2.圆的内接四边形
第二讲2.2圆内接四边形的性质与判定定理
第⼆讲2.2圆内接四边形的性质与判定定理第⼆讲直线与圆的位置关系2.2 圆内接四边形的性质与判定定理A级基础巩固⼀、选择题1．圆内接平⾏四边形⼀定是( )B．菱形A．正⽅形D．矩形C．等腰梯形解析：由于圆内接四边形对⾓互补，平⾏四边形的对⾓相等，所以圆内接平⾏四边形的各⾓均为直⾓，故为矩形．答案：D 2．已知AB，CD是⊙O的两条直径，则四边形ADBC⼀定是( )A．矩形B．菱形D．等腰梯形C．正⽅形解析：AB，CD均为⊙O的直径，故四边形ADBC的四个⾓均为直⾓，且对⾓线AB＝CD，所以四边形ADBC为矩形．答案：A 3．四边形ABCD内接于圆，∠A∶∠B∶∠C＝7∶6∶3，则∠D等于( )B．72°A．36°D．54°C．144°解析：由圆内接四边形的性质定理，∠A＋∠C＝180°.⼜由∠A∶∠C＝7∶3，设∠A＝7x，∠C＝3x，则10x＝180°，即x＝18°，所以∠B＝6x＝108°.故∠D＝180°－∠B＝72°.答案：B4.如图所⽰，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AB的延长线上⼀点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于( )A．20°B．40°C．80°D．100°解析：因为四边形ABCD是圆内接四边形，且∠CBE＝40°，由圆内接四边形性质知∠D＝∠CBE＝40°，⼜由圆周⾓定理知∠AOC＝2∠D＝80°.答案：C 5．如图所⽰，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠B CD的度数为( )A．35°B．45°C．55°D．75°解析：如图所⽰，连接AD，则△ABD是直⾓三⾓形，∠ADB＝90°，则∠DAB＝90°－∠ABD＝35°，根据同弧所对的圆周⾓相等，∠BCD＝∠DAB＝35°.答案：A⼆、填空题6.如图所⽰，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB与DC相交于点P.若PB＝1，PD＝3，则BCAD的值为____．解析：因为四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠BCP＝∠A.⼜∠P＝∠P，所以△BCP∽△DAP.所以BCAD＝PBPD＝13.答案：137．如图所⽰，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，AC是⊙O1的直径，延长CA，CB，分别交⊙O2于D ，E，则∠CDE＝______．解析：连接AB，因为AC是⊙O1的直径，所以∠ABC＝90°.⼜因为∠ABC＝∠ADE，所以∠ADE＝90°，即∠CDE＝90°.答案：90°8．如图所⽰，点A，B，C，D在同⼀个圆上，AB，DC相交于点P，AD，BC相交于点Q，如果∠A＝50°，∠P＝30°，那么∠Q＝________．解析：因为∠A＝50°，∠P＝30°，所以∠QDC＝∠A＋∠P＝80°.⼜∠QCD＝∠A＝50°，所以∠Q＝180°－80°－50°＝50°.答案：50°三、解答题9.如图所⽰，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三⾓形．证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．⼜AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.⼜∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三⾓形．10.如图所⽰，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AC＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA，求过B、E、F、C四点的圆的⾯积与△ABC外接圆⾯积的⽐值．(1)证明：因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A，由题设知BCFA＝DCEA，所以△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.