精品：【全国百强校】湖南省衡阳市第一中学2015-2016学年高一下学期期中考试生物试题(原卷版)
2023-2024学年湖南省衡阳一中高一(下)第一次月考数学试卷+答案解析
2023-2024学年湖南省衡阳一中高一（下）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，若集合，则的值为()A.B.C.1D.22.已知命题p ：任意，，命题q ：存在，若“p 且q ”是假命题，则实数a 的取值范围是()A. B.C.D.3.设正实数x ，y ，z 满足，则的最大值为()A.4 B.2C.3D.14.，则当t 变化时，的最小值为()A.2020B.2019C.2018D.20175.已知函数，其中，，若对任意，恒成立，则的最小值为()A.B.C.D.6.如图所示，矩形ABCD 中，，点E 为AB 中点，若，则()A.B.C.3D.7.已知函数定义域为，，对任意的，，当时，有若，则实数a 的取值范围是()A. B.C.D.8.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则下列结论正确的是()A. B.是奇函数C.在上单调递增D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数的部分图象如图所示，若，，则()A.B.的单调递增区间为C.的图象关于点对称D.的图象关于直线对称10.已知函数其中表示不大于x的最大整数，则()A.是奇函数B.是周期函数C.在上单调递增D.的值域为11.在中，D为BC边上的中点，是边AB上的一个定点，，且对于AB上任一点P，恒有，则下列结论中正确的是()A. B.存在点P，使C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，点M是内一点且，则的面积为______.13.函数的最小值______.14.已知，，，，且，则的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分已知的内角所对的边分别为，且，若，求的值；若的面积，求的值．16.本小题15分已知函数的最小正周期为将化简成的形式；设函数，求函数在上的值域.17.本小题15分已知，我们定义函数表示不小于x的最小整数，例如：，若，求实数x的取值范围；求函数的值域，并求满足的实数x的取值范围.18.19.本小题17分在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且求A；点D在边BC上，且，，求面积的最大值.答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为，所以，解得，或，，当时，不满足集合元素的互异性，故，，故选：根据集合相等的定义求出m，n，即可得解．本题主要考查了集合相等条件的应用，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：命题p为真时，恒成立，即，，，则；命题q为真时，，即，解得：或命题“p且q”是真命题时，可得或，所以命题“p且q”是假命题时，可得且，即故选：首先分别求两个命题为真命题时a的取值范围，取其补集即可得答案．本题考查复合命题的真假判断与应用，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】D【解析】解：因为正实数x，y，z满足，则，当且仅当时取等号．故选：先把代入到所求式子，然后进行分离变形，结合基本不等式即可求解．本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：函数，对称轴为，当，在上单调递增，所以；当，即时，在上单调递减，；当，即时，此时，，无最小值；当，即时，，综上知，的最小值为故选：根据对称轴和区间的位置关系对t的值进行讨论，从而求出，继而求出其最小值即可．本题考查二次函数在动区间上的最值，考查了分类讨论思想，属于难题．5.【答案】C【解析】解：，①当时，，对称轴为，在上单调递增，所以，则，所以②当时，，对称轴为，在上递增，在上递减，所以，则，所以③当时，若，，；若，，当时，，，，；当时，，，，综上所述：的最小值为故选：先按a的不同取值区间分类讨论在上的最大值，得到a与b的关系，结合a的范围，求得的最小值，再取不同情况下最小值中的最小者即可．本题主要考查了不等式恒成立与最值关系的转化，体现了分类讨论及转化思想的应用，属于中档题．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查了向量的垂直与数量积的关系、模的计算公式，属于基础题．如图所示，建立直角坐标系．利用，可得，再利用向量模的计算公式即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．则，设，，，，，解得故选：7.【答案】D【解析】解：由题意可知，当时，有，即，令，则当时，，则函数在上单调递减，由，可得，即，所以，解得，即实数a 的取值范围是故选：根据题意，构造函数，即可得到函数在上单调递增，结合函数的单调性求解不等式，即可得到结果．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．8.【答案】C 【解析】解：将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象．若的图象关于直线对称，则，，求得，故，故A 、B 错误．在上，，函数单调递增，故C 正确．由于，故D 错误．故选：由题意，利用函数的图象变换规律，得到的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．9.【答案】AD【解析】解：根据已知函数的部分图象可得：，因为，，所以，所以，即，所以，将代入解析式中得：，所以，即，因为，所以，所以，故A正确；令，得，故B不正确；因为，所以的图象不关于点对称，故C不正确；因为，所以的图象关于直线对称，故D正确．故选：根据已知函数的部分图象可得，再结合函数的周期可得，然后将代入求得，即可求得函数的解析式，进而判断选项A的正误；利用三角函数的图象与性质求出函数的单调区间，即可判断选项B的正误；利用代入验证法判断函数的对称中心和对称轴即可判断选项C、D的正误．本题考查由三角函数的部分图象求函数的解析式、三角函数的图象与性质，考查学生的逻辑思维能力和直观想象能力，属中档题．10.【答案】BD【解析】解：由题意，表示不大于x的最大整数，则，所以，则函数是以3为周期的函数，当时，；当时，，又是以3为周期的函数，则的值域为，B和D均正确；，，所以，故不是奇函数，A错误；当时，，故在上无单调性，C错误．故选：结合已知定义，结合函数的奇偶性，单调性及周期性检验各选项即可判断．本题以新定义为载体，主要考查了函数的周期性，奇偶性及单调性的判断，属于中档题．11.【答案】ACD【解析】解：A：，故A正确．B：由A知，，又恒成立，，即恒成立，不正确．C：由恒成立，是点D与直线AB上各点距离的最小值，，，正确．D：取AB的中点为O，，为OB中点，，，为等腰三角形，，正确．故选：由题意画出图形，利用平面向量的加减运算及数量积运算逐一分析4个命题得答案．本题考查平面向量的数量积运算，考查命题的真假判断与应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．12.【答案】【解析】解：取AC的中点D，由，得，即，即，可知点M为BD的中点，所以故答案为：根据题意，取AC的中点D，利用平面向量的线性运算法则判断出点M的位置，进而利用三角形面积公式算出的面积．本题主要考查平面向量的线性运算法则、三角形的面积公式及其性质等知识，属于基础题．13.【答案】【解析】解：，当且仅当，即，时取等号．故答案为：先对已知函数进行变形，然后结合乘1法及基本不等式即可求解．本题主要考查了乘1法及基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．14.【答案】【解析】解：根据，可得，所以，由，得，结合且，可得，所以当且仅当，即时，等号成立．因此，的最小值为，可得的最小值为，的最小值为故答案为：根据题意，取对数得，然后利用基本不等式与“1的代换”，算出的最小值为，由此得出的最小值，进而可得的最小值．本题主要考查对数的运算法则、利用基本不等式求最值等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．15.【答案】解：Ⅰ为的内角，且，，，，由正弦定理得：；Ⅱ，，【解析】本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．Ⅰ先求出，再利用正弦定理求的值；Ⅱ由的面积求c的值，利用余弦定理求b的值．16.【答案】解：，根据题意可得，解得，故；由知，则，所以当或时，取得最小值，最小值为，当时，取得最大值，最大值为，故在上的值域为【解析】利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，利用周期性求解，即可解答；利用诱导公式求得，然后根据正弦函数性质求解值域即可．本题主要考查了三角函数恒等变换，以及正弦函数的性质的综合应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．17.【答案】解：由表示不小于x的最小整数，，得，所以实数x的取值范围是；函数定义域为而函数在上单调递增，值域为因此，即，所以函数的值域为显然由，得，则有，而时，不等式不成立，则，必有，即，因此，，解得，所以实数x的取值范围【解析】由已知定义即可得x的范围；由已知结合基本初等函数的性质先求出的值域，再由已知建立不等式关系即可得关于x的不等式，即可求．本题以新定义为载体，主要考查了函数值域的求解，属于中档题．18.【答案】【解析】19.【答案】解：，，即，，；由题意得，两边平方得，整理得，，当且仅当，时，等号成立，，故面积的最大值为【解析】由正弦定理角化边，再结合余弦定理，即可得出答案；由向量建立等量关系，结合基本不等式，即可得出答案．本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．。
2015届湖南省衡阳市五校高三11月第二次联考数学理试卷
衡阳市五校2015届高三11月第二次联考（衡南一中、衡阳县一中、祁东二中、岳云中学、衡阳市一中）理科数学试题卷时量：120分钟 分值：150分一、选择题(每小题5分，共50分) ：1．复数21ii =- 【 】 A . 1i - B. 1i -+ C. 1i + D. 1i -- 2．已知,A B 是非空集合，命题甲：AB B =，命题乙：A B ⊂≠，那么 【 】A.甲是乙的充分不必要条件B. 甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 3．已知3cos(),(,2)5x x πππ+=∈,则sin x =【 】A ．35-B ． 45-C ．35 D ． 454. 等差数列{a n }中，已知35a =，2512a a +=，29n a =，则n 为 【 】 A. 13 B. 14 C. 15 D. 165．在△ABC 中，M 是AB 边所在直线上任意一点，若λ+-=2，则λ＝【 】 A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．已知函数)(x f 是定义在R 上的增函数，则函数1|)1(|--=x f y 的图象可能是【 】7. 在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°,则塔高为【 】A ．3400m B ．33200m C ．33400m D ．3200m 8．已知'()f x 是定义在R 上的函数()f x 的导函数，且5()(5),()'()02f x f x x f x =--< 若1212,5x x x x <+<，则下列结论中正确的是 【 】A ．12()()f x f x <B ．12()()0f x f x +>C ．12()()0f x f x +<D ． 12()()f x f x >9．设2(),0,()1,0x a x f x x a x x -≤⎧⎪=⎨++>⎪⎩,若(0)f 是()f x 的最小值,则a 的取值范围为【 】 A. [-1,2]B. [-1,0]C. [1,2]D. [0,2]10．在△ABC 中，已知9,sin cos sin ,6ABC AB AC B A C S ∆⋅==⋅=，P 为线段AB 上的点，且,||||CA CBCP x y xy CA CB =⋅+⋅则的最大值为 【 】A ．3B ．4C ．5D ．6二．填空题 (每小题5分，共25分) ：11．1()x e x dx +⎰等于 ．12． 函数3()12f x x x =-在区间[33]-，上的最小值是 ．13. 数列{}n a 中，已知12121,2,()n n n a a a a a n N *++===+∈，则7a =________.14．方程x a x+=-2)2(log 21有解，则a 的最小值为_________15. 下列命题中，真命题有_______________(写出所有真命题的序号) ⑴在ABC ∆中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件； ⑵点(,0)8π为函数()tan(2)4f x x π=+的一个对称中心； ⑶若||1,||2a b ==，向量a 与向量b 的夹角为120°，则b 在向量a 上的投影为1； ⑷有零点函数a x x x f a -+=>∀ln ln )(,02.三．解答题：共6个大题，共75分。
数学高一下期中经典测试卷(含答案解析)(1)
