高中数学人教B版必修4作业：3.3 三角函数的积化和差与和差化积 Word版含解析
数学人教B版4课后训练：3.3三角函数的积化和差与和差化积含解析
三角函数的积化和差与和差化积练习1．若cos （α＋β)cos （α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β＝( )A ．23-B ．13-C ．13D ．232．直角三角形的两个锐角分别为A 和B ,则sin A sin B （ )A ．有最大值12和最小值0 B ．有最大值12，但无最小值 C ．既无最大值，也无最小值D ．有最大值1，但无最小值3．化简2π4π6πcos cos cos 777++的结果为（ ) A ．πsin 7 B ．1πsin 27C ．12-D ．1πcos 27- 4．已知α－β＝π3,且cos α－cos β＝13，则cos(α＋β）等于（ )A ．13B ．23C ．79D ．895．如果sin(+)sin()m nαβαβ=-，那么tan tan βα等于（ ) A ．m n m n -+ B ．m n m n+- C ．n m m n -+ D ．m n n m +- 6．cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°的值为________．7．若cos 2α－cos 2β＝m ，则sin(α＋β）sin （α－β)＝________。
8．若x 为锐角三角形的内角，则函数y ＝πsin 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋sin x 的值域为________．9．求2cos10sin20cos20︒-︒︒的值． 10．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足A ＋C ＝2B ,11cos cos cos A C B +=-，求cos 2A C -的值．参考答案1．解析:cos(α＋β)cos(α－β)＝12（cos 2α＋cos 2β) ＝12[（2cos 2α－1)＋(1－2sin 2β)]＝cos 2α－sin 2β, ∵cos（α＋β)cos （α－β)＝13， ∴cos 2α－sin 2β＝13. 答案：C2．解析：因为A ＋B ＝π2，sin A sin B ＝12［cos(A －B )－cos(A ＋B ）]＝12cos （A －B )， 又π2-＜A －B ＜π2，则0＜cos （A －B ）≤1， 故0＜12cos （A －B )≤12,即sin A sin B 有最大值12,无最小值． 答案:B3．解析：2π4π6ππcos cos cos sin 7777πsin 7⎛⎫++ ⎪⎝⎭=原式 ＝13ππ5π3π5πsin sin sin sin sin πsin 277777πsin 7⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭ ＝1πsin 127π2sin 7-=-。
人B版数学必修4讲义：第3章 3.3 三角函数的积化和差与和差化积
3.3三角函数的积化和差与和差化积1.能根据公式Sα±β和Cα±β进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式.(难点)2.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的特点，提高推理、运算能力.(重点)[基础·初探]教材整理积化和差与和差化积公式阅读教材P149内容，完成下列问题.1.积化和差公式：cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]；sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)].2.和差化积公式：设α＋β＝x，α－β＝y，则α＝x＋y2，β＝x－y2.这样，上面的四个式子可以写成，sin x＋sin y＝2sin x＋y2cosx－y2；sin x－sin y＝2cos x＋y2sinx－y2；cos x＋cos y＝2cos x＋y2cosx－y2；cos x－cos y＝－2sin x＋y2sinx－y2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sin A cosB.()(2)sin(A＋B)－sin(A－B)＝2cos A sinB.()(3)cos(A＋B)＋cos(A－B)＝2cos A cosB.()(4)cos(A＋B)－cos(A－B)＝2cos A cosB.()【答案】(1)√(2)√(3)√(4)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________解惑：_________________________________________________________[小组合作型](2)求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°.【精彩点拨】在利用积化和差与和差化积公式求值时，尽量出现特殊角，同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系.。
人教版数学高一B版必修4优化练习3.3三角函数的积化和差与和差化积
