2018年初中数学北京课改版九年级三角形相似的条件(附解析)
北师版九年级数学 4.4探索三角形相似的条件(学习、上课课件)
感悟新知
知3－练
例 3 如图4-4-4，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的一点， 且BP=3PC，Q 是CD 的中点. 求证：△ ADQ ∽△ QCP.
解题秘方：紧扣“边角关系判 定相似三角形定理”证明即可.
感悟新知
ABC
∽
△
DEF，
AB DE
= 12
，
若BC=Байду номын сангаас，
则EF=( A )
A.4
B.6
C.8
D.16
感悟新知
知2－讲
知识点 2 两角分别相等的两个三角形相似
判定定理
两角分别 相等的两 个三角形 相似
图示
符号语言
如图，在△ ABC 和△ A′B′C′中，∵∠ A= ∠ A′，∠ B= ∠ B′， ∴△ ABC ∽△ A′B′C′
感悟新知
知3－讲
知识点 3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
判定定理
两边成比 例且夹角 相等的两 个三角形 相似
图示
符号语言
如图，在△ ABC 和 △ A′B′C′中， ∵AA′BB′=CB′ CB′， ∠ B= ∠ B′， ∴△ ABC ∽△A′B′C′
感悟新知
知3－讲
特别提醒 运用该定理证明相似时，一定要注意边角的关系，相
第四章 图形的相似
4 探索三角形相似的条件
学习目标
1 课时讲解 相似三角形
两角分别相等的两个三角形相似 两边成比例且夹角相等的两个三角
形相似
三边成比例的两个三角形相似
2 课时流程 判定两个三角形相似的基本思路
黄金分割
几何中的相似三角形相似三角形的判定条件
几何中的相似三角形相似三角形的判定条件相似三角形是几何学中的重要概念，判断两个三角形是否相似可以通过一系列的条件来确定。
本文将介绍几何中的相似三角形以及相似三角形的判定条件。
一、相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。
它们的所有对应角度相等，对应边的长度成比例。
二、相似三角形的判定条件在几何学中，有三种主要的判定条件用于确定两个三角形是否相似，它们分别是AA相似定理、SAS相似定理和SSS相似定理。
1. AA相似定理（角-角相似定理）当两个三角形中有两个对应角度相等时，它们是相似三角形。
具体而言，如果两个三角形的一个角度相等，而另一个角度也相等，那么这两个三角形是相似的。
2. SAS相似定理（边-角-边相似定理）当两个三角形的一个角度相等，并且两边成比例，那么它们是相似的。
具体而言，如果两个三角形的一个角度相等，并且与这个角度对应的两边成比例，那么这两个三角形是相似的。
3. SSS相似定理（边-边-边相似定理）当两个三角形的三边成比例时，它们是相似的。
具体而言，如果两个三角形的三边长度成比例，那么这两个三角形是相似的。
三、相似三角形的性质相似三角形具有一些重要的性质，可以应用于解决几何问题。
1. 对应角相等性质相似三角形的对应角相等，即它们的三个角度一一对应相等。
2. 对应边成比例性质相似三角形的对应边长度成比例，即它们的三个边按比例相等。
3. 高度性质相似三角形的对应边上的高度成比例，即它们的高度按比例相等。
4. 重心性质相似三角形的重心重合，即它们的重心位置一致。
四、应用举例下面通过一个实例来演示相似三角形的判定过程。
例题：已知∠ABC = 60°，∠ACB = 40°，AB = 8 cm，BC = 6 cm，是否可以判定△ABC与△DEF相似？解答：根据角度相等的条件，我们可以得知∠ABC = ∠DEF = 60°以及∠ACB = ∠DFE = 40°。
九年级数学相似三角形的判定及证明技巧讲义
相似三角形是中学数学中的一个重要内容，对于九年级学生来说，掌握相似三角形的判定及证明技巧是必不可少的。
本文将详细讲解相似三角形的判定及证明技巧，帮助学生更好地理解和运用这一知识点。
一、相似三角形的判定：1.AAA相似判定法：如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。
例如，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，那么这两个三角形相似。
2.AA相似判定法：如果两个三角形的一个角对等于另一个角，且两个角的对边成比例，则这两个三角形是相似的。
例如，在△ABC和△DEF 中，∠A=∠D，∠C=∠F，且AB/DE=BC/EF，那么这两个三角形相似。
3.SSS相似判定法：如果两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形是相似的。
