[精品]2019高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.2复数的四则运算自主练习苏教版选修1_72
高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.2复数的四则运算(二)222数学
复数范围内解方程的一般思路：一是因式分解，二是对次数较低 的方程依据题意设出方程的根，代入方程，利用复数相等的充要 条件求解．对于一元二次方程，也可以利用求根公式求解，要注 意在复数范围内负数是能开方的，此外，根与系数的关系也是成 立的．注意求方程中参数的取值时，不能利用判别式求解．12/1Biblioteka /202112/13/2021
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(2)设 S＝i＋2i2＋3i3＋…＋100i100，① 所以 iS＝i2＋2i3＋…＋99i100＋100i101，② ①－②得 (1－i)S＝i＋i2＋i3＋…＋i100－100i101 ＝i(11－－i1i00)－100i101＝0－100i＝－100i. 所以 S＝－1－100i i＝－(1－100i)i((11＋＋ii))＝－100(2－1＋i)＝50－50i. 所以 i＋2i2＋3i3＋…＋100i100＝50－50i.
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下列命题中错误的序号是________． ①若 z∈C，则 z2≥0； ②若 z1，z2∈C，且 z1－z2＞0，则 z1＞z2. 【解析】 ①错，反例设 z＝i 则 z2＝i2＝－1＜0. ②错，反例设 z1＝2＋i，z2＝1＋i，满足 z1－z2＝1＞0，但 z1、z2 不能比较大小． 【答案】 ①②
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法三：因为 x2－2x＋3＝(x－1)2＋2， 又因为 x2－2x＋3＝0，所以(x－1)2＋2＝0. 所以(x－1)2＝－2. 所以 x－1＝ 2i 或 x－1＝－ 2i， 即 x＝1＋ 2i 或 x＝1－ 2i. 所以方程 x2－2x＋3＝0 的两根为 1＋ 2i 和 1－ 2i.
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高中数学《第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3....》163PPT课件
6 9i 8i 12
6 17i
练习：计算（1）1 2i3 i （2）(1 i)2
解：（1）原式 3 i 6i 2i2（2）(1 i)2
3 i 6i 2
5 5i
1 2i i2 1 2i 1
2i
探求 新知
2．复数乘法的运算律
对任意复数z1、z2、z3∈C ，有
(a bi)(c di) ac adi bci bdi2
ac adi bci bd （ac bd) (bc ad)i
说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数； (2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在
运算过程中把 i 2 换成－1，然后实、虚部分别合并.
例题 讲解
例1：计算 (3+4i)(-2-3i)
9 16 (1 2i)
25(1 2i)
25 50i
复数的乘法与多项式的乘法是类似的
探求 新知
计算下列各式，你发现什么规律了？
(1) (3 2i)(3 2i)=32-(2i)2=9+4=13 (2) (2 3i)(2 3i) =（-2）2-(3i)2=4+9=13 (3) (2 i)(2 i) =(-2)2-(i)2=4+1=5
例2.计算(1+2i) ÷(3-4i)
然后分母实数化
解: (1 2i) (3 4i)
分子分母同时乘 以分母的共轭复
先写成分 式形式
1 2i (1 2i)(3 4i)
数
3 4i (3 4i)(3 4i)
3
6i 4i 32 42
8i 2
5 10i 25
1 2i 55
结果化简成 代数形式
(4)(12 5i)(12 5i) =122-(5i)2=144+25=169
高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数的四则运算(第一课时)复数的加减与乘法运算讲义
复数的四则运算第一课时复数的加减与乘法运算复数的加减法已知复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)．问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？提示：满足．1．复数的加法、减法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i.即两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．2．复数加法的运算律(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).复数的乘法设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，(a，b，c，d∈R)问题1：如何规定两复数相乘？提示：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．即z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝ac＋bc i＋ad i＋bd i2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.问题2：试验复数乘法的交换律．提示：z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i，z2z1＝(c＋d i)(a＋b i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.故z 1z 2＝z 2z 1.1．复数的乘法设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么它们的积(a ＋b i)(c ＋d i)＝ac ＋bc i ＋ad i ＋bd i 2＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i(a ，b ，c ，d ∈R )．2．复数乘法的运算律 对于任意z 1、z 2、z 3∈C ，有交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1结合律 (z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)乘法对加法的分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3共轭复数问题：复数3＋4i 与3－4i ，a ＋b i 与a －b i(a ，b ∈R )有什么特点？ 提示：两复数的实部相等，虚部互为相反数．1．把实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数． 2．复数z ＝a ＋b i 的共轭复数记作z －，即z －＝a －b i.3．当复数z ＝a ＋b i 的虚部b ＝0时，z ＝z －，也就是说，实数的共轭复数仍是它本身．1．复数加、减法的规定：实部与实部相加(减)、虚部与虚部相加(减)．两个复数的和或差仍是一个复数．2．复数的乘法与多项式的乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1，再把实部，虚部分别合并、两个复数的积仍是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数．