2014-2015学年江苏省南通市江苏省栟茶高中高三(上)第一次月考数学试卷
2014-2015年江苏省南通一中高三(上)期中数学试卷及参考答案(理科)
2014-2015学年江苏省南通一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）i是虚数单位，=．2．（5分）设集合M={x|1＜x＜3}，N={x|x2﹣2x＜0}，则M∩N=．3．（5分）已知平面向量=（2，﹣1），向量=（1，1），向量=（﹣5，1）．若（+k）∥，则实数k的值为．4．（5分）已知S n是数列{a n}的前n项和，且有S n=n2+1，则数列{a n}的通项a n=．5．（5分）函数y=log3（x2﹣2x）的单调减区间是．6．（5分）设等差数列{a n}的公差d不为零，a1=9d．若a k是a1与a2k的等比中项，则k=．7．（5分）已知=．8．（5分）要得到y=sin x的图象，只须将函数y=sin（）的图象向左最少平移个单位．9．（5分）设命题p：ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R；命题q：0＜a＜1，则p 是q的．（填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”）10．（5分）已知函数f（x）满足：x≥4，则f（x）=；当x＜4时f（x）=f （x+1），则f（2+log23）=．11．（5分）在四边形ABCD中，==（1，1），，则四边形ABCD的面积是．12．（5分）给出下列四个命题，其中正确的命题有．（填所有正确的序号）（1）命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是“∃x∈R，cosx≤0”；（2）若f（x）=ax2+2x+1只有一个零点，则a=1；（3）命题“若x≥2且y≥3，则x+y≥5”的否命题为“若x＜2且y＜3，则x+y＜5”；（4）对于任意实数x，有f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=g（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＞g′（x）；（5）在△ABC中，“A＞45°”是“sinA＞”的充要条件．13．（5分）在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=120°，E，F分别是边AB，AC上的点，且=m，=n，其中m，n∈（0，1）．若EF，BC的中点分别为M，N，且m+4n=1，则||的最小值为14．（5分）设S n为数列{a n}的前n项之和，若不等式n2a n2+4S n2≥λn2a12对任何等差数列{a n}及任何正整数n恒成立，则λ的最大值为．二、解答题：本大题共10小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知向量=（，1），向量=（sin2x，cos2x），函数f（x）=•．（1）求函数f（x）的表达式，并作出函数y=f（x）在一个周期内的简图（用五点法列表描点）；（2）求函数y=f（x）的周期，并写单调区间．16．（14分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA （Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．17．（14分）某旅游景点预计2014年1月份起前x个月的旅游人数的和p（x）（单位：万人）与x的关系近似满足p（x）=x（x+1）•（39﹣2x），（x∈N+，x ≤12）已知第x月的人均消费额q（x）（单位：元）与x的近似关系是q（x）=（1）写出2014年第x月的旅游人数f（x）（单位：万人）与x的函数关系式；（2）试问2014年哪个月的旅游消费总额最大，最大旅游消费额为多少万元？18．（16分）已知奇函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，当x∈[﹣1，0）时，f（x）=﹣．（1）求函数f（x）在[0，1]上的值域；（2）若x∈（0，1]，f2（x）﹣f（x）+1的最小值为﹣2，求实数λ的值．19．（16分）已知函数f（x）=ax2+bx的图象过点（﹣n，0），且在（0，f（0））处的切线的斜率为n，（n为正整数）（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若数列{a n}满足：，，令，求数列{b n}的通项公式；（III）对于（Ⅱ）中的数列{a n}，令，求数列{c n}的前n项的和S n．20．（16分）设函数f（x）=xsinx（x∈R）．（Ⅰ）证明f（x+2kπ）﹣f（x）=2kπsinx，其中为k为整数；（Ⅱ）设x0为f（x）的一个极值点，证明[f（x0）]2=；（Ⅲ）设f（x）在（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排列a1，a2，…，a n，…，证明＜a n+1﹣a n＜π（n=1，2，…）．21．（10分）已知函数f（x）=ln（2x﹣e），点P（e，f（e））为函数的图象上一点．（1）求导函数f′（x）的解析式；（2））求f（x）=ln（2x﹣e）在点P（e，f（e））处的切线的方程．22．（10分）已知圆C的极坐标方程为ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，若直线l：kx+y+3=0与圆C相切．求（1）圆C的直角坐标方程；（2）实数k的值．23．（10分）（理）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4，D是棱AA1的中点．如图所示．（1）求证：DC1⊥平面BCD；（2）求二面角A﹣BD﹣C的大小．24．