第1讲 平面向量的概念及线性运算
2020年高一下学期第1讲：平面向量的基本概念与线性运算(含解析)
4若两个向量相等，则它们的起点和终点分另重合；
5若a//b,b//c，则a//C.
A.0个B.1个C.2个D.3个
2.下列命题中，正确的是（）
a.a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点总是一平行四边形的四个顶点
十、十muruur r
和0A交于E，设AB占，AO b
(1)用向量a与b表示向量Oc,CD；
…uuumu，亠
(2)若OE OA，求实数的值.
26.如图，已知ABC的面积为14,D、E分别为边AB、BC上的点，且AD:DB BE:EC2:1,AE
(1)求及；
rr uuu
(2)用aLeabharlann b表示BP;(3)求PAC的面积.
动点
uuu
P满足OP
uur
OA
uuur
/AB
(uuu
|AB|
uuur
AC、
-uuu^),
|AC|
[0,），则P的轨迹一定通过
ABC的（）
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
1 2.如图，四边形ABCD是正方形,
延长CD至E,
使得
DE CD.若动点P从点A出发，沿正方形
A点，其中
UUU
AP
UUL
AB
AE，下列判断正确的是（）
3
|CB|,
若
AB BC，贝U(
)
2
2
5
5
A .-
B .-
C.
D.
3
3
3
3
5.已知|a11,
rrr
《平面向量》第1讲 平面向量的概念和线性运算
小结
1. 基本概念.
2. 向量的线性运算(加法、减法、数乘).
运算结果仍然是一个向量.
3. 两个向量共线的充要条件.
三点共线的应用.
一.向量的基本概念
[例题1]. 下列说法正确的是 .
(1).0 的方向是任意的；
(2).0// a;
(3). 0 0;
(4).0 a a 0 a;
(5). 0 0; (6).0 a 0.
二.向量的线性运算
[例题2]. 设O是正六边形ABCDEF的中点. (1) 与 OA 相等的向量有 (2) 设 AC a, BD b, 请用这两个向量表示 CD . .
课题：
向量的基本概念与线性运算
知识点1.向量的基本概念
(1) 既有大小，又有方向的量叫向量. (2) 长度为0的向量叫零向量． (3) 长度等于1的向量单位向量．
[ [
Y Y
] ]
[ (4) 方向相同的非零向量叫平行向量. [ (5) 平行向量又叫共线向量． [ [ (6) 长度相等的向量叫相等向量．
BC CD
(2) 证明：A、B、D三点共线.
(3) 试确定实数k，使k a＋b和a＋k b共线．
二.向量的线性运算
变式1. 设 a , b 是两个非零的不共线向量 . 且向量 a , b 的起点相同，当t= 时，
1 ab 三个向量 a , tb, 3
的终点共线 .
二.向量的线性运算
(7) 方向相反的向量叫相反向量．
[
Y ] N ] Y ] N ] N ]
知识点2、向量的线性运算.
类型 加 法 代数运算
几何运算
a
坐标运算
第01讲 平面向量的概念及线性运算(六大题型)(课件)高考数学一轮复习(新教材新高考)
题型突破·考法探究
题型二：平面向量的线性运算及求参数问题
【典例2-1】若 = 7， = 4 ，则 的取值范围是（ ）
A．[3，7]
B． 3，7
C． 3，11
D．(3，11)
【答案】C
【解析】由题意知 = 7， = 4，且 = | − |，
当, 同向时， 取得最小值， = | − | = ||| − ||| = |4 − 7| = 3；
【答案】C
【解析】对于A，向量的模为非负数，它们可以比较大小，但向量不可以比较大小，故
A错误．
对于B，两个向量的模相等，但方向可以不同，故B错误．
对于C，若Ԧ = ，则,
，故C成立．
Ԧ 必定共线，故//
Ԧ
对于D，当Ԧ ≠ 时，它们可以模长不相等，但可以同向或反向，
故与
Ԧ 可以为共线向量，故D错误．故选：C
后一个向量终点的向量．
即 + + ⋯ + − = ．
（2）||| − ||| ≤ | ± | ≤ || + ||，当且仅当, 至少有一个为时，向量不等式的等号成
立．
（3）特别地：||| − ||| ≤ | ± |或| ± | ≤ || + ||当且仅当, 至少有一个为时或者
与向量长度无关，两个向量方向相同
且长度相等，就是相等向量．
题型突破·考法探究
题型一：平面向量的基本概念
【变式1-1】下列说法中，正确的是（
）
A．若||
Ԧ > ||，则Ԧ >
C．若Ԧ = ，则//
Ԧ
B．若||
Ԧ = ||，则Ԧ =
D．若Ԧ ≠ ，则与
第1节 平面向量的概念及线性运算--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第一节平面向量的概念及线性运算课标解读考向预测1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.预计2025年高考对本节内容的考查会以线性运算、共线向量定理为主，主要以选择题、填空题的形式出现，难度属中、低档.必备知识——强基础1．向量的有关概念名称定义表示向量在平面中，既有大小又有方向的量用a ，b ，c ，…或AB →，BC →，…表示向量的模向量a 的大小，也就是表示向量a 的有向线段AB →的长度(或称模)|a |或|AB →|零向量长度为0的向量用0表示单位向量长度等于1个单位的向量用e 表示，|e |＝1平行向量方向相同或相反的非零向量(或称共线向量)a ∥b 相等向量长度相等且方向相同的向量a ＝b相反向量长度相等，方向相反的向量向量a 的相反向量是－a说明：零向量的方向是不确定的、任意的．规定：零向量与任一向量平行．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a ＋b ＝01b ＋a ；结合律：(a ＋b)＋c ＝02a＋(b ＋c )减法a －b ＝03a ＋(－b )数乘|λa |＝|λ||a |，当λ>0时，λa 的方向与a 的方向04相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向05相反；当λ＝0时，λa ＝060λ(μa )＝07(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝08λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝09λa ＋λb3.向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .