浙教版九年级上《二次函数》综合练习题双休天作业
2021-2022学年浙教版九年级数学上册《第1章二次函数》期末综合复习训练(附答案)

2021-2022学年浙教版九年级数学上册《第1章二次函数》期末综合复习训练(附答案)1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大值为0,则()A.a>0,b2﹣4ac=0B.a<0,b2﹣4ac>0C.a>0,b2﹣4ac<0D.a<0,b2﹣4ac=02.已知抛物线C:y=x2+3x﹣10,将抛物线C平移得到抛物线C′,若两条抛物线C和C′关于直线x=1对称,则下列平移方法中,正确的是()A.将抛物线C向右平移个单位B.将抛物线C向右平移3个单位C.将抛物线C向右平移5个单位D.将抛物线C向右平移6个单位3.将抛物线C1:y=x2﹣2x+3向左平移1个单位长度,得到抛物线C2,抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称,则抛物线C3的解析式为()A.y=﹣x2﹣2B.y=﹣x2+2C.y=x2﹣2D.y=x2+24.已知二次函数y=﹣(x﹣k+2)(x+k)+m,其中k,m为常数.下列说法正确的是()A.若k≠1,m≠0,则二次函数y的最大值小于0B.若k<1,m>0,则二次函数y的最大值大于0C.若k=1,m≠0,则二次函数y的最大值小于0D.若k>1,m<0,则二次函数y的最大值大于05.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且对称轴为x=1,点B坐标为(﹣1,0).则下面的四个结论:①2a+b=0;②4a﹣2b+c<0;③b2﹣4ac>0;④当y<0时,x<﹣1或x>2.其中正确的有()A.4个B.3个C.2个D.1个6.已知直线x=1是二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是实数,且a≠0)的图象的对称轴,点A(x1,y1)和点B(x2,y2)为其图象上的两点,且y1<y2,()A.若x1<x2,则x1+x2﹣2<0B.若x1<x2,则x1+x2﹣2>0C.若x1>x2,则a(x1+x2﹣2)>0D.若x1>x2,则a(x1+x2﹣2)<07.在同一坐标系中,函数y=ax2+b与y=bx2+ax的图象只可能是()A.B.C.D.8.如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),其顶点坐标为(1,n),且与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间,下列结论:①b>0;②2a+b=0;③4a﹣2b+c<0;④a+b+c>0;⑤关于x的方程0=ax2+bx+c的另一个解在﹣2和﹣3之间,其中正确结论的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个9.如图抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(3,0)且对称轴为直线x=1.有四个结论:①ac<0;②b2﹣4ac=0;③a﹣b+c=0;④若m>n>0,则x=1﹣m时的函数值小于x=1+n时的函数值,其中正确的结论个数是()A.1B.2C.3D.410.如图,直线y1=kx与抛物线y2=ax2+bx+c交于A、B两点,则y=ax2+(b﹣k)x+c的图象可能是()A.B.C.D.11.把二次函数y=﹣x2+3x+3化成y=a(x+m)2+k的形式为.12.已知二次函数的图象经过原点及点(﹣3,﹣2),且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1,则该二次函数的解析式为.13.已知函数y=x2﹣2mx+2015(m为常数)的图象上有三点:A(x1,y1),B(x2,y2),C (x3,y3),其中x1=m﹣,x2=m+,x3=m﹣1,则y1、y2、y3的大小关系是.14.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,其与x轴的一个交点坐标为(﹣3,0),对称轴为x=﹣1,则当y<0时,x的取值范围是.15.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=a(x+1)2+b与y=a(x﹣2)2+b+1交于点A.过点A作y轴的垂线,分别交两条抛物线于点B、C(点B在点A左侧,点C在点A右侧),则线段BC的长为.16.对于二次函数y=x2﹣2mx﹣3,下列正确的说法是.①它的图象与x轴有两个公共点;②如果当x≤1时,y随x的增大而减小,则m=1;③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点,则m=﹣1;④如果当x=﹣2时的函数值与x=2022时的函数值相等,则当x=2020时的函数值为﹣3.17.已知抛物线y=﹣x2+ax+b经过点A(1,0),B(0,﹣4).(1)求抛物线的解析式;(2)求此抛物线的顶点坐标.18.如图是某个二次函数的图象.(1)求该二次函数关系式;(2)补全函数图象;(3)若抛物线上点P(m,n)到y轴的距离不大于2,请根据图象直接写出n的取值范围.19.已知二次函数y=ax2+bx﹣6(a≠0)的图象经过点A(4,﹣6),与y轴交于点B,顶点为C(m,n).(1)求点B的坐标;(2)求证:4a+b=0;(3)当a>0时,判断n+6<0是否成立?并说明理由.20.已知二次函数y=﹣x2+6x﹣5.(1)求二次函数图象的顶点坐标;(2)当1≤x≤4时,函数的最大值和最小值分别为多少?(3)当t≤x≤t+3时,函数的最大值为m,最小值为n,若m﹣n=3,求t的值.21.如图,直线y=﹣x+4与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A,B两点,点A在y轴上,点B 在x轴上.(1)求抛物线的解析式;(2)在第三象限的抛物线上存在一点P,使得△PBO的面积是△ABO面积的两倍,求P 点的坐标以及△ABP的面积.22.已知抛物线y=x2+bx+a﹣1过点(2+a,m),(2﹣a,m),(a,n).(1)求b的值;(2)当0<a<2时,请确定m,n的大小关系;(3)若当0<a≤x≤2+a时,y有最小值3,求a的值.23.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c(b>0),交x轴于点A、B,交y轴于点C,已知A的横坐标为﹣1.(1)求点B的坐标.(用含b的代数式表示)(2)抛物线的对称轴交x轴于点D,连结BC,平移线段CB,使点C与D重合,此时点B恰好落在抛物线上,求b的值.参考答案1.解:∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大值为0,∴a<0,=0即b2﹣4ac=0.故选:D.2.解:∵抛物线C:y=x2+3x﹣10=(x+)2﹣,∴抛物线对称轴为x=﹣.∴抛物线与y轴的交点为A(0,﹣10).则与A点以对称轴对称的点是B(﹣3,﹣10).若将抛物线C平移到C′,并且C,C′关于直线x=1对称,就是要将B点平移后以对称轴x=1与A点对称.则B点平移后坐标应为(2,﹣10).因此将抛物线C向右平移5个单位.故选:C.3.解:∵抛物线C1:y=x2﹣2x+3=(x﹣1)2+2,∴抛物线C1的顶点为(1,2),∵向左平移1个单位长度,得到抛物线C2,∴抛物线C2的顶点坐标为(0,2),∵抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称,∴抛物线C3的开口方向相反,顶点为(0,﹣2),∴抛物线C3的解析式为y=﹣x2﹣2,故选:A.4.解∵y=﹣(x﹣k+2)(x+k)+m=﹣(x+1)2+(k﹣1)2+m,∴当x=﹣1时,函数最大值为y=(k﹣1)2+m,则当k<1,m>0时,则二次函数y的最大值大于0.故选:B.5.解:∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1,∴﹣=1,得2a+b=0,故①正确;当x=﹣2时,y=4a﹣2b+c<0,故②正确;该函数图象与x轴有两个交点,则b2﹣4ac>0,故③正确;∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1,点B坐标为(﹣1,0),∴点A(3,0),∴当y<0时,x<﹣1或x>3,故④错误;故选:B.6.解:∵直线x=1是二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是实数,且a≠0)的图象的对称轴,∴x=﹣=1,∴b=﹣2a,∴y=ax2﹣2ax+c,∵点A(x1,y1)和点B(x2,y2)为其图象上的两点,∴y1=ax12﹣2ax1+c,y2=ax22﹣2ax2+c,当x1<x2,y1<y2即y1﹣y2<0,∴ax12﹣2ax1+c﹣(ax22﹣2ax2+c)<0,整理得:a(x1﹣x2)(x1+x2﹣2)<0,∵x1﹣x2<0,∴a(x1+x2﹣2)>0,故A,B不符合题意;当x1>x2,y1<y2即y1﹣y2<0,∴ax12﹣2ax1+c﹣(ax22﹣2ax2+c)<0,整理得:a(x1﹣x2)(x1+x2﹣2)<0,∵x1﹣x2>0,∴a(x1+x2﹣2)<0,故C不符合题意,D符合题意;故选:D.7.解:A、两个函数的开口方向都向上,那么a>0,b>0,可得第一个函数的对称轴是y 轴,与y轴交于正半轴,第二个函数的对称轴在y轴的左侧,故本选项错误;B、两个函数的开口方向都向下,那么a<0,b<0,可得第一个函数的对称轴是y轴,与y轴交于负半轴,第二个函数的对称轴在y轴的左侧,故本选项错误;C、D、两个函数一个开口向上,一个开口向下,那么a,b同号,可得第二个函数的对称轴在y轴的右侧,故C错误,D正确,故选:D.8.解:∵抛物线开口向下,∴a<0,∵对称轴直线x=﹣=1,∴b=﹣2a>0,∴2a+b=0,故①②正确;∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴点(4,y)与(﹣2,y)关于直线x=1对称,∵x=4时,y<0,∴x=﹣2时,y<0,即4a﹣2b+c<0,故③正确;∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),其顶点坐标为(1,n),∴n=a+b+c>0,故④正确;∵抛物线的对称轴为直线x=1,抛物线与x轴的一个交点在(3,0)和(4,0)之间,∴抛物线与x轴的另一个交点在(﹣2,0)和(﹣1,0)之间,∴关于x的方程0=ax2+bx+c的另一个解在﹣2和﹣1之间,故⑤错误;∴正确结论的有①②③④共4个,故选:D.9.解:∵抛物线开口向下,∴a<0,∵抛物线交y轴的正半轴,∴c>0,∴ac<0,故①正确;∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2﹣4ac>0,故②错误;∵抛物线的对称轴为直线x=1,而点(3,0)关于直线x=1的对称点的坐标为(﹣1,0),∴a﹣b+c=0,故③正确;∵抛物线开口向下,对称轴为直线x=1,∴横坐标是1﹣m的点的对称点的横坐标为1+m,∵若m>n>0,∴1+m>1+n,∴x=1﹣m时的函数值小于x=1+n时的函数值,故④正确.故选:C.10.解:设y=y2﹣y1,∵y1=kx,y2=ax2+bx+c,∴y=ax2+(b﹣k)x+c,由图象可知,在点A和点B之间,y>0,在点A的左侧或点B的右侧,y<0,故选项B符合题意,选项A、C、D不符合题意;故选:B.11.解:y=﹣x2+3x+3=﹣(x2﹣12x+36)+9+3=﹣(x﹣6)2+12.故答案为y=﹣(x﹣6)2+12.12.解:∵二次函数图象与x轴的另一交点到原点的距离为1,∴这个点的坐标为(﹣1,0)或(1,0),设该二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,当该函数过原点、(﹣3,﹣2),(﹣1,0)时,,解得,,即该二次函数的解析式为y=x2x;当该函数过原点、(﹣3,﹣2),(1,0)时,,解得,,即该二次函数的解析式为y=x2+x;由上可得,该二次函数的解析式为y=x2x或y=x2+x,故答案为:y=x2x或y=x2+x.13.解:在二次函数y=x2﹣2mx+2015,对称轴x=m,在图象上的三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),|m﹣1﹣m|<|m﹣﹣m|<|m+﹣m|,则y1、y2、y3的大小关系为y3<y1<y2.故答案为y3<y1<y2.14.解:∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点坐标为(﹣3,0),对称轴为直线x=﹣1,∴抛物线与x轴的另一个交点为(1,0),由图象可知,当y<0时,x的取值范围是﹣3<x<1.故答案为:﹣3<x<1.15.解:设抛物线y=a(x+1)2+b的对称轴与线段BC交于点E,抛物线y=a(x﹣2)2+b+1的对称轴与线段BC交于点F,如图所示.由抛物线的对称性,可知:BE=AE,CF=AF,∴BC=BE+AE+AF+CF=2(AE+AF)=2×[2﹣(﹣1)]=6.故答案为:6.16.解:①由于△=4m2+12>0,它的图象与x轴有两个公共点,故①符合题意;②由于对称轴是直线x=m,抛物线开口方向向上,所以当x≤1时,y随x的增大而减小,此时m≤1,故②不符合题意;③如果将y=x2﹣2mx﹣3=(x﹣m)2﹣3﹣m2的图象向左平移3个单位后的抛物线解析式是:y=(x﹣m+3)2﹣3﹣m2,将(0,0)代入,得到(0﹣m+3)2﹣3﹣m2=0.解得m=1,故③不符合题意;④如果当x=﹣2时的函数值与x=2022时的函数值相等,则该抛物线对称轴是直线x=m=1010,所以当x=2020时,y=x2﹣2mx﹣3=20202﹣20202﹣3=﹣3,即该函数的函数值为﹣3,故④符合题意.故答案是:①④.17.解:(1)根据题意得到:,解得,因而抛物线的解析式是:y=﹣x2+5x﹣4.(2)∵y=﹣x2+5x﹣4=﹣(x﹣)2+,∴抛物线的顶点坐标为(,).18.解:(1)根据图象知,抛物线的顶点坐标为(1,4),∴设二次函数关系式为y=a(x﹣1)²+4,又∵函数图象过(3,0),∴0=4a+4,解得a=﹣1,∴函数解析式为:y=﹣(x﹣1)²+4;(2)由(1)函数解析式知,函数与y轴的交点为(0,3),函数与x轴的另一交点为(﹣1,0),∴图象补全如右图所示;(3)由图知,当x=1时函数有最大值为4,∴n≤4,当x=﹣2时P(m,n)到y轴的距离等于2,此时n有最小值,n=﹣(﹣2﹣1)²+4=﹣5,综上所述,n的取值为﹣5≤n≤4.19.解:(1)∵x=0时,y=﹣6∴点B坐标为(0,﹣6)(2)证明:∵二次函数的图象经过点A(4,﹣6)∴16a+4b﹣6=﹣6∴4a+b=0(3)当a>0时,n+6<0成立,理由如下:∵n=∴n+6=∵a>0,4a+b=0即b≠0∴b2>0∴<0∴n+6<0成立20.解:(1)∵y=﹣x2+6x﹣5=﹣(x﹣3)2+4,∴顶点坐标为(3,4);(2)∵a=﹣1<0,∴抛物线开口向下,∵顶点坐标为(3,4),∴当x=3时,y最大值=4,∵当1≤x≤3时,y随着x的增大而增大,∴当x=1时,y最小值=0,∵当3<x≤4时,y随着x的增大而减小,∴当x=4时,y最小值=3.∴当1≤x≤4时,函数的最大值为4,最小值为0;(3)当t≤x≤t+3时,对t进行分类讨论,①当t+3<3时,即t<0,y随着x的增大而增大,当x=t+3时,m=﹣(t+3)2+6(t+3)﹣5=﹣t2+4,当x=t时,n=﹣t2+6t﹣5,∴m﹣n=﹣t2+4﹣(﹣t2+6t﹣5)=﹣6t+9,∴﹣6t+9=3,解得t=1(不合题意,舍去),②当0≤t<3时,顶点的横坐标在取值范围内,∴m=4,i)当0≤t≤时,在x=t时,n=﹣t2+6t﹣5,∴m﹣n=4﹣(﹣t2+6t﹣5)=t2﹣6t+9,∴t2﹣6t+9=3,解得t1=3﹣,t2=3+(不合题意,舍去);ii)当<t<3时,在x=t+3时,n=﹣t2+4,∴m﹣n=4﹣(﹣t2+4)=t2,∴t2=3,解得t1=,t2=﹣(不合题意,舍去),③当t≥3时,y随着x的增大而减小,当x=t时,m=﹣t2+6t﹣5,当x=t+3时,n=﹣(t+3)2+6(t+3)﹣5=﹣t2+4,.m﹣n=﹣t2+6t﹣5﹣(﹣t2+4)=6t﹣9,∴6t﹣9=3,解得t=2(不合题意,舍去),综上所述,t=3﹣或.21.解:(1)在直线y=﹣x+4中,当x=0时,y=4,当y=0时,x=4,∴A(0,4),B(4,0),将A(0,4),B(4,0)代入y=﹣x2+bx+c中,可得,解得:,∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+x+4;(2)设P点坐标为(x,﹣x2+x+4),∵△PBO的面积是△ABO面积的两倍,∴×4×丨﹣x2+x+4丨=2××4×4,解得:x1=6,x2=﹣4,又∵点P位于第三象限,∴x=6舍去,当x=﹣4时,y=﹣x2+x+4=﹣8,∴P点坐标为(﹣4,﹣8),设直线PB的解析式为y=kx+b1,将P(﹣4,﹣8),B(4,0)代入,可得,解得:,∴直线PB的解析式为y=x﹣4,在y=x﹣4中,当x=0时,y=﹣4,∴直线PB与y轴交于点(0,﹣4),如图,过点P作PM⊥y轴,连接PB交y轴于点N,连接AP,∴△ABP的面积=AN•(PM+OB)=×8×8=32.22.解:(1)∵(2+a,m),(2﹣a,m)是抛物线上的两点,∴对称轴为直线x==2,∴=2,∴b=﹣4;(2)如图,∵(2+a,m),(a,n)是抛物线上两点,∴当a=1,2+a=3时,m=n,由图可知,①当0<a≤1时,m≤n;②当1<a<2时,m>n;(3)如图,①当0<a≤2时,在x=2时y取最小值,此时y最小值=a﹣5,令a﹣5=3,则a=8(不合题意,舍),②当a>2时,在x=a时y取最小值,此时y=x2+4x+a﹣1=a2﹣4a+a﹣1=a2﹣3a﹣1,令a2﹣3a﹣1=3,解得:a=4或a=﹣1(舍去),综上所述:a=4.23.(1)∵y=﹣x2+bx+c,∴对称轴为直线,∴,∵A点横坐标为﹣1,∴B(b+1,0).(2)对称轴直线x=与x轴交点为(,0),把A(﹣1,0)代入y=﹣x2+bx+c,得:﹣1﹣b+c=0,即c=b+1,∵平移线段CB,使C与D重合点,∴B平移后得点,∵点B在抛物线上,∴,解得,∵b>0,∴.。
1.1 二次函数 浙教版数学九年级上册同步综合训练(解析版)