一、选择题1．(0分)[ID ：12425]设曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行，则a=（ ）A ．-4B ．14-C ．14D ．42．(0分)[ID ：12421]设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥3．(0分)[ID ：12416]水平放置的ABC 的斜二测直观图如图所示，若112A C ＝，111A B C △的面积为22，则AB 的长为（ ）A ．2B ．217C ．2D ．84．(0分)[ID ：12398]已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f 2b (log 5),c (2)f f m ,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a << 5．(0分)[ID ：12377]<九章算术>中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面,2,4ABC PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π6．(0分)[ID ：12356]在我国古代数学名著 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中， AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．12B ．12-C 3D ．3 7．(0分)[ID ：12344]用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．正方形D ．正六边形 8．(0分)[ID ：12396]若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b9．(0分)[ID ：12395]正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，DD 1的中点，AB ＝4，则过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面周长为（ ）A ．62+45B ．62+25C ．32+45D ．32+25 10．(0分)[ID ：12387]α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）①若α//β，m ⊂α，则m//β； ②若m//α，n ⊂α，则m//n ；③若α⊥β，α∩β=n ，m ⊥n ，则m ⊥β ④若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β. A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 11．(0分)[ID ：12371]若方程21424x kx k +-=-+ 有两个相异的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．13,34⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．13,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．53,124⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．53,124 12．(0分)[ID ：12369]某锥体的三视图如图所示（单位：cm ），则该锥体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．13 B ．12 C ．16 D ．113．(0分)[ID ：12410]已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ） A 2 B 3C 2 D 2 14．(0分)[ID ：12397]若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( )A ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,3 15．(0分)[ID ：12360]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．64B ．643C ．16D ．163二、填空题16．(0分)[ID ：12478]在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，BD AC O ⋂=,M 是线段1D O 上的动点，过M 做平面1ACD 的垂线交平面1111D C B A 于点N ，则点N 到点A 的距离最小值是___________．17．(0分)[ID ：12463]已知圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22，则圆M 与圆22:(1)(1)1N x y -+-=的位置关系是_________．18．(0分)[ID ：12462]若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 .19．(0分)[ID ：12522]在三棱锥P ABC -中,PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，3AB =，4BC =，5PA =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为__________20．(0分)[ID ：12508]已知P 是抛物线24y x =上的动点，点Q 是圆22:(3)(3)1C x y ++-=上的动点，点R 是点P 在y 轴上的射影，则PQ PR +的最小值是____________．21．(0分)[ID ：12443]已知B 与点()1,2,3A 关于点()0,1,2M -对称，则点B 的坐标是______．22．(0分)[ID ：12431]已知棱长等于23的正方体1111ABCD A B C D -，它的外接球的球心为O ﹐点E 是AB 的中点，则过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值为________.23．(0分)[ID ：12430]若直线:20l kx y --=与曲线()2:111C y x --=-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围________.24．(0分)[ID ：12432]如图所示，二面角l αβ--为60,,A B 是棱l 上的两点，,AC BD 分别在半平面内,αβ，且AC l ⊥，，4,6,8AB AC BD ===，则CD 的长______．25．(0分)[ID ：12450]已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点．如果2AB AC ==，22BC =，则球心到平面ABC 的距离为__________．三、解答题26．(0分)[ID ：12628]已知点()1,0P ，圆22:6440C x y x y +-++=.（1）若直线l 过点P 且到圆心C 的距离为2，求直线l 的方程；（2）设过点()0,1Q -的直线m 与圆C 交于A 、B 两点（m 的斜率为负），当||4AB =时，求以线段AB 为直径的圆的方程.27．(0分)[ID ：12597]已知点(3,3)M ，圆22:(1)(2)4C x y -+-=.（1）求过点M 且与圆C 相切的直线方程；（2）若直线40()ax y a -+=∈R 与圆C 相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，求实数a 的值.28．(0分)[ID ：12545]如图所示，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60,,ABC E F ∠=分别是,BC PB 的中点．（1）证明：AE ⊥平面PAD ；（2）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为3，求二面角B AF C --的正切值．29．(0分)[ID ：12622]已知圆22C (4)4x y +-=：，直线:(31)(1)40l m x m y ++--=.（1）求直线l 所过定点A 的坐标；（2）求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时直线l 的方程及最短弦长；（3）已知点M (-3,4)，在直线MC 上(C 为圆心)，存在定点N (异于点M )，满足：对于圆C 上任一点P ，都有||||PM PN 为一常数， 试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数.30．(0分)[ID ：12542]如图，将棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -沿着相邻的三个面的对角线切去四个棱锥后得一四面体11A CB D -．（Ⅰ）求该四面体的体积；（Ⅱ）求该四面体外接球的表面积．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案 **科目模拟测试一、选择题1．D2．B3．B4．B5．C6．A7．A8．B9．A10．B11．D12．A13．A14．B15．D二、填空题16．【解析】连结易知面面而即在面内且点的轨迹是线段连结易知是等边三角形则当为中点时距离最小易知最小值为17．相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式求出的值结合两圆的位置关系进行判断即可【详解】解：圆的标准方程为则圆心为半径圆心到直线的距离圆截直线所得线段的长度是即则圆心为半径圆的圆心为半径则即两个18．2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r高为h底面积为S体积为V则有2πr=2⇒r=1π故底面面积S=πr2=π×(1π)2=1π故圆柱的体积V=Sh=1π×2=2π考点：圆柱的体积19．【解析】【分析】以为长宽高构建长方体则长方体的外接球是三棱锥的外接球由此能求出三棱锥的外接球的表面积【详解】由题意在三棱锥中平面以为长宽高构建长方体则长方体的外接球是三棱锥的外接球所以三棱锥的外接球20．【解析】根据抛物线的定义可知而的最小值是所以的最小值就是的最小值当三点共线时此时最小最小值是所以的最小值是3【点睛】本题考查了点和圆的位置关系以及抛物线的几何性质和最值问题考查了转化与化归能力圆外的21．【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果【详解】设B则所以所以的坐标为【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式考查基本分析求解能力属基础题22．【解析】【分析】当过球内一点的截面与垂直时截面面积最小可求截面半径即可求出过点的平面截球的截面面积的最小值【详解】解：棱长等于的正方体它的外接球的半径为3当过点的平面与垂直时截面面积最小故答案为：【23．【解析】【分析】由题意可知曲线为圆的右半圆作出直线与曲线的图象可知直线是过点且斜率为的直线求出当直线与曲线相切时k的值利用数形结合思想可得出当直线与曲线有两个公共点时实数的取值范围【详解】对于直线则24．【解析】【分析】推导出两边平方可得的长【详解】二面角为是棱上的两点分别在半平面内且的长故答案为：【点睛】本题考查线段长的求法考查空间中线线线面面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力考查函数与方程25．【解析】设球的半径为表面积解得∵在中∴从圆心作平面的垂线垂足在斜边的中点处∴球心到平面的距离故答案为点睛：本题考查的知识点是空间点线面之间的距离计算其中根据球心距球半径解三角形我们可以求出所在平面截三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】求出原函数的导函数，得到函数在2x =时的导数，再由两直线平行与斜率的关系求得a 值．【详解】 解：由31x y x +=-，得()()2213411x x y x x ---=---'=， ∴2'|4x y ==-，又曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行， ∴4a -=-，即4a =．故选D ．【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线平行与斜率的关系，是中档题．2．B解析：B【解析】A 中，,αβ也可能相交；B 中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C 中，,αβ也可能相交；D 中，l 也可能在平面β内.【考点定位】点线面的位置关系3．B解析：B【解析】【分析】依题意由111A B C △的面积为114B C =，所以8BC =，2AC =，根据勾股定理即可求AB ．【详解】依题意，因为111A B C △的面积为所以11111sin 452AC B C ︒=⨯⋅=11122B C ⨯⨯，解得114B C =， 所以8BC =，2AC =，又因为AC BC ⊥，由勾股定理得：AB ====故选B ．【点睛】本题考查直观图还原几何图形，属于简单题. 利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与x 轴平行的线段仍然与x '轴平行且相等；二是与y 轴平行的线段仍然与y '轴平行且长度减半. 4．B解析：B【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.5．C解析：C【解析】【分析】先作出三棱锥P ABC -的图像，根据P ABC -四个面都为直角三角形和PA ⊥平面ABC ，可知PC 中点即为球心，利用边的关系求出球的半径，再由24S R π=计算即得.【详解】三棱锥P ABC -如图所示，由于P ABC -四个面都为直角三角形，则ABC 是直角三角形，且2ABC π∠=，2223BC AC AB ∴=-=，又PA ⊥平面ABC ，且PAC 是直角三角形，∴球O 的直径2222PC R PA AB BC ==++2025==，5R ∴=，则球O 的表面积2420S R ππ==.故选：C【点睛】本题考查多面体外接球的表面积，是常考题型.6．A解析：A【解析】如图，分别取,,,BC CD AD BD 的中点,,,M N P Q ，连,,,MN NP PM PQ ，则,MN BD NP AC ，∴PNM ∠即为异面直线AC 和BD 所成的角（或其补角）．又由题意得PQ MQ ⊥，11,22PQ AB MQ CD ==. 设2AB BC CD ===，则2PM =又112,222MN BD NP AC ====, ∴PNM ∆为等边三角形，∴60PNM =︒∠，∴异面直线AC 与BD 所成角为60︒，其余弦值为12．选A ． 点睛：用几何法求空间角时遵循“一找、二证、三计算”的步骤，即首先根据题意作出所求的角，并给出证明，然后将所求的角转化为三角形的内角．解题时要注意空间角的范围，并结合解三角形的知识得到所求角的大小或其三角函数值． 7．A解析：A【解析】【分析】【详解】画出截面图形如图显然A 正三角形C 正方形：D 正六边形可以画出三角形但不是直角三角形；故选A ．