高三诊断性考试数学(文科)
高三数学诊断考试文科试题 (含答案解析)
数学(文史类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．DDCAC CCBBA BD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．95 14．106.5 15．416．34三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（Ⅰ）已知C B A tan 31tan 21tan ==， ∴ tan B =2tan A ，tan C =3tan A ，在△ABC 中，tan A =-tan(B +C )=AA A CBC B 2tan 61tan 3tan 2tan tan 1tan tan -+-=-+-， ……3分 解得tan 2A =1，即tan A =-1，或tan A =1． ……………………………………4分若tan A =-1，可得tan B =-2，则A ，B 均为钝角，不合题意． ……………5分故tan A =1，得A =4π． …………………………………………………………6分 （Ⅱ）由tan A =1，得tan B =2，tan C =3，即sin B =2cos B ，sin C =3cos C ，…………………………………………7分结合sin 2B +cos 2B =1，sin 2C +cos 2C =1，可得sin B =52，sin C =103， (负值已舍) ……………………………………9分在△ABC 中，由B b A a sin sin =，得b =10252252sin sin =⨯=⋅a A B ， …………11分”” 于是S △ABC =21ab sin C =15103102521=⨯⨯⨯． ……………………………12分 18．解：（Ⅰ）根据题意得：a =40，b =15，c =20，d =25，∴ 879.7249.845554060)20152540(10022>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ， ……………………………4分 ∴ 在犯错误的概率不超过0.005的前提下可以认为网购与年龄有关． ……5分（Ⅱ）根据题意，抽取的6人中，年轻人有=⨯660404人，分别记为A 1，A 2，A 3，A 4，中老年人=⨯660202人，分别记为B 1，B 2．…………………………7分则从这6人中任意选取3人的可能有(A 1，A 2，A 3)，(A 1，A 2，A 4)，(A 1，A 2，B 1)，(A 1，A 2，B 2)，(A 1，A 3，A 4)，(A 1，A 3，B 1)，(A 1，A 3，B 2)，(A 1，A 4，B 1)，(A 1，A 4，B 2)，(A 2，A 3，A 4)，(A 2，A 3，B 1)，(A 2，A 3，B 2)，(A 2，A 4，B 1)，(A 2，A 4，B 2)，(A 3，A 4，B 1)，(A 3，A 4，B 2)，(A 1，B 1，B 2)，(A 2，B 1，B 2)，(A 3，B 1，B 2)，(A 4，B 1，B 2)，共20种，…………………………………………………………………………9分其中，至少一个老年人的有(A 1，A 2，B 1)，(A 1，A 2，B 2)，(A 1，A 3，B 1)，(A 1，A 3，B 2)，(A 1，A 4，B 1)，(A 1，A 4，B 2)， (A 2，A 3，B 1)，(A 2，A 3，B 2)，(A 2，A 4，B 1)，(A 2，A 4，B 2)，(A 3，A 4，B 1)， (A 3，A 4，B 2)，(A 1，B 1，B 2)，(A 2，B 1，B 2)，(A 3，B 1，B 2)，(A 4，B 1，B 2)，(A 1，A 2，B 1)，(A 1，A 2，B 2)，(A 1，A 3，B 1)，(A 1，A 3，B 2)，(A 1，A 4，B 1)，共16种， ………………………………………………………………………11分∴ 所求的概率为542016=． ……………………………………………………12分 19．解：（Ⅰ）∵ b n+1)1(log 1))1(4[log )1(log 4414-+=-=-=+n n n a a a =1+b n ， ∴ b n+1-b n =1(常数)， …………………………………………………………3分∴ 数列{b n }是以b 1=log 44=1为首项，1为公差的等差数列，∴ b n =1+(n -1)×1=n ． …………………………………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知b n =n ，于是2)1(+=n n S n ， ………………………………6分 于是(-1)n kb n <2S n +n +4等价于(-1)n kn <n 2+2n +4，即等价于(-1)n 24++<nn k ．……………………………………………………7分 ∵ n 为正奇数，∴ 原式变为2)4(-+->nn k ， 令函数f (x )=2)4(-+-x x ，x >0，则222)2)(2(4)(x x x x x x f +--=-='， 当x ∈(0，2)时，0)(>'x f ，当x ∈(2，+∞)时，0)(<'x f ，即f (x )在(0，2)上单调递增，在(2，+∞)上单调递减，由f (1)=-7<f (3)=319-，即f (n )≥319-(n 为奇数)， ∴ k >319-． ……………………………………………………………………12分 20．解：（Ⅰ）设M (x ，y )，P (x 0，y 0)， 则D (x 0，0)，∴ =(0，y 0)，=(x -x 0，y )，由=，得0=2(x -x 0)，y 0=y 2，即y y x x 200==，， ………2分 又点P 在圆x 2+y 2=8上，代入得x 2+2y 2=8，∴ 曲线C 的方程为：14822=+y x ． …………………………………………4分 （Ⅱ）假设存在满足题意的点Q (x Q ，0) ．设直线AB 的方程为y =k (x -2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程组得：⎩⎨⎧=-+-=，，082)2(22y x x k y 整理得(2k 2+1)x 2-8k 2x +8k 2-8=0， ∴ x 1+x 2=12822+k k ，x 1x 2=128822+-k k ， …………………………………………8分 ∵ k QA +k QB =02211=-+-QQ x x y x x y ， 将y 1=k (x 1-2)，y 2=k (x 2-2)代入整理得：2x 1x 2-(x Q +2)(x 1+x 2)+4x Q =0， …………………………………………10分 即12161622+-k k -(x Q +2)×12822+k k +4x Q =0， 化简得x Q =4，故此时存在点Q (4，0)使得直线AQ ，BQ 的斜率之和为0．………………12分21．解：（Ⅰ）对)(x f 求导可得a e x f x -=')(． …………………………………1分∵ a >1，于是由0)(>'x f 解得a x ln >，由0)(<'x f 解得a x ln <，∴ )(x f 在(∞-，a ln )上单调递减，在(a ln ，+∞)上单调递增， …………3分 ∴ )(x f min =)(ln a f =1ln --a a a =1-2ln2．令2ln 22ln )(+--=a a a a g ，则a a g ln )(-='，由a >1知)(a g '<0，于是函数)(a g 在(1，+∞)单调递减，又0)2(=g ，∴ a 的值是2．…………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知a =2，2)(-='x e x f ， 故03)2)(21(03)()21(<++--⇔<++'-x e k x x x f k x x ，变形得2321-+>x x e xe k ．……………………………………………………………8分 令函数h (x )=)1(2321>-+x e xe x x ，则2)2()421()(---='x x x e x e e x h ． 令函数)1(421)(>--=x x e x x ϕ，则)1(0121)(>>-='x e x x Θϕ， 又0621)2(2<-=e ϕ，0721)3(3>-=e ϕ，∴ 存在t ∈(2，3)，使得0)(=t ϕ．当x ∈(0，t )，0)(<x ϕ，故0)(<'x h ，)(x h 在(1，t )单调递减；当x ∈(t ，+∞)，0)(>x ϕ，故0)(>'x h ，)(x h 在(t ，+∞)单调递增．故)()(min t h x h ==2321-+t t e te ． …………………………………………………10分 又0421)(=--=t e t t ϕ，故82+=t e t ， 故)()(min t h x h ==)1(21)3(2)3)(1(62342823)82(2123212+=+++=+++=-+++=-+t t t t t t t t t t e te t t ，又t ∈(2，3)，故)223()1(21，∈+t ，故正整数k 的最小值是2．……………………………………………………12分 22．解：（Ⅰ）将直线l 的参数方程消去参数得31=+x y ， 即l 的普通方程为013=--y x ．将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为x 2+y 2-2x -2y +1=0． …………5分（Ⅱ）将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==，，t y t x 23121代入C ：x 2+y 2-2x -2y +1=0中， 整理得04)132(2=++-t t ， 由韦达定理：41322121=⋅+=+t t t t ，， ……………………………………8分 16534)(2)(11112212122122212221222122+=-+=⋅+=+=+t t t t t t t t t t t t PB PA故165341122+=+PB PA ． …………………………………………………10分 23．解：(Ⅰ) m =1，212)(++-=x x x f当x ≤21时，f (x )=3-x ，由f (x )<6解得x >-3，综合得-3<x ≤21， 当x >21时，f (x )=3x +1，由f (x )<6解得x <35，综合得21<x <35， 所以f (x )<6的解集是)353(，-． ………………………………………………5分 （Ⅱ）当x >21时，f (x )=(2+m )x +1． 当x ≤21时，f (x )=(m -2)x +3，要使得f (x )有最小值，则⎩⎨⎧≤-≥+，，0202m m 解得-2≤m ≤2，且由图像可得，f (x )在x =21时取得最小值21m +2． y =-x 2+x +1在x =21时取得最大值45，方程f (x )=-x 2+x +1有两个不等实根， 则21m +2<45，解得m <-23．综上所述，m 的取值范围为-2≤m <-23． ……………………………………10分。
