高一精选题库数学 课堂训练3-3
高一数学 课堂训练3-4
第3章 第4节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2011·辽宁]设sin(π4＋θ)＝13，则sin2θ＝( )A. －79B. －19C. 19D. 79答案：A解析：由sin(π4＋θ)＝13，得22sin θ＋22cos θ＝13，即sin θ＋cos θ＝23，两边平方，得1＋sin2θ＝29，所以sin2θ＝－79.2. 已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋76π)的值是( )A. －25 3B.235C. －45D. 45答案：C解析：cos(α－π6)＋sin α＝cos αcos π6＋sin αsin π6＋sin α＝32cos α＋32sin α＝3sin(α＋π6)＝45 3.∴sin(α＋π6)＝45，而sin(α＋76π)＝－sin(α＋π6)＝－45.3. [2012·太原部分重点中学联考]已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin2αcos (α－π4)＝( )A. －255B. －3510C. －31010D. 255答案：A解析：由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2<α<0，所以sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin2αcos (α－π4)＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255.4. [2012·江南十校一模]若将函数y ＝A cos(x －π6)·sin(ωx ＋π6)(A >0，ω>0)的图像向左平移π6个单位后得到的图像关于原点对称，则ω的值可能为( )A. 2B. 3C. 4D. 5答案：D解析：f (x )＝A cos(x －π6)sin(ωx ＋π6)，则f (x ＋π6)＝A cos x sin(ωx ＋πω6＋π6)，即ω·π6＋π6＝kπ，则ω的值可能为5，故选D.5. [2012·广州六校联考]已知f (x )＝cos(π2－x )＋3sin(π2＋x )(x ∈R )，则函数f (x )的最大值为( )A. 2 3B. 2C. 3D. 1 答案：B解析：∵f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2(12sin x ＋32cos x )＝2(sin x cos π3＋cos x sin π3)＝2sin(x ＋π3)．∴当sin(x ＋π3)＝1，其中x ＝2kπ＋π6，k ∈Z 时，f (x )取得最大值，其最大值为2，故选B.6. 若α，β∈(0，π2)，cos(α－β2)＝32，sin(α2－β)＝－12，则cos(α＋β)的值等于( )A. －32B. －12C. 12D.32 答案：B解析：∵α，β∈(0，π2)，∴－π4<α－β2<π2，－π2<α2－β<π4，由cos(α－β2)＝32和sin(α2－β)＝－12可得α－β2＝±π6，α2－β＝－π6，当α－β2＝－π6，α2－β＝－π6时，α＋β＝0，与α，β∈(0，π2)矛盾；当α－β2＝π6，α2－β＝－π6时，α＝β＝π3，此时cos(α＋β)＝－12，选B.二、填空题(每小题7分，共21分)7. [2012·浙江杭州月考]已知sin(x ＋π6)＝33，则sin(5π6－x )＋sin 2(π3－x )＝__________.答案：2＋33解析：sin(5π6－x )＋sin 2(π3－x )＝sin[π－(5π6－x )]＋cos 2[π2－(π3－x )]＝sin(x ＋π6)＋cos 2(x ＋π6)＝sin(x ＋π6)＋1－sin 2(x ＋π6)＝33＋1－13＝2＋33.8. [2012·广东惠州模拟]方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >0)的两根为tan A ，tan B ，且A ，B ∈(－π2，π2)，则A ＋B ＝__________. 答案：－3π4解析：由韦达定理得tan A ＋tan B ＝－3a ，tan A tan B ＝3a ＋1， 则tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－3a1－(3a ＋1)＝1.又A ，B ∈(－π2，π2)，A ＋B ∈(－π，π)，tan A ＋tan B ＝－3a <0，tan A tan B ＝3a ＋1>0，所以tan A <0，tan B <0，A ∈(－π2，0)，B ∈(－π2，0)，A ＋B ∈(－π，0)，所以A ＋B ＝－3π4.9. [2012·镇江模拟]已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx cos ωx ，x ∈R ，又f (α)＝－12，f (β)＝12，若|α－β|的最小值为3π4，则正数ω的值为________．答案：13解析：∵f (x )＝1－cos2ωx 2＋32sin2ωx＝12＋sin(2ωx －π6)， 由题意知f (x )的14个周期为34π，∴14×2π2ω＝34π，∴ω＝13.三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. 已知sin(2α－β)＝35，sin β＝－1213，且α∈(π2，π)，β∈(－π2，0)，求sin α的值．解：∵π2<α<π，∴π<2α<2π.又－π2<β<0，∴0<－β<π2，π<2α－β<5π2.而sin(2α－β)＝35>0，∴2π<2α－β<5π2，cos(2α－β)＝45.又－π2<β<0且sin β＝－1213，∴cos β＝513，∴cos2α＝cos[(2α－β)＋β] ＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)sin β ＝45×513－35×(－1213) ＝5665. 又cos2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝9130，∵α∈(π2，π)，∴sin α＝3130130.11. [2011·广东]已知函数f (x )＝2sin(13x －π6)，x ∈R .(1)求f (5π4)的值；(2)设α，β∈[0，π2]，f (3α＋π2)＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．解析：(1)化简f (54π)＝2sin π4＝2，可直接求出．(2)化简f (3α＋π2)＝2sin α＝1013，得sin α＝513，同理f (3β＋2π)＝2sin(β＋π2)＝2cos β＝65，∴cos β＝35.由α、β都为锐角，可求得cos α、sin β值，再用两角和的余弦公式可求得cos(α＋β)．解：(1)f (5π4)＝2sin(5π12－π6)＝2sin π4＝ 2.(2)f (3α＋π2)＝2sin α＝1013，∴sin α＝513.又α∈[0，π2]，∴cos α＝1213.f (3β＋2π)＝2sin(β＋π2)＝2cos β＝65，∴cos β＝35.又β∈[0，π2]，∴sin β＝45，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1665.12. [2012·深圳调研]已知函数f (x )＝2sin(ωx －π6)sin(ωx ＋π3)(其中ω为正常数，x ∈R )的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)在△ABC 中，若A <B ，且f (A )＝f (B )＝12，求BCAB 的值．解：(1)∵f (x )＝2sin(ωx －π6)sin(ωx ＋π3)＝2sin(ωx －π6)cos[(ωx ＋π3)－π2]＝2sin(ωx －π6)cos(ωx －π6)＝sin(2ωx －π3)，而f (x )的最小正周期为π，ω为正常数， ∴2π2ω＝π，解得ω＝1. (2)由(1)得f (x )＝sin(2x －π3)，若x 是三角形的内角，则0<x <π. ∴－π3<2x －π3<5π3.令f (x )＝12，得sin(2x －π3)＝12.∴2x －π3＝π6或2x －π3＝5π6.解得x ＝π4或x ＝7π12.∵A ，B 是△ABC 的内角，A <B ，且f (A )＝f (B )＝12，∴A ＝π4，B ＝7π12，∴C ＝π－A －B ＝π6，由正弦定理，得BC AB ＝sin Asin C ＝sinπ4sin π6＝2212＝ 2.。
2019年苏教版高一数学选修1-1同步课堂精练：3.3.3 最大值与最小值 Word版含答案
1．给出下列四个命题：①若函数f (x )在上有最大值，则这个最大值一定是上的极大值；②若函数f (x )在上有最小值，则这个最小值一定是上的极小值；③若函数f (x )在上有最值，则最值一定在x ＝a 或x ＝b 处取得；④若函数f (x )在(a ，b )内连续，则f (x )在(a ，b )内必有极大值与最小值．其中真命题的个数是__________．2．函数f (x )＝x －sin x 在上的最大值为__________．3．函数f (x )＝x 3＋在(0，＋∞)上的最小值为__________．3x4．函数在上的最小值为__________．ln ()xf x x=5．设f (x )，g (x )是定义在上的可导函数，且f ′(x )＞g ′(x )．令F (x )＝f (x )－g (x )，则F (x )的最小值为______．6．已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －a )．若f ′(－1)＝0，则函数f (x )在上的最大值为__________，最小值为__________．7．在区间上，函数f (x )＝x 2＋px ＋q 与g (x )＝2x ＋在同一点取得相同的最小1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦21x 值，则p ＝________，q ＝________.8．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为__________．9．(2012重庆高考，文17)已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极值c －16.(1)求a ，b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在上的最小值．10．设函数f (x )＝ax ＋ln x ，g (x )＝a 2x 2，是否存在正实数a ，使f (x )≤g (x )对一切正实数x 都成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案1.答案：0 解析：由函数极值最值的概念与关系得都是假命题.2.答案：π 解析：∵f ′(x )＝1－cos x ，∴当x ∈时，f ′(x )≥0.∴f (x )在上递增.∴f (x )ma x ＝f (π)＝π.3.答案：4 解析：f ′(x )＝3x 2－＝.23x 2213x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭令x 2－＝0，解得x ＝±1.21x ∵x ＞0，∴x ＝1.当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当x ＞1时，f ′(x )＞0，∴当x ＝1时，f (x )取得极小值，也为最小值，故f (x )min ＝f (1)＝4.4.