线性代数解题基本规律和方法

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是无法入手的，必须同时使用这两个条件。事实上，由于 A 非奇异知 A 存在， 在 A = A 两 端 同 乘 A 就 得 到 A=E 。
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证毕 本例说明在线性代数中，存在着不少这类题目，必须同时使用题给的所有 条件(或多个条件)才能使问题化显。 通常称这种思维方式为 “多导一” 的顺推式。 在这种情况下，不能单独由某一项条件出发来引结论。当然还有“多导一”的逆 推式等，这里就不多讲了。
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= − E + AT = − E + A ， 故｜A+E｜
=0 成立。 证毕 在此例中，我们把条件和结论都进行了变形处理，将原来并无直接联系的条件和 结论联系起来，使原命题转化为更易利用条件且结论更明显的命题。这种思维方 式称为 “等价变形” 的思维方式。 由此说明： 当条件和结论均含较多特征或信息， 且无直接的联系时，应考虑将条件或结论进行变形处理，使之发生直接的联系。 例3 关。 证 使得 由线性无关的定义知道，要证本结论，只需证明：若存在实数 k1 , k2 , k3 设向量 α 1 , α 2 ,
cosθ 1
1 2cosθ 1 1 2cosθ % % %
0 = cos nθ. 1
Dn = 0
1 2cosθ
证 本题目所示行列式的特点是从 n=2 开始，各阶行列式形式都相同，可对 阶数用数学归纳法。显然 n=1 时结论成立。 当 n=2 时，
D2 =
cos θ 1
1 2cos θ
= cos 2θ ，
α3 ,α 4 线性相关,4)使得 k1α 1+ k2 α 2 + k3 α3 + α4 k 4 = 0 。 假 设
k1 , k 2 , k3 , k 4 中 至 少 有 一 个 数 为
0 ， 不 妨 设
k1 = 0 ⇒ k2 α 2+ k3 α3 + α4 k 4= 0 且 k 2 , k3 , k 4 不全为零，这与 α 2 , α3 ,α 4
AX1 + AX2 = λ X1 + λ X 2
或
λ 1 X1 + λ 2 X 2 = λ X1 + λ X 2
或
(λ 1 − λ ) X1 = (λ − λ 2) X 2
但 λ 1≠ λ 2 ，且 X1 ≠ 0 , X 2 ≠ 0 ⇒ 上式两端不为零 X1 , X 2 线性相关。这与 属于不同特征值的特征向量线性无关的结论矛盾。 例 7 如果 α 1 , α 2 , 证毕 无
线性无关矛盾，推出 k1 ≠ 0 ，类似可得 k 2 ≠ 0 , k3 ≠ 0 , k 4 ≠ 0 在线性代数的诸多证明类题目中，都可找到反证法的应用。 三、数学归纳法 许多与自然数有关的题目都可以采用数学归纳法求解。在线性代数中，更 常用的是第二数学归纳法，它把数学归纳法中“存在着自然数 k 使命题 T 成立” 的假设，强化为“对每个小于 k 的自然数都能使命题 T 成立” ，而基本上不改变 数学归纳法的其它内容。 动用第二数学归纳法可以求解一些与多个相邻自然数都 有关的题目，从而弥补了数学归纳法的不足之处。 例8 证明 n 阶行列式
1 1 0 =2 0 1 1
推知(6-4)确实只有零解，进而原命题成立。 证毕 在本例的求解过程中，多次出现欲证结论，先证另一个等价命题的思维方 式。称这种思维方式为“变形逆推”的思维方式。注意到前面三例的解题过程有 不少相似之处，它们都是在符合逻辑的前提下，利用原题目本身的特征或提供的 信息，将原题目转化为一个比一个更为明确的新题目，直到利用到题给条件和某
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待定系数法有着相当广泛的适用范围，特别在计算类题目中。 6 ⋅ 2 ⋅ 2
反
证法使用反证法有以下两个前提： (1)当问题的结论本身的数学表达不如其反面所作出的表达明确时，可采用 反证法。 (2)当结论本身与条件的联系不如它的反面与条件的联系明显、自然时，可用反 证法。 在线性代数证明类题目中，具有上述特点的题目可谓比比皆是。 例6 设 X1 , X 2 分别是矩阵 A 对应于 λ 1,
λ 2 的特征向量，而 λ 1≠ λ 2 证
明 X1 + X 2 不可能是 A 的一个特征向量。 证 本例属第一种情况： X1 + X 2 不可能是 A 的特征向量的结论，不如其反 面 X1 + X 2 是 A 的特征向量易作出明确的数学表达式，故应采用反证法： 假设 X1 + X 2 是 A 的特征向量 ⇒存在特征值λ使得 A( X1 + X 2 ) = λ ( X1 + X 2 ) 成 立，推得
Dk −1 = cos (k −1) θ , Dk −2 = cos (k − 2 (k −1) θ − cos (k − 2) θ
