2017.9.6空间几何体的表面积和体积
立体几何的表面积和体积
立体几何的表面积和体积立体几何是数学的一个分支，研究物体在三维空间中的形状、大小等性质。
其中，表面积和体积是两个重要的概念。
表面积指的是物体表面所覆盖的面积，而体积则是物体所占据的空间大小。
本文将详细探讨立体几何中表面积和体积的计算方法及其应用。
一、表面积的计算方法表面积是指立体物体表面所覆盖的总面积。
不同形状的物体有不同的计算方法，下面将分别介绍常见几何体的表面积计算方法。
1. 立方体的表面积计算立方体是最简单的几何体之一，其六个面都是相等的正方形。
因此，立方体的表面积可以通过计算一个面的面积，并乘以六来得到。
设立方体的边长为a，则其表面积S可以表示为S = 6a^2。
2. 正方体的表面积计算正方体是特殊的立方体，其六个面也都是正方形。
同样地，正方体的表面积可以通过计算一个面的面积，并乘以六来得到。
设正方体的边长为a，则其表面积S = 6a^2。
3. 圆柱体的表面积计算圆柱体由一个长方形的侧面和两个圆形的底面组成。
要计算圆柱体的表面积，需要先计算侧面的面积，然后再加上两个底面的面积。
设圆柱体的底面半径为r，高为h，则侧面的面积可以表示为A = 2πrh，底面的面积表示为B = πr^2。
因此，圆柱体的表面积S = A + 2B = 2πrh + 2πr^2。
4. 球体的表面积计算球体是具有最大体积的几何形状，其表面积的计算稍微复杂一些。
设球体的半径为r，则球体的表面积S = 4πr^2。
二、体积的计算方法体积是指立体物体所占据的空间大小。
与表面积类似，不同几何体有不同的计算方法。
1. 立方体的体积计算立方体的体积可以通过计算边长的立方来得到，即V = a^3。
2. 正方体的体积计算正方体的体积与立方体的计算方法相同，也是通过计算边长的立方来得到。
设正方体的边长为a，则它的体积V = a^3。
3. 圆柱体的体积计算圆柱体的体积可以通过计算底面的面积，并乘以高来得到。
设圆柱体的底面半径为r，高为h，则它的体积V = πr^2h。
几何体的表面积和体积公式大全
几何体的表面积和体积公式大全几何体的表面积,体积计算公式1、圆柱体:表面积:2πRr+2πRh 体积:πR²h (R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高)2、圆锥体:表面积:πR²+πR[(h²+R²)的平方根] 体积:πR²h/3 (r为圆锥体低圆半径,h为其高, 3、正方体a－边长,S＝6a²,V＝a³4、长方体a－长,b－宽,c－高S＝2(ab+ac+bc) V＝abc5、棱柱S－底面积h－高V＝Sh6、棱锥S－底面积h－高V＝Sh/37、棱台S1和S2－上、下底面积h－高V＝h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/38、拟柱体S1－上底面积,S2－下底面积,S0－中截面积h－高,V＝h(S1+S2+4S0)/69、圆柱r－底半径,h－高,C—底面周长S底—底面积,S侧—侧面积,S表—表面积C＝2πrS底＝πr²,S侧＝Ch ,S表＝Ch+2S底,V＝S底h＝πr²h10、空心圆柱R－外圆半径,r－内圆半径h－高V＝πh(R^2-r^2)11、直圆锥r－底半径h－高V＝πr^2h/312、圆台r－上底半径,R－下底半径,h－高V＝πh(R²＋Rr＋r²)/313、球r－半径d－直径V＝4/3πr^3＝πd^3/614、球缺h－球缺高,r－球半径,a－球缺底半径V＝πh(3a²+h²)/6 ＝πh²(3r-h)/315、球台r1和r2－球台上、下底半径h－高V＝πh[3(r1²＋r2²)+h²]/616、圆环体R－环体半径D－环体直径r－环体截面半径d－环体截面直径V＝2π2Rr²＝π2Dd²/417、桶状体D－桶腹直径d－桶底直径h－桶高V＝πh(2D²＋d²)/12 ,(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V＝πh(2D²＋Dd＋3d²/4)/15 (母线是抛物线形)。
