2013年全国高中数学联赛江苏赛区预赛模拟训练及参考答案(三)
江苏赛区高中数学联赛一试(上)
高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
第一章 集合一、基础知识定义1 差集，},{\B x A x x B A ∉∈=且。
定义2 集合},,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ，集合},,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ，R 记作).,(+∞-∞定理1 集合的性质：对任意集合A ，B ，C ，有：（1）);()()(C A B A C B A = （2）)()()(C A B A C B A =； （3）);(111B A C B C A C = （4）).(111B A C B C A C =定理2 加法原理：做一件事有n 类办法，第一类办法中有1m 种不同的方法，第二类办法中有2m 种不同的方法，…，第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事一共有n m m m N +++= 21种不同的方法。
全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(含答案)
全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(含答案)全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分，要求直接将答案写在横线上。
）1.已知点P(4,1)在函数$f(x)=\log_a(x-b)$（$b>0$）的图像上，则$ab$的最大值是______。
解：由题意知，$\log_a(4-b)=1$，即$a+b=4$，且$a>0$，$a\neq 1$，$b>0$，从而$ab\leq 4$。
当$a=b=2$时，$ab$的最大值是4.2.函数$f(x)=3\sin(2x-\frac{\pi}{4})$在$x=\frac{3\pi}{4}$处的值是______。
解：$2x-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}$，所以$f(\frac{3\pi}{4})=3\sin(\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{4})=-\frac{3}{\sqrt{2}}$。
3.若不等式$|ax+1|\leq 3$的解集为$\{x|-2\leq x\leq 1\}$，则实数$a$的值是______。
解：设函数$f(x)=|ax+1|$，则$f(-2)=f(1)=3$，故$a=2$。
4.第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是______。
解：有两类情况：同为白球的概率是$\frac{3}{25}\times\frac{10}{25}=\frac{6}{125}$，同为红球的概率是$\frac{7}{25}\times\frac{6}{25}=\frac{42}{625}$，所求的概率是$\frac{6}{125}+\frac{42}{625}=\frac{72}{625}$。
5.在平面直角坐标系$xOy$中，设焦距为$2c$的椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）与椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$有相同离心率$e$，则$e$的值是______。
全国高中数学联赛预赛试题(模拟)201307
全国高中数学联赛预赛试题(模拟)一、选择题（每小题6分,共36分）1、若函数()()2lg 43f x ax x a =-+-的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）. A 、()4,+∞ ；B 、[]0,4；C 、()0,4；D 、()(),14,-∞-+∞．2、设221a b +=，()0b ≠，若直线2ax by +=和椭圆22162x y +=有公共点，则a b 的取值范围是（ ）.A 、11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； B 、[]1,1-； C 、(][),11,-∞-+∞； D 、[]2,2-.3、四面体ABCD 的六条棱长分别为7,13,18,27,36,41，且知41AB =，则 CD = .A 、7 ；B 、13 ；C 、18 ；D 、27．4、若对所有实数x ，均有sin sin cos cos cos 2k k k x kx x kx x ⋅+⋅=，则k =（ ）. A 、6； B 、5； C 、4； D 、3．5、设(212n n a +=，n b 是n a 的小数部分，则当*n N ∈时，n n a b 的值（ ）．A 、必为无理数；B 、必为偶数；C 、必为奇数；D 、可为无理数或有理数．6、设n 为正整数，且31n +与51n -皆为完全平方数，对于以下两个命题： （甲）.713n +必为合数；（乙）.()28173n n +必为两个平方数的和.你的判断是（ ） A.甲对乙错； B. 甲错乙对； C.甲乙都对； D.甲乙都不一定对. 二、填空题（每小题9分，共54分）7、过点()1,1P 作直线l ，使得它被椭圆22194x y +=所截出的弦的中点恰为P ，则直线l 的方程为 .8、设x R ∈，则函数()f x =的最小值为 .9、四面体ABCD 中，面ABC 与面BCD 成060的二面角，顶点A 在面BCD 上的射影H 是BCD ∆的垂心，G 是ABC ∆的重心，若4AH =，AB AC =，则GH = ．10、000sin 20sin 40sin80⋅⋅= .11、数列{}n a 满足：11a =，且对每个*n N ∈，1,n n a a +是方程230n x nx b ++=的两根，则201k k b ==∑ .12、从前2008个正整数构成的集{}1,2,,2008M =中取出一个k 元子集A ，使得A 中任两数之和不能被这两数之差整除，则k 的最大值为 ． 三、解答题：13、（20分）AD 是直角三角形ABC 斜边BC 上的高，（AB AC <），12,I I 分别是,ABD ACD ∆∆的内心，12AI I ∆的外接圆O 分别交,AB AC 于,E F ，直线,EF BC 交于点M ；证明：12,I I 分别是ODM ∆的内心与旁心．14、（20分）设,,x y z 为非负实数，满足1xy yz zx ++=，证明：11152x y y z z x ++≥+++． 15、（20分）对于2n 元集合{}1,2,,2M n =，若n 元集{}12,,,n A a a a =，{}12,,,n B b b b =满足：,A B M A B ==∅，且11nnk k k k a b ===∑∑，则称A B 是集M 的一个“等和划分”（A B 与B A 算是同一个划分）．试确定集{}1,2,,12M =共有多少个“等和划分”．试题解答一、选择题（每小题6分,共36分）1、若函数()()2lg 43f x ax x a =-+-的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）. A 、()4,+∞ ；B 、[]0,4；C 、()0,4；D 、()(),14,-∞-+∞．答案：B ．解：欲使()f x 的值域为R ，当使真数243ax x a -+-可取到一切正数，故或者0a =；或者0a >且()24430a a --≥，解得04a ≤≤2、设221a b +=，()0b ≠，若直线2ax by +=和椭圆22162x y +=有公共点，则a b 的取值范围是（ ）.A 、11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； B 、[]1,1-； C 、(][),11,-∞-+∞； D 、[]2,2-.答：C ． 解：将2axy b-=代入椭圆方程并整理得，()22223121260a b x ax b +-+-=， 因直线和椭圆有公共点，则判别式()()()222212431260a a b b -+-≥，利用221a b +=，化简得22a b ≥，所以1ab≥．即(][),11,a b ∈-∞-+∞．3、四面体ABCD 的六条棱长分别为7,13,18,27,36,41，且知41AB =，则 CD = .A 、7 ；B 、13 ；C 、18 ；D 、27． 答案：B .解：四面体中，除CD 外，其余的棱皆与AB 相邻接，若长13的棱与AB 相邻，不妨设13BC =，据构成三角形条件，可知{}7,18,27AC ∉，36, 7AC BD ⇒=⇒=，{}{},18,27AD CD ⇒=，于是ABD ∆中，两边之和小于第三边，矛盾。
2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及详解(纯word)
2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及详解(纯word)1.2017年全国高中数学联赛江苏赛区预赛试卷及详解2.填空题1.已知向量$\overrightarrow{AP}=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{PB}=\begin{pmatrix}-3\\1\end{pmatrix}$，则向量$\overrightarrow{AP}$与$\overrightarrow{AB}$的夹角等于$\frac{\pi}{4}$。
2.已知集合$A=\{x| (ax-1)(a-x)>0\}$，且$a\in A$，$3\notin A$，则实数$a$的取值范围是$1\leq a<2$或$2<a\leq 3$。
3.已知复数$z=\cos(\frac{2\pi}{3})+i\sin(\frac{2\pi}{3})$，则$z^3+z^2=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$。
