2021届天津市红桥区高三质量调查(一模)数学试卷(图片版 )
天津市红桥区2021届新高考第一次大联考数学试卷含解析
天津市红桥区2021届新高考第一次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i <【答案】D 【解析】 【分析】首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质，然后对循环体进行分析，找出循环规律，判断输出结果与循环次数以及i 的关系，最终得出选项． 【详解】经判断此循环为“直到型”结构，判断框为跳出循环的语句，第一次循环：110112122S i =+==+=⨯，； 第二次循环：1122132233S i =+==+=⨯，； 第三次循环：2133143344S i =+==+=⨯，， 此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句，4i ∴<？，故选D ． 【点睛】题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题． 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序，（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．2．已知双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线222:14y C x -=有相同的渐近线，则双曲线1C 的离心率为（ ） A ．54B ．5C ．5D ．5 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线1C 与双曲线2C 有相同的渐近线，列出方程求出m 的值，即可求解双曲线的离心率，得到答案． 【详解】由双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线222:14y C x -=有相同的渐近线，可得102m m -=，解得2m =，此时双曲线221:128x y C -=，则曲线1C 的离心率为2852c e a +===，故选C ． 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 3．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】 由直线过椭圆的左焦点，得到左焦点为，且，再由，求得，代入椭圆的方程，求得，进而利用椭圆的离心率的计算公式，即可求解. 【详解】 由题意，直线经过椭圆的左焦点，令，解得，所以，即椭圆的左焦点为，且 ① 直线交轴于，所以，，因为，所以，所以，又由点在椭圆上，得 ②由，可得，解得，所以，所以椭圆的离心率为.故选A. 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)． 4．设i 为虚数单位，则复数21z i=-在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简z ，求得z 对应的坐标，由此判断对应点所在象限. 【详解】()()()2121111i z i i i i +===+--+Q ，∴对应的点的坐标为()1,1，位于第一象限. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题. 5．将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将图像向左平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =图象的一个对称中心为（ ）A ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,04π⎛⎫⎪⎝⎭C ．(),0πD ．4,03π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象的变换规律可得到()y g x =解析式，然后将四个选项代入逐一判断即可. 【详解】解：()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,得到1sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭再将图像向左平移3π个单位长度，得到函数()1sin +236g x x ππ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象 ()1sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，403g π⎛⎫=⎪⎝⎭故选：D 【点睛】考查三角函数图象的变换规律以及其有关性质，基础题.6．函数y =A ，集合(){}2log 11B x x =+>，则A B =I （ ）A ．{}12x x <≤ B ．{}22x x -≤≤C ．{}23x x -<<D ．{}13x x <<【答案】A 【解析】 【分析】根据函数定义域得集合A ，解对数不等式得到集合B ，然后直接利用交集运算求解. 【详解】解：由函数y =得240x -≥，解得22x -≤≤，即{}22A x x =-≤≤；又()22log 11og 2l x +>=，解得1x >，即{}1B x x =>， 则{}12A B x x ⋂=<≤. 故选：A. 【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了函数定义域的求法，是基础题.7．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图，则它的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．642+D ．83π【答案】B 【解析】 【分析】由三视图判断出原图，将几何体补形为长方体，由此计算出几何体外接球的直径，进而求得球的表面积. 【详解】根据题意和三视图知几何体是一个底面为直角三角形的直三棱柱，底面直角三角形的斜边为2，侧棱长为2且与底面垂直，因为直三棱柱可以复原成一个长方体，该长方体外接球就是该三棱柱的外接球，长方体对角线就是外接球直径，则2222(2)4228R R ==+=，那么248S R ππ==外接球.故选：B 【点睛】本小题主要考查三视图还原原图，考查几何体外接球的有关计算，属于基础题.8．已知抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点，(1,1)A ，当PAF ∆周长最小时，PF 所在直线的斜率为（ ） A ．43-B ．34-C ．34D ．43【答案】A 【解析】 【分析】本道题绘图发现三角形周长最小时A,P 位于同一水平线上，计算点P 的坐标，计算斜率，即可． 【详解】结合题意，绘制图像要计算三角形PAF 周长最小值，即计算PA+PF 最小值，结合抛物线性质可知，PF=PN ，所以PF PA PA PN AN AG +=+≥≥，故当点P 运动到M 点处，三角形周长最小，故此时M 的坐标为1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以斜率为1041314k -==--，故选A ． 【点睛】本道题考查了抛物线的基本性质，难度中等．9．已知偶函数()f x 在区间(],0-∞内单调递减，(2log 3a f =，sin 5b f π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2314c f ⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 满足（ ） A ．a b c << B ．c a b <<C ．b c a <<D ．c b a <<【答案】D 【解析】 【分析】首先由函数为偶函数，可得函数()f x 在[)0,+∞内单调递增，再由2log 3sin 5π⎛⎫>- ⎪⎝⎭2314⎛⎫> ⎪⎝⎭，即可判定大小 【详解】因为偶函数()f x 在(],0-∞减，所以()f x 在[)0,+∞上增，2log31>，1sin ,152π⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23110,42⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴c b a <<.故选：D 【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性,不同类型的数比较大小,应找一个中间数,通过它实现大小关系的传递，属于中档题. 10．已知||23z z i =-（i 为虚数单位，z 为z 的共轭复数），则复数z 在复平面内对应的点在（ ）. A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】设i,(,)z a b a b R =+∈，由||23z z i =-，得2i=(2)i=3z a b --+，利用复数相等建立方程组即可. 【详解】设i,(,)z a b a b R =+∈，则2i=(z a b --+，所以20a b ⎧⎪=⎨⎪+=⎩，解得22a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，故2i 2z =-，复数z在复平面内对应的点为(2)2-，在第四象限. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的几何意义，涉及到共轭复数的定义、复数的模等知识，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.11．在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】由余弦函数的单调性找出cos cos A B <的等价条件为A B >，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件. 【详解】Q 余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，且0A π<<，0B π<<，由cos cos A B <，可得A B >，a b ∴>，由正弦定理可得sin sin A B >. 因此，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件.本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.12．若函数()()2(2 2.71828 (x)f x x mx e e =-+=为自然对数的底数)在区间[]1,2上不是单调函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．510,23⎛⎫⎪⎝⎭C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】求得()f x 的导函数()'fx ，由此构造函数()()222g x x m x m =+-+-，根据题意可知()g x 在(12)，上有变号零点.由此令()0g x =，利用分离常数法结合换元法，求得m 的取值范围. 【详解】()()2'22x f x e x m x m =+-+-⎡⎤⎣⎦，设()()222g x x m x m =+-+-，要使()f x 在区间[]1,2上不是单调函数，即()g x 在(12)，上有变号零点，令()0g x =， 则()2221x x m x ++=+，令()12,3t x =+∈，则问题即1m t t =+在()2,3t ∈上有零点，由于1t t+在()2,3上递增，所以m 的取值范围是510,23⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：B 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查方程零点问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届天津市红桥区高三上学期期末考试数学试卷(解析版)