四川省宜宾市2024届高三第一次诊断性测试文科数学试题及答案解析
四川省宜宾市2024届高三第一次诊断性测试文科数学试题及答案解析（考试时间：120分钟全卷满分：150分）一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1.设集合{}{}3325<<-=<<-=x x B x x A ，，则A B ⋂=（）A.{32}x x -<<∣B.{52}xx -<<∣ C.{33}xx -<<∣ D.{53}xx -<<∣2.已知i 为虚数单位，且32i1i z =+，则z =（）A.1i- B.1i-+ C.1i+ D.1i--3.设函数()13+=x x f ，则()=8log 3f （）A.8B.9C.11D.244.从某中学甲、乙两班随机抽取10名同学的数学成绩，所得数据用茎叶图表示如下.由此可估计甲，乙两班同学的数学成绩情况，则下列结论不正确的是（）A.甲班数学成绩的极差比乙班大B.甲班数学成绩的中位数比乙班大C.甲班数学成绩的平均值比乙班小D.甲班数学成绩的方差比乙班小5.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A.xy = B.3x y = C.xy 2log = D.xy tan =6.已知点(,)x y 满足不等式组21400x y y x y ⎧⎪⎨⎪≥≥+--+⎩≤，则2z x y =+的最小值为（）A.3- B.1- C.5D.77.某种病毒的反之速度快、存活时间长，a 个这种病毒在t 天后将繁殖到t ae λ个.已知经过4天后病毒的数量会达到原来的2倍，且再过m 天后病毒的数量达到原来的16倍，则=m （）A.4B.8C.12D.168.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，若11a =，()*12N n S a n n ∈=+，则有（）A.数列{}n a 是等差数列B.数列{}n a 是等比数列C.数列{}n S 是等差数列D.数列{}n S 是等比数列9.函数24()exx xf x -=的图象大致是（）10.将函数()cos()(0)6f x x πωω=+>的图像向左平移2π个单位长度后得到曲线C ，若C 关于原点对称，则ω的最小值是（）A.23B.32 C.53D.11311.漏刻是中国古代科学家发明的一种计时系统，“漏”是指带孔的壶，“刻”是指附有刻度的浮箭.《说文解字》中记载：“漏以铜壶盛水，刻节，昼夜百刻.”某展览馆根据史书记载，复原唐代四级漏壶计时器.如图，计时器由三个圆台形漏水壶和一个圆柱形受水壶组成，水从最上层的漏壶孔流出，最终全部均匀流入受水壶.当最上层漏水壶盛满水时，漂浮在最底层受水壶中的浮箭刻度为0当最上层漏水壶中水全部漏完时，漂浮在最底层受水壶中的浮箭刻度为100.已知最上层漏水壶口径与底径之比为5:2，则当最上层漏水壶水面下降至其高度的三分之一时，浮箭刻度约为（四舍五入精确到个位）（）A.88B.84C.78D.7212.已知函数()x g 的定义域为R ，()11=g 且()()x g x g -=+11，()()13+-=x g x f ，则下列说法正确的个数为（）①(3)(5)g g -=；②(2024)0g =；③(2)(4)4f f +=-；④20241()2024n f n ==∑.A.1B.2C.3D.4二､填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13.已知(2,1)AC = ，(1,)AB t = ，且3AC AB ⋅=，则t =__________.14.若函数()212ln 2f x x ax x =-+-在1x =处的切线平行于x 轴，则a =__________.15.已知ABC ∆的三个内角A,B,C 所对应的边分别是a,b,c,其中A 、C 、B 成等差数列，22=a ，()B A C cos sin =-，则ABC ∆的面积为__________.16.已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合{}*sin |n S a n =∈N ，若{},S a b =，则22a b +=__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必做题：共60分.17.（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且279a a +=，945S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2nn n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.（12分）如图所示，△ABC 是正三角形，AE ⊥平面ABC ，AE CD ∥，2AE AB ==，1CD =，且F 为BE 的中点.（1）求证：DF ∥平面ABC ；（2）求三棱锥ABD F -的体积.19.（12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人200名，25周岁以下工人100名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，先采用分层抽样的方法，从中抽取了120名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[)60,50，[)70,60，[)80,70，[)90,80，[]90，100,分别加以统计得到如图所示的频率分布直方图：（1）从样本中日平均生产件数不低于90件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下”工人的概率；2⨯列（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请根据已知条件填写2联表，并判断是否有90％的把握认为“生产能手”与“工人所在的年龄组”有关？附：20.（12分）已知函数()1ln +=xxx f .（1）求()x f 的极值；（2）证明：当0>x 时，()xe xf x1-≤.21.（12分）已知抛物线()()200:2(0),4,0E y px p P y y =>>为E 上一点，P 到E 的焦点F 的距离为5.（1）求E 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，A ，B 为抛物线E 上异于P 的两点，且满足PA PB ⊥.（i ）判断直线AB 是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.（ii ）求FB F A ⋅的最小值.（二）选做题：共10分.请考生在第22､23题中选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）[选修44-：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，射线l 的方程为(0)y x x =≥，曲线C 的方程为2214x y +=.以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求射线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）若射线l 与曲线C 交于点P ，将射线OP 绕极点按逆时针方向旋转2π交C 于点Q ，求△POQ 的面积.23.（10分）[选修45-：不等式选讲]已知函数()2121f x x x =-++.（1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）记函数()f x 的最小值为m ，若a ，b ，c 均为正实数，且23a b c m ++=，求11a cb c+++的最小值.