1.1 二次函数—同步综合训练—一、选择题1、若抛物线y=2+(m﹣5)的顶点在x轴下方,则m的值为( )A.m=5B.m=﹣1C.m=5或m=﹣1D.m=﹣52、下列关于x的函数一定为二次函数的是( )A.y=2x+1B.y=ax2+bx+c C.y=﹣5x2﹣3D.y=x3+x+13、下列函数中,是二次函数的是( )A.B.C.y=x2+2x﹣1D.y=x﹣24、若函数y=mx+4是二次函数,则m的值为( )A.0或﹣1B.0或1C.﹣1D.15、当函数y=(a﹣1)x2+bx+c是二次函数时,a的取值为( )A.a=1B.a=﹣1C.a≠﹣1D.a≠16、下列函数解析式中,一定为二次函数的是( )A.y=3x﹣1B.y=ax2+bx+c C.s=2t2﹣2t+1D.y=x2+7、下列函数是二次函数的是( )A.y=2x+1B.y=﹣2x+1C.y=x2+2D.y=x﹣28、下列函数关系中,是二次函数的是( )A.在弹性限度内,弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系B.当距离一定时,火车行驶的时间t与速度v之间的关系C.等边三角形的周长C与边长a之间的关系D.圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系9、二次函数y=x2+2x﹣7的函数值是8,那么对应的x的值是( )A.3B.5C.﹣3和5D.3和﹣510、下列函数关系中,可以看作二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)模型的是( )A.在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B.我国人口年自然增长率1%,这样我国人口总数随年份的关系C.竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)D.圆的周长与圆的半径之间的关系二、填空题11、二次函数y=2x2﹣3x﹣1的二次项系数与常数项的和是 .12、若函数y=(m+2)是关于x的二次函数,则满足条件的m的值为 .13、关于x的函数y=(m+1)x是二次函数,则m的值 .14、若y=(m﹣2)+mx+1是关于x的二次函数,则m= .15、二次函数y=x2+4x﹣3中,当x=﹣1时,y的值是 .16、若函数y=(m2+m)是二次函数,则m= .17、已知方程ax2+bx+cy=0(a≠0、b、c为常数),请你通过变形把它写成你所熟悉的一个函数表达式的形式.则函数表达式为 ,成立的条件是 ,是 函数.18、已知y是以x为自变量的二次函数,且当x=0时,y的最小值为﹣1,写出一个满足上述条件的二次函数表达式 .19、下列函数①y=5x﹣5;②y=3x2﹣1;③y=4x3﹣3x2;④y=2x2﹣2x+1;⑤.其中是二次函数的是 .20、若y=(a+3)x|a|﹣1﹣3x+2是二次函数,则a的值为 .三、解答题21、一个二次函数y=(k﹣1)+2x﹣1.(1)求k值.(2)求当x=0.5时y的值?22、当系数a,b,c满足什么条件时,函数y=ax2+bx+c是二次函数?是一次函数?是正比例函数?23、已知y=(m﹣4)+2x2﹣3x﹣1是关于x的函数(1)当m为何值时,它是y关于x的一次函数;(2)当m为何值时,它是y关于x的二次函数.24、已知函数y=(m2﹣m)x2+mx﹣2(m为常数),根据下列条件求m的值:(1)y是x的一次函数;(2)y是x的二次函数.25、已知函数y=﹣(m+2)x m2﹣2(m为常数),求当m为何值时:(1)y是x的一次函数?(2)y是x的二次函数?并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标.26、若y=(a2+a)x是二次函数,求a的值.27、若y=(m﹣1)x+3.(1)m取什么值时,此函数是二次函数?(2)m取什么值时,此函数是一次函数?28、函数是关于x的二次函数,求m的值.29、已知函数.(1)当m为何值时,此函数是正比例函数?(2)当m为何值时,此函数是二次函数?30、若函数y=(m+1)是关于x的二次函数,求m的值.1.1 二次函数— 同步综合训练—>>>精品解析<<<一、选择题1、若抛物线y=2+(m﹣5)的顶点在x轴下方,则m的值为( )A.m=5B.m=﹣1C.m=5或m=﹣1D.m=﹣5[思路分析]根据二次函数的定义可知m2﹣4m﹣3=2,解方程得m=5或﹣1,再由顶点在x轴下方,选择m的取值.[答案详解]解:∵y=2+(m﹣5)的图象是抛物线,∴m2﹣4m﹣3=2,解得:m=5或﹣1,又∵抛物线的顶点坐标是(0,m﹣5),顶点在x轴下方,∴m﹣5<0,即m<5,∴m=﹣1.故选:B.[经验总结]本题考查了二次函数的定义,以及用顶点式一般形式表示的二次函数,顶点坐标的表示.2、下列关于x的函数一定为二次函数的是( )A.y=2x+1B.y=ax2+bx+c C.y=﹣5x2﹣3D.y=x3+x+1[思路分析]根据二次函数的定义逐个判断即可.[答案详解]解:A.是一次函数,不是二次函数,故本选项不符合题意;B.当a=0时,y=ax2+bx+c不是二次函数,故本选项不符合题意;C.是二次函数,故本选项符合题意;D.是三次函数,不是二次函数,故本选项不符合题意;故选:C.[经验总结]本题考查了二次函数的定义,能熟记二次函数的定义是解此题的关键,注意:形如y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的函数,叫二次函数.3、下列函数中,是二次函数的是( )A.B.C.y=x2+2x﹣1D.y=x﹣2[思路分析]根据二次函数的定义:形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中x、y是变量,a、b、c是常量,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.y═ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)也叫做二次函数的一般形式,从而判断即可.[答案详解]解:A.y=,不是二次函数,故A不符合题意;B.y=,不是二次函数,故B不符合题意;C.y=x2+2x﹣1,是二次函数,故C符合题意;D.y=x﹣2,不是二次函数,故B不符合题意;故选:C.[经验总结]本题考查了二次函数的定义,熟练掌握二次函数的定义是解题的关键.4、若函数y=mx+4是二次函数,则m的值为( )A.0或﹣1B.0或1C.﹣1D.1[思路分析]利用二次函数定义可得m2+m+2=2,且m≠0,再解即可.[答案详解]解:由题意得:m2+m+2=2,且m≠0,解得:m=﹣1,故选:C.[经验总结]此题主要考查了二次函数定义,关键是掌握形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.5、当函数y=(a﹣1)x2+bx+c是二次函数时,a的取值为( )A.a=1B.a=﹣1C.a≠﹣1D.a≠1[思路分析]根据二次函数定义可得a﹣1≠0,再解即可.[答案详解]解:由题意得:a﹣1≠0,解得:a≠1,故选:D.[经验总结]此题主要考查了二次函数定义,关键是掌握形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.6、下列函数解析式中,一定为二次函数的是( )A.y=3x﹣1B.y=ax2+bx+c C.s=2t2﹣2t+1D.y=x2+[思路分析]根据二次函数的定义,可得答案.[答案详解]解:A、y=3x﹣1是一次函数,故A不符合题意;B、y=ax2+bx+c(a≠0)是二次函数,故B不符合题意;C、s=2t2﹣2t+1是二次函数,故C符合题意;D、y=x2+不是二次函数,故D不符合题意.故选:C.[经验总结]本题考查了二次函数的定义,y=ax2+bx+c(a≠0)是二次函数,注意二次函数都是整式.7、下列函数是二次函数的是( )A.y=2x+1B.y=﹣2x+1C.y=x2+2D.y=x﹣2[思路分析]直接根据二次函数的定义判定即可.[答案详解]解:A、y=2x+1,是一次函数,故此选项错误;B、y=﹣2x+1,是一次函数,故此选项错误;C、y=x2+2是二次函数,故此选项正确;D、y=x﹣2,是一次函数,故此选项错误.故选:C.[经验总结]此题主要考查了二次函数的定义,根据定义直接判断是解题关键.8、下列函数关系中,是二次函数的是( )A.在弹性限度内,弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系B.当距离一定时,火车行驶的时间t与速度v之间的关系C.等边三角形的周长C与边长a之间的关系D.圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系[思路分析]根据各选项的意思,列出个选项的函数表达式,再根据二次函数定义的条件判定则可.[答案详解]解:A、y=mx+b,当m≠0时(m是常数),是一次函数,错误;B、t=,当s≠0时,是反比例函数,错误;C、C=3a,是正比例函数,错误;D、S=πR2,是二次函数,正确.故选:D.[经验总结]本题考查二次函数的定义.9、二次函数y=x2+2x﹣7的函数值是8,那么对应的x的值是( )A.3B.5C.﹣3和5D.3和﹣5[思路分析]根据题意,把函数的值代入函数表达式,然后解方程即可.[答案详解]解:根据题意,得x2+2x﹣7=8,即x2+2x﹣15=0,解得x=3或﹣5,故选:D.[经验总结]本题考查给出二次函数的值去求函数的自变量,转化为求一元二次方程的解.10、下列函数关系中,可以看作二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)模型的是( )A.在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B.我国人口年自然增长率1%,这样我国人口总数随年份的关系C.竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)D.圆的周长与圆的半径之间的关系[思路分析]根据实际问题中的数量关系及二次函数的模型,逐一判断.[答案详解]解:A、距离一定,汽车行驶的速度与行驶的时间的积是常数,即距离,速度与时间成反比例关系;B、设原来的人口是a,x年后的人口数是y,则y=a(1+1%)x,不是二次函数关系;C、竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)是二次函数.D、设半径是r,则周长c=2πr,是一次函数关系.故选:C.[经验总结]本题考查二次函数的定义.二、填空题11、二次函数y=2x2﹣3x﹣1的二次项系数与常数项的和是 .[思路分析]根据二次函数的定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中x、y是变量,a、b、c是常量,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项,可得二次项系数是2,常数项是﹣1,再求和即可.[答案详解]解:二次函数y=2x2﹣3x﹣1的二次项系数是2,常数项是﹣1,﹣1+2=1,故答案为:1.[经验总结]此题主要考查了二次函数的定义,关键是注意再找二次项系数,一次项系数和常数项时,不要漏掉符号.12、若函数y=(m+2)是关于x的二次函数,则满足条件的m的值为 .[思路分析]根据二次函数的定义得出m+2≠0且m2+m=2,求出m即可.[答案详解]解:∵函数y=(m+2)是关于x的二次函数,∴m+2≠0且m2+m=2,解得:m≠﹣2且m=﹣2,m=1,∴m=1,故答案为:1.[经验总结]本题考查了对二次函数的定义的理解和运用,注意:若y=ax m+bx+c(abc 都是常数)是二次函数,那么a≠0且m=2.13、关于x的函数y=(m+1)x是二次函数,则m的值 .[思路分析]根据二次函数的定义求出m的值即可解决问题.[答案详解]解:∵y=(m+1)x是关于x的二次函数,∴m2﹣m=2,m+1≠0,解得:m=2.故答案为:2.[经验总结]该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题;牢固掌握定义及其性质是解题的关键.14、若y=(m﹣2)+mx+1是关于x的二次函数,则m= .[思路分析]根据二次函数的定义条件列出方程与不等式求解即可.[答案详解]解:根据二次函数的定义,得:m2﹣2=2,解得m=2或m=﹣2,又∵m﹣2≠0,∴m≠2,∴当m=﹣2时,这个函数是二次函数.[经验总结]本题考查二次函数的定义.15、二次函数y=x2+4x﹣3中,当x=﹣1时,y的值是 .[思路分析]根据自变量与函数值的关系,可得答案.[答案详解]解:当x=﹣1时,y=1﹣4﹣3=﹣6,故答案为:﹣6.[经验总结]本题考查了二次函数,利用自变量与函数值对应关系是解题关键.16、若函数y=(m2+m)是二次函数,则m= .[思路分析]根据二次函数的定义,要求自变量的指数等于2,系数不为0.[答案详解]解:∵函数y=(m2+m)是二次函数,∴m2﹣1=2,解得m=±;且m2+m≠0,即m≠0或m≠﹣1.∴m=±.[经验总结]此题考查二次函数的定义.17、已知方程ax2+bx+cy=0(a≠0、b、c为常数),请你通过变形把它写成你所熟悉的一个函数表达式的形式.则函数表达式为 ,成立的条件是 ,是 函数.[思路分析]函数通常情况下是用x表示y.注意分母不为0,二次项的系数不为0.[答案详解]解:整理得函数表达式为y=﹣x2﹣x,成立的条件是a≠0,c≠0,是二次函数.故答案为:y=﹣x2﹣x;a≠0,c≠0;二次.[经验总结]本题考查常用的用一个字母表示出另一字母的函数,注意自变量的取值,及二次项系数的取值.18、已知y是以x为自变量的二次函数,且当x=0时,y的最小值为﹣1,写出一个满足上述条件的二次函数表达式 .[思路分析]直接利用二次函数的性质得出其顶点坐标,进而得出答案.[答案详解]解:∵y是以x为自变量的二次函数,且当x=0时,y的最小值为﹣1,∴二次函数对称轴是y轴,且顶点坐标为:(0,﹣1),故满足上述条件的二次函数表达式可以为:y=x2﹣1.故答案为:y=x2﹣1.[经验总结]此题主要考查了二次函数的性质,正确得出其顶点坐标是解题关键.19、下列函数①y=5x﹣5;②y=3x2﹣1;③y=4x3﹣3x2;④y=2x2﹣2x+1;⑤.其中是二次函数的是 .[思路分析]根据二次函数的定义,函数式为整式且自变量的最高次数为2,二次项系数不为0,逐一判断.[答案详解]解:①y=5x﹣5为一次函数;②y=3x2﹣1为二次函数;③y=4x3﹣3x2自变量次数为3,不是二次函数;④y=2x2﹣2x+1为二次函数;⑤函数式为分式,不是二次函数.故答案为:②④.[经验总结]本题考查了二次函数的定义.关键是明确二次函数解析式为整式,自变量的最高次数为2,二次项系数不为0.20、若y=(a+3)x|a|﹣1﹣3x+2是二次函数,则a的值为 .[思路分析]根据二次函数的定义,令|a|﹣1=2且a+3≠0即可解答.[答案详解]解:当|a|﹣1=2且a+3≠0时,为二次函数,∴a=﹣3(舍去),a=3.故答案为3.[经验总结]本题考查了二次函数的定义,令最高次项为2,最高次项系数不为0即可.三、解答题21、一个二次函数y=(k﹣1)+2x﹣1.(1)求k值.(2)求当x=0.5时y的值?[思路分析](1)根据二次函数的定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数可得k2﹣3k+4=2,且k﹣1≠0,再解即可;(2)根据(1)中k的值,可得函数解析式,再利用代入法把x=0.5代入可得y的值.[答案详解]解:(1)由题意得:k2﹣3k+4=2,且k﹣1≠0,解得:k=2;(2)把k=2代入y=(k﹣1)+2x﹣1得:y=x2+2x﹣1,当x=0.5时,y=.[经验总结]此题主要考查了二次函数以及求函数值,关键是掌握判断函数是否是二次函数,要抓住二次项系数不为0和自变量指数为2这个关键条件.22、当系数a,b,c满足什么条件时,函数y=ax2+bx+c是二次函数?是一次函数?是正比例函数?[思路分析]根据二次函数和一次函数、正比例函数定义进行解答即可.[答案详解]解:函数y=ax2+bx+c中a≠0,b和c为任意常数时是二次函数,a=0,b≠0,c为任意常数时是一次函数;a=0,b≠0,c=0时是正比例函数.[经验总结]此题主要考查了二次函数和一次函数、正比例函数,关键是掌握三种函数定义.23、已知y=(m﹣4)+2x2﹣3x﹣1是关于x的函数(1)当m为何值时,它是y关于x的一次函数;(2)当m为何值时,它是y关于x的二次函数.[思路分析](1)根据形如y=kx+b(k≠0)是一次函数,可得答案;(2)根据形如y=ax2+bx+c(a≠0)是二次函数,可得答案.[答案详解]解:(1)由y=(m﹣4)+2x2﹣3x﹣1是关于x的一次函数,得解得m=2,当m=2时,它是y关于x的一次函数(2)由y=(m﹣4)+2x2﹣3x﹣1是关于x的二次函数,得①m﹣4=0,解得m=4;②m2﹣m=1,解得m=;③解得m=﹣1,④m2﹣m=0,解得m=0或m=1,综上所述,当m=0或m=1或m=4或或﹣1时,它是y关于x的二次函数.[经验总结]本题考查了二次函数的定义,一次函数的一次项系数不等于零二次项系数等于零是解题关键,注意二次函数的二次项系数不等于零.24、已知函数y=(m2﹣m)x2+mx﹣2(m为常数),根据下列条件求m的值:(1)y是x的一次函数;(2)y是x的二次函数.[思路分析]根据一次函数和二次函数的定义可以解答.[答案详解]解:(1)y是x的一次函数,则可以知道,m2﹣m=0,解之得:m=1,或m=0,又因为m≠0,所以,m=1.(2)y是x的二次函数,只须m2﹣m≠0,∴m≠1和m≠0.[经验总结]本题考查了一次函数与二次函数的定义,熟记概念是解答本题的关键.25、已知函数y=﹣(m+2)x m2﹣2(m为常数),求当m为何值时:(1)y是x的一次函数?(2)y是x的二次函数?并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标.[思路分析](1)根据形如y=kx(k≠0,k是常数)是一次函数,可得一次函数;(2)根据形如y=ax2(a是常数,且a≠0)是二次函数,可得答案,根据函数值,可得自变量的值,可得符合条件的点.[答案详解]解:(1)由y=﹣(m+2)x m2﹣2(m为常数),y是x的一次函数,得,解得m=,当m=时,y是x的一次函数;(2)y=﹣(m+2)x m2﹣2(m为常数),是二次函数,得,解得m=2,m=﹣2(不符合题意的要舍去),当m=2时,y是x的二次函数,当y=﹣8时,﹣8=﹣4x2,解得x=,故纵坐标为﹣8的点的坐标的坐标是(,﹣8).[经验总结]本题考查了二次函数的定义,利用了二次函数的定义,一次函数的定义,注意二次项的系数不能为零.26、若y=(a2+a)x是二次函数,求a的值.[思路分析]根据二次函数的定义列出方程求解则可.[答案详解]解:根据题意得:a2﹣a=2且a2+a≠0解得a=2.[经验总结]此题考查的是二次函数的定义,根据题意列出方程和不等式是解决此题关键.27、若y=(m﹣1)x+3.(1)m取什么值时,此函数是二次函数?(2)m取什么值时,此函数是一次函数?[思路分析](1)形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数叫做二次函数,根据二次函数的定义即可判断;(2)形如y=kx+b(k≠0)的函数叫做二次函数,根据一次函数的定义即可判断.[答案详解]解:(1)当y=(m﹣1)x+3是二次函数时,有,解得m=﹣3,∴当m=﹣3时,此函数是二次函数;(2)当y=(m﹣1)x+3是一次函数时,有,解得m=﹣1+或m=﹣1﹣,∴当m=﹣1+或m=﹣1﹣时,此函数是一次函数.[经验总结]本题主要考查二次函数和一次函数的定义,关键是要牢记二次函数和一次函数的定义.28、函数是关于x的二次函数,求m的值.[思路分析]利用二次函数定义进行解答即可.[答案详解]解:由题意可知解得:m=2.[经验总结]此题主要考查了二次函数定义,关键是掌握二次函数定义,要抓住二次项系数不为0这个关键条件.29、已知函数.(1)当m为何值时,此函数是正比例函数?(2)当m为何值时,此函数是二次函数?[思路分析](1)利用正比例函数的定义进而得出m的值;(2)利用二次函数的定义进而得出m的值.[答案详解]解:(1)因为函数y=(m+3)是正比例函数,所以m2﹣7=1且m+3≠0,解得:m1=﹣2(舍去),m2=2,所以当m=2时,此函数是正比例函数;(2)因为函数y=(m+3)是二次函数,所以m2﹣7=2且m+3≠0,解得:m=3,所以当m=3时,此函数是二次函数.[经验总结]此题主要考查了正比例函数和二次函数的定义,正确把握正比例函数和二次函数的定义是解题关键.正比例函数的定义:一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.二次函数的定义:一般地,形如y=ax2+bx+c (a、b、c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.30、若函数y=(m+1)是关于x的二次函数,求m的值.[思路分析]根据二次函数定义可得m2+1=2且m+1≠0,求解即可.[答案详解]解:∵函数y=(m+1)是关于x的二次函数,∴m2+1=2,m+1≠0,解得m=1,∴m的值为1.[经验总结]此题主要考查了二次函数定义,关键是掌握形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.。