3.3 三角函数的积化和差与和差化积5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.下列等式错误的是（ ）A.sin （A+B ）+sin （A-B ）=2sinAcosBB.sin （A+B ）-sin （A-B ）=2cosAsinBC.cos （A+B ）+cos （A-B ）=2cosAcosBD.cos （A+B ）-cos （A-B ）=2sinAcosB 提示：由两角和与差的正、余弦公式展开左边可知A 、B 、C 正确.答案:D2.sin20°cos70°+sin10°sin50°的值为( ) A.41 B.23 C.21 D.43 解析：sin20°cos70°+sin10°sin50° =21（sin90°-sin50°)21-（cos60°-cos40°) =2121-sin50°-41+21cos40°=41. 答案:A3.函数ｙ=sin （x+3π）-sin ｘ(x ∈［0，π］)的值域是（ ） A.［-2，2］ B.［21-，23］ C.［21，1］ D.［21，23］ 解析：由和差化积公式可得y=cos(x+6π)，再由x ∈［0，π］，可得6π≤x+6π≤32π，y ∈［21-,23］. 答案:B4.2sin55°cos35°=_________________；sin75°-sin15°=___________________.解析：2sin55°cos35°=sin （55°+35°)+sin （55°-35°)=1+sin20°,sin75°-sin15°=2cos 21575sin 21575︒-︒︒+︒ =2cos45°sin30°=22. 答案:1+sin20°22 10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.有下列关系式：①sin 5θ+sin 3θ=2sin 8θcos 2θ；②cos 3θ-cos 5θ=-2sin 4θsin θ；③sin 3θ-sin 5θ=21-cos 4θcos θ；④sin 5θ+cos 3θ=2sin 4θcos θ；⑤sinxsiny=21［cos （x-y ）-cos （x+y ）］. 其中正确等式的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 解析：①②③④均不正确，⑤正确.答案:B2.若cos （α+β）cos （α-β）=31，则cos 2α-sin 2β等于( ) A.32- B.31- C.31 D.32 解析：cos （α+β)cos （α-β)=21（cos2α+cos2β) =21［（2cos 2α-1)+（1-2sin 2β)］=cos 2α-sin 2β，∴cos 2α-sin 2β=31.答案:C3.化简：)4sin()4cos()4sin()4cos(x x x x ++++-+ππππ的结果为( ) A.tan 2xB.tan2xC.tanxD.-tanx 解析：原式=)cos(4sin 2)sin(4cos 2)4sin()4sin()4sin()4sin(x xx x x x --=++-+--ππππππ=-tanx.答案:D4.函数y=sin （x-6π）cosx 的最小值是_____________.解析：y=sin （x 6π-)cosx =21［sin （2x 6π-)+sin （6π-)］ =21［sin （2x 6π-)21-］ =21sin （2x 6π-)-41，当sin （2x 6π-)=-1时，y 取得最小值43-.答案: 43-5.化简：A A A AA A 7sin 5sin 23sin 5sin 3sin 2sin ++++.解：原式=AA A A A A A A A A A A 5sin 22cos 5sin 23sin 22cos 3sin 25sin 2)7sin 3(sin 3sin 2)5sin (sin ++=++++ AA A A A A 5sin 3sin )12(cos 5sin 2)12(cos 3sin 2=++==csc5Asin3A. 6.求sin 220°+cos 250°+sin20°cos50°的值.解：原式=2100cos 1240cos 1︒++︒-+sin20°cos50° =121-（cos40°-cos100°)+21［sin70°+sin （-30°)］ =121-·（-2)sin70°sin （-30°)+21sin70°-41 =121-sin70°+21sin70°-41=43. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.(2006山东济南统考，2)（sin75°-sin15°）（cos15°+cos75°）的值是（ ） A.21 B.23 C.22 D.1 提示：利用和差化积公式；还可利用诱导公式及二倍角余弦公式等.答案:B2.如果n m =-+)sin()sin(βαβα，那么αβtan tan 等于（ ） A.n m n m +- B.n m n m -+ C.n m m n +- D.mn n m -+ 解析：nm n m -+=--+-++==•=)]sin()[sin(21)]sin()[sin(21sin cos cos sin sin cos cos sin tan tan αββααββααβαβααββαβ. 答案:B3.直角三角形中两锐角为A 和B ，则sinAsinB （ ）A.有最大值21和最小值0B.有最大值21但无最小值 C.既无最大值也无最小值 D.有最大值1但无最小值 解析：因为A+B=2π，sinAsinB=21［cos （A-B)-cos （A+B)］=21cos （A-B). 