离散数学期末试题及答案

326《离散数学》期末考试题(B )
一、填空题(每小题3分，共15分)
1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )，)(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ).
2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数.
3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ⌝∧∃∧→∀中量词x ∀的辖域为( ), 量词y ∃的辖域为( ).
4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元.
5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二．1. 若n B m A ==||,||，则=⨯||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个.
2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射.
3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(； (2))(q p p ∨→； (3))(q p p ∧→； (4)q q p p →∨∧⌝)(； (5)q q p →→)(.
4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ).
5. 设G 是(7, 15)简单平面图，则G 一定是( )图，且其每个面恰由( )条边围成，G 的面数为( ).
三．1.设}}{},,{{c b a A =，}}{},,{},{{c c b a B =，则)(
=⋃B A ，)(=⋂B A ，
)(
)(=A P .
2.集合},,{c b a A =，其上可定义( )个封闭的1元运算，( )个封闭的2元运算，( )个封闭的3元运算.
3.命题公式1)(↑∧q p 的对偶式为( ).
4.所有6的因数组成的集合为( ).
5.不同构的5阶根树有( )棵.
四、(10分)设B A f →:且C B g →:，若g f 是单射，证明f 是单射，并举例说明g 不一定是单射.
五、(15分)设},,,{d c b a A =,A 上的关系
)},(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{(c d b d a d c c b c a c c a b a a a R =,
1.画出R 的关系图R G .
2.判断R 所具有的性质.
3.求出R 的关系矩阵R M .
六、(10分)利用真值表求命题公式))(())((p q r r q p A →→↔→→=的主析取范式和主合取范式.
七、(10分) 边数30<m 的简单平面图G ，必存在节点v 使得4)deg(≤v . 八、(10分) 有六个数字，其中三个1，两个2，一个3，求能组成四位数的个数.
《离散数学》期末考试题(B)参考答案
一、1. {{a , b }, a , b , ?}， {{a , b }, a , b }，16.
2.92, 27.
3.)()(x Q x P →, )()(y P y Q ⌝∧.
4. 2, 4, 6, 12.
5.4≤，奇数. 二、1.2
2,2,m mn mn .
, g , g .
,2,4.
，不存在，不存在. 5.连通，3，10.
三、1. }}{},,{},,{},{{c c b b a a B A =⋃，}}{{c B A =⋂，{)(=A P ?, {{a , b }}, {{c }}, {{a , b }, {c }}}.
2.27933,3,
3. 3.0)(↓∨q p .
4.{-1，-2，-3，-6，1，2，3，6}. .
四、证 对于任意A y x ∈,，若)()(y f x f =，则))(())((y f g x f g =，即))(())((y g f x g f =. 由于g f 是单射，因此y x =，于是f 是单射.
例如取},,{},3,2,1(},,{γβα===C B b a A ，令)}2,(),1,{(b a f =，)},3(),,2(),,1{(ββα=g ，这时)},(),,{(βαb a g f = 是单射，而g 不是单射. 五、解 1. R 的关系图R G 如下：
2.(1)由于R b b ∉),(，所以R 不是自反的. (2)由于R a a ∈),(，所以R 不是反自反的.
(3)因为R b d ∈),(，而R d b ∉),(，因此R 不是对称的. (4)因R a c c a ∈),(),,(，于是R 不是反对称的.
(5)经计算知R c d a d c c b c a c c a b a a a R R ⊆=)},(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{( ，进而R 是传递的. 综上所述，所给R 是传递的.
3.R 的关系矩阵⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=011101110000
0111R M .
六、解 命题公式))(())((p q r r q p A →→↔→→=的真值表如下:
由表可知，))(())((p q r r q p A →→↔→→=的主析取范式为
A 的主合取范式为)()(r q p r q p A ⌝∨⌝∨∧∨⌝∨⌝=.
七、证 不妨设G 的阶数3≥n ，否则结论是显然的. 根据推论1知，63-≤n m . 若G 的任意节点v 的度数均有5)deg(≥v ，由握手定理知
n v m v
5)deg(2≥=∑.
于是m n 52≤
，进而65
2
363-⋅≤-≤m n m . 因此30≥m ，与已知矛盾. 所以必存在节点v 使得4)deg(≤v .
八、解 设满足要求的r 位数的个数有a r 种，r = 0，1，2，…，则排列计数生成函数
6543212
1
211219619431x x x x x x ++++++=,
因而38!412
19
4=⋅=a .。