浙教版九年级上册:第一章 二次函数 单元测试(含答案)

第1章综合测评卷一、选择题(每题3分,共30分)1.下列各式中,y 是x 的二次函数的是(C ).A.x 2+2y 2=2B.x=y 2C.3x 2-2y=1D.21x +2y-3=02.对于二次函数y=(x-1)2+3的图象,下列说法正确的是(C ).A.开口向下B.对称轴是直线x=-1C.顶点坐标是(1,3)D.与x 轴有两个交点(第3题)3.如图所示,一边靠墙(墙有足够长),其他三边用12m 长的篱笆围成一个矩形(ABCD)花园,这个矩形花园的最大面积是(C ).A.16m 2 B.12m 2 C.18m 2D.以上都不对4.如果抛物线y=mx 2+(m-3)x-m+2经过原点,那么m 的值等于(C ).A.0B.1C.2D.35.如图所示,直线x=1是抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴,那么有(D ).A.abc >0B.b <a+cC.a+b+c <0D.c <2b(第5题)(第6题)(第7题)(第8题)6.已知二次函数的图象(0≤x ≤3)如图所示.关于该函数在所给自变量的取值范围内,下列说法中正确的是(C ).A.有最小值0,有最大值3B.有最小值-1,有最大值0C.有最小值-1,有最大值3D.有最小值-1,无最大值7.如图所示,抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为点P(-2,2),与y 轴交于点A(0,3).若平移该抛物线使其顶点P 由(-2,2)移动到(1,-1),此时抛物线与y 轴交于点A ′,则AA ′的长度为(A ).A.343 B.241 C.32D.38.如图所示,某建筑物有一抛物线形的大门,小强想知道这道门的高度,他先测出门的宽度AB=8m ,然后用一根长4m 的小竹竿CD 竖直地接触地面和门的内壁,测得AC=1m ,则门高OE 为(B ).A.9mB.764m C.8.7m D.9.3m9.已知二次函数y=x 2+bx+c 与x 轴只有一个交点,且图象过A(x 1,m),B(x 1+n ,m)两点,则m ,n 满足的关系为(D ).A.m=21n B.m=41n C.m=21n 2D.m=41n 210.已知二次函数y=-(x-1)2+5,当m ≤x ≤n 且mn <0时,y 的最小值为2m ,最大值为2n ,则m+n 的值为(D ).A.25 B.2 C.23 D.21(第10题答图)【解析】二次函数y=-(x-1)2+5的大致图象如答图所示:①当m ≤0≤x ≤n <1时,当x=m 时y 取最小值,即2m=-(m-1)2+5,解得m=-2或m=2(舍去).当x=n 时y 取最大值,即2n=-(n-1)2+5,解得n=2或n=-2(均不合题意,舍去).②当m ≤0≤x ≤1≤n 时,当x=m 时y 取最小值,由①知m=-2.当x=1时y 取最大值,即2n=-(1-1)2+5,解得n=25,或x=n 时y 取最小值,x=1时y 取最大值,2m=-(n-1)2+5,n=25,∴m=811.∵m <0,∴此种情形不合题意.∴m+n=-2+25=21.故选D.二、填空题(每题4分,共24分)11.如果某个二次函数的图象经过平移后能与y=3x 2的图象重合,那么这个二次函数的表达式可以是y=3(x+2)2+3(只要写出一个).12.如图所示,抛物线y=ax 2+bx+c(a >0)的对称轴是过点(1,0)且平行于y 轴的直线.若点P(5,0)在抛物线上,则9a-3b+c 的值为.(第12题)(第13题)(第14题)(第15题)13.如图所示,抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴相交于点A ,B(m+2,0),与y 轴相交于点C ,点D 在该抛物线上,坐标为(m ,c),则点A 的坐标是(-2,0).14.如图所示,将两个正方形并排组成矩形OABC ,OA 和OC 分别落在x 轴和y 轴的正半轴上.正方形EFMN 的边EF 落在线段CB 上,过点M ,N 的二次函数的图象也过矩形的顶点B ,C ,若三个正方形边长均为1,则此二次函数的表达式为y=-34x 2+38x+1.15.某种工艺品利润为60元/件,现降价销售,该种工艺品销售总利润w(元)与降价x(元)的函数关系如图所示.这种工艺品的销售量y (件)关于降价x (元)的函数表达式为y=60+x.16.已知抛物线y=a(x-1)(x+a2)的图象与x 轴交于点A ,B ,与y 轴交于点C ,若△ABC 为等腰三角形,则a 的值是2或34或251 .三、解答题(共66分)17.(6分)已知抛物线的顶点坐标是(2,-3),且经过点(1,-25).(1)求这个抛物线的函数表达式,并作出这个函数的大致图象.(2)当x 在什么范围内时,y 随x 的增大而增大?当x 在什么范围内时,y 随x 的增大而减小?【答案】(1)设抛物线的函数表达式为y=a (x-2)2-3,把(1,-25)代入,得-25=a-3,即a=21.∴抛物线的函数表达式为y=21x 2-2x-1.图略.(2)∵抛物线对称轴为直线x=2,且a>0,∴当x ≥2时,y 随x 的增大而增大;当x ≤2时,y 随x 的增大而减小.18.(8分)今有网球从斜坡点O 处抛出,网球的运动轨迹是抛物线y=4x-21x 2的图象的一段,斜坡的截线OA 是一次函数y=21x 的图象的一段,建立如图所示的平面直角坐标系.(第18题)(1)求网球抛出的最高点的坐标.(2)求网球在斜坡上的落点A 的竖直高度.【答案】(1)∵y=4x-21x 2=-21(x-4)2+8,∴网球抛出的最高点的坐标为(4,8).(2)由题意得4x-21x 2=21x,解得x=0或x=7.当x=7时,y=21×7=27.∴网球在斜坡的落点A的垂直高度为27.19.(8分)若直线y=x+3与二次函数y=-x 2+2x+3的图象交于A ,B 两点,(1)求A ,B 两点的坐标.(2)求△OAB 的面积.(3)x 为何值时,一次函数的值大于二次函数的值?【答案】(1)由题意得⎩⎨⎧++-=+=3232x x y x y ,解得⎩⎨⎧==30y x 或⎩⎨⎧==41y x .∴A ,B 两点的坐标分别为(0,3),(1,4).(2)∵A ,B 两点的坐标是(0,3),(1,4),∴OA=3,OA 边上的高线长是1.∴S △OAB =21×3×1=23.(3)当x <0或x >1时,一次函数的值大于二次函数的值.20.(10分)随着地铁和共享单车的发展,“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择,李华从文化宫站出发,先乘坐地铁,准备在离家较近的A ,B ,C ,D ,E 中的某一站出地铁,再骑共享单车回家,设他出地铁的站点与文化宫的距离为x(km),乘坐地铁的时间y 1(min)是关于x 的一次函数,其关系如下表所示:地铁站A B C D E x(km)89111.513y 1(min)182222528(1)求y 1关于x 的函数表达式.(2)李华骑单车的时间也受x 的影响,其关系可以用y 2=21x 2-11x+78来描述,请问:李华应选择在那一站出地铁,才能使他从文化宫回到家所需的时间最短?并求出最短时间.【答案】(1)设y 1=kx+b ,将(8,18),(9,20)代入,得⎩⎨⎧=+=+209188b k b k ,解得⎩⎨⎧==22b k .∴y 1关于x 的函数表达式为y 1=2x+2.(2)设李华从文化宫回到家所需的时间为y.则y=y 1+y 2=2x+2+21x 2-11x+78=21x 2-9x+80.∴当x=9时,y 有最小值,y min =2149802142⨯-⨯⨯=39.5.∴李华应选择在B 站出地铁,才能使他从文化宫回到家所需的时间最短,最短时间为39.5min.21.(10分)已知二次函数y=ax 2+bx+21(a >0,b <0)的图象与x 轴只有一个公共点A.(1)当a=21时,求点A 的坐标.(2)过点A 的直线y=x+k 与二次函数的图象相交于另一点B ,当b ≥-1时,求点B 的横坐标m 的取值范围.【答案】(1)∵二次函数y=ax 2+bx+21(a >0,b <0)的图象与x 轴只有一个公共点A ,∴Δ=b 2-4a×21=b 2-2a=0.∵a=21,∴b 2=1.∵b <0,∴b=-1.∴二次函数的表达式为y=21x 2-x+21.当y=0时,21x 2-x+21=0,解得x 1=x 2=1,∴A(1,0).(2)∵b 2=2a ,∴a=21b 2,∴y=21b 2x 2+bx+21=21(bx+1)2.当y=0时,x=-b 1,∴A (-b 1,0).将点A (-b 1,0)代入y=x+k ,得k=b 1.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=b x y bx x b y 1212122消去y 得21b 2x 2+(b-1)x+21-b 1=0,解得x 1=-b 1,x2=22b b -.∵点A 的横坐标为-b 1,∴点B 的横坐标m=22b b -.∴m=22b b -=2(21b -b 21)=2(b 1-41)2-81.∵2>0,∴当b 1<41时,m 随b1的增大而减小.∵-1≤b <0,∴b 1≤-1.∴m ≥2×(-1-41)2-81=3,即m ≥3.22.(12分)设函数y=kx 2+(2k+1)x+1(k 为实数).(1)写出符合条件的两个函数,使它们的图象不全是抛物线,并在同一平面直角坐标系内,用描点法画出这两个函数的图象.(2)根据所画的函数图象,提出一个对任意实数k ,函数的图象都具有的特征的猜想,并给予证明.(3)对任意负实数k ,当x<m 时,y 随着x 的增大而增大,试求出m 的一个值.【答案】(1)如:y=x+1,y=x 2+3x+1,图略.(2)不论k 取何值,函数y=kx 2+(2k+1)x+1的图象必过定点(0,1),(-2,-1),且与x 轴至少有1个交点.证明如下:由y=kx 2+(2k+1)x+1,得k(x 2+2x)+(x -y+1)=0.当x 2+2x=0,x -y+1=0,即x=0,y=1,或x=-2,y=-1时,上式对任意实数k 都成立,∴函数的图象必过定点(0,1),(-2,-1).∵当k=0时,函数y=x+1的图象与x 轴有一个交点;当k ≠0时,Δ=(2k+1)2-4k=4k 2+1>0,函数图象与x 轴有两个交点,∴函数y=kx 2+(2k+1)x+1的图象与x 轴至少有1个交点.(3)只要写出的m ≤-1就可以.∵k<0,∴函数y=kx 2+(2k+1)x+1的图象在对称轴直线x=-k k 212+的左侧,y 随x 的增大而增大.由题意得m ≤-k k 212+.∵当k<0时,k k 212+=-1-k21>-1.∴m ≤-1.23.(12分)如图1所示,点P(m ,n)是抛物线y=41x 2-1上任意一点,l 是过点(0,-2)且与x 轴平行的直线,过点P 作直线PH ⊥l ,垂足为点H .【特例探究】(1)当m=0时,OP=1,PH=1;当m=4时,OP=5,PH=5.【猜想验证】(2)对任意m ,n ,猜想OP 与PH 的大小关系,并证明你的猜想.【拓展应用】(3)如图2所示,图1中的抛物线y=41x 2-1变成y=x 2-4x+3,直线l 变成y=m(m <-1).已知抛物线y=x 2-4x+3的顶点为点M ,交x 轴于A ,B 两点,且点B 坐标为(3,0),N 是对称轴上的一点,直线y=m(m <-1)与对称轴交于点C ,若对于抛物线上每一点都满足:该点到直线y=m 的距离等于该点到点N 的距离.①用含m 的代数式表示MC ,MN 及GN 的长,并写出相应的解答过程.②求m 的值及点N 的坐标.(第23题)【答案】(1)1,1,5,5.(2)猜想:OP=PH.证明:设PH 交x 轴于点Q ∵P 在y=41x 2-1上,∴P (m ,41m 2-1),PQ=∣41m 2-1∣,OQ=|m|.∵△OPQ 是直角三角形,∴OP=22OQ PQ +=222141m m +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22141⎪⎭⎫ ⎝⎛+m =14m 2+1.∵PH=yp-(-2)=(41m 2-1)-(-2)=41m 2+1,∴OP=PH.(3)①∵M (2,-1),∴CM=MN=-m-1.GN=CG-CM-MN=-m-2(-m-1)=2+m.②点B 的坐标是(3,0),BG=1,GN=2+m.由勾股定理得BN=22GN BG +=()2221m ++.∵对于抛物线上每一点都有:该点到直线y=m 的距离等于该点到点N 的距离,∴1+(2+m )2=(-m )2,解得m=-45.∵GN=2+m=2-45=43,∴N (2,-43).。
浙教版数学九年级上册《二次函数》综合提高卷

浙教版数学九年级上册《二次函数》综合提高卷一.选择题(共10小题,满分31分) 1.(2分)(2016•贵阳模拟)某种电缆在空中架设时,两端挂起的电缆下垂都近似抛物线y=x 2的形状.今在一个坡度为1:5的斜坡上,沿水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱(如图),这种情况下在竖直方向上,下垂的电缆与地面的最近距离为( )A . 12.75米B . 13.75米C . 14.75米D . 17.75米2.(3分)(2016•贵阳模拟)如图,Rt △AOB 中,AB ⊥OB ,且AB=OB=3,设直线x=t 截此三角形所得阴影部分的面积为S ,则S 与t 之间的函数关系的图象为下列选项中的( )A .B .C .D .3.(3分)(2015•安徽)如图,一次函数y 1=x 与二次函数y 2=ax 2+bx+c 图象相交于P 、Q 两点,则函数y=ax 2+(b ﹣1)x+c 的图象可能是( )A .B .C .D .4.(3分)(2014•龙岩)定义符号min{a ,b}的含义为:当a ≥b 时min{a ,b}=b ;当a <b 时min{a ,b}=a .如:min{1,﹣3}=﹣3,min{﹣4,﹣2}=﹣4.则min{﹣x 2+1,﹣x}的最大值是( ) A . B. C . 1 D . 05.(3分)(2015•潍坊模拟)若函数y=的自变量x 的取值范围是全体实数,则c的取值范围是( )A . c <1B . c =1C . c >1D . c ≤16.(3分)(2013•资阳)如图,抛物线y=ax 2+bx+c (a ≠0)过点(1,0)和点(0,﹣2),且顶点在第三象限,设P=a ﹣b+c ,则P 的取值范围是( )A . ﹣4<P <0B . ﹣4<P <﹣2C. ﹣2<P <0D . ﹣1<P <07.(3分)(2012•怀化校级模拟)二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,那么a+b+c 的取值范围是( )A . ﹣2<a+b+c <0B . 0<a+b+c <2C . ﹣4<a+b+c <0D . 0<a+b+c <48.(3分)(2003•武汉)已知:抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点(﹣1,0),且满足4a+2b+c >0,以下结论:①a+b>0;②a+c>0;③﹣a+b+c>0;④b2﹣2ac>5a2,其中正确的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个9.(3分)(2001•金华)用长8m的铝合金条制成如图形状的矩形窗框,使窗户的透光面积最大,那么这个窗户的最大透光面积是()A.m2B.m2C.m2D.4m210.(5分)(2013•泰安模拟)如图,抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点(点A在点B的左侧),动点P从A点出发,先到达抛物线的对称轴上的某点E,再到达x轴上的某点F,最后运动到点B.若使点P运动的总路径最短,则点P运动的总路径的长为()A.B.C.D.二.填空题(共6小题,满分25分)11.(4分)(2011•扬州)如图,已知函数y=与y=ax2+bx(a>0,b>0)的图象交于点P.点P的纵坐标为1.