用一个平面去截正方体，则截面的情况为：①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；②截面为四边形时，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；③截面为五边形时，不可能是正五边形；④截面为六边形时，可以是正六边形．故可选A ．8．B解析：B【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gc log c ,log c lg a lg b==，01c <<，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用c y x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较. 9．A解析：A【解析】【分析】利用线面平行的判定与性质证明直线1BC 为过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线,从而证得1,,,B E F C 四点共面,然后在正方体中求等腰梯形1BEFC 的周长即可.【详解】作图如下:因为,E F 是棱1,AD DD 的中点,所以11////EF AD BC ,因为EF ⊄平面11BCC B ,1BC ⊂平面11BCC B ,所以//EF 平面11BCC B ，由线面平行的性质定理知,过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线l 平行于直线EF ,结合图形知,l 即为直线1BC ,过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面即为等腰梯形1BEFC ,因为正方体的棱长AB ＝4,所以11EF BE C F BC ====所以所求截面的周长为+故选:A【点睛】本题主要考查多面体的截面问题和线面平行的判定定理和性质定理；重点考查学生的空间想象能力;属于中档题.10．B解析：B【解析】【分析】在①中，由面面平行的性质定理得m ∥β；在②中，m 与n 平行或异面；在③中，m 与β相交、平行或m ⊂β；在④中，由n ⊥α，m ⊥α，得m ∥n ，由n ⊥β，得m ⊥β．【详解】由α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，知：在①中，若α∥β，m ⊂α，则由面面平行的性质定理得m ∥β，故①正确；在②中，若m ∥α，n ⊂α，则m 与n 平行或异面，故②错误；在③中，若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m 与β相交、平行或m ⊂β，故③错误； 在④中，若n ⊥α，m ⊥α，则m ∥n ，由n ⊥β，得m ⊥β，故④正确．故选：B ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，是中档题．11．D解析：D【解析】【分析】由题意可得，曲线22(1)4(1)x y y +-=与直线4(2)y k x -=-有2个交点，数形结合求得k 的范围.【详解】如图所示，化简曲线得到22(1)4(1)x y y +-=，表示以(0,1)为圆心，以2为半径的上半圆，直线化为4(2)y k x -=-，过定点(2,4)A ，设直线与半圆的切线为AD ，半圆的左端点为(2,1)B -，当AD AB k k k <，直线与半圆有两个交点，AD 与半圆相切时，2|124|21k k --+=+，解得512AD k =， 4132(2)4AB k -==--，所以53,124k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 故选：D【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题.12．A解析：A【解析】【分析】根据三视图知该几何体对应的三棱锥，结合图中数据求得三棱锥的体积．【详解】由题意可知三棱锥的直观图如图：三棱锥的体积为：111211323⨯⨯⨯⨯=． 故选：A ．【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，考查了空间想象能力，是基础题．13．A解析：A【解析】【分析】【详解】根据题意作出图形：设球心为O ，过ABC 三点的小圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面ABC ，延长CO 1交球于点D ，则SD ⊥平面ABC ．∵CO 1=233323⨯=， ∴116133OO =-=， ∴高SD=2OO 1=263，∵△ABC 是边长为1的正三角形，∴S △ABC =34， ∴132623436S ABC V -=⨯⨯=三棱锥．考点：棱锥与外接球，体积．【名师点睛】本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关系，如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三角形斜边中点到三顶点距离相等等等．14．B解析：B【解析】【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可【详解】解：函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩单调递增，()301373a a a a ⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤< 所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：B ．【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 15．D 解析：D【解析】根据三视图知几何体是：三棱锥D ABC -为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：B 是棱的中点，由正方体的性质得，CD ⊥平面,ABC ABC ∆的面积12442S =⨯⨯=，所以该多面体的体积1164433V =⨯⨯=，故选D.二、填空题16．【解析】连结易知面面而即在面内且点的轨迹是线段连结易知是等边三角形则当为中点时距离最小易知最小值为6【解析】连结11B D ，易知面1ACD ⊥面11BDD B ，而1MN ACD ⊥，即1NM D O ⊥，NM 在面11BDD B 内，且点N 的轨迹是线段11B D ，连结1AB ，易知11AB D 是等边三角形，则当N 为11B D 中点时，NA 6 17．相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式求出的值结合两圆的位置关系进行判断即可【详解】解：圆的标准方程为则圆心为半径圆心到直线的距离圆截直线所得线段的长度是即则圆心为半径圆的圆心为半径则即两个【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，求出a 的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．【详解】解：圆的标准方程为222:()(0)M x y a a a +-=>，则圆心为(0,)a ，半径R a =，圆心到直线0x y +=的距离d =，圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是∴即24a =，2a =，则圆心为(0,2)M ，半径2R =，圆22:(1)(1)1N x y -+-=的圆心为(1,1)N ，半径1r =，则MN =3R r +=，1R r -=，R r MN R r ∴-<<+，即两个圆相交．故答案为：相交．【点睛】本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出a 的值是解决本题的关键．18．2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r 高为h 底面积为S 体积为V 则有2πr=2⇒r=1π故底面面积S=πr2=π×(1π)2=1π故圆柱的体积V=Sh=1π×2=2π考点：圆柱的体积解析：2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，底面积为S ，体积为V ，则有2πr =2⇒r =1π，故底面面积S =πr 2=π×(1π)2=1π，故圆柱的体积V =Sh =1π×2=2π. 考点：圆柱的体积 19．【解析】【分析】以为长宽高构建长方体则长方体的外接球是三棱锥的外接球由此能求出三棱锥的外接球的表面积【详解】由题意在三棱锥中平面以为长宽高构建长方体则长方体的外接球是三棱锥的外接球所以三棱锥的外接球 解析：50π【解析】以,,AB BC PA 为长宽高构建长方体，则长方体的外接球是三棱锥P ABC -的外接球，由此能求出三棱锥P ABC -的外接球的表面积.【详解】由题意，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,,3,4,5ABC AB BC AB BC PA ⊥===， 以,,AB BC PA 为长宽高构建长方体，则长方体的外接球是三棱锥P ABC -的外接球， 所以三棱锥P ABC -的外接球的半径为22215234522R =++=， 所以三棱锥P ABC -的外接球的表面积为225244()502S R πππ==⨯=. 【点睛】 本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积的计算问题，其中解答中根据几何体的结构特征，以,,AB BC PA 为长宽高构建长方体，得到长方体的外接球是三棱锥P ABC -的外接球是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力.20．【解析】根据抛物线的定义可知而的最小值是所以的最小值就是的最小值当三点共线时此时最小最小值是所以的最小值是3【点睛】本题考查了点和圆的位置关系以及抛物线的几何性质和最值问题考查了转化与化归能力圆外的 解析：【解析】根据抛物线的定义，可知1PR PF =-，而PQ 的最小值是1PC -，所以PQ PR +的最小值就是2PF PC +-的最小值，当,,C P F 三点共线时，此时PF FC +最小，最小值是()()2231305CF =--+-= ，所以PQ PR +的最小值是3.【点睛】本题考查了点和圆的位置关系以及抛物线的几何性质和最值问题，考查了转化与化归能力，圆外的点和圆上的点最小值是点与圆心的距离减半径，最大值是距离加半径，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，这样转化后为抛物线上的点到两个定点的距离和的最小值，即三点共线时距离最小.21．【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果【详解】设B则所以所以的坐标为【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式考查基本分析求解能力属基础题解析：()1,4,1--【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果.【详解】设B (),,x y z ,则1230,1,2222x y z +++=-==，所以1,4,1x y z =-=-=，所以B 的坐标为()1,4,1--．【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 22．【解析】【分析】当过球内一点的截面与垂直时截面面积最小可求截面半径即可求出过点的平面截球的截面面积的最小值【详解】解：棱长等于的正方体它的外接球的半径为3当过点的平面与垂直时截面面积最小故答案为：【 解析：3π.【解析】【分析】当过球内一点E 的截面与OE 垂直时，截面面积最小可求截面半径，即可求出过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值．【详解】解：棱长等于1111ABCD A B C D -，它的外接球的半径为3，||OE =当过点E 的平面与OE 垂直时，截面面积最小，r 33S ππ=⨯=， 故答案为：3π．【点睛】本题考查过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值及接体问题，找准量化关系是关键，属于中档题．23．【解析】【分析】由题意可知曲线为圆的右半圆作出直线与曲线的图象可知直线是过点且斜率为的直线求出当直线与曲线相切时k 的值利用数形结合思想可得出当直线与曲线有两个公共点时实数的取值范围【详解】对于直线则 解析：4,23⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】由题意可知，曲线C 为圆()()22111x y -+-=的右半圆，作出直线l 与曲线C 的图象，可知直线l 是过点()0,2-且斜率为k 的直线，求出当直线l 与曲线C 相切时k 的值，利用数形结合思想可得出当直线l 与曲线C 有两个公共点时实数k 的取值范围.【详解】对于直线:2l y kx =-，则直线l 是过点()0,2P -且斜率为k 的直线，对于曲线()2:111C y x --=-，则101x x -≥⇒≥，曲线C 的方程两边平方并整理得()()22111x y -+-=，则曲线C 为圆()()22111x y -+-=的右半圆，如下图所示：当直线l 与曲线C 相切时，0k >()222123111k k k k ---==++-，解得43k =， 当直线l 过点()1,0A 时，则有20k -=，解得2k =.结合图象可知，当4,23k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，直线l 与曲线C 有两个交点. 故答案为：4,23⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查利用直线与曲线的交点个数求参数，解题的关键就是将曲线C 化为半圆，利用数形结合思想求解，同时要找出直线与曲线相切时的临界位置，考查数形结合思想的应用，属于中等题.24．【解析】【分析】推导出两边平方可得的长【详解】二面角为是棱上的两点分别在半平面内且的长故答案为：【点睛】本题考查线段长的求法考查空间中线线线面面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力考查函数与方程 解析：217【解析】【分析】推导出CD CA AB BD =++，两边平方可得CD 的长．