空间几何体的表面积和体积
空间几何体的表面积和体积在数学中，空间几何体的表面积和体积是重要的概念，它们用于描述和计算各种三维物体的特性。
本文将深入探讨空间几何体的表面积和体积，并介绍如何计算它们，以及它们在实际生活中的应用。
一、立方体的表面积和体积首先，让我们从最简单的三维几何体开始：立方体。
立方体是一个拥有六个相等的正方形面的空间几何体。
要计算立方体的表面积，我们可以使用以下公式：**表面积 = 6 * 边长^2**其中，边长代表正方形的一边的长度。
而立方体的体积计算则非常简单：**体积 = 边长^3**这两个公式可以帮助我们计算立方体的表面积和体积。
例如，如果一个立方体的边长是3单位，那么它的表面积为6 * 3^2 = 54平方单位，而体积为3^3 = 27立方单位。
二、球体的表面积和体积接下来，我们来考虑球体，球体是一个没有棱角的三维几何体。
要计算球体的表面积和体积，我们使用以下公式：**表面积= 4πr^2****体积= (4/3)πr^3**这里，r代表球体的半径，而π（圆周率）的值约为3.14159。
这两个公式可以用来计算球体的表面积和体积。
举例来说，如果一个球体的半径是2单位，那么它的表面积为4π(2^2) ≈ 50.27平方单位，而体积为(4/3)π(2^3) ≈ 33.51立方单位。
三、长方体的表面积和体积长方体是另一个常见的三维几何体，它拥有6个矩形面。
要计算长方体的表面积和体积，我们可以使用以下公式：**表面积 = 2lw + 2lh + 2wh****体积 = lwh**其中，l代表长方体的长度，w代表宽度，h代表高度。
这些公式允许我们计算长方体的表面积和体积。
举例来说，如果一个长方体的长度是4单位，宽度是3单位，高度是2单位，那么它的表面积为2(4*3) + 2(4*2) + 2(3*2) = 52平方单位，而体积为4*3*2 = 24立方单位。
四、圆柱体的表面积和体积圆柱体是一个具有两个平行圆形底面的三维几何体。
空间几何体的表面积与体积
空间几何体的表面积与体积在几何学中，空间几何体是指由点、线、面在三维空间中组成的立体物体。
每个空间几何体都有其独特的特征，其中包括表面积和体积。
表面积是指几何体外部覆盖的总面积，而体积则是指几何体所包含的最大空间。
不同类型的空间几何体有不同的表面积和体积计算公式。
下面我们将介绍几种常见的空间几何体，以及它们的表面积和体积计算方法。
一、球体球体是由一条半径相等的曲线绕着它的直径旋转一周所形成的几何体。
球体的表面积和体积计算公式如下：球体的表面积= 4πr²球体的体积= (4/3)πr³其中，r表示球的半径，π是一个常数，约等于3.14。
二、长方体长方体是由六个矩形面围成的空间几何体，它的所有侧面都是矩形。
长方体的表面积和体积计算公式如下：长方体的表面积 = 2lw + 2lh + 2wh长方体的体积 = lwh其中，l、w、h分别表示长方体的长、宽和高。
三、圆柱体圆柱体是由一个圆形的底面和与底面平行的一个曲面所组成的几何体。
圆柱体的表面积和体积计算公式如下：圆柱体的表面积= 2πr² + 2πrh圆柱体的体积= πr²h其中，r表示圆柱体的底面半径，h表示圆柱体的高。
四、圆锥体圆锥体是由一个圆锥面和一个圆形底面所组成的几何体。
圆锥体的表面积和体积计算公式如下：圆锥体的表面积= πr² + πrl圆锥体的体积= (1/3)πr²h其中，r表示圆锥体的底面半径，l表示圆锥体的斜高，h表示圆锥体的高。
五、正方体正方体又称为立方体，是由六个相等的正方形面围成的空间几何体。
正方体的表面积和体积计算公式如下：正方体的表面积 = 6a²正方体的体积 = a³其中，a表示正方体的边长。
除了上述所介绍的常见几何体之外，还有一些其他几何体，如圆环、圆球截面、棱锥等，它们的表面积和体积计算方法也略有不同。
总结起来，空间几何体的表面积和体积可以通过特定的公式进行计算。
空间几何体表面积和体积公式
空间几何体表面积和体积公式