4.在平面直角坐标系$xOy$中，设$F_1$，$F_2$分别是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的左、右焦点，$P$是双曲线右支上一点，$M$是$PF_2$的中点，且$OM\perp PF_2$，$3PF_1=4PF_2$，则双曲线的离心率为$5$。
5.定义区间$[x_1,x_2]$的长度为$x_2-x_1$。
若函数$y=\log_2x$的定义域为$[a,b]$，值域为$[0,2]$，则区间$[a,b]$的长度的最大值与最小值的差为$3$。
6.若关于$x$的二次方程$mx^2+(2m-1)x-m+2=0(m>0)$的两个互异的根都小于$1$，则实数$m$的取值范围是$\left(\frac{3+\sqrt{7}}{4},+\infty\right)$。
7.若$\tan4x=\frac{3\sin4x\sin2x\sinx}{\cos8x\cos4x\cos4x\cos2x\cos2x\cos x\cos x}$，则$\sin^2x+\sin^24x+\sin^28x=3$。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛一试(A卷)试题(含答案)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ，则32log (log )m 的值为 ． 答案：4049．解：323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m ．2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q ．若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和，则2a 的取值范围是 ．答案：1,0(0,2)4． 解：因为数列{}n a 的各项和为11a q，注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列，于是2{}n a 的各项和为2121a q． 由条件知211211a a q q，化简得11a q ． 当(1,0)(0,1)q 时，22111(1),0(0,2)244a q q q ． 3. 设实数,ab 满足：集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9]，则a b 的值为 ．答案：7．解：由于2210(5)25x x a x a ，故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间，而B 是至多有一个端点的区间，所以必有[1,9]A ，故9a ．进一步可知B 只能为[4,) ，故0b 且34b b ，得2b ．于是7a b ．4. 在三棱锥P ABC 中，若PA 底面ABC ，且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为 ．答案：34． 解：由条件知PA AB ，PA AC ．因此PA AC ．在ABC 中，22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ，故sin B ．所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ，故其体积为1334ABC V S PA ． 5. 一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为,a b ．若事件“7a b ”发生的概率为17，则事件“a b ”发生的概率为 ． 答案：421． 解：设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p ．由于126,,,p p p 成等差数列，且1261p p p ，故16253413p p p p p p ． 事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p ． 事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p ． 于是22221216253411()()()333P P p p p p p p ． 由于117P ，所以21143721P ． 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25，则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为 ．答案：11．解：记2x t ，则当[0,5)x 时，[1,32)t ，且t 随x 增大而严格增大．因此，()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数．注意到()f t 有最小正周期5，设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点，则()f t 在[2,32)上有6m 个零点，又设()f t 在[1,2)上有n 个零点，则625m n ，且0n m ，因此4,1m n ．从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数，即311m n ．7. 设12,F F 为椭圆 的焦点，在 上取一点P （异于长轴端点），记O 为12PF F 的外心，若12122PO F F PF PF ，则 的离心率的最小值为 ．答案 解：取12F F 的中点M ，有12MO F F ，故120MO F F ． 记1212,,PF u PF v F F d ，则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u ， 222121222cos PF PF uv F PF u v d ，故由条件知222222v u u v d ，即22232u v d ． 由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v （当3v u 时等号成立）．所以 的离心率d e u v ．当::u v d 时， 的离心率e 取到最小值8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8，且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(,,)a b c 为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组．满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为 ．答案：591．解：对于幸运数组(,,)a b c ，当10a b c 时，分两类情形讨论． 情形1：a 是两位数，,b c 是三位数．暂不考虑,b c 的大小关系，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为3255C C 3!600 ．再考虑其中,b c 的大小关系，由于不可能有b c ，因此b c 与b c 的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组．情形2：,a b 是两位数，c 是四位数．暂不考虑,a b 的大小关系，类似于情形1，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600．再考虑其中,a b 的大小关系．若a b ，则必有20a b ，c 的四个数字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有33!18 种填法，除这些填法外，a b 与a b 的填法各占一半，故有600182912个满足要求的幸运数组． 综上，所求幸运数组的个数为300291591 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分） 在ABC 中，已知sin cos sin cos cos 22A AB B C，求cos C 的值．解：由条件知cos 44C A B． …………4分 假如44A B，则2C ，cos 0C ，但sin 04A ，矛盾． 所以只可能44A B ．此时0,2A B ，2C A ． …………8分注意到cos 04C A ，故2C ，所以,42A B ，结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ，又cos 0C ，化简得28(12cos )1C ，解得cos C…………16分 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线22:1x y 的右顶点为A ．将圆心在y 轴上，且与 的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA 的所有可能的值． 解：考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r ．由0 与 的方程消去x ，得关于y 的二次方程2220002210y y y y r ．根据条件，该方程的判别式22200048(1)0y y r ，因此220022y r ．…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ，显然P 在y 轴上．设(0,)P h ，12, 的半径分别为12,r r ，不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ，则有2211()22h r r ，2222()22h r r ．两式相减得2212122()h r r r r ，而120r r ，故化简得122r r h． …………10分 进而221211222r r r r ，整理得 221122680r r r r ．