天津市红桥区2021届高三上学期期末考试数学试卷第I 卷注意事项：1.每小题选出『答案』后，用铅笔将答题卡上对应题目的『答案』标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他『答案』标号.2.本『答案』共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式：如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()⋃=+P A B P A P B . 如果事件A 与事件B 相互独立，那么()()()=P P AB P A B 球体表面积公式：24πS R =，其中R 表示球的半径. 球的体积公式：34π3V R =球，其中R 表示球的半径. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集{}12358U =，，，，，集合{3,}A x x x U =<∈，{}2B =，则()U A B =（ ）A. {}2358，，，B. {}12，C. {}258，， D. {}123，， 『答案』A 『解析』因为{}U3,5,8A =，所以(){}U 2358A B ⋃=，，，.故选：A.2. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若5359a a =，则95SS =（ ） A.59 B.95C.8125D. 1『答案』D『解析』因为{}n a 为等差数列，所以1991559()25()2a a S a a S +=+539951559a a ==⨯=. 故选：D.3. 设0.44a =，0.4log 0.5b =，5log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小是（ ） A. a b c >> B. b c a << C. b a c >>D. a b c <<『答案』A『解析』∵根据指数函数的性质可得：0.40441a =>=，由对数函数的性质可得：0.40.40log 0.5log 0.41b <=<=，44log 0.4log 10c =<=， ∴c b a <<. 故选：A.4. 设函数()()2221log (1)x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，则()()0f f （ ）A. 0B. 3C. 1D.2『答案』C『解析』由题意得2(0)022f =+=，所以2((0))(2)log 21f f f ===，故选：C.5. 设偶函数()f x 的定义域为R ，当[)0x ∈+∞，时，()f x 是增函数，则()1f -，()f π，()3f -的大小关系是（ ）A. ()()()13f f f π>->-B. ()()()31f f f π>->-C. ()()()31ff f π<-<-D. ()()()13ff f π<-<-『答案』B 『解析』()f x 是偶函数，()()11f f ∴-=，()()33f f -=，当[)0x ∈+∞，时，()f x 是增函数，且31π>>，()()()31f f f π∴>>， ()()()31f f f π∴>->-.故选：B.6. 设函数()()2sin 3f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，下列结论中错误的是（ ） A. ()f x 的一个周期为2π B. ()f x 的最大值为2 C. ()f x 在区间263ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减 D. 3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的一个零点为6x π=『答案』D 『解析』()()2sin 3f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，∴()f x 的一个周期为221T ππ==，故A 正确；()f x 的最大值为2，故B 正确； 令322,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得722,66k x k k Z ππππ+≤≤+∈， ∴()f x 的单调递减区间为72,2,66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，263ππ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭，72,2,66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，∴()f x 在区间263ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，故C 正确；22sin33f x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且252sin 2sin 0636πππ⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭，故D 错误. 故选：D.7. 已知抛物线2C y px =：(p 为常数)过点()13A ，，则抛物线C 的焦点到它的准线的距离是（ ）A.13B.16C. 3D.23『答案』B 『解析』抛物线过点()13A ，，3p ∴=， ∴抛物线的方程为213x y =，则焦点为10,12⎛⎫⎪⎝⎭，准线为112y =-， ∴焦点到它的准线的距离为16.故选：B.8. 双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线C 上，且123PF PF b +=，1294PF PF ab ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ） A. 53B. 43C.D.『答案』A『解析』由双曲线定义可知122PF PF a -=，又123PF PF b +=，1294PF PF ab ⋅=， 故2222121212()4994PF PF PF PF PF PF b ab a -=+-⋅=-=，整理得43b a =或13ba =-（舍）故离心率53e == 故选：A.9. 已知函数()2114log 11a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩，，是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. 1142⎡⎫⎪⎢⎣⎭，B. 102⎛⎤ ⎥⎝⎦，C. 1142⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D. 112⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 『答案』C『解析』当1a >时，21()4f x ax x =--在1(,)2a-∞为减函数，()log 1a f x x =-在(1,)+∞为增函数，不符合题意；当01a <<时，可得()f x 在R 上为单调递减函数，所以011121114a aa ⎧⎪<<⎪⎪≥⎨⎪⎪--≥-⎪⎩，解得1142a ≤≤，故选：C.第II 卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 已知a R ∈，且复数21a ii++是纯虚数，则a =________. 『答案』2-『解析』2(2)(1)221(1)(1)22a i a i i a ai i i i ++-+-==+++-， 又该复数为纯虚数故202a +=，2a =-， 故『答案』为：2-11. 251(2)x x-的展开式中4x 的系数为__________.（用数字作答）『答案』80 『解析』251(2)x x-的展开式的通项公式为510315(1)2r r r r r T C x --+=-，令1034r -=，求得2r，故展开式中4x 的系数为235280C =， 故『答案』为：80．12. 已知4sin 5A =，且322A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则sin 23A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭________.『答案』2450+-『解析』因为4sin 5A =，且322A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以3cos 5A ==-， 则4324sin 22sin cos 25525A A A ⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭， 2327cos 212sin 12525A A =-=-=-，因此2417sin 2sin 2cos cos 2sin 33325225A A A πππ⎛⎫+=+=-⨯-= ⎪⎝⎭.故『答案』为：. 13. 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为 .『答案』24『解析』设正方体的外接球的半径为R ,由：343R π=，解得：R =,设该正方体的边长为a ，根据223412a R ==解得2a =，所以正方体的表面积为：266424a =⨯=，所以『答案』为24.14. 若一个圆的圆心是抛物线24x y =的焦点，且被直线3y x 截得的弦长为2，则该圆的标准方程是________________.『答案』22(1)3x y +-=『解析』因为24x y =的焦点为（0,1）， 所以所求圆的圆心为（0,1），设该圆半径为r ，则圆心（0,1）到直线30x y -+=的距离d =所以弦长=，解得23r =，故该圆的标准方程为：22(1)3x y +-=， 故『答案』为：22(1)3x y +-= 15. 下列四种说法：①命题“x ∃∈R ，使得213x x +>”的否定是“x ∀∈R ，都有213x x +≤”；②“2m =-”是“直线()210m x my +++＝与直线()()2230m x m y ++﹣﹣＝相互垂直”的必要不充分条件； ③过点（12，1）且与函数1y x =图象相切的直线方程是430x y +-=．④一个袋子装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中，再取出一个球，则两次取出的两个球恰好是同色的概率是12. 其中正确说法的序号是_________．『答案』①④『解析』①中命题“∃x ∈R ，使得x 2+1＞3x ”为特称命题，其否定为全称命题，是“x R ∀∈，都有213x x +≤”，故①正确；②中2m =-时，两直线为：﹣2y +1＝0和﹣4x ﹣3＝0，两直线垂直， 而两直线垂直时，有()()()22+20m m m m +-+=，解得m ＝1或2m =-所以“2m =-”是“直线()210m x my +++＝与直线()()2230m x m y ++﹣﹣＝相互垂直”的充分不必要条件，故②错误； ③若过点（12，1）且与函数1y x =图象相切的直线方程是430x y +-=正确，设切点为P （x 0，y 0），则函数1y x=在P 点处的切线的斜率为 0201|4x x y x '==-=-， 解得012x =，所以切点为P 1,22⎛⎫⎪⎝⎭， 但切点P 1,22⎛⎫⎪⎝⎭不在切线430x y +-=上，故③错误；④一个袋子装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中，再取出一个球，则两次取出的两个球恰好是同色的概率2222144442P =⨯+⨯=，故④正确． 故『答案』为：①④．三、解答题：本大题共5个题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且=2a b tanA sinB． （Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若6a =,2b c =，求ABC ∆的面积． 解：（Ⅰ）由=tan 2sin a b A B 得cos sin 2sin a A bA B=sin sin a b A B =1cos 2A ∴= ()0,A π∈ 3A π∴=（Ⅱ）6a =，2b c = 2222cos a b c bc A ∴=+-整理可得2223642c c c =+-，解得c =11sin 22ABC S bc A ∆∴==⨯=17. 已知函数()321f x x ax bx +++＝，记f （x ）的导数为f ′（x ）．若曲线f （x ）在点（1，f （1））处的切线斜率为﹣3，且x ＝2时y ＝f （x ）有极值， （Ⅰ）求函数f （x ）的『解析』式；（Ⅱ）求函数f （x ）在[﹣1，1]上的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）由题意得：f ′（x ）＝3x 2+2ax +b ，所以k =f ′（1）＝3+2a +b ＝﹣3，f ′（2）＝12+4a +b ＝0， 解得a ＝﹣3，b ＝0，所以f （x ）＝x 3﹣3x 2+1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令f ′（x ）＝3x 2﹣6x ＝0，解得x ＝0或x ＝2， 当﹣1＜x ＜0时，f ′（x ）＞0，f （x ）在（﹣1，0）是增函数，当0＜x ＜1时，f ′（x ）＜0，f （x ）在（0，1）是减函数，所以f （x ）的极大值为f （0）＝1，又f （1）＝﹣1，f （﹣1）＝﹣3， 所以f （x ）在[﹣1，1]上的最大值为1，最小值为﹣3．18. 已知等差数列前三项为a ，4，3a ，前n 项的和为n S ，420k S =． （Ⅰ）求a 及k值；（Ⅱ）求12111...nS S S +++． 解：（Ⅰ）设该等差数列{}n a ，则1a a =，24a =，33a a =，由已知有324a a +=⨯，解得12a a ==，公差212d a a =-=， 将420k S =代入公式()112k k k S ka d -=+⋅，得()21420k k k +-=，即24200k k +-=，解得20k =（负值舍去） ∴2a =，20k =；（Ⅱ）由（Ⅰ）得到()()()112112n n n S na d n n n n n -=+⋅=+-=+ ，∴()111111n S n n n n ==-++， ∴则12111111111...1 (122311)n S S S n n n +++=-+-++-=-++． 19. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，0n a >且1336a a =，()34129a a a a +=+． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若13n bn S +=，求数列{}n b 及数列{}n n a b 的前n 项和n T ．