又2π-＜A-B ＜2π，而0＜cos （A-B)≤1， 故sinAsinB 有最大值无最小值.答案:B4.化简cos 72π+cos 74π+cos 76π所得结果为（ ）A.sin7π B.21sin 7π C.21- D.7cos 21π- 解析：原式=7sin 7sin )7cos 74cos 72(cos πππππ6++ =217sin 7sin 217sin )75sin sin 73sin 75sin 7sin 73(sin 21-=-=-+-+-πππππππππ. 答案:C5.已知α-β=3π且cos α-cos β=31，则cos （α+β）等于（ ） A.31 B.32 C.97 D.98 解析：由cosα-cosβ=31，得 -2sin 2βα+·sin 2βα-=31， 即sin 2βα+=31-， ∴cos （α+β)=1-2sin 2 2βα+=1-2×（31-)2=97. 答案:C6.cos20°+cos60°+cos100°+cos140°的值为_________________.解析：cos20°+cos60°+cos100°+cos140°=cos20°+21+2cos120°cos20° =cos20°+21-cos20°=21. 答案: 21 7.若cos 2α-cos 2β=m ，则sin （α+β）·sin （α-β）=________________.解析：sin （α+β)·sin （α-β)=21-［cos2α-cos2β］ =21-［（2cos 2α-1)-（2cos 2β-1)］=cos 2β-cos 2α=-m. 答案:-m8.若x 为锐角三角形的内角，则函数y=sin(x+3π)+sinx 的值域为______________. 解析：y=2sin(x+6π)cos 6π=3sin(x+6π)， 由条件知6π＜x+6π＜32π，所以21＜sin(x+6π)≤1. 所以y ∈(23,3］. 答案:(23,3］ 9.已知cos α=cos β·cosA ，求证：tan 22A =tan 2βα+·tan 2βα-. 证法一：欲证tan 2 2A =tan 2βα+·tan 2βα-， 只需证2cos 2cos 2sin 2sin 2cos 2sin 22βαβαβαβα-+-+=A A αβαββαβαcos cos cos cos cos 1cos 1)cos (cos 21)cos (cos 212cos 12cos 1+-=+-⇔+--=+-⇔A A A A ⇔cosA=βαcos cos ⇔cosAcosβ=cosα.故原式成立.证法二：∵tan 2βα+·tan 2βα- =A A A A cos 1cos 1cos cos cos )cos cos (cos )cos (cos 21)cos (cos 212cos 2cos 2sin 2sin +-=+--=+--=-•+-•+βββββαβαβαβαβαβα 2tan 2cos 22sin 2222A A A ==，∴原式成立. 10.化简:cos 2α+cos 2（α+β）-2cos α cos β cos （α+β）-sin 2β.解：原式=cos 2α+cos （α+β)［cos （α+β)-2cosαcosβ］-sin 2β=cos 2α+cos （α+β)（-cosαcosβ-sinαsinβ)-sin 2β =22cos 1α+-cos （α+β)cos （α-β)- 22cos 1β- =21（cos2α+cos2β) 21-（cos2α+cos2β)=0.。
高中数学3.3 三角函数的积化和差与和差化积4 教案 新人教B版必修4
三角函数的积化和差与和差化积
（一）教学目标
1．知识目标：
1.梳理公式体系，通过本章知识结构图，进一步加强对各公式之间内在联系的理解。
2.运用这些公式进行简单的三角恒等变换,达到熟练掌握基础知识的目的。
2．能力目标：
1.通过总结知识结构图，发展学生推理能力和运算能力，进一步培养学生观察、类
比、推广、特殊化和化归思想方法。
2.通过解决问题，引导学生明确三角变换是三角函数式的结构形式变换；角的变换；
不同三角函数之间的变换。
3.通过恒等变换公式的简单应用，提升解决问题的基本能力。
3．情感目标：通过知识结构图和公式应用使学生了解三角恒等变换及三角函数与数学变换的内在联系，培养学生严谨，规范的数学思维品质，发展正向、逆向思维和发散思
维能力。
（二）教学重点、难点
重点：梳理三角恒等变换公式体系，渗透观察、类比、推广、特殊化、化归等思想方法；熟练恒等变换公式，解决简单问题的应用。
难点：公式推导，解决问题中观察、类比、推广、特殊化、化归等思想方法的渗透。
（三）教学方法
本节课是在上一节课（三角函数的积化和差，和差化积）的一项作业（做三角恒等变换的知识结构图的）基础上，梳理公式体系；总结在推导过程中使用的数学思想方法。
（四）教学过程
2
++
sin30)
-
2⎪⎭化异角为同角式、角和
形式
5
13
β⎫=⎪⎭)
＊同时还要强调公式的应用 通过完成此例题，严谨的解题思维，规范解题格。
高中数学人教B版必修4教学案第三章 3.3 三角函数的积化和差与和差化积 Word版含答案
