考研数学复习资料

高等数学部分易混淆概念 第一章：函数与极限一、数列极限大小的判断 例1：判断命题是否正确． 若()nn x y n N <>，且序列,n n x y 的极限存在，lim ,lim ,n n n n x A y B A B →∞→∞==<则解答：不正确．在题设下只能保证A B ≤，不能保证A B <．例如：11,1n n x y n n ==+，,n n x y n <∀，而li m li m 0n n n n x y →∞→∞==．例2．选择题 设nn n x z y ≤≤，且lim()0,lim n n n n n y x z →∞→∞-=则（ ）A ．存在且等于零 B. 存在但不一定等于零 C ．不一定存在 D. 一定不存在 答：选项C 正确 分析：若lim lim 0nn n n x y a →∞→∞==≠，由夹逼定理可得lim 0n n z a →∞=≠，故不选A 与D.取11(1),(1),(1)n n n nn n x y z n n =--=-+=-，则n n n x z y ≤≤，且lim()0n n n y x →∞-=，但lim n n z →∞ 不存在，所以B 选项不正确，因此选C ． 例3．设,nn x a y ≤≤且lim()0,{}{}n n n n n y x x y →∞-=则与（ ）A ．都收敛于a B. 都收敛，但不一定收敛于a C ．可能收敛，也可能发散 D. 都发散 答：选项A 正确． 分析：由于,nn x a y ≤≤，得0n n n a x y x ≤-≤-，又由lim()0n n n y x →∞-=及夹逼定理得lim()0n n a x →∞-=因此，lim nn x a →∞=，再利用lim()0n n n y x →∞-=得lim n n y a →∞=．所以选项A ．二、无界与无穷大无界：设函数()f x 的定义域为D ，如果存在正数M ，使得()f x Mx X D ≤∀∈⊂则称函数()f x 在X 上有界，如果这样的M 不存在，就成函数()f x 在X 上无界；也就是说如果对于任何正数M ，总存在1x X ∈，使1()f x M >，那么函数()f x 在X 上无界．无穷大：设函数()f x 在0x 的某一去心邻域内有定义（或x 大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数M （不论它多么大），总存在正数δ（或正数X ），只要x 适合不等式00x x δ<-<（或x X >），对应的函数值()f x 总满足不等式()f x M >则称函数()f x 为当0x x →（或x →∞）时的无穷大．例4：下列叙述正确的是： ② ① 如果()f x 在0x 某邻域内无界，则0lim ()x x f x →=∞② 如果0lim ()x x f x →=∞，则()f x 在0x 某邻域内无界解析：举反例说明．设11()sin f x x x =，令11,,22n n x y n n πππ==+，当n →+∞时，0,0n n x y →→，而lim ()lim (2)2n n n f x n ππ→+∞→+∞=+=+∞ lim ()0n n f y →+∞=故()f x 在0x =邻域无界，但0x →时()f x 不是无穷大量，则①不正确．由定义，无穷大必无界，故②正确． 结论：无穷大必无界，而无界未必无穷大．三、函数极限不存在≠极限是无穷大当0x x →（或x →∞）时的无穷大的函数()f x ，按函数极限定义来说，极限是不存在的，但是为了便于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大”．但极限不存在并不代表其极限是无穷大．例5：函数10()0010x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，当0x →时()f x 的极限不存在．四、如果0lim ()0x x f x →=不能退出1lim()x x f x →=∞ 例6：()0x x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则0lim ()0x x f x →=，但由于1()f x 在0x =的任一邻域的无理点均没有定义，故无法讨论1()f x 在0x =的极限． 结论：如果0lim ()0x x f x →=，且()f x 在0x 的某一去心邻域内满足()0f x ≠，则01lim()x x f x →=∞．反之，()f x 为无穷大，则1()f x 为无穷小。

五、求函数在某点处极限时要注意其左右极限是否相等，求无穷大处极限要注意自变量取正无穷大和负无穷大时极限是否相等。

例7．求极限10lim ,lim xxx x ee →∞→解：lim ,lim 0x x x x e e →+∞→-∞=+∞=，因而x →∞时x e 极限不存在。

1100lim 0,lim x x x x e e →-→===+∞，因而0x →时1xe 极限不存在。

六、使用等价无穷小求极限时要注意：（1）乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的，故统一不用。