① 由于12d r r ，(1,0)A ，22212()114r r PA h ，而①可等价地写为2212122()8()r r r r ，即228PA d ，所以d PA…………20分 11.（本题满分20分）设复数,z w 满足2z w ，求2222S z w w z 的最小可能值．解法1：设i (,)z a b a b R ，则2i w a b ，故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ，22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b ． ①…………5分记1t a ．对固定的b ，记255B b ，求22()(4)f t t B t B 的最小值．由()(4)f t f t ，不妨设2t ．我们证明0()()f t f t ，其中0t ． 当0[2,]t t 时，04[2,4]t t ，22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 （用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增）． …………10分当0[,)t t 时，22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 （用到04t t ）． …………15分所以200()(4)1616S f t B t ．当0b （①取到等号），011a t 时，S 取到最小值16．…………20分解法2：设1i,1i (,)R z x y w x y x y ，不妨设其中0x ． 计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ，2222(41)(24)i w z x x y x y ．所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y ． …………5分利用a b a b ，可得8S x ，① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x ． ②…………10分注意到方程282(1)x x 2．当2x 时，由①得816S x ．当02x 时，由②得222(1)2(12))16S x ．因此当2,0x y 时，S 取到最小值16． …………20分 解法3：因为2w z =−，所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−，33+的距离，所以把i z x y =+换成其实部x 时，都不会增大.因此只需 考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<，因此我们有以下几种情况：1.若1x≤−,则2()24f x x x=−,在这一区间上的最小值为(116f−=+；2.若(13x∈−−，则()88f x x=−+，在这一区间上的最小值为(316f=−+…………15分3.若31x∈−，则2()24f x x x=−+，在这一区间上的最小值为((3116f f=−+=−+；4.若13x∈− ，则()88f x x=−，在这一区间上的最小值为(116f−+=−+；5.若3x≥+，则2()24f x x x=−，在这一区间上的最小值为(316f=+.综上所述，所求最小值为((3116f f=−+=−.…………20分。
2009-2010年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题
2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题第一试（80分钟）一、填空题（本题满分56分，每小题8分）1.已知数列{}n a 的前n 项和234n S n n =++()*n ∈N ，则13521a a a a ++++=L ________．2.若集合{}1,A ax x ==+∈R 为空集，则实数a 的取值范围是________．3. 设x 、y 为实数，21x y +≥，则二元函数2242u x x y y =++-的最小值是________4.设1F 、2F 分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，以12F F 为直径的圆交双曲线左支于A 、B 两点，且1120AF B ∠=︒. 双曲线的离心率的值介于整数k 与1k +之间，则k =________．5.已知长方体1111ABCD A B C D -的体积为216，则四面体11AB CD 与四面体11A BC D 的重叠部分的体积等于________．6.设[]x 表示不大于x 的最大整数，则3333[log 1][log 2][log 3][log 258]++++=L ________．7.设方程21221221100n n n n n x a x a x a x a +--------=L 的根都是正数，且1a =()21n -+，则0a 的最大值是________．8. 20091911⨯的方格棋盘的一条对角线穿过________个棋盘格．二、 解答题（本题满分14分）求函数()44sin tan cos cot f x x x x x =⋅+⋅的值域．三、解答题（本题满分15分）如图，抛物线22y x =及点()1,1P ，过点P 的不重合的直线1l 、2l 与此抛物线分别交于点A ，B ，C ，D ．证明：A ，B ，C ，D 四点共圆的充要条件是直线1l 与2l 的倾斜角互补．四、解答题（本题满分15分）设a ，b 是正数，且1a ≠，1b ≠，求证：()()55441125111164a b a b a b --⋅>++--． 第二试（150分钟） 一、（本题满分50分）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，△ADE 的内切圆与DE 切于点M ，△ABC 的BC 边上的旁切圆切BC 于点N ，点P 是BE 与CD 的交点，求证M 、N 、P 三点共线.二、（本题满分50分）设k ，n 为给定的整数，2n k >≥. 对任意n 元的数集P ，作P 的所有k 元子集的元素和，记这些和组成的集合为Q ，集合Q 中元素个数是Q C ，求Q C 的最大值.三、（本题满分50分）设12222s n n n M=+++L ，12,,,s n n n L 是互不相同的正整数，求证：.(122222221s n n n M =+++<+L四、（本题满分50分）求满足下列条件的所有正整数x ，y ：（1）x 与1y -互素； （2）231x x y -+=.AB C D PE N M2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准第一试一、填空题（本题满分56分，每小题8分） 1.2682. 11(,)(,)36-∞-+∞U 3.95-4.25.366.9327.18.3871 二、 解答题（本题满分14分）解 因为()2664432sin 2sin cos sin cos 2sin cos cos sin sin cos sin 2xx x x x f x x x x x x x x-+=⋅+⋅==. ………………8分令sin 2t x =，则[)(]1,00,1t ∈-U ，()2322322t f x t t t -==-. 易知函数()232g t t t =- 在区间[)1,0-与(]0,1上都是减函数，所以()g t 的值域为11(,][,)22-∞-+∞U ，故()f x 的值域为11(,][,)22-∞-+∞U . ………………14分三、解答题（本题满分15分）解 设1l 、2l 的倾斜角分别为α、β，由题设知α、()0,βπ∈. 易知直线1l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩， 代入抛物线方程可化得 ()22sin2sin cos 10t t ααα+--=.设上述方程的两根为1t 、2t ，则 1221sin t t α-=. 由参数t 的几何意义，得21sin AP BP α⋅=. …………………5分同理 21sin CP DP β⋅=. …………………7分若A 、B 、C 、D 四点共圆，则 AP BP CP DP ⋅=⋅，即 22sin sin αβ=. 因为α、()0,βπ∈，所以 sin sin αβ=.又由1l 、2l 不重合，则αβ≠. 所以αβπ+=. …………………11分反过来，若αβπ+=，则因α、()0,βπ∈，故sin sin αβ=，且0α≠，0β≠. 所以2211sin sin αβ=，即AP BP CP DP ⋅=⋅. 故A 、B 、C 、D 四点共圆. …………………15分 四、解答题（本题满分15分）解 因为 54324321111a a a a a a a a a -++++=-+++， 且 ()()()4323281511a a a a a a a a ++++-++++43232223a a a a =---+()()424322121a a a a a =-++--+()()()222212110a a a a =-+-++> （1a ≠）， 所以 ()4323215118a a a a a a a a ++++>++++，即()5415118a a a ->+-. …………………10分 同理可证 5415(1)18b b b ->+-.于是，()55441125(1)11164a b a b a b --⋅>++--. …………………15分2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准加 试一、（本题满分50分）证 设BE 与MN 交于点'P . 因为DE ∥BC ，所以BP BC PE DE =，''BP BNP E EM=. 