预习课本～，思考并完成以下问题()如何利用两角差(和)的正、余弦公式导出积化和差与和差化积公式？()两组公式有何特点？．三角函数的积化和差αβ＝[(α＋β)＋(α－β)]，αβ＝－[(α＋β)－(α－β)]，αβ＝[(α＋β)＋(α－β)]，αβ＝[(α＋β)－(α－β)]．[点睛]积化和差公式的结构特点()同名函数积化为余弦函数的和差；异名函数积化为正弦函数的和差．()角的顺序，“α＋β”在前，“α－β”在后．．三角函数的和差化积＋＝，－＝，＋＝，－＝－.[点睛]和差化积公式的特点()同名函数的和或差才可化积．()余弦函数的和或差化为同名函数之积．()正弦函数的和或差化为异名函数之积．()等式左边为单角α和β，等式右边为与的形式．()只有余弦函数的差化成积式后的符号为负，其余均为正．．下列等式错误的是( )．(＋)＋(－)＝．(＋)－(－)＝．(＋)＋(－)＝．(＋)－(－)＝答案：． ° °等于()答案：． ° °＝.答案：化简求值[典例]化简：(°－θ)·θ·(°＋θ)．[解]原式＝θ[(°－θ)·(°＋θ)]＝－θ[ °－(－θ)]＝－θ·θ))＝θ＋θ·θ＝θ＋( θ－θ)＝θ.用和差化积公式化简三角函数式时，若三角函数式中存在三个或三个以上的三角函数可供化积时，应选择两角和或差的一半是特殊角或与其他三角函数有公因式的两个三角函数进行和差化积．[活学活用]求°＋°－ ° °的值．解：原式＝°)＋°)－° °＝＋( °＋°)－° °＝＋° °－( °＋°)＝＋°－°－＝.三角恒等式证明[典例]在△中，求证：＋＋＝ .[证明]左边＝＋＋＝＋。
数学人教B版必修4课后训练：3.3三角函数的积化和差与
三角函数的积化和差与和差化积练习1．若cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β＝( ) A ．23- B ．13- C ．13 D ．23 2．直角三角形的两个锐角分别为A 和B ，则sin A sin B ( )A ．有最大值12和最小值0 B ．有最大值12，但无最小值 C ．既无最大值，也无最小值D ．有最大值1，但无最小值3．化简2π4π6πcoscos cos 777++的结果为( ) A ．πsin 7B ．1πsin 27C ．12- D ．1πcos 27- 4．已知α－β＝π3，且cos α－cos β＝13，则cos(α＋β)等于( ) A ．13 B ．23 C ．79D ．89 5．如果sin(+)sin()m nαβαβ=-，那么tan tan βα等于( ) A ．m n m n -+ B ．m n m n+- C ．n m m n -+ D ．m n n m +- 6．cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°的值为________．7．若cos 2α－cos 2β＝m ，则sin(α＋β)sin(α－β)＝________.8．若x 为锐角三角形的内角，则函数y ＝πsin 3x ⎛⎫+⎪⎝⎭＋sin x 的值域为________． 9．求2cos10sin20cos20︒-︒︒的值．10．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足A ＋C ＝2B ，11cos cos cos A C B +=-，求cos 2A C -的值．参考答案1．解析：cos(α＋β)cos(α－β)＝12 (cos 2α＋cos 2β) ＝12[(2cos 2α－1)＋(1－2sin 2β)]＝cos 2α－sin 2β， ∵cos(α＋β)cos(α－β)＝13， ∴cos 2α－sin 2β＝13. 答案：C2．解析：因为A ＋B ＝π2，sin A sin B ＝12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12cos(A －B )， 又π2-＜A －B ＜π2，则0＜cos(A －B )≤1， 故0＜12cos(A －B )≤12，即sin A sin B 有最大值12，无最小值． 答案：B3．解析：2π4π6ππcos cos cos sin 7777πsin 7⎛⎫++ ⎪⎝⎭=原式 ＝13ππ5π3π5πsin sin sin sin sin πsin 277777πsin 7⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭ ＝1πsin 127π2sin 7-=-. 答案：C4．解析：由cos α－cos β＝13得 12sin sin 223αβαβ+--=，又α－β＝π3， ∴+1sin 23αβ=-， ∴cos(α＋β)＝1－2 2+sin2αβ＝1－2×213⎛⎫- ⎪⎝⎭＝79. 答案：C5．解析：tan sin cos sin cos =tan cos sin cos sin ββαβααβαβα⋅=＝1[sin(+)sin()]21[sin(+)sin()]2m nm n αββααββα+-+=---.答案：B6．解析：cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°＝cos 20°＋12＋2cos 120°cos 20°＝cos 20°＋12－cos 20°＝12.答案：1 27．解析：sin(α＋β)sin(α－β)＝12-(cos 2α－cos 2β)＝12-[(2cos2α－1)－(2cos2β－1)]＝cos2β－cos2α＝－m.答案：－m8．解析：y＝πsin3x⎛⎫+⎪⎝⎭＋sin x＝2ππsin cos66x⎛⎫+⎪⎝⎭π6x⎛⎫+⎪⎝⎭，由已知得ππ2π663x<+<，所以12＜πsin6x⎛⎫+⎪⎝⎭≤1.所以y∈⎝.答案：⎝9．解：2cos10sin202cos10(1sin10)cos20cos20︒-︒︒-︒=︒︒＝2cos10(sin90sin10)4cos10cos50sin40cos20cos20︒︒-︒︒︒︒=︒︒＝8cos10cos50sin20cos20cos20︒︒︒︒︒＝8cos 10°sin 20°sin 40°＝4(sin 30°＋sin 10°)sin 40°＝2sin 40°＋4sin 40°sin 10°10．