例如，在△ABC和△DEF中，AB/DE=BC/EF=AC/DF，那么这两个三角形相似。
4.平行线判定法：如果两个三角形的对应边平行，则这两个三角形是相似的。
例如，在△ABC和△DEF中，AB∥DE，BC∥EF，AC∥DF，那么这两个三角形相似。
二、相似三角形的证明技巧：1.用平行线证明相似：如果两个三角形的对应边平行，则这两个三角形是相似的。
证明时，可以使用平行线的性质，如同位角相等、内错角互补等。
2.用角度证明相似：如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。
证明时，可以根据已知信息，使用角度的性质进行推导。
3.用边长比证明相似：如果两个三角形的对应边长比相等，则这两个三角形是相似的。
证明时，可以根据已知的边长比，通过等式推导得出结论。
4.用等腰三角形证明相似：如果两个三角形分别为等腰三角形，且对应的顶角相等，则这两个三角形是相似的。
以上是常用的相似三角形的判定及证明技巧，希望对九年级的数学学习有所帮助。
在学习过程中，要多加练习，掌握不同方法的应用，提高解题能力。
同时，要注重理论与实践相结合，灵活运用知识，培养自己的思维能力和推理能力。
祝每位同学在数学学习中取得优异成绩！。
九年级数学上册18《相似形》相似三角形的性质及证明课件(新版)北京课改版
解： （2）∵EF为△ABD的中位线，
∴EF＝
1 BD，EF∥BD， 2
∴△AEF∽△ABD， ∴S△AEF：S△ABD=1：4
∴S△AEF：S四边形BDFE=1：3，
∵四边形BDFE的面积为6， ∴S△AEF=2， ∴S△ABD=S△AEF+S四边形BDFE=2+6=8
一天，小明与小芳讨论一个问题：已知，在平行四边形ABCD中，点E 在直线AD上，AE= AD，连接CE交BD于点F，则EF：FC的值是多少 ？小明说结果是2:3小芳说结果是4:3，你认为谁说的对呢，为什么？
B
H
C
E H′
F
相似三角形的对应高有什么关系？ △ABC ∽△DEF， ∠C= ∠F,AH ⊥ BC,DH’⊥ EF ∠AHC= ∠DH’F=90 °, △ACH∽△DFH’,AC:DF=AH:DH’=k
丨对应高、对应中线、对应角平分线关系 A D
B
M
C
E
M′
F
相似三角形的对应角平分线有什么关系？ △ABC ∽△DEF， ∠C= ∠F, ∠BAC= ∠EDF, AMDM’是角平分线 ∠MAC= ∠M’DF, △ACM∽△DFM’,AC:DF=AM:DM’=k
丨相似三角形的对应周长,对应面积关系 A D
B
C
E
F
相似三角形的对应周长有什么关系？ △ABC ∽△DEF， AB:DE= AC:DF=BC:EF=k,AB=kDE, AC=kDF,BC=kEF,(AB+AC+BC):(DE+DF+EF)=k
丨相似三角形的对应周长,对应面积关系 A D
B
H
C
E H′
1 3
△EFD∽△CFB
九年级数学相似三角知识点
九年级数学相似三角知识点数学是一门重要且有趣的学科，其中相似三角形是数学中一个重要的概念。
相似三角形的研究帮助我们理解和解决各种实际问题。
在九年级数学中，相似三角形是一个重要的知识点。
本文将详细介绍九年级数学中与相似三角形相关联的几个知识点，以加深对这个概念的理解。
一、相似三角形的定义与性质相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。
它们的对应角度相等，对应边的比例也相等。
相似三角形有很多有趣的性质。
例如，如果两个三角形相似，则它们的对应边长比相等。
根据这个性质，我们可以通过已知条件推导出未知条件。
此外，两个相似三角形的高度、中线、角平分线也是成比例的。
二、相似三角形的判定方法在确定两个三角形是否相似时，我们需要使用一些判定方法。
最常用的判定方法有AAA（角-角-角）相似判定法、SAS（边-角-边）相似判定法和SSS（边-边-边）相似判定法等。
这些方法非常重要，可以帮助我们准确地判定两个三角形是否相似，从而在解决问题时提供正确的切入点。
三、相似三角形的比例关系相似三角形具有重要的比例关系。
在相似三角形中，我们可以根据已知条件求解未知条件以及应用比例关系解决实际问题。
例如，我们可以利用两个相似三角形的对应边长比来计算未知长度。
在解决实际问题时，掌握比例关系是非常重要的一项技能。
四、相似三角形的应用相似三角形在实际问题中有广泛的应用。
例如，我们可以使用相似三角形的原理来计算高楼、高塔的高度。
此外，相似三角形还可以应用于已知影子长度和物体高度计算等问题。
掌握了相似三角形的知识，我们可以更好地理解和解决这些实际问题。
五、相似三角形的构造在九年级数学中，我们还需要学习相似三角形的构造。
