5.7 常系数齐次线性微分方程
齐次线性微分方程。
11
与特征方程的根对应的微分方程的解为
特征方程的根
微分方程通解中的对应项
单实根 r
给出一项 Ce rx
一对单复根 r1,2 i
给出两项 ex C1 cos x C2 sin x
k 重实根 r
一对k 重复根 r1,2 i
给出k 项
C1 C 2 x C k x k1 e rx .
讨论：
（i）如果 2 p q 0, 即λ不是特 征根。 要使(3)成立，
Q(x)应是一 个m 次多项式，不妨设
Q x Qm ( x) b0 x m b1 x m1 bm1 x bm
代入(3)式，比较两端同次幂的系数即可确定bi i 0,1,2,m,
y C1 C2 xe rx . y ex C1 cos x C2 sinx
9
例 1 求下列微分方程的通解
1y"2 y'3 y 0; 2y"2 y' y 0;
解 （1）所给微分方程的特征方程为 r 2 2r 3 0
特征根为： r1 1,r2 3 因此所求通解为 y C1e x C2e 3x .
x
e
2
x
C3 cos
2
x C4 sin
2
x.
13
四、二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性微分方程一般式是
y" py'qy f x
(1)
其中p、q是常数。
由定理3，只要求出(1)的一个特解 y*及(1)对应的齐次方程
y" py'qy 0
的通解Y， 即可求得(1)的通解 : y Y y* .
第七节 常系数齐次线性微分方程
(r 1)(r 2 1)2 0,
特征根为 r1 1, r2 r3 j , r4 r5 j , 故所求通解为
y C1e x (C2 C3 x ) cos x (C4 C5 x ) sin x .
四、小结
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:
r1 j ,
1 x y ( y y ) e cos x, 重新组合 1 1 2 2 1 y2 ( y1 y2 ) ex sin x, 2j
得齐次方程的通解为
y1 e
( j ) x
,
y2 e
( j ) x
,
y e x (C1 cos x C 2 sin x ).
u ( 2r1 p)u ( r12 pr1 q )u 0,
知 u 0,
rx 则 y xe , 取 u( x ) x , 2
1
得齐次方程的通解为 y (C1 C 2 x )e
r1 x
;
有一对共轭复根 特征根为
( 0)
r2 j ,
令 z ln y
则 z z 0,
特征根 1
x x x x z C e C e y C e C e . 通解 1 2 1 2
y2 e ,
r2 x
r1 x
得齐次方程的通解为 y C1e
C2e ;
r2 x
有两个相等的实根 ( 0)
p r1 x 特征根为 r1 r2 , 一特解为 y1 e , 2
设另一特解为 y2 u( x )e r1 x ,
，y2 代入原方程并化简， 将 y2 ，y2
常系数齐次线性微分方程解法
第六节 二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法教学过程：一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程: 方程y ′′+py ′+qy =0称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数.如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y =C 1y 1+C 2y 2就是它的通解.我们看看, 能否适当选取r , 使y =e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y =e rx 代入方程y ′′+py ′+qy =0得(r 2+pr +q )e rx =0.由此可见, 只要r 满足代数方程r 2+pr +q =0, 函数y =e rx 就是微分方程的解.特征方程: 方程r 2+pr +q =0叫做微分方程y ′′+py ′+qy =0的特征方程. 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式2422,1q p p r −±+−= 求出.特征方程的根与通解的关系:(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数、是方程的两个线性无关的解.x r e y 11=x r e y 22= 这是因为,函数、是方程的解, 又x r e y 11=x r e y 22=x r r x r x r e ee y y )(212121−==不是常数. 因此方程的通解为.x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数、是二阶常系数齐次线性微分x r e y 11=x r xe y 12=方程的两个线性无关的解.这是因为, 是方程的解, 又x r e y 11=x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+′+′′ ,0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r 所以也是方程的解, 且xr xe y 12=x e xe y y x r x r ==1112不是常数. 