故只需证明BC BN DE EM =，或BN EMBC DE=. ………………10分 如图, 设1O 、2O 分别为三角形的内切圆与旁切圆的圆心，F 、G 、H 、I 为切点，则 ()12EM AE DE AD =+-， AH AB BH AB BN =+=+，()12AH AI AB BC AC ==++，ABCD PE NM()12BN AH AB AC BC AB =-=+-. ………………30分又 ADE ∆∽ABC ∆， 故可设AB BC ACk AD DE AE===， 则1()2AC BC AB BN BC BC+-=()2()2k AE k DE k AD k DEAE DE AD EM DE DE⋅+⋅-⋅=⋅+-==故结论成立． ………………50分二、（本题满分50分）解 Q C 的最大值为kn C . …………………10分因P 共有k n C 个k 元子集，故显然有kQ n C C ≤. …………………20分 下面我们指出，对集合2{2, 2, , 2}nP =L ，相应的Q C 等于k n C ，即P 的任意两个不同的k元子集的元素之和不相等. 从而Q C 的最大值为k n C .事实上，若上述的集合P 有两个不同的k 元子集12{2,2,,2}k r r r A =L ， 12{2,2,,2}k s s s B =L ，使得A 与B 的元素之和相等，则1212222222k k r s r r s s M +++=+++=L L （设）. ①因①可视为正整数M 的二进制表示，由于i r 互不相同，i s 互不相同，故由正整数的二进制表示的唯一性，我们由①推出，集合12{,,,}k r r r L 必须与12{,,,}k s s s L 相同，从而子集A B =，矛盾.这就证明了我们的断言. …………………50分 三、（本题满分50分）证 对s 归纳.（1） 当1s =时，结论显然成立. …………………10分 （2） 假设s k =时结论成立，当1s k =+时，不妨设121k k n n n n +>>>>L .AB C D P E NM O 1 O 2F GIH由归纳假设可知，122222(1knn+++<L，则1121222222222(12k kn nn n n+++++<L.所以只要证明：12(12(1n<此即1>. …………………30分因为正整数121k kn n n n+>>>>L，所以122231211222221222.kn n n nn nn++-≥>++++≥+++LL.故=所以1>=，即1s k=+时，命题成立.因此，由数学归纳法可知，命题对所有正整数s成立.…………………50分四、（本题满分50分）解显然1x=，1y=满足要求.…………………10分对于1x>，1y>，方程可化为()()()2111y y y x x-++=-.显然x y>. 因为(),11x y-=，故x一定是21y y++的一个因子. 设21y y kx++=（k为正整数），从而()11x k y-=-. 由x y>可知2k≥.…………………20分消去x，得()2211y y k y k++=-+，即()()()221113y y k y k-+-=-+-. 由此推得()13y k--. …………………40分若3k>，则13y k-≤-，即2k y≥+，从而()()2221121k y k y y k k-+=++<+-+，故必有10y-=，矛盾.所以3k≤，从而2k=，3. 验证知7y=，19x=.综上，()(),1,1x y=，()19,7. …………………50分2010年全国高中数学联赛江苏赛区复赛一、填空题（本题满分64分，每小题8分） 1．已知数列{a n }、{b n }满足a n ＝22n +35，b n ＝1nlog 2(a 1a 2a 3…a n )，n ∈N*，则数列{b n }的通项公式是 ．答案：b n ＝n ＋45，n ∈N*简解：由a n ＝22n +35，得a 1a 2a 3…a n ＝22(1＋2＋…＋n )＋3n5＝2n (n ＋4)5，n ∈N*．所以b n ＝1n ×n (n ＋4)5＝n ＋45，n ∈N*．2．已知两点M (0，2)、N (－3，6)到直线l 的距离分别为1和4，则满足条件的直线l 的条数是 ．答案：3简解：易得MN ＝5，以点M 为圆心，半径1为的圆与以点N 为圆心，半径为4的圆外切，故满足条件的直线l 有3条．3．设函数f (x )＝ax 2＋x ．已知f (3)＜f (4)，且当n ≥8，n ∈N*时，f (n )＞f (n ＋1)恒成立，则实数a 的取值范围是 ．答案：(－17，－117)简解：(方法一) 因为当n ≥8时，f (n )＞f (n ＋1)恒成立，所以a ＜0，此时f (n )＞f (n ＋1)恒成立等价于f (8)＞f (9)，即64a ＋8＞81a ＋9，解得a ＜－117．因为f (3)＜f (4)，所以9a ＋3＜16a ＋4，解得a ＞－17．即a ∈(－17，－117)．(方法二)考察二次函数f (x )＝ax 2＋x 的对称轴和开口方向．因为当n ≥8时，f (n )＞f (n ＋1)恒成立，所以a ＜0，且－12a ＜172，解得a ＜－117．因为f (3)＜f (4)，所以－12a ＞72，解得a ＞－17．即a ∈(－17，－117)．4．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是边长为3的正方体，点P 、Q 、R 分别是棱AB 、AD 、AA 1上的 点，AP ＝AQ ＝AR ＝1，则四面体C 1PQR 的 体积为 ．答案：43简解：因为C 1C ⊥面ABCD ，所以C 1C ⊥BD ． 又因为AC ⊥BD ， 所以BD ⊥面ACC 1，所以AC 1⊥BD ．又PQ ∥BD ，所以AC 1⊥PQ ．同理AC 1⊥QR ．所以AC 1⊥面PQR ．因为AP ＝AQ ＝AR ＝1，所以PQ ＝QR ＝RP ＝2．因为AC 1＝33，且V A －PQR ＝13·12·12·1＝16，所以V C 1－PQR ＝13·34·(2)2·33－V A －PQR ＝43．5．数列{}n a 满足1112,1nn na a a a ++==-，n ∈N *．记T n ＝a 1a 2…a n ，则T 2010等于 ． (第4题)C A BD D 1C 1B 1A 1P QR答案：－6 简解：易得：a 1＝2，a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 1a 2 a 3a 4＝1．又a 5＝2＝a 1，由归纳法易知a n ＋4＝a n ，n ∈N*．所以T 2010＝T 2008×a 2009×a 2010＝a 1a 2＝－6．6．骰子是一个立方体，6个面上分别刻有1、2、3、4、5、6点. 现有质地均匀的 骰子10只. 一次掷4只、3只骰子，分别得出各只骰子正面朝上的点数之和为6的 概率的比为 ．答案：1：6.提示：掷3只骰子，掷出6点的情况为1，1，4；1，2，3；2，2，2. 共 3+3!+1=10种，概率为 3106 .掷4只骰子，掷出6点的情况为1，1，1，3；1，1，2，2. 共 4+24C =10种，概率为 4106 . 所以概率的比为 3106:4106 = 1:6 .7．在△ABC 中，已知BC ＝5，AC ＝4，cos(A －B )＝78，则cos C ＝ ．答案：1116简解：因BC AC >，故A B ∠>∠. 如图，作AD ，使∠BAD ＝∠B ，则∠DAC ＝∠A －∠B ．设AD ＝BD ＝x ，则DC ＝5－x ．在△ADC 中，由余弦定理得x ＝3．再由余弦定理得cos C ＝1116．8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝2x 的焦点为F . 设M 是抛物线上的动点，则MO MF 的最大值为 ．答案：233简解：设点M (x ，y )，则(MO MF )2＝x 2＋y 2(x ＋12)2＝4x 2＋8x 4x 2＋4x ＋1＝1＋4x －14x 2＋4x ＋1．令4x －1＝t ，当t ≤0时，显然MOMF ≤1．当t ＞0时，则(MO MF)2＝1＋4t ＋6＋9t ≤1＋13＝43，且当t ＝3，即x ＝1时，等号成立． 所以MO MF 的最大值为233，此时点M 的坐标为(1，±2)．二、解答题（本题满分16分）如图，点P 是半圆C ：x 2＋y 2＝1(y ≥0)上位于x 轴上方的任意一点，A 、B 是直径的两个端点，以AB 为一边作正方形ABCD ，PC 交AB 于E ，PD交AB 于F ，求证：BE ，EF ，F A 成等比数列．ABC(第7题)证明：设P (cosα，sinα)，C (－1，－2)，D (1，－2)，E (x 1，0)，F (x 2，0)．因为点P 、E 、C 三点共线，所以sinα＋2cosα＋1＝2x 1＋1，所以x 1＝2(cosα＋1)sinα＋2－1． ………………5分由点P 、F 、D 三点共线，所以sinα＋2cosα－1＝2x 2－1，所以x 2＝2(cosα－1)sinα＋2＋1． ………………10分所以BE ＝x 1＋1＝2(cosα＋1)sinα＋2，EF ＝x 2－x 1＝2sin αsinα＋2 ，F A ＝2(cosα－1)sinα＋2．所以BE ·F A ＝2(cosα＋1)sinα＋2×2(cosα－1)sinα＋2＝4sin 2α(sinα＋2)2＝EF 2．即BE ，EF ，F A 成等比数列． ………………16分三、解答题（本题满分20分）设实数a ，m 满足1a ≤，0m <≤()()2221amx mx f x a a a m-=+-，()0,x a ∈. 若存在a ，m ，x ，使()f x ≥，求所有的实数x 的值． 解答：因为(0, )x a ∈时，2222()244x ma ma amx mx m a -=--+≤， 当且仅当2ax =时等号成立， ……………5分 所以222222224(1)(1)4(1(1))a mamx mx am a a a m a a a m a m -≤≤=+-+-+-44am m ≤≤≤……………15分 当且仅当2ax =及1a =与m =. 故1x =. ……………20分 四、解答题（本题满分20分）数列{a n }中，已知a 1∈(1，2)，a n ＋1＝a n 3－3a n 2＋3a n ，n ∈N*，求证：(a 1－a 2)( a 3－1)＋(a 2－a 3)( a 4－1)＋…＋(a n －a n ＋1)( a n ＋2－1)＜14．