离散数学2009期末B_参考答案

参考答案及评分细则
西南科技大学2009——2010学年第2学期
《离散数学B》期末考试试卷（B卷）
一、（10分）求(p→(q∧r))∧(┐p→(┐q∧┐r))的主析取范式和主合取范式（不能采用
真值表技术）。

解：(p→(q∧r))∧(┐p→(┐q∧┐r))
⇔ (┐p∨(q∧r ))∧(p∨(┐q∧┐r))
⇔ (┐p∨q)∧(┐p∨r )∧(p∨┐q)∧(p∨┐r)
⇔ (┐p∨q∨r)∧(┐p∨q∨┐r)∧(┐p∨┐q∨r )
∧(p∨┐q∨r)∧(p∨┐q∨┐r)∧(p∨q∨┐r) （主合取范式）
⇔ (┐p∧p)∨(q∧r∧p)∨(┐p∧┐q∧┐r)∨(q∧r∧┐q∧┐r)
⇔ (p∧q∧r)∨(┐p∧┐q∧┐r) （主析取范式）
二、（12分）将下列命题符号化并给出形式证明。

已知张三或李四是三好学生；如果张三是三好学生，那么你是知道的；如果李四是三好学生，那么王五也是三好学生；现在你不知道张三是三好学生。

所以李四和王五都是三好学生。

令P：张三是三好学生。

Q：李四是三好学生。

R：你知道张三是三好学生。

S：王五是三好学生。

解：符号化（4分）
∨→→⌝⇒∧
P Q P R Q S R Q S
,,,
证明：（8分）
⌝
(1)R P
(2)P R P
→
P T I
⌝
(3)(1)(2)
∨
(4)P Q P
Q T I
(5)(3)(4)
→
(6)Q S P
S T I
(7)(5)(6)
Q S T I
∧
(8)(5)(7)
三、（12分）将下列推理符号化并用推理规则证明推理的有效性：
所有不运动的物体都是没有生命的，有些物体是不运动的，故有些物体没有生命。

令P(x):x是运动的物体，Q(x):x是有生命的。

解：
符号化：（4分） (∀x)( ¬P(x)→¬Q(x))，(∃x) ¬P(x)⇒(∃x) ¬Q(x)
证明：（8分）
《离散数学B》期末考试试卷（B卷）
(1) (∃x) ¬P(x) P
(2) ¬P(c) ES，(1)
(3) (∀x)( ¬P(x)→¬Q(x)) P
(4) (¬P(c)→¬Q(c)) US,(3)
(5) ¬Q(c) T,(2),(4),I
(6) (∃x) ¬Q(x) EG,(5)
四、（10分）设集合X＝{ X 1,X2,X3,X4}， S是定义在X上的关系：
S＝{<X1,X2>,<X2,X1>,<X2,X3>,<X3,X4>}
求r(S),s(S),t(S)。

解：
r(S)＝S∪I A＝{<X1,X2>,<X2,X1>,<X2,X3>,<X3,X4>}∪ {<X1,X1>,<X2,X2>,<X3,X3>,<X4,X4>} ＝{<X1,X2>,<X2,X1>,<X2,X3>,<X3,X4>,<X1,X1>,<X2,X2>,<X3,X3>,<X4,X4>}。

（3分）
s(S)＝S∪S-1＝{<X1,X2>,<X2,X1>,<X2,X3>,<X3,X4>}∪{<X2,X1>,<X1,X2>,<X3,X2>,<X4,X3>} ＝{<X1,X2>,<X2,X1>,<X2,X3>,<X3,X4>,<X3,X2>,<X4,X3>} （3分）
t(S)＝S∪S2∪S3∪S4
＝{<X1,X2>,<X2,X1>,<X2,X3>,<X3,X4>} ∪{<X1,X1>,<X2,X2>,<X1,X3>,<X2,X4>}
∪{<X1,X2>,<X2,X1>,<X1,X4>,<X2,X3>} ∪{<X1,X1>,<X2,X2>,<X1,X3>,<X2,X4>)
＝{<X1,X2>,<X2,X1>,<X2,X3>,<X3,X4>,<X1,X1>,<X2,X2>,<X1,X3>,<X1,X4>,<X2,X4>}。