参考答案一、选择题1.A 解析：利用数轴可得{}23<<-=x x B A .2.B 解析：由题意：()i i i i i i i z +-=+=+=-=1212122.3.D 解析：()24833338log 8log 18log 333=⨯=⨯==+f .4.C解析：A ：甲、乙班数学成绩的极差分别为425193=-，415192=-，故A 正确；B ：甲、乙班数学成绩的中位数分别为7327373=+，5.6927267=+，故B 正确；C ：甲班数学成绩的平均数为：()4.7193828176737363626051101=+++++++++，乙班数学成绩的平均数为：()6.7092838281726763635251101=+++++++++，故C 错误；D ：从茎叶图可以看出，甲班的数学成绩比乙班的数学成绩较为集中，即甲班数学成绩的方差比乙班小，故D 正确.5.B解析：A ：⎩⎨⎧≥<-==0,0,x x x x x y ，在()0，∞-单调递减，[)∞+，0单调递增，且为偶函数，故A 错误；B ：根据幂函数的性质可知，函数3x y =既是奇函数又是偶函数，B 正确；C ：x y 2log =在定义域()∞+，0单调递增，为非奇非偶函数，C 错误；D ：函数x y tan =是奇函数，在区间Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-,2,2ππππ上单调递增，D 错误.6.B解析：作出可行域如图，当目标函数y x z +=2的图象经过点()1,1-A 时，z 有最小值，此时1min -=z .7.C解析：由题可知，24=λe，经过4+m 天，数量变为原来的16倍，即()a ae m 164=+λ，则有()()λλλ164444216e e e m ====+，解得12=m .8.D解析：因()*12Nn S a n n ∈=+①可得，当2≥n 时，12-=n nS a②，①－②得：()n n n n n a S S a a 2211=-=--+，可得31=+nn a a ，因11=a ，在()*12Nn S a n n ∈=+中，取1=n ，可得2212==S a，即3212≠=a a ，∴数列{}n a 的通项公式为⎩⎨⎧≥⋅==-2,321,12n n a n n ，故数列{}n a 既不是等差数列也不是等比数列，选项A ，B 错误；当2≥n 时，11321-+==n n n a S ，又由1=n 时，111==a S ，适合上式，故数列{}n S 是公比为3的等比数列，即选项D 正确，C 错误.9.A解析：令()0>x f ，得4>x 或0<x ；令()0<x f ，得40<<x ，故排除CD，又当+∞→x 时，()042→-=xe xx x f ，故排除B.10.A解析：由题意可知：函数()()06cos >⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ωπωx x f 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛02，π对称，则Z k k ∈+=+,262πππωπ，且0322>+=k ω，解得31->k ，即N k k ∈+=，322ω∴当0=k 时，ω取到最小值是32.11.B解析：有题意可知：最上层漏水壶所漏水的体积与浮箭刻度成正比，设最上层漏水壶的口径与底径分别为a a 25，，高为h ，则体积为()()()()h a h a a a a V 2222213252531πππππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+=，当最上层漏水壶水面下降到高度的三分之一时，设此时浮箭刻度为x ，∵已漏下去的水组成以上下口径为a a 3,5，高为h 32的圆台，体积为()()()()h a h a a a a V 22222199832353531πππππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+=，可得1001399822x h a ha =ππ，解得84≈x .12.C解析：∵()()x g x g -=+11，∴()()x g x g -=+2，又函数()x g 为定义在R 上的奇函数，∴()0=x g ，()()x g x g -=-，∴()()2+-=x g x g ，∴()()42+-=+x g x g ，∴()()()x g x g x g =+-=+24，即()x g 的周期4=T ，将4-=x 代入()()x g x g -=+11得()()53g g =-，①正确；()()()00050642024==+⨯=g g g ，②正确；∵()()13+-=x g x f ，∴()()()()()()2211111142=+-=+-++=+g g g g f f ，③错误；由()()2+-=x g x g 可得()()002=-=-g g ，()()111-=-=-g g ，∴()()()()01012=++-+-g g g g ，∴()()()2024320243202412024120241+--=+-=∑∑∑===n n n n g n g n f ()()()()[]202420241012506=+++-+-⨯-=g g g g ，④正确.二、填空题13.1解析：32=+=⋅t AB AC ，解得1=t .14.3解析：∵()x ax x x f ln 2212-+-=，∴()xa x x f 2-+-='，则()0211=-+-='a f ，解得3=a .15.33+解析：∵A 、C 、B 成等差数列，∴π==++C B C A 3，即3π=C ，又()()A C B A C +-==-cos cos sin ,∴A A A A cos 21sin 23sin 21cos 23-=-，解得A A cos sin =，则1tan =A ，∵()π,0∈A ，∴4π=A ，∴()4622322212234sin sin sin +=⨯+⨯=⎪⎭⎫⎝⎛+=+=ππC A B ，又22=a ，∴由正弦定理有A a C c sin sin =，即222223=c ，解得32=c ，∴△ABC 的面积为33462322221sin 21+=+⨯⨯⨯==∆B ac S ABC .16.45（1.25）解析：∵等差数列{}n a 的公差为32π，∴ππ23233+=⨯+=+n n n a a a ，∴()()n n n a a a sin 2sin sin 3=+=+π，∴数列{}n a sin 是周期为3的数列，又{}b a S ,=，故1sin a ，2sin a ，3sin a 中必有两者相等，不妨设()31sin sin ≤<≤=j i a a j i ，则Z k k a a j i ∈+=,2π（舍）或Z k k a a j i ∈+=+,2ππ，而π32=+-j i a a 或π34=+-j i a a ，若π32=+-j i a a ，则Z k k a i ∈+=,6ππ，Z k k a j ∈+=,65ππ，连续三个中第三数为Z k k a i ∈+=,23ππ或Z k k a i ∈+-=,2ππ，此时⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=121，S 或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=121，S .若π34=+-j i a a ，则Z k k a i ∈+-=,6ππ，Z k k a j ∈+=,67ππ，此时这两个数的中间数Z k k ∈+,2ππ，此时⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=121，S 或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=121，S .综上，4541122=+=+b a .三、解答题17.解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则⎩⎨⎧=+=+++4536996111d a d a d a ，解得⎩⎨⎧==111d a ，∴n a n =.（2）由（1）得nn n b 2⋅=，nn n T 2222121⋅++⨯+⨯= ，132222212+⋅++⨯+⨯=n n n T ，两式相减得：()()()2212121222222211132-⋅-=⋅---=⋅-++++=-+++n n n n nn n n n T ∴()2211+-=+n n n T .18.解：（1）证明：取AB 中点M ，连接MF 、MC ，则MF ∥AE ，且CD AE MF ===121.又∵AE ∥CD ，∴MF ∥CD ，即四边形MFDC 为平行四边形，∴DF ∥MC .又有⊄DF 平面ABC ，⊂MC 平面ABC ，∴DF ∥平面ABC .（2）∵⊥AE 平面ABC ，⊂AE 平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面ABC ，∵ABC ∆时是正三角形，G 为AB 中点，∴AB CG ⊥，又∵平面ABE ∩平面ABC AB =，⊂CG 平面ABC ，∴⊥CG 平面ABE .∵DF ∥CG ，∴⊥DF 平面ABE ，易知，322=-==BG BC CG DF ,又1122121=⨯⨯=⨯⨯=∆FG AB S ABF ，∴3331=⋅==∆--DF S V V ABF ABF D ABD F .19.解：（1）由题意抽取120人中25周岁以上（含25周岁）有80200100200120=⨯+人，25周岁以下有40100100200120=⨯+人，则25周岁以上（含25周岁）中日平均生产件数不低于90件的有410005.080=⨯⨯人，25周岁以下中日平均生产件数不低于90件的有210005.040=⨯⨯人，则至少抽到一名“25周岁以下”工人的概率为5326121422=+C C C C ；（2）由题意25周岁以上中的“生产能手”有()201002.0005.080=⨯+⨯人，25周岁以下中的“生产能手”有()15100325.0005.040=⨯+⨯人.列联表如下：∴没有90％的把握认为“生产能手”与“工人所在的年龄组”有关.20.解：（1）函数()1ln +=x x x f 的定义域为()∞+，0，()2ln 1x x x f -='，令()0>'x f ，解得e x <<0，令()0<'x f ，解得e x >，∴函数()x f 在()e ,0上单调递增，在()+∞,e 上单调递减，∴()x f 的极大值为()11+=e ef ，无极小值.（2）若证()x e x f x 1-≤，即证x e x x x 11ln -≤+，即证01ln ≤+-+x xe x x ，设()()0,1ln >+-+=x xe x x x h x ，则()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-+='x x e x x e x x x h 11111，令()()0,1>-=x e x x t x ，则()012<--='x e x x t 恒成立，∴()x e xx t -=1在()+∞,0上单调递减，又0221>-=⎪⎭⎫ ⎝⎛e t ，()011<-=e t ，∴存在唯一⎪⎭⎫⎝⎛∈1,210x ，使得()0001x e x x t -=，∴当()0,0x x ∈时，()0>x t ，则()0>'x h ，函数()x h 单调递增，当()+∞∈,0x x 时，()0<x t ，则()0<'x h ，函数()x h 单调递减，∴()()0111ln 000000max 0=+-+-=+++==x x e x x x x h x h x ，∴()xe xf x 1-≤.21.解：（1）∵()0,4y P 在抛物线E ：()022>=p px y 上，且P 到E 的焦点F 的距离为5，即5=PF ，∴524=+p ，解得2=p .