解：由题设条件知B＝60°，A＋C＝120°，∴==-，∴11cos cosA C+=-将上式化简为cos A＋cos C＝-cos A cos C，则2cos cos22A C A C+-＝A＋C)＋cos(A－C)]．将cos2A C +＝cos 60°＝12，cos(A ＋C )＝cos 120°＝12-代入上式，得cos 2A C -＝2A －C )． 将cos(A －C )＝22cos 2A C -⎛⎫ ⎪⎝⎭－1代入上式并整理，得22cos 022A C A C --⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，即2cos 3022A C A C --⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∵2A C -＋3≠0，∴2cos 02A C -=.∴cos 22A C -=.。
数学人教B版必修4：3.3 三角函数的积化和差与和差化积 作业 Word版含解析
双基达标(限时20分钟)1．化简(cos47°30′－sin47°30′)(sin 23°cos 8°－sin 67°sin 8°)＝()．A.14B．－14C．1 D．－1解析原式＝(cos27°30′＋sin27°30′)(cos27°30′－sin27°30′)(sin 23°cos 8°－cos 23°sin 8°)＝cos 15°sin 15°＝12sin 30°＝14，故选A.答案A2．若cos 2α＝23，则sin4α＋cos4α＝()．A．1 B.7 9C.1118 D.1318解析sin4α＋cos4α＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1－12s in22α＝1－12(1－cos22α)＝1－12⎝⎛⎭⎪⎫1－29＝1118，故选C.答案C3．如果|cos θ|＝15，52π<θ<3π，则sinθ2＝()．A．－105 B.105C．－155 D.155解析∵52π<θ<3π，∴θ是第二象限角．∵|cos θ|＝15，∴cos θ＝－15.∵54π<θ2<3π2，∴θ2是第三象限角．由cos θ＝1－2sin2θ2，得－15＝1－2sin2θ2，∴sin θ2＝－155，故选C.答案C4．sin π4＋αcosπ4＋β化成和差为()．A.12sin(α＋β)＋12cos(α－β)B.12cos(α＋β)＋12sin(α－β)C.12sin(α＋β)＋12sin(α－β)D.12cos(α＋β)＋12cos(α－β)解析原式＝12sinπ4＋α＋π4＋β＋sinπ4＋α－π4－β＝12sinπ2＋α＋β＋sin(α－β)＝12[cos(α＋β)＋sin(α－β)]．答案B5．已知函数f(x)＝(sin x－cos x)sin x，x∈R，则f(x)的最小正周期为________．解析f(x)＝sin2x－sin x cos x＝1－cos 2x2－12sin 2x＝－22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x－π4＋12.故函数的最小正周期T＝2π2＝π.答案π6．已知cos θ＝－23，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，求2sin 2θ－cos θsin θ的值．解∵cos θ＝－23，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin θ＝1－cos2θ＝7 3.法一∴2sin 2θ－cos θsin θ＝22sin θcos θ－cos θsin θ＝22×73×⎝⎛⎭⎪⎫－23－－2373＝－914＋214＝－714＝－142.法二∴2sin 2θ－cos θsin θ＝22sin θcos θ－2cos2θ2sin θcos θ＝2(1－cos2θ)2sin θcos θ＝2×sin2θ2sin θcos θ＝tan θ＝－142.综合提高(限时25分钟)7．在△ABC中，若sin C＝2cos A sin B，则此三角形必是()．A．等腰三角形B．正三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析因为sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，所以已知方程可化为sin A cos B－cos A sin B＝0，即sin(A－B)＝0.又－π<A－B<π，∴A＝B，故选A.答案A8．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2等于()．A．－12 B.12C．2 D．－2解析∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－35.∴1＋tanα21－tanα2＝1＋sinα2cosα21－sinα2cosα2＝cosα2＋sinα2cosα2－sinα2＝cosα2＋sinα2cosα2－sinα2·cosα2＋sinα2cosα2＋sinα2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.答案 A 9．化简sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x1＋cos x＝________.