则关于x的方程ax2+bx+=0的解为.12.(4分)(2015•金堂县二模)如图,点A,B的坐标分别为(1,4)和(4,4),抛物线y=a(x﹣m)2+n的顶点在线段AB上运动,与x轴交于C、D两点(C在D的左侧),点C 的横坐标最小值为﹣3,则点D的横坐标最大值为.13.(4分)(2013•大连)如图,抛物线y=x2+bx+与y轴相交于点A,与过点A平行于x轴的直线相交于点B(点B在第一象限).抛物线的顶点C在直线OB上,对称轴与x轴相交于点D.平移抛物线,使其经过点A、D,则平移后的抛物线的解析式为.14.(4分)(2013•荆门)若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点,且过点A(m,n),B (m+6,n),则n=.15.(4分)(2013•长春模拟)如图,抛物线y=ax2+bx+c(与x轴的一个交点A在点(﹣2,0)和(﹣1,0)之间(包括这两点),顶点C是矩形DEFG上(包括边界和内部)的一个动点,则a的取值范围是.16.(5分)(2013•庐江县校级模拟)已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图,则下列结论:①abc>0;②a+b+c=2;③a>;④b<1.其中正确的结论是.三.解答题(共5小题,满分44分)17.(8分)(2012•新密市自主招生)已知,在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2,以O 为原点,OA所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,点B在第一象限内,将Rt△OAB沿OB折叠后,点A落在第一象限内的点C处.(1)求点C的坐标和过O、C、A三点的抛物线的解析式;(2)P是此抛物线的对称轴上一动点,当以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形时,请直接写出点P的坐标;(3)M(x,y)是此抛物线上一个动点,当△MOB的面积等于△OAB面积时,求M的坐标.18.(8分)(2015•枣庄)如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A(,)和B(4,m),点P是线段AB上异于A、B的动点,过点P作PC⊥x轴于点D,交抛物线于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)是否存在这样的P点,使线段PC的长有最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由;(3)求△PAC为直角三角形时点P的坐标.19.(8分)(2015•湖州模拟)如图①,Rt△ABC中,∠B=90°∠CAB=30°,AC⊥x轴.它的顶点A的坐标为(10,0),顶点B的坐标为,点P从点A出发,沿A→B→C 的方向匀速运动,同时点Q从点D(0,2)出发,沿y轴正方向以相同速度运动,当点P 到达点C时,两点同时停止运动,设运动的时间为t秒.(1)求∠BAO的度数.(直接写出结果)(2)当点P在AB上运动时,△OPQ的面积S与时间t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分(如图②),求点P的运动速度.(3)求题(2)中面积S与时间t之间的函数关系式,及面积S取最大值时,点P的坐标.(4)如果点P,Q保持题(2)中的速度不变,当t取何值时,PO=PQ,请说明理由.20.(8分)(2015•温州模拟)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(0,4),B(4,0),C(﹣1,0)三点.过点A作垂直于y轴的直线l.在抛物线上有一动点P,过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q.连接AP.(1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式;(2)是否存在点P,使得以A、P、Q三点构成的三角形与△AOC相似?如果存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)当点P位于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴的右侧.若将△APQ沿AP对折,点Q的对应点为点M.求当点M落在坐标轴上时直线AP的解析式.21.(12分)(2015•深圳模拟)已知正方形OABC中,O为坐标原点,点A在y轴的正半轴上,点C在x轴的正半轴上,点B(4,4).二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点A、B.点P(t,0)是x轴上一动点,连接AP.(1)求此二次函数的解析式;(2)如图①,过点P作AP的垂线与线段BC交于点G,当点P在线段OC(点P不与点C、O重合)上运动至何处时,线段GC的长有最大值,求出这个最大值;(3)如图②,过点O作AP的垂线与直线BC交于点D,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象上是否存在点Q,使得以P、C、Q、D为顶点的四边形是以PC为边的平行四边形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.浙教版数学九年级上册《二次函数》综合提高卷参考答案与试题解析一.选择题(共10小题,满分31分)1.(2分)(2016•贵阳模拟)某种电缆在空中架设时,两端挂起的电缆下垂都近似抛物线y=x2的形状.今在一个坡度为1:5的斜坡上,沿水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱(如图),这种情况下在竖直方向上,下垂的电缆与地面的最近距离为()A.12.75米B.13.75米C.14.75米D.17.75米考点:二次函数的应用.专题:代数几何综合题;压轴题.分析:以点D为原点,DC方向为x轴建立直角坐标系,设抛物线的解析式为y=x2+bx+c,把A(0,20),B(50,30)代入,可求出抛物线的解析式,根据坡度1:5,可求得斜坡所在直线的解析式,即可表示MG的长,即可求出下垂的电缆与地面的最近距离;解答:解:如图,以点D为原点,DC方向为x轴建立直角坐标系,设抛物线的解析式为y=x2+bx+c,易知:A(0,20),B(50,30),代入解析式可求得:b=﹣,c=20,∴抛物线的解析式为y=x2﹣x+20,∵斜坡的坡度为1:5,∴斜坡所在直线的解析式为:y=x,设一条与x轴垂直的直线x=m与抛物线交于M,与斜坡交于G,则MG=m2﹣m+20﹣m=(m﹣25)2+13.75,∴当m=25时,MG的最小值为13.75,即下垂的电缆与地面的最近距离为13.75m;故选B.点评:本题主要考查了二次函数在实际生活中的应用.2.(3分)(2016•贵阳模拟)如图,Rt△AOB中,AB⊥OB,且AB=OB=3,设直线x=t截此三角形所得阴影部分的面积为S,则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的()A.B.C.D.考点:二次函数的图象.分析:Rt△AOB中,AB⊥OB,且AB=OB=3,所以很容易求得∠AOB=∠A=45°;再由平行线的性质得出∠OCD=∠A,即∠AOD=∠OCD=45°,进而证明OD=CD=t;最后根据三角形的面积公式,解答出S与t之间的函数关系式,由函数解析式来选择图象.解答:解:∵Rt△AOB中,AB⊥OB,且AB=OB=3,∴∠AOB=∠A=45°,∵CD⊥OB,∴CD∥AB,∴∠OCD=∠A,∴∠AOD=∠OCD=45°,∴OD=CD=t,∴S△OCD=×OD×CD=t2(0≤t≤3),即S=t2(0≤t≤3).故S与t之间的函数关系的图象应为定义域为[0,3]、开口向上的二次函数图象;故选D.点评:本题主要考查的是二次函数解析式的求法及二次函数的图象特征.3.(3分)(2015•安徽)如图,一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点,则函数y=ax2+(b﹣1)x+c的图象可能是()A.B.C.D.考点:二次函数的图象;正比例函数的图象.分析:由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点,得出方程ax2+(b﹣1)x+c=0有两个不相等的根,进而得出函数y=ax2+(b﹣1)x+c与x轴有两个交点,根据方程根与系数的关系得出函数y=ax2+(b﹣1)x+c的对称轴x=﹣>0,即可进行判断.解答:解:∵一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点,∴方程ax2+(b﹣1)x+c=0有两个不相等的根,∴函数y=ax2+(b﹣1)x+c与x轴有两个交点,∵﹣>0,a>0∴﹣=﹣+>0∴函数y=ax2+(b﹣1)x+c的对称轴x=﹣>0,∵a>0,开口向上,∴A符合条件,故选A.点评:本题考查了二次函数的图象,直线和抛物线的交点,交点坐标和方程的关系以及方程和二次函数的关系等,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.4.(3分)(2014•龙岩)定义符号min{a,b}的含义为:当a≥b时min{a,b}=b;当a<b时min{a,b}=a.如:min{1,﹣3}=﹣3,min{﹣4,﹣2}=﹣4.则min{﹣x2+1,﹣x}的最大值是()A.B.C.1D.0考点:二次函数的最值;正比例函数的性质.专题:新定义.分析:画出函数图象草图,利用函数图象的性质可得结论.解答:解:在同一坐标系xOy中,画出函数二次函数y=﹣x2+1与正比例函数y=﹣x的图象,如图所示.设它们交于点A、B.令﹣x2+1=﹣x,即x2﹣x﹣1=0,解得:x=或,∴A(,),B(,).观察图象可知:①当x≤时,min{﹣x2+1,﹣x}=﹣x2+1,函数值随x的增大而增大,其最大值为;②当<x<时,min{﹣x2+1,﹣x}=﹣x,函数值随x的增大而减小,其最大值为;③当x≥时,min{﹣x2+1,﹣x}=﹣x2+1,函数值随x的增大而减小,最大值为.综上所示,min{﹣x2+1,﹣x}的最大值是.故选:A.点评:本题考查了二次函数与正比例函数的图象与性质,充分理解定义min{a,b}和掌握函数的性质是解题的关键.5.(3分)(2015•潍坊模拟)若函数y=的自变量x的取值范围是全体实数,则c的取值范围是()A.c<1 B.c=1 C.c>1 D.c≤1考点:二次函数的性质;分式有意义的条件;函数自变量的取值范围.专题:计算题;压轴题.分析:先根据分式的意义,分母不等于0,得出x2﹣2x+c≠0,再根据二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象性质,可知当二次项系数a>0,△<0时,有y>0,此时自变量x的取值范围是全体实数.解答:解:由题意,得△=(﹣2)2﹣4c<0,解得c>1.故选C.点评:本题考查了函数自变量取值范围的求法.要使得本题函数式子有意义,必须满足分母不等于0.难点在于分母是关于自变量x的二次函数,要使自变量x的取值范围是全体实数,必须满足△<0.6.(3分)(2013•资阳)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点(1,0)和点(0,﹣2),且顶点在第三象限,设P=a﹣b+c,则P的取值范围是()A.﹣4<P<0 B.﹣4<P<﹣2 C.﹣2<P<0 D.﹣1<P<0考点:二次函数图象与系数的关系.专题:压轴题.分析:求出a>0,b>0,把x=1代入求出a=2﹣b,b=2﹣a,把x=﹣1代入得出y=a﹣b+c=2a﹣4,求出2a﹣4的范围即可.解答:解:∵二次函数的图象开口向上,∴a>0,∵对称轴在y轴的左边,∴﹣<0,∴b>0,∵图象与y轴的交点坐标是(0,﹣2),过(1,0)点,代入得:a+b﹣2=0,∴a=2﹣b,b=2﹣a,∴y=ax2+(2﹣a)x﹣2,当x=﹣1时,y=a﹣b+c=a﹣(2﹣a)﹣2=2a﹣4,∵b>0,∴b=2﹣a>0,∴a<2,∵a>0,∴0<a<2,∴0<2a<4,∴﹣4<2a﹣4<0,即﹣4<P<0.故选:A.点评:本题考查了二次函数的图象与系数的关系:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线,当a>0,抛物线开口向上;对称轴为直线x=﹣;抛物线与y轴的交点坐标为(0,c).7.(3分)(2012•怀化校级模拟)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么a+b+c的取值范围是()A.﹣2<a+b+c<0 B.0<a+b+c<2 C.﹣4<a+b+c<0 D.0<a+b+c<4考点:二次函数图象与系数的关系.专题:压轴题.分析:由抛物线的开口方向判断a的符号,由抛物线与y轴的交点判断c的符号,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.解答:解:∵抛物线与y轴的交点为(0,﹣2),∴c=﹣2,∵抛物线的开口方向向上,∴a>0,∵抛物线对称轴在y轴右侧,∴对称轴为x=>0,又∵a>0,∴b<0由图象可知:当x=﹣1时y=0,∴a﹣b+c=0又∵c=﹣2,∴a=2+b,又∵a>0,b<0,∴﹣2<b<0∴a﹣b+c=0可整理为:a+b+c=2b,又∵﹣2<b<0,∴﹣4<2b<0,故﹣4<a+b+c<0.故选C.点评:考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定.8.(3分)(2003•武汉)已知:抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点(﹣1,0),且满足4a+2b+c >0,以下结论:①a+b>0;②a+c>0;③﹣a+b+c>0;④b2﹣2ac>5a2,其中正确的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个考点:二次函数图象上点的坐标特征;二次函数图象与系数的关系.专题:压轴题.分析:(1)因为抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点(﹣1,0),把点(﹣1,0)代入解析式,结合4a+2b+c>0,即可整理出a+b>0;(2)②+①×2得,6a+3c>0,结合a<0,故可求出a+c>0;(3)画草图可知c>0,结合a﹣b+c=0,可整理得﹣a+b+c=2c>0,从而求得﹣a+b+c>0;(4)把(﹣1,0)代入解析式得a﹣b+c=0,可得出2a+c>0,再由a<0,可知c>0则c﹣2a>0,故可得出(c+2a)(c﹣2a)>0,即b2﹣2ac﹣5a2>0,进而可得出结论.解答:解:(1)因为抛物线y=ax2+bx+c(a <0)经过点(﹣1,0),所以原式可化为a﹣b+c=0﹣﹣﹣﹣①,又因为4a+2b+c >0﹣﹣﹣﹣②,所以②﹣①得:3a+3b>0,即a+b>0;(2)②+①×2得,6a+3c>0,即2a+c>0,∴a+c>﹣a,∵a<0,∴﹣a>0,故a+c>0;(3)因为4a+2b+c>0,可以看作y=ax2+bx+c(a <0)当x=2时的值大于0,草图为:可见c>0,∵a﹣b+c=0,∴﹣a+b﹣c=0,两边同时加2c得﹣a+b﹣c+2c=2c,整理得﹣a+b+c=2c>0,即﹣a+b+c>0;(4)∵过(﹣1,0),代入得a﹣b+c=0,∴b2﹣2ac﹣5a2=(a+c)2﹣2ac﹣5a2=c2﹣4a2=(c+2a)(c﹣2a)又∵4a+2b+c>4a+2(a+c)+c>0即2a+c>0①∵a<0,∴c>0则c﹣2a>0②由①②知(c+2a)(c﹣2a)>0,所以b2﹣2ac﹣5a2>0,即b2﹣2ac>5a2综上可知正确的个数有4个.故选D.点评:此题是一道结论开放性题目,考查了二次函数的性质、一元二次方程根的个数和图象的位置之间的关系,同时结合了不等式的运算,是一道难题.9.(3分)(2001•金华)用长8m的铝合金条制成如图形状的矩形窗框,使窗户的透光面积最大,那么这个窗户的最大透光面积是()A.m2B.m2C.m2D.4m2考点:二次函数的应用.专题:压轴题.分析:设窗的高度为xm,宽为m,则根据矩形面积公式列出二次函数求函数值的最大值即可.解答:解:设窗的高度为xm,宽为()m,故S=.∴,即S=.∴当x=2m时,S最大值为m2.故选C.点评:本题考查的是二次函数的应用以及矩形面积公式的计算.10.(5分)(2013•泰安模拟)如图,抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点(点A在点B的左侧),动点P从A点出发,先到达抛物线的对称轴上的某点E,再到达x轴上的某点F,最后运动到点B.若使点P运动的总路径最短,则点P运动的总路径的长为()A.B.C.D.考点:二次函数综合题.专题:压轴题.分析:首先根据题意求得点A与B的坐标,求得抛物线的对称轴,然后作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′,作点B关于x轴的对称点B′,连接A′B′,则直线A′B′与直线x=的交点是E,与x轴的交点是F,而且易得A′B′即是所求的长度.解答:解:如图∵抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点,∴x2﹣x﹣=x﹣2,解得:x=1或x=,当x=1时,y=x ﹣2=﹣1,当x=时,y=x ﹣2=﹣,∴点A的坐标为(,﹣),点B的坐标为(1,﹣1),∵抛物线对称轴方程为:x=﹣=作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′,作点B关于x轴的对称点B′,连接A′B′,则直线A′B′与对称轴(直线x=)的交点是E,与x轴的交点是F,∴BF=B′F,AE=A′E,∴点P运动的最短总路径是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′,延长BB′,AA′相交于C,∴A′C=++(1﹣)=1,B′C=1+=,∴A′B′==.∴点P运动的总路径的长为.故选A.点评:此题考查了二次函数与一次函数的综合应用.注意找到点P运动的最短路径是解此题的关键,还要注意数形结合与方程思想的应用.二.填空题(共6小题,满分25分)11.(4分)(2011•扬州)如图,已知函数y=与y=ax2+bx(a>0,b>0)的图象交于点P.点P的纵坐标为1.则关于x的方程ax2+bx+=0的解为x=﹣3.考点:二次函数的图象;反比例函数的图象;反比例函数图象上点的坐标特征.