北京各区一模23题

（平谷）如图，在正方形ABCD 中，点F 在CD 边上，射线AF 交BD 于点E ，交BC 的延长线于点G .（1）求证：ADE ∆≌CDE ∆；（2）过点C 作CE CH ⊥，交FG 于点H ，求证：GH FH =； （3）当AD ：DF =3时，试判断ECG ∆的形状并证明结论．解：（1）证明：∵四边形是ABCD 正方形，BD 是对角线， ∴AD=CD ，∠1=∠2，∠DCB=∠DCG=90 o ． ∵DE=DE ，∴A∆≌CDE ∆．……………………………………………3分 （2）∴∠3=∠4． ∵CE CH ⊥于C ， ∴∠4+∠5=90 o ． ∵∠DCG=∠5+∠6=90 o， ∴∠4=∠6．∵AD ∥BC ， ∴∠3=∠G ．∴∠6=∠G ． ∴ＨＣ＝ＨＧ.∵∠7+∠G=90 o ， ∠5+∠6=90 o ， ∴∠5=∠7． ∴ＨＦ＝ＨＣ．∴ＨＦ＝ＨＧ． ……………………………………………………………………5分 （3）判断：ECG ∆是等腰三角形． ∵∠ADF=90 o ，AD ：DF=3，∴∠AFD= 60 o ．∴∠3=∠G=∠4= 30 o ，∠AFD= ∠7=60 o ． ∴∠CEG=∠7—∠4=∠G=30 o ．∴CE=CG 。

即ECG ∆是等腰三角形．………………………………………6分 石景山 如图①：四边形ABCD 为正方形，M 、N 分别是BC 和CD 中点，AM 与BN 交于点P ， （1）请你用几何变换的观点写出△BCN 是△ABM 经过什么几何变换得来的； （2）观察图①，图中是否存在一个四边形，这个四边形的面积与△APB 的面积相等？写出你的结论.（不必证明） （3）如图②：六边形ABCDEF 为正六边形，M 、N 分别是CD 和DE 的中点，AM 与BN 交于点P ，问：你在（2）中所得的结论是否成立？若成立，写出结论并证明，若不成立请说明理由.图①图②（第23题） ND图2A B C DE F 图1FE DC BA 解：（1）△BCN 是△ABM 绕正方形中心O 逆时针旋转90°得到的 ……………2分（△BCN 是△ABM 沿BC 方向平移BC 长,使点B 与点C 重合,再绕点C 逆时针旋转90°得到的） （2）APB PMCN S S = 四边形………………………………………………………………3分 （3）（2）中结论仍成立，即：APB PMDN S S = 四边形…………………………………4分 证明：设正六边形ABCDEF 中心为O∴∠AOB =∠BOC =∠COD =∠MON =60°， AO =BO ，BO =CO ，CO =DO ，MO =NO .∴四边形BCDN 是四边形ABCM 绕点O 逆时针旋转60°得到的…………………6分 ∴S 四边形BCDN =S 四边形ABCM∴S 四边形BCDN －S 四边形BCMP =S 四边形ABCM －S 四边形BCMP ……………………………………7分 即： APB PMDN S S = 四边形崇文 在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，AB ＝4，把一个含60°角的三角板与这个菱形叠合，使三角板的60°角的顶点与点A 重合，两边分别与AB 、AC 重合.将三角板绕点A 按逆时针旋转，设旋转角为α． （1）如图1，当060α︒<<︒时，三角板的两边分别与菱形的两边BC 、CD 相交于点E 、F ，请你通过观察或测量写出图中现有的两组相等线段（菱形的边和对角线除外）；（2）如图2，当60120α︒<<︒时，三角板的两边分别与菱形的两边BC 、CD 的延长线相交于点E 、F ，你在（1）中得到的结论还成立吗？若成立，请你选择一组加以证明；若不成立，请你说明理由；（3）当060α︒<<︒时，三角板的两边分别与菱形的两边BC 、CD 相交于点E 、F ，请你求出这个三角板与这个菱形重合部分的面积．解：（1）BE =CF ，AE =CF ，CE =DF ．写出两组即可 ………………2分DN AB图2FEDCBA （2）如图1，BE =CF 的结论仍然成立． 证明：∵在菱形中ABCD ，∠BAD ＝120°，∴ ∠BAC ＝∠ABC =∠ACD ＝∠CAD ＝60° . ∴ AB=AC. ………………3分 又由题意可知，∠EAF ＝60° .∠BAE ＝∠CAF . ………………4分在△BAE 和△CAF 中,,,ABE ACF AB AC BAE CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ △BAE ≌△CAF .∴ BE =CF . ………………5分其它相等的线段的证明，参照此评分标准相应给分.（3）如图2，当060α︒<<︒时，这个三角板与这个菱形重合部分的面积就是四边形AECF 的面积. 由题意可证 △BAE ≌△CAF . ∴ 四边形AECF 的面积就是△ABC 的面积. ∵ AB ＝4，∴所求图形的面积为. .………………7分（08昌平）23．（1）两个全等的等腰直角三角形ABC 和三角形EDA 如图1放置，点B A D，，在同一条直线上．那么点C ，A ，E 在同一条直线上；①在图1中，作ABC ∠的平分线BF ，过点D 作DF BF ⊥，垂足为F ；②猜想：线段BF CE ，的关系，结论是： .（2）将（1）中的“等腰直角三角形”换成“直角三角形”，其它条件不变，如图2, 连结CE ，请问你猜想的BF 与CE 的关系是否仍然成立？若成立，请证明,若不成立，请说明理由.DBAEC 图2图1CEABD图1ABCDEF解答：（1）①画图．