【详解】二面角l αβ--为60︒，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内， 且AC l ⊥，BD l ⊥，4AB =，6AC =，8BD =，∴CD CA AB BD =++，∴22()CD CA AB BD =++2222CA AB BD CA BD =+++361664268cos12068=+++⨯⨯⨯︒=，CD ∴的长||68217CD ==．故答案为：217．【点睛】本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．25．【解析】设球的半径为表面积解得∵在中∴从圆心作平面的垂线垂足在斜边的中点处∴球心到平面的距离故答案为点睛：本题考查的知识点是空间点线面之间的距离计算其中根据球心距球半径解三角形我们可以求出所在平面截 3【解析】设球的半径为r ，表面积24π20πS r ==，解得5r =ABC 中，2AB AC ==，22BC =222AB AC BC +=，∴90BAC ∠=︒，从圆心作平面ABC 的垂线，垂足在斜边BC 的中点处，∴球心到平面ABC 的距离22132d r BC ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭3 点睛：本题考查的知识点是空间点、线、面之间的距离计算，其中根据球心距d ，球半径R ，解三角形我们可以求出ABC 所在平面截球所得圆（即ABC 的外接圆半径），构造直角三角形，满足勾股定理，我们即可求出球心到平面ABC 的距离是与球相关的距离问题常用方法.三、解答题26．（1）1x =或0y =；（2）()()22134x y -++=.【解析】【分析】（1）对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，利用圆心到直线l 的距离等于2可求得直线l 的方程；（2）先通过点到直线的距离及勾股定理可解得直线m 的斜率，然后将直线m 的方程与圆的方程联立，求出线段AB 的中点，作为圆心，并求出所求圆的半径，进而可得出所求圆的方程.【详解】（1）由题意知，圆C 的标准方程为()()22329x y -++=，∴圆心()3,2C -，半径3r =，①当直线l 的斜率k 存在时，设直线的方程为()01y k x -=-，即kx y k 0--=， 则圆心到直线l的距离为2d ==，0k ∴=.∴直线l 的方程为0y =；②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，此时圆心C 到直线l 的距离为2，符合题意.综上所述，直线l 的方程为1x =或0y =；（2）依题意可设直线m 的方程为1y kx =-，即()100kx y k --=<，则圆心()3,2C -到直线m的距离d === 22320k k ∴+-=，解得12k =或2k =-， 又0k <，2k ∴=-，∴直线m 的方程为210x y ---=即210x y ++=，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线m 与圆C 的方程得()()22210329x y x y ++=⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 消去y 得251010x x -+=，122x x ∴+=，则线段AB 的中点的横坐标为1212x x +=，把1x =代入直线m 中得3y =-， 所以，线段AB 的中点的坐标为()1,3-， 由题意知，所求圆的半径为：122AB =， ∴以线段AB 为直径的圆的方程为：()()22134x y -++=.【点睛】本题考查利用圆心到直线的距离求直线方程，同时也考查了圆的方程的求解，涉及利用直线截圆所得弦长求参数，考查计算能力，属于中等题.27．（1）3x =或34210x y +-=；（2）34-. 【解析】【分析】（1）考虑切线的斜率是否存在，结合直线与圆相切的的条件d=r ，直接求解圆的切线方程即可．（2）利用圆的圆心距、半径及半弦长的关系，列出方程，求解a 即可．【详解】（1）由圆的方程得到圆心(1,2)，半径2r .当直线斜率不存在时，直线3x =与圆C 显然相切；当直线斜率存在时，设所求直线方程为3(3)y k x -=-，即330kx y k -+-=，2=，解得34k =-， ∴ 方程为33(3)4y x -=--，即34210x y +-=. 故过点M 且与圆C 相切的直线方程为3x =或34210x y +-=. （2）∵ 弦长AB为 2.圆心到直线40ax y -+=的距离d =∴2242⎛⎛⎫+= ⎝⎭， 解得34a =-. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查切线方程的求法，考查了垂径定理的应用，考查计算能力． 28．(1)见证明；(2) 【解析】【分析】(1)由PA ⊥面ABCD 可知PA AE ⊥，又可证AE BC ⊥，根据线面垂直的判定即可证明(2) 取AB 中点M ，作MN AF ⊥于N ，连CN ，可证MNC ∠是二面角B AF C --的平面角，解三角形即可求解.【详解】（1）PA ⊥面ABCD ，AE ⊂面ABCD ，PA AE ∴⊥； 又底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=，E 为BC 中点，,//,,AE BC AD BC AE AD ∴⊥∴⊥AE ∴⊥面PAD ；（2）AE 面PAD ，AHE ∴∠是EH 与面PAD 所成角，tan ,AE AHE AH PO AH∠=⊥时，AH 最小，tan AHE ∠最大，AHE ∠最大， 令2AB =，则3,1AE AH ==，在Rt AHD ∆中，2,30AD ADH =∠=， 在Rt PAD ∆中，233PA = PA ⊥面ABCD ，∴面PAB ⊥面ABCD ，且交线为AB ，取AB 中点M ，正ABC ∆中，,CM AB CM ⊥∴⊥面PAB ，作MN AF ⊥于N ，连CN ，由三垂线定理得CN AF ⊥，MNC ∠是二面角B AF C --的平面角.3CM =.在PAB ∆中，23,2,3BF AF AB ===边AF 上的高11,2BG MN ==， tan 23CM MNC MN∠==【点睛】 本题主要考查了线面垂直的判定，线面垂直的性质，二面角的求法，属于难题. 29．（1）A （1，3）；（2）直线l 方程为20x y -+=，最短弦长为223）在直线MC 上存在定点4,43N ⎛⎫-⎪⎝⎭，使得||||PM PN 为常数32． 【解析】【分析】（1）利用直线系方程的特征，直接求解直线l 过定点A 的坐标；（2）当AC ⊥l 时，所截得弦长最短，由题知C （0，4），2r，求出AC 的斜率，利用点到直线的距离，转化求解即可；（3）由题知，直线MC 的方程为4y =，假设存在定点N （t ，4）满足题意，则设。
湖南省衡阳市衡阳县第一中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题
湖南省衡阳市衡阳县第一中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知条件q ：“不等式()()224210a x a x -++-≥的解集是空集”，则条件p ： “21a -≤<”是条件q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知z 满足i 1z +=，则z 的最大值为（ ）A ．1BC D ．23．已知函数()()lg 122x xf x x -=-++，则满足不等式()()12f x f x +<的x 的取值范围为（ ）A ．()2,1--B ．()1,2C ．()()1,1,3-∞-⋃+∞ D ．()(),21,-∞-+∞U4．已知0.50.3sin0.5,3,log 0.5a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<5．已知幂函数()()223mm f x x m +-=∈Z 是偶函数，且()f x 在(),0∞-上是增函数，则m =（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．36．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成；一个半径为R 的扇形，它的周长是 4R ，则这个扇形所含弓形的面积是（ ）A ．212RB ．21sin1cos12RC ．2(1sin1cos1)R -D ．2(2sin1cos1)R -7．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos b A B =，则角B 的大小是（ ）A ．π3B ．π6C ．2π3D ．5π68．已知函数()()*2sin 6f x x πωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N 有一条对称轴为23x π=，当ω取最小值时，关于x 的方程()f x a =在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有两个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(2,1)--B ．[1,1)-C ．[1,2)-D ．[1,2)二、多选题9．已知函数()()πsin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭图象的一条对称轴为直线π8x =，函数()πcos 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．将()f x 的图象向左平移π2个单位长度得到()g x 的图象B ．方程()()f x g x =的相邻两个实数根之差的绝对值为π2C ．函数()12log y f x =在区间79,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在区间()π,4t t t ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦R上的最大值与最小值之差的取值范围为1⎡⎢⎣ 10．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，下列命题正确的是（ ）A ．若0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r ，则ABC V 为等腰三角形 B ．若3,4,45b a B ===︒，则此三角形有两解 C ．若cos cos a A b B ⋅=⋅，则ABC V 为等腰三角形D ．若()cos cos a b c A B +=+，且1c =11．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列各组条件中使得ABC V 有两个解的是（ ）A．a = 4b =，π6A = B．a =4b =，3cos 5A = C．a =4b =，π6C =D．a =4b =，π6B =三、填空题12．设函数()()()120102x f x x x ⎧--≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，()()12g x f x x =-，[]2,2x ∈-，若()()212log log 21g a g a g ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围是 .13．已知2a =r ，且a r 与b r 的夹角为60︒，e r 为与b r 方向相同的单位向量，则向量a r 在向量b r上的投影向量为 .14．,A B 两地之间隔着一个山冈，如图，现选择另一点C ，测得7km,5km CA CB ==，60C =︒，则,A B 两点之间的距离为 km .四、解答题15．已知向量()(),,sin ,cos p a b q x x ==r r；定义函数()f x p q =⋅r r ，称向量(),p a b =u r 为()f x 的特征向量，()f x 为p r的特征函数．(1)设()()32sin πsin π2g x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，求()g x 的特征向量；(2)设向量)p =r 的特征函数为()f x ，求当()65f x =且ππ,63x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，sin x 的值；(3)设向量12p ⎛=- ⎝⎭r 的特征函数为()f x ，记()()214h x fx =-，若()h x 在区间[],a b 上至少有40个零点，求b a -的最小值．16．已知函数()2cos 2cos f x x x x =-. (1)求()f x 的单调递增区间；(2)在ABC V 中，02A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2AB =，求ABC V 周长的取值范围.17．如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O 为圆心，直径AB 的长为2km ，C ，D 两点在半圆弧上，且BC CD =，设COB θ∠=．(1)当π6θ=时，求四边形ABCD 的面积； (2)若要在景区内铺设一条由线段AB ，BC ，CD 和DA 组成的观光道路，则当θ为何值时，观光道路的总长l 最长，并求出l 的最大值．18．在锐角ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b sin sin 2A Ca b A +=． （1）求角B ；（2）证明a c +不可能等于3．19．在直角梯形ABCD 中，已知2AB DC =u u u r u u u r，AD AB ⊥，1AD CD ==u u u r u u u r ，动点E 、F 分别在线段DC 和BC 上，且BF BC λ=u u u r u u u r ，()1DE DC λ=-u u ur u u u r ．(1)当23λ=时，求AC EF ⋅u u u r u u u r 的值； (2)求向量AE EF u u u r u u u r，的夹角；(3)求12AE AF +u u u r u u u r的取值范围．。
湖南省衡阳县第一中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题
结合 a 的范围，求得 a2 + 2b 的最小值，再取不同情况下最小值中的最小者.