专题:探究型.分析:先根据点P的纵坐标为1求出x的值,再把于x的方程ax2+bx+=0化为于x的方程ax2+bx=﹣的形式,此方程就化为求函数y=与y=ax2+bx(a>0,b>0)的图象交点的横坐标,由求出的P点坐标即可得出结论.解答:解:∵P的纵坐标为1,∴1=﹣,∴x=﹣3,∵ax2+bx+=0化为于x的方程ax2+bx=﹣的∴此方程的解即为两函数图象交点的横坐标的值,∴x=﹣3.故答案为:x=﹣3.点评:本题考查的是二次函数的图象与反比例函数图象的交点问题,能把方程的解化为两函数图象的交点问题是解答此题的关键.12.(4分)(2015•金堂县二模)如图,点A,B的坐标分别为(1,4)和(4,4),抛物线y=a(x﹣m)2+n的顶点在线段AB上运动,与x轴交于C、D两点(C在D的左侧),点C 的横坐标最小值为﹣3,则点D的横坐标最大值为8.考点:二次函数综合题;解一元二次方程-直接开平方法;二次函数的性质;待定系数法求二次函数解析式.专题:计算题;压轴题.分析:当C点横坐标最小时,抛物线顶点必为A(1,4),根据此时抛物线的对称轴,可判断出CD间当D点横坐标最大时,抛物线顶点为B(4,4),再根据此时抛物线的对称轴及CD的长,可判断出D点横坐标最大值.解答:解:当点C横坐标为﹣3时,抛物线顶点为A(1,4),对称轴为x=1,此时D点横坐标为5,则CD=8;当抛物线顶点为B(4,4)时,抛物线对称轴为x=4,且CD=8,故C(0,0),D(8,0);由于此时D点横坐标最大,故点D的横坐标最大值为8;故答案为:8.点评:本题主要考查了二次函数的性质,用待定系数法求二次函数的解析式,用直接开平方法解一元二次方程等知识点,理解题意并根据已知求二次函数的解析式是解此题的关键,此题是一个比较典型的题目.13.(4分)(2013•大连)如图,抛物线y=x2+bx+与y轴相交于点A,与过点A平行于x 轴的直线相交于点B(点B在第一象限).抛物线的顶点C在直线OB上,对称轴与x轴相交于点D.平移抛物线,使其经过点A、D,则平移后的抛物线的解析式为y=x2﹣x+.考点:二次函数图象与几何变换.专题:压轴题.分析:先求出点A的坐标,再根据中位线定理可得顶点C的纵坐标,然后利用顶点坐标公式列式求出b的值,再求出点D的坐标,根据平移的性质设平移后的抛物线的解析式为y=x2+mx+n,把点A、D的坐标代入进行计算即可得解.解答:解:∵令x=0,则y=,∴点A(0,),根据题意,点A、B关于对称轴对称,∴顶点C的纵坐标为×=,即=,解得b1=3,b2=﹣3,由图可知,﹣>0,∴b<0,∴b=﹣3,∴对称轴为直线x=﹣=,∴点D的坐标为(,0),设平移后的抛物线的解析式为y=x2+mx+n,则,解得,所以,y=x2﹣x+.故答案为:y=x2﹣x+.点评:本题考查了二次函数图象与几何变换,根据二次函数图象的对称性确定出顶点C的纵坐标是解题的关键,根据平移变换不改变图形的形状与大小确定二次项系数不变也很重要.14.(4分)(2013•荆门)若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点,且过点A(m,n),B (m+6,n),则n=9.考点:抛物线与x轴的交点.专题:压轴题.分析:首先,由“抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点”推知x=﹣时,y=0.且b2﹣4c=0,即b2=4c;其次,根据抛物线对称轴的定义知点A、B关于对称轴对称,则A(﹣﹣3,n),B(﹣+3,n);最后,根据二次函数图象上点的坐标特征知n=(﹣﹣3)2+b(﹣﹣3)+c=b2+c+9,所以把b2=4c代入即可求得n的值.解答:解:∵抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点,∴当x=﹣时,y=0.且b2﹣4c=0,即b2=4c.又∵点A(m,n),B(m+6,n),∴点A、B关于直线x=﹣对称,∴A(﹣﹣3,n),B(﹣+3,n)将A点坐标代入抛物线解析式,得:n=(﹣﹣3)2+b(﹣﹣3)+c=b2+c+9∵b2=4c,∴n=×4c+c+9=9.故答案是:9.点评:本题考查了抛物线与x轴的交点.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系.△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数.△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.15.(4分)(2013•长春模拟)如图,抛物线y=ax2+bx+c(与x轴的一个交点A在点(﹣2,0)和(﹣1,0)之间(包括这两点),顶点C是矩形DEFG上(包括边界和内部)的一个动点,则a的取值范围是.考点:二次函数综合题.专题:综合题;压轴题.分析:顶点C是矩形DEFG上(包括边界和内部)的一个动点,当顶点C与D点重合,可以知道顶点坐标为(1,3)且抛物线过(﹣1,0),则它与x轴的另一个交点为(3,0),由此可求出a;当顶点C与F点重合,顶点坐标为(3,2)且抛物线过(﹣2,0),则它与x轴的另一个交点为(8,0),由此也可求a,然后由此可判断a的取值范围.解答:解:∵顶点C是矩形DEFG上(包括边界和内部)的一个动点,∴当顶点C与D点重合,顶点坐标为(1,3),则抛物线解析式y=a(x﹣1)2+3,∴解得﹣≤a≤﹣;当顶点C与F点重合,顶点坐标为(3,2),则抛物线解析式y=a(x﹣3)2+2,∴解得﹣≤a≤﹣;∵顶点可以在矩形内部,∴﹣≤a≤﹣.故答案为:﹣≤a≤﹣.点评:本题主要考查了抛物线的解析式y=ax2+bx+c中a、b、c对抛物线的影响,在对于抛物线的顶点在所给图形内进行运动的判定,充分利用了利用形数结合的方法,展开讨论,加以解决.16.(5分)(2013•庐江县校级模拟)已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图,则下列结论:①abc >0;②a+b+c=2;③a>;④b<1.其中正确的结论是②③.考点:二次函数图象与系数的关系.专题:压轴题.分析:由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.解答:解:①∵抛物线的开口向上,∴a>0,∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上,∴c<0,∵对称轴为x=<0,∴a、b同号,即b>0,∴abc<0,故①错误;②当x=1时,函数值为2>0,∴②a+b+c=2对当x=﹣1时,函数值=0,即a﹣b+c=0,(1)又a+b+c=2,将a+c=2﹣b代入(1),2﹣2b=0,∴b=1所以④b<1错误;③∵对称轴x=﹣>﹣1,解得:<a,∵b=1,∴a>,所以③对;故其中正确的结论是②③.点评:二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定:(1)a由抛物线开口方向确定:开口方向向上,则a>0;否则a<0.(2)b由对称轴和a的符号确定:由对称轴公式x=判断符号.(3)c由抛物线与y轴的交点确定:交点在y轴正半轴,则c>0;否则c<0.(4)b2﹣4ac由抛物线与x轴交点的个数确定:2个交点,b2﹣4ac>0;1个交点,b2﹣4ac=0;没有交点,b2﹣4ac<0.(5)当x=1时,可确定a+b+c的符号,当x=﹣1时,可确定a﹣b+c的符号.(6)由对称轴公式x=,可确定2a+b的符号.三.解答题(共5小题,满分44分)17.(8分)(2012•新密市自主招生)已知,在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2,以O 为原点,OA所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,点B在第一象限内,将Rt△OAB沿OB折叠后,点A落在第一象限内的点C处.(1)求点C的坐标和过O、C、A三点的抛物线的解析式;(2)P是此抛物线的对称轴上一动点,当以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形时,请直接写出点P的坐标;(3)M(x,y)是此抛物线上一个动点,当△MOB的面积等于△OAB面积时,求M的坐标.考点:二次函数综合题.专题:计算题;压轴题;分类讨论.分析:(1)在Rt△OAB中,已知∠BOA的度数和AB的长,可求出OA的值,即可得到点A的坐标;由于△OBC由△OAB折叠所得,那么∠BOA=∠BOC、且OA=OC,过C作x轴的垂线,在构建的直角三角形中,通过解直角三角形可得到点C的坐标;最后利用待定系数法可求出抛物线的解析式.(2)以P、O、C为顶点的等腰三角形并没有确定腰和底,所以要分情况讨论:①CP=OP、②OC=CP、③OC=OP;首先设出点P的坐标,在用表达式表示出△OPC三边长后,按上面所列情况列方程求解即可.(3)在直线OB两边,到OB的距离等于的直线有两条,直线和抛物线的交点就是M点,求出即可.解答:解:(1)由已知条件,可知OC=OA==2,∠COA=60°,C点的坐标为(,3),设过O、A、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,则,解得,所求抛物线的解析式为y=﹣x2+2x.(2)由题意,设P(,y),则:OP2=y2+3、CP2=(y﹣3)2=y2﹣6y+9、OC2=12;①当OP=CP 时,6y=6,即y=1;②当OP=OC 时,y2=9,即y=±3(y=3舍去);③当CP=OC 时,y2﹣6y﹣3=0,即y=3±2;∴P点的坐标是(,1)或(,﹣3)或(,3﹣2)或(,3+2);(3)过A作AR⊥OB于R,过O作ON⊥MN于N,MN与y轴交于点D.∵∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2,∴OA=2,OB=4,由三角形面积公式得:4×AR=2×2,AR=,∵△MOB的面积等于△OAB面积,∴在直线OB两边,到OB的距离等于的直线有两条,直线和抛物线的交点就是M点,∠NOD=∠BOA =30°,ON=,则OD=2,求出直线OB的解析式是y=x,则这两条直线的解析式是y=x+2,y=x﹣2,解,,解得:,,,此时,M1(,3)、M2(,).M3(2,0).M4(﹣,﹣).点评:该题主要考查:利用待定系数法确定函数解析式、解直角三角形、等腰三角形的判定和性质以及三角形面积的解法等基础知识;类似(2)题的等腰三角形判定题,通常都要根据不同的腰和底进行分类讨论,以免漏解.18.(8分)(2015•枣庄)如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A(,)和B(4,m),点P是线段AB上异于A、B的动点,过点P作PC⊥x轴于点D,交抛物线于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)是否存在这样的P点,使线段PC的长有最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由;(3)求△PAC为直角三角形时点P的坐标.考点:二次函数综合题.专题:几何综合题;压轴题.分析:(1)已知B(4,m)在直线y=x+2上,可求得m的值,抛物线图象上的A、B两点坐标,可将其代入抛物线的解析式中,通过联立方程组即可求得待定系数的值.(2)要弄清PC的长,实际是直线AB与抛物线函数值的差.可设出P点横坐标,根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标,进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求出PC的最大值.(3)当△PAC为直角三角形时,根据直角顶点的不同,有三种情形,需要分类讨论,分别求解.解答:解:(1)∵B(4,m)在直线y=x+2上,∴m=4+2=6,∴B(4,6),∵A(,)、B(4,6)在抛物线y=ax2+bx+6上,∴,解得,∴抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+6.(2)设动点P的坐标为(n,n+2),则C点的坐标为(n,2n2﹣8n+6),∴PC=(n+2)﹣(2n2﹣8n+6),=﹣2n2+9n﹣4,=﹣2(n﹣)2+,∵PC>0,∴当n=时,线段PC最大且为.(3)∵△PAC 为直角三角形,i)若点P为直角顶点,则∠APC=90°.由题意易知,PC∥y轴,∠APC=45°,因此这种情形不存在;ii)若点A为直角顶点,则∠PAC=90°.如答图3﹣1,过点A(,)作AN⊥x轴于点N,则ON=,AN=.过点A作AM⊥直线AB,交x 轴于点M,则由题意易知,△AMN为等腰直角三角形,∴MN=AN=,∴OM=ON+MN =+=3,∴M(3,0).设直线AM的解析式为:y=kx+b,则:,解得,∴直线AM的解析式为:y=﹣x+3 ①又抛物线的解析式为:y=2x2﹣8x+6 ②联立①②式,解得:x=3或x=(与点A重合,舍去)∴C(3,0),即点C、M点重合.当x=3时,y=x+2=5,∴P1(3,5);iii)若点C为直角顶点,则∠ACP=90°.∵y=2x2﹣8x+6=2(x﹣2)2﹣2,∴抛物线的对称轴为直线x=2.如答图3﹣2,作点A(,)关于对称轴x=2的对称点C,则点C在抛物线上,且C(,).当x=时,y=x+2=.∴P2(,).∵点P1(3,5)、P2(,)均在线段AB上,∴综上所述,△PAC为直角三角形时,点P的坐标为(3,5)或(,).点评:此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识.19.(8分)(2015•湖州模拟)如图①,Rt△ABC中,∠B=90°∠CAB=30°,AC⊥x轴.它的顶点A的坐标为(10,0),顶点B的坐标为,点P从点A出发,沿A→B→C 的方向匀速运动,同时点Q从点D(0,2)出发,沿y轴正方向以相同速度运动,当点P 到达点C时,两点同时停止运动,设运动的时间为t秒.(1)求∠BAO的度数.(直接写出结果)(2)当点P在AB上运动时,△OPQ的面积S与时间t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分(如图②),求点P的运动速度.(3)求题(2)中面积S与时间t之间的函数关系式,及面积S取最大值时,点P的坐标.(4)如果点P,Q保持题(2)中的速度不变,当t取何值时,PO=PQ,请说明理由.考点:二次函数综合题.专题:综合题;压轴题;分类讨论.分析:(1)利用∠BAO的正切值,求出∠BAO的度数即可;(2)利用图②中的函数图象,求得点P的运动时间与路程解决即可;(3)利用特殊角的三角函数,三角形的面积以及配方法解决问题;(4)分两种情况进行列方程解决问题.解答:解:(1)如图,过点B作BE⊥OA于E,则OE=5,BE=5,OA=10,∴AE=5,。
2019-2020学年浙教版数学九年级上册《第一章 二次函数》综合练习卷

第一章二次函数一.填空题(共8小题,3*8=24)1.若y=(m2+m)x是二次函数,则m的值是.2.将抛物线先向右平移1个单位,再向下平移3个单位后得到新的抛物线,则新抛物线对应的函数表达式是.3.有一个抛物线形拱桥,其最大高度为16m,跨度为40m,现把它的示意图放在平面直角坐标系中如图,求抛物线的解析式是.4.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是.5.如图,一小孩将一只皮球从A处抛出去,它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分,如果他的出手处A距地面的距离OA为1 m,球路的最高点B(8,9),则小孩将球抛出了约米(精确到0.1 m).6.如图,在边长为2的正方形ABCD中,P为AB的中点,Q为边CD上一动点,线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N,顺次连接P、M、Q、N,则四边形PMQN的面积的最大值.7.如图,双曲线y =与抛物线y =ax 2+bx +c 交于点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),由图象可得不等式组0<+bx +c的解集为.8.如图,点A ,B 的坐标分别为(1,4)和(4,4),抛物线y =a (x ﹣m )2+n 的顶点在线段AB 上运动,与x 轴交于C 、D 两点(C 在D 的左侧),点C 的横坐标最小值为﹣3,则点D 的横坐标最大值为 .二.选择题(共10小题,3*10=30)9.下列函数中属于二次函数的是( )A .y =x (x +1)B .x 2y =1C .y =2x 2﹣2(x 2+1)D .y =10.若y =(a 2+a )是二次函数,那么( ) A .a =﹣1或a =3 B .a ≠﹣1且a ≠0 C .a =﹣1 D .a =311.函数y=与y=﹣kx2+k(k≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是()A.B.C.D.12.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象,有下面四个结论:①abc>0;②a﹣b+c>0;③2a+3b>0;④c﹣4b>0其中,正确的结论是()A.①②B.①②③C.①②④D.①③④13.对于二次函数y=x2+mx+1,当0<x≤2时的函数值总是非负数,则实数m的取值范围为()A.m≥﹣2 B.﹣4≤m≤﹣2 C.m≥﹣4 D.m≤﹣4或m≥﹣214.已知点(﹣1,y1)、(﹣2,y2)、(2,y3)都在二次函数y=﹣3x2﹣6x+12的图象上,则y1、y2、y3的大小关系为()A.y1>y3>y2B.y3>y2>y1C.y3>y1>y2D.y1>y2>y315.若一次函数y=(a+1)x+a的图象过第一、三、四象限,则二次函数y=ax2﹣ax()A.有最大值.B.有最大值﹣.C.有最小值.D.有最小值﹣.16.周长是4m的矩形,它的面积S(m2)与一边长x(m)的函数图象大致是()A.B.C.D.17.已知二次函数y=ax2+bx+c中,y与x的部分对应值如下:则一元二次方程ax2+bx+c=0的一个解x满足条件()A.1.2<x<1.3 B.1.3<x<1.4 C.1.4<x<1.5 D.1.5<x<1.618.已知抛物线y=ax2+3x+c(a,c为常数,且a≠0)经过点(﹣1,﹣1),(0,3),有下列结论:①ac<0;②当x>1时,y的值随x值的增大而减小;③3是方程ax2+2x+c=0的一个根;④当﹣1<x<3时,ax2+2x+c>0其中正确结论的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4三.