………………………………………1分②结论是：B F ⊥CE ，BF =21CE ．……………3分 （2）如图. ①证明BF =21CE . ∵BF 为∠ABF 的平分线,∠ABC =90°， ∴∠CBF =∠ABF =45°. ∵DF ⊥BF , ∴∠F =90°．∵点B ,A ,D 在同一条直线上, ∴△BFD 为直角三角形. ∴cos ∠FBD =BDBF. ∴BF =22BD． 又∵Rt △ABC ≌Rt △EDA , ∴BC =AD ,BA =DE . 设BC =AD =a ,BA =DE =b , ∴BD =a +b . ∴BF =()22b a +． …………………………………………………………4分 过E 作EH ∥BD 交CB 的延长线于H . ∵∠CBA =90°, ∠ADE =90°， ∴∠CBA =∠ADE ． ∴CH ∥DE ．∴四边形BHED 为矩形. ∴BH =DE =b ,HE =BD =a +b . ∴CH =a +b ．∴△HCE 等腰直角三角形.由勾股定理,得CE =()b a +2．……………………5分 ∴BF =CE 21． …………………………………………………………………6分 ②证明B F ⊥CE ．∵Rt △CHE 是等腰直角三角形, ∴∠HCE =∠HEC =45°. ∵∠FBC =45°,∴∠BGE =∠HCE +∠FBC =90°∴BF ⊥CE . ……………………………………………………………………7分 ∴BF ⊥CE , BF =21CE 仍然成立. （朝阳）我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则称这个四边形为等平方和四边形．（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的名称： ． （2）如图（1），在梯形ABCD 中，AD ∥BC ， AC ⊥BD ，垂足为O ．求证：2222AD BC AB DC +=+，即四边形ABCD 是等平方和四边形．（3）如果将图(1)中的△AOD 绕点O 按逆时针方向旋转α度（0<α<90）后得到图(2)，那么四边形ABCD 能否成为等平方和四边形？若能，请你证明；若不能，请说明理由． （1）菱形或正方形； ………………………………………………………………………1分 （2）证： ∵AC ⊥BDO,∴∠AOD=∠BOC=∠AOB=∠DOC=90°．∴222222;;OA OD AD OB OC BC +=+=222222;.OA OB AB OD OC DC +=+=∴2222AD BC AB DC +=+．即四边形ABCD 是等平方和四边形．…………………………………………3分 （3）解：四边形 ABCD 是等平方和四边形.证：原梯形记为A BCD ''，依题意旋转后得四边形ABCD ，连接AC 、BD 交于点O '，∵ A D ''∥BC ，∴A OD ''∆∽COB ∆．∴OA OD OC OB''=． ∵OA OA '=，OD OD '=， ∴OA ODOC OB=． ∵AOA DOD α''∠=∠=，∴∠AOC=∠DOB=180°－α． 又∵OA ODOC OB=， ∴△AOC ∽△DOB. …………………………………………………………………5分 ∴∠1=∠2． 又∵∠3=∠4，∴90AO D AOD '∠=∠=︒．由（2）的结论得：2222AD BC AB DC +=+．即四边形ABCD 是等平方和四边形．………………………………………………7分（大兴）已知二次函数2y ax bx c =++的图象和x 轴有且只有一个交点A ，与y 轴的交点为 B （0，4），且ac b =．图（2）图1（1）求该二次函数的解析表达式；（2）将一次函数y =3-x 的图象作适当平移，使它经过点A ，记所得的图象为L ，图象L 与抛物线的另一个交点为C ，求△ABC 的面积．解：（1）由B （0，4）得，c =4．抛物线C bx ax y ++=2与x 轴的交点A （ab2-，0）， ∵ac b =， ∴c ab=， ∴a b 2-=22-=-c，即A （－2，0）．……1分 ∴⎩⎨⎧=+-=.0424,4b a a b 解得⎩⎨⎧==.4,1b a所求二次函数的解析式为.442++=x x y ．…………………………………3分 （2）设图象L 的函数解析式为y =3-x +b ，因图象L 过点A （2-，0），所以6b =-，即平移后所得一次函数的解析式为 y =36x --．………………………………………4分 令36x --=244x x ++， 解得12x =-，25x =-． 将它们分别代入y =36x --， 得10y =，29y =．所以图象L 与抛物线442++=x x y 的另一个交点为C （5-，9）．……………………………6分 如图，过C 作CD ⊥x 轴于D ，则 S △ABC =S 梯形BCDO -S △ACD -S △ABO=.15422193215)94(21=⨯⨯-⨯⨯-⨯+……………………7分（房山）图1是边长分别为a 和b （a ＞b ）的两个等边三角形纸片ABC 和C ′DE 叠放在一起（C 与C ′重合）的图形．（1）操作：固定△ABC ，将△C ′DE 绕点C 按顺时针方向旋转30°，连结AD ，BE ，如图2；在图2中，线段BE 与AD 之间具有怎样的大小关系？证明你的结论．（2）操作：若将图1中的△C ′DE 绕点C 按顺时针方向任意旋转一个角度，连结AD ，BE ，如图3；在图3中，线段BE 与AD 之间具有怎样的大小关系？