解析 原式＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝sin 2x 1＋cos 2x ·cos x1＋cos x＝2sin x cos x 2cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝sin x 1＋cos x ＝tan x2.答案 tan x 210．如果a ＝(cos α＋sin α，2 008)，b ＝(cos α－sin α，1)，且a ∥b ，那么1cos 2α＋tan 2α＋1的值是________．解析 由a ∥b ，得cos α＋sin α＝2 008(cos α－sin α)，∴cos α＋sin αcos α－sin α＝2 008.1cos 2α＋tan 2α＝1cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1＋sin 2αcos 2α－sin 2α＝(sin α＋cos α)2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝cos α＋sin αcos α－sin α＝2 008. ∴1cos 2α＋tan 2α＋1＝2 008＋1＝2 009. 答案 2 00911．已知函数f (x )＝ 3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合． 解 (1)∵f (x )＝3sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－12cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，∴T ＝2π2＝π.(2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1，有2x －π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )， ∴所求x的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z . 12．(创新拓展)已知向量m ＝(cos θ，sin θ)和n ＝(2－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m ＋n |＝825，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π8的值．解 m ＋n ＝(cos θ－sin θ＋2，cos θ＋sin θ)， |m ＋n |＝(cos θ－sin θ＋2)2＋(cos θ＋sin θ)2 ＝4＋22(cos θ－sin θ)＝ 4＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝21＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.由已知|m ＋n |＝825，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝725.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π8－1，所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π8＝1625.∵π<θ<2π，∴5π8<θ2＋π8<9π8. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π8<0.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π8＝－45.。
人教新课标版数学高一-人教B版必修4作业设计3.3 三角函数的积化和差与和差化积
§3．3 三角函数的积化和差与和差化积课时目标 1．能从两角和与差的正、余弦公式推导积化和差与和差化积公式．2．了解积化和差与和差化积的简单运用．积化和差公式 sin αcos β＝ cos αsin β＝ cos αcos β＝ sin αsin β＝ 和差化积公式 sin θ＋sin φ＝ sin θ－sin φ＝ cos θ＋cos φ＝ cos θ－cos φ＝一、选择题 1．cos 215°＋cos 275°＋cos 15°cos 75°的值是( )A ．32B ．62C ．34D ．542．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的最大值是( ) A ．2 B ．1 C ．12D ． 33．cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°的值为( )A ．－12B ．12C ．32D ．224．化简1＋sin 4α－cos 4α1＋sin 4α＋cos 4α的结果是( )A ．cot 2αB ．tan 2αC ．cot αD ．tan α5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12cos ⎝⎛⎭⎫x －π12是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的非奇非偶函数D ．最小正周期为π的非奇非偶函数 6．cos 2α－cos αcos(60°＋α)＋sin 2(30°－α)的值为( )A ．12B ．32C ．34D ．14二、填空题7．