答案：0 解析：f ′(x )＝，令f ′(x )＝0，得x ＝e ，21ln xx-列表：x 1(1，e)e (e ，e 2)e 2f ′(x )＋0－f (x )A极大值1eA22e ∴f (x )的最小值为0.5.答案：f (a )－g (a ) 解析：∵f ′(x )＞g ′(x )，∴f ′(x )－g ′(x )＞0.∴在x ∈上，F ′(x )＞0.∴F (x )在上递增.∴F (x )min ＝F (a )＝f (a )－g (a ).6.答案： 解析：由原式可得f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，f ′(x )＝3x 2－2ax －4.925027-由f ′(－1)＝0得，此时12a =f (x )＝x 3－x 2－4x ＋2，f ′(x )＝3x 2－x －4.12令f ′(x )＝0，得x ＝－1或.43x =又f (－1)＝，，92450327f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭f (－2)＝f (2)＝0，所以函数f (x )在上的最大值为，最小值为.925027-7.答案：－2 4 解析：依题意，得g ′(x )＝2－.32x 令g ′(x )＝0，得x ＝1.∵g (1)＝2＋1＝3，，，152g ⎛⎫=⎪⎝⎭17(2)4g =∴当x ＝1时，g (x )取得最小值3.∵1∈且1不是区间的端点，1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦∴x ＝1是f (x )＝x 2＋px ＋q 的对称轴，∴，，解得p ＝－2，q ＝4.12p-=2434q p -=8. 解析：当x ＝t 时，|MN |＝|f (t )－g (t )|＝|t 2－ln t |，令φ(t )＝t 2－lnt ，∴φ′(t )＝2t －＝.1t221t t -可知t ∈时，φ(t )单调递减；⎛ ⎝t ∈时，φ(t )单调递增，⎫+∞⎪⎪⎭∴φ(t )最小，其最小值为，这时|MN |取最小值.t =111ln 20222-=+>9.答案：解：(1)因f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2＋b ，由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16，故有(2)0,(2)16,f f c '=⎧⎨=-⎩即化简得120,8216,a b a b c c +=⎧⎨++=-⎩120,48,a b a b +=⎧⎨+=-⎩解得a ＝1，b ＝－12.(2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ；f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2).令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(－∞，－2)上为增函数；当x ∈(－2,2)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(－2,2)上为减函数；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(2，＋∞)上为增函数.由此可知f (x )在x 1＝－2处取得极大值f (－2)＝16＋c ，f (x )在x 2＝2处取得极小值f (2)＝c －16.由题设条件知16＋c ＝28得c ＝12.此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3，f (2)＝－16＋c ＝－4，因此f (x )在上的最小值为f (2)＝－4.10.答案：解：假设存在正实数a 使f (x )≤g (x )对一切正实数x 都成立.令F (x )＝f (x )－g (x )＝ax ＋ln x －a 2x 2(x ＞0)，则ma x ≤0.因为F ′(x )＝a ＋－2a 2x ＝，1x2212ax a x x +-令F ′(x )＝0，即2a 2x 2－ax －1＝0，解得或(舍).1x a =12x a=-当时，F ′(x )＜0，F (x )为减函数；1x a>当0＜x ＜时，F ′(x )＞0，F (x )为增函数.1a所以ma x ＝≤0，11ln F a a ⎛⎫=⎪⎝⎭解得a ≥1，故a 的取值范围为[1，＋∞).。
2020-2021学年高一数学课时同步练习 第三章 第3节 幂函数
2020-2021学年高一数学课时同步练习第三章 函数的概念与性质第3节 幂函数一、基础巩固1．（2020·陕西新城西安中学高二期末（文））以下命题正确的是（ ） ①幂函数的图像都经过()0,0②幂函数的图像不可能出现在第四象限③当0n =时，函数ny x =的图像是两条射线（不含端点） ④()3f x x -=是奇函数，且()3f x x -=在定义域内为减函数A ．①②B ．②④C ．②③D ．①③【答案】C【解析】①幂函数1y x -=不经过原点，所以①不正确； ②形如y x α=，α∈R 的函数是幂函数，当0x >时，0y >， 所以函数的图象不可能出现在第四象限，所以②正确； ③0y x =的定义域是{}0x x ≠，1y =，所以0n =时，n y x =的图象是两条射线（不含端点），所以③正确；④()3f x x -=是奇函数，函数的定义域是()(),00,-∞⋃+∞，函数在(),0-∞是减函数，在()0,∞+也是减函数， 但在定义域内不是减函数，所以④不正确.2．（2020·浙江越城�绍兴市阳明中学高二期中）函数()22xf x =+的定义域为（ ） A ．[]22-,B ．[)(]2,00,2-C ．(][),22,-∞-+∞D ．()()2,00,2-【答案】A【解析】自变量x 满足240x -≥，故22x -≤≤， 故函数的定义域为[2,2]-. 故选：A.3．（2020·公主岭市第一中学校高一期中（理））已知幂函数222()(21)m m f x m m x +-=-+的图象不过原点，则m 的值为（） A ．0 B ．-1C ．2D ．0或2【答案】A 【解析】函数是幂函数，2211m m ∴-+= ，解得：2m =或0m =，当2m =时，()4f x x =，过原点，不满足条件；当0m =时，()2f x x -=，不过原点，满足条件，0m ∴=.4．（2020·广西北流市实验中学高三开学考试（理））若1x y >>，则下列一定成立的是（ ） A ．11()()24xy> B ．11()()24xy<C ．1124x y >D ．1124x y <【答案】C【解析】因为211()42⎛⎫= ⎪⎝⎭yy ，由1x y >>，但并不清楚,2x y 之间大小关系 所以11(),()24xy大小关系不明确，则A,B 不对 因为)1124=y ，由1x y >>，所以x 有12y x =在()0,∞+单调递增，所以1124x y >，故C 正确，D 错误5．（2020·天津市第五中学高二期中）已知函数f （x ）=x 2–m 是定义在区间[–3–m ，m 2–m ]上的奇函数，则A ．f （m ）<f （1）B ．f （m ）=f （1）C ．f （m ）>f （1）D ．f （m ）与f （1）大小不确定【答案】A【解析】因为幂函数f （x ）是奇函数，奇函数的定义域必然关于原点对称， 所以（–3–m ）+（m 2–m ）=0，解得m =–1或m =3．当m =–1时，函数f （x ）=x 3，–2≤x ≤2，所以f （m ）=f （–1）<f （1）； 当m =3时，函数f （x ）=1x，在x =0时无意义，不满足题意，舍去,故选A ． 6．（2020·鞍山市第八中学高一期中）若幂函数()()223265m f x m m x-=-+没有零点，则()f x 的图象关于（ ）对称 A ．原点 B ．x 轴 C ．y 轴 D ．没有【答案】A【解析】∵函数为幂函数，且与x 轴无交点 ∴22651m m -+=，230m -<， 解得1m =或2m =且32m <，∴1m =. ∴()1f x x=是奇函数，∴关于原点对称. 7．（2020·辽宁沈阳�高一期末）已知幂函数()()37m f x x m N -=∈的图象关于y 轴对称，且与x 轴、y 轴均无交点，则m 的值为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】由题意可得：370m -<且37m -为偶数，m N ∈， 解得73m <，且37m -为偶数，m N ∈， ∴1m =．8．（2020·开鲁县第一中学高一期末（文））下列函数既是偶函数，又在()0,∞+上单调递增的是（ ） A ．12y x = B ．2yx C ．3y x = D ．4y x =【答案】D【解析】A 选项，函数12y x =的定义域为[)0,+∞，所以函数12y x =是非奇非偶函数，排除A ； B 选项，幂函数2yx 在()0,∞+上单调递减，排除B ；C 选项，函数3y x =的定义域为R ，()33x x -=-，所以函数3y x =是奇函数，排除C ；D 选项，函数4y x =的定义域为R ，且()44x x -=，所以函数4y x =是偶函数；又由幂函数的性质可得，幂函数4y x =在()0,∞+上单调递增，故D 正确；9．（2020·浙江高一课时练习）若3x x <，则x 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞- B ．(1,)+∞C ．(,1)(0,1)-∞-D ．(,0)-∞【答案】C【解析】设3(),()f x x g x x ==，联立3y x y x⎧=⎨=⎩得(1,1),(1,1)A B --，因为3x x <， 所以()()f x g x <，由它们的图象可知x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-. 10．（2020·浙江高一课时练习）5个幂函数：①2y x ；②45y x =；③54y x =；④23y x =；⑤45y x -=.其中定义域为R 的是（ ） A ．只有①② B ．只有②③ C ．只有②④ D ．只有④⑤【答案】C 【解析】①2yx 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，②45y x =的定义域为R ， ③54y x =的定义域为(0,)+∞， ④23y x =的定义域为R ，⑤45y x -=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，11．（2020·全国高一课时练习）以下结论正确的是（ ） A ．当0α=时，函数y x α=的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过()0,0、()1,1两点C ．若幂函数y x α=的图象关于原点对称，则y x α=在定义域内y 随x 的增大而增大D ．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限 【答案】D【解析】对于A 选项，当0α=时，函数01y x ==的定义域为{}0x x ≠，所以，函数0y x =的图象是两条射线，A 选项错误；对于B 选项，幂函数1y x -=不经过原点，B 选项错误；对于C 选项，幂函数1y x -=的图象关于原点对称，但函数1y x -=在定义域内不单调，C 选项错误；对于D 选项，由于幂函数在第一象限必有图象，若幂函数在第四象限有图象，与函数的定义矛盾，所以，幂函数的图象不可能在第四象限，若幂函数为偶函数，则幂函数在第二象限有图象，D 选项正确. 12．（2020·浙江高一课时练习）已知幂函数pq y x=（*,,1p q q ∈>N 且,p q 互质）的图象如图所示，则（ ）A ．p ，q 均为奇数，且1pq> B ．q 为偶数，p 为奇数，且1pq> C ．q 为奇数，p 为偶数，且1p q> D ．q 为奇数，p 为偶数，且01pq<< 【答案】D【解析】由幂函数的图象关于y 轴对称，可知该函数为偶函数，所以p 为偶数，则q 为奇数， 因为图象在第一象限内向上凸起，且在0,单调递增，所以01pq<<.13．