证明：(方法一) 由a n ＋1＝a n 3－3a n 2＋3a n ，得a n ＋1－1＝(a n －1)3．令b n ＝a n －1，则0＜b 1＜1，b n ＋1＝b n 3＜b n ，0＜b n ＜1． ………………5分 所以 (a k －a k ＋1)( a k ＋2－1)＝(b k －b k ＋1)×b k ＋2＝(b k －b k ＋1)×b k ＋13＜14(b k －b k ＋1)×(b k 3＋b k 2b k ＋1＋b k b k ＋12＋b k ＋13)＜14(b k 4－b k ＋14)． ………………15分所以 (a 1－a 2)(a 3－1)＋(a 2－a 3)(a 4－1)＋…＋(a n －a n ＋1)(a n ＋2－1)＜14(b 14－b 24)＋14(b 24－b 34)＋…＋14(b n 4－b n ＋14) ＝14(b 14－b n ＋14)＜14b 14＜14． ………………20分 (方法二) 由a n ＋1＝a n 3－3a n 2＋3a n ，得a n ＋1－1＝(a n －1)3．令b n ＝a n －1，则0＜b 1＜1，b n ＋1＝b n 3，0＜b n ＜1． ………………5分 所以 (a 1－a 2)( a 3－1)＋(a 2－a 3)( a 4－1)＋…＋(a n －a n ＋1)( a n ＋2－1)＝(b 1－b 2) b 3＋(b 2－b 3) b 4＋…＋(b n －b n ＋1) b n ＋2 ＝(b 1－b 2) b 23＋(b 2－b 3) b 33＋…＋(b n －b n ＋1) b n ＋1313014x dx <=⎰．………………20分2010年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准加 试一、（本题满分40分）圆心为I 的ABC ∆的内切圆分别切边AC 、AB 于点E 、F . 设M 为线段EF 上一点， 证明：MAB ∆与MAC ∆面积相等的充分必要条件是MI BC ⊥.证明：过点M 作MP AC ⊥、MQ AB ⊥，垂足分别为P 、Q . 圆I 切边BC 于点D ，则ID BC ⊥, IF AB ⊥, IE AC ⊥.显然AF=AE , 所以AFM AEM ∠=∠, 从而推知Rt Rt QFM PEM ∆∆:, 得A BCEFPQM IDA B C EF M I(第1题)MQ MF MP ME=. 又 1212MAB MAC MQ AB S MQ AB MF AB S MP AC ME ACMP AC ∆∆⋅==⋅=⋅⋅, 所以 MAB ∆与MAC ∆面积相等的充要条件是AB ME AC MF=. ① 由①可知，问题转化为证明：AB ME AC MF=的充分必要条件是MI BC ⊥. ………10分 首先证明：若MI BC ⊥，则AB ME AC MF=. 由MI BC ⊥可知点M 在直线ID 上.因为B 、D 、I 、F 四点共圆，所以MIF DBF B ∠=∠=∠，MIE ECD C ∠=∠=∠. 又 IE=IF ，则由正弦定理得sin sin sin()sin MF FI IE ME MIF IMF IMF MIEπ===∠∠-∠∠, 即 sin sin ME C MF B =，而sin sin AB C AC B =. 所以AB ME AC MF=. ……………30分 其次证明：若AB ME AC MF=，则MI BC ⊥. 设直线ID 与EF 交于点'M ，则由上述证明可知''AB M E AC M F=，于是有 ''AB M E AC M F=，从而 'M M ≡. 故命题成立. ……………40分 二、（本题满分40分）将凸n 边形12n A A A L 的边与对角线染上红、蓝两色之一，使得没有三边均为蓝色的三角形. 对k =1, 2,…，n ，记k b 是由顶点k A 引出的蓝色边的条数，求证：2122n n b b b +++≤L . 证明：不妨设12max{,,,}n b b b b =L ，并且由点A 向12,,,b A A A L 引出b 条蓝色边，则12,,,b A A A L 之间无蓝色边，12,,,b A A A L 以外的n b -个点，每点至多引出b 条蓝色边，因此蓝色边总数()n b b ≤-22()24n b b n -+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭. …………20分故 2212242n n n b b b +++≤⨯=L . 命题得证. ……………40分 三、（本题满分50分）设正整数的无穷数列{}n a （n ∈N *）满足44a =，2111n n n a a a -+-=（2n ≥），求{}n a 的通项公式．解：由已知得11n n n na a a a -+>. 若有某个n ，使11n n a a -≥，则 1n n a a +>， …………10分 从而112n n n n a a a a -++≥>>>L ，这显然不可能，因为*{} (N )n a n ∈是正整数的无穷数列. 故数列{}n a 中的项是严格递增的. …………20分 从而由44a =可知， 11a =，22a =，33a =. …………30分于是由{}n a 的递推公式及数学归纳法知* (N )n a n n =∈. …………40分显然数列*{} (N )n n ∈满足要求，故所求的正整数无穷数列为{}n (1)n ≥.…………50分四、（本题满分50分）设p 是一个素数， 3 (mod 4)p ≡. 设x ，y 是整数，满足221|4p p x xy y +-+. 求证：存在整数u ，v ，使得222211()44p p x xy y p u uv v ++-+=-+. 证明：由条件可知22|(2)p x y py -+，则2|(2)p x y -.因p 是素数，故有|2p x y -. 设2x y pk -=， …………20分 则 222211((2))44p x xy y py x y +-+=+- 2221((2))4x pk p p k =-+ 22((2))4p x pk pk =-+ …………30分 22((2))4p x pk k k pk =-+-+ 22((2))4p u v pv =-+ （这里(1)2k p u x -=-，v k =）22(44(1))4p u uv p v =-++ 221()4p p u uv v +=-+. 命题得证. …………50分。
2018年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案
……………………… 20 分
设 y2＝ 1－x2＋12( 2－1)在［0，1］中的两端点分别为 A，B， 则 A，B 的坐标分别为(0，12( 2＋1))，(1，12( 2－1))， 因此直线 AB 的方程为 y＝－x＋12( 2＋1)， 而点 D(0，－12( 2－1))到直线 AB 的距离为 1，所以线段 AB 与四分之一圆周相切(如图)， 由此可见，对任意 x∈［0，1］，使 y3≤y1≤y2 恒成立的唯一线段是 y＝－x＋12( 2＋1)，
若{bn}是等比数列，且 a2＋b2＝108，
an+1 ，n为偶数．
则数列{an}的通项公式为
．
答案：an＝9n．
解：因为{bn}是等比数列，所以其子列{b2n－1}也成等比数列， 而 b2n－1＝an，故{an}也是等比数列，设其公比为 q．
又 b1＝a1，b2＝ a3，b3＝a2，得 a3＝a1a2，即 a1＝q．
x∈［0，1］．
所以 a＝－1，b＝12( 2＋1)．
……………………… 40 分
二、（本题满分 40 分）
如图，大圆和小圆为同心圆，其圆心为 O．过大圆上一点 A 作小圆的切线 AC，切点为
B，点 C 在大圆上，D 为 AB 的中点．△ACE 的顶点 E 在小圆上，AE 交小圆于 F．设 CE，
2．在平面直角坐标系
xOy
中
，
若
双
曲
线
x2 a2
－
y2 b2
＝
1
(
a
＞
0
，
b
＞
0
)
的
渐
近
线
与
圆 x2＋y2－6y＋5＝0 没有公共点，则该双曲线离心率的取值范围是
江苏省近四年高中数学竞赛初赛试题及答案讲解
2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛(2009年5月3日8∶00－10∶00)一、填空题(每小题7分，共70分) 1．已知sin αcos β＝1，则cos(α＋β)＝ ．2．已知等差数列{a n }的前11项的和为55，去掉一项a k 后，余下10项的算术平均值为4．若a 1＝－5，则k ＝ ．3．设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e ＝ ．4．已知3x ＋19x －1＝13－31－x，则实数x ＝ ．5．如图，在四面体ABCD 中，P 、Q 分别为棱BC 与CD 上的点，且BP ＝2PC ，CQ ＝2QD ．R 为棱AD 的中点，则点A 、B 到平面PQR 的距离的比值为 ．6．设f (x )＝log 3x －4－x ，则满足f (x )≥0的x 的取值范围是 ．7．右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm 、体积为3000cm 3的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm 、20cm 、60cm ．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 cm 3．8．设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则→BC ·→AO ＝ ． 9．设数列{a n }满足：a n ＋1a n ＝2a n ＋1－2(n ＝1，2，…)，a 2009＝2，则此数列的前2009项的和为 ．10．设a 是整数，0≤b ＜1．若a 2＝2b (a ＋b )，则b ＝ ． 二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分) 11．在直角坐标系xOy 中，直线x －2y ＋4＝0与椭圆x 29＋y 24＝1交于A ，B 两点，F 是椭圆的左焦点．