（10分）设数列{a n}的前n项和为S n，且方程x2﹣a n x﹣a n=0有一根为S n﹣1，n=1，2，3，…．（1）求a1，a2；（2）猜想数列{S n}的通项公式，并给出严格的证明．2014-2015学年江苏省南通一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）i是虚数单位，=﹣1．【解答】解：=．故答案为：﹣1．2．（5分）设集合M={x|1＜x＜3}，N={x|x2﹣2x＜0}，则M∩N={x|1＜x＜2} ．【解答】解：∵集合M{x|1＜x＜3}，N={x|x2﹣2x＜0}={x|0＜x＜2}，∴M∩N={1＜x＜2}．故答案为：{x|1＜x＜2}．3．（5分）已知平面向量=（2，﹣1），向量=（1，1），向量=（﹣5，1）．若（+k）∥，则实数k的值为．【解答】解：∵，∴，又，且（+k）∥，∴1×（2+k）+5（﹣1+k）=0，解得：k=．故答案为：．4．（5分）已知S n是数列{a n}的前n项和，且有S n=n2+1，则数列{a n}的通项a n=．【解答】解：a1=S1=1+1=2，a n=S n﹣S n﹣1=（n2+1）﹣[（n﹣1）2+1]=2n﹣1，当n=1时，2n﹣1=1≠a1，∴．答案：．5．（5分）函数y=log3（x2﹣2x）的单调减区间是（﹣∞，0）．【解答】解：由题意可得函数f（x）的定义域是x＞2或x＜0，令u（x）=x2﹣2x的减区间为（﹣∞，1）∴函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，0）故答案：（﹣∞，0）6．（5分）设等差数列{a n}的公差d不为零，a1=9d．若a k是a1与a2k的等比中项，则k=4．【解答】解：因为a k是a1与a2k的等比中项，则a k2=a1a2k，[9d+（k﹣1）d]2=9d•[9d+（2k﹣1）d]，又d≠0，则k2﹣2k﹣8=0，k=4或k=﹣2（舍去）．故答案为：4．7．（5分）已知=﹣．【解答】解：∵cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣∴cosα=∴sinα=±=±∵α∈（﹣，0）∴sinαα=﹣∴tanα=﹣tan2α==﹣故答案为﹣．8．（5分）要得到y=sin x的图象，只须将函数y=sin（）的图象向左最少平移个单位．【解答】解：将函数y=sin（）的图象向左最少平移单位，可得y=sin[（x+）﹣]=sin x的图象，故答案为：．9．（5分）设命题p：ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R；命题q：0＜a＜1，则p 是q的必要不充分条件．（填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”）【解答】解：命题p：ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R⇔a=0或⇔a=0或⇔a=0或0＜a＜4⇔0≤a＜4命题q：0＜a＜1．故p是q的必要不充分条件．答案为：必要不充分条件10．（5分）已知函数f（x）满足：x≥4，则f（x）=；当x＜4时f（x）=f（x+1），则f（2+log23）=．【解答】解：∵2+log23＜4，∴f（2+log23）=f（3+log23）=f（log224）==故应填11．（5分）在四边形ABCD中，==（1，1），，则四边形ABCD的面积是．【解答】解：由题，可知平行四边形ABCD的角平分线BD平分∠ABC，四边形ABCD是菱形，其边长为，且对角线BD等于边长的倍，所以cos∠BAD==﹣，故sin∠BAD=，S ABCD=（）2×=．故答案为：．12．（5分）给出下列四个命题，其中正确的命题有（1）．（填所有正确的序号）（1）命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是“∃x∈R，cosx≤0”；（2）若f（x）=ax2+2x+1只有一个零点，则a=1；（3）命题“若x≥2且y≥3，则x+y≥5”的否命题为“若x＜2且y＜3，则x+y＜5”；（4）对于任意实数x，有f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=g（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＞g′（x）；（5）在△ABC中，“A＞45°”是“sinA＞”的充要条件．【解答】解：对于（1），命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是“∃x∈R，cosx≤0”，正确；对于（2），当a=0时函数f（x）=ax2+2x+1也只有一个零点，命题（2）错误；对于（3），命题“若x≥2且y≥3，则x+y≥5”的否命题为“若x＜2或y＜3，则x+y ＜5”，命题（3）错误；对于（4），对于任意实数x，有f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=g（x），说明f（x），g（x）均为偶函数，又当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＜0，g′（x）＜0，命题（4）错误；对于（5），在△ABC中，A＞45°不一定得到sinA＞，如A=150°，sinA=，∴“A ＞45°”不是“sinA＞”的充要条件，命题（5）错误．故答案为：（1）．13．（5分）在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=120°，E，F分别是边AB，AC上的点，且=m，=n，其中m，n∈（0，1）．