文科数学测试28

图1乙甲75187362479543685343212014届高三数学测试题（二十八）文科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若bi i i -=⋅-44)2(，(i 是虚数单位，b 是实数)，则b =（ ） A ．4- B ．4C ．8-D ．82．下列说法错误．．的是 ( ) A ．若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题. B ．“1=x ”是“2320x x -+=”的充分不必要条件.C ．命题“若2320x x -+=则1=x ”的逆否命题为：“若1x ≠,则2320x x -+≠”.D ．命题p ：x R ∃∈，使得210x x ++<. 则p ⌝：x R ∀∈， 均有210x x ++≥. 3. 已知cos tan 0θθ∙<，那么角θ是（ ）Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角 Ｃ．第三或第四象限角 Ｄ．第一或第四象限角4.数列}{n a 为等差数列，=+=+=+526341,9,21a a a a a a 则（ ）A ．12B ．25C ．16D ．155. 图1是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（ ） A ．65 B ．64 C ．63 D ．62 6．如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图 与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的表面积是（ ） A ．12 B ．443+C ．43D ．87．条件:2p a ≤，条件:(2)0q a a -≤，则p ⌝是q ⌝的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8.若双曲线()222213x y a o a -=>的离心率为2，则a 等于( )俯视图主视图侧视图否否3y x =-开输入x 1x <-3x ≤是2y x =1y x =+是输出y结A. 2B. 3C. 32D. 1 9.函数f (x )=1xx +的最大值为（ ） (A)25(B)12(C)22(D)110．已知A 、B 、C 是△ABC 的三个顶点，2AB AB AC AB CB BC CA =⋅+⋅+⋅ ,则△ABC 为 （ ）. A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C.等腰直角三角形 D ．既非等腰又非直角三角形二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题）11. 曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为 .12．运行右边算法流程，若x 输入2时，输出y 的值为________ .13．已知函数23,0() 1.0x x f x x x -⎧>⎪=⎨-≤⎪⎩，则[(2)]f f -= .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题,）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心的极坐标是 15.（几何证明选讲选做题）如图，⊙O 中，ABCD 是圆内接四边形，∠110BOC = ， 则∠BDC 的度数是三、 解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本题满分12分）记函数)32(log )(2-=x x f 的定义域为集合M ，函数()(3)(1)g x x x =--的定义域为集合N 。

求：（1）集合M ，N ；（2）集合M ∩N ，M ∪N 。

17.( 本题满分13分)已知函数()sin sin(),2f x x x x R π=++∈.(1)求()f x 的最小正周期； (2)若3()4f α=，求sin 2α的值.18.（本题满分14分）已知p ：方程210x mx ++=有两个不等的负实根，q ：不等式244(2)10x m x +-+>恒成立。

若p 或q 为真，p 且q 为假。

求实数m 的取值范围。

19.（本题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -的底面 是边长为1的正方形，,1, 2.PA CD PA PD ⊥==（Ⅰ）求证:PA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积.20.（本题满分14分）已知集合{}4,2,0,1,3,5A =--，在平面直角坐标系中，点(),M x y 的坐标x ∈A ，y ∈A 。

计算：（1）点M 正好在第二象限的概率；（2）点M 不在x 轴上的概率；（3）点M 正好落在区域8000x y x y +-<⎧⎪>⎨⎪>⎩上的概率。

21. （本题满分14分）对于定义在区间[m ，n]上的两个函数f(x)和g （x ），如果对任意的x ∈[m,n]，均有不等式1|)()(|≤-x g x f 成立，则称函数f(x)与g （x ）在[m ，n]上是“友好”的，否则称“不第19题图 _ D_ C_ B_ A _ P友好”的．现在有两个函数)3(log )(a x x f a -=与ax x g a-=1log )(，其中（a>0,a ≠1），给定区间[a+2，a+3].(1)若f(x)与g(x)在区间[a+2，a+3]上都有意义，求a 的取值范围; (2）讨论函数f(x)与g(x)在区间[a+2，a+3]上是否“友好”.数学（文）考试答案一、选择题：5×10=50分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CACDBAABBB二、填空题：5×4=20分（选做题（14～15题，考生只能从中选做一题,） 11、 45° 12、 413、 271 14、 (2,)2π 15 0125三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16、（本题满分12分）记函数)32(log )(2-=x x f 的定义域为集合M ，函数()(3)(1)g x x x =--的定义域为集合N 。