sin 35°－sin 25°cos 35°－cos 25°的值是________． 8．给出下列关系式：①sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 8θcos 2θ； ②cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ；③sin 3θ－sin 5θ＝－12cos 4θcos θ；④sin 5θ＋cos 3θ＝2sin 4θcos θ；⑤sin x sin y ＝12．其中正确的序号是________． 9．sin 20°cos 70＋sin 10°sin 50°的值是________． 10．已知cos 2 α－cos 2 β＝m ，那么sin(α＋β)·sin(α－β)＝________．三、解答题11．求证：1＋cos x ＋cos x 2＝4cos x2cos ⎝⎛⎭⎫x 4＋π6cos ⎝⎛⎭⎫x 4－π6．12．求值：cos 40°cos 80°＋cos 80°cos 160°＋cos 160°cos 40°．能力提升13．求证：sin A ＋sin B －sin C＝4sin A 2sin B 2cos C2．14．已知sin α－sin β＝－13，cos α－cos β＝12，求sin(α＋β)的值．1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记公式而忽视对思想方法的体会．只要对上述思想方法有所感悟，公式不必记很多，记住cos(α－β)即可．2．和差化积、积化和差公式不要求记忆，但要注意公式推导中应用的数学思想方法，同时注意这些公式与两角和与差公式的联系．3．除了课本上所列的积化和差公式、和差化积公式外，公式1－cos α＝2sin 2α2，1＋cos α＝2cos 2α2，a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)也应视作和差化积公式；同样sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2也应视作积化和差公式．§3．3 三角函数的积化和差与和差化积答案知识梳理 12 12 12 －122sin θ＋φ2cos θ－φ2 2cos θ＋φ2sin θ－φ2 2cos θ＋φ2cos θ－φ2－2sin θ＋φ2sin θ－φ2作业设计 1．D2．B 3．B 4．B 5．D6．C cos(60°＋2α)＋cos 60°cos(60°＋2α)＋cos(60°－2α) 7．－ 3解析 原式＝2sin 5°cos 30°－2sin 30°sin 5°＝－cos 30°sin 30°＝－2cos 30°＝－2×32＝－3． 8．⑤解析 ①②③④都错，只有⑤是正确的．9．14解析 原式＝12(sin 90°－sin 50°)＋12(cos 40°－cos 60°)＝12－12sin 50°＋12cos 40°－14＝14． 10．－m解析 cos 2 α－cos 2 β＝(cos α＋cos β)(cos α－cos β) ＝2cosα＋β2cos α－β2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2sin α＋β2sin α－β2 ＝－2sin α＋β2cos α＋β2·2sin α－β2cos α－β2＝－sin(α＋β)sin(α－β)＝m∴sin(α＋β)·sin(α－β)＝－m ．11．证明 左边＝2cos 2x 2＋cos x2＝2cos x2⎝⎛⎭⎫cos x 2＋12 ＝2cos x2⎝⎛⎭⎫cos x 2＋cos π3 ＝2cos x2·2cos ⎝⎛⎭⎫x 4＋π6cos ⎝⎛⎭⎫x 4－π6 ＝4cos x2cos ⎝⎛⎭⎫x 4＋π6cos ⎝⎛⎭⎫x 4－π6＝右边． 12．解 原式＝12(cos 120°＋cos 40°)＋12(cos 240°＋cos 80°)＋12(cos 200°＋cos 120°)＝12(cos 40°＋cos 80°＋cos 200°)－34 ＝12(2cos 60°cos 20°－cos 20°)－34 ＝12(cos 20°－cos 20°)－34＝－34． 13．证明 左边＝sin(B ＋C )＋2sin B －C 2cos B ＋C 2＝2sinB ＋C 2cos B ＋C 2＋2sin B －C 2cos B ＋C2＝2cos B ＋C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B ＋C 2＋sin B －C 2 ＝4sin A 2sin B 2cos C2＝右边．14．解 sin α－sin β＝2sin α－β2cos α＋β2＝－13， ①cos α－cos β＝－2sin α－β2sin α＋β2＝12． ②∴由②①得：tan α＋β2＝32∴sin(α＋β)＝2sin α＋β2cos α＋β2＝2sin α＋β2cosα＋β2sin 2α＋β2＋cos2α＋β2＝2tanα＋β21＋tan 2α＋β2＝2×321＋94＝1213．。
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一、选择题
1．sin 37.5°cos 7.5°＝()
A.
2
2 B.
2
4
C.2＋1
4 D.
2＋2
4
【解析】原式＝1
2[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]
＝1
2(sin 45°＋sin 30°)＝
1
2×(
2
2＋
1
2)＝
2＋1
4.