提醒：当a ≠0时，定理中的实数λ才唯一．1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →.特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若F 为线段AB 的中点，O 为平面内任意一点，则OF →＝12OA →＋OB →)．3．若A ，B ，C 是平面内不共线的三点，则PA →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心，AP →＝13(AB→＋AC →)．4．若OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.5．对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)|a |与|b |是否相等，与a ，b 的方向无关．()(2)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b .()(3)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．()(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．()答案(1)√(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)如图，D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，则下列结论错误的是()A ．EF →＝CD →B ．AB →与DE →共线C ．BD →与CD →是相反向量D ．AE →＝12|AC →|答案D解析AE →＝12AC →，故D 错误．故选D.(2)(人教B 必修第二册6.2.1例3改编)设向量a ，b 不共线，向量λa ＋b 与a ＋2b 共线，则实数λ＝________．答案12解析∵λa ＋b 与a ＋2b 共线，∴存在实数μ使得λa ＋b ＝μ(a ＋2b )＝μ，＝2μ，＝12，＝12.(3)(人教A 必修第二册6.2例6改编)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________．(用a ，b 表示)答案b －a －a －b解析如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .(4)(人教A 必修第二册习题6.2T10改编)若a ，b 满足|a |＝3，|b |＝5，则|a ＋b |的最大值为________，最小值为________．答案82解析|a ＋b |≤|a |＋|b |＝3＋5＝8，当且仅当a ，b 同向时取等号，所以|a ＋b |max ＝8.又|a ＋b |≥||a |－|b ||＝|3－5|＝2，当且仅当a ，b 反向时取等号，所以|a ＋b |min ＝2.考点探究——提素养考点一平面向量的有关概念例1(多选)下列命题中的真命题是()A ．若|a |＝|b |，则a ＝bB ．若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件C ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝cD ．a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b 答案BC解析A 是假命题，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；B 是真命题，∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则|AB →|＝|DC →|，AB →∥DC →且AB →，DC →方向相同，因此AB →＝DC →；C 是真命题，∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c ；D 是假命题，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．故选BC.【通性通法】平面向量有关概念的四个关注点关注点一非零向量的平行具有传递性关注点二共线向量即为平行向量，它们均与起点无关关注点三向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量关注点四a|a |是与a 同方向的单位向量【巩固迁移】1．(多选)下列命题正确的是()A ．零向量是唯一没有方向的向量B ．零向量的长度等于0C ．若a ，b 都为非零向量，则使a |a |＋b|b |＝0成立的条件是a 与b 反向共线D ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c 答案BC解析零向量是有方向的，其方向是任意的，故A 错误；由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B 正确；因为a |a |与b |b |都是单位向量，所以只有当a |a |与b|b |是相反向量，即a 与b 反向共线时才成立，故C 正确；若b ＝0，则不共线的a ，c 也有a ∥0，c ∥0，故D 错误．考点二平面向量的线性运算(多考向探究)考向1平面向量加、减运算的几何意义例2设P 为▱ABCD 对角线的交点，O 为平面ABCD 内的任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝()A ．OP →B ．2OP →C ．3OP →D ．4OP→答案D解析由题意知，P 为AC ，BD 的中点，所以在△OAC 中，OP →＝12(OA →＋OC →)，即OA →＋OC →＝2OP →，在△OBD 中，OP →＝12(OB →＋OD →)，即OB →＋OD →＝2OP →，所以OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝4OP →.故选D.【通性通法】1．平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来．2．三种运算法则的要点(1)加法的三角形法则要求“首尾连”，平行四边形法则要求“共起点”．(2)减法的三角形法则要求“共起点，连终点，指被减”．(3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算．【巩固迁移】2．