若EF，BC的中点分别为M，N，且m+4n=1，则||的最小值为【解答】解：连接AM、AN，∵等腰三角形ABC中，AB=AC=1，A=120°，∴=||•||cos120°=﹣∵AM是△AEF的中线，∴=（）=（+）同理，可得=（+），由此可得=﹣=（1﹣m）+（1﹣n）∴=[（1﹣m）+（1﹣n）]2=（1﹣m）2+（1﹣m）（1﹣n）•+（1﹣n）2=（1﹣m）2﹣（1﹣m）（1﹣n）+（1﹣n）2，∵m+4n=1，可得1﹣m=4n∴代入上式得=×（4n）2﹣×4n（1﹣n）+（1﹣n）2=n2﹣n+∵m，n∈（0，1），∴当n=时，的最小值为，此时的最小值为．故答案为：14．（5分）设S n为数列{a n}的前n项之和，若不等式n2a n2+4S n2≥λn2a12对任何等差数列{a n}及任何正整数n恒成立，则λ的最大值为．【解答】解：∵不等式n2a n2+4S n2≥λn2a12对任何等差数列{a n}及任何正整数n恒成立，，∴+，当a1≠0时，化为+1=，当=﹣时，上式等号成立．∴．故答案为：．二、解答题：本大题共10小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知向量=（，1），向量=（sin2x，cos2x），函数f（x）=•．（1）求函数f（x）的表达式，并作出函数y=f（x）在一个周期内的简图（用五点法列表描点）；（2）求函数y=f（x）的周期，并写单调区间．【解答】解：（1）由于向量=（，1），向量=（sin2x，cos2x），函数f（x）=•．则有f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），函数的周期为T==π，先用“五点法”作出一个周期的图象，列表：描点得整个图象，如右．（2）函数y=f（x）的周期为π，由2k≤2x+≤2k，解得k≤x≤k；由2k≤2x+≤2k，解得k≤x≤k，则单调增区间[k，k]（k为整数）；单调减区间[k，k]（k为整数）．16．（14分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA （Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△ABC为锐角三角形得．（Ⅱ）===．由△ABC为锐角三角形知，0＜A＜，0＜﹣A＜，∴＜A＜，，所以．由此有＜，所以，cosA+sinC的取值范围为（，）．17．（14分）某旅游景点预计2014年1月份起前x个月的旅游人数的和p（x）（单位：万人）与x的关系近似满足p（x）=x（x+1）•（39﹣2x），（x∈N+，x ≤12）已知第x月的人均消费额q（x）（单位：元）与x的近似关系是q（x）=（1）写出2014年第x月的旅游人数f（x）（单位：万人）与x的函数关系式；（2）试问2014年哪个月的旅游消费总额最大，最大旅游消费额为多少万元？【解答】解：（1）当x=1时，f（1）=p（1）=37，当2≤x≤12，且x∈N*时，f（x）=P（x）﹣P（x﹣1）=﹣3x2+40x．验证：x=1时，37符合f（x））=﹣3x2+40x∴f（x））=﹣3x2+40x（x∈N*，且1≤x≤12））（2）第x月旅游消费总额为g（x）=f（x）•q（x）==当1≤x≤6，且x∈N+时，g′（x）=18x2﹣370x+1400，令g′（x）=0，解得x=5，x=140（舍去）∴当1≤x＜5时，g′（x）＞0，当5＜x≤6时，g′（x）＜0，∴当x=5时，g（x）max=g（5）=3125（万元）当7≤x≤12，且x∈N*时，g（x）=﹣48x+640是减函数，∴当x=7时，g（x）max=g（7）=304（万元），综上，2013年第5月份的旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为3125万元．18．（16分）已知奇函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，当x∈[﹣1，0）时，f（x）=﹣．（1）求函数f（x）在[0，1]上的值域；（2）若x∈（0，1]，f2（x）﹣f（x）+1的最小值为﹣2，求实数λ的值．【解答】解：（1）设x∈（0，1]，则﹣x∈[﹣1，0）时，所以f（﹣x）=﹣=﹣2x．又因为f（x）为奇函数，所以有f（﹣x）=﹣f（x），所以当x∈（0，1]时，f（x）=﹣f（﹣x）=2x，所以f（x）∈（1，2]，又f（0）=0．所以，当x∈[0，1]时函数f（x）的值域为（1，2]∪{0}．（2）由（1）知当x∈（0，1]时，f（x）∈（1，2]，所以f（x）∈（，1]．令t=f（x），则＜t≤1，g（t）=f2（x）﹣f（x）+1=t2﹣λt+1=+1﹣，①当≤，即λ≤1时，g（t）＞g（），无最小值，②当＜≤1，即1＜λ≤2时，g（t）min=g（）=1﹣=﹣2，解得λ=±2（舍去）．③当＞1，即λ＞2时，g（t）min=g（1）=﹣2，解得λ=4，综上所述，λ=4．19．（16分）已知函数f（x）=ax2+bx的图象过点（﹣n，0），且在（0，f（0））处的切线的斜率为n，（n为正整数）（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若数列{a n}满足：，，令，求数列{b n}的通项公式；（III）对于（Ⅱ）中的数列{a n}，令，求数列{c n}的前n项的和S n．【解答】解：（I）由已知f（﹣n）=a（﹣n）2+b（﹣n）=0，f′（0）=b=n解得a=1，b=n，所以f（x）=x2+nx（3分）；（Ⅱ）由可得，（4分），即b n=2b n+1所以数列{b n}是首项为，公比q=2的等比数列，（6分）∴b n=4•2n﹣1=2n+1（8分）；（Ⅲ）由（Ⅱ）知C n=n•2n+1﹣n（9分）∵S n=1•22+2•23+…+n•2n+1﹣（1+2+3+…+n）2S n=1•23+2•24+…+（n﹣1）•2n+1+n•2n+2﹣2（1+2+3+…+n）（10分）∴﹣S n=（22+23+…+2n+1）﹣n•2n+2+（1+2+3+…+n）=﹣n•2n+2+，∴S n=（n﹣1）•2n+2+4﹣（12分）20．（16分）设函数f（x）=xsinx（x∈R）．