构造相似三角形时，我们可以通过已知条件构造一个相似的三角形，从而解决问题。
构造相似三角形的方法有很多，如底角平分线、相似三角形的角平分线、相似三角形的中线等。
掌握这些构造方法可以为我们解题提供更多的思路和方法。
结语：相似三角形是九年级数学中一个重要的知识点，它有广泛的应用，并能够帮助我们解决各种实际问题。
九年级数学相似三角形的判定北京版
相似三角形的判定一、相似三角形的判定方法：相似三角形的判定方法可类比全等三角形的判定方法进行研究判定方法类比：全等三角形相似三角形判定方法两边和其夹角对应相等，两三角形全等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似两角和其夹边对应相等，两三角形全等两角对应相等，两三角形相似三边对应相等，两三角形全等三边对应成比例，两三角形相似斜边和一条直角边对应相等，两直角三角形全等一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似此外还有：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原直角三角形相似二、相似三角形判定中常见常用的基本图形1、平行线型（两线平行，则相似）2、相交线形（两角相等，则相似）3、旋转型三、例题：例1、选择题：已知，如图ΔABC中，DE//BC，BE与CD交于F点，则图中相似三角形共有（）对。
（A）1（B）2（C）3（D）4分析：因为DE//BC，图中有两个基本图形，即ΔADE∽ΔABC，ΔDEF∽ΔCBF。
故应选B。
例2、填空题：如图，□ABCD中，E是CB延长线上一点，DE交AB于F，则图中共有________对相似三角形。
分析：因为平行四边形对边平行，所以有AB//CD即BF//CD，又有AD//BC，所以图中相似三角形有ΔEBF∽ΔECD,ΔEBF∽ΔDAF，ΔECD∽ΔDAF，共3对。
解略。
例3、如图，ΔABC是等边三角形，∠DAE=1200，求证：AD·AE=AB·DE分析：把要证的乘积式化为比例式：=，竖着看，等式左边AD，AB在ΔABD中，等式右边DE，AE在ΔADE中，如果能证明ΔABD与ΔEAD相似问题就能得到解决。
证明：∵ΔABC是等边三角形，∴∠ABC=600，∴∠ABD=1800-∠ABC=1200，∵∠DAE=1200，∴∠ABD=∠DAE，在ΔABD和ΔEAD中，∠ABD=∠EAD，∠D=∠D，∴ΔABD∽ΔEAD，∴=∴AD·AE=AB·DE。
三角形相似证明条件
三角形相似的证明是数学中的一种基本技能，涉及到相似三角形的定义、定理和性质等。
证明三角形相似通常需要满足一定的条件，包括两边对应成比例且夹角相等，三边对应成比例，以及两个角分别相等。
下面将对这些证明条件进行详细说明。
首先，我们讨论两边对应成比例且夹角相等的条件。
在两个三角形中，如果存在两组对应边，这两组对应边的比相等，同时它们的夹角也相等，那么我们就可以说这两个三角形相似。
这个条件可以简单地表述为：如果两个三角形的对应边成比例，那么它们一定相似。
这是因为相似三角形的性质表明，如果两个三角形相似，那么它们的对应边一定成比例。
其次，三边对应成比例也是相似三角形的证明条件。
如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么我们就可以说这两个三角形相似。
这个条件可以表述为：如果两个三角形的三边对应成比例，那么它们一定相似。
这个条件是基于三角形的性质和定理，即任意两个相似三角形的对应边的比值等于其原三角形的对应边的比值。
此外，两个角分别相等的条件也是相似三角形的证明条件之一。
如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形不一定相似。
但是，如果这两个角所对应的边成比例，那么这两个三角形就相似了。
这个条件可以表述为：如果两个三角形的两个角分别相等，且这两个角所对应的边成比例，那么这两个三角形相似。
在实际证明中，我们通常需要综合运用这些条件来证明两个三角形相似。
例如，我们可以先找到两个三角形中对应边的比值相等，再找到它们的夹角相等，从而证明这两个三角形相似。
另外，我们也可以先找到三个对应边的比值都相等，再找到其中一个角相等，从而证明这两个三角形相似。
总之，三角形相似的证明需要满足一定的条件，包括两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例、两个角分别相等等。
熟练掌握这些证明条件并灵活运用，可以帮助我们更好地证明三角形相似这一重要概念。
九年级下册数学 两个三角形相似的判定
在九年级下册数学中，我们学习了关于两个三角形相似的判定。