(2024·山东青岛二中月考)若|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，则|AB →＋AC →|＝________．答案23解析因为|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，所以△ABC 是边长为2的正三角形，所以|AB →＋AC →|为△ABC 的边BC 上的高的2倍，所以|AB →＋AC →|＝23.考向2平面向量的线性运算例3(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD ＝2DA ，记CA →＝m ，CD →＝n ，则CB →＝()A ．3m －2nB ．－2m ＋3nC ．3m ＋2nD ．2m ＋3n答案B解析CD →＝23CA →＋13CB →，即CB →＝－2CA →＋3CD →＝－2m ＋3n .故选B.【通性通法】平面向量的线性运算的求解策略【巩固迁移】3．(2023·江苏南通二模)在平行四边形ABCD 中，BE →＝12BC →，AF →＝13AE →.若AB →＝mDF →＋nAE →，则m ＋n ＝()A ．12B ．34C ．56D ．43答案D解析由题意可得AB →＝AE →＋EB →＝AE →＋12DA →＝AE →＋12(DF →＋FA →)＝AE→＋12(DF →－13AE →)＝12DF →＋56AE →，所以m ＝12，n ＝56，所以m ＋n ＝43.故选D.考点三向量共线定理的应用(多考向探究)考向1判定向量共线、三点共线例4设两个非零向量a 与b 不共线．若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线．证明∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →，∴AB →，BD →共线，又它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．【通性通法】共线向量定理的三个应用【巩固迁移】4．已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λPA →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在()A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在直线上C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上答案B解析由CB →＝λPA →＋PB →，得CB →－PB →＝λPA →，CP →＝λPA →，则CP →，PA →为共线向量，又CP →，PA →有一个公共点P ，所以C ，P ，A 三点共线，即点P 在AC 边所在直线上．故选B.考向2利用向量共线定理求参数例5若a ，b 是两个不共线的向量，已知MN →＝a －2b ，PN →＝2a ＋k b ，PQ →＝3a －b ，若M ，N ，Q 三点共线，则k ＝()A ．－1B ．1C ．32D ．2答案B解析由题意知，NQ →＝PQ →－PN →＝a －(k ＋1)b ，因为M ，N ，Q 三点共线，所以存在实数λ，使得MN →＝λNQ →，即a －2b ＝λ[a －(k ＋1)b ]，解得λ＝1，k ＝1.【通性通法】一般通过构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程(组)即可求得相关参数的值．【巩固迁移】5．如图，在△ABC 中，AD →＝λDC →，E 是BD 上一点，若AE →＝1116→＋14AC →，则实数λ的值为()A ．3B ．4C ．5D ．6答案B解析由AD →＝λDC →，得AC →＝λ＋1λAD →，因为AE →＝1116AB →＋14AC →，所以AE →＝1116AB →＋14·λ＋1λAD →，因为E ，B ，D 三点共线，所以1116＋λ＋14λ＝1，解得λ＝4.故选B.课时作业一、单项选择题1．若a ，b 为非零向量，则“a |a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案B解析a |a |，b |b |分别表示与a ，b 同方向的单位向量，a |a |＝b|b |，则有a ，b 共线，而a ，b 共线，则a |a |，b |b |是相等向量或相反向量，所以“a |a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的充分不必要条件．故选B.2．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是一个非零向量，则下列结论不正确的是()A ．a ∥bB ．a ＋b ＝aC ．a ＋b ＝bD ．|a ＋b |＝|a |＋|b |答案B解析由题意得，a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)＝AC →＋CA →＝0，且b 是一个非零向量，所以a ∥b成立，所以A 正确；因为a ＋b ＝b ，所以B 不正确，C 正确；因为|a ＋b |＝|b |，|a |＋|b |＝|b |，所以|a ＋b |＝|a |＋|b |，所以D 正确．故选B.3．已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－3a ＋6b ，CD →＝4a －b ，则()A ．A ，B ，D 三点共线B ．A ，B ，C 三点共线C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，C ，D 三点共线答案A解析由题意得BD →＝BC →＋CD →＝a ＋5b ＝AB →，又BD →，AB →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线．故选A.4．(2024·安徽铜陵三模)在平行四边形ABCD 中，M 是CD 边上的中点，则2AM →＝()A ．AC →－2AB →B ．AC →＋2AB →C ．2AC →－AB →D ．2AC →＋AB→答案C解析因为M 是平行四边形ABCD 的CD 边上的中点，所以CM →＝－12AB →，所以AM →＝AC →＋CM→＝AC →－12AB →，所以2AM →＝2AC →－AB →.故选C.5．已知向量a 和b 不共线，向量AB →＝a ＋m b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，若A ，B ，D 三点共线，则m ＝()A ．