因为B、E、F、C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，所以∠EFA＝∠CFE＝90°，所以∠CBA＝90°，所以CA是△ABC外接圆的直径．(2)解：连接CE，因为∠CBE＝90°，所以过B、E、F、C四点的圆的直径为CE，因为DB＝BE，CE＝DC，⼜因为BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2，⼜因为DC2＝DB·DA＝3DB2，所以CE2＝3DB2.所以过B、E、F、C四点的圆的⾯积与△ABC外接圆⾯积的⽐值为1 2.B级能⼒提升1.如图所⽰，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于( )A．120°B．136°C．144°D．150°解析：因为∠BCD∶∠ECD＝3∶2，且∠BCD＋∠ECD＝180°，所以∠ECD＝72°.由圆内接四边形的性质得∠A＝∠ECD＝72°.⼜由圆周⾓定理知∠BOD＝2∠A＝2×72°＝144°.答案：C 2．两圆相交于A，B，过A作两直线分别交两圆于C，D和E，F.若∠EAB ＝∠DAB，则CD＝________．解析：因为四边形ABEC为圆内接四边形，所以∠2＝∠CEB.⼜因为∠1＝∠ECB，且∠1＝∠2，所以∠CEB＝∠ECB.所以BC＝BE.在△CBD与△EBF中，∠ECD＝∠BEF，∠D＝∠F，BC＝BE，所以△CBD≌△EBF，所以CD＝EF.答案：EF3.如图所⽰，A，B，C，D四点在同⼀圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.(1)证明：CD∥AB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．证明：(1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.因为A，B，C，D四点在同⼀圆上，所以∠EDC＝∠EBA.故∠ECD＝∠EBA.所以CD∥AB.(2)由(1)知，AE＝BE.因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从⽽∠FED＝∠GEC.如图，连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.⼜CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA.所以∠AFG＋∠GBA＝180°.故A，B，G，F四点共圆．。
圆内接四边形性质及判定定理
二圆内接四边形的性质及判断定理[ 对应学生用书P21]1．圆内接四边形的性质(1)圆的内接四边形对角互补．如图：四边形ABCD 内接于⊙ O，则有：∠ A＋∠ C＝ 180°，∠ B＋∠D＝ 180 °.(2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．如图：∠ CBE 是圆内接四边形ABCD 的一外角，则有：∠CBE＝∠D.2．圆内接四边形的判断(1)判断定理：假如一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个极点共圆．(2)推论：假如四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个极点共圆．[ 对应学生用书P21]圆内接四边形的性质[例 1]如图，AB是⊙ O的直径，弦BD ， CA 的延伸线订交于点E，EF垂直BA 的延伸线于点 F.求证：∠DEA ＝∠ DFA.[思路点拨]此题主要考察圆内接四边形判断及性质的应用．解题时，只要证A， D， E，F四点共圆后可得结论．[证明 ]连结AD.由于AB 为圆的直径，所以∠ADB ＝ 90 °又.EF⊥ AB ，∠EFA＝ 90°，所以A，D ，E， F四点共圆．所以∠ DEA ＝∠ DFA.圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内角的对角， 可用来作为三角形相像的条件，进而证明一些比率式的建立或证明某些等量关系．1．圆内接四边形 ABCD 中，已知∠ A ，∠ B ，∠ C 的度数比为4∶ 3∶5，求四边形各角的度数．解： 设∠ A ，∠ B ，∠ C 的度数分别为 4x,3x,5x ，则由∠ A ＋∠ C ＝ 180°，可得 4x ＋ 5x ＝ 180°∴.x ＝ 20°.