（2020·浙江高一课时练习）下面4个图象都是幂函数的图象，函数23y x-=的图象是（）A．B．C． D．【答案】B【解析】由幂函数的性质可知，函数23y x-=的图象在0,上单调递减，则AC错误；令123321()f x xx-⎛⎫== ⎪⎝⎭，()(),00,x∈-∞+∞因为()11332211()()f x f xxx⎛⎫⎛⎫-===⎪ ⎪⎪⎝⎭-⎝⎭，所以函数23y x-=为偶函数，则D错误；14．（2020·浙江高一课时练习）函数xy a=（0a>，1a≠）与by x=的图象如图，则下列不等式一定成立的是（）A．0ab>B．0a b+>C．1ab>D．log2a b>【答案】D【解析】由图可知，xy a=单调递增，则1a>；by x=单调递减，则0b<，A：a b>0不一定成立，如3,1a b==-；B：0a b+>不一定成立，如2,3a b==-；C：1ab>不成立，0ab<的；D：log20ab>>，成立．15．（2019·浙江高三月考）在同一直角坐标系中，函数()af x x=与()xg x a-=在[)0,+∞上的图象可能是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】()af x x =为幂函数，()1()-==x xg a ax 为指数函数A. ()1()-==xx g a ax 过定点(0,1)，可知101<<a ，1a ∴>，()a f x x =的图象符合，故可能.B. ()1()-==xx g a ax 过定点(0,1)，可知101<<a ，1a ∴>，()a f x x =的图象不符合，故不可能.C. ()1()-==xx g a ax 过定点(0,1)，可知11a >，01a ∴<<，()a f x x =的图象不符合，故不可能.D.图象中无幂函数图象，故不可能.16．（2020·湖北武汉�高三其他（理））若0＜a ＜b ＜1，x ＝a b ，y ＝b a ，z ＝b b ，则x 、y 、z 的大小关系为（ A ．x ＜z ＜y B ．y ＜x ＜z C ．y ＜z ＜x D ．z ＜y ＜x【答案】A【解析】因为01a b <<<， 故()xf x b =单调递减； 故a b y b z b =>=，幂函数()b g x x =单调递增； 故b b x a z b =<=，则x 、y 、z 的大小关系为：x z y <<；17．（多选题）（2020·新泰市第二中学高二月考）已知函数()f x x α=图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（ ） A ．函数为增函数 B ．函数为偶函数 C ．若1x >，则()1f x > D ．若120x x <<，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭.【答案】ACD【解析】将点(4,2)代入函数()f x x α=得：2=4α，则1=2α. 所以12()f x x =，显然()f x 在定义域[0,)+∞上为增函数，所以A 正确.()f x 的定义域为[0,)+∞，所以()f x 不具有奇偶性，所以B 不正确.当1x >1>，即()1f x >，所以C 正确.当若120x x <<时，()()122212()()22f x f x x x f ++-=22-.122x x +-.=0<.即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭成立，所以D 正确.18．（多选题）（2019·福建湖里�厦门双十中学高一期中）黄同学在研究幂函数时，发现有的具有以下三个性质：①奇函数；②值域是{|,0}y y R y ∈≠且；③在(),0-∞上是减函数.则以下幂函数符合这三个性质的有（ ） A ．2()f x x = B ．()f x x = C ．1()f x x -=D ．13()f x x -=E.23()f x x-=【答案】CD【解析】A. 2()f x x =，为偶函数，排除；B. ()f x x =，值域为R ，排除；C. 1()f x x -=，为奇函数，值域为{|,0}y y R y ∈≠且，在(),0-∞上是减函数，满足；D. 13()f x x-=，为奇函数，值域为{|,0}y y R y ∈≠且，在(),0-∞上是减函数，满足；E. 23()f x x -=，为偶函数，排除；19．（多选题）（2020·全国高一课时练习）已知实数a ，b 满足等式1132a b =，则下列五个关系式中可能成立的是（ ） A ．01b a <<< B ．10a b -<<< C ．1a b << D ．10b a -<<<E.a b = 【答案】ACE【解析】画出12y x =与13y x =的图象（如图），设1132a b m ==，作直线y m =.从图象知，若0m =或1，则a b =； 若01m <<，则01b a <<<； 若1m ；则1a b <<. 故其中可能成立的是ACE .20．（多选题）（2020·全国高一课时练习）已知幂函数()nm f x x =（m ，*n ∈N ，m ，n 互质），下列关于()f x 的结论正确的是（ ）A ．m ，n 是奇数时，幂函数()f x 是奇函数B ．m 是偶数，n 是奇数时，幂函数()f x 是偶函数C ．m 是奇数，n 是偶数时，幂函数()f x 是偶函数D ．01mn<<时，幂函数()f x 在()0,∞+上是减函数 E.m ，n 是奇数时，幂函数()f x 的定义域为R 【答案】ACE【解析】()n m n mf x x x ==当m ，n 是奇数时，幂函数()f x 是奇函数，故A 中的结论正确；当m 是偶数，n 是奇数，幂函数/()f x 在0x <时无意义，故B 中的结论错误当m 是奇数，n 是偶数时，幂函数()f x 是偶函数，故C 中的结论正确；01mn<<时，幂函数()f x 在()0,∞+上是增函数，故D 中的结论错误；当m ，n 是奇数时，幂函数()f x =在R 上恒有意义，故E 中的结论正确.二、拓展提升1．（2019·福建泉州�高一期中）已知幂函数()f x 的图象经过点13,3⎛⎫⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数()()()2g x x f x =-⋅，试判断函数()g x 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，并求函数()g x 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域． 【解析】（1）设()af x x =，则11333a -==，则1a =-， 所以()()110f x xx x-==≠． （2）因为()()()2221x g x x f x x x-=-⋅==-， 所以函数()g x 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数， 所以1x =时，()g x 有最大值1-；12x =时，()g x 有最小值3-． 所以函数()g x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]3,1--．2．（2017·铜梁一中高三月考（文））已知幂函数()()()21,k k f x x k Z -+=∈,且()f x 在()0,+∞上单调递增.(1)求实数k 的值,并写出相应的函数()f x 的解析式;(2)若()()243F x f x x =-+在区间[]2,1a a +上不单调,求实数a 的取值范围;(3)试判断是否存在正数q ,使函数()1()(21)g x qf x q x =-+-在区间[1,2]-上的值域为17[4,]8-若存在,求出q 的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由题意知(2)(1)0k k -+>,解得:12k -<<. 2分 又k Z ∈ ∴0k =或1k =, 3分 分别代入原函数,得2()f x x =. 4分 (2)由已知得2()243F x x x =-+. 5分 要使函数不单调，则211a a <<+，则102a <<. 8分 (3)由已知,2()(21)1g x qx q x =-+-+. 9分 法一:假设存在这样的正数q 符合题意,则函数()g x 的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为2111122q x q q-==-<, 因而,函数()g x 在[1,2]-上的最小值只能在1x =-或2x =处取得, 又(2)14g =-≠-,从而必有(1)234g q -=-=-,解得2q =.此时,2()231g x x x =-++,其对称轴[]31,24x =∈-, ∴()g x 在[1,2]-上的最大值为233317()2()314448g =-⨯+⨯+=,符合题意.∴存在2q =,使函数()1()(21)g x qf x q x =-+-在区间[1,2]-上的值域为17[4,]8-14分法二:假设存在这样的正数q 符合题意,由(1)知2()(21)1g x qx q x =-+-+,则函数()g x 的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为2111122q x q q-==-<,3．（2020·浙江高一课时练习）已知在区间(0,)(0)a a -<上，函数21a y x -=与2112y ax a a x ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭都是减函数，试求a 的取值范围. 【解析】解：因为幂函数()0y xαα=<时，函数在()0+∞，上单调递减，二次函数开口向下，在12,2a a a ⎛⎫⎪ ⎪+∞ ⎪ ⎛⎫-+ ⎝⎭⎪⎝⎭⎪单调递减， 所以有20101202a a a a a ⎧⎪⎪<⎪⎪-<⎨⎪⎛⎫⎪-+ ⎪⎪⎝⎭≤⎪⎩，解得102a -≤<.故实数a 的取值范围是：102⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，4．（2018·郁南县连滩中学高一期中）已知函数()4mf x x x=-，且()43f =. （1）求m 的值；（2）证明()f x 的奇偶性；（3）判断()f x 在()0,∞+上的单调性，并给予证明. 【解析】（1）()4444134m m f =-=-=，解得1m =； （2）因为()4f x x x=-，定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，又()()44f x x x f x x x ⎛⎫-=--=--=- ⎪-⎝⎭，因此，函数()y f x =为奇函数； （3）设120x x >>，则()()()12121212214444f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=---=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()1212121212441x x x x x x x x x x -⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为120x x >>，所以120x x ->，所以()()12f x f x >， 因此，函数()y f x =在()0,∞+上为单调增函数. 5．（2020·浙江高一课时练习）已知幂函数21322()()p p f x x p -++=∈N 在(0,)+∞上是增函数，且在定义域上是偶函数.（1）求p 的值，并写出相应的函数()f x 的解析式.（2）对于（1）中求得的函数()f x ，设函数()[()](21)()1g x qf f x q f x =-+-+，问是否存在实数(0)q q <，使得()g x 在区间(,4]-∞-上是减函数，且在区间(4,0)-上是增函数？若存在，请求出q ；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由于已知()f x 在(0,)+∞上是增函数，因而213022p p -++>，解得13p -<<. 又p ∈N ，因而0p =或1或2.当0p =或2p =时，32()f x x =，不是偶函数；当1p =时，2()f x x =，符合题意.（2）存在.理由如下：由（1）知2()[()](21)()1()(21)()1g x qf f x q f x qf x q f x =-+-+=-+-+.由于2()0f x x =，因而当(,4]x ∈-∞-时，2()[16,)f x x =∈+∞，此时，函数()g x 单调递减，而函数()t f x =在(],4-∞-上单调递减， 则外层函数()2211y qt q t =-+-+在[)16,+∞上单调递增；当(4,0)∈-x 时，2()(0,16)f x x =∈，此时，函数()g x 单调递增，而函数()t f x =在()4,0-上单调递减， 则外层函数()2211y qt q t =-+-+在()0,16上单调递减.所以211620q q q -⎧-=⎪-⎨⎪->⎩，即130q =-. 所以存在130q =-满足题设条件.。