3B ．2C ．1D ．－2答案A解析因为A ，B ，D 三点共线，所以存在实数λ，使得BD →＝λAB →，BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ，所以2a ＋6b ＝λa ＋mλb ，＝λ，＝mλ，解得m ＝3.故选A.6．矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝()A ．58B ．14C ．1D ．516答案A解析DE →＝AE →－AD →＝14AC →－AD →＝14(AB →＋AD →)－AD →＝14AB →－34AD →，∴λ＝14，μ＝－34.∴λ2＋μ2＝116＋916＝58.故选A.7．正方形ABCD 中，E 在CD 上且有CE →＝2ED →，AE 与对角线BD 交于F ，则AF →＝()A ．13AB →＋23AD→B ．34AB →＋14AD→C ．14AB →＋34AD→D ．13AD →＋AB→答案C解析如图，∵在正方形ABCD 中，E 在CD 上且有CE →＝2ED →，AE 与对角线BD 交于F ，∴DE ＝13AB ，且DE ∥AB ，∴△DEF ∽△BAF ，可得EF AF ＝13，可得AF ＝34AE ，∴AF →＝34AE →＝34(AD→＋DE →)＋13AB ＝14AB →＋34AD →.故选C.8．(2023·滁州模拟)已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB →＋PB →＋PC →＝0，|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，则△ABC 的面积为()A ．3B ．23C ．33D ．43答案B解析设BC 的中点为D ，AC 的中点为M ，连接PD ，MD ，BM ，如图所示，则有PB →＋PC →＝2PD →.由AB →＋PB →＋PC →＝0，得AB →＝－2PD →，又D 为BC 的中点，M 为AC 的中点，所以AB →＝－2DM →，则PD →＝DM →，则P ，D ，M 三点共线且D 为PM 的中点，又D 为BC 的中点，所以四边形CPBM 为平行四边形．又|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，所以|MC →|＝|BP →|＝2，则|AC →|＝4，且|BM →|＝|PC →|＝2，所以△AMB 为等边三角形，∠BAC ＝60°，则S △ABC ＝12×2×4×32＝2 3.故选B.二、多项选择题9．下列式子中，结果为零向量的是()A ．AB →＋BC →＋CA →B ．AB →＋MB →＋BO →＋OM →C ．OA →＋OB →＋BO →＋CO →D ．AB →－AC →＋BD →－CD →答案AD解析利用向量运算，易知A ，D 中的式子结果为零向量．故选AD.10．点P 是△ABC 所在平面内一点，且满足|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2PA →|＝0，则△ABC 不可能是()A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形答案AD解析因为点P 是△ABC 所在平面内一点，且|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2PA →|＝0，所以|CB →|－|(PB→－PA →)＋(PC →－PA →)|＝0，即|CB →|＝|AB →＋AC →|，所以|AB →－AC →|＝|AC →＋AB →|，等式两边平方并化简得AC →·AB →＝0，所以AC →⊥AB →，∠BAC ＝90°，则△ABC 一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，不可能是钝角三角形和等边三角形．故选AD.11．(2023·安徽合肥期末)在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，点G 为△ABC 的重心，则下列结论中正确的是()A ．AB →－BC →＝CA →B ．AG →＝13(AB →＋AC →)C ．AF →＋BD →＋CE →＝0D ．GA →＋GB →＋GC →＝0答案BCD解析如图，对于A ，AB →－BC →＝AB →＋CB →＝2EB →≠CA →，故A 错误；对于B ，点G 为△ABC 的重心，则AG →＝23→＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，故B 正确；对于C ，AF →＋BD →＋CE →＝12(AB →＋BC →＋CA →)＝0，故C 正确；对于D ，GA →＝－2GD →＝－2×12(GB →＋GC →)，故GA →＋GB →＋GC →＝0，故D 正确．故选BCD.三、填空题12．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．答案12解析∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，＝μ，＝2μ，解得λ＝μ＝12.13．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列命题：①AD →＝12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0.其中正确的命题是________．答案②③④解析BC →＝a ，CA →＝b ，AD →＝12AB →＋12AC →＝12(AC →＋CB →)＋12AC →＝12CB →＋AC →＝－12a －b ，故①错误；BE →＝BC →＋12CA →＝a ＋12b ，故②正确；CF →＝12(CB →＋CA →)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，故③正确；AD→＋BE →＋CF →＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0，故④正确．14．(2024·丽江模拟)在△ABC 中，点D 在线段AC 上，且满足|AD →|＝13|AC →|，点Q 为线段BD上任意一点，若实数x ，y 满足AQ →＝xAB →＋yAC →，则1x ＋1y 的最小值为________．