2017学年上海市长宁区延安中学高三下学期开学数学试卷及参考答案

2016-2017学年上海市长宁区延安中学高三（下）开学数学试卷一.填空题1．（3分）已知集合A={x|＜0}，B={x|x2﹣2x﹣3≥0，x∈R}，则A∩B=．2．（3分）已知函数f（x）=arcsin（2x+1），则f﹣1（）=．3．（3分）已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为（结果保留π）．4．（3分）已知无穷等比数列{a n}中，，，则=．5．（3分）复数z满足=1+i，则复数z的模等于．6．（3分）在（tanx+cotx）10的二项展开式中，tan2x的系数为（用数值作答）7．（3分）设F1、F2是双曲线x2﹣4y2=4的两个焦点，P在双曲线上，且，则||•||=．8．（3分）已知，以为边作平行四边形OACB，则与的夹角为．9．（3分）从集合{1，2，3，…，10}中选出4个数组成的子集，使得这4个数中的任何两个数的和不等于11，则这样的子集个数是．10．（3分）定义在R上的奇函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，且当0＜x ≤1时，f（x）=log3x，则方程在区间（0，10）内所有的实根之和为．11．（3分）如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0相交于M、N两点，且点M、N关于直线x+y=0对称，则不等式组所表示的平面区域的面积为．12．（3分）定义在R上的函数f（x），对任意x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），且f（1）=2，那么下面四个式子：①f（1）+2f（1）+…+nf（1）；②；③n（n+1）；④n（n+1）f（1）．其中与f（1）+f（2）+…+f（n）（n∈N*）相等的是．二.选择题13．（3分）“f（x）≥3”是“f（x）的最小值为3”的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要14．（3分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β其中正确命题的序号是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④15．（3分）已知P是△ABC内一点，且满足2+3+4=，那么S△PBC：S PCA：S△PAB等于（）A．4：3：2 B．2：3：4 C．：：D．：：16．（3分）设{a n}是公比为q的等比数列，首项，对于n∈N*，，当且仅当n=4时，数列{b n}的前n项和取得最大值，则q的取值范围为（）A．B．（3，4） C．D．三.解答题17．已知sin（+α）sin（﹣α）=，α∈（，π），求sin4α．18．如图，设长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，Q是AA1的中点，点P在线段B1D1上；（1）试在线段B1D1上确定点P的位置，使得异面直线QB与DP所成角为60°，并请说明你的理由；（2）在满足（1）的条件下，求四棱锥Q﹣DBB1P的体积．19．已知：函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间上有最大值4，最小值1，设函数．（1）求a、b的值及函数f（x）的解析式；（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在时恒成立，求实数k的取值范围．20．已知椭圆（a＞b＞0）长轴长为短轴长的两倍，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，直线l过点A（﹣a，0），且与椭圆相交于另一点B；（1）求椭圆的方程；（2）若线段AB长为，求直线l的倾斜角；（3）点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且，求y0的值．21．从数列{a n}中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列{a n}的一个子数列．设数列{a n}是一个首项为a1、公差为d（d≠0）的无穷等差数列．（1）若a1，a2，a5成等比数列，求其公比q．（2）若a1=7d，从数列{a n}中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项，试问该数列是否为{a n}的无穷等比子数列，请说明理由．（3）若a1=1，从数列{a n}中取出第1项、第m（m≥2）项（设a m=t）作为一个等比数列的第1项、第2项，试问当且仅当t为何值时，该数列为{a n}的无穷等比子数列，请说明理由．