（Ⅰ）证明f（x+2kπ）﹣f（x）=2kπsinx，其中为k为整数；（Ⅱ）设x0为f（x）的一个极值点，证明[f（x0）]2=；（Ⅲ）设f（x）在（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排列a1，a2，…，a n，…，证明＜a n+1﹣a n＜π（n=1，2，…）．【解答】解：（Ⅰ）证明：由函数f（x）的定义，对任意整数k，有f（x+2kπ）﹣f（x）=（x+2kπ）sin（x+2kπ）﹣xsinx=（x+2kπ）sinx﹣xsinx=2kπsinx．（Ⅱ）证明：函数f（x）在定义域R上可导，f'（x）=sinx+xcosx①令f'（x）=0，得sinx+xcosx=0．显然，对于满足上述方程的x有cosx≠0，上述方程化简为x=﹣tanx．此方程一定有解．f（x）的极值点x0一定满足tanx0=﹣x0．由sin2x==，得sin2x0=．因此，[f（x0）]2=x02sin2x0=．（Ⅲ）证明：设x0＞0是f'（x）=0的任意正实数根，即x0=﹣tanx0，则存在一个非负整数k，使x0∈（+kπ，π+kπ），即x0在第二或第四象限内．由①式，f'（x）=cosx（tanx+x）在第二或第四象限中的符号可列表如下：所以满足f'（x）=0的正根x0都为f（x）的极值点．由题设条件，a1，a2，a n，为方程x=﹣tanx的全部正实数根且满足a1＜a2＜＜a n ＜，﹣a n=﹣（tana n+1﹣tana n）=﹣（1+tana n+1•tana n）tan（a n+1那么对于n=1，2，a n+1﹣a n）．②＜π+nπ，由于+（n﹣1）π＜a n＜π+（n﹣1）π，+nπ＜a n+1则＜a n﹣a n＜，+1由于tana n+1•tana n＞0，由②式知tan（a n+1﹣a n）＜0．由此可知a n+1﹣a n必在第二象限，即a n+1﹣a n＜π．综上，＜a n+1﹣a n＜π．21．（10分）已知函数f（x）=ln（2x﹣e），点P（e，f（e））为函数的图象上一点．（1）求导函数f′（x）的解析式；（2））求f（x）=ln（2x﹣e）在点P（e，f（e））处的切线的方程．【解答】解：（1）∵f（x）=ln（2x﹣e），∴f′（x）==…（4分）（2）∵f（e）=1，f′（e）=，∴切线的方程为y﹣1=（x﹣e），即2x﹣ey﹣e=0 …（10分）22．（10分）已知圆C的极坐标方程为ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，若直线l：kx+y+3=0与圆C相切．求（1）圆C的直角坐标方程；（2）实数k的值．【解答】解：（1）由题意得，圆C的极坐标方程为ρ=2，则ρ2=4，所以圆C的直角坐标方程是：x2+y2=4…（5分）（2）因为直线l：kx+y+3=0与圆C相切，所以，解得k=…（10分）23．（10分）（理）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4，D是棱AA1的中点．如图所示．（1）求证：DC1⊥平面BCD；（2）求二面角A﹣BD﹣C的大小．【解答】（理）（1）证明：按如图所示建立空间直角坐标系．由题意知C（0，0，0）、A（2，0，0）、B（0，2，0）、D（2，0，2）、A1（2，0，4）、C1（0，0，4）．∴=（﹣2，0，2），，．∵=0，．∴DC1⊥DC，DC1⊥DB．又∵DC∩DB=D，∴DC1⊥平面BDC．（2）解：设是平面ABD的法向量．则，又，，∴，取y=1，得=（1，1，0）．由（1）知，=（﹣2，0，2）是平面DBC的一个法向量，记与的夹角为θ，则cosθ==﹣，结合三棱柱可知，二面角A﹣BD﹣C是锐角，∴所求二面角A﹣BD﹣C的大小是．24．（10分）设数列{a n}的前n项和为S n，且方程x2﹣a n x﹣a n=0有一根为S n﹣1，n=1，2，3，…．（1）求a1，a2；（2）猜想数列{S n}的通项公式，并给出严格的证明．【解答】解：（1）当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为S1﹣1=a1﹣1，于是（a1﹣1）2﹣a1（a1﹣1）﹣a1=0，解得a1=．当n=2时，x2﹣a2x﹣a2=0有一根为S2﹣1=a2﹣，于是（a2﹣）2﹣a2（a2﹣）﹣a2=0，解得a2=．（2）由题设（S n﹣1）2﹣a n（S n﹣1）﹣a n=0，S n2﹣2S n+1﹣a n S n=0．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，S n﹣2S n+1=0．①代入上式得S n﹣1由（1）得S1=a1=，S2=a1+a2=+=．由①可得S3=．由此猜想S n=，n=1，2，3，．下面用数学归纳法证明这个结论．（i）n=1时已知结论成立．（ii）假设n=k时结论成立，即S k=，当n=k+1时，由①得S k+1=，即S k+1=，故n=k+1时结论也成立．综上，由（i）、（ii）可知S n=对所有正整数n都成立．。
【试卷解析】江苏省南通市启东中学2014-2015学年高三上学期第一次月考数学试卷(文科)