解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由()34129a a a a +=+，可得()()212129a a q a a +=+，2q ＝9，由0n a >，可得q ＝3，由1336a a =，可得21136a a q =，可得12a =，可得()1*23n n a n N -=⨯∈；的（Ⅱ）由123n n a -=⨯，可得()()1121331113n n n n a q S q--===---，由13n bn S +=，可得3113n b n -+=，可得b n ＝n ， 可得{}n n a b 的通项公式：123n n n a b n -=⨯，可得：()011213233n n T n -=⨯+⨯++⨯①()123213233n n T n =⨯+⨯++⨯②①﹣②得：()10111332233332313n n nn n T n n --⎛⎫-⨯-=+++-⨯=⨯-⨯ ⎪-⎝⎭，可得()21312n nn T -+=. 20. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为2.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过定点()02T ，的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围．解：（Ⅰ）由已知得 2b ＝2，所以1b =，又因为c a =所以有：2223c a =，而222c a b =-， 解得23a =，即椭圆C 的方程为23x +y 2＝1．（Ⅱ）直线l 方程为y ＝kx +2，将其代入23x +y 2＝1，得（3k 2+1）x 2+12kx +9＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∴△＝（12k ）2﹣36（1+3k 2）＞0，解得k 2＞1， 由根与系数的关系，得x 1+x 2＝21213kk -+，x 1x 2＝2913k+ ∵∠AOB 为锐角， ∴OA ⋅OB ＞0， ∴x 1x 2+y 1y 2＞0，期末考试数学试题 11 ∴x 1x 2+（kx 1+2）（kx 2+2）＞0， ∴（1+k 2）x 1x 2+2k （x 1+x 2）+4＞0， 化简得2213313k k -+＞0，解得2133k <， 由21k >且2133k <，解得1133k ⎛⎫⎛∈--⋃⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，．。
天津市红桥区2021届高三一模数学试题(含答案解析)
天津市红桥区2021届高三一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．集合{}0A x x =>，{}2,1,0,2B =--，则()R A B =（ ） A ．{}0,2B ．{}2,1--C ．{}2,1,0--D ．{}22．“12x -<成立”是“(3)0x x -<成立”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．函数sin 3xy x =+的图象大致是( ) A ．B ．C ．D ．4．某校对高三年级800名学生的数学成绩进行统计分析.全年级同学的成绩全部介于80分与150分之间，将他们的成绩按照[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]分组，整理得到如下频率分布直方图，则成绩在[120,130)内的学生人数为（ ）A ．200B ．240C ．360D ．2805．(2015新课标全国I 理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛6．已知函数()y f x =在区间(,0)-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.22b f -=，12c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >>7．已知抛物线()220y px p =>上一点()()1,0M m m >到其焦点的距离为5，双曲线221x y a-=的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是 A ．19 B ．125 C ．15 D ．138．已知函数()πππcos 22sin cos 344f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，R x ∈，给出下列四个命题：①函数()f x 的最大值为1； ①函数()f x 的最小正周期为π； ①函数()f x 在ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；①将函数()f x 的图象向左平移π12个单位长度，得到的函数解析式为()sin 2g x x =． 其中正确命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．49．已知函数()()20,01ln ,|4,1x f x x g x x x <≤⎧==⎨-⎩，若关于x 的方程()()f x m g x += 恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是（ ）A ．(-ln2，0 ]B ．[0，ln2]C ．(-2-ln2，0 ]D ．[0，2+ln2)二、填空题10．i 是虚数单位，则复数312ii-=+___________. 11．在81x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中2x 项的系数为__________．12．已知直线20ax y +-=与圆心为C 的圆()()2214x y a -+-=相交于,A B 两点，且ABC ∆为等边三角形，则实数=a ________．13．2021年是中国共产党成立100周年.现有A ，B 两队参加建党100周年知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢1分，答错得0分；A 队中每人答对的概率均为13，B 队中3人答对的概率分别为23，23，13，且各答题人答题正确与否互不影响，若事件M 表示“A 队得2分”，事件N 表示“B 队得1分”，则()P MN =___________.14．已知0x >，1y >-，且1x y +=，则2231x y x y +++最小值为__________． 15．在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ== 则AE AF ⋅的最小值为_____________________. 三、解答题16．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c cos sin B b A = （1）求角B 的大小；（2）若cos A =sin(2)A B -的值； （3）若2b =，2c a =，求边a 的值.17．如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，CF =EDCF ⊥平面ABCD .（1）求证：//DF 平面ABE ；（2）求平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值.18．如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(0,1)A -(I )求椭圆E 的方程；(II )经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点,P Q （均异于点A ）， 问：直线AP 与AQ 的斜率之和是否为定值？若是，求出此定值；若否，说明理由．19．已知数列{n a }的前n 项和n S 满足：2(1),1n n n S a n =+-． (1)求数列{n a }的前3项123,,a a a ； (2)求证：数列2(1)3n n a ⎧+⋅-⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列；(3)求数列(){}63n n a -⋅的前n 项和n T ． 20．已知函数()(ln 1)f x x x m =--，m R ∈.（1）若2m =，求曲线()y f x =在点(,())e f e 处的切线方程； （2）当1x >时，求函数()f x 的单调区间和极值；（3）若对于任意2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，都有()4ln f x x <成立，求实数m 的取值范围.参考答案：1．C 【解析】 【分析】 先求出A R，再求交集即可.【详解】据题意(],0R A =-∞，所以()R A B ={}2,1,0-- 故选：C 2．B 【解析】 【详解】试题分析：由|x-1|＜2得-1＜x ＜3，由x （x-3）＜0得0＜x ＜3，所以“|x-1|＜2成立”是“x （x-3）＜0成立”的必要不充分条件考点：1．解不等式；2．充分条件与必要条件 3．C 【解析】 【详解】 函数y ＝3x＋sinx 为奇函数，图象关于原点对称，排除B.在同一坐标系下作出函数f(x)＝3x ，f(x)＝－sinx 的图象，由图象可知函数y ＝3x＋sinx 只有一个零点0且当x>0时f(x)>0，①选C.4．B 【解析】 【分析】先求出成绩在[120，130）内的频率，由此能求出从成绩在[120，130）内的学生中抽取的人数. 【详解】从全体学生中根据成绩采用分层抽样的方法抽取800名同学的试卷进行分析, 则从成绩在 [120,130) 内的学生中抽取的人数为：800[1⨯(0.0050.0100.0100.0150.025-++++0.005)10]240+⨯= 故选： B 5．B 【解析】 【详解】试题分析：设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯=，所以163r =，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式 6．B 【解析】 【分析】由偶函数的性质可得出函数()y f x =在区间(0,)+∞上为减函数，由对数的性质可得出12log 30<由偶函数的性质得出()2log 3a f =，比较出2log 3、 1.22-、12的大小关系，再利用函数()y f x =在区间(0,)+∞上的单调性可得出,,a b c 的大小关系. 【详解】()()f x f x -=，则函数()y f x =为偶函数，①函数()y f x =在区间(,0)-∞内单调递增，在该函数在区间(0,)+∞上为减函数， 1122log 3log 10<=，由换底公式得122log 3log 3=-，由函数的性质可得()2log 3a f =，对数函数2log y x =在(0,)+∞上为增函数，则22log 3log 21>=， 指数函数2x y =为增函数，则 1.2100222--<<<，即 1.210212-<<<， 1.22102log 32-∴<<<，因此，b c a >>. 故选：B ．【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 7．A 【解析】 【分析】先根据抛物线定义求p ，再代人求m ，最后根据条件列方程，解得结果. 【详解】因为抛物线()220y px p =>上一点()()1,0M m m >到其焦点的距离为5，所以15,82pp +==，即228104m m m =⨯⨯>∴=，因为(A 19a ==，选A. 【点睛】凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．即若00(,)P x y 为抛物线22(0)y px p =>上一点，则由定义易得0||2pPF x =+. 8．C 【解析】 【分析】先化简f (x )解析式.①求出函数最大值判断；①求出函数最小正周期判断；①根据正弦函数和复合函数单调性判断；①求出平移后的函数表达式． 【详解】()11cos 22sin 2cos 22cos 2222f x x x x x x x π⎛⎫=-+=-= ⎪⎝⎭1cos2sin 226x x x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 对于①，()f x 的最大值为1，所以①对； 对于①，()f x 的最小正周期为22ππ=，所以①对；对于①，[4x π∈-，2]2[463t x πππ⇒=-∈-，]3π，sin t 在2[3π-，]3π上不是单调函数， 所以()f x 在[4π-，]4π上不是单调函数，所以①错；对于①，将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到()sin(2())sin 212126y f x x x πππ=+=+-=，所以①对． 故选：C ． 9．A 【解析】 【分析】由()()f x m g x +=得到()()m f g x x =-，构造函数()()()F x g x f x =-，画出()f x 的图象，由此求得m 的取值范围. 【详解】由()()f x m g x +=得到()()m f g x x =-， 构造函数()()()F x g x f x =-，则()22ln ,014ln ,124ln ,2x x F x x x x x x x <≤⎧⎪=-+-<<⎨⎪--≥⎩，令()()2ln 1h x x x x x =-+-≥，()'120h x x x=--<，()h x 在[)1,+∞上递减， ()()13,2ln 2h h ==-.