【详解】
f
(x)
=
x
x
-
a
-b
=
ìx2 - ax - b, x ³ a íî-x2 + ax - b, x < a
，
①当 2
£
a
<
3 时，
f
(x)
=
-x2
+
ax
-b
，对称轴为
x
=
a 2
³1，
f (x) 在[0,1] 上单调递增，
h
(
x
)
=
g
æ çè
x
-
π65ö÷øπ+
g
æ çè
6
-
x
ö ÷ø
在
é êë
π5,π 66
ù úû
上的值域.
17．已知 x Î R ，我们定义函数 f ( x) 表示不小于 x 的最小整数，例如： f (π4) = ，
试卷第41 页，共33 页
f (-0.1) = 0 ．
(1)若 f ( x) = 2023 ，求实数 x 的取值范围；
对称
10．已知函数
f
(x)
=
é êë
x
+1ù 3 úû
-
é êë
xù 3 úû
（
xÎ
R
，其中 [ x ]
表示不大于
x
的最大整数），则
（）
A． f ( x) 是奇函数
B． f ( x) 是周期函数
C． f ( x) 在[0, 2) 上单调递增
湖南省衡阳市2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题含答案
2023级高一年级第二学期开学考试数学试题（答案在最后）时量：120分钟分值：150分考试内容：必修一，必修二第六章1-3节命题人：一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.如图，U 是全集，,M N 是U 的两个子集，则图中的阴影部分可以表示为（）A.M N ⋂B.()UM N⋃ð C.()U M N⋂ð D.()U N M N ⋂⋂ð【答案】D 【解析】【分析】根据给定的图形，利用集合的交并补运算即可求解.【详解】观察图形知，阴影部分在集合N 中，且不在集合M ，在()U M N ⋂ð中，ABC 不可选，也不在M N ⋂中，所以阴影部分可表示为()U N M N ⋂⋂ð.故选：D 2.函数3ln y x x=-的零点所在区间是（）A.()3,4 B.()2,3 C.()1,2 D.()0,1【答案】B 【解析】【分析】根据解析式判断函数单调性，再应用零点存在性定理确定所在区间即可.【详解】由3,ln y y x x==-在(0,)+∞上递减，所以3ln y x x=-在(0,)+∞上递减，又3(2)ln 2ln 022f =-=>，e (3)1ln 3ln 03f =-=<，所以零点所在区间为()2,3.故选：B3.函数()3e 1x x f x =+的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】由函数的奇偶性与函数值符号判断．【详解】∵函数()3e 1x x f x =+为非奇非偶函数，∴其图象既不关于原点对称，也不关于y 轴对称，故选项C 错误；当0x <时，()30e 1x x f x =<+，故A ，D 错误，故选：B4.已知()1,3P 为角α终边上一点，则()()()()2sin πcos πsin 2π2cos αααα-++=++-（）A.17-B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】应用诱导公式及由弦化切化简目标式为2tan 1tan 2αα-+，结合三角函数的定义求得tan 3α=，即可求值.【详解】由()()()()2sin πcos π2sin cos 2tan 1sin 2π2cos sin 2cos tan 2αααααααααα-++--==++-++，又tan 3α=，所以2tan 12311tan 232αα-⨯-==++.故选：B5.已知2169log 3,2,log 2a b c -===，则,,a b c 的大小关系为（）A.a c b >>B.c b a >>C.a b c >>D.c a b>>【答案】A 【解析】【分析】利用对数换底公式，结合对数函数性质及媒介数比较大小即得.【详解】依题意，1633111log 3log log 31627a ==>=，922111log 2log 9log 38c ==<=，又291log 2log 24c b -=>===，所以,,a b c 的大小关系为a c b >>.故选：A 6.已知()()1241,2(0,1)2,2x a x a x f x a a ax -⎧-++≤=>≠⎨>⎩．若()f x 存在最小值，则实数a 的取值范围为（）A.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B.30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C.10,(1,2)2⎛⎤ ⎥⎝⎦D.30,(1,2)4⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】通过对参数a 分类讨论，研究()f x 在(,2]-∞和(2,)+∞的单调性，再结合已知条件，即可求解.【详解】解：由题意，不妨令()(2)41g x a x a =-++，(,2]x ∈-∞；1()2x h x a -=，(2,)x ∈+∞，①当01a <<时，()(2)41g x a x a =-++在(,2]-∞上单调递减，1()2x h x a -=在(2,)+∞上单调递减，易知1()2x h x a -=在(2,)+∞上的值域为(0,2)a ，又因为()f x 存在最小值，只需(2)(2)2410g a a =-⨯++≤，解得12a ≤，又由01a <<，从而102a <≤；②当12a <<时，()(2)41g x a x a =-++在(,2]-∞上单调递减，1()2x h x a -=在(2,)+∞上单调递增，又因为()f x 存在最小值，故(2)(2)g h ≤，即(2)2412a a a -⨯++≤，解得，34a ≤，这与12a <<矛盾；③当2a =时，9,2()2,2x x f x x ≤⎧=⎨>⎩，易知()f x 的值域为(4,)+∞，显然()f x 无最小值；④当2a >时，()(2)41g x a x a =-++在(,2]-∞上单调递增，1()2x h x a -=在(2,)+∞上单调递增，从而()f x 无最小值.综上所述，实数a 的取值范围为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.故选：A.7.如图，在ABC 中，1AC =，2AB =，60BAC ∠=︒，BC ，AB 边上的两条中线AD ，CE 相交于点P ，则cos DPE ∠=（）A.14B.7C.17D.14【答案】D 【解析】【分析】由题得ABC 为直角三角形，建立平面直角坐标系，将问题转化为求AD 与CE夹角的余弦即可.【详解】因为1AC =，2AB =，60BAC ∠=︒，由余弦定理得，2222cos 41221cos603BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯︒=，得到BC =，又222BC AC AB +=，所以ABC 为直角三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，则有(1,0),3),(0,0)A B C ，又,D E 分别为,BC AB 中点，所以313(0,),(,)222D E ，故313(1,(,)222AD CE =-= ，所以13724cos cos ,143131444AD CEDPE AD CE AD CE-+⋅∠===⋅+⋅+，故选：D.8.已知点,024A π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()()cos f x x ωϕ=+（0ω>且，*ω∈N ，0ϕπ<<）的图像上，直线6x π=是函数()f x 图像的一条对称轴.若()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ϕ=（）A.6π B.4π C.3πD.23π【答案】C 【解析】【分析】由()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调求出ω的范围，先由函数零点与对称轴之间的关系求出周期，进而求得ω，利用对称轴即可求出ϕ.【详解】∵()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调，3662T πππ∴-=≤，得1226ππω⨯≥，所以06ω<≤∵24x π=是函数()()cos f x x ωϕ=+的零点，直线6x π=是函数()f x 的图象的一条对称轴，∴6248πππ-=，若84T π=，则2T π=，此时22ππω=，得4ω=，满足条件，若384T π=，则6T π=，此时26ππω=，得12ω=，不满足条件，综上可知，函数()()cos 4f x x ϕ=+，∵6x π=是函数()f x 的图象的一条对称轴，∴4,6k k Z πϕπ⨯+=∈，即2,3k k Z πϕπ=-∈，∵0ϕπ<<，∴3πϕ=，故选：C【点睛】关键点点睛：本题主要考查三角函数性质的应用，结合的单调区间以及对称轴对称中心之间的关系求出周期和ω是解决本题的关键，属于一般题.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.若不等式220ax x c ++>的解集为{}|12x x -<<，则2a c +=B.若命题p ：()0,x ∀∈+∞，1ln x x ->，则p 的否定为()0,x ∃∈+∞，1ln x x-≤C.已知函数()()()2511x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩在(),-∞+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是[]3,1--D.已知()()2ln 21f x mx x =++.若()f x 的值域为R ，则实数m 的取值范围(]0,1【答案】AB 【解析】【分析】对于A ，不等式解集的端点即对应方程的根，可求出a ，c 判断正误；对于B ，使用含有一个量词的命题的否定的知识进行判断；对于C ，结合函数单调性的定义，结合分段函数单调性知识进行判断；对于D ，可使用复合函数的值域知识进行判断.【详解】对于A ，不等式220ax x c ++>的解集为{}12x x -<<，则1-和2是方程220ax x c ++=的两个根，故20440a c a c -+=⎧⎨++=⎩，解得2a =-，4c =所以2a c +=，故A 正确；对于B ，全称量词命题“x M ∀∈，()p x ”的否定为存在量词命题“x M ∃∈，()p x ⌝”因此命题():0,,1ln p x x x ∞∀∈+->，则其否定为()0,,1ln x x x ∃∈+∞-≤，故B 正确；对于C ，因为()f x 是增函数，需满足当1x ≤时，25y x ax =---为增函数，当1x >时，ay x=为增函数，且当1x =时，25a x ax x ---≤，所以12015a a a a⎧-≥⎪⎪<⎨⎪---≤⎪⎩，解得32a --≤≤，故C 不正确；对于D ，令ln y t =，221t mx x =++，()f x 的值域为R ，则ln y t =的值域为R ，即(0,)+∞为221t mx x =++值域的子集，当0m =时，21t x =+，值域为R ，满足题意，当0m ≠时，需00m >⎧⎨∆≥⎩，即0440m m >⎧⎨-≥⎩，解得01m <≤，综上所述，实数m 的取值范围是01m ≤≤，故D 不正确.故选：AB.10.下列说法正确的是（）A.函数()228f x x x =+-的零点是()()4,0,2,0-B.方程e 3x x =+有两个解C.函数313,log xy y x-==的图象关于y x =对称D.