∴E 的标准方程为x y 42=.（2）（i ）由（1）得P 点坐标为()4,4，由题知直线AB 斜率不为0，设直线AB 为b my x +=，联立⎩⎨⎧+==bmy x x y 42，得0442=--b my y ，()()01616424422>+=-⨯⨯--=∆b m b m ，即02>+b m ，设()()2211,,,y x B y x A ，则m y y 421=+，b y y 421-=，4211y x =，4222y x =，∵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=4,44121y y P A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=4,44222y y PB ，PB P A ⊥，∴()()0444444212221=--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅y y y y PB P A ，即()()()()044161616212221=--+--y y y y ，整理得()()[]()()04416442121=--+--y y y y ，∵B A ,为抛物线E 上异于P 的两点，∴()()04421≠--y y ，∴()()0164421=+--y y ，即()03242121=+++y y y y ，∴032164=++-m b ，得84+=m b ，代入b my x +=得84++=m my x ，即()48+=-y m x ，∴直线AB 过定点()48-，.（ii ）由抛物线定义可得：()()111212121+++=++=⋅x x x x x x FB F A ，()1424144162122122122212221+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++=y y y y y y y y y y 12422+++=b m b ，又∵84+=m b ，∴()()8172201842484222++=+++++=⋅m m m m m FB F A ，由二次函数性质可知，当59-=m 时，FB F A ⋅取得最小值581.此时5484=+=m b ，05416258116>⨯+⨯=∆，故FB F A ⋅取得最小值581.22.解：（1）将θρcos =x ，θρsin =y 代入()0≥=x x y 得θρθρcos sin =，∴1tan =θ，∴射线l 的极坐标方程为04≥=ρπθ，，将θρcos =x ，θρsin =y 代入1422=+y x 得()()1sin 4cos 22=+θρθρ，∴曲线C 的极坐标方程为θρ22sin 314+=（2）由题可知，可以设⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛43,4,21πρπρQ P ，，则584sin 314221=+=πρ，5843sin 314222=+=πρ，∴510221==ρρ，∴542sin 2121==∆πρρPOQ S .23.解：（1）由题意可得()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<<--≤-=21,42121,221,4x x x x x x f ，不等式()3≥x f 等价于⎪⎩⎪⎨⎧-≤≥-2134x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≥≥2134x x ，解得43-≤x 或43≥x .即不等式()3≥x f 的解集为⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-，，4343 .（2）由（1）可知，函数()x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21，上单调递减，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，21上单调递增，且22121=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f ，即函数()x f 在最小值2=m ，即232=++c b a .()()c b c b c b c c b c b c a +++-=+++--=+++222211322111()()()[]c b c b c b c b +++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=121121，∵()022>+-=+c b c a ，∴10<+<c b .令()1,0,∈+=t c b t ，则()t t t t c b c a +-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+++12112111()()2231212321121321+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=t t t t t t t t ，当且仅当()t t t t -=-121，即22-=t 时，取等号.即c b c a +++11的最小值为223+.。
四川省绵阳市2024届高三上学期第一次诊断性考试文科数学试题(1)
一、单选题二、多选题1. 若集合，，则=A．B．C．D．2. 已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥内切球的体积为（ ）A．B．C．D．3. 数学中有许多美丽的曲线，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.如曲线：，（如图所示），给出下列三个结论①曲线关于直线对称；②曲线上任意一点到原点的距离都小于；③曲线围成的图形的面积是.其中，正确结论的序号是（）A ．①B ．①②C ．①③D ．②③4. 设函数在R 上的导函数为，在上，且，有，则（ ）．A．B．C．D．5. 已知集合，，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．或D．6. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．7. 已知，则（ ）A．B．C．D．8. 设，若函数为单调递增函数，且对任意实数，都有（是自然对数的底数），则A ．1B．C ．3D．9.已知函数，则下列说法正确的是（ ）A ．的值域为B ．的图像关于点中心对称C．的最小正周期为D．的增区间为（）10. 已知上的偶函数在区间上单调递增，且恒有成立，则下列说法正确的是（ ）A ．在上是增函数B ．的图象关于点对称四川省绵阳市2024届高三上学期第一次诊断性考试文科数学试题(1)四川省绵阳市2024届高三上学期第一次诊断性考试文科数学试题(1)三、填空题四、解答题C ．函数在处取得最小值D ．函数没有最大值11.已知实数数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ）．A．若数列为等差数列，则恒成立B ．若数列为等差数列，则，，，…为等差数列C．若数列为等比数列，且，，则D．若数列为等比数列，则，，，…为等比数列12.已知，则（ ）A．B．C．D．13. 已知向量，，若向量，则__________．14. 已知，，当取得最小值时，__________．15. 我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用.图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图2.已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为2，若该几何体的所有顶点都在同一个球的表面上，则这个球的表面积为______.16.为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，B ，C ，D 三地位于同一水平面上，这种仪器在B 地进行弹射实验，两地相距，，在C 地听到弹射声音的时间比D地晚秒，在C 地测得该仪器至最高点A处的仰角为．（已知声音的传播速度为），求：(1)B ，C 两地间的距离；(2)这种仪器的垂直弹射高度AB ．17. 随着互联网行业、传统行业和实体经济的融合不断加深，互联网对社会经济发展的推动效果日益显著，某大型超市计划在不同的线上销售平台开设网店，为确定开设网店的数量，该超市在对网络上相关店铺做了充分的调查后，得到下列信息，如图所示（其中表示开设网店数量，表示这个分店的年销售额总和），现已知，求解下列问题；（1）经判断，可利用线性回归模型拟合与的关系，求解关于的回归方程；（2）按照经验，超市每年在网上销售获得的总利润（单位：万元）满足，请根据（1）中的线性回归方程，估算该超市在网上开设多少分店时，才能使得总利润最大．参考公式；线性回归方程，其中18. 已知无穷数列的各项均为正整数，为数列的前项和．（1）若数列是等差数列，且对任意正整数都有成立，求数列的通项公式；（2）对任意正整数，从集合中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与一起恰好是1至全体正整数组成的集合．（ⅰ）求的值；（ⅱ）求数列的通项公式．19. 哈尔滨市工会为了解市民日健步走的情况，从本市市民中随机抽取了1000名市民，利用手机计步软件统计了他们3月15日健步的步数，并将样本数据分为九组（单位：千步），将样本数据绘制成频率分布直方图如图，并利用该样本的频率分布估计总体的概率分布.(1)请利用频率分布直方图估计样本平均数和众数；(2)由频率分布直方图可以认为，市民日健步步数（单位：千步）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，的值已求出约为3.64.现从哈尔滨全市市民中随机抽取5人，记其中日健步步数位于的人数为，求的数学期望.参考数据：若，则，.20. 已知函数．(1)求曲线在处的切线方程．(2)若存在使得，证明：（i）；（ii）．21. 已知过点的直线与抛物线交于、两点，且，其中为坐标原点.（1）求的值；（2）当最小时，求直线的方程.。
四川省自贡市2023届高三下学期第三次诊断性考试数学(文)试题
故选：D.