令()()24ln 2m x x x x =--≥，()()2'12120,x m x x m x x x-=-=>在[)2,+∞上递增， ()()2ln 2,1096ln103m m =-=->，由此画出()F x 的图象如下图所示，关于x 的方程()()f x m g x += 恰有三个不相等的实数解， 则(),y F x y m ==有三个交点，由图可知ln 20m -<≤. 故选：A10．1755i - 【解析】 【分析】对复数进行分母实数化即可化简. 【详解】()()()()3123171212125i i i i i i i ----==++-1755i =- 11．56- 【解析】 【分析】写出81x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式，计算含2x 项中r 的值，代入计算可得系数.【详解】解：81x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式为：()88218811rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当822r -=时，3r =，此时()338156C -=-. 故答案为：56-12．4【解析】【详解】试题分析：由于ABC ∆为等边三角形，故弦长2AB r ==，根据直线与圆相交，所得弦长公式为AB =d =221,13d r ==-=，即3=，解得4a =考点：直线与圆的位置关系，解三角形．【思路点晴】本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆相交所得弦长公式AB =.由于ABC ∆为等边三角形，故弦长2AB r ==，我们利用弦长公式就可以建立一个方程出来，这个方程包括点到直线距离公式d .在求解完整之后，要验证圆心到直线的距离是否小于半径.13．227【解析】 【分析】事件M 表示“A 队得2分”，事件N 表示“B 队得1分”，利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式求出()P M ，利用相互独立事件概率乘法公式求出()P N ，由此相互独立事件概率乘法公式能求出()P MN ． 【详解】每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢1分，答错得0分， A 队中每人答对的概率均为13，B 队中3人答对的概率分别为23，23，13，且各答题人答题正确与否之间互不影响，事件M 表示“A 队得2分”，事件N 表示“B 队得1分”，2231()()()33922P M C ==，2121221111()3333333333P N =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，212()()()9327P MN P M P N ∴==⨯=．故答案为：22714．2【解析】 【分析】首先整理所给的代数式，然后结合均值不等式的结论即可求得其最小值. 【详解】22331111x y x y x y x y ⎛⎫+⎛⎫+=++-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 结合1x y +=可知原式311x y =++， 且()()13131311411221x y y x xy x y x y +++⎡⎤⎛⎫+=+⨯=++⎢⎥ ⎪+++⎝⎭⎣⎦1422⎡≥+=⎢⎢⎣当且仅当32x y ==-+.即2231x y x y +++最小值为2+ 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 15．2918【解析】 【详解】 因为1,9DF DC λ=12DC AB =，119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-==，AE AB BE AB BC λ=+=+，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+， ()221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19199421cos1201818λλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒2117172992181818λλ=++≥= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅的最小值为2918.考点：向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.16．（1）3B π=；（2（3 【解析】（1sin B B =，结合三角形内角性质即可求角B . （2）由两角差、倍角公式展开sin(2)A B -，根据已知条件及（1）的结论即可求值. （3）根据余弦定理列方程即可求a 的值. 【详解】（1cos sin sin A B B A =，而A 为ABC 的内角，sin B B =，即tan B 0B π<<，可得3B π=，（2）2sin(2)sin 2cos cos 2sin 2sin cos cos (2cos 1)sin A B A B A B A A B A B -=-=--，①cos A 0A π<<，可得sin A =1cos ,sin 2B B ==①sin(2)A B -==（3）由余弦定理知：2222cos a c ac B b +-=，又2b =，2c a =，1cos 2B =，①234a =，可得a =17．（1）证明见解析；（2 【解析】 【分析】（1）取BC 中点G ，连接DG ，先证明ED ⊥平面ABCD ，然后以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DG 所在直线为y 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，证明DF 垂直平面ABE 的一个法向量即可；（2）找出两个面的法向量，利用夹角公式计算即可. 【详解】（1）取BC 中点G ，连接DG .112BG BC ∴== //AD BC ，1AD =AD BG ∴∥，①四边形ABGD 为平行四边形//DG AB ∴ AD AB ⊥AD DG ∴⊥①平面EDCF ⊥平面ABCD四边形EDCF 为矩形ED DC ⊥，平面EDCF ⋂平面ABCD DC =ED ∴⊥平面ABCD如图，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DG 所在直线为y 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系则(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(E ，(F -， (1,BE =--，(0,2,0)AB =设平面ABE 的一个法向量为(),,n x y z =，2020x y y ⎧--=⎪∴⎨=⎪⎩不妨设x =0y =，则1z =， ()3,0,1n =∴又(DF =-30DF n ∴⋅=-=DF n ∴⊥ 又DF ⊂/平面ABE//DF ∴平面ABE（2）(1,BE =--，(BF =- 设平面BEF 的一个法向量为()111,,m x y z =， 111112020x y x ⎧--=⎪∴⎨-=⎪⎩.不妨设1x =1y =14z =， ()23,4m =.设向量m 与n 的夹角为θ， 则cos m n m n θ⋅=⋅⋅cosθ===∴①平面ABE 与平面EFB 【点睛】方法点睛：对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 18．(1) 2212x y += (2)2【解析】 【详解】 （①）由题意知1c b a ==，综合222a b c =+，解得a =2212x y +=. （①）由题设知，直线PQ 的方程为(1)1(2)y k x k =-+≠，代入2212x y +=，得 22(12)4(1)2(2)0+--+-=k x k k x k k ，由已知0∆>，设()()1122,P x y Q x y ，120x x ≠ 则1212224(1)2(2),1212k k k k x x x x k k --+==++， 从而直线AP 与AQ 的斜率之和 121212111122AP AQ y y kx k kx kk k x x x x +++-+-+=+=+ 121212112(2)2(2)x xk k k k x x x x ⎛⎫+=+-+=+- ⎪⎝⎭()4(1)222(21)22(2)k k k k k k k k -=+-=--=-.考点：1.椭圆的标准方程；2.圆锥曲线的定值问题. 19．(1)1231,0,2a a a ===； (2)证明见解析；(3)()()3232,22323,n n nn n n T n n n ⎧+-⋅-⎪=⎨+-⋅+⎪⎩为偶数为奇数. 【解析】 【分析】(1)根据2(1),1n n n S a n =+-，令n ＝1，2，3即可求出前三项； (2)利用n a 与n S 的关系得到{n a }的递推公式，从而可以证明1122(1)[(1)]33n n n n a k a --+-=+-，其中k 为常数；(3)根据(2)求出n a ，从而求出()63n n a -⋅，根据通项公式的特征，分n 为奇数和偶数两种情况进行求和，求和时采用分组求和法与错误相减法. (1)当1n =时，有：()1111211S a a a ==+-=⇒；当2n =时，有：2212222(1)0S a a a a =+=+-⇒=；当3n =时，有：33123332(1)2S a a a a a =++=+-⇒=；综上可知1231,0,2a a a ===； (2)由已知得：2n ≥时，1112(1)2(1)n n n n n n n a S S a a ---=-=+----，化简得：1122(1)n n n a a --=+-上式可化为：1122(1)2[(1)]33n n n n a a --+-=+-故数列{2(1)3n n a +-}是以1121(1)33a +-=为首项，公比为2的等比数列.(3)由（2）知121(1)233n n n a -+-=⨯，①1122(1)33n nn a -=⨯-⨯-，①()()()()()()116321221=2122121n nn n n n a n n n --⎡⎤-⋅=--⋅--⋅-⋅-⋅-⎣⎦当n 为偶数时，n T =()()()011123221221352321n n n n -⎡⎤⎡⎤⨯+⨯++-⨯--+-+--+-⎣⎦⎣⎦令()0111232212n n A n -=⨯+⨯++-⨯，()()21352321n B n n ⎡⎤=-+-+--+-⎣⎦()()01221123252232212n n n A n n --=⨯+⨯+⨯+-⨯++-⨯①()()12121232232212n n n A n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯①则①-①得()01212222222212n n n A n --=+⨯+⨯+⨯--⨯()()12112222212n n n -=+++--⨯()()12121221212n n n --=+⨯--⨯-()3322n n =-+-⨯，①()3232nn A n =+-⨯，()()21352321n B n n ⎡⎤=-+-+--+-⎣⎦=22nn ⨯=， 所以()3232nn n n T A B n n =-=+-⨯-. 当n 为奇数时，()3232nn A n =+-⨯，()()()121352523212212n n B n n n n -⎡⎤⎡⎤=-+-+--+---=-+⎣⎦⎢⎥⎣⎦31n =-+， 所以()22323nn n n T A B n n =-=+-⨯+. 综上，()()3232,22323,nn nn n n T n n n ⎧+-⋅-⎪=⎨+-⋅+⎪⎩为偶数为奇数.20．（1）0x y e ++=；（2）单调减区间是()1,m e ，单调增区间是(),me +∞，极小值为m e -，无极大值；（3）281,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）求导，代值，算出斜率即可求出切线方程；（2）分0m ≤和0m >讨论导函数的符号，研究单调性，从而得到极值；（3）问题转化为(4)ln (1)0x x m x --+<对于2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，再分离变量研究函数的最值即可. 【详解】（1）()(ln 3)f x x x =-，()2f e e =-1()ln 3ln 2f x x x x x'=⋅+-=-，则()1k f e '==-所以()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程为()2y e x e +=-- 即0x y e ++=（2）因为()()()ln 1f x x m x m =--∈R ，所以0x >，()1ln 1ln f x x x m x m x'=⋅+--=-①当0m ≤时，因为1x >，所以()ln 0f x x m '=->， 函数()f x 的单调增区间是(1,)+∞，无单调减区间，无极值 ①当0m >时，令ln 0x m -=，解得m x e =， 当1m x e <<时，()0f x '<；当m x e >，()0f x '>，所以函数()f x 的单调减区间是()1,m e ，单调增区间是(),me +∞， 在区间(1,)+∞上的极小值为()(1)m m mf e m m e e =--=-，无极大值.