= cosθ cos(k −1) θ − sin (k −1) θ sinθ = cos kθ
由此推之对一切自然数 n，结论都成立。 本例说明：当递推关系中同时出现 Dk , Dk −1 , Dk −2 等相邻项时，常常采用第 二数学归纳法。 运用数学归纳法求解的题目第 1 章中最多。 四、递推法 在线性代数中，还出现需要建立递推关系来求解的题目，这类题目常常也与自然 数有关。如果我们事先不知道证明或求解的结果，通常不用数学归纳法。不过， 使用递推法和数学归纳法一般没有严格的区别，往往是同时需要，有时又仅单独 使用其中某一种方法即可。运用递推法求解的题目在行列式的计算中出现较多。 例9 计算 n 阶行列式
第二节、几种常用的解题方法
线性代数题目花样繁多，有些题目困难重重，仅用上节所述基本解题规律求 解它们是相当不够的。本节将更深入地介绍几种常用的解题方法和技巧。虽然这 些方法和技巧都是从基本规律中引伸出来的，但是它们确有自身独到的功效。 一、待定系数法 例5 求分块矩阵
rB 0 A= s C D
r
s
的逆矩阵。假设｜B｜≠0，｜D｜≠0，其中 r，s 表示分块矩阵的行、列数。 解 使用待定系数法，令
r X Y A−1 = s Z T
其中 X，Y，Z，T 为待定的分块矩阵。 由
B 0 X Y Er 0 AA−1 = C D = Z T 0 Es
由于 α 1 , α 2 ,
(6-3)
α3 线性无关，得到齐次线性方程组：
k1 + k3 = 0 k1 + k2 = 0 k2 + k3 = 0
(6-4)
要证 k1 = k2 = k3 = 0 ，只需验证方程组(6-4)只有零解即可。经过简单的计算知 系数矩阵是非奇异的：
1 0 1
得到 BX = Er , BY = 0r×s , CX + DZ = 0s×r , CY + DT = Es 解之得
X = B−1 ; Y = 0r×s ; Z = −D−1CB−1 ;×s A = − D−1CB−1 D−1 。
α3 ,α 4 线性相关，但其中任意三个向量都线性
关 ， 证 明 必 存 在 一 组 全 不 为 零 的 数 k1 , k 2 , k3 , k 4 使 得
k1α 1+ k2 α 2 + k3 α3 + α4k 4= 0
证 本例属于第二种情况，即结论本身与条件的联系，不如其反面与条件 的联系明显，故应用反证法。 由 α 1 , α 2 ,
第一节、解题的基本规律
在本节中，通过几个实例来分析求解线性代数题目特殊的思维过程，得出相 应的解题规律。 例 1 若 A 是一个 n×k 矩阵，B 是一个 k×n 矩阵，又知 AB=O，证明： 秩(A)+秩(B)≤k (6-1) 证 在证该题时，假定读者这样来思考：要证结论（6-1)式成立，能否先证 一个与(6-1)式等价的结论呢?例如 0≤k-(秩(A)+秩(B))。但是我们发现问题仍 无法求解，原因在于(6-1)式提供的信息太少，它没有足够多的特征使我们去确 定另一个与之等价的过渡性结论。反之，原题的条件 AB=O 提供的信息相当丰富， 它不仅看作两矩阵之积为 O，而且更重要的是，如果把它与齐次线性方程组 AX=O 联系起来的话，有关齐次线性方程组的结论就可以用于该题目中，矩阵 B 的列向 量可视为方程组 AX=O 的解。 进一步， 我们把方程组 AX=O 解空间的维数(k-秩(A)) 与矩阵 B 的列向量组的秩(也是 B 的秩)联系起来， 原问题的条件化为另一个更接 近结论的条件： B 的向量全是方程组 AX=O 的解， 但 AX=O 解空间的维数已知是(k秩 (A)) 从而原问题转化为在新条件下证明 (6-1) 式成立的新命题 ( 过渡性命 题)，该新命题是显然成立的，即秩(B)≤k-秩(A)。 证毕. 在求解线性代数证明类题目时， 思维过程常常应该是从条件和结论中挑选具 有更多特征或提供更多信息的式子，通过一系列过渡性命题，最后转化为易于证 明且与原命题等价的命题。本例是从原条件出发，一步步地转化为与结论更接近 的过渡性条件，最后得到的条件与结论已发生直接的联系。我们称这种思维方式 为“变形顺推”的思维方式。由此得出这样一条规律：当条件的特征或信息量优 于结论时，往往应使用顺推的思维方式。 例2 设 A 是正交矩阵，且｜A｜=-1，证明｜A+E｜=0 证 此例与前例的不同之点是条件和结论都含有较多的信息。 例如条件中 A 是正交矩阵，隐含了 A = A ，于是
α3 线性无关，证明 α1 + α2 ,α2 +α3 ,2 ) + k2 (α2 + α3 ) + k3 (α3 + α1 ) = 0
则必有 k1 = k2 = k3 = 0 将(6-2)式化为
(6-2)
(k1 + k3 )α1 + (k1 + k2 )α2 + (k2 + k3 )α3 = 0 = ｜ A +E ｜ 成 立 。 结 论 ｜ A+E ｜ =0 可 转 化 为 A(E + A ) = 0 或