6．B
【分析】由等比数列及已知，要Tn 为递增数列只需 a1qn1 1 在 n ，结合 a1 的符号，再根据充分必要性的定义即可得答案.
【详解】由题设
Tn Tn1
an
a1qn1 且 n
2
，要Tn 为递增数列，只需
a1q n 1
2 ，显然 a1q
1，即T2
T1 ，不满足；
a1 1 ，则 a1qn1 1 在 n 2 上恒成立，满足.
所以Tn 为递增数列有 a1 1 且 q 1 .
所以，“数列Tn 为递增数列”是“ a1 0 且 q 1 ”的充分不必要条件.
故选：B.
答案第 2 页，共 18 页
7．C 【分析】对 K 、 H 、 G 、 B 四个点逐一进行分析，找出棱柱中与平面 PEF 平行的棱的条数， 即可判断． 【详解】解：取 AC 的中点 M ，连接 EM ， MK ， KF ， EF ，如图所示：
1在
n
2
上恒成
立，
当 q 0 ，不论 a1 取何值，总存在 a1qn1 0 ，不满足要求；
当0 q 1，
a1 0 ，则 a1qn1 0 ，不满足要求；
a1 0 ，总存在 0 a1qn1 1，不满足要求；
当q 1，
a1 0 ，则 a1qn1 0 ，不满足；
0
a1
1，若 a1
1，q= 3
1．A
参考答案：
【分析】利用复数的除法化简复数 z ，利用复数的模长公式可求得 z 的值.
【详解】由复数的四则运算可得
z
21 i
1 i
1
21 i2 1 i1 i
1
1
i2
1
1
四川省遂宁市2023届高三第二次诊断性考试数学(文)试题
四川省遂宁市2023届高三第二次诊断性考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合()(){}320A x x x =+-≤，{}1B x x =≤，则A B =I ( ) A ．{}32x x -≤< B ．{}31x x -≤< C ．{}31x x -≤≤ D ．{}12x x <≤2．2i2i+=（ ） A ．1i 2-B ．11i 2-C ．1i 2+D ．31i 44-3．某乡镇为推动乡村经济发展，优化产业结构，逐步打造高品质的农业生产，在某试验区种植了某农作物．为了解该品种农作物长势，在实验区随机选取了100株该农作物苗，经测量，其高度（单位：cm ）均在区间[]10,20内，按照[)10,12，[)12,14，[)14,16，[)16,18，[]18,20分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，记高度不低于16cm 的为“优质苗”．则所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为（ ）A ．20B ．40C ．60D ．884．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos22sin 21αα+=，则tan α=（ ）A ．3B ．2C ．12D ．135．过直线l ：50x y +-=上的点作圆C ：()()22126x y -++=的切线，则切线段长的最小值为( )A B ．C D ．6．数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音.如图为某段乐音的图象，则该段乐音对应的函数解析式可以为（ ）A ．11sin sin 2sin323=++y x x xB ．11sin sin 2sin 323y x x x =--C ．11sin cos 2cos323y x x x =++D ．11cos cos 2cos323y x x x =++7．已知函数()432386f x x x x =-+，则()f x （ ）A ．有2个极大值点B ．有1个极大值点和1个极小值点C ．有2个极小值点D ．有且仅有一个极值点8．将函数()cos f x x x =-的图象上的所有点向右平移π3个单位长度，得到的图象对应的函数可以是( ) A ．2sin y x =B ．2cos y x =C ．2sin y x =-D ．2cos y x =-9．已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是正方形，2AB =，1AA =点1B 在底面ABCD 的射影为BC 中点H ，则点1C 到平面ABCD 的距离为( )A B C ．D ．310．已知定点()2,0D ，直线l ：()()20y k x k =+>与抛物线24y x =交于两点A ，B ，若90ADB ∠=︒，则AB =( )A ．4B ．6C ．8D ．1011．在ABC V 中，2AB AC ==，BC =D 为BC 的中点，将ACD V 绕AD 旋转至APD ，使得BP P ABD -的外接球表面积为（ ）A B C ．5π D ．8π12．已知函数()1ex x f x +=.若过点()1,P m -可以作曲线()y f x =三条切线，则m 的取值范围是（ ） A ．40,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．80,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．14,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．18,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题13．已知双曲线22:19x C y -=，则C 的离心率为___________.14．已知()1,2AB =u u u r，()2,AC t =u u u r ，1BC =u u u r ，则实数t =______.15．ABC V 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若()2cos cos a c B b C -=，且b =则ABC V 面积的最大值为___________.16．《定理汇编》记载了诸多重要的几何定理，其中有一些定理是关于鞋匠刀形的，即由在同一直线上同侧的三个半圆所围成的图形，其被阿基米德称为鞋匠刀形.如图所示，三个半圆的圆心分别为O ，1O ，2O ，半径分别为R ，1r ，2r （其中12R r r >>），在半圆О内随机取一点，此点取自图中鞋匠刀形（阴影部分）的概率为14，则12=r r ___________.三、解答题17．某商店销售某种产品，为了解客户对该产品的评价，现随机调查了200名客户，其评价结果为“一般”或“良好”，并得到如下列联表：(1)通过计算判断，有没有99%的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？ (2)利用样本数据，在评价结果为“良好”的客户中，按照性别用分层抽样的方法抽取了6名客户.若从这6名客户中随机选择2名进行访谈，求所抽取的2名客户中至少有1名女性的概率. 附表及公式：其中()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.18．已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，其前3项的和为12，{}n b 是公比大于0的等比数列，13b =，3218b b -=. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)若数列{}n c 满足14n n n n c b a a +=+，求{}n c 的前n 项和n T . 19．如图，在三棱锥-P ABC 中，H 为ABC V 的内心，直线AH 与BC 交于M ，PAB PAC ∠=∠，PCA PCB ∠=∠.(1)证明：平面PAM ⊥平面ABC ；(2)若AB BC ⊥，3PA AB ==，4BC =，求三棱锥M PAC -的体积.20．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>经过()0,1A ，83,55T ⎛⎫-- ⎪⎝⎭两点，M ，N 是椭圆E上异于T 的两动点，且MAT NAT ∠=∠，直线AM ，AN 的斜率均存在.并分别记为1k ，2k . (1)求证：12k k 为常数； (2)证明直线MN 过定点.21．已知函数()2e xf x a x=-有两个极值点1x 、2x .(1)求a 的取值范围；(2)若213x x ≥时，不等式12122x x x x λ+≥恒成立，求λ的最小值.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2,x y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2224sin 31ρθρ=-.(1)求C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B ，求AB . 23．设函数()2321f x x x =-++. (1)解不等式()6f x x ≤-；(2)令()f x 的最小值为T ，正数x ，y ，z 满足2x y z T ++=，证明：11281125x y z ++≥+++.。