综上，当0m ≤时，函数()f x 的单调增区间是(1,)+∞，无单调减区间，无极值当0m >时，函数()f x 的单调减区间是()1,m e ，单调增区间是(),me +∞，极小值为m e -，无极大值.（3）因为对于任意2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，都有()4ln f x x <成立，所以()4ln 0f x x -<， 即问题转化为(4)ln (1)0x x m x --+<对于2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，即(4)ln 1x xm x-+>对于2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦恒成立， 令(4)ln ()x xg x x-=，则24ln 4()x x g x x +-'=，令()4ln 4t x x x =+-，2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，则4()10t x x'=+>， 所以()t x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，故min ()()440t x t e e e ==-+=>，进而()0g x '>，所以()g x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，函数()2max 2)8(2e g x g e ==-， 要使(4)ln 1x xm x-+>对于2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，只要max 1()m g x +>， 所以2812e m +>-，即实数m 的取值范围是281,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：对于不等式恒成立问题，常用的方法是通过分离变量转化为函数的最值问题.。
天津市红桥区2023届高考高三年级一模考试数学试卷(附答案)
..的（1）当0k =时，求曲线()y f x =在点(e,(e))f 处的切线方程；（2）若()0f x ≤恒成立，求实数k 的取值范围；（3）证明：()1111111lnln ln 1,N 23e 23n n n n *⎛⎫+++<+++>∈ ⎪⎝⎭ ．参考答案第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】D【9题答案】【答案】A二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．【10题答案】【答案】-1【11题答案】 【答案】101125【12题答案】【答案】15.【13题答案】【答案】30x y +=【14题答案】【答案】3【15题答案】【答案】 ①. 29 ②. 33+##13+ 三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解写出文字说明、证明过程或演算步骤．【16题答案】【答案】（1）π4C =（2）13（3）26 【17题答案】【答案】（1）35,（2）见解析（3）3【18题答案】【答案】（1）21n a n =-，3n n b =（2）228n S n =（3）1122(21)3n nT n =-+⋅ 【19题答案】【答案】（1）22143x y +=（2）（3）是定值，定值为4【20题答案】【答案】（1）1e y =（2）1ek ≥（3）证明见解析。
2021届天津市红桥区高考数学监测试题
2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数1,2()21,2,1a x f x log x x a =⎧=⎨-+≠>⎩，若函数2()()()g x f x bf x c =++有三个零点123,,x x x ，则122313x x x x x x ++=（ ）A ．12B ．11C ．6D ．32．ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1a =，30B =︒，cos 7C -=，则ABC 的面积为（ ） ABCD．23．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ，过正方体中两条异面直线AB ，11A D 的中点,P Q 作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（ ）A．2B1 CD ．14．根据最小二乘法由一组样本点(),i i x y （其中1,2,,300i =），求得的回归方程是ˆˆˆybx a =+，则下列说法正确的是( )A ．至少有一个样本点落在回归直线ˆˆˆy bx a =+上B ．若所有样本点都在回归直线ˆˆˆy bx a =+上，则变量同的相关系数为1C ．对所有的解释变量i x （1,2,,300i =），ˆˆibx a +的值一定与i y 有误差 D ．若回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率ˆ0b>，则变量x 与y 正相关 5．3本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是（ ） A ．12B ．14C ．15D ．1106．要得到函数()sin(3)3f x x π=+的导函数()f x '的图像，只需将()f x 的图像（ ）A ．向右平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 B ．向右平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 C ．向左平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 D ．向左平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍7．使得()3nx n N x x +⎛+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．78．设抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离为1d ，到直线:34120l x y ++=的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ） A ．2B ．153C ．163D ．39．已知函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，若不等式()()()12122f x f x x x t+>++有解，则t 的取值范围是（ ） A ．(,2ln 2)-∞- B ．(],2ln 2-∞- C ．(,112ln 2)-∞-+D ．(],112ln 2-∞-+10．已知函数13()sin cos 2f x x x =+，将函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 11．如图所示的程序框图，若输入4a =，3b =，则输出的结果是（ ）A ．6B ．7C ．5D ．812．如图，正四面体P ABC -的体积为V ，底面积为S ，O 是高PH 的中点，过O 的平面α与棱PA 、PB 、PC 分别交于D 、E 、F ，设三棱锥P DEF -的体积为0V ，截面三角形DEF 的面积为0S ，则（ ）A ．08V V ≤，04S S ≤B ．08V V ≤，04S S ≥C ．08V V ≥，04S S ≤D ．08V V ≥，04S S ≥二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
月天津市红桥区高三调研试卷
20XX年中学测试中学试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：2021届12月天津市红桥区高三调研试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
考试时间：120分钟，总分：150分。
第Ⅰ卷（选择题共70分）一、单项选择题（共70分）本大题共35个小题，每小题2分，共计70分。
在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请将正确选项前的字母填在第6页的答题卡内。
格林尼治时间20XX年10月28日11时，欧美天文学家通过太阳观测卫星探测到太阳爆发了强烈的活动。
伴随太阳活动的带电粒子流大概在美国时间（西五区）29日正午时分到达地球。
据此做1-2题：1．太阳活动所产生的带电粒子流到达地球所需要的时间大约为（）A．20小时 B．25小时 C．30小时 D．6小地2．太阳活动所产生的带电粒子流到达地球后，地球上可能出现的现象有（）①地球各地出现极光现象②地球磁针不能正确指示方向③呼机、移动电话等会失灵④漠河地区出现“白夜”现象A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．②③地球的运动分为自转运动和公转运动，而两种运动之间的关系可以用黄赤交角来表示。
据此做3 – 4题：3．下列地理事物的数值中，与黄赤交角目前的度数相同的是（）①热带与寒带的纬度范围②晨昏线与纬线相切时，相切纬线的最低度数③晨昏线与经经圈之间的最大夹角④气压带与风带南北移动的纬度范围A．③ B．①③ C．①③④ D．①②③4．若其它条件不变，当地轴与黄道面之间的夹角增大1°时，下列现象中，可能发生的是（）A．北京的正午太阳高度年变化幅度增大B．夏至日，北半球各地昼长都变短C．悉尼垂直于地面物体的正午影长的年变化幅度增大D．南亚夏季风的影响范围减小图1中的ac、bd为两条经线，它们与两条纬线共同组成一个正方形。
读图做5 – 6题：5．若ac、bd两条经线的度数分别为100°E、90°W，则c点位于b点的（）A．西南方向 B．西北方向 C．东南方向 C．东北方向6．若ac、bd两条经线的度数分别为100°E、150°E，则ab、bd、cd、ac四条线段所取比例尺的大小关系为（） A．ab＜cd = bd = ac B．ab = cd＜bd = acC．bd = ac＞ab＞cd D．ab＞cd＞bd = ac读图2和图3，做7 – 9题7．a区域的自然带是（） A．热带雨林带 B．热带草原带 C．热带荒漠带 D．亚热带常绿硬叶林带8．b区域所属气侯类型的形成原因主要是（）①位于西风带的迎风坡②位于信风带的背风坡③位于信风带的迎风坡④沿岸有寒流流经⑤沿岸有暖流流经⑥位于低纬地区，终年受上升气流的影响A．①④⑥ B．②④⑤ C．③⑤ D．⑤⑥9．影响图3所示气候类型与a区域气候类型共同的大气环流形热是（）A．赤道低气压带 B．西风带 C．副热带高气压带 D．信风带读“京津唐城市群示意图”（图4），做10 – 13题：10．图中的特大城市有（）A．①天津，②北京，③唐山，④秦皇岛 B．①北京，②天津，③秦皇岛，④唐山C．①天津，②北京，③唐山 D．①北京，②唐山，③天津11．下列产业中，属于利用区内自然资源优势重点发展的是（）A．汽车工业 B．石油化学工业 C．电子工业 D．毛纺织工业12．制约京津唐城市群进一步发展的自然因素主要是（）A．地形 B．矿产资源 C．水资源 D．交通运输13．图中连接北京与天津的铁路线是（）A．京广线的一部分 B．京沪线的一部分C．京九线的一部分 D．京包线的一部分图5为“等高线地形图”，读图做14 – 16题：14．图中等高线所表示的景观是（）A．小溪 B．平原C．沙滩 D．梯田15．该景观最有可能位于我国的（）A．青藏高原 B．江南丘陵C．黄土高原 D．四川盆地图5（注：图中数字的单位为米）16．下列农作物中，在该地区大面积种植的是（）A．青稞 B．谷子 C．甜菜 D．甘蔗近几十年来，水资源不足已成为许多国家经济发展的严重障碍，甚至危及国家的安全和民族的生存。
天津市红桥区2023届高三一模考试数学试题 (2)