精选题库高一3-3. 数学 数学doc北师大版
第3模块 第3节[知能演练]一、选择题1．函数y ＝xsin x，x ∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的()解析：∵y ＝xsin x 是偶函数，排除A ，当x ＝2时，y ＝2sin2>2，排除D. 当x ＝π6时，y ＝π6sin π6＝π3>1，排除B.答案：C2．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)图象的相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f (π4)的值是( )A ．0B ．1C ．－1D.π4解析：由题意知T ＝π4，由πω＝π4得ω＝4，∴f (x )＝tan4x ，∴f (π4)＝tan π＝0.答案：A3．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )A ．[－π，－5π6]B ．[－5π6，－π6]C ．[－π3，0]D ．[－π6，0]解析：f (x )＝sin x －3cos x ＝2sin(x －π3)∵－π≤x ≤0，∴－4π3≤x －π3≤－π3当－π2≤x －π3≤－π3时，即－π6≤x ≤0时，f (x )递增．答案：D4．对于函数f (x )＝sin x ＋1sin x(0<x <π)，下列结论中正确的是( )A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值解析：f (x )＝sin x ＋1sin x ＝1＋1sin x ，∵0<x <π，∴0<sin x ≤1，∴1sin x ≥1，∴1＋1sin x≥2.∴f (x )有最小值而无最大值． 答案：B 二、填空题 5．函数y ＝lgsin x ＋ cos x －12的定义域为____________，函数y ＝12sin(π4－23x )的单调递增区间为________．解析：(1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2kπ<x <π＋2kπ－π3＋2kπ≤x ≤π3＋2kπ(k ∈Z )， ∴2kπ<x ≤π3＋2kπ，k ∈Z ，∴函数的定义域为{x |2kπ<x ≤π3＋2kπ，k ∈Z }．(2)由y ＝12sin(π4－23x )得y ＝－12sin(23x －π4)，由π2＋2kπ≤23x －π4≤32π＋2kπ，得 98π＋3kπ≤x ≤21π8＋3kπ，k ∈Z ，故函数的单调递增区间为 [98π＋3kπ，21π8＋3kπ](k ∈Z )． 答案：{x |2kπ<x ≤π3＋2kπ，k ∈Z }[98π＋3kπ，21π8＋3kπ](k ∈Z ) 6．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos x cos x ，sin x >cos x ，给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x ＝π＋kπ(k ∈Z )时，该函数取得最小值－1； ③该函数的图象关于x ＝5π4＋2kπ(k ∈Z )对称；④当且仅当2kπ<x <π2＋2kπ(k ∈Z )时，0<f (x )≤22.其中正确命题的序号是________．(请将所有正确命题的序号都填上) 解析：画出f (x )在一个周期[0,2π]上的图象．由图象知，函数f (x )的最小正周期为2π，在x ＝π＋2kπ(k ∈Z )和x ＝32π＋2kπ(x ∈Z )时，该函数都取得最小值－1，故①②错误，由图象知，函数图象关于直线x ＝54π＋2kπ(k ∈Z )对称，在2kπ<x <π2＋2kπ(k ∈Z )时，0<f (x )≤22.故③④正确．答案：③④ 三、解答题7．已知函数y ＝f (x )＝2sin x1＋cos 2x －sin 2x.(1)求函数定义域；(2)用定义判断f (x )的奇偶性； (3)在[－π，π]上作出f (x )的图象； (4)写出f (x )的最小正周期及单调区间． 解：(1)∵f (x )＝2sin x 2cos 2x＝sin x|cos x |， ∴函数的定义域是{x |x ≠kπ＋π2，k ∈Z }．(2)由(1)知f (－x )＝sin(－x )|cos(－x )|＝－sin x|cos x |＝－f (x )，∴f (x )是奇函数． (3)f (x )＝⎩⎨⎧tan x (－π2<x <π2)－tan x (－π≤x <－π2或π2<x ≤π)，y ＝f (x )(x ∈[－π，π])的图象如图所示．(4)f (x )的最小正周期为2π，单调递增区间是(－π2＋2kπ，π2＋2kπ)(k ∈Z )，单调递减区间是(π2＋2kπ，3π2＋2kπ)(k ∈Z )．8．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin(2x ＋π6)＋2a ＋b ，当x ∈[0，π2]时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f (x ＋π2)且lg[g (x )]>0，求g (x )的单调区间．解：(1)∵x ∈[0，π2]，∴2x ＋π6∈[π6，7π6]，∴sin(2x ＋π6)∈[－12，1]，∴－2a sin(2x ＋π6)∈[－2a ，a ]，∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又－5≤f (x )≤1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－53a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－5. (2)f (x )＝－4sin(2x ＋π6)－1，g (x )＝f (x ＋π2)＝－4sin(2x ＋7π6)－1＝4sin(2x ＋π6)－1，又由lg[g (x )]>0，得g (x )>1， ∴4sin(2x ＋π6)－1>1，∴sin(2x ＋π6)>12，∴π6＋2kπ<2x ＋π6<56π＋2kπ，k ∈Z ，由π6＋2kπ<2x ＋π6≤2kπ＋π2，得 kπ<x ≤kπ＋π6，k ∈Z .由π2＋2kπ≤2x ＋π6<56π＋2kπ得 π6＋kπ≤x <π3＋kπ，k ∈Z . ∴函数g (x )的单调递增区间为(kπ，π6＋kπ](k ∈Z )，单调递减区间为[π6＋kπ，π3＋kπ)(k ∈Z )．[高考·模拟·预测]1．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2 C.3＋1D.3＋2解析：因为f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2cos(x －π3)，当x ＝π3时，函数取得最大值为2.故选B.答案：B2．若将函数y ＝tan(ωx ＋π4)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan(ωx ＋π6)的图象重合，则ω的最小值为( )A.16 B.14 C.13D.12解析：将函数y ＝tan(ωx ＋π4)的图象向右平移π6个单位后，得到的函数为y ＝tan[ω(x －π6)＋π4]＝tan(ωx －πω6＋π4)，这个函数的图象与函数y ＝tan(ωx ＋π6)的图象重合，根据正切函数的周期是kπ，故其充要条件是－πω6＋π4＝kπ＋π6(k ∈Z )，即ω＝－6k ＋12(k ∈Z )，当k ＝0时，ω的最小值为12，故选D.答案：D3．已知函数f (x )＝sin(x －π2)(x ∈R )，下面结论中错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间[0，π2]上是增函数C ．函数f (x )在图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数解析：∵f (x )＝－cos x ，∴f (x )为偶函数，故选D. 答案：D4．已知α∈(0，π4)，a ＝(sin α)cos α，b ＝(sin α)sin α，c ＝(cos α)sin α，则a 、b 、c 的大小关系是________．解析：α∈(0，π4),1>cos α>sin α>0，y ＝(sin α)x 为减函数，∴a <b .而y ＝x sin α在(0，＋∞)上为增函数，∴c >b .故c >b >a .答案：a <b <c5．已知函数f (x )＝3(sin 2x －cos 2x )－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)设x ∈[－π3，π3]，求f (x )的值域和单调递增区间．解：(1)∵f (x )＝－3(cos 2x －sin 2x )－2sin x cos x ＝－3cos2x －sin2x ＝－2sin(2x ＋π3)∴f (x )的最小正周期为π.(2)∵x ∈[－π3，π3]，∴－π3≤2x ＋π3≤π，∴－32≤sin(2x ＋π3)≤1. ∴f (x )的值域为[－2，3]．∵当y ＝sin(2x ＋π3)递减时，f (x )递增，令2kπ＋π2≤2x ＋π3≤2kπ＋3π2，则kπ＋π12≤x ≤kπ＋7π12，k ∈Z ，又x ∈[－π3，π3]，∴π12≤x ≤π3.故f (x )的递增区间为[π12，π3]．[备选精题]6．设函数f (x )＝sin(π4x －π6)－2cos 2π8x ＋1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，43]时y ＝g (x )的最大值．解：(1)f (x )＝sin π4x cos π6－cos π4x sin π6－cos π4x ＝32sin π4x －32cos π4x ＝3sin(π4x －π3)，故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(2)解法一：在y ＝g (x )的图象上任取一点(x ，g (x ))，它关于x ＝1的对称点为(2－x ，g (x ))．由题设条件，点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图象上，可知g (x )＝f (2－x )＝3sin[π4(2－x )－π3]＝3sin(π2－π4x －π3)＝3cos(π4x ＋π3)．当0≤x ≤43时，π3≤π4x ＋π3≤2π3，因此y ＝g (x )在区间[0，43]上的最大值为g (x )max ＝3cos π3＝32.解法二：因区间[0，43]关于x ＝1的对称区间为[23，2]，且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于x＝1对称，故y ＝g (x )在[0，43]上的最大值即为y ＝f (x )在[23，2]上的最大值．由(1)知f (x )＝3sin(π4x －π3)，当23≤x ≤2时，－π6≤π4x －π3≤π6. 因此y ＝g (x )在[0，43]上的最大值为g (x )max ＝3sin π6＝32.。