因此方程的通解为.x r x r xe C e C y 1121+= (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=α±i β时, 函数y =e (α+i β)x 、y =e (α−i β)x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解. 函数y =e αx cos βx 、y =e αx sin βx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解. 函数y 1=e (α+i β)x 和y 2=e (α−i β)x 都是方程的解, 而由欧拉公式, 得y 1=e (α+i β)x =e αx (cos βx +i sin βx ),y 2=e (α−i β)x =e αx (cos βx −i sin βx ),y 1+y 2=2e αx cos βx , )(21cos 21y y x e x +=βα, y 1−y 2=2ie αx sin βx , )(21sin 21y y ix e x −=βα. 故e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 也是方程解.可以验证, y 1=e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 是方程的线性无关解.因此方程的通解为y =e αx (C 1cos βx +C 2sin βx ).求二阶常系数齐次线性微分方程y ′′+py ′+qy =0的通解的步骤为:第一步 写出微分方程的特征方程r 2+pr +q =0第二步 求出特征方程的两个根r 1、r 2.第三步 根据特征方程的两个根的不同情况, 写出微分方程的通解.例1 求微分方程y ′′−2y ′−3y =0的通解.解 所给微分方程的特征方程为r 2−2r −3=0, 即(r +1)(r −3)=0.其根r 1=−1, r 2=3是两个不相等的实根, 因此所求通解为y =C 1e −x +C 2e 3x .例2 求方程y ′′+2y ′+y =0满足初始条件y |x =0=4、y ′| x =0=−2的特解.解所给方程的特征方程为r2+2r+1=0,即(r+1)2=0.其根r1=r2=−1是两个相等的实根,因此所给微分方程的通解为y=(C1+C2x)e−x.将条件y|x=0=4代入通解,得C1=4,从而y=(4+C2x)e−x.将上式对x求导,得y′=(C2−4−C2x)e−x.再把条件y′|x=0=−2代入上式,得C2=2.于是所求特解为x=(4+2x)e−x.例 3 求微分方程y′′−2y′+5y= 0的通解.解所给方程的特征方程为r2−2r+5=0.特征方程的根为r1=1+2i,r2=1−2i,是一对共轭复根,因此所求通解为y=e x(C1cos2x+C2sin2x).n阶常系数齐次线性微分方程:方程y(n) +p1y(n−1)+p2 y(n−2) +⋅⋅⋅+p n−1y′+p n y=0,称为n阶常系数齐次线性微分方程,其中p1,p2 ,⋅⋅⋅,p n−1,p n都是常数.二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式,可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去.引入微分算子D,及微分算子的n次多项式:L(D)=D n+p1D n−1+p2 D n−2 +⋅⋅⋅+p n−1D+p n,则n阶常系数齐次线性微分方程可记作(D n+p1D n−1+p2 D n−2 +⋅⋅⋅+p n−1D+p n)y=0或L(D)y=0.注: D叫做微分算子D0y=y, D y=y′, D2y=y′′, D3y=y′′′,⋅⋅⋅,D n y=y(n).分析:令y=e rx,则L(D)y=L(D)e rx=(r n+p1r n−1+p2 r n−2 +⋅⋅⋅+p n−1r+p n)e rx=L(r)e rx.因此如果r是多项式L(r)的根,则y=e rx是微分方程L(D)y=0的解.n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程:L(r)=r n+p1r n−1+p2 r n−2 +⋅⋅⋅+p n−1r+p n=0称为微分方程L(D)y=0的特征方程.特征方程的根与通解中项的对应:单实根r对应于一项:Ce rx;一对单复根r 1, 2=α ±i β 对应于两项: e αx (C 1cos βx +C 2sin βx );k 重实根r 对应于k 项: e rx (C 1+C 2x + ⋅ ⋅ ⋅ +C k x k −1);一对k 重复根r 1, 2=α ±i β 对应于2k 项:e αx [(C 1+C 2x + ⋅ ⋅ ⋅ +C k x k −1)cos βx +( D 1+D 2x + ⋅ ⋅ ⋅ +D k x k −1)sin βx ].例4 求方程y (4)−2y ′′′+5y ′′=0 的通解.