一、单选题二、多选题1.已知集合，，则（ ）A．B．C．D．2.已知，，，且，则的最小值为（ ）A．B．C．D．3. 若命题p ：，，则命题为（ ）A ．，B．，C．，D．，4.已知函数，且，则下列描述正确的是（ ）．A ．函数为偶函数B．函数在上有最大值，无最小值C ．函数有2个不同的零点D ．函数在上单调递减5. 若sin （）=，则cos （）=（ ）A．B．C．D．6.已知两条直线，，有一动圆（圆心和半径都在变动）与都相交，并且被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）A．B．C．D．7. 已知直线与平面，则下列结论成立的是（ ）A ．若直线垂直于平面内的一条直线，则B ．若直线垂直于平面内的两条直线，则C ．若直线平行于平面内的一条直线，则D ．若直线与平面没有公共点，则8.已知直线交圆于两点，则的最小值为（ ）A ．9B ．16C ．27D ．309. 已知抛物线C：，圆．若C 与交于M ，N 两点，圆与x 轴的负半轴交于点P ，则（ ）A ．若为直角三角形，则圆的面积为B．C ．直线PM 与抛物线C 相切D ．直线PN 与抛物线C 有两个交点10. 已知，，且，则（ ）A．B．C．D．天津市红桥区2023届高三一模考试数学试题 (2)天津市红桥区2023届高三一模考试数学试题 (2)三、填空题四、解答题11.函数及其导函数的定义域均为R ，且是奇函数，设，，则以下结论正确的有（ ）A．函数的图象关于直线对称B．若的导函数为，定义域为R，则C ．的图象存在对称中心D．设数列为等差数列，若，则12.抛物线的焦点为，为抛物线上的动点，若点不在抛物线上，且满足的最小值为，则的值可以为（ ）A．B ．3C．D．13.在中，已知，与相交于，若，则______．14. 曲线在点处的切线方程为_______．15. 已知直线与圆相交于两点，则弦的长为________．16.如图，已知椭圆与轴的一个交点为，离心率为，，为左、右焦点，M ，N 为粗圆上的两动点，且．(1)求椭圆的方程；(2)设，的斜率分别为，，求的值；(3)求△面积的最大值．17. 已知函数（），其中.（1）讨论函数的单调性；（2）若，求x 的取值范围；（3）当时，若，为函数（）的两个零点，试证明：.18.如图，在四棱锥中，，四边形是菱形，是棱上的动点，且．(1)证明:平面．(2)是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19. 设定点，动点满足：以为直径的圆与轴相切.（I）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）设，是曲线上两点，若曲线在点，处的切线互相垂直，求证：，，三点共线．20. 公比为q的等比数列满足.(1)求的通项公式；(2)若，记的前n项和为，求.21. 如图所示，四边形ABCD为圆柱ST的轴截面，点Р为圆弧BC上一点（点P异于B，C）．(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；(2)若，（），且二面角的余弦值为，求的值．。
天津市红桥区2021届高三上学期第一次模拟数学(理)试卷 Word版含解析
天津市红桥区2021届高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共8题，共40分）1．设复数z1=l+2i，z2=l﹣ai，若z1•z2为实数，则实数a=( )A．0 B．1 C．2 D．32．已知变量x，y 满足约束条件，则目标函数z=x﹣y的最大值( )A．﹣2 B．2 C．4 D．83．某程序框图如图所示，该程序运行后输出S的值是( )A ．B．2 C ．﹣D．﹣24．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率e为( )A ．B ．C ．D ．5．设函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜）的图象的一条对称轴是直线x=，则f（x）的单调递增区间是( )A．（﹣）k∈Z B．（﹣）k∈Z C．（）k∈Z D．（﹣）k∈Z6．下列四个命题中正确的命题是( )A．“x＞2”是“x＞1”的必要不充分条件B．“log2a＞log2b”是“a＞b”必要不充分条件C．“a≥0”是“a2≤a”的必要不充分条件D．“log2x＜0”是“（）x﹣1＞1”的必要不充分条件7．已知直线C1：（t为参数）与圆C2：ρ=2交于A、B两点，当|AB|最小时，a的取值为( ) A．4 B．2 C．1 D．﹣18．如图，在平行四边形ABCD中，已知||=4，||=2，=，∠DAB=60°，则•=( )A．11 B．5 C．﹣1 D．﹣3二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．某高中校共有同学1000名，各班级男女同学人数如下表，已知在全校同学中随机抽取1名，抽到2022-2021学年高二男生的概率是0.16．2022-2021学年高一班级2022-2021学年高二班级2021届高三班级女生162 140 Y男生163 X 184现用分层抽样的方法，在全校抽取40名同学，则应在2021届高三班级抽取的同学人数为__________．10．不等式|x﹣1|+|x+1|≤3的解集为__________．11．开放式中的常数项为__________．12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．13．如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD=2，AB=BC=3．AC的长为__________．14．定义某种运算⊗，a⊗b=，设f（x）=（0⊗x）x﹣（3⊗x），则f（x）在区间[﹣3，3]上的最小值__________．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=，b=，△ABC的面积为．（Ⅰ）cosA和边a；（Ⅱ）sin（A+B）．16．甲、乙两队参与奥运学问竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者对本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一大事，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一大事，求P（AB）．17．在等比数列{a n}中，n∈N*，公比0＜q＜1，且a1+a4=9，又a1与a4的等比中项为2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=4﹣log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，求数列{S n}的通项公式（Ⅲ）设T n=++…+，求T n．18．已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB的夹角的余弦值；（Ⅲ）求面AMC与面BMC夹角的余弦值．19．已知椭圆C：已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，过点A（a，0）和B（0，b）的直线为l，坐标原点到直线l的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过右焦点F2作斜率为k的直线方程与椭圆C交于M，N两点，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PM、PN为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．20．已知函数f（x）=alnx﹣bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=﹣3x+2ln2+2（1）求a，b的值；（2）若方程f（x）+m=0在内有两个不等实根，求实数m的取值范围（其中e为自然对数的底，e≈2.7）；（3）令g（x）=f（x）﹣nx，假如g（x）图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，AB中点为C（x0，0），求证：g′（x0）≠0．天津市红桥区2021届高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共8题，共40分）1．设复数z1=l+2i，z2=l﹣ai，若z1•z2为实数，则实数a=( )A．0 B．1 C．2 D．3考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的乘法运算法则化简，通过复数的虚部为0，即可得到a的值．解答：解：复数z1=l+2i，z2=l﹣ai，若z1•z2=（1+2i）（1﹣ai）=1+2a+（2﹣a）i，由于复数是实数，所以2﹣a=0，可得a=2．故选：C．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念．2．已知变量x，y 满足约束条件，则目标函数z=x﹣y的最大值( )A．﹣2 B．2 C．4 D．8考点：简洁线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，画出不等式组表示的平面区域，由z=x﹣y得y=x﹣z，利用平移即可得到结论．解答：解：不等式对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x﹣y得y=x﹣z，平移直线y=x﹣z，由平移可知当直线y=x﹣z，经过点A时，直线y=x﹣z的截距最小，此时z取得最大值，由，解得，即A（5，﹣3）代入z=x﹣y得z=5﹣（﹣3）=8，即z=x﹣y的最大值是8，故选：D．点评：本题主要考查线性规划的应用，用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出S的值是( )A ．B．2 C ．﹣D．﹣2考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，观看规律可知S的取值以4为周期，当i=2022，不满足条件i≤2021，退出循环，输出S 的值为．解答：解：模拟执行程序框图，可得S=2，i=1，满足条件i≤2021，S=﹣3，i=2，满足条件i≤2021，S=﹣，i=3，满足条件i≤2021，S=，i=4，满足条件i≤2021，S=2，i=5，满足条件i≤2021，S=﹣3，…观看规律可知，S的取值以4为周期，由于：2021=4×503+3，i=2021，满足条件i≤2021，S=，i=2022，不满足条件i≤2021，退出循环，输出S 的值为．故选：A．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，观看规律得S的取值以4为周期是解题的关键，属于基本学问的考查．4．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率e为( )A ．B ．C ．D ．考点：双曲线的简洁性质．专题：计算题．分析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中查找等量关系，得出a与b之间的等量关系，进而求出离心率．解答：解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知|PF1|=2=4b依据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=；∴e====．故选：D．点评：本题主要考查三角与双曲线的相关学问点，突出了对计算力量和综合运用学问力量的考查，属中档题．5．设函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜）的图象的一条对称轴是直线x=，则f（x）的单调递增区间是( )A．（﹣）k∈Z B．（﹣）k∈ZC．（）k∈Z D．（﹣）k∈Z考点：正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：由对称性可得φ=，进而可得f（x）=sin（2x+），解不等式2kπ﹣＜2x+＜2kπ+可得答案．解答：解：∵函数f（x）=sin（2x+φ）的图象的一条对称轴是直线x=，∴2×+φ=kπ+，k∈Z，结合0＜φ＜可得φ=，∴f（x）=sin（2x+），由2kπ﹣＜2x+＜2kπ+可得kπ﹣＜x＜kπ+∴f（x）的单调递增区间为：（kπ﹣，kπ+）（k∈Z）故选：A点评：本题考查三角函数的单调性，涉及对称性和不等式的解法，属基础题．6．下列四个命题中正确的命题是( )A．“x＞2”是“x＞1”的必要不充分条件B．“log2a＞log2b”是“a＞b”必要不充分条件C．“a≥0”是“a2≤a”的必要不充分条件D．“log2x＜0”是“（）x﹣1＞1”的必要不充分条件考点：命题的真假推断与应用．专题：简易规律．分析：A．“x＞2”是“x＞1”的充分不必要条件，即可推断出正误；B．“log2a＞log2b”⇒“a＞b”，反之不成立，即可推断出正误；C．由a2≤a，解得0≤a≤1，即可推断出正误；D．由“log2x＜0”解得0＜x＜1，可得（）x﹣1＞1，反之不成立，即可推断出正误．解答：解：A．“x＞2”是“x＞1”的充分不必要条件，因此不正确B．“log2a＞log2b”⇒“a＞b”，反之不成立，因此“log2a＞log2b”是“a＞b”充分不必要条件，故不正确；C．由a2≤a，解得0≤a≤1，∴“a≥0”是“a2≤a”的必要不充分条件，正确；D．由“log2x＜0”解得0＜x＜1，∴﹣1＜x﹣1＜0，∴（）x﹣1＞1，反之不成立，因此“log2x＜0”是“（）x﹣1＞1”的充分不必要条件，因此不正确．故选：C．点评：本题考查了充要条件的判定方法，考查了推理力量，属于基础题．7．已知直线C1：（t为参数）与圆C2：ρ=2交于A、B两点，当|AB|最小时，a的取值为( ) A．4 B．2 C．1 D．﹣1考点：简洁曲线的极坐标方程；参数方程化成一般方程．专题：坐标系和参数方程．分析：圆C2：ρ=2化为直角坐标方程为：x2+y2=4．把直线C1：，化为一般方程为：y+1=a（x+1），由于直线C1过定点P（﹣1，﹣1）在圆的内部，因此当OP⊥AB时，|AB|取得最小值．利用k AB•k OP=﹣1，即可得出．解答：解：圆C2：ρ=2化为直角坐标方程为：x2+y2=4．把直线C1：，化为一般方程为：y+1=a（x+1），由于直线C1过定点P（﹣1，﹣1）在圆的内部，因此当OP⊥AB时，|AB|取得最小值．∴k AB•k OP=﹣1，∴a•1=﹣1，解得a=﹣1．故选：D．点评：本题考查了直线与圆的相交弦长问题、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理力量与计算力量，属于基础题．8．如图，在平行四边形ABCD中，已知||=4，||=2，=，∠DAB=60°，则•=( )A．11 B．5 C．﹣1 D．﹣3考点：平面对量数量积的运算；向量在几何中的应用．专题：平面对量及应用．分析：利用三角形法则将•=（）（），然后开放利用平行四边形的边对应的向量矩形运算．