空间几何体表面积和体积公式如下:
表面积公式:
S = 2 × (a + b + c)
其中,a、b、c分别表示几何体的长、宽、高。
体积公式:
V = a × b × c
其中,a、b、c分别表示几何体的长、宽、高。
还有一些常用的表面积和体积公式:
1. 如果一个几何体只有一个面是正方形或正多边形,那么它的
表面积和体积都可以用一个简单的公式计算:S = 4a,V = a × b。
2. 如果一个几何体的边长为c,那么它的表面积可以表示为:S = 2 × (c + d),其中d表示几何体的长宽比。
体积可以表示为:V = c ×d。
3. 如果一个几何体是正多边形,且每个内角都相等,那么它的表
面积和体积都可以用一个复杂的公式计算:S = (n-2) × 4a,V = (n-2) × a × b。
其中n表示正多边形的边数。
4. 如果一个几何体只有一个面是矩形或圆形,那么它的表面积
和体积都可以用一个简单的公式计算:S = a + b + c,V = π× r ×(a + b + c)。
其中π是圆周率,r表示几何体的半径。
这些公式只是一些基本的几何公式,实际上还有很多更复杂的公
式可以用于计算几何体的性质。
了解这些基本的公式有助于我们更方
便地计算几何体的面积和体积。
立体几何中的体积与表面积计算
立体几何中的体积与表面积计算在我们的数学世界里，立体几何是一个充满魅力和挑战的领域。
而其中，体积与表面积的计算无疑是非常重要的一部分。
无论是在日常生活中的实际应用，还是在学术研究中，准确地计算立体图形的体积和表面积都具有重要的意义。
让我们先从最基本的立体图形——长方体说起。
长方体是我们非常熟悉的形状，比如我们常见的书本、盒子等都近似于长方体。
要计算长方体的体积，只需要记住公式：体积＝长×宽×高。
假设一个长方体的长为 5 厘米，宽为 3 厘米，高为 2 厘米，那么它的体积就是 5×3×2 ＝ 30 立方厘米。
而长方体的表面积呢，则是六个面的面积之和，公式为：表面积＝ 2×（长×宽＋长×高＋宽×高）。
以上面的例子来说，表面积就是 2×（5×3 ＋ 5×2 ＋ 3×2）＝ 62 平方厘米。
接下来是正方体。
正方体是一种特殊的长方体，它的六个面都是完全相同的正方形。
计算正方体的体积，公式是：体积＝棱长×棱长×棱长。
假如一个正方体的棱长是 4 厘米，那么它的体积就是 4×4×4 ＝ 64 立方厘米。
正方体的表面积公式则为：表面积＝ 6×棱长×棱长。
对于这个正方体，表面积就是 6×4×4 ＝ 96 平方厘米。
再来说说圆柱体。
圆柱体在生活中也很常见，像杯子、柱子等。
圆柱体的体积公式是：体积＝底面积×高，而底面积＝π×半径²，所以圆柱体的体积也可以写成：体积＝π×半径²×高。
如果一个圆柱体的底面半径是 3 厘米，高是 5 厘米，π取 314，那么它的体积就是 314×3²×5＝ 1413 立方厘米。
圆柱体的表面积包括侧面积和两个底面积，侧面积＝底面圆的周长×高，底面圆的周长＝2×π×半径，所以圆柱体的表面积公式是：表面积＝2×π×半径²＋2×π×半径×高。
空间几何体的表面积及体积计算公式
空间几何体的表面积及体积计算公式空间几何体是指在三维坐标系中存在的几何图形，包括立方体、圆锥体、圆柱体、球体等等。
对于这些几何体来说，求其表面积和体积是我们在学习空间几何时需要掌握的核心内容。
下面我们将详细介绍各种空间几何体的表面积及体积的计算公式。
一、立方体立方体是一种六个面都是正方形的几何体，其表面积和体积计算公式如下：表面积 = 6 × a²体积 = a³其中，a为立方体的边长。
二、正方体正方体是一种所有面都是正方形的几何体，其表面积和体积计算公式如下：表面积 = 6 × a²体积 = a³其中，a为正方体的边长。
三、圆锥体圆锥体是一种由一个圆锥顶点和一个底面为圆形的仿射锥面构成的几何体，其表面积和体积计算公式如下：表面积= πr²+πrl体积= 1/3πr²h其中，r为底面圆半径，l为母线长度，h为圆锥体的高。