∴∠ A ＝ 4×20°＝80°，∠ B ＝ 3× 20°＝ 60°，∠ C ＝ 5× 20°＝ 100°，∠ D ＝ 180°－∠ B ＝ 120°.2．已知：如图，四边形 ABCD 内接于圆，延伸 AD ，BC 订交于点 E ，点 F 是 BD 的延伸线上的点，且 DE 均分∠ CDF .(1)求证： AB ＝ AC ；(2)若 AC ＝ 3 cm ， AD ＝ 2 cm ，求 DE 的长．解： (1)证明：∵∠ ABC ＝∠ 2，∠ 2＝∠ 1＝∠ 3，∠ 4＝∠ 3，∴∠ ABC ＝∠ 4.∴ AB ＝ AC.(2)∵∠ 3＝∠ 4＝∠ ABC ，∠ DAB ＝∠ BAE ，∴△ ABD ∽△ AEB.∴AB ＝ AD .AE AB∵ AB ＝ AC ＝ 3，AD ＝ 2，2∴ AE ＝AB＝9.AD 2∴ DE ＝9－ 2＝ 5(cm).2 2圆内接四边形的判断[例 2]如图，在△ ABC 中， E ， D ，F 分别为 AB ， BC ， AC 的中点，且 AP ⊥ BC 于 P.求证： E ， D ， P ， F 四点共圆．[思路点拨 ]可先连结PF ，结构四边形EDPF 的外角∠ FPC ，证明∠ FPC ＝∠ C，再证明∠ FPC ＝∠ FED 即可．[证明 ]如图，连结PF ，∵AP⊥ BC， F 为 AC 的中点，∴PF＝1 AC.2∵FC＝1 AC，2∴PF＝ FC .∴∠ FPC＝∠ C.∵E、 F、D 分别为 AB， AC， BC 的中点．∴ EF∥ CD ，ED ∥ FC.∴四边形 EDCF 为平行四边形，∴∠ FED ＝∠ C.∴∠ FPC＝∠ FED .∴ E， D， P， F 四点共圆．证明四点共圆的方法常有：①假如四点与必定点等距离，那么这四点共圆；②假如四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个极点共圆；③假如四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个极点共圆；④假如两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个极点共圆．3．判断以下各命题能否正确．(1)随意三角形都有一个外接圆，但可能不仅一个；(2)矩形有独一的外接圆；(3)菱形有外接圆；(4)正多边形有外接圆．解： (1)错误，随意三角形有独一的外接圆；(2)正确，由于矩形对角线的交点到各极点的距离相等；(3) 错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；(4) 正确，由于正多边形的中心到各极点的距离相等．4．已知：在△ ABC 中， AD＝ DB ，DF ⊥AB 交 AC 于点 F ，AE＝ EC，EG⊥ AC 交 AB 于点 G.求证：(1)D 、E、 F、 G 四点共圆；(2)G、B、 C、 F 四点共圆．证明： (1) 如图，连结 GF ，由DF ⊥AB，EG⊥ AC，知∠GDF ＝∠ GEF ＝ 90°，∴ GF 中点到 D、 E、F 、 G 四点距离相等，∴ D、 E、 F、 G 四点共圆．(2)连结 DE.由 AD＝ DB ， AE＝ EC，知 DE ∥BC，∴∠ ADE＝∠ B.又由 (1)中 D、 E、 F 、 G 四点共圆，∴∠ ADE＝∠ GFE .∴∠ GFE＝∠ B.∴ G、 B、 C、 F 四点共圆 .圆内接四边形的综合应用[ 例 3] 如图，已知⊙ O1与⊙ O2订交于 A、 B 两点， P 是⊙ O1上一点， PA、PB 的延伸线分别交⊙ O2于点 D 、 C，⊙ O1的直径 PE 的延伸线交 CD 于点 M.求证： PM ⊥ CD.[思路点拨 ]⊙ O1与⊙ O2订交，考虑连结两交点A、B 得公共弦AB；PE 是⊙ O1的直径，考虑连结 AE 或 BE 得 90°的圆周角；要证PM ⊥ CD ，再考虑证角相等．[证明 ]如图，分别连结 AB， AE，∵A、B、C、 D 四点共圆，∴∠ ABP＝∠ D.∵A、E、B、P 四点共圆，∴∠ ABP＝∠ AEP.∴∠ AEP＝∠ D.∴A、 E、M 、 D 四点共圆．∴∠ PMC ＝∠ DAE .∵PE 是⊙O1的直径，∴ EA⊥ PA.∴∠ PMC ＝∠ DAE ＝ 90°.∴PM⊥ CD.此类问题综合性强，知识点丰富，解决的方法大多是先判断四点共圆，而后利用圆内接四边形的性质证明或求得某些结论建立．5.如图， P 点是等边△ ABC 外接圆的BC上一点， CP 的延伸线和AB 的延伸线交于点D，连结 BP .求证： (1) ∠D ＝∠ CBP；(2)AC2＝CP·CD.