证明你的结论．（第23题）天）1()图 （3）根据上面的操作过程，请你猜想当为多少度时，线段AD 的长度最大？是多少？当为多少度时，线段AD 的长度最小？是多少？（不要求证明）图1 图2 图3（1）BE =AD ．----------------------------------------1分∵△C ′DE 绕点C 按顺时针方向旋转30°，∴∠BCE =∠ACD =30°．∵△ABC 与△C ′DE 是等边三角形，∴CA =CB ，CE =CD ．∴△BCE ≌△ACD ．∴BE =AD ．-----------------------------------------------2分（2）BE =AD ．------------------------------------------------3分∵△C ′DE 绕点C 按顺时针方向旋转的角度为，∴∠BCE =∠ACD =．∵△ABC 与△C ′DE 是等边三角形，∴CA =CB ，CE =CD ．∴△BCE ≌△ACD ．∴BE =AD ．-----------------------------------------------4分 （3）当为180°时，线段AD 的长度最大，等于a +b ；----------6分 当为0°（或360°）时，线段AD 的长度最小，等于a -b ．-----7分（丰台）某公司专销产品A ，第一批产品A 上市40天内全部售完．该公司对第一批产品A 上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图（1）和图（2）所示，其中图（1）中的折线表示的是市场日销售量y (万件)与上市时间t (天)的关系，图（2）中的折线表示的是每件产品A 的日销售利润ω(元)与上市时间t (天)的关系．A B C DE FMNP(1) 试写出第一批产品A 的市场日销售量y (万件)与上市时间t (天)的关系式；(2) 第一批产品A 上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？ 解：(1)①当030t ≤≤时，设1y k t =，∵图象过点()30,60， ∴13060k =，解得，12k =,∴2y t =． ………………………………………1分 ②当3040t <≤时，设2y k t b =+， ∵图象过点()()30,60,40,0， ∴223060,400.k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得，26,240.k b =-⎧⎨=⎩∴6240y t =-+．……………………………………………2分 综上所述， 2, 0t 306240,30t 40t y t ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩ …………………………………3分（2）解法一：由图（1）知，当t ＝30天时，日销售量最大为60万件； …………………4分 由图（2）知，当t ＝30天时，产品的日销售利润最大为60元/件；………5分 故当t ＝30天时，市场的日销售利润最大为60603600⨯=万元．…………6分 解法二：由图（2）,得每件产品的日销售利润为()3020t t ω=≤≤，()602040t ω=<≤当020t ≤≤时，产品的日销售利润为26t ，此时利润最大为2400万元； 当2030t ≤≤时，产品的日销售利润为120t ，此时利润最大为3600万元；当3040t ≤≤时，产品的日销售利润为()606240t ⨯-+，此时利润最大为3600万元．西城如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点P ，过点P 作直线 交AD 于点E ，交BC 于点F. 若PE=PF ，且AP+AE=CP+CF. （1）求证：PA=PC ；（2）若AD=12，AB=15，60DAB ︒∠=，求四边形ABCD 的面积. 解：（1）在PA 和PC 的延长线上分别取点M 、N 使AM=AE ， CN=CF ，-------------------------------------------------------1分. AP+AE=CP+CF, ∴PN=PM. PE=PF,∴四边形EMFN 是平行四边形.--------------------------2分.∴ME=FN,EMA CNF ∠=∠.AME AEM ∠=∠,CNF CFN ∠=∠,∴EAM FCN ∆≅∆. ∴AM=CN. PM=PN,∴PA=PC.---------------------------------------------------------------4分. (2) PA=PC,EP=PF,∴四边形AFCE 为平行四边形.ABCD PEF∴AE//CF.PED PFB ∠=∠，FPB EPD ∠=∠，EP=PF ，PED PFB ∴∆≅∆.有DP=PB,由(1)知PA=PC.∴四边形ABCD 为平行四边形.------------------------------6分.AB=15,AD=12,60DAB ︒∠=,∴四边形ABCD的面积为.-----------------------------7分.宣武 如图，正方形ABCD 边长为6，菱形EFGH 的三个顶点E 、G 、H 分别在正方形ABCD 的边AB 、CD 、DA 上，且2AH =，联结CF 。