第六章IIR滤波器的设计方法
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第六章IIR滤波器的设计方法
j4
数字滤波器的频率响应：
H
(e
j
)
1
0.318e j 0.4177e j 0.01831e
j
2
冲激响应不变法的优缺点
优点： h(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应ha(t)
时域逼近良好 保持线性关系：=T
线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器
缺点： 频率响应混迭
只适用于限带的低通、带通滤波器
通带、阻带与过渡带：信号允许通过的频带 为通带，完全不允许通过的频带为阻带，通 带与阻带之间为过渡带。
滚降与滚降率：滤波器幅频特性在过渡 带的衰减和衰减速度称为滚降与滚降率。
阻带衰减：输入信号在阻带的衰减量
带内平坦度：通带和阻带内的平坦程度
4、数字滤波器的设计步骤
数字滤波器的设计三个步骤:
后各频率成分的衰减情况
( j) 为相频特性：反映各频率成分通过滤波
器后在时间上的延时情况
理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近
通带： c
1 1 H (e j ) 1
阻带： st H (e j ) 2
过渡带： c st
c ：通带截止频率
st ：阻带截止频率
：通带容限
Ha(s) Ha(-s)的零极点分布
由 Ha ( j) 2 确定Ha (s)的方法
由幅度平方函数得象限对称的s平面函数 对比 Ha ( j) 和 Ha (s) ，确定增益常数 由零极点及增益常数，得Ha (s)
低通
2π
π
高通
H (e j ) π
2π ω
2π
π
带通
H (e j ) π
2π ω
2π
π
带阻
H (e j ) π
数字信号处理 第六章
各种数字滤波器的理想幅度频率响应 数字滤波器的设计步骤 理想滤波器的逼近 数字滤波器的系统函数H(z) IIR滤波器设计方法
6.1 引言
数字滤波器的设计步骤：
按任务要求，确定滤波器性能要求。 用一个因果稳定的离散线性移不变的系统函数去逼 近这一性能要求。逼近所用系统函数有无限冲激响 应（IIR）系统函数与有限长单位冲激响应（FIR） 系统函数两种。 利用有限精度算法来实现这个系统函数。 实际的技术实现。
零极点分布对系统相角的影响
相位“延时”（或相位“滞后”）系统
最小相位延时系统 最大相位延时系统 最大相位超前系统 最小相位超前系统
相位“超前”（或相位“领先”）系统
当全部零点在单位圆外时，相位变化最大，又是负数， 当全部零点在单位圆外时，相位变化最小， 当全部零点在单位圆内时，相位变化最大， 当全部零点在单位圆内时，相位变化最小， 故称为最小相位超前系统。 故称为最大相位超前系统。 故称为最大相位延时系统。 故称为最小相位延时系统。
2、可实现Ha(s)Ha(-s)零极点分布
j
σ
1、零极点中一半属Ha(s)，另一 半属Ha(-s)。如要求系统稳定， 则左半平面极点属于Ha(s)。 2、挑选零点时，不加任何限制， 则Ha(s)的解不唯一。 3、如限定Ha(s)是最小相位的， 则只能取所有左半平面的零极 点作为Ha(s)的零极点，Ha(s) 的解唯一。 4、虚轴上的零点阶数减半分配给 Ha(s)。 5、稳定系统虚轴上无极点，临界 稳定时虚轴上才会有极点。
第6章 无限冲激响应IIR 数字滤波器的设计方法
刘笑楠
第6章 无限冲激响应IIR 数字滤波器的设计方法
第六章IIR数字滤波器的理论与设计(2)
例如，一个模拟微分器，它的幅度与频率是直线关系， 但通过双线性变换后，就不可能得到数字微分器
H ( j) k b H (e
j
) H ( j )
tg
2
ktg
2
b
b. 线性相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的数字滤 波器为非线性相位。 c. 要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段恒定的，故双 线性变换只能用于设计低通、高通、带通、带阻等选 频滤波器。
面的左半平面 Re{S}＜0 应映射到Z平面的单位圆以内|Z|<1。