解 这里的特征方程为r 4−2r 3+5r 2=0, 即r 2(r 2−2r +5)=0,它的根是r 1=r 2=0和r 3, 4=1±2i .因此所给微分方程的通解为y =C 1+C 2x +e x (C 3cos2x +C 4sin2x ).例5 求方程y (4)+β 4y =0的通解, 其中β>0.解 这里的特征方程为r 4+β 4=0. 它的根为)1(22,1i r ±=β, )1(24,3i r ±−=β. 因此所给微分方程的通解为)2sin 2cos (212x C x C e y x βββ+=)2sin 2cos (432 x C x C e x βββ++−.二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介二阶常系数非齐次线性微分方程: 方程y ′′+py ′+qy =f (x )称为二阶常系数非齐次线性微分方程, 其中p 、q 是常数.二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解y =Y (x )与非齐次方程本身的一个特解y =y *(x )之和:y =Y (x )+ y *(x ).当f (x )为两种特殊形式时, 方程的特解的求法:一、 f (x )=P m (x )e λx 型当f (x )=P m (x )e λx 时, 可以猜想, 方程的特解也应具有这种形式. 因此, 设特解形式为y *=Q (x )e λx , 将其代入方程, 得等式Q ′′(x )+(2λ+p )Q ′(x )+(λ2+p λ+q )Q (x )=P m (x ).(1)如果λ不是特征方程r 2+pr +q =0 的根, 则λ2+p λ+q ≠0. 要使上式成立, Q (x )应设为m 次多项式:Q m (x )=b 0x m +b 1x m −1+ ⋅ ⋅ ⋅ +b m −1x +b m ,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b 0, b 1, ⋅ ⋅ ⋅ , b m , 并得所求特解y *=Q m (x )e λx .(2)如果λ是特征方程 r 2+pr +q =0 的单根, 则λ2+p λ+q =0, 但2λ+p ≠0, 要使等式 Q ′′(x )+(2λ+p )Q ′(x )+(λ2+p λ+q )Q (x )=P m (x ).成立, Q (x )应设为m +1 次多项式:Q (x )=xQ m (x ),Q m (x )=b 0x m +b 1x m −1+ ⋅ ⋅ ⋅ +b m −1x +b m ,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b 0, b 1, ⋅ ⋅ ⋅ , b m , 并得所求特解 y *=xQ m (x )e λx .(3)如果λ是特征方程 r 2+pr +q =0的二重根, 则λ2+p λ+q =0, 2λ+p =0, 要使等式 Q ′′(x )+(2λ+p )Q ′(x )+(λ2+p λ+q )Q (x )=P m (x ).成立, Q (x )应设为m +2次多项式:Q (x )=x 2Q m (x ),Q m (x )=b 0x m +b 1x m −1+ ⋅ ⋅ ⋅ +b m −1x +b m ,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b 0, b 1, ⋅ ⋅ ⋅ , b m , 并得所求特解y *=x 2Q m (x )e λx .综上所述, 我们有如下结论: 如果f (x )=P m (x )e λx , 则二阶常系数非齐次线性微分方程y ′′+py ′+qy =f (x )有形如y *=x k Q m (x )e λx的特解, 其中Q m (x )是与P m (x )同次的多项式, 而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2.例1 求微分方程y ′′−2y ′−3y =3x +1的一个特解.解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且函数f (x )是P m (x )e λx 型(其中P m (x )=3x +1, λ=0). 与所给方程对应的齐次方程为y ′′−2y ′−3y =0,它的特征方程为r 2−2r −3=0.由于这里λ=0不是特征方程的根, 所以应设特解为y *=b 0x +b 1.把它代入所给方程, 得−3b 0x −2b 0−3b 1=3x +1,比较两端x 同次幂的系数, 得, −3b ⎩⎨⎧=−−=−13233100b b b 0=3, −2b 0−3b 1=1.由此求得b 0=−1, 311=b . 于是求得所给方程的一个特解为 31*+−=x y .例2 求微分方程y ′′−5y ′+6y =xe 2x 的通解.解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且f (x )是P m (x )e λx 型(其中P m (x )=x , λ=2). 与所给方程对应的齐次方程为y ′′−5y ′+6y =0,它的特征方程为r 2−5r +6=0.特征方程有两个实根r 1=2, r 2=3. 