2016-2017学年上海市长宁区延安中学高三（下）开学数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）已知集合A={x|＜0}，B={x|x2﹣2x﹣3≥0，x∈R}，则A∩B={x|﹣5＜x≤﹣1} ．【解答】解：∵集合A={x|＜0}={x|﹣5＜x＜2}，B={x|x2﹣2x﹣3≥0，x∈R}={x|x≤﹣1或x≥3}，∴A∩B={x|﹣5＜x≤﹣1}．故答案为：{x|﹣5＜x≤﹣1}．2．（3分）已知函数f（x）=arcsin（2x+1），则f﹣1（）=．【解答】解：令arcsin（2x+1）=即sin=2x+1=解得x=故答案为：3．（3分）已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为12π（结果保留π）．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h∵圆锥的母线长为l=5，侧面积为15π，∴×l×r=15π，解之得底面半径r=3因此，圆锥的高h==4∴圆锥的体积为：V=πr2h=×π×9×4=12π故答案为：12π4．（3分）已知无穷等比数列{a n}中，，，则=．【解答】解：设无穷等比数列{a n}的公比为q，由，，可得q•q2=﹣，解得q=﹣，则====．故答案为：．5．（3分）复数z满足=1+i，则复数z的模等于．【解答】解：∵复数z满足=zi﹣i=1+i，∴z===2﹣i，∴|z|==，故答案为：．6．（3分）在（tanx+cotx）10的二项展开式中，tan2x的系数为210（用数值作答）【解答】解：通项公式T r=tan10﹣r x•cot r x=tan10﹣2r x，+1令10﹣2r=2，解得r=4．∴tan2x的系数==210．故答案为：210．7．（3分）设F1、F2是双曲线x2﹣4y2=4的两个焦点，P在双曲线上，且，则||•||=2．【解答】解：∵双曲线x2﹣4y2=4，∴双曲线的标准方程：，则a=2，b=1，c=，双曲线的定义可知：|||﹣丨丨|=4 ①，，则⊥，由勾股定理可知：||2+丨丨2=（2）2，②由①②解得：||•||=2，故答案为：2．8．（3分）已知，以为边作平行四边形OACB，则与的夹角为．【解答】解：∵OACB为平行四边形，∴===（0，3），=（﹣2，1），∴cos＜＞===．即与的夹角为arccos．故答案为：arccos．9．（3分）从集合{1，2，3，…，10}中选出4个数组成的子集，使得这4个数中的任何两个数的和不等于11，则这样的子集个数是80．【解答】解：将和等于11放在一组：1和10，2和9，3和8，4和7，5和6．从每一小组中取一个，共有••••=5×2×2×2×2=80，故答案为：80．10．（3分）定义在R上的奇函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，且当0＜x ≤1时，f（x）=log3x，则方程在区间（0，10）内所有的实根之和为30．【解答】解：∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）=0，f（﹣x）=﹣f（x），又f（x）关于直线x=1对称，∴f（1+x）=f（1﹣x），可得f（2+x）=f（﹣x）=﹣f（x），∴f（4+x）=﹣f（2+x）=﹣[﹣f（x）]=f（x）．∴f（x）是以4为周期的周期函数．当0＜x≤1时，f（x）=log3x≤0，当﹣1≤x＜0时，0＜﹣x≤1，∴f（﹣x）=log3（﹣x），则f（x）=﹣log3（﹣x）≥0．=﹣＜0．∴方程的解在（0，2），（4，6），（8，10）上存在，并且每个区间上存在两个关于区间中间值对称的两解．则方程在区间（0，10）内所有的实根之和为2×1+2×5+2×9=30．故答案为：30．11．（3分）如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0相交于M、N两点，且点M、N关于直线x+y=0对称，则不等式组所表示的平面区域的面积为．【解答】解：∵M、N两点，关于直线x+y=0对称，∴k=1，又圆心在直线x+y=0上∴∴m=﹣1∴原不等式组变为作出不等式组表示的平面区域，△AOB为不等式所表示的平面区域，联立解得B（﹣，），A（﹣1，0），=×|﹣1|×|﹣|=．所以S△AOB故答案为：．12．（3分）定义在R上的函数f（x），对任意x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），且f（1）=2，那么下面四个式子：①f（1）+2f（1）+…+nf（1）；②；③n（n+1）；④n（n+1）f（1）．其中与f（1）+f（2）+…+f（n）（n∈N*）相等的是①②③．【解答】解：由定义知f（1）+f（2）+…+f（n）=f（1）+2f（1）+…+nf（1）==f（1）=n（n+1）；故①②③正确，④不正确；故应填①②③．