求：（1）集合M ，N ；（2）集合M ∩N ，M ∪N 。

解：（1）由230x ->得3{|};2M x x =>………… 3分 由{}(3)(1)013x x N x x --≥=≤≤得 ………… 6分 （2）332M N xx ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭………… 9分 {}1M N x x =≥ ………… 12分17.( 本题满分13分)已知函数()sin sin(),2f x x x x R π=++∈.(1)求()f x 的最小正周期；(2)若3()4f α=，求sin 2α的值.解：)4sin(2cos sin )2sin(sin )(ππ+=+=++=x x x x x x f ….4分（1）)(x f 的最小正周期为ππ212==T ; ….8分 （2）因为43)(=αf ，即167cos sin 2①43cos sin -=⇒⋅⋅⋅=+αααα,即 1672sin -=α ---------------13分18.（本题满分14分）已知p ：方程210x mx ++=有两个不等的负实根，q ：不等式244(2)10x m x +-+>恒成立。

若p 或q 为真，p 且q 为假。

求实数m 的取值范围。

解：由题意,p q 中有且仅有一为真，一为假，------2分p 真12120010x x m x x ∆>⎧⎪⇔+=-<⎨⎪=>⎩ ⇒m>2，------5分 q 真⇔∆<0⇒1<m<3, ------8分若p 假q 真，则213m m ≤⎧⎨<<⎩⇒1<m ≤2；-----11分；若p 真q 假，则2313m m m m >⎧⇒≥⎨≤≥⎩或综上所述：m ∈(1,2]∪[3，+∞)． ------14分19.（本题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -的底面 是边长为1的正方形，,1, 2.PA CD PA PD ⊥==（Ⅰ）求证:PA ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积.（Ⅰ）因为四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，2,1==PD PA所以222AD PA PD +=，所以AD PA ⊥ ----------------4分又CD PA ⊥，D CD AD =所以PA ⊥平面ABCD --------------8分 （Ⅱ）四棱锥P ABCD -的底面积为1，因为PA ⊥平面ABCD ，所以四棱锥P ABCD -的高为1， 所以四棱锥P ABCD -的体积为31. --------------------13分第19题图 _ D_ C_ B_ A _ P20.（本题满分14分）已知集合{}4,2,0,1,3,5A =--，在平面直角坐标系中，点(),M x y 的坐标x ∈A ，y ∈A 。

计算：（1）点M 正好在第二象限的概率；（2）点M 不在x 轴上的概率；（3）点M 正好落在区域8000x y x y +-<⎧⎪>⎨⎪>⎩上的概率。

解：满足条件的M 点共有6636⨯=个 ……………………1分 （1）正好在第二象限的点有(4,1)-,(4,3)-,(4,5)-,(2,1)-,(2,3)-,(2,5)- ………………3分故点M 正好在第二象限的概率P 1=61366=. ………………4分 （2）在x 轴上的点有(4,0)-,(2,0)-,(0,0),(1,0),(3,0),(5,0) ……6分 故点M 不在x 轴上的概率P 2=1－636=56. ……………………8分 （3）在所给区域内的点有()1,1,()1,3,()1,5,()3,1,()3,3,()5,1 ………10分 故点M 在所给区域上的概率361366P == ……………………11分 答：（1）点M 正好在第二象限的概率是16，（2）点M 不在x 轴上的概率是56，（3）点M 在所给区域上的概率16…………………14分21. （本题满分14分）对于定义在区间[m ，n]上的两个函数f(x)和g （x ），如果对任意的x ∈[m,n]，均有不等式1|)()(|≤-x g x f 成立，则称函数f(x)与g （x ）在[m ，n]上是“友好”的，否则称“不 友好”的．现在有两个函数)3(log )(a x x f a -=与ax x g a-=1log )(，其中（a>0,a ≠1）， 给定区间[a+2，a+3].(1)若f(x)与g(x)在区间[a+2，a+3]上都有意义，求a 的取值范围; (2）讨论函数f(x)与g(x)在区间[a+2，a+3]上是否“友好”. 解:(1)函数f(x)与g （x ）在区间[a+2，a+3]上有意义，必须满足⎪⎩⎪⎨⎧≠<<<⇒>-+>-+1,01002032a a a a a a a ……………6分（2）假设存在实数a ，使得函数f(x ）与g(x)在区间[a+2,a+3]上是“友好”的， 则1|)34(log |)34(log )()(|2222≤+-⇒+-=-a ax x a ax x x g x f a a 即1)34(log 122≤+-≤-a ax x a （*）……………8分因为)2,0(2)1,0(∈⇒∈a a ，而[a+2,a+3]在x=2a 的右侧，所以函数)34(log )(22a ax x x g a +-=在区间[a+2,a+3]上为减函数，从而)44(log )2()]([max a a g x g a -=+=，)69(log )3()]([min a a g x g a -=+=………10分于是不等式（*）成立的充要条件是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-≤<⇒-≥-≤-101257901)69(log 1)44(log a a a a aa …………13分 因此，当125790-≤<a 时，函数f （x ）与g(x ）在区间[a+2,a+3]上是“友好”的；当12579->a 时，函数f(x ）与g(x ）在区间[a+2,a+3]上是“不友好”的．………14分。