一、脉冲响应不变法 脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波 器的单位脉冲响应序列h(n)正好等于模拟滤波器的冲激响应 ha(t)的采样值，即
ha t |t nT ha nT hn
T为采样周期。
j
Ha ( j ) T
脉冲响应不变法的频率混叠现象
1 H z |z esT H a s jks T k
首先对Ha(s)作周期延拓，然后再经过 的映射关系映射到 Z 平面上。
ze
sT
令
z re
j
,
s j
在S平面上沿虚轴移动，对应于Z平面沿单位圆周 期性旋转，每平移 s ， 则沿单位圆转一周。 S平面到Z平面的映射是多值映射。
极点为：
s1 (0.3224 j0.772), s2 (0.3224 j 0.7772)
二、双线性变换法
脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混 淆，这是从S平面到Z平面的标准变换z＝esT的多值对应 关系导致的,为了克服这一缺点，设想变换分为两步： 第一步：将整个S平面压缩到S1平面的一条横带里； 第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个Z 平面上去。 由此建立 S 平面与 Z 平面一一对应的单值关系，消除多 值性，也就消除了混淆现象。
IIR数字滤波器的设计方法
6.2 IIR滤波器设计的特点
将IIR滤波器的系统函数用极、零点表示：
M
M
bk zk
(1 ck z1)
H(z)
k 0 N
A
k 1 N
1 ak zk
(1 dk z1)
k 1
k 1
M≤N
对系统函数的设计就是确定各系数ak, bk或零极点ck，dk和A， 使滤波器满足给定的性能要求
14
第12讲 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 6.3.2 巴特沃思低通逼近 （最平幅度逼近）
巴特沃思低通滤波器在通带内有最大平坦的幅度特 性，因而又称为最平幅度特性滤波器
巴特沃思低通滤波器幅度平方函数定义
|
H
a
(
j)
|2
1
(
1 / c
)2
N
式中，N为正整数，代表滤波器的阶数。Ωc为 3dB截止频率。当Ω=Ωc时，衰减为 3 dB
器• Ha(s)Ha(-s)的极点为
sk
1
(1)2N ( jc )
ej
1 2
22kN1
c
k=1, 2, …, 2N
• Ha(s)Ha(-s)的2N个极点等间隔分布在半径为Ωc的圆（巴特沃 思圆）上，极点间的角度间隔为π/N rad
16
第12讲 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
|Ha(jΩ)|2单调减小，N越大，通带内特性越平坦，过渡带越窄
15
第12讲 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
巴特沃思滤波器的极(零)点分布 (公式法求解低通Ha(s))
|
H
将IIR滤波器的系统函数用极、零点表示：
M
M
bk zk
(1 ck z1)
H(z)
k 0 N
A
k 1 N
1 ak zk
(1 dk z1)
k 1
k 1
M≤N
对系统函数的设计就是确定各系数ak, bk或零极点ck，dk和A， 使滤波器满足给定的性能要求
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第12讲 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 6.3.2 巴特沃思低通逼近 （最平幅度逼近）
巴特沃思低通滤波器在通带内有最大平坦的幅度特 性，因而又称为最平幅度特性滤波器
巴特沃思低通滤波器幅度平方函数定义
|
H
a
(
j)
|2
1
(
1 / c
)2
N
式中，N为正整数，代表滤波器的阶数。Ωc为 3dB截止频率。当Ω=Ωc时，衰减为 3 dB
器• Ha(s)Ha(-s)的极点为
sk
1
(1)2N ( jc )
ej
1 2
22kN1
c
k=1, 2, …, 2N
• Ha(s)Ha(-s)的2N个极点等间隔分布在半径为Ωc的圆（巴特沃 思圆）上，极点间的角度间隔为π/N rad
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第12讲 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