用二分法求方程3380x x +-=在()1,2x ∈内的近似解的过程中得到()()10, 1.50f f <>，()1.250f <，则方程的根落在区间()1,1.25上【答案】BC 【解析】【分析】对于A ，由零点的定义即可得解；对于BD ，由零点存在定理即可判断；对于C ，由互为反函数的两个函数图象的位置关系即可判断.【详解】对于A ，零点不是点，而是函数图象与x 轴交点的横坐标，故A 错误；对于B ，令()e 3xx f x =--，则()()232e10,3e 0f f ---=-<-=>，()()1010020,10e 1321310241310110f f =-<=->-=-=>，所以由零点存在定理可知()e 3xx f x =--（其图象连续不断）在()()3,2,0,10--内各有一个零点，故B正确；对于C ，若331log log 3xx y x y y -⇔-=⇔==，所以函数313,log xy y x-==互为反函数，所以函数313,log xy y x-==的图象关于y x =对称，故C 正确；由零点存在定理可知方程的根落在区间()1.25,1.5，故D 错误.故选：BC.11.给出下列命题，其中正确的选项有（）A.等边ABC 中，向量AC 与向量BC的夹角为60B.()2,1a =r ，()3,1b =- ，则向量a 在向量b 上的投影向量为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C.非零向量,a b 满足a b a b ==- ，则a 与a b + 的夹角为30D.若()3,4OA =- ，()6,3OB =- ，()5,3OC m m =---，ABC ∠为锐角，则实数m 的取值范围为34m >-【答案】ABC 【解析】【分析】由向量夹角定义知A 正确；由投影向量定义，结合向量坐标运算知B 正确；根据向量线性运算的几何意义可确定C 正确；由cos BA BCABC BA BC⋅∠=⋅ ，根据ABC ∠为锐角可构造不等式组求得D 错误.【详解】对于A ，,AC BC C =∠ ，ABC 为等边三角形，,60AC BC ∴=，A 正确；对于B，cos ,2a b a a b b ⋅===- ，3,1,1010b b ⎛-==- ⎝⎭，a ∴r 在b 上的投影向量为31cos ,,22b a a b b ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭，B 正确；对于C ，a b a b ==-，∴以,,a b a b - 构成如图所示的等边三角形ABC ，其中AB a =，AC b =，CB a b =- ，以,AB AC 为邻边作平行四边形ABCD ，则a b AD +=，四边形ABCD 为菱形，,a a b BAD ∴+=∠，又60CAB ∠= ，AD 平分CAB ∠，,30a a b BAD ∴+=∠=，C 正确；对于D ，()3,1BA OA OB =-=-- ，()1,BC OC OB m m =-=---，()()22cos 101BA BC ABC BA BC m m ⋅∴∠==⋅⋅--+- ABC ∠ 为锐角，cos 0cos 1ABC ABC ∠>⎧∴⎨∠≠⎩，解得：34m >-且12m ≠，D 错误.故选：ABC.12.已知函数()sin sin f x x x =⋅，则下列说法正确的是（）.A.()f x 是周期函数B.ππ,22⎡⎤-⎢⎣⎦是函数()f x 的一个单调递增区间C.若()()120f x f x +=，则()12πZ x x k k +=∈D.不等式sin 2πsin 2πcos 2πcos 2πx x x x ⋅>⋅的解集为15,88k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，Z k ∈【答案】ABD 【解析】【分析】利用正弦型函数的图象与性质逐一判断即可.【详解】对于A ，因为()()()()2πsin 2πsin 2πsin sin f x x x x x f x +=+⋅+=⋅=，所以2π是()f x 的一个周期，正确；对于B ，因为()()()()sin sin sin sin f x x x x x f x -=-⋅-=-⋅=-，且函数()f x 的定义域为R ，所以()f x 是奇函数，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()21cos 2sin 2x f x x -==单调递增，又因为()f x 是奇函数且过原点，所以ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数()f x 的一个单调递增区间，正确；对于C ，由AB 可画出函数()f x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎣⎦上的图象，又因为ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图像关于π2x =对称，可画出函数()f x 在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象，即得到函数()f x 在π3π,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，即一个周期的图象，如图：则π13π1,4242f f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，满足π3π044f f ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，但π3ππ442-+=，错误；对于D ，先求不等式sin 2πsin 2πcos 2πcos 2πx x x x ⋅>⋅在一个周期内的解集，取区间[]0,2π，因为sin 2πsin 2πcos 2πcos 2πx x x x ⋅>⋅，所以()π2π2π2f x f x ⎛⎫>+⎪⎝⎭，则π2π4π7π2π24x x ⎧>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，则在整个定义域上有π2π2π4π7π2π2π24x k x k ⎧>+⎪⎪⎨⎪+<+⎪⎩，解得15,Z 88k x k k +<<+∈，正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：对于新的三角函数，往往先画出一个周期的函数图象，进而得到整个函数图象，利用三角函数图象不仅解决三角函数性质问题，还可以解不等式、方程零点个数等问题.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．13.51log 22661611742log 3log 4cos4953π-⎛⎫⎛⎫⨯++-+= ⎪⎝⎭⎝⎭__________．【答案】9【解析】【分析】由指数与对数的运算法则以及诱导公式即可求解.【详解】原式512266log 2414[()]log 9log 4cos(6)753-π=⨯++-+π-16414()log 36cos723-π=⨯+-+1172922=+-+=故答案为：914.若扇形的弧长为8，圆心角为4rad ，则扇形的面积为__________.【答案】8【解析】【分析】由弧长公式求出扇形的半径r ，再由扇形的面积公式求解即可.【详解】解：8,4,l α== 2,lr α∴==182S rl ∴==.故答案为：815.a b c >>，*N n ∈，且11n a b b c a c+≥---恒成立，则n 的最大值为__．【答案】4【解析】【分析】将不等式变形分离出n ，不等式恒成立即n 大于等于右边的最小值；由于a c a b b c -=-+-，凑出两个正数的积是常数，利用基本不等式求最值．【详解】解：由于11n a b b c a c+≥---恒成立，且a c >即a c a cn a b b c --≤+--恒成立只要a c a cn a b b c--≤+--的最小值即可a c a c ab bc a b b ca b b c a b b c---+--+-+=+----2b c a ba b b c--=++--a b c>> 0a b ∴->，0b c ->，故4a c a c a b b c ⎛⎫--+≥ ⎪--⎝⎭，因此4n ≤故答案为：4．16.如图，ABC 是等边三角形，边长为2,P 是平面上任意一点．则()PA PB PC ⋅+的最小值为__________．【答案】32-【解析】【分析】取BC 的中点D ，AD 的中点O ，利用向量数量积的运算律计算即得.【详解】在边长为2的在ABC 中，取BC 的中点D ，连接AD 并取其中点O ，连接PO ，则1322OD AD ==，于是)22()()(PA PB PC PA PD PO OA PO OD ⋅+=⋅=+⋅+ 222332()()222()22PO OD PO OD PO OD =-⋅+=-≥-⨯=- ，当且仅当点P 与点O 重合时取等号，所以()PA PB PC ⋅+ 的最小值为32-.故答案为：32-四､解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17.如图所示，已知在△AOB 中，BC =2AC ，OD =2DB ，DC 和OA 交于点E ，设OA a = ，OB b =．（1）用a和b 表示向量OC 、DC；（2）若OE OA λ=，求实数λ的值【答案】（1）2OC a b =- ；523DC a b=-（2）4=5λ【解析】【分析】（1）结合向量的加法、减法法则运算即可（2）根据向量的减法法则可得()2EC a b λ=-- 、523DC a b =-，结合平行向量的基本定理计算即可.【小问1详解】由题意知，A 是BC 的中点，且23OD OB =，由平行四边形法则，2OB OC OA +=，所以22OC OA OB a b =-=-，()252233DC OC OD a b b a b =-=--=-.【小问2详解】因为//EC DC ，又()()22EC OC OE a b a a b λλ=-=--=--，523DC a b =- ，所以22λ-＝153--，解得4=5λ．18.已知函数π()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>≤⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示，其中，点P 的坐标为(6,0)-，点Q 是()f x 图象上的最低点且坐标为(2,3)--，点R 是()f x 图象上的最高点.（1）求函数()f x 的解析式；（2）记RPO α∠=，QPO β∠=（α，β均为锐角），求()tan 2αβ+的值.【答案】（1）()ππ3sin 84f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（2）7736【解析】【分析】（1）由图象可得A ，由函数()y f x =的最小正周期求得ω的值，利用正弦函数的对称中心结合ϕ的取值范围可求得ϕ的值，即可求得函数()f x 的解析式；（2）利用函数周期求得(6,3)R ，由两点式斜率公式及诱导公式求得1tan 4α=，3tan 4β=，进而利用二倍角正切公式和两角和的正切公式求解即可.【小问1详解】由图象及(6,0)P -，(2,3)Q --可知，3A =，又函数()f x 的最小正周期()42616T ⎡⎤=---=⎣⎦，所以2ππ8T ω==，因为点(6,0)P -为函数()f x 的一个对称中心，所以()π6π,Z 8k k ϕ⨯-+=∈，即3ππ,Z 4k k ϕ=+∈，又π2ϕ≤，所以π0,4k ϕ==-，所以()ππ3sin 84f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【小问2详解】由（1）函数周期及最值知(6,3)R ，因为RPO α∠=，QPO β∠=，(6,0)P -，(2,3)Q --，所以()301tan 664PR k α-===--，()()303tan πtan 264PQ k ββ---=-===----，即3tan 4β=，所以22122tan 84tan 21tan 15114ααα⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()83tan 2tan 77154tan 2831tan 2tan 361154αβαβαβ+++===-⋅-⋅.19.