四川省遂宁市(九市联考)2023-2024学年高三上学期第一次诊断性考试数学题及答案
秘密＊启用前遂宁市高2021级第一次诊断性考试数学（文科）本试卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．］ 已知集合A={xl-3 <x<2},B＝伈I入;2+4x-5 ::;o}，则AI B = C)A.0B. (-3,1]C. [-1,2)D. (-3,2)l+i2.复数z＝－－十l，则lzl= c >A.IB. ✓2C. 2D. 41 13 已知向冕�= (1,3),b = (-2,-1)，则（；十月(2�一句＝（）A. JOB. 18C. (-7,8)D. (-4,14)4.已知命题p:3xER,Y:?.2x+I,则寸？为（）A.3x茫R,2·'<2x+lB. 3xeR,2x <2x+lC.'<:/x�R,2·'<2x+lD. VxeR,2"<2x+l5.甲、乙两人进行了JO轮的投篮练习，每轮各投10个，现将两人每轮投中的个数制成如下折线图：』.、:3 ：一：：•：；0轮次个101... ..下列说法正确的是（）A.甲投中个数的平均数比乙投中个数的平均数小B.甲投中个数的中位数比乙投中个数的中位数小C.甲投中个数的标准差比乙投中个数的标准差小D.甲投中个数的极差比乙投中个数的极经大6.执行如图所示的程序框图，若输人的x值为2023,则输出的y 值为()A.一16l -4c 1_8B l -2D 7已知数列{a}是等差数列，数列{b }是等比数列，若a,+ a 5 + a 9 = 9, b 少丸＝3.Jj，则a 2 +a s （）l +b丸A.2B.✓3C .3$－3D2_2x y 8 已知F;,F 2为双曲线C ：一--�一＝l (a > O,h> 0)的左、右焦点，点A 在C 上，若F;A I = IF A I 'a2 b 2 l f'i A I = 2I F 2A I 乙A F.F 2= 30°,VAF.F 2的面积为6J5，则C的方程为（）入'.2 y 2A .—-—=l 9 6X2 y B..:.:....－—= 13 62. x y C .—-—=1 6 922Xy D .—-—= l 6 39.若直线y=kx 与曲线y=lnx 相切，则k = ()A卢B卢C.;D. ¾JO 函数f (x) = sin((J)x+<p）（ I | 冗l兀(J)＞O ,l <p＜了）的图象经过点（0，飞），将该函数的图象向右平移一个单位长3度后，所得函数图象关千原点对称，则o的最小值是(＿2A-3B C. 37-2D11.在正方休ABCD-f\B 1C 1队中，下列结论正确的是（A. AB,与f\C,所成的角为60°B. DB I 与A 1C 1所成的角为60°C.AB 1与f\D 所成的角为45°D. DB ]与C 1队所成的角为45°22X, y12 已知0为坐标原点，F;'F,_是椭圆C ：一＋－-=l(a>b>O)的左、右焦点，A,B 分别为C 的左、右顶矿b2点．P 为C 上一点，且PF 2.Lx 轴，直线AP 与y 轴交千点M,直线BM 与PF 2交千点Q,直线EQ 与y 轴l交于点N.若IONl=�IOM|，则C的离心率为（）4I I2 A.－B.－C.－D.33234二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数f (x) = (a -l) x 2 + asinx 为偶函数，则a=y s4-x,14 已知实数x,y 满足ly+220，则2x+3y 的最大值为ys x+2, 15.在正四棱台ABCD-A 1B 1Cp 1内有一个球与该四棱台的每个面都相切，若AiB 1=2,AB=4,则该四棱台的高是16.《九疫算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，四日织24尺，且第七日所织尺数为前两日所织尺数之积．则第十日所织尺数为？译为：现有一善千织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同矗的布，前4天织了24尺布，且第7天所织布尺数为第1天和第2天所织布尺数的积．问第10天织布尺数为三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：共60分17.(12分）某工注重生产工艺创新，设计并试运行了甲、乙两条生产线．现对这两条生产线生产的产品进行评估，在这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了300件进行测评，并将测评结果(“优”或“良”)制成如下所示列联表：良优合计甲生产线40 80120乙生产线80lOO 180合计120 180 300(I)通过计算判断，是否有90％的把握认为产品质揽与生产线有关系？(2)现对产品进行进一步分析，在测评结果为“良＂的产品中按生产线用分层抽样的方法抽取了6件产品．若在这6件产品中随机抽取2件，求这2件产品中至少有一件产自千甲生产线的概率附表及公式：P (K2式）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010k。
四川省绵阳市2022届高三上学期第一次诊断性考试(11月) 数学(文)
秘密★启用前四川省绵阳市2022届高三上学期第一次诊断性考试（11月）文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A ＝{x|－1<x ≤1}，B ＝{－1，0，1}，则A ∩B ＝A.{－1，0}B.{－1，1}C.{0，1}D.{－1，0，1} 2.若0<a<b ，则下列结论正确的是 A.lna>lnb B.b 2<a 2C.11a b <D.11()()22a b > 3.“ln(x ＋2)<0”是“x<－1”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.设D ，E 为△ABC 所在平面内两点，AD DC =，CB 2BE =，则A.3DE AB AC 2=-+B.3DE AB AC 2=-+ C.3DE AB AC 2=- D.3DE AB AC 2=-5.设x ，y 满足约束条件x y 502x y 80y 3+-≤⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩，则z ＝3x ＋4y 的最大值是A.12B.17C.18D.3926.函数f(x)＝sinx x cosx +在(－2π，2π)上的图象大致为7.通常人们用震级来描述地震的大小。
地震震级是对地震本身大小的相对量度，用M 表示，强制性国家标准GB17740－1999《地震震级的规定》规定了我国地震震级的计算和使用要求，即通过地震面波质点运动最大值(A/T)max 进行测定，计算公式如下：M ＝lg(A/T)max ＋1.66lg △＋3.5(其中△为震中距)，已知某次某地发生了4.8级地震，测得地震面波质点运动最大值为0.01，则震中距大约为 A.58 B.78 C.98 D.1188.已知函数f(x)对任意实数x ，满足f(x)＋f(－x)＝0，当x ≥0时，f(x)＝2x－m(m 为常数)，则f(1－log 23)＝ A.12 B.－12C.13D.－139.已知a ＝1416()81-，b ＝log 32＋log 23，c ＝23log 23，则a ，b ，c 的大小关系为A.c>b>aB.b>a>cC.a>c>bD.b>c>a10.设f(x)＝()x 2(x 0)x x 0+≤⎧⎪>，，，若f(a)＝f(a －2)，则f(5－a)＝A.2B.0或1C.25511.已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若－5，S 3，S 6成等差数列，则S 9－S 6的最小值为 A.25 B.20 C.15D.10 12.把函数f(x)＝3sin(2x ＋6π)的图象向右平移6π个单位长度，再把横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若g(x 1)＝g(x 2)－6，x 1，x 2∈[－π，π]，则x 1－x 2的最大值为 A.34π B.π C.74πD.2π 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省绵阳市高三第三次诊断性考试数学文卷word版含答案