[对应学生用书P38]复数的加减运算[例1] 计算：(1)(3＋5i)＋(3－4i)；(2)(－3＋2i)－(4－5i)；(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．[思路点拨]解答本题可根据复数加减运算的法则进行．[精解详析](1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋[－5＋(－2)－3]i＝－10i.[一点通]复数加减运算法则的记忆方法：(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．1．(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝________.解析：(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i＝－4－10i.答案：－4－10i2．若(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋y i)＝2，则x＋y＝________. 解析：(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋y i)＝(5－9＋x)＋(－7＋8＋y)i＝(x－4)＋(y＋1)i.∴(x－4)＋(y＋1)i＝2，即x－4＝2，y＋1＝0.∴x＝6，y＝－1.∴x＋y＝5.答案：53．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]．解：(1)原式＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i；(2)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.复数的乘法[例2] 计算：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.[思路点拨]应用复数的乘法法则及乘法运算律来解．[精解详析](1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(－2＋11i＋5)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.[一点通](1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．(2)平方差公式，完全平方公式等在复数X围内仍然成立．一些常见的结论要熟悉：i2＝－1，(1±i)2＝±2i.4．(某某高考改编)已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝________.解析：(－1＋i)(2－i)＝－2＋i＋2i－i2＝－1＋3i.答案：－1＋3i5．若(1＋i)(2＋i)＝a＋b i，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a＋b＝________.解析：∵(1＋i)(2＋i)＝1＋3i＝a＋b i，∴a＝1，b＝3，故a＋b＝4.答案：46．计算下列各题．(1)(1＋i)2；(2)(－1＋3i)(3－4i)；(3)(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)．解：(1)(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i.(2)(－1＋3i)(3－4i)＝－3＋4i ＋9i －12i 2＝9＋13i. (3)法一：(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＋12i －32i 2(1＋i)＝⎝⎛⎭⎪⎫3－12＋3＋12i (1＋i)＝3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3＋12i 2＝－1＋3i.法二：原式＝(1－i)(1＋i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝(1－i 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝－1＋3i.共轭复数的概念[例3]已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z .[思路点拨]设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )―→z ＝a －b i(a ，b ∈R )―→代入等式利用复数相等的条件求解.[精解详析]设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z ＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，所以z ＝－1或z ＝－1＋3i. [一点通](1)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z ，利用此性质可以证明一个复数是实数． (2)若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．7．已知复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z ·z －z －1＝________. 解析：∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ， ∴z ·z ＝(1＋i)(1－i)＝2，∴z ·z －z －1＝2－(1＋i)－1＝2－1－i －1＝－i. 答案：－i8．复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________. 解析：设z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i. ∴(1＋2i)(a －b i)＝4＋3i ， ∴a －b i ＋2a i ＋2b ＝4＋3i ， 即(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解之得a ＝2，b ＝1.∴z ＝2＋i. 答案：2＋i9．已知复数z ＝1＋i ，某某数a ，b 使az ＋2b z ＝(a ＋2z )2成立． 解：∵z ＝1＋i ，∴az ＋2b z ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ， (a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i. ∵a ，b 都是实数， ∴由az ＋2b z＝(a ＋2z )2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4(a ＋2).两式相加，整理得a 2＋6a ＋8＝0.解得a 1＝－2，a 2＝－4，对应得b 1＝－1，b 2＝2.∴所某某数为a＝－2，b＝－1 或a＝－4，b＝2.1．复数的加减运算把复数的代数形式z＝a＋b i看作关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法，只需要“合并同类项”就行，不需要记加、减法法则．2．复数的乘法运算复数的乘法可以把虚数单位i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．[对应学生用书P40]一、填空题1．计算(－i＋3)－(－2＋5i)的结果为________．解析：(－i＋3)－(－2＋5i)＝－i＋3＋2－5i＝－6i＋5.答案：5－6i2．若复数z＝1－2i，(i为虚数单位)则z·z＋z的实部是________．