证明： (1) ∵△ ABC 为等边三角形，∴∠ ABC＝∠ A＝ 60°.∴∠ DBC＝ 120°.又∵四边形ABPC 是圆内接四边形，∴∠ BPC＝ 180°－∠ A＝ 120°.∴∠ BPC＝∠ DBC .又∵∠ DCB ＝∠ BCP，∴△ BCP∽△ DCB .∴∠ D＝∠ CBP.(2)由 (1)知△ BCP∽△ DCB ，∴BC＝CP.DC CB∴CB2＝ CP·CD .又CB＝ AC，∴ AC2＝ CP·CD .6．如图，在正三角形ABC 中，点 D，E 分别在边BC，AC 上，且 BD ＝1BC，CE＝1CA，33AD， BE 订交于点P.求证： (1) 四点 P，D ， C， E 共圆；(2)AP⊥CP.解： (1)证明：在△ ABC 中，由BD ＝1BC， CE＝1CA 知：33△ABD≌△ BCE，即∠ ADB＝∠ BEC，即∠ ADC ＋∠ BEC＝ 180°，所以四点 P，D ，C， E 共圆．(2)如图，连结DE.在△ CDE 中， CD＝ 2CE，∠ACD＝ 60°，由余弦定理知∠CED ＝90°.由四点 P， D， C， E 共圆知，∠DPC＝∠ DEC ，所以 AP ⊥CP.[ 对应学生用书P24]一、选择题1．设四边形ABCD 为圆内接四边形，现给出四个关系式：①sin A＝sin C，② sin A＋ sin C＝ 0，③ cos B＋ cos D＝ 0，④ cos B＝cos D.此中恒建立的关系式的个数是 ()A． 1B． 2C． 3D． 4分析：由于圆内接四边形的对角互补，故∠ A＝ 180°－∠ C，且∠ A，∠ C 均不为 0°或 180°，故①式恒建立，②式不建立．相同由∠ B＝180°－∠ D 知，③式恒建立．④式只有当∠B＝∠ D＝ 90°时建立．答案： B2．圆内接四边形A． 4∶ 2∶3∶ 1 C． 4∶ 1∶3∶ 2分析：由四边形ABCD 中，∠ A∶∠ B∶∠ C∶∠ D 能够是 ()B． 4∶ 3∶1∶ 2D．以上都不对ABCD 内接于圆，得∠A＋∠ C＝∠ B＋∠ D，进而只有 B 切合题意．答案： B3．如图，四边形ABCD是⊙ O 的内接四边形， E 为AB 的延伸线上一点，∠CBE＝ 40°，则∠ AOC等于 ()A． 20 °B． 40 °C． 80 °D． 100°分析：四边形ABCD是圆内接四边形，且∠CBE＝40°，由圆内接四边形性质知∠ D ＝∠CBE ＝ 40°，又由圆周角定理知：∠AOC＝ 2∠D ＝80°.答案： C4．已知四边形ABCD 是圆内接四边形，以下结论中正确的有()①假如∠ A＝∠ C，则∠ A＝ 90°；②假如∠ A＝∠ B，则四边形ABCD 是等腰梯形；③∠ A 的外角与∠ C 的外角互补；④∠ A∶∠ B∶∠ C∶∠ D 能够是 1∶ 2∶3∶ 4A． 1 个B． 2 个C． 3 个D． 4 个分析：由“圆内接四边形的对角互补” 可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等 (亦可能有∠ A＝∠ B＝∠ C＝∠ D 的特例 )；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和的份额一定相等 (这里 1＋3≠ 2＋ 4)．所以得出①③正确，②④错误．答案： B二、填空题5． (2014 陕·西高考 )如图，△ ABC 中， BC＝ 6 ，以 BC 为直径的半圆分别交AB ， AC 于点E， F，若 AC＝ 2AE，则 EF＝ ________.分析：∵ B，C， F， E 四点在同一个圆上，∴∠AEF ＝∠ ACB，又∠ A＝∠ A，∴△ AEF∽△ ACB，∴AE＝EF，AC BC即1＝EF，∴ EF ＝ 3.2 6答案： 36．如图，直径 AB＝ 10，弦 BC ＝8，CD 均分∠ ACB，则 AC ＝______，BD＝ ________.分析：∠ ACB＝90°，∠ ADB ＝90°.在Rt△ABC 中，AB＝10，BC＝8，∴ AC＝ AB2－ BC2＝ 6.又∵ CD 均分∠ ACB.即∠ ACD＝∠ BCD，∴AD＝BD .∴ BD＝AB2＝5 2.2答案： 6 5 27．如图，点A， B，C， D 都在⊙ O 上，若∠ C＝ 34 °，则∠ AOB＝ ________，∠ ADB ＝________.分析：∵∠ C 和∠ AOB 分别是AB所对的圆周角与圆心角，∴∠ AOB＝ 2∠ C＝ 68°.