2014-2015学年江苏省南通市启东中学高三（上）第一次月考数学试卷（文科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．函数y=的定义域是．2．设函数f（x）=log2x，则“a＞b”是“f（a）＞f（b）”的条件．3．若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）= ．4．为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象．5．已知集合A={（0，1），（1，1），（﹣1，2）}，B={（x，y）|x+y﹣1=0，x，y∈Z}，则A∩B= ．6．函数y=|2x﹣1|在区间（k﹣1，k+1）内不单调，则k的取值范围是．7．若函数f（x）=log a（x﹣1）+4（a＞0且a≠1）的图象过定点（m，n），则log m n= ．8．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.2]=1，[﹣1.5]=﹣2．若x0是函数f（x）=lnx﹣的零点，则[x0]= ．9．已知f（x）=3sin（2x﹣），若存在α∈（0，π），使f（α+x）=f（α﹣x）对一切实数x恒成立，则α= ．10．已知函数f（x）=ax3+bsinx+4（a，b∈R），f（lg（log210））=5，则f（lg（lg2））= ．11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．若C=，则= ．12．设函数f（x）=1﹣xsinx在x=x0处取极值，则（1+x02）（1+cos2x0）= ．13．已知函数f（x）=ax2+bx+与直线y=x相切于点A（1，1），若对任意x∈[1，9]，不等式f（x﹣t）≤x恒成立，则所有满足条件的实数t的值为．14．在△ABC中，若的最大值为．二、简答题：（本大题共6小题，共90分）15．已知函数f（x）=cos2x，g（x）=1+sin2x．（1）若点A（α，y）（α∈[0，]）为函数f（x）与g（x）的图象的公共点，试求实数α的值；（2）求函数h（x）=f（x）+g（x），x∈[0，]的值域．16．在△ABC中，内角A， B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA ﹣sinBcosB．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积．17．已知全集U=R，非空集合A={x|＜0}，B={x|＜0}．（Ⅰ）当a=时，求（∁U B∩A）；（Ⅱ）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．18．我国西部某省4A级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数f（x）与第x天近似地满足（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费g（x）近似地满足g（x）=143﹣|x﹣22|（元）．（1）求该村的第x天的旅游收入p（x）（单位千元，1≤x≤30，x∈N*）的函数关系；（2）若以最低日收入的20%作为每一天的计量依据，并以纯收入的5%的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？19．已知函数f（x）=π（x﹣cosx）﹣2sinx﹣2，g（x）=（x﹣π）+﹣1．证明：（Ⅰ）存在唯一x0∈（0，），使f（x0）=0；（Ⅱ）存在唯一x1∈（，π），使g（x1）=0，且对（Ⅰ）中的x0，有x0+x1＞π．20．已知函数，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x﹣12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2﹣x）=f′（x）．（1）求f（x）；（2）设，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1﹣t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．2014-2015学年江苏省南通市启东中学高三（上）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．函数y=的定义域是{x|x＞2且x≠3} ．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由分式的分母不等于0，对数的真数大于0联立不等式组求解x的取值集合得答案．解答：解：由，解得：x＞2且x≠3．∴函数y=的定义域是{x|x＞2且x≠3}．故答案为：{x|x＞2且x≠3}．点评：本题考查了函数的定义域及其求法，是基础的计算题．2．设函数f（x）=log2x，则“a＞b”是“f（a）＞f（b）”的必要非充分条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据函数f（x）=log2x，在x∈（0，+∞）上单调递增．可得“a＞b”⇐“f（a）＞f（b）”，反之不成立．解答：解：∵函数f（x）=log2x，在x∈（0，+∞）上单调递增．∴“a＞b”⇐“f（a）＞f（b）”，而反之不成立．∴“a＞b”是“f（a）＞f（b）”的必要非充分条件．故答案为：必要非充分．点评：本题考查了对数函数的单调性、简易逻辑的判定方法，属于基础题．3．若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）= ．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：通过函数的奇偶性以及函数的周期性，化简所求表达式，通过分段函数求解即可．解答：解：函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=f（8﹣）+f（8﹣）=f（﹣）+f（﹣）=﹣f（）﹣f（）===．故答案为：．点评：本题考查函数的值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．4．为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象向右平移个单位．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则判断选项即可．解答：解：函数y=sin3x+cos3x=cos（3x﹣），故只需将函数y=cos3x的图象向右平移个单位，得到y=cos[3（x﹣）]=cos（3x﹣）的图象．故答案为：向右平移个单位．