解析：∵z＝1－2i，∴z＝1＋2i，∴z·z＝(1－2i)(1＋2i)＝5，∴z·z＋z＝5＋1－2i＝6－2i.答案：63．已知3＋i－(4＋3i)＝z－(6＋7i)，则z＝________.解析：∵3＋i－(4＋3i)＝z－(6＋7i)∴z＝3＋i－(4＋3i)＋(6＋7i)＝(3－4＋6)＋(1－3＋7)i＝5＋5i.答案：5＋5i4．(高考)若(x ＋i)i ＝－1＋2i(x ∈R )，则x ＝________. 解析：(x ＋i)i ＝－1＋x i ＝－1＋2i ，由复数相等的定义知x ＝2. 答案：25．已知z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t ＝________. 解析：∵z 2＝t ＋i ， ∴z 2＝t －i ，∴z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i) ＝3t －3i ＋4t i －4i 2＝(3t ＋4)＋(4t －3)i ， 又∵z 1·z 2是实数， ∴4t －3＝0，即t ＝34.答案：34二、解答题6．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2i ； (2)(3＋2i)＋(3－2)i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2i ＝52－52i ；(3)(3＋2i)＋(3－2)i ＝3＋(2＋3－2)i ＝3＋3i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i) ＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i ＝8＋2i. 7．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i (4i －6)＋2＋i ； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i)．解：⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i (4i －6)＋2＋i ＝2i ＋6i 2－3－9i ＋2＋i ＝－7－6i.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎪⎫34－14i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎪⎫－32－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.8．(某某高考改编)z 是z 的共轭复数．若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，求z .解：法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ， ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1. 又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2. ∴b ＝－1. 故z ＝1－i.法二：∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i ＝－2i又z ＋z ＝2.∴z －z ＋(z ＋z )＝－2i ＋2， ∴2z ＝－2i ＋2， ∴z ＝1－i.。
高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.2复数的四则运算212数学
1.复数加法(jiāfǎ)与减法的运算法则
(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则z1＋z2＝
(a＋c)＋(b，＋zd1)－i z2＝
(a－. c)＋(b－d)i
(2)对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝ ，z2(＋z1z＋1 z2)＋z3＝
z1＋(z.2＋z3)
第八页，共四十页。
第3章——
数系的扩充 与复数的引入 (kuòchōng)
第一页，共四十页。
3.2 复数(fùshù)的四则运算
[学习目标] 1.理解(lǐjiě)复数代数形式的四则运算法则.
2.能运用运算法则进行复数的四则运算.
第二页，共四十页。
1 预习导学
点落实
2 课堂讲义(jiǎngyì)
个击破
3 当堂检测(jiǎn cè)
实部与虚部的和. 解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z· z＝a2＋b2，
∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i， 即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i，
第三十页，共四十页。
a2＋b2－2b＝8，
a＝3，
∴
解得
2a＝6，
b＝1，
∴a＋b＝4，
∴复数(fùshù)z的实部与虚部的和是4.
第三十一页，共四十页。
第二十七页，共四十页。
由①②联立，解得ab＝ ＝5453，，
或ab＝ ＝－ －4535， .
所以 z ＝45－35i，或 z ＝－45＋35i.
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规律方法 本题使用了复数问题(wèntí)实数化思想，运用待定系
数法，化解了问题(wèntí)的难点.
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跟踪(gēnzōng)演练4 已知复数z满足：zz· ＋2iz＝8＋6i，求复数z的
高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.2复数代数形式的乘除运算
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第二十三页，共三十页。
由于2－z i是实数，则 15（x－4）＝0 ②， 解得 x＝4，(5 分) 所以 z＝4－2i，(6 分) 所以(z＋ai)2＝(4－2i＋ai)2 ＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i.(8 分) 由(z＋ai)2 在复平面内对应的点在第一象限可得 12＋4a－a2>0，且 8(a－2)>0，③(9 分) 解得 2<a<6，(11 分) 所以实数 a 的取值范围是(2，6)．(12 分)
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2．复数乘法(chéngfǎ)的运算律 复数的乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的分配 律： 交换律：z1·z2＝z2·z1； 结合律：(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)； 分配律：z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3.
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●规律方法 共轭复数是复数集中比较重要且具有独特性质 的 (xìngzhì) 复数，应注意它的几何特征：关于实轴对称；代数特征： 实部相等，虚部互为相反数．
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变式训练
2．(1)设 i 是虚数单位，－z 是复数 z 的共轭复数，若 z·－z i＋
2＝2z，则 z 等于
(2)1－1 i＝1＋2 i＝12＋12i，其共轭复数为12－12i，对应的点为
12，－12，故选 D.