于是所给方程对应的齐次方程的通解为 Y =C 1e 2x +C 2e 3x .由于λ=2是特征方程的单根, 所以应设方程的特解为 y *=x (b 0x +b 1)e 2x .把它代入所给方程, 得−2b 0x +2b 0−b 1=x .比较两端x 同次幂的系数, 得, −2b ⎩⎨⎧=−=−0212100b b b 0=1, 2b 0−b 1=0. 由此求得210−=b , b 1=−1. 于是求得所给方程的一个特解为 x e x x y 2)121(*−−=. 从而所给方程的通解为 x x x e x x e C e C y 223221)2(21+−+=.提示:y *=x (b 0x +b 1)e 2x =(b 0x 2+b 1x )e 2x ,[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]′=[(2b 0x +b 1)+(b 0x 2+b 1x )⋅2]e 2x ,[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]′′=[2b 0+2(2b 0x +b 1)⋅2+(b 0x 2+b 1x )⋅22]e 2x .y *′′−5y *′+6y *=[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]′′−5[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]′+6[(b 0x 2+b 1x )e 2x ] =[2b 0+2(2b 0x +b 1)⋅2+(b 0x 2+b 1x )⋅22]e 2x −5[(2b 0x +b 1)+(b 0x 2+b 1x )⋅2]e 2x +6(b 0x 2+b 1x )e 2x =[2b 0+4(2b 0x +b 1)−5(2b 0x +b 1)]e 2x =[−2b 0x +2b 0−b 1]e 2x .方程y ′′+py ′+qy =e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]的特解形式应用欧拉公式可得e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]]2)(2)([ ie e x P e e x P e x i x i n x i x i l x ωωωωλ−−−++= x i n lx i n l e x iP x P e x iP x P )()()]()(21)]()([21ωλωλ−+++−= x i x i e x P e x P )()()()(ωλωλ−++=, 其中)(21)(i P P x P n l −=, )(21)(i P P x P n l +=. 而m =max{l , n }. 设方程y ′′+py ′+qy =P (x )e (λ+i ω)x 的特解为y 1*=x k Q m (x )e (λ+i ω)x , 则)(1)(*ωλi m k e x Q x y −=必是方程)()(ωλi e x P qy y p y −=+′+′′的特解, 其中k 按λ±i ω不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1. 于是方程y ′′+py ′+qy =e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]的特解为 x i m k x i m k e x Q x e x Q x y )()()()(*ωλωλ−++= )sin )(cos ()sin )(cos ([x i x x Q x i x x Q e x m m x k ωωωωλ−++= =x k e λx [R (1)m (x )cos ωx +R (2)m (x )sin ωx ].综上所述, 我们有如下结论:如果f (x )=e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ], 则二阶常系数非齐次线性微分方程 y ′′+py ′+qy =f (x )的特解可设为y *=x k e λx [R (1)m (x )cos ωx +R (2)m (x )sin ωx ],其中R (1)m (x )、R (2)m (x )是m 次多项式, m =max{l , n }, 而k 按λ+i ω (或λ−i ω)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1.例3 求微分方程y ′′+y =x cos2x 的一个特解.解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且f (x )属于e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]型(其中λ=0, ω=2, P l (x )=x , P n (x )=0）. 与所给方程对应的齐次方程为y ′′+y =0,它的特征方程为r 2+1=0.由于这里λ+i ω=2i 不是特征方程的根, 所以应设特解为 y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .把它代入所给方程, 得(−3ax −3b +4c )cos2x −(3cx +3d +4a )sin2x =x cos2x . 比较两端同类项的系数, 得 31−=a , b =0, c =0, 94=d . 于是求得一个特解为 x x x y 2sin 942cos 31*+−=. 提示:y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .y *′=a cos2x −2(ax +b )sin2x +c sin2x +2(cx +d )cos2x ,=(2cx +a +2d )cos2x +(−2ax −2b +c )sin2x ,y *′′=2c cos2x −2(2cx +a +2d )sin2x −2a sin2x +2(−2ax −2b +c )cos2x =(−4ax −4b +4c )cos2x +(−4cx −4a −4d )sin2x .y *′′+ y *=(−3ax −3b +4c )cos2x +(−3cx −4a −3d )sin2x .由, 得⎪⎩⎪⎨⎧=−−=−=+−=−0340304313d a c c b a 31−=a , b =0, c =0, 94=d .。
常系数(非)齐次线性微分方程
常系数（非）齐次线性微分方程1 非常系数线性微分方程非常系数线性微分方程是一类有关于时间变化的微分方程，其中系数不为同一个常量。
它可以描述经典力学系统、介质传播过程等一些复杂的现象。
它包括了一阶线性微分方程、高阶线性微分方程和非线性微分方程，它们郹能描述曲线与表达式之间的紧密联系，具有广泛的应用性。
2 一阶线性微分方程一阶线性微分方程是属于非常系数线性微分方程的一个分支，它的特点是方程中只有一个未知函数及其一阶导数，表达式如下：f'(t) + a(t) f(t) = b(t)其中f(t)为未知函数，a(t)和b(t)为常系数的函数，这种方程的解通常可以得到整数次方程的特解。
3 高阶线性微分方程高阶线性微分方程也是属于非常系数线性微分方程的一个分支，它的特点是未知函数及其以下高阶导数，表达式如下：f^{n}(t) + a_{1}(t) f^{n-1}(t) + a_{2}(t) f^{n-2}(t) + ... + a_{n}(t) f(t) = b(t)其中f(t)为未知函数，a_{1}(t)、a_{2}(t)、... 、a_{n}(t)和b(t)为常系数的函数，此种方程一般只能求解特解，而不能求普通解。
4 非线性微分方程非线性微分方程是非常系数线性微分方程的另外一个分支，它与线性微分方程最大的不同之处在于它它中参数为非常量，表达式如下：f''(t) + f(t)^2 + a(t) f(t) + b(t) = 0其中f(t)为未知函数，a(t)和b(t)为非常量的函数，由于涉及到非线性，因此求解时往往比较困难。
5 应用非常系数线性微分方程在解决实际问题中具有十分重要的意义，它可以描述经典力学、介质传播等复杂的物理现象，也可以用来模拟生物/神经分子的神经元执行的传输机制。
此外，非常系数线性微分方程也广泛用于经济学、植物生理学等领域。
第一章_常微分方程
作业
1. 求方程y2y3y=0的通解。
2. 求方程y2yy0满足初始条件y|x04、 y| x02的特解。
3. 求方程y2y5y 0的通解。
1.2 常系数非齐次线性微分方程
方程
y+py+qy = f(x) (3) 称为二阶常系数非齐次线性微分方程，其
中p、q均为常数，f (x)为非齐次项
一、常数变易法
将方程(3)的特解记为 y(x) c1(x) y1(x) c2(x) y2 (x)
其中y1(x)和 y2 (x)为对应齐次方程的一对线性无关 解。将上述特解带入方程(3)可求解 c1(x)和c2 (x)。
由于 y c1y1 c2 y2 c1 y1 c2 y2 ，若令
c1 y1 c2 y2 0 则 y c1 y1 c2 y2 ，
齐次方程，有
2a1 3a0 3a1x 3x 1 由同幂次系数相等求解得
a1
1
a0
1 3
则非齐次方程的一个特解为
y* x 1 3
B.特殊情况
➢ 如果方程(3)的非齐次项 f(x)正好是对应齐次 方程的解，即各个非齐次项对应的指数
i 0 i
是原方程对应齐次方程的m重特征根，则方 程(3)的特解在原表达式上乘以xm 。
A.基本解法
【例 1.2.2】 求非齐次方程 y 2 y y 3e2x 的通解。 解：假设方程的一个特解为 y*(x) Ae2x ，代入非齐
次方程，有 4Ae2x 2Ae2x Ae2x 3e2x
求得 A 1。因此，方程的一个特解为 y* (x) e2x
又对应齐次方程的通解为 y(x) (c0 +c1x)ex ，因此 非齐次方程的通解为
是方程(1)的两个线性无关的解，方程的通解为
线性齐次微分方程与常系数齐次微分方程
线性齐次微分方程与常系数齐次微分方程线性齐次微分方程是微分方程中的常见类型之一，特点是方程中只包含未知函数及其导数，且各项的系数是常数。
常系数齐次微分方程是线性齐次微分方程的一种特殊形式，其中各项的系数都是常数。
一、线性齐次微分方程的定义与性质在数学中，线性齐次微分方程的一般形式可表示为：$$\frac{{d^n y}}{{dx^n}} + a_{n-1}\frac{{d^{n-1} y}}{{dx^{n-1}}} + \cdots + a_1\frac{{dy}}{{dx}} + a_0y = 0$$其中，$a_0, a_1, \cdots, a_{n-1}$为常数，$y$为未知函数，$n$为正整数。