点评：本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用，基本知识的考查．5．已知集合A={（0，1），（1，1），（﹣1，2）}，B={（x，y）|x+y﹣1=0，x，y∈Z}，则A∩B= {（0，1），（﹣1，2）} ．考点：交集及其运算．专题：综合题．分析： A、B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x+y﹣1=0上的所有点组成的集合，代入验证即可．解答：解：把集合A中的点的坐标（0，1）代入集合B中的x+y﹣1=0+1﹣1=0，所以（0，1）在直线x+y ﹣1=0上；把（1，1）代入直线方程得：1+1﹣1=1≠0，所以（1，1）不在直线x+y﹣1=0上；把（﹣1，2）代入直线方程得：﹣1+2﹣1=0，所以（﹣1，2）在直线x+y﹣1=0上．则A∩B={（0，1），（﹣1，2）}．故答案为：{（0，1），（﹣1，2）}点评：此题属于以点集为平台，考查了交集的运算，是一道基础题．学生做题时应注意点集的正确书写格式．6．函数y=|2x﹣1|在区间（k﹣1，k+1）内不单调，则k的取值范围是（﹣1，1）．考点：指数函数的图像与性质．专题：数形结合．分析：根据解析式为函数y=|2x﹣1|画出函数的图象，根据图象写出单调增区间．解答：解：∵函数y=|2x﹣1|，其图象如图所示，由图象知，函数y=|2x﹣1|在区间（k﹣1，k+1）内不单调，则：﹣2＜k﹣1＜0，则k的取值范围是（﹣1，1）故答案为：（﹣1，1）．点评：此题是个基础题．考查根据函数图象分析观察函数的单调性，体现分类讨论与数形结合的数学思想方法．7．若函数f（x）=log a（x﹣1）+4（a＞0且a≠1）的图象过定点（m，n），则log m n= 2 ．考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：函数的性质及应用．分析：令x﹣1=1，可得x=2，且y=4，故函数f（x）=log a（x﹣1）+4（a＞0且a≠1）的图象过定点（2，4），结合条件求得m、n的值，可得log m n的值．解答：解：令x﹣1=1，可得x=2，且y=4，故函数f（x）=log a（x﹣1）+4（a＞0且a≠1）的图象过定点（2，4），再由函数f（x）=log a（x﹣1）+4（a＞0且a≠1）的图象过定点（m，n），可得m=2、n=4，故log m n=2，故答案为 2．点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，属于中档题．8．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.2]= 1，[﹣1.5]=﹣2．若x0是函数f（x）=lnx﹣的零点，则[x0]= 2 ．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数零点的判定定理，求出根所在的区间，即可得到结论．解答：解：∵f（x）=lnx﹣，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f（1）=ln1﹣2=﹣2＜0，f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣，∴f（2）f（3）＜0，∴在区间（2，3）内函数f（x）存在唯一的零点，∵x0是函数f（x）=lnx﹣的零点，∴2＜x0＜3，则[x0]=2，故答案为：2．点评：本题主要考查函数零点的判断，以及函数的新定义的应用，要求熟练掌握函数零点的判断条件．9．已知f（x）=3sin（2x﹣），若存在α∈（0，π），使f（α+x）=f（α﹣x）对一切实数x恒成立，则α= ，．考点：正弦函数的对称性；函数恒成立问题．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：依题意，f（x）=3sin（2x﹣），且f（α+x）=f（α﹣x）⇒y=f（x）关于x=α对称，利用正弦函数的对称性及α∈（0，π）即可求得α的值．解答：解：∵f（x）=3sin（2x﹣），且f（α+x）=f（α﹣x），∴y=f（x）关于直线x=α对称，由正弦函数的对称性得：2α﹣=kπ+（k∈Z），∴α=+（k∈Z），又α∈（0，π），∴k=0时，α=；故答案为：，．点评：本题考查正弦函数的对称性，f（α+x）=f（α﹣x）⇒y=f（x）关于x=α对称是关键，考查函数恒成立问题，属于中档题．10．已知函数f（x）=ax3+bsinx+4（a，b∈R），f（lg（log210））=5，则f（lg（lg2））= 3 ．考点：对数的运算性质；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由lg（log210）与lg（lg2）互为相反数，令f（x）=g（x）+4，则g（x）=ax3+bsinx是一个奇函数，从而g（lg（log210））+g（lg（lg2））=0，由此能求出f（lg（lg2））=3．解答：解：∵lg（log210）+lg（lg2）=lg1=0，∴lg（log210）与lg（lg2）互为相反数，令f（x）=g（x）+4，即g（x）=ax3+bsinx，此函数是一个奇函数，故g（lg（log210））+g（lg（lg2））=0，∴f（lg（log210））+f（lg（lg2））=g（lg（log210））+4+g（lg（lg2））+4=8，又f（lg（log210））=5，所以f（lg（lg2））=8﹣5=3．故选：3．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．若C=，则= ．考点：正弦定理的应用．专题：解三角形．分析：由条件利用二倍角公式可得sinAsinB+sinBsinC=2 sin2B，再由正弦定理可得 ab+bc=2b2，即 a+c=2b，由此可得a，b，c成等差数列．