【答案】C
2．化简：sin 15°＋cos 65°
cos 15°＋sin 65°＝()
A．sin 10° B．tan 10°C．sin 20° D．tan 20°
【解析】原式＝sin 15°＋sin 25°
cos 15°＋cos 25°＝
2sin 20°cos 5°
2cos 20°cos 5°＝tan 20°.
【答案】D
3．函数f(x)＝sin(2x－π
3)cos(2x＋
π
3)的周期是()
A.π
2B．πC．2π D．4π
【解析】∵f(x)＝1
2[sin 4x＋sin(－
2π
3)]
＝1
2sin 4x－
3
4，
∴T＝2π
4＝
π
2.
【答案】A
4．(2019·临沂高一检测)求值：sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80 °＝()
A.12
B.22
C.32 D ．1
【解析】 sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80°
＝2sin 30°cos(－10°)＋sin 60°－sin 80°
＝2×12×sin 80°＋32－sin 80°＝32.
【答案】 C
5．已知α－β＝2π3，且cos α＋cos β＝13，则cos(α＋β)等于( ) A.29
B ．－29 C.79 D ．－79
【解析】 ∵cos α＋cos β＝13，∴2cos α＋β2cos α－β2＝13，
∵α－β＝23π，
∴cos α－β2＝12.
∴cos α＋β2＝1
3
则cos(α＋β)＝2cos 2(α＋β2)－1＝－79.
【答案】 D
二、填空题
6．函数y ＝cos(π3＋2x )cos(π3
－2x )的最大值是________． 【解析】 y ＝cos(π3＋2x )cos(π3－2x )＝12 c cos[(π3＋2x )＋(π3－2x )]＋cos[(π3＋2x )
－(π3－2x )]}＝12(cos 2π3＋cos 4x )＝12cos 4x －14.
∴y max ＝14.
【答案】 14
7．直角三角形中两锐角为A 和B ，则sin A sin B 的最大值为________．
【解析】 ∵A ＋B ＝π2，
sin A sin B ＝12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]
＝12cos(A －B )，
又－π2＜A －B ＜π2，∴0＜cos(A －B )≤1，
∴sin A sin B 有最大值12.
【答案】 12
8.1sin 40°＋cos 80°sin 80°＝________.
【解析】 原式＝2cos 40°＋cos 80°sin 80°
＝cos 40°＋2cos 60°cos 20°sin 80°
＝cos 40°＋cos 20°sin 80°
＝2cos 30°cos 10°sin 80°
＝2cos 30°＝ 3. 【答案】
3 三、解答题
9．已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，y ＝tan A 2＋
2cos A 2
sin A 2＋cos B －C 2
，若任意交换两个角的位置，y 的值是否变化？并证明你的
结论．
【解】 ∵A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，
∴A ＋B ＋C ＝π，
A 2＝π
2－B＋C 2.
∴y＝tan A
2＋
2sin
B＋C
2
cos
B＋C
2＋cos
B－C
2
＝tan A
2＋
2(sin
B
2cos
C
2＋cos
B
2sin
C
2)
2cos
B
2cos
C
2
＝tan A
2＋tan
B
2＋tan
C
2.
因此，任意交换两个角的位置，y的值不变．
10．求函数f(x)＝sin x[sin x－sin(x＋π
3)]的最小正周期与最值．
【解】f(x)＝sin x[sin x－sin(x＋π3)]
＝sin x·2cos(x＋π
6)sin(－
π
6)
＝－sin x cos(x＋π6)
＝－1
2[sin(2x＋
π
6)＋sin(－
π
6)]
＝－1
2sin(2x＋
π
6)＋
1
4.
∴最小正周期为T＝2π
2＝π.
∵sin(2x＋π
6)∈[－1,1]，
∴f(x)max＝3
4，f(x)min＝－
1
4.
11．已知3tan(α－π
12)＝tan(α＋
π
12)，求证：sin 2α＝1.
【证明】∵3tan(α－π
12)＝tan(α＋
π
12)，
∴3sin(α－
π
12)
cos(α－
π
12)
＝
sin(α＋
π
12)
cos(α＋
π
12)
.
∴3sin(α－π12)cos(α＋π12)＝sin(α＋π12)cos(α－π12)．
∴32(sin 2α－sin π6)＝12(sin 2α＋sin π6)．
∴3sin 2α－32＝sin 2α＋12，∴sin 2α＝1.。