201年高考数学复习优质教案：分类讨论在导数中的应用

分类讨论在导数中的应用
教学目标：
1．知识目标；通过利用导数求函数的极值、最值、单调区间等问题对字母参数进行分类讨论。

2．能力目标：培养学生对字母参数进行分类讨论的能力。

3．情感目标：培养学生分类讨论的意识。

教学重点、难点
重点：分类讨论思想
难点：如何分类，分类的标准。

教学过程： 一、引入
2010年绍兴市高三教学质量调测第22（3）题得分率不高，主要原因有两个，一是看不懂题意，二是不会分类讨论。

而分类讨论在高考中处于重要的“地位”：分类讨论思想是历年高考的必考内容，它不仅是高考的重点与热点，而且是高考的难点。

每年在中高档题甚至在低档题中都设置分类讨论问题，通过分类讨论考查推理的严谨性和分析问题解决问题的能力。

引起分类讨论的主要原因归纳一下主要由以下五种：1、由数学概念引起的分类讨论；2、由数学运算引起的分类讨论；3、由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；4、由图形的不确定性引起的分类讨论；5、由参数的变化引起的分类讨论。

含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或对于不同的参数值要用不同的求解或证明方法。

而对参数的分类按什么标准进行分类讨论是我们的难点。

二、例题
例：若函数x x
x x f ln 2
)(++
=，求函数)(x f 的极值点。

解：因为)0(ln 2)(>++=x x x x x f ，所以)0(2
121)(2
22>-+=
+-='x x x x x x x f 令0)(='x f 得2-=x （舍）或1=x 列表如下：
x
（0，1） 1 （1，+∞）
)(x f ' — 0 + )(x f
↘
极小值
↗
由上表知：1=x 是函数)(x f 的极小值点。

变式1：若函数x x
a
x x f ln )(++
=，试讨论函数)(x f 的极值存在情况。

解：)0(11)(2
22>-+=+-='x x
a
x x x x a x f 法一：令a x x x g -+=2)(，因为)(x g 对称轴02
1
<-
=x ，所以只需考虑)0(g 的正负， 当0)0(≥g 即0≤a 时，在（0，+∞）上0)(≥x g ，即)(x f 在（0，+∞）单调递增，无极值
当0)0(<g 即0>a 时，0)(=x g 在（0，+∞）是有解，所以函数)(x f 存在极值。

综上所述：当0>a 时，函数)(x f 存在极值；当0≤a 时，函数)(x f 不存在极值。

法二：令0)(='x f 即02
=-+a x x ，a 41+=∆
当0≤∆即4
1
-
≤a 时，0)(≥'x f ，)(x f 在（0，+∞）单调递增，无极值 当0>∆即41-
>a 时，解02=-+a x x 得：024111<+--=a x 或2
4112a x ++-= 若0>a 则02>x 列表如下：
x
（0，2x ）
2x
（2x ，+∞）
)(x f ' — 0 + )(x f
↘
极小值
↗
由上表知：2x x =时函数)(x f 取到极小值，即0>a 函数)(x f 存在极小值。

若04
1
≤<-
a ，则021≤<x x ，所以)(x f 在（0，+∞）单调递减，函数不存在极值。

综上所述，当0>a 时，函数)(x f 存在极值，当0≤a 时。

函数)(x f 不存在极值 变式2：若函数x x
ax x f ln 2
)(++
=，求函数的单调区间。

解：)0(2
12)(2
22>-+=+-='x x
x ax x x a x f 设a x ax x h 81,2)(2
+=∆-+= 1°当0<a 时，因为02)0(,021
<-=>-
=h a
x ，
若8
1
0-≤≤∆a 即时，在),0(+∞上0)(<x h 即0)(<'x f ，所以)(x f 在（0，+∞）单调递减。

若0810<<->∆a 即时，：x h 得令0)(=a
a x 28111++-=或a a x 28112+--= 列表如下：
x
（0，x 1） x 1 （x 1，x 2）
x 2 （x 2，+∞）
)(x f ' — 0 + 0 — )(x f
↘
极小值
↗
极大值
↘
由上表知： )(x f 的减区间为)2a 811,
0(++-，),2
a
811(+∞+--
增区间为：)2
a
811,2a 811(
+--++-。

2°当0=a 时，0)(),2,0(<∈x h x 即0)(<'x f ，所以)(x f 在（0，2）单调递减
0)(),,2(>+∞∈x h x 即0)(>'x f ，所以)(x f 在（2，+∞）单调递增
3°当0>a 时，因为02)0(,021
<-=<-
=h a
x ，4所以0)(=x h 有一正一负两根，解得： 02
8111<+--=
a x 或028112>++-=a
x
列表如下：
x
（0，2x ）
2x
（2x ，+∞）
)(x f ' — 0 + )(x f
↘
极小值
↗
由上表知： )(x f 的减区间为)2811,
0(a ++-，增区间为：),2
811(+∞++-a。

综上所述：0<a 时，)(x f 的减区间为)2811,
0(a ++-，),2
811(+∞+--a
增区间为：)2
811,2811(
a
a +--++-。

0=a 时， )(x f 递减区间为（0，2），递增区间为（2，+∞）
0>a 时，)(x f 的递减区间为)2
811,
0(a
++-，增区间为：
),2
a
811(
+∞++-
变式3：若函数x a x
ax x f ln )1(1
)(+--
=，求)x (f 在区间[2，3]上的最小值。

解：)0(1
)1(11)(222>++-=+-+='x x
x a ax x a x a x f 设1)1()(2
++-=x a ax x p ，解0)(=x p 得：1=x 或)0(1
≠=
a a
x 1°当0≤a 时，0)(),1,0(>∈x p x 即0)(>'x f ，所以)(x f 在（0，1）单调递增
0)(),,1(<+∞∈x p x 即0)(<'x f ，所以)(x f 在（1，+∞）单调递减
所以)(x f 在[2，3]上单调递减，所以3ln )1(3
1
3)3()(min +--==a a f x f 。

2°当0>a 时，若210≤<
a 即2
1
≥a 时，]3,2[∈x ， 0)(>x p 即0)(>'x f ，所以)(x f 递增，所以2ln )1(2
1
2)2()(min +--==a a f x f
若312<<a 即21
31<<a 时，)1,2(a
x ∈， 0)(<x p 即0)(<'x f ，所以)
(x f 递减；)3,1
(a
x ∈， 0)(>x p 即0)(>'x f ，所以)(x f 递增，
所以a a a a f x f ln )1(1)1
()(min ++-==
若31≥a 即3
1
0≤<a 时，]3,2[∈x ， 0)(<x p 即0)(<'x f ，所以)(x f 递减，
所以3ln )1(3
1
3)3()(min +--==a a f x f
综上所述：⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧≥+--<<++-≤+--=)21(2ln )1(212)2131(ln )1(1)31(3ln )1(313)(min a a a a a a a a a a x f
三、小结：
在利用导数求函数极值、最值及单调区间等问题时，若函数中含有参数，我们需对参数进行讨论。

1）若导函数的二次项系数为参数，需对二次项系数为正、负或零进行分类讨论；
2）若需考虑判别式Δ，需对Δ>0、Δ=0、Δ<0进行分类讨论；
3）在求最值或单调区间时，由f’(x)=0解出的根，需与给定区间的两个端点比较大小，进行分类讨论。

分类讨论的思想方法：就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出第一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答，其实质是“化整为零，各个击破，再积零为整”。

在分类讨论时，要注意：1、分类对象确定，标准统一；2、不重复，不遗漏；3、分层次，不越级讨论。