通过C=，利用c=2b﹣a，由余弦定理可得（2b﹣a）2=a2+b2﹣2ab•cosC，化简可得 5ab=3b2，由此可得的值．解答：解：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，∴sinAsinB+sinBsinC=2sin2B．再由正弦定理可得 ab+bc=2b2，即 a+c=2b，故a，b，c成等差数列．C=，由a，b，c成等差数列可得c=2b﹣a，由余弦定理可得（2b﹣a）2=a2+b2﹣2ab•cosC=a2+b2+ab．化简可得 5ab=3b2，∴=．故答案为：．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，二倍角公式、余弦定理的应用，属于中档题．12．设函数f（x）=1﹣xsinx在x=x0处取极值，则（1+x02）（1+cos2x0）= 2 ．考点：函数在某点取得极值的条件．分析：先根据函数f（x）=1﹣xsinx在x=x0处取得极值可得出x02=tan2x0，代入（x02+1）（cos2x0+1）化简求值即可得到所求答案解答：解：f（x）=1﹣xsinx则f′（x）=﹣sinx﹣xcosx，令﹣sinx﹣xcosx=0，化得tanx=﹣x，∴x02=tan2x0，∴（1+x02）（1+cos2x0）=（tan2x0+1）（cos2x0+1）==2故答案为2点评：本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，解题的关键得出x02=tan2x，从而把求值的问题转化到三角函数中，得以顺利解题．13．已知函数f（x）=ax2+bx+与直线y=x相切于点A（1，1），若对任意x∈[1，9]，不等式f（x﹣t）≤x恒成立，则所有满足条件的实数t的值为 4 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；二次函数的性质．专题：导数的概念及应用．分析：对f（x）进行求导，根据它与直线y=x相切于点A（1，1），可得f′（1）=0，可得把点A代入得到方程，求出a，b，求出f（x）的解析式，根据题意对任意x∈[1，9]，不等式f （x﹣t）≤x恒成立，根据根与系数的关系进行求解；解答：解：∵已知函数f （x）=ax2+bx+与直线y=x相切于点A（1，1），f′（x）=2ax+b，∴f′（1）=1，可得2a+b=1①，又f（x）过点A（1，1）可得a+b+=1②，联立方程①②可得a=，b=，f（x）=x2+x+，∵对任意x∈[1，9]，不等式f （x﹣t）≤x恒成立，可得f（x﹣t）=（x﹣t+1）2≤x，化简可得，x2﹣2x（t﹣1）+（t﹣1）2﹣4x≤0，在[1，9]上恒成立，令g（x）=x2﹣2x（t+1）+（t﹣1）2≤0，在[1，9]上恒成立，∴，解①可得0≤t≤4，解②可得4≤t≤14，解③可得t≥4综上可得：t=4，故答案为4点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握不等式恒成立时所取的条件；考点：余弦定理；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：由A和B为三角形的内角，得到sinA和sinB都大于0，进而确定出C为钝角，利用诱导公式及三角形的内角和定理化简已知等式的左边，得到sinB=﹣2sinAcosC，再由sinB=sin（A+C），利用两角和与差的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系化简，得到tanC=﹣3tanA，将tanB利用诱导公式及三角形的内角和定理化简为﹣tan（A+C），利用两角和与差的正切函数公式化简，将tanC=﹣3tanA代入，变形后利用基本不等式求出tanB的范围，即可得到tanB的最大值．解答：解：∵sinA＞0，sinB＞0，∴=2cos（A+B）=﹣2cosC＞0，即cosC＜0，∴C为钝角，sinB=﹣2sinAcosC，又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=﹣2sinAcosC，即cosAsinC=﹣3sinAcosC，∴tanC=﹣3tanA，∴tanB=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=≤=，当且仅当=3tanA，即tanA=时取等号，则tanB的最大值为．点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦、正切函数公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握基本关系及公式是解本题的关键．二、简答题：（本大题共6小题，共90分）15．已知函数f（x）=cos2x，g（x）=1+sin2x．（1）若点A（α，y）（α∈[0，]）为函数f（x）与g（x）的图象的公共点，试求实数α的值；（2）求函数h（x）=f（x）+g（x），x∈[0，]的值域．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象；余弦函数的图象．专题：三角函数的求值．分析：（1）由于点A（α，y）（0≤α≤π）为函数f（x）与g（x）的图象的公共点，可得，利用倍角公式展开即可得出；（2）利用倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性即可得出．解答：解：（1）∵点A（α，y）（0≤α≤π）为函数f（x）与g（x）的图象的公共点，∴，∴cos2α﹣sin2α=1∴cos2α﹣1=sin2α，∴﹣2sin2α=2sinαcosα，∴sinα=0，或tanα=﹣1．∵∴α=0．（2）∵h（x）=f（x）+g（x）===∵，∴．∴，∴．即函数h（x）的值域为．点评：本题考查了倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性，考查了计算能力，属于难题．