解答题(共8小题,66分)19.(6分)若二次函数y=x2+bx+c图象经过A(﹣1,0),B(3,﹣4)两点,求b、c的值.20.(6分)已知二次函数的表达式为:y=x2﹣6x+5,(1)利用配方法将表达式化成y=a(x﹣h)2+k的形式;(2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标.21.(8分)已知二次函数y=x2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如下表:(1)求该二次函数的解析式;(2)当x为何值时,y有最小值,最小值是多少?(3)若A(n﹣1,y1),B(n,y2)两点都在该函数的图象上,试比较y1与y2的大小.22.(8分)如图,二次函数y1=的图象与一次函数y2=kx+3(k≠0)的图象的一个交点为A,点A的横坐标为﹣2,另一个交点C在y轴上.(1)求二次函数的表达式;(2)当x取何值时,一次函数值大于二次函数值?(3)将点A绕点C顺时针旋转90°后得到点B,请判断点B是否在该二次函数的图象上.23.(8分)小丽老师家有一片80棵桃树的桃园,现准备多种一些桃树提高桃园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少,单棵树的产量随之降低,若该桃园每棵桃树产桃y(千克)与增种桃树x (棵)之间的函数关系如图所示.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)在投入成本最低的情况下,增种桃树多少棵时,桃园的总产量可以达到6750千克?(3)如果增种的桃树x(棵)满足:20≤x≤50,请你帮小丽老师家计算一下,桃园的总产量最少是多少千克,最多又是多少千克?24.(8分)如图,抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于点A(﹣1,0),点B(3,0),与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点,连接AD,BD.(1)直接写出点C、D的坐标;(2)求△ABD的面积;(3)点P是抛物线上的一动点,若△ABP的面积是△ABD面积的,求点P的坐标.25.(10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣+bx+c过点A(0,4)和C(8,0),P(t,0)是x轴正半轴上的一个动点,M是线段AP的中点,将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB,过点B作x 轴的垂线,过点A作y轴的垂线,两直线交于点D.(1)求b、c的值;(2)当t为何值时,点D落在抛物线上.26.(12分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(﹣1,0)、点B (3,0),与y轴交于点C(0,3),连接AC,BC.点P是该二次函数位于第一象限内图象上的一个动点,过点P作PD⊥x轴,垂足为D,交BC于点E,过点P作PF∥AC,交x轴于点F,交BC于点G.设点P的横坐标是m.(1)求该二次函数的表达式;(2)连接AE,在点P运动的过程中,是否存在点E,使△ACE是以AC为腰的等腰三角形?如果存在,请求出点E的坐标;若不存在,请说明理由;(3)当m为何值时,EG有最大值?参考答案一.填空题(共8小题)1.若y=(m2+m)x是二次函数,则m的值是3.【分析】直接利用二次函数的定义分析得出答案.【解答】解:由题意得:m2﹣2m﹣1=2,且m2+m≠0,解得:m=3.故答案为:3.【点评】此题主要考查了二次函数的定义,正确把握定义是解题关键.2.将抛物线先向右平移1个单位,再向下平移3个单位后得到新的抛物线,则新抛物线对应的函数表达式是y=(x﹣1)2﹣3.【分析】直接根据“上加下减,左加右减”的原则进行解答即可.【解答】解:由“左加右减”的原则可知,将抛物线先向右平移1个单位所得抛物线的解析式为:y=(x﹣1)2.由“上加下减”的原则可知,将抛物线y=(x﹣1)2向下平移3个单位所得抛物线的解析式为:y=(x﹣1)2﹣3;故答案是:y=(x﹣1)2﹣3.【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换,利用抛物线解析式的变化规律:左加右减,上加下减是解题关键.3.有一个抛物线形拱桥,其最大高度为16m,跨度为40m,现把它的示意图放在平面直角坐标系中如图,求抛物线的解析式是y=﹣0.04x2+1.6x.【分析】根据图象得到:顶点坐标是(20,16),因而可以利用顶点式求解析式.【解答】解:设解析式是:y=a(x﹣20)2+16,根据题意得:400a+16=0,解得a=﹣0.04.∴函数关系式y=﹣0.04(x﹣20)2+16,即y=﹣0.04x2+1.6x.故答案为:y=﹣0.04x2+1.6x.【点评】利用待定系数法求二次函数解析式,如果已知三点坐标可以利用一般式求解;若已知对称轴或顶点坐标利用顶点式求解比较简单.4.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.6,x2=4.4.【分析】本题是一道估算题,先测估计出对称轴左侧图象与x轴交点的横坐标,再利用对称轴x=3,可以算出右侧交点横坐标.【解答】解:依题意得二次函数y=ax2+bx+c的部分图象的对称轴为x=3,而对称轴左侧图象与x轴交点与原点的距离,约为1.6,∴x1=1.6;又∵对称轴为x=3,则=3,∴x2=2×3﹣1.6=4.4.【点评】解答本题首先需要估计图象估计出一个解,再根据对称性计算出另一个解,估计值的精确程度,直接关系到计算的准确性,必须估计尽量准确.5.如图,一小孩将一只皮球从A 处抛出去,它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分,如果他的出手处A 距地面的距离OA 为1 m ,球路的最高点B (8,9),则小孩将球抛出了约 16.5 米(精确到0.1 m ).【分析】根据图象信息,求出抛物线解析式,然后令y =0.求出自变量的取值即可.注意在实际问题中,负值舍去.【解答】解:根据题意,设二次函数顶点式:y =a (x ﹣8)2+9把A (0,1)代入得a =﹣,∴y =﹣(x ﹣8)2+9,当y =0时,解得x 1=8+6≈16.5,x 2=8﹣6<0(舍去).∴小孩将球抛出了约16.5米.【点评】本题是抛物线的问题,需要在直角坐标系中建立二次函数关系式,并求出函数关系式,才能解决实践问题.6.如图,在边长为2的正方形ABCD 中,P 为AB 的中点,Q 为边CD 上一动点,线段PQ 的垂直平分线分别交边AD 、BC 于点M 、N ,顺次连接P 、M 、Q 、N ,则四边形PMQN的面积的最大值.【分析】分为两种情况:①当E在AP上时,如图1,由四边形ABCD是正方形得到∠A=∠B=∠D=90°,AD=AB,又由∠EQP=∠FMN,而证得△PEQ≌△NFM,得PQ=MN,根据勾股定理计算PQ和MN的长,根据三角形面积公式计算即可;②当E在BP上时,同法可求S的最大值.【解答】解:设DQ=t,分为两种情况:①当E在AP上时,如图1,过Q作QE⊥AB于点E,过M作MF⊥BC于点F.∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠B=∠D=90°,AD=AB,∵QE⊥AB,MF⊥BC,∴∠AEQ=∠MFB=90°,∴四边形ABFM、AEQD都是矩形,∴MF=AB,QE=AD,MF⊥QE,又∵PQ⊥MN,∴∠B+∠PON=180°∴∠FNM+∠BPO=180°∵∠BPO+∠EPQ=180°∴∠FNM=∠EPQ又∵∠QEP=∠MFN=90°,∴△PEQ≌△NFM(AAS),∴PQ=MN,∵点P是边AB的中点,AB=2,DQ=AE=t,∴PA=1,PE=1﹣t,QE=2,由勾股定理,得PQ=,∵△PEQ≌△NFM,∴MN=PQ=,又∵PQ⊥MN,∴S=S△MNQ+S△MNP=+=PQ•MN=[4+(1﹣t)2]=+2=t2﹣t+,∵0≤t≤2,∴当t=2时,S最大值=.②当E在BP上时,如图2,∵点P是边AB的中点,AB=2,DQ=AE=t,∴PA=1,PE=t﹣1,QE=2,由勾股定理,得PQ=同理得△PEQ≌△NFM,∴MN=PQ=,又∵PQ⊥MN,∴S==[(t﹣1)2+4]=t2﹣t+,∵0≤t≤2,∴当t=2时,S最大值=.综上:四边形PMQN的面积的最大值S是.故答案为:.【点评】本题考查了正方形的性质,由四边形ABCD是正方形得到∠A=∠B=∠D=90°,AD=AB,又由∠EQP =∠FMN,而证得两三角形全等;由勾股定理求得PQ,又PQ⊥MN求得面积S,由t范围得到答案.7.如图,双曲线y=与抛物线y=ax2+bx+c交于点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),由图象可得不等式组0<+bx+c的解集为x2<x<x3.【分析】根据函数图象写出x轴上方且抛物线在双曲线上方部分的x的取值范围即可.【解答】解:由图可知,x2<x<x3时,0<<ax2+bx+c,所以,不等式组0<<ax2+bx+c的解集是x2<x<x3.故答案为:x2<x<x3.【点评】本题考查了二次函数与不等式组,此类题目,准确识图,利用数形结合的思想求解更简便.8.如图,点A,B的坐标分别为(1,4)和(4,4),抛物线y=a(x﹣m)2+n的顶点在线段AB上运动,与x 轴交于C、D两点(C在D的左侧),点C的横坐标最小值为﹣3,则点D的横坐标最大值为8.【分析】当C点横坐标最小时,抛物线顶点必为A(1,4),根据此时抛物线的对称轴,可判断出CD间的距离;当D点横坐标最大时,抛物线顶点为B(4,4),再根据此时抛物线的对称轴及CD的长,可判断出D点横坐标最大值.【解答】解:当点C横坐标为﹣3时,抛物线顶点为A(1,4),对称轴为x=1,此时D点横坐标为5,则CD =8;当抛物线顶点为B(4,4)时,抛物线对称轴为x=4,故C(0,0),D(8,0);由于此时D点横坐标最大,故点D的横坐标最大值为8;故答案为:8.【点评】本题主要考查了二次函数的性质,用待定系数法求二次函数的解析式,用直接开平方法解一元二次方程等知识点,理解题意并根据已知求二次函数的解析式是解此题的关键,此题是一个比较典型的题目.二.选择题(共10小题)9.下列函数中属于二次函数的是()A.y=x(x+1)B.x2y=1C.y=2x2﹣2(x2+1)D.y=【分析】整理成一般形式后,利用二次函数的定义即可解答.【解答】解:A、y=x2+x,是二次函数;B、y=,不是二次函数;C、y=﹣2,不是二次函数;D、不是整式,不是二次函数;故选:A.【点评】本题考查二次函数的定义.10.若y=(a2+a)是二次函数,那么()A.a=﹣1或a=3 B.a≠﹣1且a≠0 C.a=﹣1 D.a=3【分析】根据二次函数定义,自变量的最高指数是二,且系数不为0,列出方程与不等式即可解答.【解答】解:根据题意,得:a2﹣2a﹣1=2解得a=3或﹣1又因为a2+a≠0即a≠0或a≠﹣1所以a=3.故选:D.【点评】解题关键是掌握二次函数的定义.11.函数y=与y=﹣kx2+k(k≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是()A.B.C.D.【分析】本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负,再与二次函数的图象相比较看是否一致.【解答】解:由解析式y=﹣kx2+k可得:抛物线对称轴x=0;A、由双曲线的两支分别位于二、四象限,可得k<0,则﹣k>0,抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上;本图象与k的取值相矛盾,故A错误;B、由双曲线的两支分别位于一、三象限,可得k>0,则﹣k<0,抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,本图象符合题意,故B正确;C、由双曲线的两支分别位于一、三象限,可得k>0,则﹣k<0,抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,本图象与k的取值相矛盾,故C错误;D、由双曲线的两支分别位于一、三象限,可得k>0,则﹣k<0,抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,本图象与k的取值相矛盾,故D错误.故选:B.【点评】本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象,解决此类问题步骤一般为:(1)先根据图象的特点判断k取值是否矛盾;(2)根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求.12.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象,有下面四个结论:①abc>0;②a﹣b+c>0;③2a+3b>0;④c﹣4b>0其中,正确的结论是()A.①②B.①②③C.①②④D.①③④【分析】根据抛物线开口方向得到a>0;根据对称轴得到x=﹣>0,则b<0;根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c<0,则abc>0,可判断①正确;当自变量为﹣1时对应的函数图象在x轴上方,则a﹣b+c>0,可判断②正确;根据抛物线对称轴方程得到x=﹣=,则2a+3b=0,可判断③错误;当自变量为2时对应的函数图象在x轴上方,则4a+2b+c>0,把2a=﹣3b代入可对④进行判断.【解答】解:∵抛物线开口向上,∴a>0;∵抛物线的对称轴在y轴的右侧,∴x=﹣>0,∴b<0;∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,∴c<0,∴abc>0,所以①正确;∵x=﹣1时,y>0,∴a﹣b+c>0,所以②正确;∵x=﹣=,∴2a+3b=0,所以③错误;∵x=2时,y>0,∴4a+2b+c>0,把2a=﹣3b代入得﹣6b+2b+c>0,∴c﹣4b>0,所以④正确.故选:C.【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线,当a>0,抛物线开口向上;对称轴为直线x=﹣﹣;抛物线与y轴的交点坐标为(0,c).13.对于二次函数y=x2+mx+1,当0<x≤2时的函数值总是非负数,则实数m的取值范围为()A.m≥﹣2 B.﹣4≤m≤﹣2 C.m≥﹣4 D.m≤﹣4或m≥﹣2【分析】分三种情况进行讨论:对称轴分别为x<0、0≤x<2、x≥2时,得出当0<x≤2时所对应的函数值,判断正误.【解答】解:对称轴为:x=﹣=﹣,y==1﹣,分三种情况:①当对称轴x<0时,即﹣<0,m>0,满足当0<x≤2时的函数值总是非负数;②当0≤﹣<2时,0≤﹣<2,﹣4<m≤0,当1﹣≥0时,﹣2≤m≤2,满足当0<x≤2时的函数值总是非负数;当1﹣<0时,不能满足当0<x≤2时的函数值总是非负数;∴当﹣2≤m≤0时,当0<x≤2时的函数值总是非负数,③当对称轴﹣≥2时,即m≤﹣4,如果满足当0<x≤2时的函数值总是非负数,则有x=2时,y≥0,4+2m+1≥0,m≥﹣,此种情况m无解;故选:A.【点评】本题考查了二次函数的图象及性质,根据其自变量的取值确定字母系数的取值范围,解决此类问题:首先要计算出顶点坐标,再根据对称轴的位置并与图象相结合得出取值.14.已知点(﹣1,y1)、(﹣2,y2)、(2,y3)都在二次函数y=﹣3x2﹣6x+12的图象上,则y1、y2、y3的大小关系为()A.y1>y3>y2B.y3>y2>y1C.y3>y1>y2D.y1>y2>y3【分析】二次函数抛物线向下,且对称轴为x=﹣1.根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小.【解答】解:∵二次函数y=﹣3x2﹣6x+12=﹣3(x+1)2+15,∴该二次函数的抛物线开口向下,且对称轴为:x=﹣1.∵点(﹣1,y1)、(﹣2,y2)、(2,y3)都在二次函数y=﹣3x2﹣6x+12的图象上,而三点横坐标离对称轴x=﹣1的距离按由近到远为:(﹣1,y1)、(﹣2,y2)、(2,y3),∴y1>y2>y3.故选:D.【点评】考查二次函数图象上点的坐标特征.15.若一次函数y=(a+1)x+a的图象过第一、三、四象限,则二次函数y=ax2﹣ax()A.有最大值.B.有最大值﹣.C.有最小值.D.有最小值﹣.【分析】一次函数y=(a+1)x+a的图象过第一、三、四象限,得到﹣1<a<0,于是得到结论.【解答】解:∵一次函数y=(a+1)x+a的图象过第一、三、四象限,∴a+1>0且a<0,∴﹣1<a<0,∴二次函数y=ax2﹣ax有最大值﹣,故选:B.【点评】本题考查了二次函数的最值,一次函数的性质,熟练掌握一次函数的性质是解题的关键.16.周长是4m的矩形,它的面积S(m2)与一边长x(m)的函数图象大致是()A.B.C.D.【分析】先根据题意求函数解析式,及自变量取值范围,才能判断函数大致图象.【解答】解:∵S=x(2﹣x)=﹣(x﹣1)2+1(0<x<2).∴顶点坐标(1,1)开口向下.故选:D.【点评】根据题意建立函数关系式,会判断函数的类型及自变量取值范围,才能合理地画出函数图象;此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题.17.已知二次函数y=ax2+bx+c中,y与x的部分对应值如下:则一元二次方程ax2+bx+c=0的一个解x满足条件()A.1.2<x<1.3 B.1.3<x<1.4 C.1.4<x<1.5 D.1.5<x<1.6【分析】仔细看表,可发现y的值﹣0.24和0.25最接近0,再看对应的x的值即可得.【解答】解:由表可以看出,当x取1.4与1.5之间的某个数时,y=0,即这个数是ax2+bx+c=0的一个根.ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为1.4<x<1.5.故选:C.【点评】本题考查了同学们的估算能力,对题目的正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的.18.已知抛物线y=ax2+3x+c(a,c为常数,且a≠0)经过点(﹣1,﹣1),(0,3),有下列结论:①ac<0;②当x>1时,y的值随x值的增大而减小;③3是方程ax2+2x+c=0的一个根;④当﹣1<x<3时,ax2+2x+c>0其中正确结论的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【分析】先由抛物线y=ax2+3x+c(a,c为常数,且a≠0)经过点(﹣1,﹣1),(0,3),列方程组求出a,c,从而解得其解析式,进而求得其对称轴,再根据二次函数与方程和二次函数与不等式的关系可解.