绵阳市高中2021级|第三次诊断性考试数学 (文科 )本试卷分第I 卷 (选择题)和第II 卷 (非选择题 )两局部 .第I 卷l 至|2页 ,第II 卷 3至|4页 .总分值150分 .考试时间120分钟 .考前须知：1. 答题前,考生务必将自己的姓名、考号用毫米的黑色签字笔填写在答题卡上 , 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置 .2. 选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上 ,非选择题用毫米的 黑色签字笔书写在答题卡的对应框内 ,超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷 上答题无效 .3. 考试结束后 ,将答题卡收回 .第I 卷 (选择题 ,共50分 )一、选择题：本大题共10小题 ,每题5分 ,共50分.在每题给出的四个选项中 ,只 有一项为哪一项符合题目要求的.1. 设集合U ={l,2, 3, 4}, M ={l, 2, 3}, N ={2 ,3, 4},那么)(N M C U 等于 A. {1, 2} B. {2, 3} C.{2, 4} D. {1, 4}2.抛物线x 2 = -4y 的准线方程是A. x = -1B. x =2C.y =1D. y = -23. 假设复数z 满足z*i =1 +i (i 为虚数单位),那么复数z = A. 1 +i B. -1 -i C. 1 -i D. -1 +i4. 设数列{a n }是等比数列 ,那么 "a 1<a 2广是 "数列{a n }是递增数列〞的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件5. 平面向量a 与b 的夹角为600,a =(2, 0) ,b =(cosa, sina),那么|a +2b| =A.C. 4 D . 126. 函数f(x) =7. 执行如下图的程序框图 ,假设输出结果为26,那么M 处的条件为 A. 31≥k B. 15≥k C. k>3l D. k>l58. 己知函数. )|)(|2sin(2)(πθθ<+=x x f ,假设函数f(x)在区间)85,6(ππ 上单调递增 ,那么0的取值范围是 A [87,3ππ]B [43,65ππ--] C (32,ππ--] [ππ,8-)D (3,ππ-] [ππ,87) 9. 椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与离心率为2的双曲线)0,0(12222>>=+n m ny m x 的公共焦点 是F 1 F 2,点P 是两曲线的一个公共点 ,假设31cos 21=∠PF F ,那么椭圆的离心率为 A.42 B. 22 C.1010D. 510 10. 函数f(x) =ln(e x +a)(e 是自然对数的底数 ,a 为常数 )是实数集R 上的奇函数 ,假设 函数f(x) =lnx -f(x)(x 2 -2ex +m)在(0, +∞)上有两个零点 ,那么实数m 的取值范围是A. )1,1(2ee e+ B. )1,0(2ee + C. ),1(2+∞+e e D. )1,(2ee +-∞第II 卷 (非选择题 ,共100分 )二、填空题：本大题共5小题 ,每题5分 ,共25分.11. 假设直线x +(a -1)y =4与直线x =1平行 ,那么实数a 的值是____ 12. 如下图 ,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 4的正方形 ,俯视图是一个直径为4的圆 ,那么这个几何体的侧 面积是____13. 设变量x 、y 满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y ,那么目标函数z =2x+y 的最|大值是_______14. 己知534sin )3sin(-=++a a π,且32ππ-<<-a 那么cosa=______15. 定义在区间[a, b]上的函数y =f(x),)(x f '是函数f(x)的导数 ,如果],[b a ∈∃ξ ,使得f(b) -f(a) = ))((a b f -'ξ,那么称ξ为[a,b]上的 "中值点〞.以下函数：① f(x) =2x +l,② f(x) =x 2 -x +l, ③ f(x) =lnx +l,④3)21()(-=x x f ,其中在区间[0, 1]上的 "中值点〞多于一个的函数是______(请写出你认为正确的所有结论的序号 )三、解答题：本大题共6小题 ,共75分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题总分值12分 )从高三学生中抽取n 名学生参加数学竞赛 ,成绩 (单位：分 )的分组及各数据绘制的频 率分布直方图如下图 ,成绩的范围是 区间[40, 100),且成绩在区间[70, 90)的学 生人数是27人.(I) 求n 的值;(II)试估计这n 名学生的平均成绩；(III)假设从数学成绩 (单位：分 )在[40,60)的学生中随机选取2人进行成绩分析 ,求至|少有1人成绩在[40, 50)内的概率.17. (本小题总分值12分 ){a n }是等差数列 ,a 1 =3, Sn 是其前n 项和 ,在各项均为正数的等比数列{b n }中 , b 1 =1 且b 2+S 2=1O, S 5 =5b 3 +3a 2.(I )求数列{a n }, {b n }的通项公式； (II)设n n S c 2=,数列{c n }的前n 项和为T n ,求证23<n T18. (本小题总分值12分 )如图 ,ABCD 是边长为2的正方形 ,ED 丄平面ABCD,ED =1, EF//BD 且EF =BD.(I)求证：BF//平面ACE(II)求证：平面EAC 丄平面BDEF; (III)求几何体ABCDEF 的体积.19. (本小题总分值12分 )函数)2||,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的局部图象如图示 ,将y =f(x)的图象向右平移4π个单位后得到函数y =f(x)的 图象. (I )求函数y =g(x)的解析式；(II)ΔABC 中三个内角A ,B , C 的对边分别为a, b ,c ,且满足)122(π+A g +)122(π+B g ＝26sinAsinaB,且C =3π,c =3 ,求ΔABC 的面积.20. (本小题总分值13分 )椭圆C: )0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为23,以原点为圆心 ,椭圆c 的短半轴长为半径的圆与直线 02=++y x 相切.A 、B 是椭圆的左右顶点 ,直线l 过B 点且与x 轴垂直 ,如图.(I )求椭圆的标准方程；(II)设G 是椭圆上异于A 、B 的任意一点 ,GH 丄x 轴 ,H 为垂足 ,延长HG 到点Q 使得HG =GQ,连接AQ 并延长交直线l 于点M,点N 为MB 的中点 ,判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系 ,并证明你的结论.21. (本小题总分值14分 )函数f(x) =e x -ax(e 为自然对数的底数). (I )求函数f(x)的单调区间；(II)如果对任意],2[+∞∈x ,都有不等式f(x)> x + x 2成立 ,求实数a 的取值范围； (III)设*N n ∈,证明：nn)1( +nn)2( +nn)3( +… +nnn )(<1-e e绵阳市高中2021级|第三次诊断性考试数学(文)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题 ,每题5分 ,共50分．DCCBB AABDD二、填空题：本大题共5小题 ,每题5分 ,共25分．11．112．16π13．31415．①④ 三、解答题：本大题共6小题 ,共75分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解： (Ⅰ )成绩在区间[)9070，的频率是：1-(0.02 +0.016 +0.006 +0.004)×10 =0.54 ,∴ 27500.54n ==人． ……………………………………………………………3分(Ⅱ )成绩在区间[)8090，的频率是：1-(0.02 +0.016 +0.006 +0.004 +0.03)⨯10 =0.24 , 利用组中值估计这50名学生的数学平均成绩是： 45×0.04 +55×0.06 +65×0.2 +75×0.3 +85×0.24 +95×0.16 =76.2． ……………3分 (Ⅲ )成绩在区间[)4050，的学生人数是：50×0.04 =2人 ,成绩在区间[)5060，的学生人数是：50×0.06 =3人 ,设成绩在区间[)4050，的学生分别是A 1 ,A 2 ,成绩在区间[)5060，的学生分别是B 1 ,B 2 ,B 3 ,从成绩在[)6040，的学生中随机选取2人的所有结果有：(A 1 ,A 2) ,(A 1 ,B 1) , (A 1 ,B 2) ,(A 1 ,B 3) ,(A 2 ,B 1) ,(A 2 ,B 2) ,(A 2 ,B 3) ,(B 1 ,B 2) ,(B 1 ,B 3) ,(B 2 ,B 3)共10种情况．