人教版高中数学选修一课时作业：3-3-3导数的应用
课时作业 (七)一、选择题1．设函数 g(x)＝x(x2－1)，则 g(x)在区间 [0,1] 上的最小值为 () A．－1B．0233C．－9 D. 33233分析：g(x)＝x－x，由 g′(x)＝3x－1＝0，解得 x1＝3，x2＝－3 (舍去 )．当 x 变化时， g′(x)与 g(x)的变化状况以下表：x03331 (0，3)3(3， 1)g′x)(－0＋g(x)0极小值03323所以当 x＝3时， g(x)有最小值 g(3)＝－9 .答案： C2．函数 f(x)＝x3－3x(－1<x<1)()A ．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，也无最小值D．无最大值，但有最小值分析： f′(x)＝3x2－3，因为－ 1<x<1，所以 f′(x)<0，故f(x)在区间 (－1,1)上单一递减，函数既没有最大值，也没有最小值．答案： C3．设在区间 [a， b] 上，函数y＝f(x)的图象是一条连续不停的曲线，且在区间 (a ，b)上可导，有以下三个命题：①若 f(x)在[a ，b]上有最大值，则这个最大值必是[a ，b] 上的极大值；②若 f(x)在[a ，b]上有最小值，则这个最小值必是[a ，b] 上的极小值；③若 f(x)在[a ，b] 上有最值，则最值必在 x ＝a 或 x ＝b 处获得．此中正确的命题共有 ()A ．0 个B ．1 个C ．2 个D ．3 个分析： 因为函数的最值可能在区间 [a ，b]的端点处获得，也可能在区间 [a ，b] 内获得，而当最值在区间端点处获得时，其最值必不是极值，所以命题①②③都不是真命题．答案： A4．函数 f(x)＝1 ＋x(x ∈[1,3]) 的值域为 ( )x ＋13 A ．(－∞，1)∪(1，＋ ∞)B ． [2，＋ ∞)3 133 13C ．(2， 4)D ．[2， 4 ]分析： f ′(x)＝－ 12 ＋1＝ x 2＋2xx ＋x ＋2，所以在 [1,3] 上 f ′(x)>0恒建立，即 f(x)在[1,3] 上单一递加，所以133f(x)的最大值是 f(3)＝ 4 ，最小值是 f(1)＝2.应选 D.答案： D5．已知 f(x)＝2x 3－6x 2＋m(m 为常数 )在[ －2,2]上有最大值 3，那么此函数在 [－2,2]上的最小值是 ( )A．－37B．－ 29C．－ 5D．以上都不对分析：∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，∵f(x)在(－2,0)上为增函数，在 (0,2)上为减函数，∴当 x＝0 时， f(x)＝m 最大．∴ m＝3，进而 f (－2)＝－ 37，f(2)＝－ 5.∴最小值为－ 37.应选 A.答案： A6．函数 f(x)＝x3－3ax－a 在(0,1)内有最小值，则 a 的取值范围是()A ．0≤a<1B．0<a<11C．－ 1<a<1D．0<a<2分析： f′(x)＝3(x2－a)，f(x)在(0,1)内有最小值，即f′(x)在(0,1)上起码有一根，∴f′(0)f′·(1)<0，即 a(a－1)<0.∴0<a<1.答案： B7．若不等式ax－x2＋2>0 在区间 [1,2] 上恒建立，则 a 的取值范围是()A ．a≤－1B．a<－1C．a≥4D．a>4分析：不等式a－x2＋ 2>0，即－x3＋2x＋a>0 在区间 [1,2] 上恒成xx立，即－ x3＋2x＋a>0 恒建立，∴ a>x3－2x，令 g(x)＝x3－2x，g′(x)＝3x 2－2，令 g ′(x)＝0，得 x ＝±6，又∵ x ∈[1,2] ，所以只取 x ＝6，又336 4 6g(1)＝－ 1，g( 3 )＝－ 9 ，g(2)＝4，故 g(x)在[1,2] 上最大值为 4，因 此 a 的取值范围是 a>4.答案： D8 ．设直线 ＝ t 与函数 f(x) ＝ 2，g(x)＝lnx 的图象分别交于点 M ， x xN ，则当 MN 达到最小时 t 的值为 ()1A ．1B.252C. 2D. 2分析： MN 的最小值，即函数 h(x)＝x 2－lnx 的最小值，′(＝2－12是函数 h(x)在其定义域内独一2x －1＝2x，明显 x ＝h x)xx22的极小值点，也是最小值点，故 t ＝ 2 .答案： D二、填空题9．函数 y ＝ x －x(x ≥0)的最大值为 ________．分析： y ′＝211x －1，令 y ′＝0，得 x ＝4.当 x ∈(0，1时 ′，∴＝－ 在 ，1上为增函数．当 ∈ 1，4)y >0 yx x(0 4) x (4＋∞)时 y ′<0，1∴ y ＝ x －x 在(4，＋ ∞)上为减函数，故 y ＝ x －x 在(0，＋ ∞)上11的极大值为 f(4)＝4.1又 f(0)＝0，∴ y ＝x －x 在 [0，＋ ∞)上的最大值为 4.1答案： 410．f(x)＝x －lnx 在区间 (0，e]上的最小值为 ________．1分析： 由 f ′(x)＝ 1－x ＝0，得 x ＝ 1，当 0<x<1 时，f ′(x)<0；当 1<x ≤e 时， f ′(x)>0，所以最小值为 f(1)＝ 1.答案： 111．函数 f(x)＝x 2＋2ax ＋1 在[0,1] 上的最小值为 f(1)，则 a 的取值范围为 ________．分析： f ′(x)＝2x ＋2a ，f(x)在[0,1] 上的最小值为 f(1)，说明 f(x)在[0,1] 上单一递减，∴ x ∈[0,1] 时， f ′(x)≤0 恒建立，a ≤－ x ，∴ a ≤－1.答案： (－ ∞，－ 1]a12．已知函数 f(x)＝2lnx ＋x 2(a>0)．若当 x ∈(0，＋ ∞)时， f(x) ≥2恒建立，则实数 a 的取值范围是 ________．分析： f(x)≥2 即 a ≥2x 2－2x 2lnx.令 g(x)＝2x 2－2x 2lnx ，则 g ′(x)＝2x(1－ 2lnx)．1 由 g ′(x)＝0 得 x ＝ e2，0(舍去 )，1 1 且 0<x<e22时 ′(，时， ′( ；当x>eg x)>0g x)<01 1 22∴ x ＝e 时 g(x)取最大值 g(e )＝e ，∴ a ≥e.答案： a ≥e三、解答题x13．求函数 f(x)＝e x 在[0,2] 上的最大值．x e x －xe x1－x解： y ′＝ (e x ) ＝′e 2x ＝ e x，令 y ′＝ 0，得 x ＝1，21 1 2而 f(0)＝0，f(2)＝e 2，f(1)＝ e ，且 e >e 2，1所以当 x ＝1 时，函数取最大值y ＝e .14．求函数 f(x)＝1－x＋lnx 在[1，2]上的最大值和最小值．x2 x － 1 ′(＝ 得 ＝解： f ′(x)＝，由xf x) x 1.当 x 变化时， f ′(x)和 f(x)变化状况以下表：111(1,2) 2x2(2，1)f ′(x)－＋f(x)1－ln2极小值 0－1＋ln22由上表可知， f(x)的最小值为 f(1)＝0.因为 f(12)＝1－ln2，f(2)＝－ 21＋ln2， f(12)－f(2)＝32－ 2ln2＝12(lne 3－ l n16)．11又因为 e 3>16，所以 f(2)－f(2)>0，所以 f(x)在[2，2]上的最大值为1f(2)＝1－ln2.15 ．[2014 ·徽卷安] 设函数f(x) ＝＋ ＋－ 2－x 3，此中 a ＞0.1 (1 a)x x(1)议论 f(x)在其定义域上的单一性；(2)当 x ∈[0，1]时 ，求 f(x)获得最大值和最小值时的 x 的值．15．解： (1)f(x)的定义域为 (－∞，＋ ∞)，f ′(x)＝1＋a －2x －3x 2.－ 1－ 4＋3a令 f ′(x)＝0，得 x 1＝ 3，－ 1＋ 4＋3ax 2＝3，x1<x 2，所以 f ′(x)＝－ 3(x －x 1)(x －x 2)．当 x<x 1 或 x>x 2 时， f ′(x)<0；当 x 1<x<x 2 时， f ′(x)>0.故 f(x)在 －1－ 4＋3a－1＋ 4＋3a－∞，3 和3 ，＋ ∞内单一递减，在 －1－4＋3a ，－1＋ 4＋3a 内单一递加．33(2)因为 a>0，所以 x 1<0，x 2>0，①当 a ≥4时， x 2≥1.由(1)知， f(x)在[0 ，1]上单一递加，所以 f(x)在 x ＝0 和 x ＝1 处罚别获得最小值和最大值．②当 0<a<4 时， x 2<1.由(1)知， f(x)在[0 ，x 2] 上单一递加，在 [x 2，1]上单一递减，－1＋ 4＋3a所以 f(x)在 x ＝x 2＝ 3处获得最大值．又 f(0)＝1，f(1)＝a ，所以当 0<a<1 时， f(x)在 x ＝1 处获得最小值；当 a ＝1 时， f(x)在 x ＝0 和 x ＝1 处同时获得最小值；当 1<a<4 时， f(x)在 x ＝0 处获得最小值．16．[2014 ·福建卷 ] 已知函数 f(x)＝e x －ax(a 为常数 )的图像与 y 轴交于点 A ，曲线 y ＝f(x)在点 A 处的切线斜率为－ 1.(1)求 a 的值及函数 f(x)的极值；(2)证明：当 x>0 时， x2<e x；16．解：方法一： (1)由 f(x)＝e x－ax，得 f ′(x)＝e x－a.又 f ′(0)＝1－a＝－ 1，得 a＝2.所以 f(x)＝e x－2x，f ′(x)＝e x－2.令 f ′(x)＝0，得 x＝ln 2.当 x<ln 2 时， f ′(x)<0，f(x)单一递减；当 x>ln 2 时， f ′(x)>0，f(x)单一递加．所以当 x＝ln 2 时， f(x)获得极小值，且极小值为 f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4，f(x)无极大值．(2)证明：令 g(x)＝e x－x2，则 g′(x)＝e x－2x.由(1)得， g′(x)＝f(x) ≥f(ln 2) ＝2－ln 4>0，故 g(x)在R上单一递加，又 g(0)＝1>0，所以当 x>0 时， g(x)>g(0)>0 ，即 x2<e x.。
高一精选题库习题3-6. 数学 数学doc