求以O ，F ，A ，B 为顶点的四边形的面积．12．如图，设D 、E 是△ABC 的边AB 上的两点，已知∠ACD ＝∠BCE ，AC ＝14，AD ＝7，AB ＝28，CE ＝12．求BC ．EBCD AB CDAPQ R13．若不等式x＋y≤k2x＋y对于任意正实数x，y成立，求k的取值范围．14．⑴写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证；⑵是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论．2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛(2009年5月3日8∶00－10∶00)一、填空题(每小题7分，共70分) 1．已知sin αcos β＝1，则cos(α＋β)＝ ． 填0．解：由于|sin α|≤1，|cos β|≤1，现sin αcos β＝1，故sin α＝1，cos β＝1或sin α＝－1，cos β＝－1， ∴ α＝2kπ＋π2，β＝2lπ或α＝2kπ－π2，β＝2lπ＋π⇒α＋β＝2(k ＋l )π＋π2(k ，l ∈Z)．∴ cos(α＋β)＝0．2．已知等差数列{a n }的前11项的和为55，去掉一项a k 后，余下10项的算术平均值为4．若a 1＝－5，则k ＝ ．填11．解：设公差为d ，则得55＝－5×11＋12×11×10d ⇒55d ＝110⇒d ＝2．a k ＝55－4×10＝15＝－5＋2(k －1)⇒k ＝11．3．设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e ＝ ． 填－1＋52．解：由(2b )2＝2c ×2a ⇒a 2－c 2＝ac ⇒e 2＋e －1＝0⇒e ＝－1＋52． 4．已知3x ＋19x －1＝13－31－x ，则实数x ＝ ．填1．解：即13x －1＝3x3(3x －1)⇒32x －4×3x ＋3＝0⇒3x ＝1(舍去)，3x ＝3⇒x ＝1．5．如图，在四面体ABCD 中，P 、Q 分别为棱BC 与CD 上的点，且BP ＝2PC ，CQ ＝2QD ．R 为棱AD 的中点，则点A 、B 到平面PQR 的距离的比值为 ．填14． 解：A 、B 到平面PQR 的距离分别为三棱锥APQR 与BPQR 的以三角形PQR 为底的高．故其比值等于这两个三棱锥的体积比．V APQR ＝12V APQD ＝12×13V APCD ＝12×13×13V ABCD ＝118V ABCD ；BCDAPQ R又，S BPQ ＝S BCD －S BDQ －S CPQ ＝(1－13－23×13)S BCD ＝49S BCD ，V RBPQ ＝49V RBCD ＝12×49V ABCD ＝418V ABCD ．∴ A 、B 到平面PQR 的距离的比＝1∶4． 又，可以求出平面PQR 与AB 的交点来求此比值：在面BCD 内，延长PQ 、BD 交于点M ，则M 为面PQR 与棱BD 的交点． 由Menelaus 定理知，BM MD ·DQ QC ·CP PB ＝1，而DQ QC ＝12，CP PB ＝12，故BMMD ＝4．在面ABD 内，作射线MR 交AB 于点N ，则N 为面PQR 与AB 的交点． 由Menelaus 定理知，BM MD ·DR RA ·AN NB ＝1，而BM MD ＝4，DR RA ＝1，故AN NB ＝14．∴ A 、B 到平面PQR 的距离的比＝1∶4．6．设f (x )＝log 3x －4－x ，则满足f (x )≥0的x 的取值范围是 ． 填[3，4]．解：定义域(0，4]．在定义域内f (x )单调增，且f (3)＝0．故f (x )≥0的x 的取值范围为[3，4]． 7．右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm 、体积为3000cm 3的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm 、20cm 、60cm ．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 cm 3．填78000．解：设净水器的长、高分别为x ，y cm ，则 xy ＝300，V ＝30(20＋x )(60＋y )＝30(1200＋60x ＋20y ＋xy ) ≥30(1200＋260x ×20y ＋300)＝30(1500＋1200)＝30×2700．∴ 至少可以存水78000cm 3．8．设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则→BC ·→AO ＝ ． 填－252．解：设|→AO |＝|→BO |＝|→OC |＝R ．则RRBCA OR M NR Q PA DCB→BC ·→AO ＝(→BO ＋→OC )·→AO ＝→BO ·→AO ＋→OC ·→AO ＝R 2cos(π－2C )＋R 2cos2B＝R 2(2sin 2C －2sin 2B )＝12(2R sin B )2－12(2R sin C )2＝12(122－132)＝－252．9．设数列{a n }满足：a n ＋1a n ＝2a n ＋1－2(n ＝1，2，…)，a 2009＝2，则此数列的前2009项的和为 ．填2008＋2．解：若a n ＋1≠0，则a n ＝2－2a n ＋1，故a 2008＝2－2，a 2007＝2－22－2＝－2，a 2006＝2＋2，a 2005＝2．一般的，若a n ≠0，1，2，则a n ＝2－2a n ＋1，则a n －1＝a n ＋1－2a n ＋1－1，a n －2＝22－a n ＋1，a n －3＝a n ＋1，故a n －4＝a n ．于是，Σk ＝12009a n＝502(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a2009＝502(a 2005＋a 2006＋a 2007＋a 2008)＋a 2009＝2008＋2．10．设a 是整数，0≤b ＜1．若a 2＝2b (a ＋b )，则b ＝ ． 填0，3－12，3－1． 解：若a 为负整数，则a 2＞0，2b (a ＋b )＜0，不可能，故a ≥0．于是a 2＝2b (a ＋b )＜2(a ＋1)⇒a 2－2a －2＜0⇒0≤a ＜1＋3⇒a ＝0，1，2． a ＝0时，b ＝0；a ＝1时，2b 2＋2b －1＝0⇒b ＝3－12； a ＝2时，b 2＋2b －2＝0⇒b ＝3－1．说明：本题也可以这样说：求实数x ，使[x ]2＝2{x }x ．二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分) 11．在直角坐标系xOy 中，直线x －2y ＋4＝0与椭圆x 29＋y 24＝1交于A ，B 两点，F 是椭圆的左焦点．求以O ，F ，A ，B 为顶点的四边形的面积．解：取方程组⎩⎨⎧4x 2＋9y 2＝36，x ＝2y －4．代入得，25y 2－64y ＋28＝0．此方程的解为y ＝2，y ＝1425．即得B (0，2)，A (－7225，1425)，又左焦点F 1(－5，0)．连OA 把四边形AFOB 分成两个三角形．CFy xOBA得，S ＝12×2×7225＋12×5×1425＝125(72＋75)．也可以这样计算面积：直线与x 轴交于点C (－4，0)．所求面积＝12×4×2－12×(4－5)×1425＝125(72＋75)．也可以这样计算面积：所求面积＝12(0×2－0×0＋0×1425－(－7225)×2＋(－7225)×0－(－5)×1425＋(－5)×0－0×0)＝12(14425＋14255)＝125(72＋75)． 12．如图，设D 、E 是△ABC 的边AB 上的两点，已知∠ACD ＝∠BCE ，AC ＝14，AD ＝7，AB ＝28，CE ＝12．求BC ．解：AD AC ＝ACAB ⇒△ACD ∽△ABC ⇒∠ABC ＝∠ACD ＝∠BCE ．∴ CE ＝BE ＝12．AE ＝AB －BE ＝16．∴ cos A ＝AC 2＋AE 2－CE 22AC ·AE ＝142＋162－1222·14·16＝142＋28·42·14·16＝1116．∴ BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ＝142＋282－2·14·28·1116＝72·9⇒BC ＝21．13．若不等式x ＋y ≤k 2x ＋y 对于任意正实数x ，y 成立，求k 的取值范围．解法一：显然k ＞0．(x ＋y )2≤k 2(2x ＋y )⇒(2k 2－1)x －2xy ＋(k 2－1)y ≥0对于x ，y ＞0恒成立．令t ＝xy＞0，则得f (t )＝(2k 2－1)t 2－2t ＋(k 2－1)≥0对一切t ＞0恒成立． 当2k 2－1≤0时，不等式不能恒成立，故2k 2－1＞0．此时当t ＝12k 2－1时，f (t )取得最小值12k 2－1－22k 2－1＋k 2－1＝2k 4－3k 22k 2－1＝k 2(2k 2－3)2k 2－1．当2k 2－1＞0且2k 2－3≥0，即k ≥62时，不等式恒成立，且当x ＝4y ＞0时等号成立． ∴ k ∈[62，＋∞)． 解法二：显然k ＞0，故k 2≥(x ＋y )22x ＋y ＝x ＋2xy ＋y2x ＋y ．令t ＝x y ＞0，则k 2≥t 2＋2t ＋12t 2＋1＝12(1＋4t ＋12t 2＋1)． 令u ＝4t ＋1＞1，则t ＝u －14．只要求s (u )＝8uu 2－2u ＋9的最大值．EBCDAs (u )＝8u ＋9u－2≤82u ·9u －2＝2，于是，12(1＋4t ＋12t 2＋1)≤12(1＋2)＝32．∴k 2≥32，即k ≥62时，不等式恒成立(当x ＝4y ＞0时等号成立)．又：令s (t )＝4t ＋12t 2＋1，则s '(t )＝8t 2＋4－4t (4t ＋1)(2t 2＋1)2＝－8t 2－4t ＋4(2t 2＋1)2，t ＞0时有驻点t ＝12．