C．46.8% D．48.8%[答案] A[解析] 假设乙地区的大学毕业生试用期月工薪的方差为σ2，甲地区的大学毕业生试用期月工薪的方差为2σ2，则：，那么，在样本量和抽样方法相同的，情况下，甲区的抽样误差要比乙区高=41.4%。
5．对某天生产的2000件电子元件的耐用时间进行全面检测，又抽取5%进行抽样复测，资料如表5-1所示。
表5-1耐用时间(小时) 全面检测(支) 抽样复测(支)3000以下3000～4000 4000～5000 50600990230505000以上总计36020018100规定耐用时间在3000小时以下为不合格品，则该电子元件合格率的抽样平均误差为( )。
概率论 第六章 样本及抽样分布
一般，设 x1,x2, …,xn 是总体F的一个容 量为n的样本值，先将x1,x2, …,xn 按自小到 大的次序排列，并重新编号，设为
x(1) ≤x(2) ≤…≤x(n) 则经验分布函数Fn(x)的观察值为
0,
若x x(1) ,
性质：
(1) limf (t)
1
e ; t2 2
n
2
(2)当n 45时 取t (n) Z .
（三）设Ｘ~２(n1), Y~ ２(n2), 且Ｘ 与Ｙ相互独立，则随机变量
F X/ n1 Y / n2
则称F服从第一自由度为n1，第二自由 度为n2的F分布，记作
F~F(n1 ，n2)
F分布的分布密度为
2 2
E( X 2 ) D( X ) (E( X ))2
2 2
n
E(S 2 )
E[ 1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2 ]
E[
1
n
(
n 1 i1
X
2 i
2
n X )]
1
n
E(
n 1 i1
X
2 i
nX
2
)
1 [E( n 1
n i 1
X
2 i
)
E(n X
2
)]
1[ n 1
n i 1
考察某厂生产的电容器
的使用寿命。在这个试验 中什么是总体，什么是个 体。
解 个体是每一个电容器 的使用寿命；总体X是各个 电容器的使用寿命的集合。
2. 样本
为推断总体分布及各种特征，按一定规 则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以 获得有关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所抽取的部分个体称为样本. 样 本中所包含的个体数称为样本容量.
贾俊平《统计学》(第5版)课后习题-第6章 统计量及其抽样分布【圣才出品】
第6章 统计量及其抽样分布一、思考题1．什么是统计量？为什么要引进统计量？统计量中为什么不含任何未知参数？答：（1）设12n X X X ，，…，是从总体X 中抽取的容量为n 的一个样本，如果由此样本构造一个函数12()n T X X X ，，…，，不依赖于任何未知参数，则称函数12()n T X X X ，，…，是一个统计量。
（2）在实际应用中，当从某总体中抽取一个样本后，并不能直接应用它去对总体的有关性质和特征进行推断，这是因为样本虽然是从总体中获取的代表，含有总体性质的信息，但仍较分散。
为了使统计推断成为可能，首先必须把分散在样本中关心的信息集中起来，针对不同的研究目的，构造不同的样本函数。
（3）统计量是样本的一个函数。
由样本构造具体的统计量，实际上是对样本所含的总体信息按某种要求进行加工处理，把分散在样本中的信息集中到统计量的取值上，不同的统计推断问题要求构造不同的统计量，所以统计量不包含未知参数。
2．判断下列样本函数哪些是统计量？哪些不是统计量？1121021210310410()/10min()T X X X T X X X T X T X μμσ=+++==-=-…，，…，（）/答：统计量中不能含有未知参数，故1T 、2T 是统计量，3T 、4T 不是统计量。
3．什么是次序统计量？答：设12n X X X ，，…，是从总体X 中抽取的一个样本，()i X 称为第i 个次序统计量，它是样本12()n X X X ，，…，满足如下条件的函数：每当样本得到一组观测值12X X ，，…，n X 时，其由小到大的排序(1)(2)()()i n X X X X ≤≤≤≤≤……中，第i 个值()i X 就作为次序统计量()i X 的观测值，而(1)(2)()n X X X ，，…，称为次序统计量，其中(1)X 和()n X 分别为最小和最大次序统计量。
4．什么是充分统计量？答：在统计学中，假如一个统计量能把含在样本中有关总体的信息一点都不损失地提取出来，那对保证后边的统计推断质量具有重要意义。
抽样分布习题及答案
抽样分布习题及答案1. 题目：从一个容器中随机取出30个样本，每个样本的体积服从正态分布，均值为150，标准差为10。
计算样本均值的抽样分布的标准差。
解答：我们知道，样本均值的抽样分布的标准差（也称为标准误差）可以通过总体标准差除以样本容量的平方根来计算。
标准误差 = 总体标准差/ √样本容量在本题中，总体标准差为10，样本容量为30，代入公式可得：标准误差= 10 / √30 ≈ 1.83因此，样本均值的抽样分布的标准差约为1.83。
2. 题目：某电视台进行了一项调查，随机抽取了500名观众，其中有380人表示喜欢该电视节目。
根据该样本数据，计算其样本比例的抽样分布的标准差。