【解答】解:把点(﹣1,﹣1),(0,3)代入y=ax2+3x+c得:∴∴y=﹣x2+3x+3∴①ac<0正确;该抛物线的对称轴为:,∴②当x>1时,y的值随x值的增大而减小是错误的;方程ax2+2x+c=0可化为:方程ax2+3x+c=x,把x=3代入y=﹣x2+3x+3得y=3,∴﹣x2+2x+3=0,故③正确;∴(3,3)在该抛物线上,又∵抛物线y=ax2+3x+c(a,c为常数,且a≠0)经过点(﹣1,﹣1),∴抛物线y=ax2+3x+c与y=x的交点为(﹣1,﹣1)和(3,3),当﹣1<x<3时,ax2+3x+c>x,即ax2+2x+c>0④当﹣1<x<3时,ax2+2x+c>0,故④正确.综上,①③④正确.故选:C.【点评】本题考查了二次函数解析式、二次函数的对称轴、二次函数与方程、二次函数与不等式的关系,综合性较强,难度较大.三.解答题(共8小题)19.若二次函数y=x2+bx+c图象经过A(﹣1,0),B(3,﹣4)两点,求b、c的值.【分析】把A、B两点坐标代入y=x2+bx+c得到关于b、c的方程组,然后解方程组即可.【解答】解:把A(﹣1,0),B(3,﹣4)代入y=x2+bx+c得,解得,所以抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4.【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式:二次函数图象上的点的坐标满足其解析式.20.已知二次函数的表达式为:y=x2﹣6x+5,(1)利用配方法将表达式化成y=a(x﹣h)2+k的形式;(2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标.【分析】(1)首先把x2﹣6x+5化为(x﹣3)2﹣4,然后根据把二次函数的表达式y=x2﹣6x+5化为y=a(x ﹣h)2+k的形式;(2)利用(1)中抛物线解析式直接写出答案.【解答】解:(1)y=x2﹣6x+9﹣9+5=(x﹣3)2﹣4,即y=(x﹣3)2﹣4;(2)由(1)知,抛物线解析式为y=(x﹣3)2﹣4,所以抛物线的对称轴为:x=3,顶点坐标为(3,﹣4).【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式,要熟练掌握三种形式之间相互转化的方法.21.已知二次函数y=x2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如下表:(1)求该二次函数的解析式;(2)当x为何值时,y有最小值,最小值是多少?(3)若A(n﹣1,y1),B(n,y2)两点都在该函数的图象上,试比较y1与y2的大小.【分析】(1)根据表格中的数据,利用待定系数法即可求出该二次函数的解析式;(2)利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式,由此即可解决最值问题;(3)根据二次函数图象上点的坐标特征找出y1、y2的值,做差后即可得出结论.【解答】解:(1)将(0,5)、(1,2)代入y=x2+bx+c,,解得:,∴该二次函数的解析式为y=x2﹣4x+5.(2)∵y=x2﹣4x+5=(x﹣2)2+1,∴当x=2时,y取最小值,最小值为1.(2)∵A(n﹣1,y1)、B(n,y2)两点都在函数y=x2﹣4x+5的图象上,∴y1=(n﹣1)2﹣4(n﹣1)+5=n2﹣6n+10,y2=n2﹣4n+5,∴y2﹣y1=(n2﹣4n+5)﹣(n2﹣6n+10)=2n﹣5,∴当2n﹣5<0,即n<时,y1>y2;当2n﹣5=0,即n=时,y1=y2;当2n﹣5>0,即n>时,y1<y2.【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值,解题的关键是:(1)根据点的坐标,利用待定系数法求出二次函数解析式;(2)利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式;(3)利用二次函数图象上点的坐标特征找出y1、y2的值.22.如图,二次函数y1=的图象与一次函数y2=kx+3(k≠0)的图象的一个交点为A,点A 的横坐标为﹣2,另一个交点C在y轴上.(1)求二次函数的表达式;(2)当x取何值时,一次函数值大于二次函数值?(3)将点A绕点C顺时针旋转90°后得到点B,请判断点B是否在该二次函数的图象上.【分析】(1)由一次函数y2=kx+3(k≠0)求出C点坐标,再把所得C点坐标代入二次函数y1=,便可求得m;(2)求出A点坐标,再由函数图象观察,直线在抛物线上方时,x的取值范围;(3)过B点作BD⊥y轴于D,过A点作AE⊥y轴于点E,通过全等三角形的知识得出B点的坐标,再验证其是否在抛物线上.【解答】解:(1)令x=0,则y2=kx+3=0+3=3,∴C(0,3),把C(0,3)代入y1=中,得3=3m,∴m=1,∴二次函数的解析式为:y1=;(2)由函数图象可知,当两函数图象位于A与C两点之间时,一次函数值大于二次函数值,∴当﹣2<x<0时,一次函数值大于二次函数值;(3)当x=﹣2时,y1=5﹣9+3=﹣1,∴A(﹣2,﹣1),过B点作BD⊥y轴于D,过A点作AE⊥y轴于点E,∵∠ACB=90°,∴∠ACE+∠ACD=90°,∵∠BCD+∠B=90°,∴∠ACE=∠B,在△ACE和△CDB中,,∴△ACE≌△CDB(AAS),∴BD=CE=3﹣(﹣1)=4,CD=AE=2,∴OD=3+2=5,∴B(﹣4,5),当x=﹣4时,y1═20﹣18+3=5,∴点B在二次函数的图象上.【点评】本题是二次函数的综合题,主要考查了用待定系数求函数的解析式,二次函数与不等式的关系,旋转的性质,全等三角形的性质与判定,函数图象上点的坐标特点,熟悉这些知识是解题的关键,(3)小题关键是构造全等三角形求出点B的坐标.23.小丽老师家有一片80棵桃树的桃园,现准备多种一些桃树提高桃园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少,单棵树的产量随之降低,若该桃园每棵桃树产桃y(千克)与增种桃树x(棵)之间的函数关系如图所示.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)在投入成本最低的情况下,增种桃树多少棵时,桃园的总产量可以达到6750千克?(3)如果增种的桃树x(棵)满足:20≤x≤50,请你帮小丽老师家计算一下,桃园的总产量最少是多少千克,最多又是多少千克?【分析】(1)函数的表达式为y=kx+b,把点(12,74),(28,66)代入解方程组即可.(2)列出方程解方程组,再根据实际意义确定x的值.(3)构建二次函数,利用二次函数性质解决问题.【解答】解:(1)设函数的表达式为y=kx+b,该一次函数过点(12,74),(28,66),得,解得,∴该函数的表达式为y=﹣0.5x+80;(2)根据题意,得,(﹣0.5x+80)(80+x)=6750,解得,x1=10,x2=70∵投入成本最低.∴x2=70不满足题意,舍去.∴增种果树10棵时,果园可以收获果实6750千克;(3)根据题意,得w=(﹣0.5x+80)(80+x)=﹣0.5 x2+40 x+6400=﹣0.5(x﹣40)2+7200∵a=﹣0.5<0,则抛物线开口向下,函数有最大值,∵20≤x≤50,∴当x=20时,w最小值=7000kg;当x=40时,w最大值为7200千克.∴桃园的总产量最少是7000千克,最多又是7200千克.【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、一元二次方程等知识,解题的关键是熟练掌握待定系数法,学会构建二次函数解决实际问题中的最值问题,属于中考常考题型.24.如图,抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于点A(﹣1,0),点B(3,0),与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点,连接AD,BD.(1)直接写出点C、D的坐标;(2)求△ABD的面积;(3)点P是抛物线上的一动点,若△ABP的面积是△ABD面积的,求点P的坐标.【分析】(1)利用抛物线与y轴交点求法得出C点坐标,再利用配方法求出其顶点坐标;(2)利用D点坐标得出△ABD的面积;(3)利用△ABD的面积得出△ABP的面积,进而求出P点纵坐标,进而求出其横坐标.【解答】解:(1)当x=0,则y=﹣3,故C(0,﹣3),y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,故D(1,﹣4);(2)∵点A(﹣1,0),点B(3,0),∴AB=4,∴S△ABD=×4×4=8;(3)∵△ABP的面积是△ABD面积的,∴S△ABP=4,∵AB=4,∴P点纵坐标为2或﹣2,当P点纵坐标为2,则2=x2﹣2x﹣3,解得:x1=1+,x2=1﹣,此时P点坐标为:(1+,2)或(1﹣,2),当P点纵坐标为﹣2,则﹣2=x2﹣2x﹣3,解得:x1=1+,x2=1﹣,此时P点坐标为:(1+,﹣2)或(1﹣,﹣2),综上所述:点P的坐标为:(1+,2)、(1﹣,2)、(1+,﹣2)、(1﹣,﹣2).【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及三角形面积求法和二次函数图象上点的坐标性质等知识,注意分类讨论得出是解题关键.25.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣+bx+c过点A(0,4)和C(8,0),P(t,0)是x轴正半轴上的一个动点,M是线段AP的中点,将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB,过点B作x轴的垂线,过点A作y轴的垂线,两直线交于点D.(1)求b、c的值;(2)当t为何值时,点D落在抛物线上.【分析】(1)把A、C点的坐标代入y=﹣+bx+c得,然后解方程组即可;(2)作MN⊥x轴于点N,如图,利用M是线段AP的中点得到MN=2,再利用旋转的性质得PM=PB,∠MPB =90°,接下来证明△PMN≌△BPE得到PE=MN=2,则D(2+t,4),然后根据抛物线的对称性得到D点坐标为(5,4),所以2+t=5,最后解t的方程即可.【解答】解:(1)把A(0,4)和C(8,0)代入y=﹣+bx+c得,解得b=,c=4;(2)作MN⊥x轴于点N,如图,∵M是线段AP的中点,∴MN=2,∵AD⊥BE,BE⊥x轴,∴DE=OA=4,∵线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB,∴PM=PB,∠MPB=90°,∵∠MPN+∠BPE=90°,∠MPN+∠PMN=90°,∴∠PMN=∠BPE,在△PMN和△BPE中,∴△PMN≌△BPE,∴PE=MN=2,∴OE=2+t,∴D(2+t,4),∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=,而点A、点D为对称点,∴D点坐标为(5,4),∴2+t=5,解得t=3,即当t为3时,点D落在抛物线上.【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质和旋转的性质;会应用三角形全等的知识解决线段相等的问题.26.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(﹣1,0)、点B(3,0),与y轴交于点C(0,3),连接AC,BC.点P是该二次函数位于第一象限内图象上的一个动点,过点P作PD⊥x轴,垂足为D,交BC于点E,过点P作PF∥AC,交x轴于点F,交BC于点G.设点P的横坐标是m.(1)求该二次函数的表达式;(2)连接AE,在点P运动的过程中,是否存在点E,使△ACE是以AC为腰的等腰三角形?如果存在,请求出点E的坐标;若不存在,请说明理由;(3)当m为何值时,EG有最大值?【分析】(1)该二次函数的表达式为y=a(x+1)(x﹣3),将点C(0,3)代入,可得a的值,即可得出二次函数的表达式;(2)先用待定系数法求得直线BC的表达式为:y=﹣x+3,设E(m,﹣m+3),分AC=AE和AC=CE两种情况求解,即可得出点E的坐标;(3)作GH⊥PD于H,因为PF∥AC,可得∠FPD=∠ACO,即tan∠FPD=tan∠ACO=,由题意,∠GEH=∠DEB=∠DBC=45°,可设GH=HE=t,则PH=3t,GE=t,因为PE=4t=(﹣m2+2m+3)﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m=﹣(m﹣)2+,所以当m=1.5时,t最大,此时GE也最大.【解答】解:(1)该二次函数的表达式为y=a(x+1)(x﹣3),把点C(0,3)代入得,3=﹣3a,a=﹣1,∴二次函数的表达式为:y=﹣x2+2x+3;(2)设直线BC的表达式为y=kx+n,∴,解得,∴直线BC的表达式为y=﹣x+3,∵点P的横坐标是m,∴E(m,﹣m+3),当AC=AE时,,解得:m=0(舍去)或m=2,此时点E的坐标为(2,1),当AC=CE时,,解得:m=或m=(舍去),此时点E的坐标为(,3﹣).(3)如图,作GH⊥PD于H,∵PF∥AC,∴∠CAO=∠PFD,∵∠COA=∠PDF=90°,∴∠FPD=∠ACO,即tan∠FPD=tan∠ACO=,由题意,∠GEH=∠DEB=∠DBC=45°,∴设GH=HE=t,则PH=3t,GE=t,∵PE=4t=(﹣m2+2m+3)﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m=﹣(m﹣)2+,∴当m=1.5时,t最大,此时GE也最大,∴当m=1.5时,EG有最大值.【点评】本题考查用待定系数法求二次函数以及一次函数表达式,分类讨论思想.解题的关键是熟练掌握二次函数图象的性质.。
浙教版九年级上册第一章 二次函数(含答案)

浙教版九年级上册第一章二次函数一、选择题1.下列函数中,是二次函数的是( )A .y =3x ﹣2B .y =1x 2C .y =x 2+1D .y =(x ﹣1)2﹣x 22.二次函数 y =k x 2−6x +3 的图象与x 轴有交点,则k 的取值范围是( )A .k <3B .k <3 且 k ≠0C .k ≤3D .k ≤3 且 k ≠03.已知二次函数y =−12x 2+bx 的对称轴为x =1,当m ≤x ≤n 时,y 的取值范围是2m ≤y ≤2n .则m +n 的值为( )A .−6或−2B .14或−74C .14D .−24.已知二次函数y =a x 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示,在下列5个结论:①abc >0;②b <a +c ;③4a +2b +c >0;④2c <3b ;⑤a +b <m(am +b)(m ≠1的实数),其中正确的结论有( )A .1个B .2个C .3个D .4个5.如图,二次函数y =−x 2+x +2及一次函数y =x +m ,将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新函数,当直线y =x +m 与新图象有4个交点时,m 的取值范围是( )A .14<m <−3B .254<m ≤1C .−2<m <1D .−3<m <−2二、填空题6.若y =(m−3)x m2−5m +8+2x−3是关于x 的二次函数,则m 的值是 .7.二次函数 y =−(x−6)2+8 的最大值是 .8.已知抛物线y =a x 2−2ax 经过A (m−1,y 1),B (m,y 2),C (m +3,y 3)三点,且y 1<y 3<y 2≤−a 恒成立,则m 的取值范围为 .9.飞机着陆后滑行的距离s (米)与滑行时间t (秒)的关系满足s =−32t 2+bt .当滑行时间为10秒时,滑行距离为450米,则飞机从着陆到停止,滑行的时间是 秒.10.如图,抛物线y =−87x 2+247x +2与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,P 为抛物线对称轴上动点,则PA +PC 取最小值时,点P 坐标是 .11.若定义一种新运算:m@n ={m−n(m ≤n)m +n−3(m >n),例如:1@2=1−2=−1,4@3=4+3−3=4.下列说法:(1)−7@9= ;(2)y =(−x +1)@(x 2−2x +1)与直线y =m(m 为常数)有1个交点,则m 的取值范围是 .三、单选题12. 已知y =(a−1)x 2−2x +a 2是关于x 的二次函数,其图象经过(0,1),则a 的值为( )A .a =±1B .a =1C .a =−1D .无法确定13.抛物线 y =−3x 2+6x +2 的对称轴是( )A .直线 x =2B .直线 x =−2C .直线 x =1D .直线 x =−114.已知二次函数y =3x 2+2x−1,把图象向右平移n 个单位长度后,使两个函数图象与x 轴的交点中,相邻的两个交点之间的距离都相等,则n 的值为( )A .43B .83C .23或83D .43或8315.已知一个二次函数y =a x 2+bx +c 的自变量x 与函数y 的几组对应值如下表,x …−4−2035…y…−24−80−3−15…则下列关于这个二次函数的结论正确的是( )A.图象的开口向上B.当x>0时,y的值随x的值增大而增大C.图象经过第二、三、四象限D.图象的对称轴是直线x=116.直线y=ax+b与抛物线y=a x2+bx+b在同一坐标系里的大致图象正确的是()A.B.C.D.四、解答题17.已知二次函数过点A(0,−2),B(−1,0),C(2,0).(1)求此二次函数的解析式;(2)当x为何值时,这个二次函数取到最小值?并求出这个最小值.18.已知二次函数y=x2−4x+1.(1)将该二次函数化成y=a(x+ℎ)2+k的形式.(2)自变量x在什么范围内时,y随x的增大而增大?19.在平面直角坐标系中,已知抛物线y=a x2−2a2x−3(a≠0).(1)若a=1,当−2<x<3时,求y的取值范围;(2)已知点A(2a−1,y1),B(a,y2),C(a+2,y3)都在该抛物线上,若(y1−y3)(y3−y2)>0,求a 的取值范围.20.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2−2tx+t2−t.(1)求抛物线的顶点坐标(用含t的代数式表示);(2)点P(x1,y1),Q(x2,y2)在抛物线上,其中t−1≤x1≤t+2,x2=1−t.