∵周角是 360°，劣弧 AB 的度数为68°，∴优弧 AB 的度数为292°.1∴∠ ADB＝× 292°＝ 146°.答案： 68° 146°三、解答题8.已知：如图，E、 F 、 G、 H 分别为菱形ABCD 各边的中点，对角线 AC 与 BD 订交于 O 点，求证： E，F ， G， H 共圆．证明：法一：连结EF、FG、GH、HE .∵E、 F 分别为 AB、 BC 的中点，∴ EF∥ AC.同理 EH∥ BD .∴∠ HEF ＝∠ AOB.∵AC⊥ BD ，∴∠ HEF ＝ 90°.同理∠ FGH ＝ 90°.∴∠ HEF ＋∠ FGH ＝ 180°.∴ E、 F、G、 H 共圆．法二：连结 OE、 OF、 OG、OH .∵四边形 ABCD 为菱形．∴AC⊥ BD ，AB＝ BC＝ CD＝DA .∵ E、 F、G、 H 分别为菱形ABCD 各边的中点，∴OE＝1AB， OF＝1BC，22OG＝1CD ， OH＝1DA . 22∴OE＝OF ＝ OG ＝ OH.∴E， F，G， H 在以 O 点为圆心，以 OE 为半径的圆上．故E， F ，G， H 四点共圆．9.如图， A， B， C， D 四点在同一圆上，AD 的延伸线与BC 的延伸线交于 E 点，且 EC＝ED .(1)证明： CD∥ AB；(2)延伸 CD 到 F ，延伸 DC 到 G，使得 EF＝ EG，证明： A， B， G， F 四点共圆．证明： (1) 由于 EC＝ ED，所以∠ EDC ＝∠ ECD .由于 A， B， C， D 四点在同一圆上，所以∠ EDC ＝∠ EBA.故ECD＝∠ EBA.所以 CD ∥ AB.(2)由 (1)知， AE＝ BE.由于 EF ＝EG，故∠ EFD ＝∠ EGC，进而∠ FED ＝∠ GEC.连结 AF ，BG，则△ EFA≌ △ EGB，故∠ FAE＝∠ GBE.又CD ∥AB，∠EDC ＝∠ECD ，所以∠ FAB＝∠ GBA.所以∠ AFG ＋∠ GBA＝ 180°.故 A， B，G， F 四点共圆．10．如图，已知⊙ O 的半径为 2，弦 AB 的长为 2 3，点 C 与点 D 分别是劣弧 AB 与优弧 ADB 上的任一点(点C、D均不与A、B重合)．(1)求∠ ACB.(2)求△ ABD 的最大面积．解： (1)连结 OA、 OB，作 OE⊥ AB， E 为垂足，则AE＝BE .Rt△ AOE 中， OA＝2.AE＝1AB＝1× 2 3＝ 3. 22AE3所以 sin ∠AOE＝＝，∴∠ AOE＝ 60°，∠ AOB＝ 2∠AOE＝ 120°.又∠ ADB＝1∠ AOB，2∴∠ ADB＝ 60°.又四边形 ACBD 为圆内接四边形，∴∠ ACB＋∠ ADB ＝ 180°.进而有∠ ACB＝180°－∠ ADB ＝120°.(2)作 DF ⊥ AB，垂足为F，则△1A B·DF ＝1× 23× DF ＝ 3DF .S ABD＝22明显，当DF 经过圆心 O 时， DF 取最大值，进而 S△ABD获得最大值．此时 DF ＝ DO ＋ OF＝3， S△ABD＝3 3，即△ ABD 的最大面积是 3 3.。
圆内接四边形边长公式
圆内接四边形边长公式
圆内接四边形边长公式：
1、内接四边形边长公式：边长a=2Rcos45°
2、圆半径R：圆半径可以是任意数值，只要满足一定条件，就可以确
定圆内接四边形的边长。
3、45°：45°是正四边形的夹角，也就是说，圆内接四边形的每个夹角
都是45°。
4、cos45°：cos（45°）=√2/2，45°是一个对角垂直的角度，cos45°的值
是√2/2，所以边长公式为：a=2Rcos45°。
5、内接四边形求周长：正四边形的面积可以通过半径R和边长a计算，用P表示正四边形的周长，则P=4a，即P=4*2Rcos45°。
6、内接四边形求面积：正四边形的面积可以由半径R和边长a计算，
用S表示正四边形的面积，则S=2Rcos45°。
总结：
圆内接四边形边长公式为：a=2Rcos45°，其中R是圆的半径，45°为正四边形的夹角，cos45°=√2/2，因此可以求出圆内接四边形的边长。
该正四边形的周长P=4a，面积S=2Rcos45°。
圆周角二-圆内接四边形
计算四边形的面积
利用圆内接四边形的面积公式，可以计算出四边 形的面积。
3
判断四边形的对角线性质
通过圆内接四边形的对角线性质，可以判断四边 形的对角线性质。
圆周角与圆内接四边形在几何图形中的综合应用
利用圆周角和圆内接四边形的关系，可以解决一些复杂的几何问题。 通过综合应用圆周角和圆内接四边形的性质，可以推导出一些重要的几何定理。
边与角的关系