|Ha(jΩ)|2单调减小，N越大，通带内特性越平坦，过渡带越窄
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第12讲 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
巴特沃思滤波器的极(零)点分布 (公式法求解低通Ha(s))
|
H
IIR滤波器的设计方法
把H(z)单位圆外的零点：z 1/ z0, 1/z0*, z0 1 映射到单位圆内的镜像位置：z z0, z0*
构成Hmin(z)的零点。
而幅度响应不变：
P231 图6－6
H (e j ) Hmin (e j ) Hap (e j ) Hmin (e j )
2）级联一个全通系统可以使非稳定滤波器变成 一个稳定滤波器
相位响应：
(e
j
)
arctan
Im[H Re[H
(e (e
j j
)] )]
H *(e j ) H (e j ) e j (e j )
H (e j ) H *(e j )
e2 j (e j )
(e j )
1 2j
H (e j )
ln
H
*
(e
j
)
1 2j
ln
H(z)
H
(
z
1
)
z
阻带最小衰减： 2
H (e j0 )
2 20lg H (e jst ) 20lg H (e jst ) 20lg2
其中： H (e j0 ) 1
当 H (e jc ) 2 / 2 0.707 时，1 3dB
称 c 为3dB通带截止频率
6、表征滤波器频率响应的特征参量
幅度平方响应
H (e j ) 2 H (e j )H *(e j )
2π ω
2π
π
π
2π ω
2、LP到其他滤波器的变换 由LP实现的HP
LP实现的BP
LP实现的BRF
3、 滤波器的性能指标
带宽：当幅度降低到0.707时的宽度称为
滤波器的带宽（3dB带宽）
第六章 IIR数字滤波器的设计方法
x(n m) e
X (e
)
上页
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理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近（以低通为例）
通带： c 阻带：
st
1 1 H (e
H (e
j
j
) 1
2
)
过渡带： c st
c
：通带截止 （cutoff）频率 ：通带容限 ：阻带（stop）截止 频率 ：阻带容限
j
)] )]
j j
H (e ) H (e ) e
*
j
j
j (e
)
H (e H (e
*
) )
e
2 j (e
j
)
(e
j
H (e 1 ) ln * 2 j H (e
j
H (z) 1 ) ln 1 2 j j ) H ( z ) z e j
上页 下页
6.2、最小与最大相位延时系统、最小与最大相位超前系统
LSI系统的系统函数：
H (z) K
M M
m 1 N
(1 c m z (1 d k z
M
1
) Kz
(N M )
m 1 N
( z cm ) (z dk )
k 1
1
)
k 1
频率响应：
H (e
j
上页 下页
因果稳定系统
H (e a rg K
j
z r, r 1
n < 0时，h(n) = 0
全部极点在单位圆内：po = 0，pi = N
) 2 m i 2 p i 2 ( N M ) 2
IIR滤波器的设计方法
实验六 IIR 滤波器的设计方法⏹ 实验学时：2学时 ⏹ 实验类型：设计、验证一、实验目的IR 数字滤波器的常用指标和设计过程的理解；响应不变法和双线性变换法设计IIR 滤波器的原理，设计方法，步骤； 现象，比较脉冲响应不变法和双线性变换法设计IIR 滤波器的特点熟悉Matlab 信号处理工具箱中的常用函数二、实验原理与方法IIR 数字滤波器设计步骤：（一）先设计模拟低通原型滤波器（二）AF 数字化为DF1． 脉冲响应不变法用数字滤波器的单位脉冲响应序列)(n h 模仿模拟滤波器的冲激响应)(t h a ,让)(n h 正好等于)(t h a 的采样值，即)()(nT h n h a =，其中T 为采样间隔，如果以)(s H a 及)(z H 分别表示)(t h a 的拉式变换及)(n h 的Z 变换，则)2(1)(m Tj s H T z H m a e z sT ∑∞-∞==+=π2．双线性变换法S 平面与z 平面之间满足以下映射关系：11112--+-⋅=zz T s （***） s 平面的虚轴单值地映射于z 平面的单位圆上，s 平面的左半平面完全映射到z 平面的单位圆内。