第3模块 第6节[知能演练]一、选择题1．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( )A ．－3B ．－13C ．3D.13 解析：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝535＝13.答案：D2．已知450°<α<540°，则12＋1212＋12cos2α的值是 ( )A ．－sin α2B ．cos α2C ．sin α2D ．－cos α2解析：原式＝12＋121＋cos2α2＝12－12cos α＝⎪⎪⎪⎪sin α2. ∵450°<α<540°，∴225°<α2<270°.∴原式＝－sin α2.答案：A3．等式|sin αcos α|＋12|sin 2α－cos 2α|＝12成立的充要条件是( )A ．α＝kπ(k ∈Z )B ．α＝kπ2(k ∈Z )C ．α＝kπ4(k ∈Z )D ．α＝kπ8(k ∈Z )解析：由题意知：原式＝12|sin2α|＋12|cos2α|＝12∴|sin2α|＋|cos2α|＝1，∴1＋2|sin2αcos2α|＝1. |sin4α|＝0，α＝kπ4(k ∈Z )．答案：C4．设M (cos πx 3＋cos πx 5，sin πx 3＋sin πx5)(x ∈R )为坐标平面内一点，O 为坐标原点，记f (x )＝|OM |，当x 变化时，函数f (x )的最小正周期是( )A ．30πB ．15πC ．30D ．15解析：f (x )＝|OM | ＝2＋2(cos π3x cos π5x ＋sin π3x sin π5x )＝2＋2cos(π3x －π5x )＝2(1＋cos 215πx )＝2(1＋2cos 2π15x －1)＝4cos 2π15x＝2|cos π15x |.所以其最小正周期T ＝ππ15＝15.答案：D 二、填空题5．求值：cos 4π8＋cos 43π8＋cos 45π8＋cos 47π8＝________.解析：原式＝2⎝⎛⎭⎫cos 4π8＋cos 43π8 ＝2⎝⎛⎭⎫cos 4π8＋sin 4π8＝2⎝⎛⎭⎫1－2sin 2π8cos 2π8 ＝2⎝⎛⎭⎫1－12sin 2π4＝32. 答案：326．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. 解析：由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， 可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3.答案：π3三、解答题7．用tan α表示sin2α，cos2α.解：sin2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1， cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.8．已知0<α<π4，β为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π8的最小正周期，a ＝⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫α＋14β，－1，b ＝(cos α，2)，且a·b ＝m ，求2cos 2α＋sin2(α＋β)cos α－sin α的值．解：因为β为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π8的最小正周期，故β＝π. 因a·b ＝cos αtan ⎝⎛⎭⎫α＋14β－2＝m ， 故cos αtan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝m ＋2. 由于0<α<π4，所以2cos 2α＋sin2(α＋β)cos α－sin α＝2cos 2α＋sin(2α＋2π)cos α－sin α＝2cos 2α＋sin2αcos α－sin α＝2cos α(cos α＋sin α)cos α－sin α＝2cos α·1＋tan α1－tan α＝2cos αtan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝4＋2m . [高考·模拟·预测]1．函数f (x )＝sin x －13－2cos x －2sin x(0≤x ≤2π)的值域为( )A ．[－22，0] B ．[－1,0] C ．[－2，0]D ．[－3，0]解析：f (x )＝sin x －13－2cos x －2sin x＝sin x －13－22sin(x ＋π4)，此函数的最大值必为0，当x ＝0时，分子为－1，分母为1，此时函数值最小，最小值为－1，故选B.答案：B2．函数f (x )＝(sin 2x ＋12009sin 2x )(cos 2x ＋12009cos 2x)的最小值是 ( )A.42009B.22009(2010－1) C.22009D.22009(2009－1) 解析：f (x )＝(2009sin 4x ＋1)(2009cos 4x ＋1)20092sin 2x cos 2x＝20092sin 4x cos 4x ＋2009(sin 4x ＋cos 4x )＋120092sin 2x cos 2x＝20092sin 4x cos 4x ＋2009[(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x ]＋120092sin 2x cos 2x＝sin 2x cos 2x ＋201020092sin 2x cos 2x －22009 ≥22009(2010－1)． 答案：B3．若sin θ2－2cos θ2＝0，则tan θ＝________.解析：由sin θ2－2cos θ2＝0得tan θ2＝2，代入二倍角公式可得tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2＝－43.答案：－434．俗话说“一石激起千层浪”，小时候在水上打“水漂”的游戏一定不会忘记吧．现在一个圆形波浪实验水池的中心已有两个振动源，在t 秒内，它们引发的水面波动可分别由函数y 1＝sin t 和y 2＝sin(t ＋2π3)来描述，当这两个振动源同时开始工作时，要使原本平静的水面保持平静，则需再增加一个振动源(假设不计其他因素，则水面波动由几个函数的和表达)，请你写出这个新增振动源的函数解析式：________________.解析：因为y 1＋y 2＋y 3＝sin t ＋sin(t ＋2π3)＋y 3＝sin t －12sin t ＋32cos t ＋y 3＝0，所以y 3＝sin(t ＋4π3)时符合题意．本题也可为y 3＝sin(t －2π3)(答案不唯一)． 答案：y 3＝sin(t ＋4π3)(答案不唯一)．5．设函数f (x )＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x .(Ⅰ)求函数f (x )的最大值和最小正周期；(Ⅱ)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13，f (C 2)＝－14，且C 为锐角，求sin A .解：(Ⅰ)f (x )＝cos2x cos π3－sin2x sin π3＋1－cos2x2＝12cos2x －32sin2x ＋12－12cos2x ＝12－32sin2x . 所以当2x ＝－π2＋2kπ，即x ＝－π4＋kπ(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，[f (x )]最大值＝1＋32， f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最大值为1＋32，最小正周期为π.(Ⅱ)由f (C 2)＝－14，即12－32sin C ＝－14，解得sin C ＝32，又C 为锐角，所以C ＝π3.由cos B ＝13求得sin B ＝223.因此sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×12＋13×32＝22＋36. [备选精题]6．已知A ，B 是△ABC 的两个内角，向量a ＝(2cos A ＋B 2，sin A －B 2)，若|a |＝62.(1)证明：tan A tan B 为定值；(2)当tan C 取最大值时，求△ABC 的三个内角的大小．解：(1)由条件可知32＝(62)2＝|a |2＝2cos 2A ＋B 2＋sin 2A －B 2＝1＋cos(A ＋B )＋1－cos(A －B )2，∴cos(A ＋B )＝12cos(A －B )，∴3sin A sin B ＝cos A cos B ，∵A ，B 是△ABC 的两个内角，∴tan A tan B ＝13为定值．(2)tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B ，由(1)知tan A tan B ＝13，∴tan A >0，tan B >0，从而tan C ＝－32(tan A ＋tan B )≤－32·2·tan A tan B ＝－3， ∴取等号的条件是当且仅当tan A ＝tan B ＝33，即A ＝B ＝π6时，tan C 取得最大值，此时△ABC 的三个内角分别是π6，π6，2π3.。
【高一】高一数学上册第三章课堂练习题(附答案)
【高一】高一数学上册第三章课堂练习题（附答案）一、1．方程x－1＝lgx必有一个根的区间是( )A．(0.1,0.2) B．(0.2,0.3)C．(0.3,0.4)D．(0.4,0.5)[答案] A[解析] 设f(x)＝x－1－lgx，f(0.1)＝0.1>0，f(0.2)＝0.2－1－lg0.2＝0.2－lg2<0∴f(0.1)f(0.2)<0，故选A.2．实数a、b、c是图象连续不断的函数y＝f(x)定义域中的三个数，且满足aA．2B．奇数C．偶数D．至少是2[答案] D[解析] 由f(a)f(b)<0 知y＝f(x)在(a，b)上至少有一实根，由f(b)f(c)<0知y＝f(x)在(b，c)上至少有一实根，故y＝f(x)在(a，c)上至少有2实根．3．已知函数f(x)＝ex－x2＋8x，则在下列区间中f(x)必有零点的是( )A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)[答案] B[解析] f(－1)＝1e－9<0，f(0)＝e0＝1>0，故f(x)在(－1,0)上有一实数解，故选B.4．某企业2021年12月份的产值是这年1月份产值的p倍，则该企业2021年年度产值的月平均增长率为( )A.pp－1B.11p－1C.11pD.p－111[答案] B[解析] 设1月份产值为a，增长率为x，则ap＝a(1＋x)11，∴x＝11p－1，故选B.5．(09?福建文)下列函数中，与函数y＝1x有相同定义域的是( )A．f(x)＝lnxB．f(x)＝1xC．f(x)＝xD．f(x)＝ex[答案] A[解析] 函数y＝1x的定义域为(0，＋∞)，故选A.6．(09?宁夏海南文)用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为( )A．4 B．5 C．6 D．7[答案] C[解析] 由题意，可画下图：f(x)的最大值在A点，由y＝x＋2y＝10－x，得x＝4y＝6，∴f(x)的最大值为6.7．对任意实数x＞－1，f(x)是2x，log12(x＋1)和1－x中的最大者，则f(x)的最小值( )A．在(0,1)内B．等于1C．在(1,2)内D．等于2[答案] B[解析] 在同一坐标系中，作出函数y＝2x，y＝log12(x＋1)，y＝1－x的图象，由条件知f(x)的图象是图中实线部分，显见f(x)的最小值在y＝2x与y＝1－x交点(0,1)处取得．∴最小值为f(0)＝1.8．(江门一中2021～2021高一期末)设f(x)＝2x－x－4，x0是函数f(x)的一个正数零点，且x0∈(a，a＋1)，其中a∈N，则a＝( )A．1B．2C．3D．4[答案] B[解析] 由条件知，f(a)＝2a－a－4与f(a＋1)＝2a＋1－a－5异号，取a＝2，有f(2)＝22－2－4<0，f(3)＝23－2－5>0满足，∴a＝2，故选B.二、题9．下图是某县农村养鸡行业发展规模的统计结果，那么此县养鸡只数最多的那年有________万只鸡．[答案] 31.2[解析] 2002年，30×1＝30万只，2021年，26×1.2＝31.2万只，2021年，22×1.4＝30.8万只，2021年，18×1.6＝28.8万只，2021年，14×1.8＝25.2万只，2021年，10×2＝20万只．10．函数y＝ax2－ax＋3x＋1的图象与x轴有且只有一个交点，那么a的值的集合为________．[答案] {0,1,9}[解析] 当a＝0时，y＝3x＋1的图象与x轴只有一个交点；当a≠0时，由Δ＝(3－a)2－4a＝0得a＝1或9.三、解答题11．某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件．经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)，可近似看作一次函数y＝kx＋b的关系(如图所示)．(1)根据图象，求一次函数y＝kx＋b的表达式；(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S元．