在一个圆内接四边形中， 相对的两边之和大于另外 两边之和，且相对的两边 之差小于另外两边之差。
圆周角与圆内接四边形性质的关联
圆周角与圆心角的关系
在一个圆内接四边形中，相对的两条 边所对的圆周角等于其相对的两条边 所对的圆心角的一半。
圆周角与外角的关系
在一个圆内接四边形中，相对的两条 边所对的圆周角等于其相对的外角的 补角。
边形。
圆内接四边形的性质
02
其对角互补，即两个对角和为180度。
圆内接四边形的证明方法
03
通过构造辅助线，利用三角形全等或相似性质，以及圆的性质
进行证明。
圆周角与圆内接四边形证明的关联
关联点
在证明过程中，常常需要利用圆 周角和圆内接四边形的性质进行 相互转化，以简化证明过程。
应用场景
在解决一些涉及圆和四边形的几 何问题时，利用圆周角和圆内接 四边形的性质可以提供有效的解 题思路和方法。
04
圆周角二与圆内接四边形 的应用
圆周角在几何图形中的应用
确定圆的位置
通过圆周角的大小和位置 关系，可以确定圆的位置。
计算圆心角
利用圆周角和圆心角的关 系，可以计算出圆心角的 大小。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2、圆的内接四边形
例2. ☉O内 接四边形 ABCD中, 中 AB是直径 是直径, 是直径 ∠BAC=25° ∠BAC=25°, ∠ADC的 求∠ADC的 115° ° 度数. 度数.
例3. ☉O是 等边Δ 等边ΔABC 的外接圆. 的外接圆 求证: 求证 1.∠D＝ ∠D＝ ∠D ∠CBP. 2=CP CD 2.A将 圆内接四边形、圆周角、 圆内接四边形、圆周角、 圆心角的有关性质有机的 圆心角的有关性质有机的 结合在一起， 结合在一起，共同解决圆 中与角相关的问题。 中与角相关的问题。
需要提示吗? 需要提示吗 例1. ΔABC中, 中 AB=AC, BD平分 平分 ∠ABC, 求证: 求证: AD=CE
圆的内 接四边 形
重点提示
圆的内 接多边形
1.如果一个多边形的所 如果一个多边形的所 有顶点都在同一个圆上, 有顶点都在同一个圆上 那么这个多边形叫做圆 的内接多边形,这个圆叫 这个圆叫 做多边形的外接圆 .
圆的内接四 边形的性质定理
定理:圆的 定理 圆的 内接四边形 对角互补 , 并且任何一 个外角都等 于它的内对角.
九年级数学圆的内接四边形
半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径。
内接四边形对角互补定理
圆内接四边形的对角互补，即任一外 角等于其内对角。
利用角度关系求解问题
通过已知角度求解未知角度
01
利用内接四边形对角互补定理和圆心角定理，可以通过已知角
度求解出未知角度。
通过已知边长求解角度
02
在已知内接四边形的某些边长时，可以利用正弦、余弦定理等
利用边长关系求解问题
已知边长求角度
在已知内接四边形部分边 长的情况下，通过边长比 例关系求解未知角度。
已知角度求边长
在已知内接四边形部分角 度的情况下，通过三角函 数和边长比例关系求解未 知边长。
综合应用
结合已知条件和所求问题， 综合运用边长比例关系、 三角函数和相似三角形等 知识求解问题。
拓展：相似三角形在内接四边形中应用
求解出相应的角度。
角度与弧度的转换
03
在求解与圆相关的问题时，经常需要在角度与弧度之间进行转
换。
拓展：外角、内角和公式应用
内角和公式
多边形的内角和公式为（n-2） ×180°，其中n为多边形的边数。
对于圆内接四边形，其内角和为 360°。
外角公式
多边形的外角和公式为360°，即所 有外角之和等于360°。对于圆内接 四边形，每个外角都等于相邻的内 对角。
02
若一个四边形的对角互补，则这 个四边形的四个顶点共圆，即这 个四边形是某个圆的内接四边形 。
性质定理梳理
圆内接四边形的对角互补：即对于圆 内接四边形ABCD，有∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°。
若在圆内接四边形中，有一个角是直 角，则其对角也是直角。
2.圆的内接四边形
综上所述， 综上所述， 点D只能在圆 A 只能在圆 周上， 周上，即A、 、 B、C、D四 、 、 四 点共圆． 点共圆． B
O C
3 四边形存在外接圆的判定定理