答案4＋23解析由题意知，点D 满足AD →＝13AC →，故AQ →＝xAB →＋yAC →＝xAB →＋3yAD →，由Q ，B ，D 三点共线，可得x ＋3y ＝1，x >0，y >0，则1x ＋1y＝x ＋3y )＝4＋3y x ＋x y ≥4＋23，当且仅当3yx ＝x y ，即x ＝3－12，y ＝3－36时等号成立．所以1x ＋1y 的最小值为4＋2 3.15．如图，在平行四边形ABCD 中，AB →＝2AE →，AF →＝FD →，点G 为CE 与BF 的交点，则AG →＝()A ．25AB →＋15AC→B ．15AB →＋25AC→C ．15AB →＋415AC→D ．310AB →＋25AC→答案A解析由AB →＝2AE →，AF →＝FD →，知E ，F 分别为AB ，AD 的中点．如图，设AC 与BF 的交点为P ，易得△APF ∽△CPB ，所以AP CP ＝AF CB ＝AF AD ＝12，所以AP →＝13AC →.因为E 是AB 的中点，所以AE →＝12AB →.由P ，G ，B 三点共线知，存在m ∈R ，满足AG →＝mAP →＋(1－m )AB →＝13mAC →＋(1－m )AB →.由C ，G ，E 三点共线知，存在n ∈R ，满足AG →＝nAE →＋(1－n )AC →＝12nAB →＋(1－n )AC →，所以13mAC →＋(1－m )AB →＝12nAB →＋(1－n )AC →.又因为AC →，AB →为不共线的非零向量，所以m ＝12n ，＝1－n ，＝35，＝45，所以AG →＝25AB →＋15AC →.16．(多选)(2024·武汉模拟)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离之半．这个定理就是著名的欧拉线定理．设△ABC 中，点O ，H ，G 分别是其外心、垂心、重心，BC 边的中点为D ，则下列结论中正确的是()A ．GH →＝2OG →B ．OD ∥AHC ．AH →＝3OD →D ．OA →＝OB →＝OC→答案AB解析由题意作图，如图所示，易知BC 的中点D 与A ，G 共线．对于A ，由题意，得AG →＝2GD →，OD ⊥BC ，AH ⊥BC ，所以OD ∥AH ，所以GH →＝2OG →，所以A ，B 正确；对于C ，由题意，知AG ＝2GD ，又GH ＝2OG ，∠AGH ＝∠DGO ，所以△AGH ∽△DGO ，所以AH →＝2OD →，所以C 错误；对于D ，向量OA →，OB →，OC →的模相等，方向不同，所以D 错误．故选AB.17.如图，已知正六边形ABCDEF ，M ，N 分别是对角线AC ，CE 上的点，使得AM AC ＝CNCE＝r ，则B ，M ，N 三点共线时，r 的值为________．答案33解析连接AD ，交EC 于点G ，设正六边形的边长为a ，由正六边形的性质知，AD ⊥CE ，AD ∥CB ，G 为EC 的中点，且AG ＝32a ，则CA →＝CG →＋GA →＝12CE →＋32CB →，又AM AC ＝CNCE ＝r (r >0)，则CA →＝CM →1－r ，CE →＝CN →r ，故CM →1－r ＝CN →2r ＋32CB →，即CM →＝1－r 2r CN →＋3（1－r ）2CB →，若B ，M ，N三点共线，则1－r 2r ＋3（1－r ）2＝1，解得r ＝33或r ＝－33(舍去)．18．经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m >0，n >0，则m ＋n 的最小值为________．答案43解析设OA →＝a ，OB →＝b .由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG→＝OG →－OP →＋13b ，由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ，使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝＋13λb ，m ＝＝13λ，消去λ，得1n ＋1m ＝3.于是m ＋nm ＋n )＋n m ＋≥13×(2＋2)＝43，当且仅当m ＝n ＝23时，m ＋n 取得最小值，为43.。
(完整版)平面向量全部讲义
第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．例1．若向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量例2．.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC等价于四边形ABCD为平行四边形；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b等价于|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．④⑤CA2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb例3：化简AC→－BD→＋CD→－AB→得() A.AB→B.DA→C.BC→D．0例4：(1)如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()A．0B．BE C．AD D．CF(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．巩固练习：1．将4(3a＋2b)－2(b－2a)化简成最简式为______________．2．若|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，则非零向量OA→，OB→的关系是() A．平行B．重合C．垂直D．不确定3．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________4．D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD等于()A．－BC＋12BA B．－BC－12BA C．BC－12BA D．BC＋12BA5．若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，CA→＝3a，CB→＝2b，求CD→，CE→.DD12巩固练习1。
高考数学总复习 第八章 第1讲 平面向量及其线性运算配套课件 文
长；
解：(1)由题设知A→B＝(3,5)，A→C＝(－1,1)， 则A→B＋A→C＝(2,6)，A→B－A→C＝(4,4)． 所以|A→B＋A→C|＝2 10，|A→B－A→C|＝4 2. 故所求的两条对角线长分别为 4 2，2 10.