①试用销售单价x 表示毛利润S；②试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？[解析] (1)由图象知，当x＝600时，y＝400；当x＝700时，y＝300，代入y＝kx＋b中，得400＝600k＋b，300＝700k＋b，解得k＝－1，b＝1 000.∴y＝－x＋1000(500≤x≤800)．(2)销售总价＝销售单价×销售量＝xy，成本总价＝成本单价×销售量＝500y，代入求毛利润的公式，得s＝xy－500y＝x(－x＋1000)－500(－x＋1000)＝－x2＋1500x－500000＝－(x－750)2＋62500(500≤x≤800)．∴当销售单价为750元/件时，可获得最大毛利润62500元，此时销售量为250件．12．2021年1月6日，我国的第13亿个小公民在北京诞生，若今后能将人口年平均递增率控制在1%，经过x年后，我国人口数为y(亿)．(1)求y与x的函数关系y＝f(x)；(2)求函数y＝f(x)的定义域；(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出在这里函数增减有什么实际意义．[分析] 关键是理解年递增率的意义2021年人口数为13(亿)经过1年，2021年人口数为13＋13×1%＝13(1＋1%)(亿)经过2年，2021年人口数为13(1＋1%)＋13(1＋1%)×1%＝13(1＋1%)(1＋1%)＝13(1＋1%)2(亿)．经过3年，2021年人口数为13(1＋1%)2＋13(1＋1%)2×1%＝13(1＋1%)3(亿)．[解析] (1)由题设条件知，经过x年后我国人口总数为13(1＋1%)x(亿)．∴y＝f(x)＝13(1＋1%)x.(2)∵此问题以年作为单位时间，∴此函数的定义域是N*.(3)y＝13(1＋1%)x是指数型函数，∵1＋1%＞1,13＞0，∴y＝13(1＋1%)x是增函数，感谢您的阅读，祝您生活愉快。
(北师大版)高中数学必修第一册 第三章综合测试试卷03及答案
第三章综合测试一、选择题（本大题共10小题，共50分）1.不等式124x -＞的解集是（ ）A .{}2x x ＞B .{}2x x ＜C .{}3x x ＞D .{}3x x ＜2.已知234a =，2516b =，322c =，则（ ）A .c a b＜＜B .a c b＜＜C .c b a ＜＜D .a b c ＜＜3.当[]11x ∈-，时，函数()32x f x =-的值域是（）A .513éùêúëû，B .[]11-，C .513éù-êúëûD .[]01，4.函数x y a b =+与函数()01y ax b a a =+¹＞且且的图象可能是（）A .B .C .D .5.若3x ＜6x --的值是（ ）A .3-B .3C .9-D .96.下列各式正确的是（ ）A 3=-B a=C .32=-D 2=7.若1a ＞，10b -＜＜，则函数x y a b =+的图象一定不经过（ ）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限8.若函数()()201x m f x a n a a +=-¹g ＞，且的图象恒过点()14-，，则m n +=（ ）A .3B .1C .1-D .2-9.设a b ＞，则下列不等式一定成立的是（ ）A .22a b ＞B .11a bC .22a b ＞D .a b＞10.函数()01xy aa -=＜＜的图象是（）A .B .C .D .二、填空题（本大题共6小题，共30分）11.不等式142x -＞的解集是________.12.三个数0.232a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.71.3b =，1323c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 按由小到大顺序为________.13.不等式223112x x --⎛⎫⎪⎝⎭＞的解集是________.14.已知函数()2201x y a a a -=+¹＞且且恒过定点()m n ，，则m n +=________.15.1037188-⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________.16.若函数12x y m -+=+的图象不经过第一象限，则m 的取值范围是________.三、解答题（本大题共5小题，共70分）17.已知函数()()1x f x a a =＞在区间[]12，上的最大值比最小值大2，求实数a 的值.18.已知函数()xf x a =，()()101xg x a a a ⎛⎫=¹ ⎪⎝⎭＞且，()112f -=.（1）求函数()f x 和()g x 的解析式；（2）在同一坐标系中画出函数()f x 和()g x 的图象；（3）如果()()f x g x ＜，请直接写出x 的取值范围.19.已知()22401xxx a a a a -+¹＞＞且，求x 的取值范围.20.已知函数()44x x f x k -=-g ，且()03f =.（1）求不等式()47x f x --＞的解集；（2）若()48x f x m -+g ≥对x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围.21.a ∈R ，函数()22x xaf x a-=+（1）a 的值，使得()f x 为奇函数；（2）若0a ≥且()23a f x -＜对任意x ∈R 都成立，求a 的取值范围.第三章综合测试答案解析一、1.【答案】C【解析】解：不等式124x -＞可化为：1222x -＞，又函数2x y =为R 上的增函数，则有12x -＞，解得3x ＞，故不等式124x -＞的解集是{}3x x ＞.故选C.2.【答案】B【解析】解：234a =∵，2455164b ==，332424c ==，且4x y =是增函数，又234345＜＜，a c b ∴＜＜.故选B.3.【答案】C【解析】解：∵函数()32x f x =-在R 上为单调增函数，()()()11f f x f -∴≤≤，即()12323f x --≤≤.即()513f x éù∈-êúëû，.故选：C.4.【答案】D【解析】解：因为0a ＞，y ax b =+的图象从左到右上升，所以A 错误，对于B ，假设y ax b =+的图象正确，则0b ＞，0x a b +＞，与x y a b =+的图象矛盾，所以B 错误；对于C ，假设y ax b =+的图象正确，则0b ＞，当0x =时，0a b b +＞，与x y a b =+的图象矛盾，所以C 错误，故选D.5.【答案】A【解析】解：若3x ＜，则3x -＜0，60x -＜，636363x x x x x --=---=-+-=-，故选：A.6.【答案】C【解析】解：A 3==，B a =，D 2=-，故正确的是：C ，故选：C.7.【答案】D【解析】解：由1a ＞可得函数x y a =单调递增，且过第一、二象限，10b -∵＜＜，01b ∴＜＜，x y a =的图象向下平移b 个单位即可得到x y a b =+的图象，x y a b =+∴的图象一定在第一、二、三象限，一定不经过第四象限，故选：D.8.【答案】C【解析】解：∵函数()()201x m f x a n a a +=⨯-¹＞，且的图象恒过点()14-，，10m -=∴，且124m a n --=g ，解得1m =，2n =-，1m n +=-∴，故选：C.9.【答案】A【解析】解：对B ，C ，D 选项，当1a =，2b =-时，不等式a b ＞，11a b，22a b ＞不成立，则B ，C ，D错误；对A 选项，因为函数2x y =在R 上单调递增，a b ＞，所以22a b ＞，则A 正确.故选A.10.【答案】A【解析】解：1xxy aa -⎛⎫== ⎪⎝⎭，易知函数为偶函数，01a ∵＜＜，1a1∴＞，故当0x ＞时，函数为增函数，当0x ＜时，函数为减函数，当0x =时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A.二、11.【答案】1322⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，【解析】解：由142x -＞得112112x x ⎧-⎪⎪⎨⎪--⎪⎩＞＜，解得32x ＞或12x ＜，因此不等式142x -＞的解集是1322⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，.故答案为1322⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，.12.【答案】10.230.723 1.332-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜＜【解析】解：0.20.23223-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∵，因为指数函数23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，10.23230132-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴＜＜＜，0.701.3 1.31=∵＞，10.230.723 1.332-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴＜＜，故答案为：10.230.723 1.332-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜＜.13.【答案】()13-，14.【答案】515.【答案】π【解析】解：原式()133123123πππ--=++-=++-=.故答案为π.16.【答案】2m -≤三、17.【答案】解：当1a ＞时，函数()x f x a =在区间[]12，上是增函数，()()min 1f x f a ==∴，()()2max 2f x f a ==，由题意知22a a -=，解得2a =，1a -＜（舍弃），故a 的值为：2.18.【答案】（1）解：()112f -=∵.1112a a -==∴.2a =∴，所以()2xf x =，()12xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）两个函数在同一坐标系的图象如图：（3）由图象知当0x =时，()()f x g x =，若()()f x g x ＜，则x ＜0，即不等式的解集为()0-∞，.19.【答案】解：当01a ＜＜时，x y a =为减函数，则不等式224xxx a a -+＞可化为：224x x x -+＜，即2340x x --＜，解得：()14x ∈-，，当1a ＞时，x y a =为增函数，则不等式224xxx a a -+＞可化为：224x x x -+＞，即2340x x --＞，解得：()()14x ∈-∞-+∞ ，，20.【答案】（1）解：由()013f k =-=，得4k =.所以()444x x f x -=-g ，()7x f x --＞4即44447x x x ----g ＞，即442470x x --+g g ＞，令()40x t t =＞，得24720t t +-＞，即()()4120t t -+＞，因为20t +＞，所以14t ＞，即144x -＞，所以x ＞-1，所以原不等式的解集为()1-+∞，.（2）()48x f x m -+g ≥即44448x x x m ---+g g ≥，所以()()22448414415x x x m --=--g ≤，当0x =时，()24415x --取得最小值5-.因为()48x f x m -+g ≥对x ∈R 恒成立，所以5m -≤，即实数m 的取值范围是(]5-∞-，.21.【答案】（1）解：函数()22x x af x a-=+为奇函数，即()1001af a -==+，解得1a =，()2121x x f x -=+∴，定义域为R ，且满足()()21122112x xx xf x f x -----===-++，()f x ∴是定义域R 上的奇函数；即1a =时，()f x 定义域R 上的奇函数；（2）不等式()23a f x -＜化为2223x x a a a --+，0a ≥时，20x a +＞，所以不等式化为()()()3222x x a a a --+＜，即()252x a a a +-g ＞；要使该不等式对任意x ∈R 都成立，由0a ≥且20x ＞，所以50a -≤，即5a ≥即可；所以a 的取值范围是5a ≥.。