双线性变换不存在混叠问题。
双线性变换是一种非线性变换，这种非线性引起的幅频特性畸变可通过预畸而得到校正。
双线性变换法特别适合用于设计常见的选频性滤波器，下面以双线性变换法设计低通数字滤波器为例，将设计步骤归纳如下：（1）根据需要确定数字滤波器的性能指标：通带截止频率p f 、阻带截止频率p f 、通带最大衰减αp 、阻带内的最小衰减αs ，采样频率s f ； (2) 确定相应的数字角频率，T f p p πω2=；T f s s πω2=； (3) 计算经过预畸的相应模拟低通原型的截止频率，)2(2pp tg T ω=Ω，)2(2s s tg T ω=Ω；(4)根据Ωp ，αp 和Ωs ，αs 计算模拟低通原型滤波器的传递函数)(s H a ； (5)用上述（***）表示的双线性变换公式代入)(s H a ，求出)(z H ；分析滤波器特性，检查其指标是否满足要求。
IIR数字滤波器的原理及设计解析
因此截止频率又叫做3db带宽或者半功率点。
图6.1
Butterworth低通滤波器的平方幅度特性
3. N的影响
在通带内，0<(Ω/Ωc)<1，故N越大， | H ( j)|2 随增大 a
而下降越慢；
在阻带内，(Ω/Ωc)>1，故N越大，| H a ( j)| 随增大而下
2
降越快。
1. 最平坦函数
B型滤波器的幅频特性是随增大而单调下降的。在 =0附近以及 很大时幅频特性都接近理想情况，而且在 这两处曲线趋于平坦，因此B型特性又叫做最平坦特性。
2. 3db带宽 由(6.4)式可知，当Ω =Ω c 时，| H a ( j)|2 = 1 ，而 2
10log10 | H a ( jc ) |2 10log10 1 2 3db
根据幅频特性指标来设计系统函数。
图6.1中用虚线画出的矩形表示一个理想的模拟低通滤波
器的指标，是以平方幅度特性|Ha(jΩ )|2来给出的。
Ω c 是截止频率，当0≤Ω <Ω c时，|Ha(jΩ )|2 =1，是通带； 当Ω >Ω c时，|Ha(jΩ )|2 =0，是阻带。图6.1中的实的曲线 表示一个实际的模拟低通滤波器的平方幅度特性，我们的 设计工作就是要用近似特性来尽可能地逼近理想特性。 通常采用的典型逼近有Butterworth逼近、 Chebyshev逼 近和Cauer逼近（也叫椭圆逼近〕。
i 0 i 1
M
N
于是得到IIR数字滤波器的系统函数：
Y ( z) H ( z) X ( z)
i a z i i 0
M
1 bi z i
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5、数字滤波器的技术要求
选频滤波器的频率响应:
H (ej)H (ej)ej(j)
H ( e j ) 为幅频特性：表示信号通过该滤波器
后各频率成分的衰减情况
( j) 为相频特性：反映各频率成分通过滤波
器后在时间上的延时情况
理想滤波器不可实现,只能以实际滤波器逼近
通带： c
11H(ej)1
2 π π π 2 π ω
2、LP到其他滤波器的变换 由LP实现的HP
LP实现的BP
LP实现的BRF
3、 滤波器的性能指标
带宽:当幅度降低到0.707时的宽度称为滤
波器的带宽（3dB带宽）
通带、阻带与过渡带:信号允许通过的频带为 通带,完全不允许通过的频带为阻带，通带与 阻ejdk
各零矢量模的连乘积 各极矢量模的连乘积
k1
相角:
a r g H ( K e j ) m M 1 a r g [ e j c m ] k N 1 a r g [ e j d k ] ( N M )
a r g H ( K e j ) m M 1 a r g [ e j c m ] k N 1 a r g [ e j d k ] ( N M )
则为线性相位滤波器
7、IIR数字滤波器的设计方法
用一因果稳定的离散LSI系统逼近给定的性能要求:
M
bk z k
H (z)
k0 N
1 a k z k
k 1
即为求滤波器的各系数
ak , bk
s平面逼近:模拟滤波器
z平面逼近:数字滤波器
先设计模拟滤波器,再转换为数字滤波器 计算机辅助设计法
a） 时域说明 b） 频域说明
（2） 四种基本的滤波器