线性齐次微分方程的性质如下：1. 线性齐次微分方程是n阶微分方程，其解包括n个独立的任意常数；2. 如果$y_1(x), y_2(x), \cdots, y_n(x)$是齐次方程的解，那么对应的线性组合$c_1y_1(x) + c_2y_2(x) + \cdots + c_ny_n(x)$也是方程的解；3. 如果$y_1(x)$和$y_2(x)$分别是齐次方程的解，那么它们的线性组合$c_1y_1(x) + c_2y_2(x)$也是齐次方程的解；4. 对于齐次方程的任意解$y(x)$，可以通过乘以任意非零常数$k$得到另一个解$k\cdot y(x)$。
二、常系数齐次微分方程的解法常系数齐次微分方程是线性齐次微分方程的特殊形式，其特点是方程中各项的系数均为常数。
对于一阶常系数齐次微分方程，其一般形式为：$$\frac{{dy}}{{dx}} + ay = 0$$其中，$a$为常数。
常系数齐次微分方程的解法如下：1. 将方程改写为$\frac{{dy}}{{dx}} = -ay$；2. 将方程分离变量，得$\frac{{dy}}{{y}} = -a\,dx$；3. 对两边同时求不定积分，得到$\ln|y| = -ax + C$；4. 解出原方程的解为$y(x) = Ce^{-ax}$，其中$C$为任意常数。
常系数齐次线形微分方程
• 引言 • 方程形式与分类 • 求解方法 • 应用场景 • 扩展与深化
01
引言
定义与特点
定义
常系数齐次线形微分方程是微分方程 中的一类，其特点是方程中的系数是 常数，且等号右边为0。
特点
这类方程具有线形性质，即未知函数 的最高阶导数项与其它项之间是线形 关系。
历史背景与发展
常系数齐次线性微分方程在物理 学中有广泛应用，如振动、波动、 热传导等。
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要点二
详细描述
二阶常系数齐次线形微分方程的一般形式为 y'' = -p*y' q*y，其中 p 和 q 是常数。解这类方程通常需要利用三角函 数或双曲函数的性质，通过适当的变量代换将其转化为可解 的形式。
高阶方程
总结词
高阶常系数齐次线形微分方程的解法较 为复杂，需要使用递推关系和数学归纳 法。
VS
+ p(x)y = q(x)。
解法
通过变量代换或积分因子法 ，将非齐次方程转化为齐次 方程，再利用已知的齐次方 程通解，求得非齐次方程的
特解。
应用
非齐次方程在物理、工程等 领域有广泛应用，如振动问 题、热传导问题等。
矩阵形式
定义
将线性微分方程组表示为矩阵形式，可以更方便 地处理多个未知函数的微分方程组。
详细描述
首先将方程中的未知函数与其导数分离，使 方程左侧为代数式，右侧为微分式。然后对 方程进行积分，得到一个关于未知函数的积 分式。最后通过求解代数方程，得到未知函 数的通解。
变量代换法
总结词
通过引入新的变量代换，将原微分方程转化为更容易求解的微分方程。
详细描述
齐次线性微分方程
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推广:
y ( n) a1 y ( n 1) an 1 y an y 0 ( ak 均为常数 )
特征方程:
r n a1 r n 1 an 1r an 0
若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项
e
r1 x
2 r1u r12u ) p(u r1u ) q u 0 [ (u ( 2 r1 p ) u ( r12 p r1 q ) u 0 u
是特征方程的重根
u 0
取 u = x , 则得 y2 x e
, 因此原方程的通解为 y 2 ( C1 C2 x ) e r1 x 特征方程 r p r q 0
d x
O x
x
返回 结束
1) 无阻尼自由振动情况 ( n = 0 )
d2 x 方程: k2 x 0 2 dt 特征方程: r 2 k 2 0, 特征根: r1 , 2 i k
方程通解: x C1 cos k t C2 sin k t v0 利用初始条件得: C1 x0 , C2 k 故所求特解: v0 x x0 cos k t sin k t k
第七节 常系数 齐次线性微分方程
基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程
转化
第七章
求特征方程(代数方程)之根
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结束
二阶常系数齐次线性微分方程:
① 和它的导数只差常数因子,
y e r x ( r 为待定常数 ), 代入①得 所以令①的解为 (r 2 pr q ) e r x 0 r 2 pr q 0
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r1 i , r2 i , 得齐次方程的通解为
y ex (C1 cos x C 2 sin x )
8
5.7 常系数齐次线性微分方程
16 y 24 y 9 y 0, 例 解初值问题 y x 0 4, y x 0 2.