四、圆柱体圆柱体是一种由平行于固定轴的两个相等且共面的圆面和它们之间的圆柱面所围成的几何体，其表面积和体积计算公式如下：表面积= 2πrh+2πr²体积= πr²h其中，r为底面圆半径，h为圆柱体的高。
五、球体球体是一种由所有到球心的距离等于固定半径的点所组成的几何体，其表面积和体积计算公式如下：表面积= 4πr²体积= 4/3πr³其中，r为球体的半径。
以上就是五种常见空间几何体的表面积及体积计算公式，希望能够对大家在学习空间几何时有所帮助。
同时，我们也需要关注其实际应用，在工程建设和生活中经常会涉及到这些几何体的计算，因此深化这些知识点的学习，将对我们未来的发展产生积极的影响。
几何体的体积和表面积
几何体的体积和表面积几何体是我们在数学中经常遇到的概念，它们有不同的形状和尺寸。
在几何学中，我们经常需要计算几何体的体积和表面积，这些计算对于解决实际问题和理解几何属性非常重要。
本文将介绍几何体的体积和表面积的计算方法，以及应用场景。
一、体积的计算体积是用来度量三维物体所占空间的大小。
不同几何体的体积计算方法也不同。
1. 立方体的体积计算立方体是一种具有六个相等面积的正方体。
其体积计算公式为：V= 边长 * 边长 * 边长，其中V表示体积。
例如，一边长为5厘米的立方体的体积为：V = 5厘米 * 5厘米 * 5厘米 = 125立方厘米。
2. 圆柱体的体积计算圆柱体是由一个圆和与圆共面的侧面组成的几何体。
其体积计算公式为：V = π * r² * h，其中V表示体积，r表示底面半径，h表示高度。
例如，一个底面半径为3厘米、高度为8厘米的圆柱体的体积为：V = π * 3² * 8 = 72π立方厘米。
3. 球体的体积计算球体是一种由所有与一个给定点的距离小于等于一个给定值的点组成的几何体。
其体积计算公式为：V = 4/3 * π * r³，其中V表示体积，r 表示半径。
例如，一个半径为6厘米的球体的体积为：V = 4/3 * π * 6³ = 288π立方厘米。
4. 锥体的体积计算锥体是一个由一个平面曲线（底面）和一段到曲线外一点的直线（侧面）组成的几何体。
其体积计算公式为：V = 1/3 * π * r² * h，其中V表示体积，r表示底面半径，h表示高度。
例如，一个底面半径为4厘米、高度为10厘米的锥体的体积为：V = 1/3 * π * 4² * 10 = 53.333π立方厘米。
二、表面积的计算表面积是用来度量几何体外侧所包围的表面的总大小。
不同几何体的表面积计算方法也不同。
1. 立方体的表面积计算立方体的表面积计算公式为：A = 6 * 边长²，其中A表示表面积。
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空间几何体的表面积和体积
一．知识梳理
(1)柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝______．
(2)锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝______．
(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V ＝13
(S ′＋S ′S ＋S )h ． 3．球的表面积
设球的半径为R ，则球的表面积S ＝________，即球的表面积等于它的大圆面积的________倍．
4．球的体积
设球的半径为R ，则球的体积V ＝________．
二．课时作业
1．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为( )
A ．8
B ．8π
C ．4π
D ．2π
1．B [易知2πr ＝4，则2r ＝4π
， 所以轴截面面积＝4π×2＝8π
．] 2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为( )
A ．1＋2π2π
B ．1＋4π4π
C ．1＋2ππ
D ．1＋4π2π