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第3章 第3节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2012·太原部分重点中学联考]设函数y ＝3sin(2x ＋φ)(0<φ<π，x ∈R )的图像关于直线x ＝π3对称，则φ等于( ) A. π6 B. π3 C. 2π3D. 5π6答案：D解析：由题意知，2×π3＋φ＝kπ＋π2，所以φ＝kπ－π6，又0<φ<π，故当k ＝1时，φ＝5π6，选D.2. [2012·西安八校联考]将函数f (x )＝3sin2x ＋cos2x 的图像向左平移π6个单位得到函数g (x )的图像，则函数g (x )是( )A. 周期为π的奇函数B. 周期为π的偶函数C. 周期为2π的奇函数D. 周期为2π的偶函数 答案：B解析：依题意知，f (x )＝2sin(2x ＋π6)，g (x )＝f (x ＋π6)＝2sin[2(x ＋π6)＋π6]＝2sin(2x ＋π2)＝2cos2x ，因此有g (－x )＝2cos2(－x )＝2cos2x ＝g (x )，即函数g (x )是偶函数，最小正周期是2π2＝π，选B.3. 如图，弹簧挂着小球作上下振动，时间t (s )与小球相对平衡位置(即静止的位置)的高度h (cm)之间的函数关系式是h ＝4sin(6πt ＋π3)(t ∈[0，＋∞))，则小球最高点与最低点的距离、每秒能往复振动的次数分别为( )A ．4、3B ．8、3C ．8、2πD ．4、2π答案：B解析：∵在关系式h ＝4sin(6πt ＋π3)中，振幅A ＝4，周期T ＝2π6π＝13，∴小球最高点与最低点的距离d ＝2A ＝8，每秒能往复振动的次数f ＝1T＝3.选择B.4. [2012·天津联考]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图像如图所示，则y ＝f (x )的图像可由函数g (x )＝sin x 的图像 ( )A. 先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移π12个单位B. 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π12个单位C. 先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移π6个单位D. 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π6个单位答案：A解析：由图可知，A ＝1，14T ＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，因此ω＝2，把点(π3，1)代入函数f (x )＝sin(2x ＋φ)结合|φ|<π2得，φ＝－π6，所以f (x )＝sin(2x －π6)，为得到该函数的图像只需将函数g (x )＝sin x 的图像上各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移π12个单位即可，故选A.5. 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A. f (x )＝12sin(12x ＋π4)B. f (x )＝2sin(12x ＋3π4)C. f (x )＝2sin(2x ＋π4)D. f (x )＝12sin(2x ＋3π4)答案：B解析：观察图像知，A ＝2，T ＝4π，则ω＝2πT ＝12.f (x )＝2sin(12x ＋φ)，因为当x ＝π2时，f (x )＝0，所以12×π2＋φ＝kπ，k ∈Z ，又0<φ<π，所以φ＝3π4.所以f (x )＝2sin(12x ＋3π4)．6. [2012·山西忻州市联考]设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图像关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则( ) A. f (x )的图像过点(0，12)B. f (x )在[π12，2π3]上是减函数C. f (x )的一个对称中心是(5π12，0)D. 将f (x )的图像向右平移|φ|个单位得到函数y ＝3sin ωx 的图像 答案：C解析：依题意知ω＝2，且函数f (x )在x ＝2π3处取得最值，即sin(4π3＋φ)＝±1，所以4π3＋φ＝kπ＋π2，k ∈Z ，即φ＝kπ－5π6，k ∈Z ，又－π2<φ<π2，则φ＝π6，因此f (x )＝3sin(2x ＋π6)．验证可知，A ，B ，D 均不正确，只有C 正确，故选C. 二、填空题(每小题7分，共21分)7. [2012·江苏南通一模]函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (x ∈R )，又f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值等于π2，则正数ω的值为__________．答案：1解析：f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin(ωx ＋π3)，由f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值等于π2可知，T 4＝π2，T ＝2π，所以ω＝1.8. [2012·福建质检]已知将函数f (x )＝2sin π3x 的图像向左平移1个单位长度，然后向上平移2个单位长度后得到的图像与函数y ＝g (x )的图像关于直线x ＝1对称，则函数g (x )＝__________.答案：2sin π3x ＋2解析：将f (x )＝2sin π3x 的图像向左平移1个单位长度后得到y ＝2sin[π3(x ＋1)]的图像，向上平移2个单位长度后得到y ＝2sin[π3(x ＋1)]＋2的图像，又因为其与函数y ＝g (x )的图像关于直线x ＝1对称，所以y ＝g (x )＝2sin[π3(2－x ＋1)]＋2＝2sin[π3(3－x )]＋2＝2sin(π－π3x )＋2＝2sin π3x ＋2.9. [2012·江苏扬州]某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos[π6(x －6)](x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为__________℃.答案：20.5解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋A ＝28，a －A ＝18，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，A ＝5，∴y ＝23＋5cos[π6(x －6)]，x ＝10时，y ＝23＋5×(－12)＝20.5.三、解答题(10、11题12分、12题13分) 10. 已知函数f (x )＝cos 2x －2sin x cos x －sin 2x . (1)作出函数f (x )在区间[0，π]上的图像．(2)求函数f (x )在区间[－π2，0]上的最大值和最小值．解：(1)f (x )＝cos 2x －2sin x cos x －sin 2x ＝cos2x －sin2x ＝2cos(2x ＋π4)．列表：(2)∵－π2≤x ≤0，∴－34π≤2x ＋π4≤π4.故当2x ＋π4＝－34π，即x ＝－π2时，f (x )有最小值，f (x )min ＝－1；当2x ＋π4＝0，即x ＝－π8时，f (x )有最大值，f (x )max ＝ 2.即f (x )在[－π2，0]上的最小值为－1，最大值为 2.11. [2012·皖南八校一模]已知直线y ＝2与函数f (x )＝2sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx －1(ω>0)的图像的两个相邻交点之间的距离为π.(1)求f (x )的解析式，并求出f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图像向左平移π4个单位得到函数g (x )的图像，求函数g (x )的最大值及g (x )取得最大值时x 的取值集合．解：(1)f (x )＝2sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx －1＝1－cos2ωx ＋3sin2ωx －1 ＝2sin(2ωx －π6)．由题意可知函数的周期T ＝2π2ω＝π，即ω＝1，所以f (x )＝2sin(2x －π6)． 令2kπ－π2≤2x －π6≤2kπ＋π2，其中k ∈Z ，解得kπ－π6≤x ≤kπ＋π3，其中k ∈Z ，即f (x )的单调递增区间为 [kπ－π6，kπ＋π3]，k ∈Z .(2)g (x )＝f (x ＋π4)＝2sin[2(x ＋π4)－π6]＝2sin(2x ＋π3)，则g (x )的最大值为2， 此时有2sin(2x ＋π3)＝2，即sin(2x ＋π3)＝1，即2x ＋π3＝2kπ＋π2，其中k ∈Z .解得x ＝kπ＋π12(k ∈Z )，所以当g (x )取得最大值时x 的取值集合为 {x |x ＝kπ＋π12，k ∈Z }． 12. [2012·江苏南通一模]如图，某市准备在道路EF 的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC ，该曲线段是函数y ＝A sin(ωx ＋2π3)(A >0，ω>0)，x ∈[－4,0]时的图像，且图像的最高点为B (－1,2)．赛道的中间部分为长3千米的直线跑道CD ，且CD ∥EF ，赛道的后一部分是以O 为圆心的一段圆弧D E .(1)求ω的值和∠DOE 的大小；(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE 区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF 上，一个顶点在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧D E 上，且∠POE ＝θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值．解：(1)由条件，得A ＝2，T4＝3.∵T ＝2πω，∴ω＝π6.∴曲线段FBC 的解析式为y ＝2sin(π6x ＋2π3)．当x ＝0时，y ＝OC ＝ 3.又CD ＝3，∴∠COD ＝π4，即∠DOE ＝π4.(2)由(1)，可知OD ＝ 6.又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P 在D E 上，故OP ＝ 6.设∠POE ＝θ，0<θ≤π4，“矩形草坪”的面积为S ＝6sin θ(6cos θ－6sin θ)＝6(sin θcos θ－sin 2θ) ＝6(12sin2θ＋12cos2θ－12)＝32sin(2θ＋π4)－3.∵0<θ≤π4，故当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时，S 取得最大值．。