解答：解：由于四边形为平行四边形，所以，，•=（）（）==++﹣=4++=4﹣3+1﹣3=﹣1，故选：C．点评：本题考查了平行四边形的性质以及向量的数量积运算；关键是将所求利用三角形法则转化为平行四边形的边对应的向量的运算；留意向量的夹角．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．某高中校共有同学1000名，各班级男女同学人数如下表，已知在全校同学中随机抽取1名，抽到2022-2021学年高二男生的概率是0.16．2022-2021学年高一班级2022-2021学年高二班级2021届高三班级女生162 140 Y男生163 X 184现用分层抽样的方法，在全校抽取40名同学，则应在2021届高三班级抽取的同学人数为15．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：依据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．解答：解：∵在全校同学中随机抽取1名，抽到2022-2021学年高二男生的概率是0.16，∴2022-2021学年高二男生的人数为1000×0.16=160人，即X=160，则2021届高三人数为1000﹣162﹣163﹣140﹣160=375，则在全校抽取40名同学，则应在2021届高三班级抽取的同学人数为，故答案为：15．点评：本题主要考查分层抽样的应用，依据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．10．不等式|x﹣1|+|x+1|≤3的解集为[﹣，]．考点：确定值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由条件依据确定值的意义求得不等式的解集．解答：解：由确定值的意义可得|x﹣1+|x+|表示数轴上的x对应点到﹣1距离和到1对应点的距离之和，而﹣1，1对应点的距离为2，故不等式|x﹣1|+|x+1|≤3的解集为[﹣，]，故答案为：[﹣，]．点评：本题主要考查确定值的意义，确定值不等式的解法，属于基础题．11．开放式中的常数项为﹣220．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：在二项开放式的通项公式中令x的次数为0，即可求得开放式中的常数项．解答：解：=，由得r=9，∴T10=﹣C123=﹣220．故答案为：﹣220．点评：本题考查二项开放式的通项公式的应用，重点考查同学理解转化及应用公式的力量，属于中档题．12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：依据三视图知几何体是正方体削去一个角，画出其直观图，把数据代入正方体与棱锥的体积公式计算．解答：解：由三视图知几何体是正方体削去一个角，如图：∴几何体的体积V=23﹣××1×2×2=8﹣=．故答案为：．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，解答此类问题关键是推断几何体的外形及数据所对应的几何量．13．如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD=2，AB=BC=3．AC的长为．考点：弦切角．专题：计算题；压轴题．分析：由切线CD的长，及AB的长，故可用切割线定理，求出DB的长，分析图中各线段之间的关系，易得△DBC∽△DCA，然后依据三角形相像的性质，不难得到线段对应成比例，由此不难得到线段AC的长．解答：解：由切割线定理得：DB•DA=DC2，即DB（DB+BA）=DC2，DB2+3DB﹣28=0，得DB=4．∵∠A=∠BCD，∴△DBC∽△DCA，∴，AC==则答案为：点评：本题是考查同学们推理力量、规律思维力量的好资料，题目以证明题为主，特殊是一些定理的证明和用多个定理证明一个问题的题目，我们留意娴熟把握：1．射影定理的内容及其证明；2．圆周角与弦切角定理的内容及其证明；3．圆幂定理的内容及其证明；4．圆内接四边形的性质与判定．14．定义某种运算⊗，a⊗b=，设f（x）=（0⊗x）x﹣（3⊗x），则f（x）在区间[﹣3，3]上的最小值﹣12．考点：函数的最值及其几何意义．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：由定义可知0⊗x=，3⊗x=；从而化简f（x）=，从而争辩求最小值．解答：解：∵a⊗b=，∴0⊗x=，3⊗x=；故f（x）=（0⊗x）x﹣（3⊗x）=，故当x∈[﹣3，0]时，f min（x）=f（﹣3）=﹣12；当x∈（0，3]时，f min（x）=f（3）=﹣3；故f（x）在区间|﹣3，3|上的最小值为﹣12；故答案为：﹣12．点评：本题考查了同学对新定义的接受与转化力量，同时考查了分段函数的最值问题，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=，b=，△ABC 的面积为．（Ⅰ）cosA和边a；（Ⅱ）sin（A+B）．考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）由已知及三角形面积公式可得=bcsinA=××sinA，可解得sinA，由同角三角函数关系式即可求cosA，由余弦定理可解得a的值．（Ⅱ）由正弦定理可得sin（A+B）=sin（π﹣C）=sinC=，从而得解．解答：解：（Ⅰ）∵c=，b=，△ABC 的面积=bcsinA=××sinA，可解得：sinA=，∴cosA=±=±，∴由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=8±4=4，从而解得：a=2或2．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：sin（A+B）=sin（π﹣C）=sinC==或．点评：本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角形内角和定理，余弦定理，同角三角函数关系式的综合应用，属于基本学问的考查．16．甲、乙两队参与奥运学问竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者对本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一大事，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一大事，求P（AB）．考点：离散型随机变量及其分布列；互斥大事的概率加法公式．专题：计算题．分析：（1）由题意甲队中每人答对的概率均为，故可看作独立重复试验，故，（2）AB为“甲、乙两个队总得分之和等于3”和“甲队总得分大于乙队总得分”同时满足，有两种状况：“甲得乙得”和“甲得乙得0分”这两个大事互斥，分别求概率，再取和即可．解答：解：（Ⅰ）解法一：由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且，，，．所以ξ的分布列为ξ的数学期望为．解法二：依据题设可知，，因此ξ的分布列为，k=0，1，2，3．由于，所以．（Ⅱ）解法一：用C表示“甲得乙得”这一大事，用D表示“甲得乙得0分”这一大事，所以AB=C∪D，且C，D 互斥，又=，，由互斥大事的概率公式得．解法二：用A k表示“甲队得k分”这一大事，用B k表示“乙队得k分”这一大事，k=0，1，2，3．由于大事A3B0，A2B1为互斥大事，故有P（AB）=P（A3B0∪A2B1）=P（A3B0）+P（A2B1）．由题设可知，大事A3与B0独立，大事A2与B1独立，因此P（AB）=P（A3B0）+P（A2B1）=P（A3）P（B0）+P（A2）P（B1）=．点评：本题考查独立重复试验、二项分布、期望、及互斥大事、独立大事的概率问题，同时考查利用概率学问分析问题解决问题的力量．在求解过程中，留意P（AB）=P（A）P（B）只有在A和B独立时才成立．17．在等比数列{a n}中，n∈N*，公比0＜q＜1，且a1+a4=9，又a1与a4的等比中项为2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=4﹣log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，求数列{S n}的通项公式（Ⅲ）设T n =++…+，求T n．考点：数列的求和；等比数列的通项公式；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）l利用等比数列的通项公式即可解出q，a1，可得a n；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而b n=4﹣log2a n=n，利用等差数列的前n项和公式即得S n；（Ⅲ）由（II ）知，=，利用“裂项求和”即可得出T n．解答：解：（Ⅰ）∵a1+a4=9，a1与a4的等比中项为2，∴，又公比0＜q＜1，解得，∴8q3=1，解得q=．∴a n ==；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而b n=4﹣log2a n=4﹣=n，∴S n =；（Ⅲ）由（II ）知，=，则T n =++…+==．点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”、对数的运算性质，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．18．已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB的夹角的余弦值；（Ⅲ）求面AMC与面BMC夹角的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：计算题；证明题．分析：建立空间直角坐标系，求出A、B、C、D、P、M，的坐标（Ⅰ）通过证明AP⊥DC．利用AD⊥DC，证明DC⊥面PAD．然后证明面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求出与公式yg6d向量，即可利用cos =，求AC与PB的夹角的余弦值；（Ⅲ）在MC上取一点N（x，y，z），则存在使，求出．说明∠ANM为所求二面角的平面角．利用cos ==，即可求面AMC与面BMC夹角的余弦值．解答：解：以A为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为．（Ⅰ）证明：因，，所以，所以AP⊥DC．由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD．又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD．（Ⅱ）解：因，故，，，所以cos ==．（Ⅲ）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在使，=（1﹣x，1﹣y，y﹣z），=（1，0，﹣），∴x=1﹣λ，y=1，z=，要使AN⊥MC ，只需，即x ﹣z=0，解得．可知当时，N 点的坐标（），能使，此时，有．由，得AN⊥MC，BN⊥MC，所以∠ANM为所求二面角的平面角．∵，，∴cos ==所以所求面AMC与面BMC 夹角的余弦值为．点评：本题考查平面与平面垂直，直线与直线所成的角，平面与平面的二面角的求法，考查空间想象力量，计算力量．19．已知椭圆C：已知椭圆C ：（a＞b＞0）的离心率为，过点A（a，0）和B（0，b）的直线为l，坐标原点到直线l 的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过右焦点F2作斜率为k的直线方程与椭圆C交于M，N两点，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PM、PN为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．考点：椭圆的简洁性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）通过两点式方程可得直线l的方程，再利用点到直线的距离公式及a2﹣b2=c2，即得椭圆C的方程；（II）设直线l 的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合菱形对角线垂直，即，从而用k表示出m，由此即可确定m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）依据题意，得直线l 的方程为：，即bx+ay﹣ab=0，∴==，又∵，a2﹣b2=c2，∴a2=4，b2=3，∴椭圆C 的方程为：；（Ⅱ）结论：存在满足题意的点P且m的取值范围是0＜m ＜；理由如下：由（Ⅰ）知F2（1，0），故可设l：y=k（x﹣1），联立直线与椭圆方程，得，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），由韦达定理，可得x1+x2=，y1+y2=k（x1+x2﹣2）=k，∴=（x1﹣m，y1）+（x2﹣m，y2）=（x1+x2﹣2m，y1+y2），由于菱形对角线相互垂直，则，而=（x2﹣x1，y2﹣y1），∴（x1+x2﹣2m）（x2﹣x1）+（y1+y2）（y2﹣y1）=0，即k（y2+y1）+x1+x2﹣2m=0，∴k2（x1+x2﹣2）+x1+x2﹣2m=0，所以k 2+﹣2m=0，由已知条件可知，k≠0且k∈R，∴m=7•=7•，所以0＜m ＜，故存在满足题意的点P且m的取值范围是0＜m ＜．点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量学问的运用，考查韦达定理的运用，考查同学的计算力量，属于中档题．