第十九页，共27页。
A．0
B.B→E
图 8-1-1
C.A→D
D.C→F
第九页，共27页。
4．设O→A＝e1，O→B＝e2，若 e1 与 e2 不共线，且点 P 在线段 AB 上，|AP|∶|PB|＝2，如图 8-1-2，则O→P＝( C )
A.13e1－23e2 C.13e1＋23e2
图 8-1-2
B.23e1＋13e2 D.23e1－13e2
非零向量 a 共线的充要条件是有且仅有一个(yī ɡè)实数λ，使得b=λa，
即 b∥a(⇔3b)＝若λaO(→a≠P0＝)． xO→A＋yO→B ，三点 P，A，B 共线⇔x＋y＝1. 若P→A＝λP→B，则 P，A，B 三点共线．
第十六页，共27页。
【互动探究(tànjiū)】
3．(2013 年陕西)已知向量 a＝(1，m)，b＝(m,2)，若 a∥b, 则实数(shìshù) mC ＝)(
第六页，共27页。
5．共线向量及其坐标表示
使得((s1hb)ǐ＝向deλ量)a__a_(_a_≠_0_)与_．b 共线的充要条件是存在唯一一个(yī ɡè)实数λ，
(2)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，当且仅当 x1y2 －x2y1＝0 时，向量(xiàngliàng) a，b 共线．
第八章 平面(píngmiàn)向量
第1讲 平面向量的概念及线性运算
6
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
向量 运算
定义
求 a 与 b 的相
反向量－b 的 减法
和的运算叫做
a 与 b 的差
法则(或几何意义)
_□_12_三__角__形___法则
运算律
a－b＝
__□1_3_a_＋__(_－__b_) _
7
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
1
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
第1讲 平面向量的概 念及线性运算
2
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
考试要求
1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念，理解两
个 向 量 相 等 的 含 义 .3. 理 解 向 量 的 几 何 表 示 .4. 掌 握 向 量 加 法 、 减 法 的 运
ABCD 中，M 为 BC 的中点，AC 与 MD 相交于点 P.若A→P＝xA→B＋yA→D，则
x＋y＝( B )
A．1
B．43
C．53
D．2
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聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
B 因为在平行四边形 ABCD 中，M 为 BC 的中点，AC 与 MD 相交于 点 P，所以CAMD＝PACP＝2，所以A→P＝23A→C＝23(A→B＋A→D)．又A→P＝xA→B＋yA→D， 所以 x＝y＝23，x＋y＝43.故选 B．
高．若A→D＝λA→B＋μA→C，则 λ－μ＝________．
如图，∵AD 为 BC 边上的高， ∴AD⊥BC. ∵AB＝2，∠ABC＝30°， ∴BD＝ 3＝13BC，
29
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
2025年高考数学一轮复习-第1讲-平面向量的概念及线性运算【课件】
考点考法：虽然近两年在本讲没有直接命题，但在考查其他知识点时，经常涉及向量的加法、减法运算，数乘运算以及它们的几何意义.核心素养：数学抽象、直观想象、数学运算
必备知识 自主排查
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
1.向量的有关概念
（1）向量：既有大小又有______的量叫做向量，向量的大小叫做向量的____.
√
√
解析：选 选项，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，所以A错误；B选项，因为 与 共线，且有公共点 ，所以 ， ， 三点在同一条直线上，所以B正确；C选项，当 且方向相反时，即使 ，也不能得到 ，所以 且 不是 的充要条件，而是必要不充分条件，所以C错误；D选项， ， ， ， 是不共线的点， ，即模相等且方向相同，即四边形ABCD对边平行且相等，反之也成立，所以D正确.
A. B. C. D.
解析：选D.对于A，两个向量的模相等，但是方向不一定相同，所以错误.对于B，两个向量不能比较大小，所以错误.对于C，向量平行只是方向相同或相反，不能得到向量相等，所以错误.对于D，若一个向量的模等于0，则这个向量是 ,所以正确.