（4分）五、（10分）下图是偏序集合<A,≤>的哈斯图，
（1）(4分)写出该偏序关系≤的集合表达式；
（2）(6分)求B={ {a} ,{b},{a,b}}上的极大元、极小元、最大元、最小元、上界和下界
解：
（1）偏序关系≤：｛<Φ , Φ>, <Φ ,{a}>, <Φ ,{b}>, <Φ ,{a,b}>, <{a} ,{a}>,
<{a} ,{a,b}>,<{b} ,{ b}>,<{b} ,{a,b}>,<{a,b} ,{a,b}>｝（2）极大元：{a,b}，极小元：{a} ,{b}，最大元：{a,b}，
最小元：无，上界：{a,b}，下界：Φ
六、(10分)
（1）（6分）判断图a是否是哈密尔顿回路，若是，请画出一条哈密顿回路；若不是，请说明原因；
（2）（4分）判断图b是否欧拉图，并说明原因。

《离散数学B》期末考试试卷（B卷）
解：
（1）删除结点子集V1＝{a,b,c}，得到的图连通分支为4，显然有：p(G-V1)＝4＞|V1|＝3。

由必要定理可知：图(a)所示的图中不会存在哈密尔顿回路，即不是哈密尔顿图（2）不是欧拉图，因为奇度节点个数不是0个。

七、(10分)用Dijkstra算法求下图所示带权图中v1到其余各顶点的最短路径。

（要求写
出计算过程）
（1）(2分)写出D的邻接矩阵；
（2）(2分)利用邻接矩阵求D中长度为2的路径的总数；
（3）(6分) 利用邻接矩阵求出可达性矩阵P和强分图。

《离散数学B》期末考试试卷（B卷）
解：（1）D的邻接矩阵A为：
v1 v2 v3 v4 v5
v1 0 0 1 0 0
v2 1 0 1 0 0
v3 0 0 0 0 1
v4 0 1 1 0 0
v5 0 0 0 1 0
（2）A(2)为：
0 0 0 0 1
0 0 1 0 1
0 0 0 1 0
1 0 1 0 1
0 1 1 0 0
所以，D中长度为2的路径的总数为9条。

（3）A2为：
0 0 0 0 1
0 0 1 0 1
0 0 0 1 0
1 0 1 0 1
0 1 1 0 0
A3为：
0 0 0 1 0
0 0 0 1 1
0 1 1 0 0
0 0 1 1 1
1 0 1 0 1
A4为：
0 1 1 0 0
0 1 1 1 0
1 0 1 0 1
0 1 1 1 1
0 0 1 1 1
A5为：
1 0 1 0 1
1 1 1 0 1
0 0 1 1 1
1 1 1 1 1
0 1 1 1 1
《离散数学B》期末考试试卷（B卷）
可达性矩阵P为：A1∨ A2∨ A3∨A4∨ A5
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
P T为：
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
P∧P T为：
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
所以各强分图的顶点集为：｛v1,v2,v3,v4,v5｝
九、（10分）某字符串如下：AABBCCCDDEEECCCCDDDDDAAABBBDDDEEEEECCDDEEEEAABBBEEEE
请为该字符串设计哈夫曼编码。

要求画出哈夫曼树（最优树）构建过程。

解：
（2分）根据题意，该字符串A、B、C、D、E出现的次数分别为7、8、9、12、16次，（6分）以此作为权值构建哈夫曼树如下：
（2分）由图d，可以设计各字符的编码如下:
A：000；B：001，C：01，D：10，E：11
十、（6分）史密斯夫妇邀请4对夫妇参加晚会，每个人来的时候，房间里有些人会与来
的人握手，当然，每个人都不会与自己的配偶握手，也不会跟同一个人握手两次。

人到齐后，史密斯先生问每个人和别人握了几次手，他们每个人的握手次数都不一样。

问：史密斯先生和别人握了几次手？（应用图论知识解,只要分析正确，均可得分。

）解：4次（应用图论知识解,只要分析正确，均可得分。

）。