二.选择题13．（3分）“f（x）≥3”是“f（x）的最小值为3”的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要【解答】解：f（x）≥3”推不出“f（x）的最小值为3；当f（x）的最小值为3，一定能得到f（x）≥3故“f（x）≥3”是“f（x）的最小值为3”的必要非充分条件．故选B．14．（3分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β其中正确命题的序号是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④【解答】解：对于①，因为n∥α，所以经过n作平面β，使β∩α=l，可得n∥l，又因为m⊥α，l⊂α，所以m⊥l，结合n∥l得m⊥n．由此可得①是真命题；对于②，因为α∥β且β∥γ，所以α∥γ，结合m⊥α，可得m⊥γ，故②是真命题；对于③，设直线m、n是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，而平面α是正方体下底面所在的平面，则有m∥α且n∥α成立，但不能推出m∥n，故③不正确；对于④，设平面α、β、γ是位于正方体经过同一个顶点的三个面，则有α⊥γ且β⊥γ，但是α⊥β，推不出α∥β，故④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是①和②故选：A15．（3分）已知P是△ABC内一点，且满足2+3+4=，那么S△PBC：S PCA：S△PAB等于（）A．4：3：2 B．2：3：4 C．：：D．：：【解答】解：∵P是△ABC内一点，且满足2+3+4=，∴．延长PB到B1，使得，延长PC到C1，使得，连结PB1、PC1、B1C1，则．∴P是△PB1C1的重心，设=3S，则=S，，S△PCA=，S△PAB=，∴S△PBC ：S△PCA：S△PAB==2：3：4．故选：B．16．（3分）设{a n}是公比为q的等比数列，首项，对于n∈N*，，当且仅当n=4时，数列{b n}的前n项和取得最大值，则q的取值范围为（）A．B．（3，4） C．D．【解答】解：∵等比数列{a n}的公比为q，首项∴b n﹣b n=log a n+1﹣log a n=log=log q+1∴数列{b n}是以log q为公差，以log a1=6为首项的等差数列，∴b n=6+（n﹣1）log q．由于当且仅当n=4时T n最大，∴log q＜0，且∴∴﹣2即2＜q＜4故选：C三.解答题17．已知sin（+α）sin（﹣α）=，α∈（，π），求sin4α．【解答】解：∵sin（+α）sin（﹣α）=，α∈（，π），∴sin（+α）sin[﹣（+α）]=sin（+α）cos（+α）===，∴cos2α=，∵α∈（，π），∴2α∈（π，2π），∴sin2α=﹣=﹣，∴sin4α=2sinαcosα=﹣2×=．18．如图，设长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，Q是AA1的中点，点P在线段B1D1上；（1）试在线段B1D1上确定点P的位置，使得异面直线QB与DP所成角为60°，并请说明你的理由；（2）在满足（1）的条件下，求四棱锥Q﹣DBB1P的体积．【解答】解：（1）P是线段B1D1中点．证明如下：以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），Q（1，0，1），B（1，1，0），D1（0，0，2），B1（1，1，2），设D1P=λD1B1，则，∴P（λ，λ，2），∴=（λ，λ，2），又=（0，1，﹣1），∴|cos＜＞|=||=cos60．∴||=，解得：；（2）连接A1P，则A1P⊥平面DBB1D1，∵A1Q∥平面DBB1D1，∴四棱锥Q﹣DBB1P的高为．=．∴=．19．已知：函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间上有最大值4，最小值1，设函数．（1）求a、b的值及函数f（x）的解析式；（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在时恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）由于二次函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b的对称轴为x=1，由题意得：1°，解得．或2°，解得．（舍去）∴a=1，b=0．故g（x）=x2﹣2x+1，．（2）不等式f（2x）﹣k•2x≥0，即，∴．在时，设，∴k≤（t﹣1）2，由题意可得，函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，故t≠1，即≤t≤2，且t≠1．