√
2.设 ， 都是非零向量，则下列四个条件中，使 成立的充分条件是( )
×
（3）若向量 与向量 是共线向量,则 , , , 四点在一条直线上.( )
×
（4）当两个非零向量 , 共线时,一定有 ,反之成立.( )
√
2.(2022·新高考卷Ⅰ)在 中，点 在边 上， .记 , ，则 ( )
A. B. C. D.
（2）零向量：长度为___的向量，其方向是任意的.
（3）单位向量：长度等于_____________的向量.
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→ → → 解析 (2)在△CEF 中，有EF ＝EC＋CF. → 1→ 因为点 E 为 DC 的中点， 所以EC＝ DC. 2 → 2→ 因为点 F 为 BC 的一个三等分点， 所以CF＝ CB. 3 → 1→ 2→ 1→ 2→ 所以EF＝ DC＋ CB＝ AB＋ DA 2 3 2 3 1→ 2→ ＝ AB－ AD， 故选 D. 2 3 答案 (1)D (2)D
解析 ①不正确． 两个向量的长度相等， 但它们的方向不一定相同． → → → → → → ②正确．∵AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB∥DC， 又 A，B，C，D 是不共线的四点， ∴四边形 ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形 ABCD 为平行四边形， → → → → → → → → 则|AB|＝|DC|，AB∥DC且AB，DC方向相同，因此，AB＝DC.
→ → → 1 解 设OA＝a，OB＝tb，OC＝ (a＋b)， 3 2 1 → → → → → → ∴AC＝OC－OA＝－ a＋ b， AB＝OB－OA＝tb－a. 3 3 → → 2 1 要使 A，B，C 三点共线，只需AC＝λAB.即－ a＋ b＝λtb－λa. 3 3 －2＝－λ， λ＝2， 3 3 ∴有 ⇒ 1 1 ＝ λt ， t＝ . 3 2 1 ∴当 t＝ 时，三向量终点在同一直线上. 2
→ → → 解析 (1)由题意得AD ＝AC+CD， → 1→ → 1→ 1→ ＝AC+ BC＝AC+ AC－ AB 3 3 3 → 1→ → 1→ 1→ ＝AC+ BC＝AC+ AC－ AB 3 3 3
A
1→ 4→ ＝－ AB＋ AC. 3 3
第10页
C B
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D
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考点突破 考点二 平面向量的线性运算
由点 C，D 是半圆弧的三等分点，
→ 1→ 1 得 CD∥AB 且CD＝ AB＝ a， 2 2 1 → → → 所以AD＝AC＋CD＝b＋ a. 2
第19页
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考点突破 考点二 平面向量的线性运算
备选题 (2)如图，D，E，F 分别是△ABC 的边 AB，BC，CA 的 → → → → → → 中点，则( ) A.AD＋BE＋CF＝0 B.BD－CF＋DF＝0 → → → → → → C.AD＋CE－CF＝0 D.BD－BE－FC＝0
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考点突破 考点三 共线向量定理的应用
→ → 训练 3 (1)已知向量 i 与 j 不共线， 且AB＝i＋mj， AD＝ni＋j.若 A， B，D 三点共线，则实数 m，n 应该满足的条件是( ) A．m＋n＝1 B．m＋n＝－1 C．mn＝1 D．mn＝－1
解析
→ → 由 A，B，D 共线可设AB＝λAD，
解析
简答
①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是 有向线段，有向线段也不是向量； ②不正确，若 a 与 b 中有一个为零向量，零向量的方向 是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反； ③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行； ④正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向 量的模均为实数，可以比较大小． 答案 ④
解析(1) ∵a· b＝0，∴∠ACB＝90° ，
B
简答
5 4 5 2 5 AD＝ ， ∴AB＝ 5，CD＝ ，∴BD＝ ， 5 5 5 → 4→ ∴AD∶BD＝4∶1. ∴AD＝ AB 由等积 5 4 → → 4 4 5×CD＝1× 2， ＝ (CB－CA)＝ a－ b. 5 5 5 C
D A
第7页
→ → (2) 由题意知： AD ＝FE， 解析 → → → → BE＝DF，CF＝ED， → → → 而FE＋ED＋DF＝0， → → → ∴AD＋BE＋CF＝0.