为了预防流感病毒，某中学对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y （单位：毫克）随时间x （单位：h ）的变化情况如图所示，在药物释放过程中，y 与x 成正比，药物释放完毕后，y 与x 的函数关系式为18x ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y 与x 之间的函数关系；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低至0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室（精确到0.01）.【答案】（1）0.110,00.11,0.18x x x y x -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩（2）0.77【解析】【分析】（1）根据已知图象过的点的坐标，即可直接求出相应解析式；（2）令0.25y =，即可得出结果.【小问1详解】由题知，药物释放过程中，设y kx =，将()0.1,1代入解析式可得，0.11k =，解得10k =，以及0.1118a-⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得0.1a =，所以从药物释放开始，0.110,00.11,0.18x x x y x -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩.【小问2详解】由（1）知，0.110,00.11,0.18x x x y x -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，令0.110.258x -⎛⎫< ⎪⎝⎭，则20.10.773x >+≈，所以从药物释放开始，至少需要经过约0.77小时后，学生才能回到教室.20.已知函数()211f x x x =---．（1）求函数()f x 的零点以及不等式()0f x ≤的解集M ；（2）设M 中的最大数是m ，正数a b ､满足3a b m +=，求225b aa b++的最小值．【答案】（1）20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）132【解析】【分析】（1）将函数写为分段函数的形式，再根据范围依次解不等式即可.（2）确定2a b +=，变换224659b a a b a b=+++-，再利用均值不等式计算得到最值.【小问1详解】,1121132,121,2x x y x x x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=---=-<<⎨⎪⎪-≤⎪⎩，当1x ≥时，0x ≤，解得∅；当112x <<时，320x -≤，解得23x ≤，即12,23x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；当12x ≤时，0x -≤，解得102x ≤≤，即10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；综上所述：20,3x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，即20,3M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】23m =，2a b +=，()()22222222555949486a b b a b a a b a b a b a a b a a b a b --++=++=++=++=-()1941194113622222b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=++-=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当且仅当94b a a b=，即65a =，45b =时等号成立.21.已知()()()4,0,0,4,cos ,sin ,(0π)A B C ααα<<．（1）若OA OC += （O 为坐标原点），求OB 与OC的夹角；（2）若⊥AC BC ，求33sin cos ,sin cos αααα-+的值．【答案】21.6π22.sin cos 4αα-=，33sin cos αα+47128=【解析】【分析】（1）根据向量模长以及夹角的坐标公式计算即可；（2）由向量垂直得到数量积为0，进而得到1sin cos 4αα+=，通过平方得到2sin cos αα，进而可得()2sin cos αα-，再根据α的范围确定正负，开方得解；再利用立方和公式展开33sin cos αα+，进而得解.【小问1详解】由OA OC += 得()224+cos sin 21αα+=，1cos 2α=，又0πα<<，3πα∴=，1,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设OB 与OC的夹角为β,()0πβ≤≤，则cos OB OC OB OC β⋅=23342==,又0πβ≤≤，故OB 与OC的夹角β为6π.【小问2详解】由⊥ AC BC 得0AC BC ⋅=，即()()cos 4cos sin sin 40αααα-+-=，1sin cos 4αα∴+=，152sin cos 016αα-∴=<，故ππ2α<<,()21531sin cos 11616αα-∴-=-=，sin cos 4αα∴-=.又33sin cos αα+()()22sin cos sin sin cos cos αααααα=+-+1151432⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭47128=.22.已知函数()()12log 2sin 1 3.f x x =+-（1）求f (x )的定义域；（2）若0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求f (x )的值域;（3）设R a ∈，函数()2232g x x a x a =--，[0,1]x ∈，若对于任意10,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在唯一的0[0,1]x ∈，使得()()01 g x f x =成立，求a 的取值范围.【答案】（1）7{|22Z}66x k x k k ππππ-<<+∈；（2）[4,3]--；（3）53(,][1,]32-∞- .【解析】【分析】（1）由对数函数的意义，列出不等式，再求解作答.（2）求出函数2sin 1y x =+在[0,]6π上的值域，再结合对数函数单调性求解作答.（3）利用二次函数对称轴分类，结合（2）的结论列出不等式，求解作答.【小问1详解】函数12()log (2sin 1)3=+-f x x 有意义，有2sin 10x +>，即1sin 2x >-，解得722,Z 66k x k k ππππ-<<+∈，所以函数f (x )的定义域为7{|22Z}66x k x k k ππππ-<<+∈.【小问2详解】当06x π≤≤时，10sin 2x ≤≤，则12sin 12x ≤+≤，121log (2sin 1)0x -≤+≤，4()3f x -≤≤-，所以f (x )的值域是[4,3]--.【小问3详解】由（2）知，1[0,]6x π∈，14()3f x -≤≤-，函数()2232g x x a x a =--图象对称轴232a x =，而[0,1]x ∈，当2312a ≤，即33a -≤≤时，显然(0)233g a =-≥->-，因为任意10,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在唯一的0[0,1]x ∈，使得()()01g x f x =成立，则必有2(1)1324g a a =--≤-，解得53a ≤-或1a ≥，显然无解，当2312a >，即3a <-或3a >时，函数()2232g x x a x a =--在[0,1]上单调递减，()()()10g g x g ≤≤，因为任意10,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在唯一的0[0,1]x ∈，使得()()01g x f x =成立，则(0)3(1)4g g ≥-⎧⎨≤-⎩，于是得2231324a a a -≥-⎧⎨--≤-⎩，解得53a ≤-或312a ≤≤，满足3a <-或3a >，因此53a ≤-或312a ≤≤，所以a 的取值范围是53(,[1,]32-∞- .【点睛】结论点睛：若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．。
衡阳市第一中学2019-2020学年高一下学期入学考试化学试题含解析
【答案】B
【解析】
【详解】A．MnO4﹣为紫色，无色溶液中MnO4﹣不能大量共存；
B．各离子间不反应，能大量共存；
C．能使pH试纸变蓝色的溶液为碱性溶液，碱性溶液中HCO3﹣、NH4+都不能大量共存；
D．碱性溶液中Cu2+不能大量共存。
故选B。
8。13C﹣NMR(核磁共振）、15N﹣NMR可用于测定蛋白质、核酸等生物大分子的空间结构.下列有关13C、15N的叙述正确的是( )
A。13C、15N具有相同的中子数B.13C与12C60互为同位素
C.15N的核外电子数与中子数相同D.15N与14N核外电子排布相同
【答案】D
【解析】
【详解】A．13C与15N的中子数分别为7、8，A错误;
B．13C是核素，12C60属于单质，二者不能互为同位素，B错误；
C．15N的核外电子数为7,中子数为15﹣7=8，不相同,C错误;
A. 2种B。 3种C。 4种D. 5种【答源自】A【解析】【分析】
化合反应指的是由两种或两种以上的物质反应生成另一种新物质的反应，CuS和Al(OH)3都可以通过复分解反应生成，不能利用化合反应直接制得，其他的物质都可以通过化合反应直接生成，据此分析解答。
【详解】①Fe在氧气点燃发生化合反应生成Fe3O4；
答案选B.
2.朱自清在《荷塘月色》中写道:“薄薄的青雾浮起在荷塘里……月光是隔了树照过来的，高处丛生的灌木,落下参差的斑驳的黑影……”月光穿过薄雾形成的种种美景本质原因是（ )
A。 发生丁达尔效应
B。 雾是一种胶体，胶粒带相同电荷
C。 空气中的小水滴颗粒直径大小约为1～100 nm
湖南省衡阳市衡阳县逸夫中学2015-2016学年八年级(下)期中历史试卷(解析版)