这时，一般可以用泰勒公式来求极限。

（2）注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换 例8：求极限2112limx x x x →++--分析一：若将112x x ++--写成(11)(11)x x +-+--，再用等价无穷小替换就会导致错误。

分析二：用泰勒公式22222211()12211(1())22!11()122(1())222!1()4x x x x x x x x x x οοο-++-=+++-+-++-=-+ 原式2221()144x x x ο-+==-。

例9：求极限sin lim x xxπ→解：本题切忌将sin x 用x 等价代换，导致结果为1。

sin sin lim 0x x x πππ→== 七、函数连续性的判断（1）设()f x 在0x x =间断，()g x 在0x x =连续，则()()f x g x ±在0x x =间断。

而2()(),(),()f x g x f x f x ⋅在0x x =可能连续。

例10．设0()1x f x x ≠⎧=⎨=⎩，()sin g x x =，则()f x 在0x =间断，()g x 在0x =连续，()()()s i n f x g x f x x ⋅=⋅=在0x =连续。

若设10()1x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，()f x 在0x =间断，但2()()1f x f x =≡在0x =均连续。

（2）“()f x 在0x 点连续”是“()f x 在0x 点连续”的充分不必要条件。

分析：由“若0lim ()x x f x a →=，则0lim ()x x f x a →=”可得“如果00lim ()()x x f x f x →=，则00lim ()()x x f x f x →=”，因此，()f x 在0x 点连续，则()f x 在0x 点连续。

再由例10可得，()f x 在0x 点连续并不能推出()f x 在0x 点连续。

（3）()x ϕ在0x x =连续，()f u 在00()u u x ϕ==连续，则(())f x ϕ在0x x =连续。

其余结论均不一定成立。

第二章 导数与微分一、函数可导性与连续性的关系可导必连续，连续不一定可导。

例11．()f x x =在0x =连读，在0x =处不可导。

二、()f x 与()f x 可导性的关系（1）设0()0f x ≠，()f x 在0x x =连续，则()f x 在0x x =可导是()f x 在0x x =可导的充要条件。

（2）设0()0f x =，则0()0f x '=是()f x 在0x x =可导的充要条件。

三、一元函数可导函数与不可导函数乘积可导性的讨论设()()()F x g x x ϕ=，()x ϕ在x a =连续，但不可导，又()g a '存在，则()0g a =是()F x 在x a =可导的充要条件。

分析：若()0g a =，由定义()()()()()()()()()limlim lim ()()()x a x a x a F x F a g x x g a a g x g a F a x g a a x a x a x aϕϕϕϕ→→→---''====--- 反之，若()F a '存在，则必有()0g a =。

用反证法，假设()0g a ≠，则由商的求导法则知()()()F x x g x ϕ=在x a =可导，与假设矛盾。

利用上述结论，我们可以判断函数中带有绝对值函数的可导性。

四、在某点存在左右导数时原函数的性质（1）设()f x 在0x x =处存在左、右导数，若相等则()f x 在0x x =处可导；若不等，则()f x 在0x x =连续。

（2）如果()f x 在(,)a b 内连续，0(,)x a b ∈，且设00lim ()lim (),x x x x f x f x m →+→-''==则()f x 在0x x =处必可导且0()f x m '=。

若没有如果()f x 在(,)a b 内连续的条件，即设00lim ()lim ()x x x x f x f x a →+→-''==，则得不到任何结论。

例11．20()0x x f x xx +>⎧=⎨≤⎩，显然设00lim ()lim ()1x x f x f x →+→-''==，但0lim ()2x f x →+=，0lim ()0x f x →-=，因此极限0lim()x f x →不存在，从而()f x 在0x =处不连续不可导。