第20页
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考点突破 考点三 共线向量定理的应用
备选题 若 a，b 是两个不共线的非零向量，a 与 b 起点相同，则 1 当 t 为何值时，a，tb， (a＋b)三向量的终点在同一条直线上？ 3
第2页
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考点突破 考点一 平面向量的有关概念
给出下列命题：①若|a|＝|b|，则 a＝b； → → ②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则AB＝DC是四边形 ABCD 为 平行四边形的充要条件； ③若 a＝b，b＝c，则 a＝c； ④若 a∥b，b∥c，则 a∥c. 其中正确命题的序号是( ) 简答 A．②③ B．②④ C．③④ D．②③④ 例1
第3页
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考点突破 考点一 平面向量的有关概念
给出下列命题：①若|a|＝|b|，则 a＝b； → → ②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则“AB＝DC”是“四边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件； ③若 a＝b，b＝c，则 a＝c； ④若 a∥b，b∥c，则 a∥c. 其中正确命题的序号是( ) A．②③ B．②④ C．③④ D．②③④ 例1
第18页
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考点突破 考点二 平面向量的线性运算
备选题(1)如图所示，已知 AB 是圆 O 的直径，点 C，D 是半圆弧 → → → 的两个三等分点，AB＝a，AC＝b，则AD＝( ) 1 1 1 1 A．a－ b B. a－b C．a＋ b D. a＋b 2 2 2 2
解析 (1)连接 CD，
(1)证明 → → ∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b， → CD＝3(a－b)． → → → ∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b)
(2)解 ∵ka＋b 与 a＋kb 共线，
∴存在实数 λ， 使 ka＋b＝λ(a＋kb)，
即 ka＋b＝λa＋λkb，
∴A，B，D 三点共线．
第12页
∴k2－1＝0，∴k＝± 1.
【训练 2】(2)如图，在平行四边形 ABCD 中， → → → 对角线 AC 与 BD 交于点 O， AB＋AD＝λAO， 则 λ＝________．
解析 (2) 因为 ABCD 为平行四边形， → → → → 所以AB＋AD＝AC＝2AO，
→ → → 已知AB＋AD＝λAO，
故 λ＝2.
答案 (1)A (2)2
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考点突破 考点二 平面向量的线性运算
【训练 2】(1)(2015· 全国Ⅰ卷)设 D 为△ABC 所在平面内一点， → → BC＝3CD，则( ) A、B、C共线 1→ 4→ → → 1→ 4→ A.AD＝－ AB＋ AC B.AD＝ AB－ AC 3 3 3 3 → 4→ 1→ → 4→ 1→ 简答 C.AD＝ AB＋ AC D.AD＝ AB－ AC 3 3 3 3
简答
第11页
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考点突破 考点三 共线向量定理的应用
例 3 设两个非零向量 a 与 b 不共线． → → → (1)若AB＝a＋b,BC＝2a＋8b,CD＝3(a－b).求证： A， B， D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 共线．
∴(k－λ)a＝(λk－1)b. → ＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB. ∵a，b 是不共线的 两个非零向量， → → ∴AB， BD共线， 又它们有公共点 B， ∴k－λ＝λk－1＝0，
第1讲 平面向量的概念及线性运算
基础诊断
夯基释疑
考点一：平面向量的有关概念
概 要
考点突破
考点二：平面向量的线性运算
考点三：共线向量定理的应用
课堂小结
思想方法 易错防范
夯基释疑
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)零向量与任意向量平行．( ) (2)若 a∥b，b∥c，则 a∥c.( ) → → (3)向量AB与向量CD是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条 直线上．( ) (4)若 a∥b，则∃λ ∈R 使 b＝λa.( ) → 1 → → (5)在△ABC 中，D 是 BC 中点，则AD＝ (AC＋AB)．( ) 2
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简答
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考点突破 考点二 平面向量的线性运算
规律方法
(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量， 并能熟练运用 相反向量将加减法相互转化． (2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： ①观察各向量的位置； ②寻找相应的三角形或多边形； ③运用法则找关系； ④化简结果．
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课堂小结
易错防范
1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量 的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也 满足条件．要特别注意零向量的特殊性． 2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所 求向量的相反向量，导致错误．
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（见教辅）
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课堂小结
思想方法
1．向量的加、减法运算，要在所表达的图形上多思考，多 联系相关的几何图形，比如平行四边形、菱形、三角形等，可多 记忆一些有关的结论． 2．对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解向量 a 与 b 共线是指 a 与 b 所在的直线平行或重合． 3．要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足 向量等式 b＝λa，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置．
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考点突破 考点一 平面向量的有关概念
【训练 1】下列命题中，正确的是________(填序号)． ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； → → ③向量AB与向量CD共线，则 A、B、C、D 四点共线； ④两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．
于是有 i＋mj＝λ(ni＋j)＝λni＋λj.
又 i，j 不共线，
λn＝1， 因此 λ＝ m ，