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形，它们的对应角度相等，对应边长成比例。
这一概念对于我们理解图形的性质和解决实际问题都至关重要。
首先要判断两个三角形是否相似，我们可以运用如下几种方法：1. 直角三角形的判定：当一个三角形中有一个角为直角时，可以直接利用两个直角三角形的斜边比相等的条件来判定两个三角形是否相似。
2. 两角对应相等的判定：如果两个三角形中分别有两个角各相等，则这两个三角形一定相似。
这是利用相似三角形的特性之一，即对应角相等。
3. 边对应成等比例的判定：如果两个三角形的对应边长成等比例，则这两个三角形也是相似的。
这个方法是根据相似三角形的定义进行判定的。
以上三种方法是我们在九年级下册数学学习中经常使用的三角形相似的判定方法。
通过这些方法，我们可以在解决实际问题中运用相似三角形的性质，比如利用相似三角形进行测量距离、高度等问题的解决。
在我看来，相似三角形的判定方法不仅仅是学习数学知识，更是培养我们逻辑思维和解决问题的能力。
通过对相似三角形的学习，我们可以锻炼自己的观察力和分析能力，培养自己对于形状和结构的认知。
九年级下册数学中关于两个三角形相似的判定是一个非常重要且有价值的内容。
通过深入学习和理解这一内容，我们可以提升自己的数学水平，同时也培养自己的思维能力和解决问题的能力。
希望通过本文的阐述，你能更深入地理解并应用这一知识点。
：九年级下册数学中关于相似三角形的判定，不仅在数学知识上具有重要意义，而且在实际生活中也有着广泛的应用。
通过学习相似三角形的判定方法，我们可以更好地理解图形的形状和特性，从而更准确地解决实际问题。
除了学习相似三角形的判定方法，我们还需要掌握利用相似三角形解决实际问题的技巧。
在实际测量中，如果无法直接测量某个物体的高度或距离，可以利用相似三角形的性质进行间接测量。
通过测量已知物体的高度和距离，以及与被测物体的对应角度，可以利用相似三角形的比例关系计算出被测物体的高度和距离。
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2018年初中数学北京课改版九年级三角形相似的条件（附解析）
第1题. 如图，△ABC 内接于圆，D 是A C 上的中点，AC 和BD 相交于P
点，则图中的相似三角形有（ ）
A ．2对
B ．4对
C ．6对
D ．8对
答案：C ．
第2题. 已知：如图，P 是等边△ABC 外接圆的弧BC 上一点，CP 的延长线和AB 的延长线相交于D 点，连结BP ． 求证：（1）∠D =∠CBP ； （2）AC 2=CP ·C D ．
答案：(1)证∠ABP =∠ABC+∠CBP =∠D +∠BPD ，而∠ABC =∠BPD =60°； （2）连AP ，证△APC ∽△DAC ．
第3题. 如图，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径． 求证：AB ·AC ＝AE ·A D ．
答案：连结CE ，证明△ACE 与△ADB 相似．
第4题. 如图，正方形ABCD 中，过点D 作DP 交AC 于点M 、交AB 于点N ，交CB 的延长线于点P ，若MN ＝1，PN ＝3，则DM 的长为________． 答案：2．
第5题. 如图，B C F G E D ∥∥若每两个三角形相似，构成一组相似三角形，那么图中相似的三角形的组数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
答案：C ．
第6题. 如图，△ABC 内接于圆，D 是A C 上的中点，AC 和BD 相交于P 点，则图中的相似三角形有（ ） A ．2对 B ．4对 C ．6对 D ．8对 答案：C ．
B
C
D E G
F
A
C
A
D
B P
D
A
C
A
D
B
P
第7题. 如图，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径． 求证：AB ·AC ＝AE ·A D ．
答案：连结CE ，证明△ACE 与△ADB 相似．
第8题. 已知:如图，BC 为半圆O 的直径，F 是半圆上异于B 、C 的一点，A 是B F 的中点，AD ⊥BC 于点D ，BF 交AD 于点E ． (1)求证：BE ·BF ＝BD ·BC ；
(2)试比较线段BD 与AE 的大小，并说明道理． 答案：（1）连结FC ，证明△BDE 与△BFC 相似； （2）AE >BD ．
第9题. 如图，△ABC 内接于⊙O ，D 是劣弧A B 上一点，E
是BC 延长线上一点，AE 交⊙O 于F ．为使△ADB ∽△ACE ． 应