第三章 微分中值定理与导数的应用一、若lim (),(0,lim ()x x f x A A f x →+∞→+∞'=≠∞=∞可以取）, 则若lim ()0x f x A →+∞'=≠，不妨设0A >，则0,()2AX x X f x '∃>≥>时，，再由微分中值定理 ()()()()(,(,))f x f X f x X x X X x ξξ'=+->∈()()()()lim ()2x Af x f X x X x X f x →+∞⇒≥+->⇒=+∞同理，当0A <时，lim ()x f x →+∞=-∞若lim (),0,()1x f x X x X f x →+∞''=+∞⇒∃>≥>时，，再由微分中值定理()()()()(,(,))f x f X f x X x X X x ξξ'=+->∈ ()()()()lim ()x f x f X x X x X f x →+∞⇒≥+->⇒=+∞同理可证lim ()x f x →+∞'=-∞时，必有lim ()x f x →+∞=-∞第八章 多元函数微分法及其应用8.1多元函数的基本概念 1.0ε∀ ,12,0δδ∃ ,使得当01x x δ- ,02y y δ- 且0,0(,)()x y x y ≠时,有(,)f x y A ε- ,那么00l i m (,)x x y y f x y A →→=成立了吗?成立,与原来的极限差异只是描述动点(,)p x y 与定点000(,)p x y 的接近程度的方法不一样,这里采用的是点的矩形邻域, ,而不是常用的圆邻域,事实上这两种定义是等价的. 2. 若上题条件中0,0(,)()x y x y ≠的条件略去,函数(,)f x y 就在0,0()x y 连续吗?为什么?如果0,0(,)()x y x y ≠条件没有,说明0,0()f x y 有定义,并且00(,)x y 包含在该点的任何邻域内,由此对0ε∀ ,都有(,)f x y A ε- ,从而0,0()A f x y =,因此我们得到0lim (,)x x y y f x y A →→=0,0()f x y =,即函数在0,0()x y 点连续.3. 多元函数的极限计算可以用洛必塔法则吗?为什么? 不可以,因为洛必塔法则的理论基础是柯西中值定理.8.2 偏导数 1. 已知2(,)y f x y e x y +=,求(,)f x y令x y u +=,y e v =那么解出x ,y 得ln ln y vx u v =⎧⎨=-⎩, 所以22(,)(,).(,)(ln ).ln f u v x u v y u v u v v ==- 或者2(,)(ln ).ln f u v u v y =-8.3全微分极其应用1.写出多元函数连续,偏导存在,可微之间的关系 偏导数x f ', y f '连续⇒Z 可微⇒ (,)Z f x y =连续⇒ (,)f x y 极限存在 偏导数x f ', y f '连续⇒偏导数x f ', y f '存在2. 判断二元函数(,)f x y =0,02230,0(,)()0(,)()xy x y x y x y x y x y ⎧≠⎪+⎨⎪≠⎩在原点处是否可微.对于函数(,)f x y ,先计算两个偏导数:00(,0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x ∆→∆→∆--'===∆∆0(0,)(0,0)00(0,0)limlim 0y x x f y f f yy ∆→∆→∆--'===∆∆ 又000522226(,)(0,0)(0,0)(0,0)limlim()()()()x y x x x x y y y y f x y f f x f yx yx y x y →→→→''∆∆--∆-∆∆∆=∆+∆⎡⎤∆+∆⎣⎦令y k x ∆=∆,则上式为2135550022663()limlim 0(1)(1)x x k x k x k xk ∆→∆→∆=∆=+∆+因而(,)f x y 在原点处可微.8.4多元复合函数的求导法则 1. 设()xyzf x y=+,f 可微,求dz .22222()()()()()()()()()()()xy xy xy x y d xy xyd x y dz f d f x y x y x y x y xy y xy yf dx f dyx y x y x y x y +-+''==++++''=+++++8.5隐函数的求导1. 设(,)x x y z =,(,)y y x z =,(,)z z x y =都是由方程(,,)0F x y z =所确定的具有连续偏导数的函数,证明..1x y zy z x∂∂∂=-∂∂∂.对于方程(,,)0F x y z =,如果他满足隐函数条件.例如,具有连续偏导数且0x F '≠,则由方程(,,)0F x y z =可以确定函数(,)x x y z =,即x 是y ,z 的函数,而y ,z 是自变量,此时具有偏导数y x F xy F '∂=-∂',z x F x z F '∂=-∂'同理,z y F yz F '∂=-∂',所以..1x y zy z x∂∂∂=-∂∂∂.8.6多元函数的极值及其求法 1.设(,)f x y 在点000(,)p x y 处具有偏导数,若(,)0x f x y '=,(,)0y f x y '=则函数(,)f x y 在该点取得极值,命题是否正确?不正确,见多元函数极值存在的充分必要条件.2.如果二元连续函数在有界闭区域内有惟一的极小值点，且无极大值，那么该函数是否在该点取得最小值？不一定，对于一元函数来说上述结论是成立的，但对于多元函数，情况较为复杂，一般来说结论不能简单的推广。