且在0＜t ＜12时，s '(t )＞0，在t ＞12时，s '(t )＜0，即s (t )在t ＝12时取得最大值2，此时有k 2≥12(1＋s (12))＝32．解法三：由Cauchy 不等式，(x ＋y )2≤(12＋1)(2x ＋y )．即(x ＋y )≤622x ＋y 对一切正实数x ，y 成立． 当k ＜62时，取x ＝14，y ＝1，有x ＋y ＝32，而k 2x ＋y ＝k 62＜62×62＝32．即不等式不能恒成立．而当k ≥62时，由于对一切正实数x ，y ，都有x ＋y ≤622x ＋y ≤k 2x ＋y ，故不等式恒成立．∴ k ∈[62，＋∞)． 14．⑴ 写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证；⑵ 是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论．解：对于任意n ∈N*，n 2≡0，1(mod 4)．设a ，b 是两个不同的自然数，①若a ≡0(mod 4)或b ≡0(mod 4)，或a ≡b ≡2(mod 4)，均有ab ≡0(mod 4)，此时，ab ＋10≡2(mod 4)，故ab ＋10不是完全平方数；② 若a ≡b ≡1(mod 4)，或a ≡b ≡3(mod 4)，则ab ≡1(mod 4)，此时ab ＋10≡3(mod 4)，故ab ＋10不是完全平方数．由此知，ab ＋10是完全平方数的必要不充分条件是a ≡/b (mod 4)且a 与b 均不能被4整除． ⑴ 由上可知，满足要求的三个自然数是可以存在的，例如取a ＝2，b ＝3，c ＝13，则2×3＋10＝42，2×13＋10＝62，3×13＋10＝72．即2，3，13是满足题意的一组自然数．⑵ 由上证可知不存在满足要求的四个不同自然数．这是因为，任取4个不同自然数，若其中有4的倍数，则它与其余任一个数的积加10后不是完全平方数，如果这4个数都不是4的倍数，则它们必有两个数mod 4同余，这两个数的积加10后不是完全平方数．故证．2010年全国高中数学联赛江苏赛区·初赛一、填空题（本题满分70分，每小题7分） 1．方程9135x x +-=的实数解为 ．2．函数sin cos y x x =+(x ∈R )的单调减区间是 .3．在△ABC 中，已知4AB AC ⋅=，12AB BC ⋅=-，则AB ＝ . 4．函数()()()221f x x x =-+在区间[]0,2上的最大值是 ，最小值是 ． 5．在直角坐标系xOy 中，已知圆心在原点O 、半径为R 的圆与△ABC 的边有公共点，其中()4,0A =、()6,8B =、()2,4C =，则R 的取值范围为 ． 6．设函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是关于x 的奇函数，则函数()y f x =在区间[]0,100上至少有 个零点.7．从正方体的12条棱和12条面对角线中选出n 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则n 的最大值为 ．8．圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种．其中镀2金2银的概率是 ．9．在三棱锥A BCD -中，已知ACB CBD ∠=∠，ACD ADC BCD BDC ∠=∠=∠=∠θ=，且10cos 10θ=．已知棱AB 的长为62，则此棱锥的体积为 ． 10．设复数列{}n x 满足1n x a ≠-，0，且11nn n a x x x +=+．若对任意n ∈N * 都有3n n x x +=，则a 的值是 ．（第7题）二、解答题（本题满分80分，每小题20分）11．直角坐标系xOy 中，设A 、B 、M 是椭圆22:14x C y +=上的三点．若3455OM OA OB =+，证明：AB 的中点在椭圆22212x y +=上． 12．已知整数列{}n a 满足31a =-，74a =，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 求出所有的正整数m ，使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=．13．如图，圆内接五边形ABCDE 中，AD 是外接圆的直径，BE AD ⊥，垂足H .过点H 作平行于CE 的直线，与直线AC 、DC 分别交于点F 、G ． 证明： (1) 点A 、B 、F 、H 共圆； (2) 四边形BFCG 是矩形．14．求所有正整数x ，y ，使得23x y +与23y x +都是完全平方数．参考答案1、x ＜0无解; 当0x ≥时，原方程变形为32x +3x －6=0，解得3x =2，x =log 32．2、与f (x )=y 2=1+|sin2x |的单调减区间相同， [,],2422k k k ππππ++∈Z ． 3、216AB AC AB BC AB ⋅-⋅==，得4AB =．4、极小值－4，端点函数值f (2)=0，f (0)=－2，最小值－4，最大值0．5、画图观察，R 最小时圆与直线段AC 相切，R 最大时圆过点B ．[855，10]．6、f (2k -1)=0，k ∈Z . 又可作一个函数()f x 满足问题中的条件，且()f x 的一个零点恰为21x k =-，k ∈Z . 所以至少有50个零点. 7、不能有公共端点，最多4条，图上知4条可以．8、穷举法，注意可翻转，有6种情况，2金2银有两种，概率为 13 ．9、4面为全等的等腰三角形，由体积公式可求得三棱锥的体积为 144 ．10、由11n n n a x x x +=+，2321n n n a x x x +++==+()21111n n a x a x ++=++()3211n n n a x x a a x =+++ 恒成立，即()()2110n n a a x x a +++-=. 因为1n x a ≠-或0，故210a a ++=，所以1322a i =-±．11、解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 124＋y 12＝1，x 224＋y 22＝1．由3455OM OA OB =+，得 M (35x 1＋45x 2，35y 1＋45y 2)． 因为M 是椭圆C 上一点，所以(35x 1＋45x 2)24＋(35y 1＋45y 2)2＝1， …………………6分即 (x 124＋y 12)(35)2＋(x 224＋y 22)(45)2+2(35)(45)(x 1x 24＋y 1y 2)=1，得 (35)2＋(45)2+2(35)(45)(x 1x 24＋y 1y 2)＝1，故x 1x 24＋y 1y 2＝0． …………………14分 又线段AB 的中点的坐标为 (x 1＋x 22，y 1＋y 22)，所以 (x 1＋x 22)22＋2(y 1＋y 22)2＝12(x 124＋y 12)+12(x 224＋y 22)+x 1x 24＋y 1y 2＝1，从而线段AB 的中点(x 1＋x 22，y 1＋y 22)在椭圆x 22＋2y 2＝1上． ………………20分12、解：(1) 设数列前6项的公差为d ，则a 5=－1+2d ，a 6=－1+3d ，d 为整数. 又a 5，a 6，a 7成等比数列，所以(3d －1)2=4(2d －1)，即 9d 2－14d +5=0，得d =1. …………………6分 当n ≤6时，a n =n －4，由此a 5=1，a 6=2，数列从第5项起构成的等比数列的公比为2， 所以，当n ≥5时，a n =2n -5.故 a n =⎩⎪⎨⎪⎧n －4，n ≤4，2n -5， n ≥5．…………………10分(2) 由（1）知，数列{}n a 为：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，… 当m =1时等式成立，即 －3－2－1=―6=(－3)(－2)(－1)； 当m =3时等式成立，即 －1+0+1=0；当m =2、4时等式不成立； …………………15分 当m ≥5时，a m a m +1a m +2 =23m -12， a m +a m +1+a m +2=2m -5(23－1)=7×2m -5，7×2m -5≠23m -12，所以 a m +a m +1+a m +2≠a m a m +1a m +2 . 故所求 m = 1，或m =3． …………………20分 13、证明：(1) 由HG ∥CE ，得∠BHF =∠BEC ， 又同弧的圆周角 ∠BAF =∠BEC ， ∴ ∠BAF =∠BHF ，∴ 点 A 、B 、F 、H 共圆；…………………8分(2) 由(1)的结论，得 ∠BHA =∠BFA ， ∵ BE ⊥AD ， ∴ BF ⊥AC ，又AD 是圆的直径，∴ CG ⊥AC ， …………………14分 由A 、B 、C 、D 共圆及A 、B 、F 、H 共圆，∴∠BFG =∠DAB =∠BCG ， ∴ B 、G 、C 、F 共圆.ABCDEFH G∴∠BGC=∠AFB=900, ∴BG⊥GC，∴所以四边形BFCG是矩形．…………………20分14、解：若x=y，则x2+3x是完全平方数.∵x2＜x2+3x＜x2+4x+4= (x+2)2，∴x2+3x= (x+1)2，∴x=y =1. ………………5分若x＞y，则x2＜x2+3y＜x2+3x＜x2+4x+4= (x+2)2.∵x2+3y是完全平方数，∴x2+3y= (x+1)2，得3y =2x+1，由此可知y是奇数，设y =2k+1，则x=3k+1，k是正整数.又y2+3x= 4k2+4k+1+9k+3=4k2+13k+4是完全平方数，且(2k+2)2=4k2+8k+4＜4k2+13k+4＜4k2+16k+16= (2k+4)2，∴y2+3x=4k2+13k+4=(2k+3)2，得k=5，从而求得x=16，y=11. …………………15分若x＜y，同x＞y情形可求得x=11，y=16.综上所述，(x，y)= (1，1), (11，16), (16，11)．…………………20分2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上） 1． 复数44(1i)(1i)++-= ．2． 