线性代数的典型解题方法

齐次方程组(II)的基础解系为
β1 (1, 4, 7,1)T , β2 (1, 3, 4, 2)T ，
试求方程组(I)和(II)的公共解． 解 因为 k1α1 k2 α2 k3α3 是方程组(I)的通解， l1 β1 l2 β2 是方程组(II)的通解，所以求方程组(I)和 (II)的公共解即是令
b) 待定系数法（多用于分块矩阵的求逆）； c) 分块初等变换． 3、矩阵方程 先对已知关系式进行化简， 再将所求矩阵从中分离出来， 得到所求矩阵的表达式， 然后再代值计算． 1) 初等变换法 2) 待定系数法
1
例 2 解矩阵方程 解 设X
x1 x3
2 1 1 2 1 2 XX 3 4 ． 3 2 0 1 x2 ，则有 x4
a jj a11 , a jk 0 (k j ) ，
因此 A 为 n 阶数量矩阵．
2
4、矩阵的秩 具体矩阵的秩： a) 将矩阵 A 通过初等行变换化为阶梯矩阵 B ， B 的非零行数为 A 的秩； b) 矩阵 A 的非零子式的最高阶数． 抽象矩阵的秩：充分利用矩阵的结构特点以及秩的不等式． 5、有关伴随矩阵 联想：a) AA A A A E ； b) 行列式按行（列）展开法则； c) rank A 与 rank A 的关系． 例 5 设 n 阶实矩阵 A, B 满足 AB ( B A ) A ，其中 A* 为 A 的伴随矩阵，证明
*

(1) | A | 0 ； (2) 若 A A ，则 A 0 ．
T
证 (1) 由 AB ( B A ) A ，有 AB BA A A BA A E ，．
由 tr( AB) tr( BA) ，知 AB BA 的主对角元之和一定都是 0，故 | A | 0 ． (2) 由 A A 知 aij Aij (i, j 1, 2,
a21 a22 a2 n
am1 k1 am 2 k2 0 ， amn km
因此
a1 j k1
不妨设 k j 为 k1 , k2 ,
a jj k j
amj km 0 ( j 1, 2,
, n) ．
, km 中绝对值最大的数，即 | k j | | ki | (i j ) ，从而
| a jj | | k j | | a jj k j |
所以 | a jj |
aij ki | aij | | ki | | aij | | k j | ，
i j i 1 i j
m
i j
| a
i j
ij
| ，矛盾，即 α1 , α2 ,
, αm 线性无关．
, αm 线性表示等价于 αm ] rank[α1 α2 αm b ] ． βs ] ． αr β1 β2 βs ] ． , αr 线性表示当且仅当 αr β1 β2
rank[α1 α2 rank[α1 α2 , αr 与 β1 , β2 , rank[α1 α2
8、线性相关性 a) 定义法
, βs 能由向量组 α1 , α2 ,
k1α1 k2 α2 k3α3 l1 β1 l2 β2 ，
得
k1 2k 1 5k1 7 k1
3k2 2k3 l1 l2 0, k2 3k3 4l1 3l2 0, k2 4k3 7l1 4l2 0, 7 k2 20k3 l1 2l2 0,
( A E )( B E ) ( B E )( A E ) ，
将上式展开整理得 AB BA ． 3) 待定系数法 例 4 证明：矩阵 A 能与所有 n 阶矩阵可交换的充要条件是 A 为 n 阶数量矩阵． 证 只需证明必要性．设 A [aij ] 与所有 n 阶矩阵可交换，则 A 必为 n 阶矩阵． 特别地， A 与 n 阶基本矩阵 E1 j ( j 1, 2,
3) 分块对角化 4) 相似对角化 2、矩阵的逆 具体矩阵的逆： a) 初等变换法；
Bk B 0 A 0 C 0
k
k
0 ． Ck
P 1 AP diag(1 ,2 ,
,n ) ， Ak Pdiag(1k ,2k ,
,nk ) P 1 ．
b) 伴随矩阵法 Α 抽象矩阵的逆：
1