解答：样本比例的抽样分布的标准差可以通过以下公式计算：标准误差= √((样本比例 × (1 - 样本比例)) / 样本容量)在本题中，样本比例为380/500 = 0.76，样本容量为500，代入公式可得：标准误差= √((0.76 × (1 - 0.76)) / 500) ≈ 0.018因此，样本比例的抽样分布的标准差约为0.018。
3. 题目：某商品的包装袋上注明每袋重量服从正态分布，均值为500克，标准差为10克。
为了确定该注明是否准确，随机抽取了100袋该商品，计算抽取样本的平均重量的抽样分布的标准差。
解答：抽取样本的平均重量的抽样分布的标准差可以通过总体标准差除以样本容量的平方根来计算。
标准误差 = 总体标准差/ √样本容量在本题中，总体标准差为10克，样本容量为100，代入公式可得：标准误差= 10 / √100 = 1因此，抽取样本的平均重量的抽样分布的标准差为1克。
4. 题目：某超市进行了一次促销活动，随机抽取了50个顾客进行调查，得知他们购买的平均金额为200元，标准差为50元。
计算该样本的平均金额的抽样分布的标准差。
解答：样本的平均金额的抽样分布的标准差可以通过总体标准差除以样本容量的平方根来计算。
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5．设 为总体 的一个样本，且 服从 分布，这里，
，则 1/3；
6．设随机变量 相互独立，均服从 分布且 与 分别是来自总体 的简单随机样本，则统计量 服从参数为9
的t分布。
7．设 是取自 正态总体的简单随机样本且
，则 0.05， 0.01时，统计量 服从 分布，其自由度为2；
7．设 是正态总体 的一个样本，
则 等于（）
A． B． C． D．
8．设 是正态总体 的一个样本， 和 分别为样本均值和样本方差，则服从自由度为 的 －分布的随机变正态总体 的一个样本， 和 分别为样本均值和样本方差，则（C）
A． B．
C． D．
三、解答题
1．设 是总体 的一个样本，其中 已知而 未知，则以下的函数中哪些为统计量？为什么？
习题六样本及抽样分布
一、填空题
1．设来自总体 的一个样本观察值为：2.1，5.4，3.2，9.8，3.5，则样本均值=4.8，样本方差= ；
2．在总体 中随机地抽取一个容量为36的样本，则均值 落在4与6之间的概率=0.9332；
3．设某厂生产的灯泡的使用寿命 (单位:小时，抽取一容量为9的样本，得到 ，则 ；
（1） ；
（2）
解：
（1） 是独立同分布的随机变量，且都服从
，
（2）
7．设 是取自总体 的一个样本．试证： 与 相关系数等于-1.
解：
8.设 是取自正态总体 的一个样本，试求统计量 的分布，其中 是不全为零的已知常数。
解：
9.设 和 分别是取自正态总体 和 的样本，且相互独立，试求统计量 的分布，其中 是不全为零的已知常数；
2．设 是经验分布函数，基于来自总体 的样本，而 是 总体的
分布函数，则下列命题错误的为，对于每个给定的 （B）
A．是分布函数B．依概率收敛于
C．是一个统计量D．其数学期望是
3．设总体 服从0－1分布， 是来自总体 的样本， 是样本均值，则下列各选项中的量不是统计量的是（B）
A． B．
C． D．
4．设 是正态总体 的一个样本，其中 已知而 未知，则下列各选项中的量不是统计量的是（C）。
解：
（1） ；是
（2） ；是
（3） ；是
（4） ；是
（5） ；不是
（6） ；是
（7） ；不是
2． 在总体 中随机地抽取一个容量为36的样本，求样本均值 落在50.8与53.8之间的概率。
解：
3．对下列两种情形中的样本观测值，分别求出样本均值的观测值 与样本方差的观测值 ，由此你能得到什么结论?
(15，2，3，5，8： =4.6
A． B．
C． D．
5．设 和 分别来自两个正态总体 和 的样本，且相互独立， 分别为两个样本的样本方差，则服从 的统计量是（B）
A． B． C． D．
6．设 是正态总体 的一个样本， 和 分别为样本均值和样本方差，则下面结论不成立的有（D）
A． 相互独立；B． 与 相互独立；
C． 与 相互独立D． 与 相互独立。
解：
10.设 是取自正态总体 的一个样本,试证:
(1当 时, ；
(2当 时
解：
（1）
（2）
11.设 是独立同分布的随机变量，且它们都服从 ，试证：当 时， .
解：
12.设 是取自正态总体 的一个样本，记
试证：统计量 ；
13.设总体 服从正态分布 ，从中抽取简单随机样本 ,其样本均值为 求统计量 的数学期望。
(2105，102，103，105，108 =104.6
4．设 是取自总体 的一个样本．在下列三种情形下，分别写出样本 的概率函数或密度函数：
(1 ；
(2 ；
(3 。
解：
(1
(2
(3
5.设 是取自总体 的一个样本．在下列三种情形下，分别求出 .
(1 ；
(2 ；
(3 。
6.设 是独立同分布的随机变量，且都服从 ，试证：
8．设总体X服从正态分布 ,而 是来自总体的简单随机样本，则随机变量
服从F分布，参数为10,5；
9．设随机变量 则 F(n,1；
10．设随机变量 且 ，A为常数，则 0.7
二、选择题
1．设 是来自总体 的简单随机样本， 是样本均值，
记
则服从自由度 的 分布的随机变量是 （A）；
A． B． C． D．