答案(dáàn) (1)A
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(2)D
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短板补救案·素养培优
规范解答(十一) 复数的运算(yùn suàn)与几何意义的综合应用
典题示例
【典例】 (12 分)已知 z是复数，z＋2i，2－z i均为实数 ， 且 复数（z＋ai）2在复平面内对应的点在第一象限 ，求实数 a 的取值范围．
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案3 新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案3 新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案3 新人教A版选修1-2的全部内容。
3.2.1复数代数形式的加法、减法及其几何意义教学过程一、推进新课：１．复数z 1与z 2的和的定义：z 1+z 2=（a +bi )+（c +di )=(a +c )+(b +d ）i 。
2. 复数z 1与z 2的差的定义：z 1—z 2=(a +bi )—（c +di )=(a —c ）+(b -d ）i 。
3。
复数加法的几何意义:1OZ 、2OZ ，即设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =（a ，b ),2OZ =（c ,d )以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是OZ 为z 1+z 2，∴OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d ）=（a +c ，b +d )＝(a +c ）+（b +d )i4. 复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z =（a －c )+(b －d )i ，所以z －z 1= z 2，z 2+z 1=z ，由复数加法几何意义，以OZ 为一条对角线，1OZ 为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ 2所表示的向量2OZ 就与复数z －z 1的差（a －c ）+(b －d ）i 对应由于21OZ Z Z ，所以，两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算(第1课时)课堂探究 新人教
1课时）课堂探究新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算（第1课时）课堂探究新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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算（第1课时）课堂探究新人教A版选修1-2 探究一复数的加减法运算对复数进行加减运算时，要先分清复数的实部与虚部，然后将实部与实部、虚部与虚部分别相加减．若有括号，先计算括号内的，若没有括号，可从左到右依次进行．【典型例题1】计算：（1)（3－5i)＋（－4－i)－（3＋4i）;(2）(－7i＋5)－（9－8i)＋（3－2i)．思路分析:根据复数的加减法法则．解：(1）原式＝(3－4－3）＋（－5i－i－4i）＝－4－10i。
（2）原式＝(5－9＋3）＋(－7i＋8i－2i）＝－1－i。
温馨提示进行复数加减运算时，把i看作一个字母，类比多项式加减运算中的合并同类项．探究二复数加减运算的几何意义复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，类比加法的几何意义可知复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．【典型例题2】已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i。
(1)求错误!表示的复数;（2）求CA，→表示的复数;（3)求B点对应的复数．思路分析：对于（1)，可由错误!＝－错误!求得；对于(2），由错误!＝错误!－错误!求得;对于(3)，可先求出错误!的坐标，进而可知点B的坐标．解：（1)∵错误!＝－错误!，∴错误!表示的复数为－（3＋2i)，即－3－2i。
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形
2．归纳总结，核心必记 (1)复数的乘法法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di 是任意两个复数，那么它们的积(a ＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i .
(2)复数乘法的运算律 对于任意 z1，z2，z3∈C，有
交换律 结合律 乘法对加法的分配律
＝1－i2＋(－1＋i)＝2－1＋i＝1＋i.
(2)－12＋ 23i 23＋12i(1＋i)
＝－ 43－ 43＋34－14i(1＋i)
＝－ 23＋12i(1＋i)
＝－ 23－12＋12－ 23i
＝6＋13i－46－＋69＋13i＋6＝2163i＝2i.
法二：32＋－23ii－32－＋23ii＝i22－－33ii－－2i＋2＋3i3i
＝i＋i＝2i.
复数乘除运算的常用技巧 (1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘 可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实 数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接 运用公式计算． (2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母 的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理 化”类似．
[思考] 若 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ，z·z 各为何 值？
名师指津： z ＝a－bi，z·z ＝a2＋b2.
讲一讲
2．(1)若 z＝1＋i 2i，则复数 z ＝(
)
)如图，在复平面内，点 A 表示复数 z，则图中表
示 z 的共轭复数的点是( )
(4)若 z1 与 z2 互为共轭复数，则|z1|与 |z2|之间有什么关系？
提示：|z1|＝|z2|.
(5)复数的除法，其实质是分母实数 化，即把分子和分母同乘以一个什么样 的数？
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3.2 复数的四则运算
自主广场
我夯基 我达标
1．（经典回放）2)3(31i i
+-等于（ ） A.i 4341+ B.i 4341-- C.i 2321+ D.i 2
321-- 思路解析:本题考查复数的基本运算.
i i i i i i i i
4341)31)(31(2)31(32231)3(312
2
--=-+-=+-=+- 答案:B 2.(安徽高考卷))
2()4(52
i i i ++等于（ ） A.5(1-38i) B.5(1+38i) C.1+38i D.1-38i
思路解析:本题考查复数的基本运算.