20．已知函数f（x）=alnx﹣bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=﹣3x+2ln2+2（1）求a，b的值；（2）若方程f（x）+m=0在内有两个不等实根，求实数m的取值范围（其中e为自然对数的底，e≈2.7）；（3）令g（x）=f（x）﹣nx，假如g（x）图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，AB中点为C（x0，0），求证：g′（x0）≠0．考点：函数与方程的综合运用；利用导数争辩函数的单调性；利用导数争辩曲线上某点切线方程．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）由切线方程得函数在x=2处的切线斜率为﹣3，即f′（2）=﹣3，由函数f（x）=alnx﹣bx2得其导函数，进而得f′（2），由f′（2）=﹣3得关于a、b的方程，又切点在函数图象上，也在切线上，当x=2时分别代入两个函数方程，函数值相等，得其次个关于a、b的方程，求解方程组，得a，b的值；（2）设h（x）=f（x）+m=2lnx﹣x2+m，求h′（x），令h′（x）＞0，h′（x）＜0，得函数h（x）的单调区间，得出h（x）的图象的大致走向，得出满足题意的不等式组，解得实数m的取值范围；（3）由点A（x1，0），B（x2，0）在g（x）图象上，把点的坐标代入g（x）的解析式得方程组，两式相减得关于x1、x2、n的方程，假设g′（x）=0成立，求导，得关于x0、n的方程，由中点坐标公式转化关于x1、x2、n的方程，两方程消去n，得关于x1、x2的方程，整理此方程，分子分母同除以x2，整理方程，右边为0，设t=，左边得关于t的函数，求此函数的导数，得函数的单调性，得函数值恒小于0，所以方程不成立，所以假设不成立，所以g′（x0）≠0．解答：解：（1），所以，且aln2﹣4b=﹣6+2ln2+2，解得a=2，b=1．（2）f（x）=2lnx﹣x2，令h（x）=f（x）+m=2lnx﹣x2+m，则=，令h'（x）=0，得x=1（x=﹣1舍去）．在内，当时，h'（x）＞0，所以h（x）是增函数；当x∈（1，e]时，h'（x）＜0，所以h（x）是减函数则方程h（x）=0在内有两个不等实根的充要条件是即1＜m ≤．（3）．假设结论不成立，则有，（1）﹣（2），得．所以．由（4）得，所以，即，即=，令．则，所以u（t）在0＜t＜1上是增函数，u（t）＜u（1）=0，所以（5）式不成立，与假设冲突，所以g'（x0）≠0．点评：此题考查函数与方程的综合运用，求未知数的值，几个未知数需几个方程构成方程组求解；留意把方程解的个数问题转化为对应函数图象的交点个数问题，可使问题直观易懂；也可把函数图象的交点个数问题转化为方程组得各量之间的关系，把未知量转化为一种形式，令一边为0，另一边再转化为函数，利用函数单调性解题；用反证法证明问题时，先假设结论不正确，得出与假设相反的结论，从而结论是正确的．。
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高三数学答案一、选择题（每小题5分，共45分） 题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9）答案 C C D B A B D C A二、填空题（每小题5分，共30分）（10） （11）−56 (12) 4±√15 (13) 427（14）23+ （15）2918三、解答题（本大题共5小题，共75分）（16）（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）∵a sinA=b sinB …………………………1 ∴√3sinAcosB =sinBsinA∵sinA ≠0∴tanB =√3∵B ∈（0，π）∴B =π3 ………………………………4 （Ⅱ） ∵cosA =√23，sin 2A +cos 2A =1 .....................5 ∴sinA =√73 (6)∴sin2A =2sinAcosA =2√149 (8)∴cos2A =2cos 2A −1=−59 (10)∴sin (2A −B )=sin2AcosB −cos2AsinB =2√14+5√318 ………………12 （Ⅲ）∵B =π3，b =2，c =2a代入 b 2=a 2+c 2−2accosB (13)解得 a =2√33 (14)i 5751−（17）（本小题满分15分）（Ⅰ）取BC 中点G ，连接DG ． (1)∴BG =12BC =1 ∵AD //BC ，AD=1∴AD =∥BG ∴四边形ABGD 为平行四边形 ∴DG //AB∵AD ⊥AB∴AD ⊥DG (2)∵平面EDCF ⊥平面ABCD四边形EDCF 为矩形 ED ⊥DC∴ED ⊥平面ABCD (4)如图，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DG 所在直线为y 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系则(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，()0,0,3E ，()1,2,3F −，BE⃗⃗⃗⃗⃗ =（−1，−2，√3） ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，2，0） ………………5 设平面ABE 的一个法向量为n ⃗ =（x ，y ，z ）， 23020x y z y ⎧−−+=⎪∴⎨=⎪⎩…………………………………………….6 不妨设3,0x y ==，则1z =，∴n⃗ =（√3，0，1） (7)又∵DF⃗⃗⃗⃗⃗ =（−1，2，√3） ∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−√3+√3=0 ∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ..........................................................8 又∵DF ⊄平面ABE (9)∴//DF 平面ABE（Ⅱ）BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（−1，−2，√3），BF⃗⃗⃗⃗⃗ =（−2，0，√3） 设平面BEF 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =（x ，y ，z ），23023=0x y z x z ⎧−−+=⎪∴⎨−+⎪⎩……………………….10 不妨设23x =，则3y =，4z =，∴m⃗⃗⃗ =（2√3，√3，4）…………………………11 设向量m⃗⃗⃗ 与n ⃗ 的夹角为θ， 则m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =|m ⃗⃗⃗ | ⋅|n ⃗ |⋅cosθ …………………………………13 ()()()22222232303145cos 312334301θ⨯+⨯+⨯==++⋅++∴= 5√3131 (14)∴平面ABE 与平面EFB 所成二面角的余弦值为5√3131 (15)（18）（本小题满分15分）（Ⅰ）由题意知2,12c b a ==，又222a b c =+.....................3 解得2a = (4)椭圆的方程为2212x y +=....................5 （Ⅱ）由题设知，直线PQ 的方程为(1)1(2)y k x k =−+≠ (6)代入2212x y +=，得 22(12)4(1)2(2)0k x k k x k k +−−+−= (8)由已知>0∆，设()()1122,P x y Q x y ，120x x ≠则1212224(1)2(2),1212k k k k x x x x k k −−+==++，…………………10 从而直线AP 与AQ 的斜率之和 k AP +k AQ =y 1+1x 1+y 2+1x 2=kx 1+2−k x 1+kx 2+2−k x 2………………12 121212112(2)2(2)x x k k k k x x x x ⎛⎫+=+−+=+− ⎪⎝⎭ ()4(1)222(21)22(2)k k k k k k k k −=+−=−−=−所以，直线AP 与AQ 的斜率之和为定值2 (15)（19）（本小题满分15分）解：(Ⅰ)当n =1时，有：S 1=a 1=2a 1+(-1)⇒ a 1=1；当n =2时，有：S 2=a 1+a 2=2a 2+(-1)2⇒a 2=0；当n =3时，有：S 3=a 1+a 2+a 3=2a 3+(-1)3⇒a 3=2；综上可知a 1=1，a 2=0，a 3=2； …………………………………3 （Ⅱ）由已知得：n ≥2时，1112(1)2(1)n n n n n n n a S S a a −−−=−=+−−−− (4)化简得：1122(1)n n n a a −−=+− …………………………5 上式可化为：1122(1)2[(1)]33n n n n a a −−+−=+− 故数列{2(1)3n n a +−}是以112(1)3a +−为首项， 公比为2的等比数列.…………………7 （Ⅲ）由（Ⅱ）知121(1)233n n n a −+−= ∴1122(1)33n nn a −=⋅−−……………………8 ()()()()116321221=2122(1)(21)n n n n nn a n n n −−⎡⎤−⋅=−−−⎣⎦−⋅−⋅−⋅−当n 为偶数时， T n =[1∙20+3∙21+⋯+(2n −1)∙2n−1]−2[−1+3−5+⋯−(2n −3)+(2n −1)] 令A n =1∙20+3∙21+⋯+(2n −1)∙2n−1，B n =2[−1+3−5+⋯−(2n −3)+(2n −1)]A n =1∙20+3∙21+5∙22⋯+(2n −3)∙2n−2+(2n −1)∙2n−1 ① 2A n = 1∙21+3∙22+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+(2n −3)∙2n−1+(2n −1)∙2n ②则①−②得 −A n =20+2∙21+2∙22⋯+2∙2n−1−(2n −1)∙2n=1+2(21+22⋯+2n−1)−(2n −1)∙2n=1+2∙2(1−2n−1)1−2−(2n −1)∙2n=−3+(3−2n )∙2n∴ A n =3+(2n −3)∙2n (10)B n =2[−1+3−5+⋯−(2n −3)+(2n −1)]=2∙2⋅n 2=2n ............................................................11 所以T n = A n −B n =3+(2n −3)∙2n −2n . (12)当n 为奇数时， A n =3+(2n −3)∙2n (13)B n =2[−1+3−5+⋯−(2n −5)+(2n −3)−(2n −1)]=2[2⋅n−12−2n +1]=−2n (14)所以T n = A n −B n =3+(2n −3)∙2n +2n综上，T n ={3+(2n −3)∙2n −2n ，n 为偶数3+(2n −3)∙2n +2n ，n 为奇数 (15)（20）（本小题满分16分）(Ⅰ)f (x )=(lnx −3)x ，f (e )=−2ef (x )′=1x ∙x +lnx −3=lnx −2，则k =f ′(e )=−1. …………………………3 所以y =f (x )在点(e ，f (e ))处的切线方程为y +2e =−(x −e )即x +y +e =0. (5)(Ⅱ)因为 f (x )=(lnx −m −1)x (m ∈R )，所以 x >0，fʹ(x )=1x ⋅x +lnx −m −1=lnx −m ． …………………6 ①当 m ≤0 时，因为 x >1，所以 fʹ(x )=lnx −m >0，函数 f (x ) 的单调增区间是 (1,+∞)，无单调减区间，无极值 …………………7 ②当 m >0 时，令 lnx −m =0，解得 x =e m ，当 1<x <e m 时，fʹ(x )<0；当 x >e m ，fʹ(x )>0，所以函数 f (x ) 的单调减区间是 (1,e m )，单调增区间是 (e m ,+∞)， ........................9 在区间 (1,+∞) 上的极小值为 f (e m )=(m −m −1)e m =−e m ，无极大值． (10)(Ⅲ)因为对于任意 x ∈[e,e 2]，都有 f (x )<4lnx 成立，所以 f (x )−4lnx <0， 即问题转化为 (x −4)lnx −(m +1)x <0 对于 x ∈[e,e 2] 恒成立，即 m +1>(x−4)lnx x 对于 x ∈[e,e 2] 恒成立， ………………………11 令 g (x )=(x−4)lnx x ，则 gʹ(x )=4lnx+x−4x 2，令 t (x )=4lnx +x −4，x ∈[e,e 2]，则 tʹ(x )=4x +1>0，所以 t (x ) 在区间 [e,e 2] 上单调递增，故 t (x )min =t (e )=e −4+4=e >0，进而 gʹ(x )>0， …………………………13 所以 g (x ) 在区间 [e,e 2] 上单调递增，函数 g (x )max =g (e 2)=2−8e 2， …………………………15 要使 m +1>(x−4)lnx x对于 x ∈[e,e 2] 恒成立，只要 m +1>g (x )max ， 所以 m +1>2−8e 2，即实数m 的取值范围是 (1−8e 2,+∞)． (16)。