∵（t﹣1）2min＞0，∴k≤0，即实数k的取值范围为（﹣∞，0]．20．已知椭圆（a＞b＞0）长轴长为短轴长的两倍，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，直线l过点A（﹣a，0），且与椭圆相交于另一点B；（1）求椭圆的方程；（2）若线段AB长为，求直线l的倾斜角；（3）点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且，求y0的值．【解答】解：（1）∵椭圆（a＞b＞0）长轴长为短轴长的两倍，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，∴，解得a=2，b=1．所以椭圆的方程为+y2=1．（2）由（1）可知点A的坐标是（﹣2，0）．设点B的坐标为（x1，y1），直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+2）．代入椭圆方程，消去y并整理，得（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0．由﹣2x1=，得．从而．所以|AB|==．由|AB|=，得=．整理得32k4﹣9k2﹣23=0，即（k2﹣1）（32k2+23）=0，解得k=±1．所以直线l的倾斜角或．（3）由（1）可知A（﹣2，0）．设B点的坐标为（x1，y1），直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+2），于是A，B两点的坐标满足方程组，由方程组消去y并整理，得（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0，由﹣2x1=，得，从而，设线段AB是中点为M，则M的坐标为（﹣，），以下分两种情况：①当k=0时，点B的坐标为（2，0）．线段AB的垂直平分线为y轴，于是=（﹣2，﹣y0），=（2，﹣y0），由，得y0=；②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为y﹣=，令x=0，解得，由=（﹣2，﹣y0），=（x1，y1﹣y0），=﹣2x1﹣y0（y1﹣y0）=+（+）==4，整理得7k2=2，故k=，解得．综上或．21．从数列{a n}中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列{a n}的一个子数列．设数列{a n}是一个首项为a1、公差为d（d≠0）的无穷等差数列．（1）若a1，a2，a5成等比数列，求其公比q．（2）若a1=7d，从数列{a n}中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项，试问该数列是否为{a n}的无穷等比子数列，请说明理由．（3）若a1=1，从数列{a n}中取出第1项、第m（m≥2）项（设a m=t）作为一个等比数列的第1项、第2项，试问当且仅当t为何值时，该数列为{a n}的无穷等比子数列，请说明理由．【解答】解：（1）由题设，得a22=a1a5，即（a1+d）2=a1（a1+4d），得d2=2a1d，又d≠0，于是d=2a1，故其公比．（2）设等比数列为{b m}，其公比，，由题设a n=a1+（n﹣1）d=（n+6）d．假设数列{b m}为{a n}的无穷等比子数列，则对任意自然数m（m≥3），都存在n∈N*，使a n=b m，即，得，当m=5时，，与假设矛盾，故该数列不为{a n}的无穷等比子数列．（3）①设{a n}的无穷等比子数列为{b r}，其公比（t≠1），得b r=t r﹣1，由题设，在等差数列{a n}中，，，因为数列{b r}为{a n}的无穷等比子数列，所以对任意自然数r（r≥3），都存在n∈N*，使a n=b r，即，得，由于上式对任意大于等于3的正整数r都成立，且n，m﹣1均为正整数，可知t r﹣2+t r﹣3+t+1必为正整数，又d≠0，故t是大于1的正整数．②再证明：若t是大于1的正整数，则数列{a n}存在无穷等比子数列．即证明无穷等比数列{b r}中的每一项均为数列{a n}中的项．在等比数列{b r}中，b r=t r﹣1，在等差数列{a n}中，，，若b r为数列{a n}中的第k项，则由b r=a k ，得，整理得，由t，m﹣1均为正整数，得k也为正整数，故无穷等比数列{b r}中的每一项均为数列{a n}中的项，得证．综上，当且仅当t是大于1的正整数时，数列{a n}存在无穷等比子数列．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：BAPl 运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。