16
y C1e r1 x C 2e r2 x
5.7 常系数齐次线性微分方程
思考题
2 2 求微分方程 yy ( y ) y ln y 的通解.
17
5.7 常系数齐次线性微分方程
2 2 y y ( y ) y ln y 的通解. 求微分方程
( y )2 y y 思考题解答 因为 y 0, 所以 ln y , 2 y y y y y , (ln y )x , 所以 (ln y ) ln y , ln y又因为 y y 令 z ln y 则 z z 0 二阶常系数齐次线性方程
5
5.7 常系数齐次线性微分方程
设解 y e 其中 r为待定常数 . : 用欧拉 (Euler)公式 ※有一对共轭复根 ( 0)eix cos x i sin x
rx
r1 i , y1 e r1 x e( i ) x ex (cos x i sin x )
与(2)对应的齐次方程 y P ( x ) y Q( x ) y 0 (1)
的通解, 那么y Y y 是二阶非齐次线性微分方程 (2)的通解.
10
5.7 常系数齐次线性微分方程
考研数学(一)填空, 3分
设y e (C1 sin x C 2cos x ) (C1, C2为任意常数)
y1 常数 y2
得齐次方程的通解为 y ex (C1 cos x C 2 sin x ).
6
5.7 常系数齐次线性微分方程
由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法 称为 特征方程法. 例 求方程 y 4 y 4 y 0 的通解. 解 特征方程 r 2 4r 4 0 特征根
2 解 特征方程 16r 24r 9 0 3 特征根 r (二重根) 4 3
所以方程的通解为 4 y (C1 C 2 x 0)e
C1 4 y ( 4 C 2 x )e
3 y 2 3 C 2 C 20 x e 4
3 x 0 4
r2 x ( i ) x y e e ex (cos x i sin x ) r2 i , 2
y1 , y2为方程 y py qy 0 的两个线性无关的解.
为了得到实数形式的解, 重 y1 1 ( y1 y2 ) ex cos x 2 新 1 组 x y ( y y ) e sin x 2 1 2 合 2i
二阶常系数 齐次 线性 方程
y py qy f ( x )
二阶常系数非齐次线性方程
2
5.7 常系数齐次线性微分方程
二、二阶常系数齐次线性方程解法
----- 特征方程法
y py x 其中r为待定常数. 将其代入方程, 得 ( r 2 pr q )e rx 0 e rx 0, 故有 r pr q 0 特征方程 (characteristic equation)
r1 r2 0 和 r3 ,4 1 2i
故所求通解为
x e (C 3 cos 2 x C 4 sin 2 x ). y C1 C 2 x
14
5.7 常系数齐次线性微分方程
例 求方程 y ( 5 ) y ( 4 ) 2 y 2 y y y 0 的通解.
解 特征方程 ( r 5 r 4 ) (2r 3 2r 2 ) (r 1 ) 0
r 4 ( r 1) 2r 2 ( r 1) ( r 1) 0
( r 1)( r 4 2r 2 1) 0 ( r 1)( r 2 1)2 0
特征根 r1 1 (单根) 对应的特解 故所求通解
2
特征根 r1, 2 (characteristic root)
p
p 2 4q 2
3
5.7 常系数齐次线性微分方程
设解 y e 其中r为待定常数.
rx
特征根r的不同情况决定了方程 y py qy 0 的通解的不同形式.
r pr q 0
2
特征方程
※ 有两个不相等的实根 ( 0)
k 1
若是k重共轭 e [(C1 C 2 x C k x ) cos x 复根 i ( D D x D x k 1 ) sin x ] 1 2 k
12
5.7 常系数齐次线性微分方程
注意
n次代数方程有n个根, 而特征方程的每
一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各
x
为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解, 则微分 方程为 解 由所给通解的表达式知, r1, 2 1 i 是所求 由微分方程的特征方程的根, 于是特征方程为
r 2r 2 0, 故所求微分方程为
2
y 2 y 2 y 0.