2．A [设底面半径为r ，侧面积＝4π2r 2，全面积为＝2πr 2＋4π2r 2，其比为：1＋2π2π
．] 3．中心角为135°，面积为B 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A ，则A ∶B 等于( )
A ．11∶8
B ．3∶8
C ．8∶3
D ．13∶8
3．A [设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，
则2πr ＝34πl ，则l ＝83
r ，所以 A ＝83πr 2＋πr 2＝113πr 2，B ＝83
πr 2，得A ∶B ＝11∶8．] 4．已知直角三角形的两直角边长为a 、b ，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为( )
A ．a ∶b
B ．b ∶a
C ．a 2∶b 2
D ．b 2∶a 2
4．B [以长为a 的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V ＝13
πb 2a ，以长为b 的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V ＝13
πa 2b ．] 5．圆柱的侧面展开图是长12 cm ，宽8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为________________ cm 3．
8．288π或192π
解析 (1)12为底面圆周长，则2πr ＝12，所以r ＝6π
， 所以V ＝π·⎝⎛⎭⎫6π2·8＝288π
(cm 3)． (2)8为底面圆周长，则2πr ＝8，所以r ＝4π
， 所以V ＝π·⎝⎛⎭⎫4π2·12＝192π
(cm 3)． 6．把球的半径扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的 倍
7．一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是( )
A ．6π6
B ．π2
C ．2π2
D ．3π A [先由面积相等得到棱长a 和半径r 的关系a ＝6π3r ，再由体积公式求得体积比为6π6
．]
8．正方体的内切球和外接球的体积之比为( )
A ．1∶ 3
B ．1∶3
C ．1∶3 3
D ．1∶9
C [关键要清楚正方体内切球的直径等于棱长a ，外接球的直径等于3a ．] 9．若三个球的表面积之比为1∶2∶3，则它们的体积之比为( ) A ．1∶2∶3 B ．1∶2∶ 3
C ．1∶22∶3 3
D ．1∶4∶7
C [由表面积之比得到半径之比为r 1∶r 2∶r 3＝1∶2∶3，从而得体积之比为V 1∶V 2∶V 3＝1∶22∶33．]
解答题
10．圆台的上、下底面半径分别为10 cm 和20 cm ．它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积和体积分别是多少？(结果中保留π)
解
如图所示，设圆台的上底面周长为c ，因为扇环的圆心角是180°，
故c ＝π·SA ＝2π×10，
所以SA ＝20，同理可得SB ＝40，
所以AB ＝SB －SA ＝20，
∴S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下
＝π(r 1＋r 2)·AB ＋πr 21＋πr 22
＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm 2)． 故圆台的表面积为1 100π cm 2．
h ＝AB 2－(OB －O 1A )2＝202－102＝103，
V ＝13
πh(r 21＋r 1r 2＋r 22) ＝13π×103×(102＋10×20＋202)＝7 00033
π (cm 3)． 即圆台的表面积为1 100π cm 2，体积为7 00033
π cm 3．。