补充的一个条件是 ，或 ．
答案：∠DAB =∠CAE ，∠ABD =∠E ．
第10题. 如图，E 为矩形ABCD 的CD 边延长线上一点，BE
交AD 于G ，AF ⊥BE 于F ，图中相似三角形的对数是 （ ）
A ．5
B ．7
C ．8
D ．10
答案：D
第11题. 如图，已知△ABC ，P 是AB 上一点，连结CP ，要使ACP ∽△ABC ， 只需添加条件(只写出一种
合适的条件) ． 答案：
∠B =∠ACP 或∠APC =∠ACP 或AB AP AC ⋅=2
第12题. 如图，在直角△ABC 中，∠BAC =90°CE 平分∠ACB ，AD ⊥BC 于D ，AD 与CE 相交于点F ，则△CDF ∽△ ，△AFC
∽△ ． 答案：CAE ，BEC
第13题. 如图，点D 、E 在等边△ABC 的边AB 、BC 上，且AD =BE ，AE 、CD 相交于点F ，则△BCD ∽△ ∽△ ．
A
B
C
D
E A B C
F
E
D
A
B C
E
D
F
答案：CAE ，FCE
第14题. 如图，
A B B C A C A D
D E
A E
==，则∠BAD =∠ =
∠ ． 答案：CAE ，CBE
第15题. 如图，△ABC 中，∠A =90°，∠C =30°，N 是AB 的中点，MN ⊥BC 于M ，则可识别△BMN
∽△ ，相似比为 ． 答案：BAC ，1∶4
第16题. 在△ABC 和△DEF 中，若∠B =∠E ，且 或 或 ，那么 △ABC ∽△DEF ．
答案：
∠A =∠D ， ∠C =∠F ，EF BC
DE AB
=
第17题. 如图，∠1=∠2=∠3，试写出图中所有相似的三角形，可不要遗漏哦！
答案：△ADE ∽△ABC ∽△ACD
第18题. 如图，已知∠1=∠2=∠3，则△ABC ∽△ADE ，为什么？
答案：可得∠C =∠E , ∠BAC =∠DAE ,所以相似
第19题. 已知四边形ABCD ∽四边形C B A '''D '，连接AC 和C A ''，△ABC 与△C B A '''相似吗?为什么?
答案：相似，理由：利用两边对应成比例且夹角相等．
A
B C
E
D
B M A
E
D
B
C
1
3
2 D 1 A B E
C 2
3
第20题. 如图的两个三角形是否相似，为什么？若相似，写出对应边．
答案：可求得∠B=63°，∠D=55°，相似；AB 对应DF ，BC 对应FE ，CA 对应ED
第21题. 如图，∠AED =∠C ，DE =4，BC =12，CD =15，AD =3，求AE 、BE 的长．
答案：AE =6，BE =3
第22题. 图中的两个三角形是否相似？说明理由． 答案：不相似，直角边不成比例
第23题. 如图，DE ∥BC ，AB =15，AC =9，BD =4，求AE 的长．
答案：57
5
第24题. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 是CB 的延长线上一点，连接DE ,交AC 于G ,交AB 于F ,则图中相似三角形（不包括全等三角形）共有（ ） A ．6对 B ．5对 C ．4对 D ．3对 答案：B
第25题. 在△ABC 中，∠ACB =，CD ⊥AB 于D ，如果BD =9cm ，AD =3cm ，
则
AC = ，CD =____． 答案：6
，
第26题. 如图，在矩形ABEF 中，四边形ABCH 、四边形CDGH 和四边形DEFG 都是正方形，图中的△ACD 与△ECA 相似吗？为什么？ 答案：相似.因为,且∠ACD =∠DCA.
90︒AC CE
CD AC
=
A
D
B
C
E
A
B C
D
E
F G D
A
B
E
C H
G
F
第27题. 如图，正方形ABCD 中，其边长为1，P 是CD 的中点，点Q 在线段BC 上，当BQ 为何值时，△ADP 与△QCP 相似？
答案：
当BQ =时，有，∠B =∠C ，所以△ADP 与△QCP 相似．当BQ =0时，
△ADP 与△QCP 相似．
第28题. 如图，已知RT △ABC 与RT △DEF 不相似，其中∠C 、∠F 为直角，能否分别将这两个三角形各分割成两个三角形，使△ABC 所分的每个三角形与△DEF 所分成的每个三角形分别对应相似？若能，请设计出一种分割方案．
A
B
D
E
C
答案：
过C 点作直线CG 交AB 于G ，使∠
ACG=∠E ，过F 点作直线FH 交DE 于H ，使∠DFH=∠B ．
第29题. 如图，AB ∥CD ，AE ∥FD ，则图中的相似三角形共有（ ） A ．2对 B ．4对 C ．6对 D ．8对 答案：C
43
2
==
CQ
DP CP
AD A B
C
D
P
Q A
B D E
F G
H
C。