说明：在此判定定理的证明中，用到了分类讨论的思想和 说明：在此判定定理的证明中，用到了分类讨论的思想和 分类讨论的思想 反证法．又当问题的结论存在多种情形时， 反证法．又当问题的结论存在多种情形时，通过对每一种 情形分别讨论，最后获得结论的方法，称为穷举法 穷举法． 情形分别讨论，最后获得结论的方法，称为穷举法．于是 圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补， 圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那 判定定理 么这个四边形的四个顶点共圆． 么这个四边形的四个顶点共圆．
C P Q A F B
练习2：
1、(1)圆内接平行四边形一定是 矩 形. (2)圆内接梯形一定是等腰梯形. (3)圆内接菱形一定是 正方 形. 2.如果四边形一边上的两个顶点的视角 D 相等，那么四边形的四个顶点共圆． 已知：如图，四边形ABCD中， ABCD ∠ADB=∠ACB. A 求证: A、B、C、D四点共圆． 分析:要用圆内接四边形判定定理或推论 无法找到足够 分析 要用圆内接四边形判定定理或推论,无法找到足够 要用圆内接四边形判定定理 的条件,即直接方法不易证明 于是仿照判定定理 即直接方法不易证明,于是仿照判定定理的证明 的条件 即直接方法不易证明 于是仿照判定定理的证明 反证法 用反证法.
C A D
O１
E B
O2
F
变式1：如图，⊙O1和⊙O2都经过 、B两点．过A点的 如图， 都经过A、 两点 两点． 点的
直线CD与 交于点C， 交于点D． 直线 与⊙O1交于点 ，与⊙O2交于点 ．过B点的直线 点的直线 交于点E， 交于点F．求证： EF与⊙O1交于点 ，与⊙O2交于点 ．求证：CE//DF. 与
圆内接四边形的性质
圆内接四边形的性质在平面几何中，圆是一个非常重要的基本概念，广泛应用于各种数学和物理问题中。
圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一个圆上的特殊情况。
本文将讨论圆内接四边形的性质及相关定理，并给出相应的证明。
一、圆内接四边形的定义圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一个圆上的情况。
这意味着四边形的每一条边都是圆的切线。
二、圆内接四边形的基本特性1. 对角线互相垂直：圆内接四边形的对角线互相垂直。
这个性质可以通过割线定理来证明。
割线定理指出，从一个点到圆的切点引出的两条割线所形成的夹角是切线和割线所形成的弧所对应的角的一半。
由于四边形的每一条边都是圆的切线，所以四边形的对角线互相垂直。
2. 对角线相等：圆内接四边形的对角线相等。
这个性质可以通过引入圆的半径来证明。
设圆的半径为r，四边形的对角线分别为d1和d2，那么可以得出d1=2r*sin(a)，d2=2r*sin(b)，其中a和b分别为两对角所对应的圆心角。
由于a和b的和等于360度，即a+b=360度，因此有sin(a)+sin(b)=2*sin((a+b)/2)*cos((a-b)/2)=2*sin(180/2)*cos((a-b)/2)=2*sin(90)*cos((a-b)/2)=2*cos((a-b)/2)，所以d1=d2，即对角线相等。
3. 边长之和相等：圆内接四边形的相对边之和相等。
设四边形的边长分别为a、b、c、d，那么可以得出a+b=c+d。
这个性质可以通过扇形定理来证明。
扇形定理指出，圆上的两个弧所对应的圆心角相等，则这两个弧所夹的弦所代表的线段长度之和相等。
由于四边形的每一条边都是圆的切线，所以四边形的边长所对应的圆心角相等，即a+c=b+d。
综上所述，a+b=c+d。
4. 周长最大：给定定圆面积情况下，圆内接四边形的周长最大。
这个性质可以通过用半径来表示四边形的边长，并应用不等式来证明。
设圆的半径为r，四边形的边长为a、b、c、d，那么有a=2*r*sin(a/2)，b=2*r*sin(b/2)，c=2*r*sin(c/2)，d=2*r*sin(d/2)。
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练习 ：
B
A
O
D
C
1、圆内接四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=2:3:4, 则∠A=60º ∠B=90º ∠C= 120º ∠D= 90º 设A=2x,则C=4x. ∵A+C=180º ∴x=30º , . 2、如图，四边形ABCD内接于⊙O， ∠DCE=75º ，则∠BOD= 150º A O
B
对角互补 外角等于它的内对角
4、思想和方法:分类讨论思想,反证法.