1 A ． A
a) 定义法 凑成 AB E 的形式； 例 1 设 A 为 n 阶矩阵，且 A 2 E ， B A 2 A 2 E ，证明 B 可逆，并求 B ．
3 2 1
B A2 2 A 2 E A3 A2 2 A A( A 2 E )( A E ) ． 1 1 2 3 由 A 2 E 得 A A E ，即 A 可逆，且 A1 A2 ． 2 2 2 3 3 再由 A 2 E 得 A 8E 10 E ，即 ( A 2 E )( A 2 A 4 E ) 10 E ，从而 A 2 E 可逆，且 1 ( A 2 E )1 ( A2 2 A 4 E ) ． 10 2 3 3 又由 A 2 E 得 A E E ，即 ( A E )( A A E ) E ，从而 A E 可逆，且 ( A E ) 1 A2 A E ，
即
2 x1 x3 2 x2 x4 x1 3 x 2 x 3 x 2 x x 3 2 4 1 3
从而
2 x1 x3 2x x 2 4 3 x1 2 x3 3 x2 2 x4
x1 1, 2 x1 x2 2, x3 3, 2 x3 x4 4,
因为上式中表示系数矩阵的行列式为零，所以 rank[ β1 β2 β3 ] 3 ，即向量组 β1 , β2 , β3 线性相关． d) 反证法 例 8 设 αi (ai1 , ai 2 , 线性无关． 证 反证法 若 α1 , α2 ,
, ain ), i 1, 2,
, m, m n ，且 | a jj | | aij | ，证明向量组 α1 , α2 ,
αr ] rank[α1 α2 , βs 等价当且仅当
αr ] rank[ β1 β2
βs ] rank[α1 α2
例 6 设 A 为 n 阶矩阵，α1 , α2 , α3 为 n 维向量组， 其中 α1 0 ， 且满足 Aα1 2α1 ，Aα2 α1 2α2 ，
Aα3 α2 2α3 ，证明 α1 , α2 , α3 线性无关．
, αm 线性相关等价于 rank[α1 α2
αm ] m ．
β3 α1 2α2 6α3 ，试判别向量组 β1 , β2 , β3 的线性相关性．
解 由题设知
1 2 1 [ β1 β2 β3 ] [α1 α2 α3 ] 3 4 2 ， 1 4 6
线性代数的典型方法
1、矩阵的幂 1) 归纳法 2) 分拆法 a) 拆成 A B E ，其中 Bl 0 ，然后用二项式定理展开求矩阵幂 A ；
k
b) 当 rankA 1 时，拆成 A α β ，则 A (α β ) ( βα )
T
k T k
T k 1
α T β (trA) k 1 A ．
3
证 由题设知 (2 E A)α1 0 ， (2 E A)α2 α1 ， (2 E A)α3 α2 ．令
k1α1 k2 α2 k3α3 0 ，
上式两边左乘 2 E A ，得
k2 α1 k3α2 0 ，
两边再左乘 2 E A ，得
k3α1 0 ，
T
, n) ， Aij 为 A 中元 aij 的代数余子式，于是
n n i 1 i 1
2 ． | A | aij Aij aij
因为 | A | 0 ，且 A 为实矩阵，所以 aij 0(i, j 1, 2, 6、行列式的计算
, n) ，即 A 0 ．
先弄清行列式的阶数，再考察行列式的结构特点（可通过低阶看高阶），然后利用这些特点和行列 式的性质来简化运算． 主要方法有三角化方法、降阶法、归纳法、递推法、分拆法、升阶法． 记住两个特殊的行列式：（分块）三角行列式、Vandermonde 行列式． 7、线性表示 秩方法 a) 向量 b 可由向量组 α1 , α2 , b) 向量组 β1 , β2 , c) 向量组 α1 , α2 ,
x3 1, x1 2 x x x4 2, 1 2 即 x3 3, 3 x1 3 x2 2 x3 x4 4,
解得 x1 2 ， x2 4 ， x3 3 ， x4 10 ，故
2 4 X ． 3 10
证 所以 B 可逆，且
B 1 A( A 2 E )( A E ) ( A E ) 1 ( A 2 E ) 1 A1
1
( A2 A E )
1 1 ( A2 2 A 4 E ) A2 10 2

1 2 2 A ( A A E )( A2 2 A 4 E ) ． 20
9、两个线性方程组的公共解 1) 将两个方程组联立求解； 2) 先求出一个方程组的通解，再代入另一个方程组中，确定通解中参数的关系；
4
3) 先分别求出两个方程组的通解，令两个通解表达式相等，确定参数的关系． 例 9 已知齐次方程组(I)的基础解系为
α1 (1, 2,5, 7)T , α2 (3, 1,1, 7)T , α3 (2,3, 4, 20) T ，
, n) 可交换，即 E1 j A AE1 j ，亦即
a jn 0 0 0 0 0 0 0 0 a11 a21 an1 0 0 ， 0