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5.7 常系数齐次线性微分方程
三、n阶常系数齐次线性方程解法
(C) y y 2 y 3 xe x .
x (B ) y y 2 y 3e .
( D) y y 2 y 3e x .
设 y 是二阶非齐次线性微分方程 定理5.3 y P ( x ) y Q( x ) y f ( x ) ( 2)的一个特解,Y是
四、小结
二阶常系数齐次线性方程 y py qy 0 求通解的步骤: 2 (1) 写出相应的特征方程 r pr q 0 (2) 求出特征根
(3) 根据特征根的不同情况, 得到相应的通解
特征根的情况 通解的表达式
实根 r1 r2 r2 x y ( C C x ) e 实根 r1 r2 1 2 复根 r1, 2 i y ex (C1 cos x C 2 sin x )
2 u ( 2r1 p )u ( r1 pr1 q )u 0, 0 0 知 u 0, 取 u( x ) x , 则 y2 xe r1 x ,
得齐次方程的通解为 y C1e
r1 x
C 2 xe
r1 x
(C1 C 2 x )e r1 x .
r1 r2 2
故所求通解为
y (C1 C 2 x )e 2 x .
7
5.7 常系数齐次线性微分方程
例 求方程 y 2 y 5 y 0 的通解.
解 特征方程 r 2r 5 0
2
特征根
r1， 2 1 2 i
x
故所求通解为
y e (C1 cos 2 x C 2 sin 2 x ).
x 40
3 x 4
C 2 1 特解 y ( 4 x )e .
9
3 x 4
5.7 常系数齐次线性微分方程
考研数学(二)选择, 4分
函数 y C1e x C 2e 2 x xe x 满足的一个微分 方程是
( A ) y y 2 y 3 xe x .
(n) ( n 1 ) y P y Pn1 y Pn y f ( x ) 形如 1
n阶 常系数 线性微分方程
特征方程 r n P1 r n 1 Pn 1 r Pn 0 特征方程的根 若是k重根r
x
通解中的对应项
(C1 C 2 x C k x k 1 )e rx
p 2 4q p p 2 4q r1 , r2 , 2 2 两个 线性无关的 特解 y1 r2 x r1 x y1 e , y2 e , y 常数 2
r x 得齐次方程的通解为 y C1 e 1
p
r2 x C 2e .
4
5.7 常系数齐次线性微分方程
r2 , 3 i (二重)共轭复根
y1 e x , y2 cos x , y3 sin x , y4 x cos x, y5 x sin x
y C1e x (C 2 C 3 x ) cos x (C4 C5 x ) sin x .
15
5.7 常系数齐次线性微分方程
特征方程 r 2 1 0 特征根 r 1
x x x x ln y z C e C e , C e C e . 所以 通解 1 2 1 2 dp 此方程属于 y f ( y , y )型. 设 y p, y p . dy
18
5.7 常系数齐次线性微分方程
5.7 常系数齐次线性微分方程
5.7 常系数 常系数齐次线性微分方程 齐次
二阶常系数齐次线性方程定义 常系数齐次 二阶常系数齐次线性方程解法 常系数齐次 n阶常系数齐次线性方程解法 常系数齐次
小结 思考题
第5 章
作业
微分方程
1
5.7 常系数齐次线性微分方程
一、定义
y py qy 0
一个任意常数.
y C1 y1 C 2 y2 C n yn .
13
5.7 常系数齐次线性微分方程
(4) y 2 y 5 y 0 的通解. 例 求方程
解 特征方程 即
r 4 2r 3 5r 2 0
r 2 ( r 2 2r 5) 0
特征根
作 业
习题5.7(186页）
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设解 y e rx 其中r为待定常数. ※有两个相等的实根 ( 0) y2 r1 x p 常数 r1 r2 , 一特解为 y1 e , y1 2