作业：
课本第30页习题2.2第1、2、3题.
C
D E
填空
A
(1)四边形ABCD内接于⊙O，则∠A+∠C=__ 180° ， 180° ∠B+∠ADC=_____;若∠B=800， 80 80° B C 则∠ADC=______ ∠CDE=______(图5) 100° (2)四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC=1000 50° 130° 则∠B=______∠D=______(图6) 图5 45° (3)四边形ABCD内接于⊙O, ∠A:∠C=1:3,则∠A=_____,
O
D
圆内接四边形的性质定理１： 圆的内接四边形的对角互补．
B
C
巩固练习：
1、如图，四边形ABCD为⊙O 的内接四边形，已知∠BOD＝ 100°，求∠BAD及∠BCD的度 A 数。
O
B
D C
2.圆内接四边形的性质定理
A O.
D
B
C
E
圆内接四边形的性质定理2： 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．
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补充练习：
若ABCD为圆内接四边形，则下列哪 个选项可能成立（ B ）
（A）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 1∶2∶3∶4 （B）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 2∶1∶3∶4
（C）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 3∶2∶1∶4
（D）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 4∶3∶2∶1
例1：如图⊙O1与⊙O2都经过A、B两点.经过点 A的直线CD与⊙O1交于点C,与⊙O2交于点D.经 过点B的直线EF与⊙O1交于点E,与⊙O2交于点F. 求证：CE∥DF. 分析：只要证明同旁内角互补即可！
D
A
E
解:
100
O B C D
求证：圆内接平行四边形是矩形。 已知：如图，四边形ABCD是 圆的内接四边形并且ABCD是 平行四边形。 求证：四边形ABCD A 是矩形。 O
D
B
C
75° (4)梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC, ∠B=750,则∠C=_____
A D
O B C
圆的内接梯形一定是＿＿＿＿＿梯形。
思维拓展: 1、圆内接平行四边形一定是 矩 形。 2、圆内接梯形一定是 等腰梯 形。 3、圆内接菱形一定是 正方 形。
你能用今天学的知识来形的性质 2 圆内接四边形的判定 3、解题时应注意两点： （1）注意观察图形，分清四边形的外角和它的内对角 的位置，不要受背景的干扰. （2）证题时，常需添辅助线-----两圆共有一条弦，构 造圆内接四边形.
二.圆内接四边形的 性质与判定定理
一 定理的探究
A
１．定义：如果多边形的所有顶点都 在一个圆上,那么这个多边形叫做圆内 接多边形,这个圆叫做多边形的外接圆.
O B C
D
A F
A
B O
O B C
C
·
D
E
2 圆内接四边形的性质定理
1.如图：圆内接四边形ABCD中， ∵ 弧BCD和弧BAD所对的 圆心角的和是周角. ∴∠A＋∠C＝ 180° 同理∠B＋∠D＝180° A
直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D．过B点的直线 EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F．求证：CE//DF.
D A E C
D
O
1
B
O
2
C
A
O2 O1
B
F
F
E
变式2:如图,⊙O1和⊙O2有两个公共点A﹑B．
由例1可知:CE//DF, 又∵CD//EF, 过A﹑B两点的直线分别交⊙O1于C 、E, ∴DCEF为平行四边 形． 交⊙O2于D 、F，且CD∥EF．求证：CE=DF． ∴CE=DF.
6 D
A 5
O
7
4 3 B 2
E
C 1
3 四边形存在外接圆的判定定理
圆内接四边形的性质定理１：
圆的内接四边形的对角互补．
圆内接四边形的性质定理2： 圆内接四边形的外角等于
A O
D
E
B
C
它的内角的对角．
定理： 圆的内接四边形的 对角互补，并且任何一个 外角都等于它的内对角。
要会背，你会背了吗？
二 定理的应用
证明：连接AB． 并利用圆内接四边形的性质定理． ∵四边形ABEC是⊙O1的内接四边形，∴ ∠BAD＝∠E． 又∵四边形ABFD是⊙O2的内接四边形， ∴ ∠BAD+∠F=180º ． ∴ ∠E+∠F=180º ． ∴ CE//DF．
C D
A
O１
E B
O2
F
变式1：如图，⊙O1和⊙O2都经过A、B两点．过A点的