四种基本滤波器为低通（LP）、高通 （HP）、带通（BP）和带阻滤波器（BRF）:
（3） 四种基本滤波器的数字表示
H (e j )
低通
高通
2 π π
H(e j ) π 2 π ω
带通
2 π π H(e j ) π 2 π ω
带阻
2 π π H(e j ) π 2 π ω
6.1 引言
数字滤波器:
是指输入输出均为数字信号,通过一定运算 关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者 滤除某些频率成分的器件。
优点:
高精度、稳定、体积小、重量轻、灵活,不要 求阻抗匹配，可实现特殊滤波功能
1、滤波器的基本概念 （1） 滤波器的功能
滤波器的功能是对输入信号进行滤波 以增强所需信号部分,抑制不要的部分。
当0 2,2
j Im[z]
0
Re[z]
位于单位圆内的零/极矢量角度变化为2 位于单位圆外的零/极矢量角度变化为 0
a r g H ( K e j ) m M 1 a r g [ e j c m ] k N 1 a r g [ e j d k ] ( N M )
第六章 IIR滤波器的设计
主要内容
理解数字滤波器的基本概念 了解最小相位延时系统 理解全通系统的特点及应用 掌握冲激响应不变法 掌握双线性变换法 掌握Butterworth、Chebyshev低通滤波器的特点 了解利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的设计过程 了解利用频带变换法设计各种类型数字滤波器的方法
滚降与滚降率:滤波器幅频特性在过渡 带的衰减和衰减速度称为滚降与滚降率。
阻带衰减:输入信号在阻带的衰减量
带内平坦度:通带和阻带内的平坦程度
4、数字滤波器的设计步骤
数字滤波器的设计三个步骤:
(1) 按要求确定滤波器的性能参数; (2) 用一个因果稳定的离散线性移不变系统的系 统函数去逼近去逼近这一性能要求； (3) 用有限精度的运算实现；实现可以采用通用 计算机,也可以采用DSP。
H *(ej)H (ej)ej(ej)
H(ej) H*(ej)
e2
j(ej
)
(ej)21jlnH H*((eej j))
1 2j
H(z) lnH(z1)zej
H ( e j )
群延迟响应
相位对角频率的导数的负值
(ej)
d(ej)
d
dH(z) 1 Rez dz H(z)zej
若滤波器通带内 ( e j ) = 常数，
6.2 最小与最大相位延时系统、最小 与最大相位超前系统
LSI系统的系统函数:
M
M
(1cmz1)
(zcm)
H(z)KmN1
Kz(NM)
m1 N
(1dkz1)
(zdk)
k1
k1
频率响应:
M
(ejcm)
H(ej)Kej(NM)m N 1
H(ej)ejarg[H(ej)]
(ejdk)
k1
模:
M
H(ej) K
其中： H (e j0) 1
当 H (ejc)2/20.707时，1 3dB
称 c 为3dB通带截止频率
6、表征滤波器频率响应的特征参量
幅度平方响应
H (ej)2H (ej)H *(ej)
H ( e j ) H ( e j ) H ( z ) H ( z 1 )z e j
H(z)H(z1)的极点既是共轭的，又是以单
位圆成镜像对称的
j Im[z]
H(z)的极点:单位圆内的极点
1/a*
a
0 a*
Re[z]
a 1
相位响应
H ( e j ) H ( e j ) e j ( e j ) R e H ( e j ) j I m H ( e j )
相位响应：(ej)arctan R Im e[[H H((eejj ))]]
令： 单位圆内零点数为mi 单位圆外的零点数为mo
mi moM
单位圆内的极点数为pi 单位圆外的极点数为po
pi poN
则:
a rg H (K ej) 2 2(N M ) 2m i 2p i
因果稳定系统 z r, r1n < 0时，h(n) = 0
全部极点在单位圆内:po = 0,pi = N
阻带： st H(ej) 2
过渡带： cst
c ：通带截止频率 s t ：阻带截止频率
1 ：通带容限
2 ：阻带容限
通带最大衰减： 1
12 0lgH H ((e ejj 0 c)) 2 0lgH (ej c) 2 0lg (11)
阻带最小衰减： 2
220lgH H ((e ej j0 st)) 20lgH (ejst) 20lg2