2015-2016学年湖南省衡阳市衡阳县逸夫中学八年级（下）期中历史试卷一、单项选择题（本大题含25小题，每小题2分，共50分）1．“我们唱着东方红，当家作主站起来…”歌词中“当家作主站起来”指发生在哪一年的什么重大历史事件？（）A．1912年元旦，中华民国成立B．1949年10月1日，中华人民共和国成立C．1921年7月23日，中国共产党成立D．1949年9月21日，中国人民政治协商会议召开2．时下人们爱用“最美”这一词赞美在危难关头舍己救人的英雄人物，如“最美女教师张丽莉”“最美司机吴斌”…在二十世纪五十年代人们用“最可爱的人”来赞美抗美援朝中涌现出的英雄人物．被誉为“最可爱的人”的英雄人物是（）①黄继光②董存瑞③邱少云④杨靖宇．A．①②B．②③C．①③D．③④3．20世纪50年代新中国为了解决新解放区农民迫切要求获得土地的问题，采取的措施是（）A．建立人民公社B．实行赎买政策C．推行家庭联产承包责任制D．颁布《中华人民共和国土地改革法》4．某班同学举行以“新中国的土地制度”为主题的学习活动，得出以下四个结论．其中不正确的是（）A．土地改革在1949年新中国成立时已基本完成B．成立农业生产合作社是对农业的社会主义改造C．人民公社化运动导致了“干部敲敲钟，社员磨洋工”现象的出现D．家庭联产承包责任制调动了农民的生产积极性5．如图反映了新中国50﹣60年代经济发展的状况．其中，导致甲到乙段历史现象变化的主要原因是（）A．推行人民公社化运动B．开展大跃进运动C．召开中共八大 D．实施一五计划6．我国是农业大国，党和政府历来都把“三农”问题列为发展国民经济的重中之重．1951年，全国粮食产量比1949年增加了26.9%，达到14 000万吨，这其中的根本原因是（）A．社会主义制度已经确立B．生产技术和生产工具的提高与改进C．工业极大发展，辅助了农业D．土地改革促进了生产力的提高7．20世纪60年代，他为了治理兰考县水涝、风沙、盐碱三害，亲自带队到灾区调查．洪水泛滥的时候，他站在齐腰深的洪水里，画出一张张水势流向图．人民称颂他是“党的好干部”．他是（）A．邓稼先B．王进喜C．雷锋 D．焦裕禄8．由广东花城出版社出版的长篇小说《似水流年》是一部以饱含血泪的笔墨，抨击中国文革十年浩劫的小说，是一曲用发自心底的真情，呼唤中国人绝不允许文革悲剧在神州大地重演的悲歌，值得重视和肯定。
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湖南省衡阳市第一中学2015-2016学年高一下学期期中考试生物试题1．在有氧呼吸过程中，水分子参与反应的过程和生成水分子的过程分别在（）A．第一和第二阶段 B．第二和第三阶段 C．第一和第三阶段 D．第三和第二阶段2．让实验动物小白鼠吸入混有18O2的空气，该小白鼠体内最先出现含18O的化合物是（）A．CO2 B．H2O C．C2H5OH D．C3H6O33．用纸层析法分离叶绿体中的色素，四种色素扩散速度最快和最慢的分别是（）A．叶绿素a；胡萝卜素 B．叶绿素b；胡萝卜素C．胡萝卜素；叶绿素a D．胡萝卜素；叶绿素b4．在光合作用和呼吸作用中，水稻叶肉细胞的细胞质基质、线粒体基质和叶绿体基质产生的主要代谢产物分别是（）A．丙酮酸、二氧化碳、葡萄糖B．丙酮酸、葡萄糖、二氧化碳C．二氧化碳、丙酮酸、葡萄糖 D．葡萄糖、丙酮酸、二氧化碳5．右图曲线表示农田中Ⅰ昼夜温度的变化、Ⅱ光照强度的变化、Ⅲ植物吸收CO2的变化，请判断下列说法中不．正确的是（）A．在Ⅲ曲线与时间轴交点c和e时，光合作用吸收的CO2和呼吸作用释放的CO2量相等B. a点的形成是由于夜间的低温造成的C．在从时间轴上的c点开始合成有机物，到e点有机物的合成终止D.增大曲线Ⅲ与时间轴所围成的正面积的措施包括提高光照强度，CO2浓度和充足的水分供应6．将某绿色植物放在特定的实验装置中，研究温度对光合作用与呼吸作用的影响（其余的实验条件都是理想的），实验以C02的吸收量与释放量为指标。
实验结果如下表所示：下列对该表数据分析正确的是（）A．昼夜不停地光照，温度在35℃时该植物不能生长B．昼夜不停地光照，该植物生长的最适宜温度是30℃C．每天交替进行12小时光照、12小时黑暗，温度均保持在20℃的条件下，该植物积累的有机物最多D．每天交替进行12小时光照、12小时黑暗，温度在30℃时，该植物积累的有机物是温度在10℃时的2倍7．用某种大小相似的绿色植物轮藻叶片分组进行光合作用实验：已知实验前叶片质量相等，在不同温度下分别暗处理1 h，测其质量变化，立即光照1 h（光照强度相同），再测其质量变化。
得到如下结果：据表分析，以下说法正确的是（）A．该轮藻进行光合作用的最适温度是26℃B．光照时，第二、三组轮藻产生的氧气量相等C．光照时，第二组轮藻光合作用强度等于呼吸作用强度D．光照时，第四组轮藻光合作用合成的有机物总量为10 mg8．下列选项中，两类细胞的染色体数目均可呈周期性变化的是（）A．小鼠骨髓瘤细胞与造血干细胞 B．蛙的红细胞与淋巴细胞C．人的胚胎干细胞与成熟红细胞 D．牛的精细胞与精原细胞9．在观察植物细胞有丝分裂装片时，使用光学显微镜的正确方法是（）A．低倍镜对焦，观察到目标在视野左边，向左移动装片使目标移至视野中央，然后转用高倍镜并增加进光量，调焦观察B．低倍镜对焦，观察到目标在视野左边，向左移动装片使目标移至视野中央，然后转用高倍镜并减少进光量，调焦观察C．低倍镜对焦，观察到目标在视野左边，向右移动装片使目标移至视野中央，然后转用高倍镜并增大进光量，调焦观察D．低倍镜对焦，转用高倍镜，将观察目标移至视野中央，增加进光量，调焦观察10．下图表示连续分裂细胞的两个细胞周期。
其中叙述错误．．的是（）A．a和b为一个细胞周期B．c段结束，DNA含量增加一倍C．遗传物质平分发生在d段D．抑制DNA合成，细胞将停留在b段11．右图表示动物细胞在有丝分裂的分裂期，各种距离或长度随时间的变化规律曲线，下列叙述中错．误．的是（）A．曲线a代表两个中心体间的距离B．曲线b代表牵引染色体的纺锤丝长度变化C．曲线 c代表姐妹染色单体分开的两条子染色体之间的距离D．曲线d代表染色体的着丝点与纺锤丝的相应极之间的平均距离12．染色单体的形成、出现和消失分别发生在细胞周期中的（）A．前期、中期、后期 B．间期、前期、末期C．间期、前期、后期 D．前期、后期、末期13．动物细胞有丝分裂过程中，中心粒的分开和倍增分别发生在（）A．前期和后期 B．中期和末期 C．前期和间期 D．前期和中期14．海湾战争和科索沃战争中多国部队使用贫铀弹，使该地区居民白血病发病几率明显增高，引起白血病发病率升高的原因主要是（）A．辐射致癌 B．化学致癌 C．病毒致癌 D．食物致癌15．生物组织的形成过程依赖于（）A．细胞衰老 B．细胞分化 C．细胞癌变 D．细胞生长16．在细胞分化过程中，一般不会发生改变的是（）A．蛋白质的种类 B．染色体的数目C．细胞的功能 D．遗传信息的执行情况17．下列哪一组是细胞衰老的特征？（）①细胞无限分裂②水分减少③畸形改变④多种酶活性降低⑤色素沉着⑥易分散转移⑦呼吸速率减慢⑧细胞膜通透性改变A．①③⑥⑧ B．①②⑤⑦ C．②④⑤⑦⑧ D．②④⑥⑧18．下列事实能体现细胞全能性的是（）A．蝌蚪尾巴消失的过程 B．断尾壁虎长出新尾巴“汉水丑生的C．玉米种子萌发长成新植株 D．棉花根尖细胞经诱导形成幼苗19．细胞衰老和凋亡对维持个体的正常生长发育及生命活动具有重要意义。
下列叙述错误的是（）A．细胞普遍衰老会导致个体衰老B．被病原体感染的细胞的死亡属于细胞凋亡C．细胞凋亡是各种不利因素引起的细胞死亡D．衰老细胞内染色质固缩影响DNA复制和转录20．下列性状中不．属于相对性状的是（）A．骆驼的长毛与细毛B．豌豆的紫花和红花C．西红柿的抗病与易染病D．水稻的早熟和晚熟21．人的卷舌和不卷舌是由一对等位基因（R和r）控制的。
某人不能卷舌，其父母都能卷舌，其父母的基因型是（）A．RR、RR B．RR、Rr C．Rr、Rr D．Rr、rr22．玉米籽粒黄色对无色为显性。
现用无色玉米为母本，去雄后授以黄色玉米花粉，若母本植株所结籽粒中出现无色籽粒，原因可能是（）①父本是杂合子②父本是纯合子③外来花粉授粉④未受精A．①②B．①③C．①②③ D．③④23．棕色鸟与棕色鸟杂交，子代有23只白色，26只褐色，53只棕色。
棕色鸟和白色鸟杂交，其后代中白色个体所占比例是（）A．100% B．75% C．50% D．25%24．给已去掉雄蕊尚未受粉的甲梨树授以另一品种乙梨树的花粉，下列对甲梨树当年结的果实及种子的叙述，正确的是（ ）A ．种子的基因型与乙相同B ．种子的基因型与甲相同C ．果实的口味与乙相同D ．果实的口味与甲相同25．下图是某遗传病的家系图。
相关分析正确的是（ ）A ．该病是由一个基因控制的常染色体上的隐性遗传病B ．7号与8号再生一个患病男孩的几率是16C ．11号带有致病基因的几率是35D ．12号是患者的几率是026．控制两对相对性状的基因自由组合，如果F 2的性状分离比分别为13：3、9：6：1和15：1，那么F 1与隐性个体测交，与此对应的性状分离比分别是（ ）A ．1∶3、1∶2∶1和3∶1B ．3∶1、1∶2∶1和3∶1C ．1∶2∶1、1∶3和3∶1D ．1∶3、1∶2∶1和1∶427．欲观察细胞减数分裂的过程，可选用的材料是（ ）A ．马蛔虫受精卵B ．蝗虫的精子C ．小鼠睾丸D ．鸡的血液28．某生物精原细胞中有6条染色体。
在减数第一次分裂形成四分体时，同源染色体对数、 四分体数、着丝点数、染色单体数分别是（ ）A ．3、3、12、24B ．6、6、12、24C ．3、3、6、12D ．3、6、6、1229．下图A 表示某哺乳动物的一个器官中一些处于分裂状态的细胞图像，图B 表示相关过程中细胞核内DNA 含量变化曲线示意图，有关叙述中不．正确的是（ ）A．图A中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ细胞分别对应图B中的i、d、m区段。
B．—个细胞经过图B曲线所示过程，最多可产生8个子细胞C．图A中的三个细胞中均有同源染色体D．该哺乳动物为雌性30．具有两对相对性状的纯合亲本进行杂交（遵循基因的自由组合定律），F2出现与F1性状相同的个体占总数的（）A．1/4 B．9/16C．7/16 D．1/1631．下图A表示某二倍体哺乳动物生殖器官内连续发生的细胞分裂过程中染色体数目变化曲线，图B、图C为该过程中细胞内染色体行为变化的示意图。
请据图分析回答：（1）图A中的过程Ⅰ代表__________分裂。
（2）图C细胞的名称是_____________，所示的分裂时期对应于图A中的过程_________。
（3）图B所示细胞中含有________对同源染色体，图C所示细胞中染色体数和DNA分子数之比为_________。
32．洋葱根尖细胞有丝分裂装片的制作步骤大致如下图：（1）填出A～C内液体的名称：A ；B ；C 。
（2）洋葱根尖解离的目的是。
（3）漂洗的目的是。
33．采用下列哪种方法，可以解决以下各项中的遗传学问题：（填写字母即可）（1）鉴定一只白羊是否为纯种。
（2）检验杂种子一代的基因型。
（3）不断提高玉米抗病品种的纯合子比例。
（4）已知两种小麦中有一种为纯种，若要鉴定和保留纯种，应采用的方法。
（5）在一对相对性状中区分显隐性性状。
A．杂交 B．测交 C．自交 D．正交与反交34．在一些性状的遗传中，具有某种基因型的合子不能完成胚胎发育，导致后代中不存在该基因型的个体，从而使性状的分离比例发生变化，小鼠毛色的遗传就是一个例子。
一个研究小组，经大量重复实验，在小鼠毛色遗传的研究中发现：①黄色鼠与黑色鼠杂交，后代中黄色鼠与黑色鼠的比例为1：1。
②黑色鼠与黑色鼠杂交，后代全部为黑色鼠。
③黄色鼠与黄色鼠杂交，后代中黄色鼠与黑色鼠的比例为2：1。
根据上述实验结果，回答下列问题（控制毛色的显性基因用A表示，隐性基因用a表示）：（1）根据______组实验，可判断黑色为__________（显性或隐性）性状。
（2）黄色鼠的基因型是____________，黑色鼠的基因型是____________，推测不能完成胚胎发育的合子的基因型是____________。
35．下图是在一定的二氧化碳浓度和温度条件下某阳生植物和某阴生植物的光合作用速率与光照强度的关系图，请据图回答：（1）曲线B表示的是_____________植物。
（2）a、b点均表示在此光照强度下植物光合作用合成有机物的量（大于或小于或等于）呼吸作用消耗有机物的量。
（3）叶面积为50cm2的阳生植物叶片在光强度为Y时每小时光合作用合成量为____________mg葡萄糖（小数点后保留两位）。
（4）将该阳生植物叶片先在光照强度为X的条件下放置若干时间，然后放于暗处（光照强度为Q）12小时，要使此时叶的干物质与照射前一样，则需要光照_______小时。
（5）在同等条件下，阳生植物呼吸作用的强度比阴生植物_________（大或小）。
36．现有4个纯合南瓜品种，其中2个品种的果形表现为圆形（圆甲和圆乙），1个表现为扁盘形（扁盘），1个表现为长形（长）。