至|少有1人成绩在[)5040，内的结果有：(A 1 ,A 2) ,(A 1 ,B 1) ,(A 1 ,B 2) ,(A 1 ,B 3) ,(A 2 ,B 1) ,(A 2 ,B 2) ,(A 2 ,B 3)共7种情况．∴ 至|少有1人成绩在[)5040，内的概率P =107． ……………………………6分 17．解： (Ⅰ )设等差数列{a n }的公差为d ,等比数列{b n }的公比为q ,由题意可得：11211121054553()2b q a d a d b q a d ⋅++=⎧⎪⎨⨯+⨯=++⎪⎩，， 解得q =2或q =517-(舍) ,d =2． ∴ 数列{a n }的通项公式是a n =2n +1 ,数列{b n }的通项公式是12n n b -=． …7分(Ⅱ )由 (Ⅰ )知2(321)22n n n S n n ++==+ ,于是2112n n c S n n ==-+ , ∴ 11111111324352n T n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-+1111212n n =+--++ 311212n n =--++<32． …………12分 18．解： (Ⅰ )如图 ,记AC 与BD 的交点为O ,连接EO ,于是DO =OB ．∵ EF ∥BD 且EF ＝12BD , ∴ EF ,∴ 四边形EFBO 是平行四边形 , ∴ BF ∥EO ．而BF ⊄平面ACE ,EO ⊂平面ACE ,∴ BF ∥平面ACE ．…………………………4分ABCDEFO(Ⅱ )∵ ED ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD , ∴ ED ⊥AC ．∵ ABCD 是正方形 , ∴ BD ⊥AC ,∴ AC ⊥平面BDEF ．又AC ⊂平面EAC ,故平面EAC ⊥平面BDEF ． ……………………………8分 (Ⅲ )连结FO ,∵ EF DO ,∴ 四边形EFOD 是平行四边形． 由ED ⊥平面ABCD 可得ED ⊥DO , ∴ 四边形EFOD 是矩形． ∵ 平面EAC ⊥平面BDEF ．∴ 点F 到平面ACE 的距离等于就是Rt △EFO 斜边EO 上的高 ,且高h =EF FO OE ⋅． ∴几何体ABCDEF 的体积E ACD F ACE F ABC V V V V ---=++三棱锥三棱锥三棱锥=111111221+221323232⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ =2．……………………………………………12分19．解： (Ⅰ )由图知：2=4+126πππω（）,解得ω =2． 再由()sin(2)11212f ππϕ=⋅+= ,得2(Z)62k k ππϕπ+=+∈ ,即2(Z)3k k πϕπ=+∈．由22ππϕ-<<,得3πϕ=．∴ ()sin(2)3f x x π=+．∴ ()sin[2()]sin(2)4436f x x x ππππ-=-+=- ,即函数y =g (x )的解析式为g (x ) =sin(2)6x π-．………………………………6分(Ⅱ )由化简得：sin sin sin A B A B +=．∵ 32sin sin sin sin 3a b c R A B C π====(R 为△ABC 的外接圆半径) ,∴2R = ,∴ sin A =2a R ,sin B =2bR ．∴2222a b a b R R R R+=⋅ ,即 a b +． ① 由余弦定理 ,c 2 =a 2 +b 2 -2ab cos C , 即 9 =a 2 +b 2 -ab =(a +b )2 -3ab ． ②联立①②可得：2(ab )2 -3ab -9 =0 ,解得：ab =3或ab =23-(舍去) , 故△ABC 的面积S △ABC =1sin 2ab C =…………………………………12分20．解： (Ⅰ )由题可得：e=c a = ∵ 以原点为圆心 ,椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x +y +2 =0相切 ,∴=b ,解得b =1．再由 a 2 =b 2 +c 2 ,可解得：a =2．∴ 椭圆的标准方程：2214x y +=．……………………………………………5分 (Ⅱ )由 (Ⅰ )可知：A ( -2 ,0) ,B (2 ,0) ,直线l 的方程为：x =2． 设G (x 0 ,y 0)(y 0≠0) ,于是H (x 0 ,0) ,Q (x 0 ,2y 0) ,且有220014x y += ,即4y 02 =4 -x 02． 设直线AQ 与直线BQ 的斜率分别为：k AQ ,k BQ ,∵220000220000224412244AQ BQ y y y x k k x x x x -⋅=⋅===-+--- ,即AQ ⊥BQ , ∴ 点Q 在以AB 为直径的圆上．∵ 直线AQ 的方程为：002(2)2y y x x =++ , 由002(2)22y y x x x ⎧=+⎪+⎨⎪=⎩，， 解得：00282x y y x =⎧⎪⎨=⎪+⎩，，即008(2)2y M x +， ,∴ 004(2)2yN x +，．∴ 直线QN 的斜率为：0000000220000422222442QN y y x x y x y x k x x y y -+---====-- ,∴ 0000212OQ QN y x k k x y -⋅=⋅=- ,于是直线OQ 与直线QN 垂直 , ∴ 直线QN 与以AB 为直径的圆O 相切． …………………………………13分 21．解： (Ⅰ )∵a e x f x -=')( ,当a ≤0时0)(>'x f ,得函数f (x )在( -∞ , +∞)上是增函数． 当a >0时 ,假设x ∈(ln a , +∞) ,0)(>'x f ,得函数()f x 在(ln a , +∞)上是增函数； 假设x ∈( -∞ ,ln a ) ,0)(<'x f ,得函数()f x 在( -∞ ,ln a )上是减函数．综上所述 ,当a ≤0时 ,函数f (x )的单调递增区间是( -∞ , +∞)；当a >0时 ,函数f (x ) 的单调递增区间是(ln a , +∞) ,单调递减区间是( -∞ ,ln a )．…5分(Ⅱ )由题知：不等式e x -ax >x +x 2对任意[2)x ∈+∞，成立 , 即不等式2x e x xa x--<对任意[2)x ∈+∞，成立． 设2()x e x x g x x --=(x ≥2) ,于是22(1)()x x e x g x x --'=．再设2()(1)x h x x e x =-- ,得()(2)x h x x e '=-．由x ≥2 ,得()0h x '> ,即()h x 在[2)+∞，上单调递增 ,∴ h (x )≥h (2) =e 2 -4>0 ,进而2()()0h x g x x'=> , ∴ g (x )在[2)+∞，上单调递增 , ∴ 2min[()](2)32e g x g ==- ,∴ 232e a <- ,即实数a 的取值范围是2(3)2e -∞-，．………………………10分 (Ⅲ )由 (Ⅰ )知 ,当a =1时 ,函数f (x )在( -∞ ,0)上单调递减 ,在(0 , +∞)上单调递增． ∴ f (x )≥f (0) =1 ,即e x -x ≥1 ,整理得1 +x ≤e x ．令ix n=-(n ∈N* ,i =1 ,2 ,… ,n -1) ,那么01i n <-≤in e - ,即(1)n i n -≤i e - , ∴1()n n n -≤1e - ,2()n n n -≤2e - ,3()n n n -≤3e - ,… ,1()n n ≤(1)n e -- ,显然()n nn ≤0e ,∴ 1231()()()()()n n n n n n n n n n n n n n ---++++⋅⋅⋅+≤0123(1)n e e e e e -----++++⋅⋅⋅+ 11(1)111n n e e e e e e e -----==<--- , 故不等式123()()()+1n n n n n en n n n e +++<-…（） (n ∈N * )成立．……………4分。