①若y1的最小值是−2,求y1的最大值;②若对于x1,x2,都有y1<y2,求t的取值范围.21.若一个函数的解析式等于另两个函数解析式的和,则这个函数称为另两个函数的“生成函数”.现有关于x的两个二次函数y1,y2,且y1=a(x−m)2+4(m>0),y1,y2的“生成函数”为:y=x2+4x+14;当x=m时,y2=15;二次函数y2的图象的顶点在y轴上.(1)求m的值;(2)求二次函数y1,y2的解析式.22.某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使得利润最大?小明同学,为了完成以上问题,小明分析:调整价格包括涨价和降价两种情况.小明先探索了涨价的情况,下面是小明的思路,请你帮助小明完善以下内容:(1)假设每件涨价x元,则所得利润y与x的函数关系式为 ;其中x的取值范围是 ;在涨价的情况下,定价 元时,利润最大,最大利润是 .(2)请你参考小明(1)的思路继续思考,在降价的情况下,求最大利润是多少?(3)在(1)(2)的讨论及现在的销售情况,回答商家如何定价能使利润能达到最大?23.在平面直角坐标系中,二次函数y=−x2+bx+c(b、c为常数)的图象经过点A(3,0)和点B(0,3 ).(1)求这个二次函数的表达式.(2)当0≤x≤m+1时,二次函数y=−x2+bx+c的最大值与最小值的差为1,求m的取值范围.(3)当m≤x≤m+1(m>0)时,设二次函数y=−x2+bx+c的最大值与最小值的差为ℎ,求ℎ与m之间的函数关系式.(4)点P在直线x=m上运动,若在坐标平面内有且只有两个点P使△PAB为直角三角形,直接写出m 的取值范围.答案解析部分1.【答案】C 2.【答案】D 3.【答案】D 4.【答案】B 5.【答案】D 6.【答案】27.【答案】88.【答案】−12<m <09.【答案】2010.【答案】(32,87)11.【答案】(1)−16(2)−3<m <−112.【答案】C 13.【答案】C 14.【答案】D 15.【答案】D 16.【答案】D17.【答案】(1)y =x 2−x−2(2)当x =12时,y 的最小值为−9418.【答案】(1)y =(x−2)2−3(2)当x >2时,y 随x 的增大而增大19.【答案】(1)解:当a =1时,y =x 2−2x−3,抛物线开口向上,对称轴为直线x =1,x =−2比x =3距离对称轴远,∴x =1时,y =1−2−3=−4为函数最小值,当x =−2时,y =4+4−3=5为函数最大值,∴当−2<x <3时,−4≤y <5;(2)解:∵对称轴为直线x =a ,∴当a >0时,抛物线开口向上,函数有最小值y 2,∴y3−y2>0,∵(y1−y3)(y3−y2)>0,∴y1−y3>0,即y1>y3,∴|2a−1−a|>|a+2−a|,解得a>3,当a<0时,抛物线开口向下,函数有最大值y2,∴y3−y2<0,∵(y1−y3)(y3−y2)>0,∴y1−y3<0,即y1<y3,∴|2a−1−a|>|a+2−a|,解得a<−1,∴a的取值范围是a>3或a<−1.20.【答案】(1)(t,−t)(2)①2;②t<−12或t>32.21.【答案】(1)m=1(2)y1=−2(x−1)2+4;y2=3x2+1222.【答案】(1)y=−10x2+100x+6000;0⩽x⩽30;65;6250元(2)解:设每件降价x元,则每星期售出商品的利润w元,则w=(20−x)(300+20x)=−20x2+100x+6000,∵函数的对称轴为x=−1002×(−20)=2.5,∴当x=2.5(元)时,则w=−20×2.52+100×2.5+6000=6125(元);(3)解:∵6250>6125,∴用涨价方式比降价方式获得利润大,当定价为65元时,利润最大.23.【答案】(1)解:将A(3,0)、B(0,3)代入y=−x2+bx+c中,得{−9+3b+c=0,c=3.解得{b=2,c=3.∴y=−x2+2x+3.(2)解:∵函数图象的顶点坐标为(1,4),∴点B(0,3)关于对称轴直线x=1的对称点的坐标为(2,3),4−3=1.∴1≤m+1≤2,∴0≤m≤1(3)解:当0<m ≤12时,ℎ=4−(−m 2+2m +3)=m 2−2m +1.当12<m ≤1时,ℎ=4−(−m 2+4)=m 2.当m >1时,ℎ=−m 2+2m +3−(−m 2+4)=2m−1.(4)m =0或m =3或m <3−322或m >3+322.。
浙教版数学九年级上第1章二次函数综合达标测试卷(含答案)

第1章综合达标测试卷
(满分:100分时间:90分钟)
一、选择题(每小题2分,共20分)
1.二次函数y=-3x2-6x+5的图象的顶点坐标是(A)
A.(-1,8) B.(1,8)
C.(-1,2) D.(1,-4)
2.二次函数y=kx2+2x+1(k<0)的图象可能是(C)
3.二次函数y=x2+2x+3自变量x的取值范围为(B)
A.x>0 B.x为一切实数
C.y>2 D.y为一切实数
4.抛物线y=2x2-3的顶点在(D)
A.第一象限B.第二象限
C.x轴上D.y轴上
5.已知a<-1,且点(a-1,y1),(a,y2),(a+1,y3)都在函数y=x2的图象上,则(C) A.y1<y2<y3B.y1<y3<y2
C.y3<y2<y1D.y2<y1<y3
6.把二次函数y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得函数图象的解析式为y=x2-3x+5,则(A)
A.b=3,c=7 B.b=6,c=3
C.b=-9,c=-5 D.b=-9,c=21
7.关于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有下列命题:①当c=0时,函数的图象经过原点;②当c>0,且函数的图象开口向下时,ax2+bx+c=0必有两个实数根;③函数图
象最高点的纵坐标是4ac-b2
4a
;④当b=0时,函数图象关于y轴对称.其中正确的个数是
(C)
A.1 B.2
C.3 D.4
8.当-4≤x≤2时,函数y=-(x+3)2+2的取值范围为(B) A.-23≤y≤1 B.-23≤y≤2
C.-7≤y≤1 D.-34≤y≤2。
1最新浙教版初中数学九年级上册专题练习 .1 二次函数

1.1 二次函数一、选择题(本题包括4小题.每小题只有1个选项符合题意) 1. 下列函数是二次函数的是( )A .S=2t-3B .S=22+5tC .y=x 2D .y=x 2-20+1x2. 二次函数y= 12(x-2)2-3的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( )A. 12,-2,-3B. 12,-2,-1C. 12,4,-3D. 12,-4,1 3. 由表格信息知,二次函数y=2x 2+bx+c 中的b ,c 分别为( )A .b=1,c=1B .b=1,c=-1C .b=-1,c=1D .b=-1,c=-1 4. 下列函数关系式,可以看作二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)模型的是( ) A .圆的周长与圆的半径之间的关系B .我国人口年自然增长率为1%,我国人口总数随年份的变化关系C .在一定距离内汽车行驶速度与行驶时间的关系D .正方体的表面积与棱长的关系 二、填空题(本题包括4小题) 5. 填表:6. 若知二次函数y=x 2+bx+1,当x=-1时,y=5,则b=________.7. 半径为3的圆,如果半径增加x ,那么圆增加的面积S 关于x 的函数表达式为__________. 8. 某超市一月份的营业额为200万元,一月、二月、三月的营业额共y 万元,如果平均每月增长率为x ,那么营业额y 与月平均增长率x 之间的函数关系式为 .三、解答题(本题包括6小题.)9.在二次函数y=ax2+c中,当x=3时,y=26;当x=2时,y=11,求二次函数的表达式.10.已知函数y=(m2-m)x2+(m-1)x+2-2m.(1)若这个函数是二次函数,求m的取值范围.(2)若这个函数是一次函数,求m的值.(3)这个函数可能是正比例函数吗?为什么?11.如图,用20 m的篱笆围成一个矩形的花圃.设连墙的一边为x(m),矩形的面积为y(m2).(1)写出y关于x的函数表达式.(2)当x=3时,矩形的面积为多少?第11题图12.观察下面的表格:求a,b,c的值,并在表格内的空格中填上正确的数.13.如图,已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20cm,AC与MN在同一条直线上,开始时点A与点N重合,让△ABC以2cm/s的速度向左运动,最终点A与点M重合.(1)写出重叠部分的面积y(cm2)与时间t(s)之间的函数表达式和自变量的取值范围;(2)当t=1,t=2时,求重叠部分的面积.第13题图14.如图,在正方形ABCD中,AB=4,E是BC上一点,F是CD上一点,且AE=AF,设△AEF的面积为y ,EC=x.(1)求y 关于x 的函数表达式,并求出自变量x 的取值范围; (2)当S △AEF =72时,求CE 的长度;(3)当x 为何值时,△AEF 为正三角形.第14题图1.1 二次函数参考答案一、1. C 2. B 3. C 4. D 二、5.8. y=200x 2+600x+600或y=200+200(1+x )+200(1+x )29. y=3x 2-1三、10. 解:(1)m≠0且m≠1. (2)m=0. (3)不可能.若为正比例函数,则必须2-2m=0,即m=1,而此时y=0,不是正比例函数. 11. 解:(1)y=x (20-2x )=-2x 2+20x (0<x<10). (2)当x=3时,y=-18+60=42(m 2). 12. 解:a=2,b=-3,c=4.13. 解:(1)∵△ABC . 又∵AN =2t ,∴AM =MN-AN=20-2t ,∴MH =AM=20-2t ,∴重叠部分的面积为y=12(20-2t )2=2t 2-40t+200. 自变量的取值范围是0≤t≤10.(2)当t=1时,y=162(cm 2).当t=2时,y=128(cm 2). 14. 解:(1)∵AE =AF ,∠B =∠D =90°,AD=AB , ∴△ABE≌△ADF(HL ),∴DF =BE=4-x ,∴FC =EC=x , ∴S △AEF =S 正方形ABCD -S △ABE -S △EFC -S △ADF ,∴y =42-12×4×(4-x )×2-12x 2=-x22+4x ,x 的取值范围为0<x≤4.(2)∵S △AEF =72,∴-12x 2+4x=72,解得x 1=1,x 2=7(舍去),∴x =1,即CE 的长度为1.(3)在直角三角形ECF 中,EF 2=2x 2. 在直角三角形ABE 中,AE 2=16+(4-x )2. ∵正三角形AEF ,∴AE =EF ,∴2x 2=16+(4-x )2,解得x 1=-4+43,x 2=-4-43(舍去). 即当x=-4+43时,△AEF 为正三角形.。
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二次函数综合练习题
1.填空题
1. (2011浙江省舟山,15,4分)如图,已知二次函数
c bx x y ++=2
的图象经过点(-1,
x 的增大而增大时,x 的取值范围是 .
2. (2011山东日照,17,4分)如图,是二次函数 y =ax2+bx +c (a ≠0)的图象的一部分,
给出下列命题 :①a+b+c=0;②b >2a ;③ax 2+bx+c=0的两根分别为-3和1;④a-2b+c >0.其中正确的命题是 .(只要求填写正确命题的序号)
3. (2011 浙江杭州,23, 10)设函数2
(21)1y kx k x =+++ (k 为实数).
(1)写出其中的两个特殊函数,使它们的图象不全是抛物线,并在同一直角坐标系中,用描点法画出这两个特殊函数的图象;
(2)根据所画图象,猜想出:对任意实数K ,函数的图象都具有的特征,并给予证明; (3)对任意负实数k ,当x<m 时,y 随着x 的增大而增大,试求出m 的一个值.
4. (2011 浙江湖州,15,4)如图,已知抛物线2
y x bx c =++经过点(0,-3),请你确定一
个b 的值,使该抛物线与x 轴的一个交点在(1,0)和(3,0)之间你所确定的b 的值是 .
5. (2011宁波市,16,3分)将抛物线y =x 的图象向上平移1个单位,则平移后的抛物线
(第15
c
+
的解析式为 【答案】y =x2+1
6. (2011浙江义乌,16,4分)如图,一次函数y=-2x 的图象与二次函数y=-x2+3x 图象的对称轴交于点B.
(1)写出点B 的坐标 ▲ ;
(2)已知点P 是二次函数y=-x2+3x 图象在y 轴右侧部分上的一 个动点,将直线y=-2x 沿y 轴向上平移,分别交x 轴、y 轴于
C 、
D 两点. 若以CD 为直角边的△PCD 与△OCD 相似,则点 P 的坐标为 ▲ .
7. (2011浙江省嘉兴,15,5分)如图,已知二次函数c bx x y ++=2
的图象经过点(-1,0),
(1,-2),该图象与x 轴的另一个交点为C ,则AC 长为 .
13. (2011广东茂名,15,3分)给出下列命题:
命题1.点(1,1)是双曲线
x y 1
=
与抛物线2
x y =的一个交点. 命题2.点(1,2)是双曲线
x y 2
=
与抛物线2
2x y =的一个交 点. 命题3.点(1,3)是双曲线
x y 3
=
与抛物线2
3x y =的一个交点.
……
请你观察上面的命题,猜想出命题n (n 是正整数):
2、解答题
c
+O B C
D
1. (2011广东东莞,15,6分)已知抛物线
2
12y x x c =
++与x 轴有交点.
(1)求c 的取值范围;
(2)试确定直线y =cx+l 经过的象限,并说明理由.
2. ( 2011重庆江津, 25,10分)已知双曲线
x k
y =
与抛物线y=zx2+bx+c 交于A(2,3)、
B(m,2)、c(-3,n)三点.
(1)求双曲线与抛物线的解析式;
(2)在平面直角坐标系中描出点A 、点B 、点C,并求出△ABC 的面积,
6. (2011江苏南京,24,7分)(7分)已知函数y=mx 2-6x +1(m 是常数). ⑴求证:不论m 为何值,该函数的图象都经过
y 轴上的一个定点; ⑵若该函数的图象与x 轴只有一个交点,求m 的值. 10.(2011四川绵阳24,12)已知抛物线:y=x²-2x+m-1 与x 轴只有一个交点,且与y 轴交
第25题图 第25题图
于A 点,
如图,设它的顶点为B (1)求m 的值;
(2)过A 作x 轴的平行线,交抛物线于点C ,求证是△ABC 是等腰直角三角形;
(3)将此抛物线向下平移4个单位后,得到抛物线C',且与x 轴的左半轴交于E 点,与y 轴交于F 点,如图.请在抛物线C'上求点P ,使得△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形.
11. (2011贵州贵阳,21,10分)
如图所示,二次函数y=-x2+2x+m 的图象与x 轴的一个交点为A (3,0),另一个交点为B ,且与y 轴交于点C . (1)求m 的值;(3分) (2)求点B 的坐标;(3分)
(3)该二次函数图象上有一点D (x ,y )(其中x >0,y >0),使S △ABD=S △ABC ,求点D 的坐标.(4分)
(第21题图)
13. (2011广东肇庆,25,10分)已知抛物线
2
243
m mx x y -+=(m >0)与x 轴交于A 、
B 两点.
(1)求证:抛物线的对称轴在y 轴的左侧;
(2)若3211=
-OA OB (O 是坐标原点),求抛物线的解析式;
(3)设抛物线与y 轴交于点C ,若∆ABC 是直角三角形,求∆ABC 的面积.
15. (20011江苏镇江,24,7分)如图,在△ABO 中,已知点正比例y=-x 的图象是直线l,直线AC ∥x 轴交直线l 于点C. (1)C 点坐标为_____;
(2)以点O 为旋转中心,将△ABO 顺时针旋转角a(0°<a<180°),使得点B 落在直线l 上的对应点为B ',点A 的对应点为A ',得到△A OB ''. ①∠a=_____; ②画出△A OB '';
(3)写出所有满足△DOC ∽△AOB 的点D 的坐标.
17. (2011贵州安顺,27,12分)如图,抛物线y=21
x2+bx -2与x 轴交于A 、B 两点,与
y 轴交于C 点,且A (一1,0).
⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标; ⑵判断△ABC 的形状,证明你的结论;
⑶点M(m ,0)是x 轴上的一个动点,当CM+DM 的值最小时,求m 的值.
18. (2010湖北孝感,25,2分)如图(1),矩形ABCD 的一边BC 在直角坐标系中x 轴上,折叠边AD,使点D 落在x 轴上点F 处,折痕为AE ,已知AB=8,AD=10,并设点B 坐标为(m,0),其中m >
0.
(1)求点E 、F 的坐标(用含m 的式子表示);(5分) (2)连接OA ,若△OAF 是等腰三角形,求m 的值;(4分) (3)如图(2),设抛物线y=a(x -m -6)2+h 经过A 、E 两点,其顶点为M ,连接AM ,若∠OAM=90°,求a 、h 、m 的值. (5分)
19. (2011湖南湘潭市,25,10分)(本题满分10分) 如图,直线33+=x y 交x 轴于A 点,交y 轴于B 点,过A 、B 两点的抛物线交x 轴于另
第27题图
一点C(3,0).
⑴求抛物线的解析式;
⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ABQ是等腰三角形?若存在,求出符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由.
20.(2011湖北荆州,22,9分)(本题满分9分)如图,等腰梯形ABCD的底边AD在x
轴上,顶点C在y轴正半轴是,B(4,2),一次函数
1
-
=kx
y的图象平分它的面积,关于x
的函数
k
m
x
k
m
mx
y+
+
+
-
=2
)
3(
2
的图象与坐标轴只有两个交点,求m的值.
第22题图
21. (2011湖北宜昌,24,11分)已如抛物线y = ax2+bx+c 与直线y=m x +n 相交于两点,
这两点的坐标分别是(0,21
-
)和(m-b ,m2 – mb + n ,其中a ,b,c,m ,n 为实数,且a ,m 不
为0.
(1)求c 的值;
(2)设抛物线y = ax2+bx+c 与x 轴的两个交点是(1x ,0)和(2x ,0),求21x x 的值; (3)当11≤≤-x 时,设抛物线y = ax2+bx+c 与x 轴距离最大的点为P (0
x ,0y
),求这时
y 的最小值.。