5
)138(512)4(5)2()4(522--=-+=++i i i i i i =1-38i. 答案:D
3.(2004年重庆高考卷)设复数Z=1+22i 则Z 2
-2Z 等于（ ） A.-3 B.3 C.-3i D.3i
思路解析:本题考查复数的基本运算. ∵Z=1+i 2,Z 2-2Z=(1+i 2)2-2(1+i 2) 答案:A
4.当Z=21i
-时，Z 100+Z 50
+1的值等于（ ） A.1 B.-1 C.i D.-i
思路解析:本题考查复数的基本运算
Z 2=
21（1-2i-1)=-i Z 50=(-i)25=-i Z 100=(-i)2=-1 故原式=-i
答案:D
5.已知方程x 2+(4+i)x+4+ai=0（a∈R )有实根b,且Z=a+bi,则复数Z=（ ）
A.2-2i
B.2+2i
C.-2+2i
D.-2-2i
思路解析:考查复数相等的定义.
把b 代入方程有b 2+(4+i)b+4+ai=0
⎩⎨⎧=+=++.
0,0442b a b b ⎩⎨⎧-==.2,2b a 答案:A
6.设复数Z=i 2
321+-,则满足等式Z n =Z,且大于1的正整数n 中最小的是（ ） A.3 B.4 C.6 D.7
思路解析:Z 3=1，Z n =Z,即Z n-1=1,n-1应是3的倍数，n-1=3时，n=4 故n 的最小值为4.
答案:B
7.已知复数Z 0=3+2i ，复数Z 满足Z·Z 0=3Z+Z 0，则实数Z=___________.
思路解析:复数代数形式的基本运算 Z=i i i i Z Z 2
31231223300-=+=+=- 答案: i 2
31-. 8.若对n 个复数α1,α2,α3…αn 存在n 个不全为零的实数k 1,k 2…k n ,使k 1α1+k 2α2+…+k n αn =0成立，则称α1,α2…αn 为线性相关，依次规定能使α1=1,α2=1-i,α3=2+2i 线性相关的实数k 1、k 2、k 3依次可以取_____________，（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）.
思路解析:复数的相等的定义.
-4×1+2(1-i)+1×(2+2i)=0
答案:-4，2，1
9.复数Z=i
i i +-++2)1(3)1(2,若Z 2+aZ+b=1+i,(a,b∈R )则a+b=_____________. 思路解析:本题主要考查复数的基本运算Z=1-i,则代入Z 2
+aZ+b=1+i 得， ⎩⎨⎧=--=+.12,1a b a ∴⎩⎨⎧=-=.
4,3b a ∴a+b=1. 答案:1
我综合 我发展
10.(2005年全国高考卷)复数i i 2123
--=（ ） A.i B.-i C.i -22 D.i +-22
思路解析:本题主要考查复数的基本运算及复数的概念.
i i i i i i i i i i 21222)
2(1)21)(2(21221223+++-=-++=-+=-- 答案:A
11.(2004年浙江高考卷)已知复数Z 1=3+4i,Z 2=t+i,且Z 12Z 是实数，则实数t 等于（ ） A.43 B.34 C.-34 D.-4
3
思路解析:本题主要考查复数的基本概念、基本运算，由Z 2=t+i 得2Z =t-i 故 Z 12Z =（3+4i ）（t-i)=(3t+4)+(4t-3)i
∵Z 12Z 为实数,∴4t -3=0,∴t=4
3. 答案:A
12.(2004年广东高考卷)已知复数Z 与(Z+2)2-8i 均是纯虚数，则Z=_____________.
思路解析:本题考查复数的基本概念，基本运算依题意，设Z=bi,(b∈R 且b≠0)
∴(Z+2)2-8i=(bi+2)2-8i=4-b 2+(4b-8)i
∵(Z+2)2-8i 为纯虚数，∴4-b 2=0且4b-8≠0.
∴b=-2,即Z=-2i.
答案:-2i
13.(2005年北京高考卷)若Z 1=a+2i,Z 2=3-4i,且2
1Z Z 为纯虚数，则实数a 的值为_____________. 思路分析:本题主要考查纯虚数的概念及基本运算.
i a a i i i a i i a Z Z 25642583)4(9)43)(2(4322
21++-=-++=-+= 由21Z Z 为纯虚数，知2583-a =0且2564+a ≠0知a=3
8. 14.求（1+i)n (1-i)6-n 的值.
思路分析:本题主要考查复数的基本运算. 解：原式=（1-i)6
n i i )11(-+=(-2i)3i n =8i n+1 ∴)4()
34()24()14(8888k n k n k n k n i
i =+=+=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--(k 为非负整数）.。