已知直线10x my -+=是圆22:4450C x y x y +-+-=的一条对称轴，则实数m = .3． 某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率是 （结果用最简分数表示）．4． 已知1cos45θ=，则44sin cos θθ+= ．5． 已知向量a ，b 满足π2,,3==<>=a b a b ，则以向量2+a b 与3-a b 表示的有向线段 为邻边的平行四边形的面积为 ．6． 设数列{a n }的前n 项和为S n ．若{S n }是首项及公比都为2的等比数列，则数列{a n 3}的前n 项和等于 ．7． 设函数2()2f x x =-．若f (a )＝f (b )，且0＜a ＜b ，则ab 的取值范围是 ． 8． 设f (m )为数列{a n }中小于m 的项的个数，其中2,n a n n =∈N *，则[(2011)]f f = ．9． 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角形的斜边长是 ． 10．已知m 是正整数，且方程210100x m x m ---+=有整数解，则m 所有可能的值是 ．二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．已知圆221x y +=与抛物线2y x h =+有公共点，求实数h 的取值范围．AB CP12．设2()(,)f x x bx c b c =++∈R ．若2x ≥时，()0f x ≥，且()f x 在区间(]2,3上的最大值为1，求22b c +的最大值和最小值．13．如图，P 是ABC 内一点．（1）若P 是ABC 的内心，证明：1902BPC BAC ∠=+∠；（2）若1902BPC BAC ∠=+∠且1902APC ABC ∠=+∠，证明：P 是ABC 的内心．14．已知α是实数，且存在正整数n 0，使得0n α+为正有理数．证明：存在无穷多个正整数n ，使得n α+为有理数．2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题 答案及点评一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上） 1． 复数44(1i)(1i)++-= ． 答案：－8基础题，送分题，高考难度2． 已知直线10x my -+=是圆22:4450C x y x y +-+-=的一条对称轴，则实数m = .答案：32-基础题，送分题，高考难度3． 某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率是 （结果用最简分数表示）． 答案：19145基础题，送分题，高考难度，但需要认真审题，否则很容易有错4． 已知1cos45θ=，则44sin cos θθ+= ．答案：45计算量挺大的，要注重计算的方法，对于打酱油的同学有一定难度5． 已知向量a ，b 满足π2,,3==<>=a b a b ，则以向量2+a b 与3-a b 表示的有向线段为邻边的平行四边形的面积为 ． 答案：103可以用特殊法，把向量放在直角坐标系中，很容易可以得出答案6． 设数列{a n }的前n 项和为S n ．若{S n }是首项及公比都为2的等比数列，则数列{a n 3}的前n 项和等于 ． 答案：1(848)7n +高考难度级别，基础好的同学可以做出来7． 设函数2()2f x x =-．若f (a )＝f (b )，且0＜a ＜b ，则ab 的取值范围是 ． 答案：(0,2)这是一道高考题8． 设f (m )为数列{a n }中小于m 的项的个数，其中2,n a n n =∈N *，则[(2011)]f f = ．答案：6这也是一道高考题9． 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角形的斜边长是 ． 答案：4 3还是一道高考题10．已知m 是正整数，且方程210100x m x m ---+=有整数解，则m 所有可能的值 是 ． 答案：3,14,30这是2011年苏州市一模的第十四题。
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又由对称性，可设a≥b≥c，从而a≥，
故a2+b2+c2+18abc=a2+(1－a)2－2bc+18abc=2a2－2a+1+2bc(9a－1)≥2a2－2a+1=2(a－)2+≥．(a=b=，c=0时等号成立)
3、已知 ,则 =__________
4、已知 ，把数列 的各项排成三角形状如右图所示，记 表示第 行中第 个数，则
5、已知f(x)＝sin(＋α－x)＋cos(－α－x)是偶函数，且－π2＜α＜π2，则满足条件的实数α有个．
6、甲、乙、丙三人互相传球，先由甲开始作第一次传球，则5次传球后球仍回到甲手中的不同的传球方式共有．
= ，故 为角 的角平分线，
为 的内心.………………………………（20分）
13、解：l1：bx－ay=0，l2：bx+ay=0．
m：ax+by－ac=0．(c=，e=，0<e<1)
∴P(，)，即P在椭圆的右准线上．
记=(>0)，则由定比分点公式得点A坐标：
x=；y=．此坐标满足椭圆方程，代入得：
∴(c2+a2)2+2a4=a2c2(1+)2．c4+2a2c2+22a4=a2c2+2a2c2+2a2c2．
11、解：⑴1f(x)0，否则f(y)=f(x+y－x)=f(x)f(y－x)=0，矛盾．
2f(x)=f()f()>0．
3f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)，但f(x)0，f(0)=1．a1=1．
∴f(an+1)f(－2－an)=f(an+1－an－2)=1=f(0)，由f(x)单调，an+1－an－2=0，an+1=an+2．
13、已知l1、l2是双曲线－＝1的两条渐近线，过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F作直线m，使m⊥l1，m与l2的交点为P，m与已知椭圆的交点记作A与B(如图所示)，求的最大值及此时椭圆的离心率．
14、设正整数 , , 的最大公约数为1,并且 ，证明: 是一个完全平方数.
1、解： ，故对应的点位于第一象限
是数列 中的第89项，∴
5、解：f(x)=f(－x)，cos(－x)+sin(+x)=cos(+x)+sin(－x)，
cos(+x)－cos(－x)=sin(+x)－sin(－x)，
－sinsinx=cossinx，tan=－1，=k－(k∈Z)，
－2<<2，k=－2，－1，0，1，2，3，共6个值．
8、解：作P关于、的对称点Q、R，则QR2=42+63－246cos120=76．故最小值=2．
9、解： ，
即 . 取 ，得49个式子，并相加，得 .
显然 在8与9之间，故
10、解：a2+b2+c2+18abc=(a+b+c)2－2(ab+bc+ca)+18abc．
但，ab+bc+ca=(ab+bc+ca)(a+b+c)≥3·3=9abc．
2013年全国高中数学联赛江苏赛区预赛模拟训练及参考答案（三）
1、复数 ，则复数 在复平面内对应的点位于第__________象限
2、设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这5个球随机放入这5个盒子内，要求每个盒子内放一个球，记“恰有两个球的编号与盒子的编号相同”为事件 ，则事件 发生的概率为__________
11、定义在实数集R上的单调函数y＝f(x)，当x＜0时f(x)＞1，且f(x＋y)＝f(x)f(y)对任意实数都成立．又数列{an}满足a1＝f(0)，f(an＋1)＝(n∈N*)．
(1)求通项an．
(2)求使(1＋)(1＋)…(1＋)≥p对任意正整数n都成立的实数p的最大值．
12、如图。△ABC中，AB＞AC，AE是其外接圆的切线，D为AB上的点，且AD=AC=AE.求证：直线DE过△ABC的内心.
2、解：事件总数为 ，A发生可分两步完成，首先选盒子编号与球编号相同的，共有 种情况，不妨设为4号与5号，则第二步需要将1,2,3号球与盒子完全装错，只有两种情况（2,3,1或3,1,2），故 =
3、改编：求 的值
解：对已知等式两边求导可得：
令 ，得：
4、解：各行数的个数构成一个等差数列，则前9行共有 项，∴
同除以a4：e4+22=e2+2e2．2==e2+1－=3－(2－e2+)≤3－2(当2－e2=时取等号)．即e=时，max=－1．
记t=，作椭圆的右准线，分别过A、B作此准线的垂线，交准线于M、N．由P在此准线上，知t===．|BF|=t|AF|，故|AB|=(1+t)|AF|，
又|AB|=(t－1)|PA|，故=，即=，从而≤－1，t≤+1．当椭圆的离心率=时，取得最大值．
6、解：5次任意传球，第5次给甲，有24种方法，其中第4次传到甲时，第5次不可能给甲，故应减去23种方法，再加上22种方法，减去2种方法，共有24－23+22－2=10种方法．
7、解：以y=2k－1－x代入圆方程得：2x2－2(2k－1)x+3k2－6k+4=0．
=－2k2+8k－7≥0，≤k≤．
2xy=(x+y)2－(x2+y2)=3k2－6k+4=3(k－1)2+1，在k=时取得最小值．
∴an=2n－1．
⑵1+1≥p，p≤．
记bn=．则==>1．于是bn>bn－1>…>b1=．即bn+1≥对于一切n成立．故pmax=．
12、证明：设角 的内角平分线与 交于点 ，连接 ,由于 是
外接圆的切线，故
，……（5分）
又 ，故
，
故 ，所以 四点共圆.……（10分）
………………………………（15分）
7、已知(x0，y0)是直线x＋y＝2k－1与圆x2＋y2＝k2＋2k－3的交点，则当x0y0取最小值时，实数k的值等于．
8、已知点M、N分别在大小为60°的二面角α－a－β的α、β内，又点P到α、β的距离依次为2与3，则ΔPMN周长的最小值等于．
9、 的整数部分是
10、已知非负实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a2＋b2＋c2＋18abc的最大值等于__________，最小值等于____________