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积．考点：正弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）△ABC中，由条件利用二倍角公式化简可得﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2•cos（A+B）sin （A﹣B）．求得tan（A+B）的值，可得A+B的值，从而求得C的值．（Ⅱ）由 sinA=求得cosA的值．再由正弦定理求得a，再求得 sinB=sin[（A+B）﹣A]的值，从而求得△ABC的面积为的值．解答：解：（Ⅰ）∵△ABC中，a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB，∴﹣=sin2A﹣sin2B，即 cos2A﹣cos2B=sin2A﹣sin2B，即﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2•cos（A+B）sin（A﹣B）．∵a≠b，∴A≠B，sin（A﹣B）≠0，∴tan（A+B）=﹣，∴A+B=，∴C=．（Ⅱ）∵sinA=＜，C=，∴A＜，或A＞（舍去），∴cosA==．由正弦定理可得，=，即=，∴a=．∴sinB=sin[（A+B）﹣A]=sin（A+B）cosA﹣cos（A+B）sinA=﹣（﹣）×=，∴△ABC的面积为=×=．点评：本题主要考查二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用，属于中档题．（Ⅰ）当a=时，求（∁U B∩A）；（Ⅱ）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：（Ⅰ）先求出集合A、B，再求出C U B，借助数轴求出，（C U B）∩A．（Ⅱ）由题意知，p⇒q，可知A⊆B，B={x|a＜x＜a2+2}．对于集合A，其解集的端点是 3a+1和2，大小有三种情况，在每种情况下，求出集合A，借助数轴列出A⊆B时区间端点间的大小关系，解不等式组求出a 的范围．解答：解：（Ⅰ）当时，，（2分）C U B=，（C U B）∩A=．（4分）（Ⅱ）由q是p的必要条件，即p⇒q，可知A⊆B．（6分）由a2+2＞a，得 B={x|a＜x＜a2+2}．（8分）①当3a+1＞2，即时，A={x|2＜x＜3a+1}，再由，解得．②当3a+1=2，即a=时，A=∅，不符合题意；③当3a+1＜2，即时，A={x|3a+1＜x＜2}，再由，解得．综上，∪．（12分）点评：本题考查2个集合间的交、并、补运算方法以及A⊆B时2个区间端点之间的大小关系（借助数轴列出不等关系），体现了分类讨论的数学思想．18．我国西部某省4A级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数f（x）与第x天近似地满足（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费g（x）近似地满足g（x）=143﹣|x﹣22|（元）．（1）求该村的第x天的旅游收入p（x）（单位千元，1≤x≤30，x∈N*）的函数关系；（2）若以最低日收入的20%作为每一天的计量依据，并以纯收入的5%的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（1）根据旅游收入p（x）等于每天的旅游人数f（x）与游客人均消费g（x）的乘积，然后去绝对值，从而得到所求；（2）分别研究每一段函数的最值，第一段利用基本不等式求最小值，第二段利用函数的单调性研究最小值，再比较从而得到日最低收入，最后根据题意可判断该村在两年内能否收回全部投资成本．解答：解：（1）依题意有p（x）=f（x）•g（x）=（8+）（143﹣|x﹣22|）（1≤x≤30，x∈N*）=；*p（x）=8x++976≥2+976=1152（当且仅当x=11时，等号成立）∴p（x）min=p（11）=1152（千元），②当22＜x≤30，x∈N*时，p（x）=﹣8x++1312，考察函数y=﹣8x+，可知函数y=﹣8x+在（22，30]上单调递减，∴p（x）min=p（30）=1116（千元），又1152＞1116，∴日最低收入为1116千元．该村两年可收回的投资资金为1116×20%×5%×30×12×2=8035.2（千元）=803.52（万元）．∵803.52（万元）＞800（万元），∴该村在两年内能收回全部投资成本．点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．属于中档题．19．已知函数f（x）=π（x﹣cosx）﹣2sinx﹣2，g（x）=（x﹣π）+﹣1．证明：（Ⅰ）存在唯一x0∈（0，），使f（x0）=0；（Ⅱ）存在唯一x1∈（，π），使g（x1）=0，且对（Ⅰ）中的x0，有x0+x1＞π．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：（Ⅰ）导数法可判f（x）在（0，）上为增函数，又可判函数有零点，故必唯一；（Ⅱ）化简可得g（x）=（π﹣x）+﹣1，换元法，令t=π﹣x，记u（t）=g（π﹣t）=﹣﹣t+1，t∈[0，]，由导数法可得函数的零点，可得不等式．解答：解：（Ⅰ）当x∈（0，）时，f′（x）=π+πsinx﹣2cosx＞0，∴f（x）在（0，）上为增函数，又f（0）=﹣π﹣2＜0，f（）=﹣4＞0，∴存在唯一x0∈（0，），使f（x0）=0；（Ⅱ）当x∈[，π]时，化简可得g（x）=（x﹣π）+﹣1=（π﹣x）+﹣1，令t=π﹣x，记u（t）=g（π﹣t）=﹣﹣t+1，t∈[0，]，求导数可得u′（t）=，由（Ⅰ）得，当t∈（0，x0）时，u′（t）＜0，当t∈（x0，）时，u′（t）＞0，∴函数u（t）在（x0，）上为增函数，由u（）=0知，当t∈[x0，）时，u（t）＜0，∴函数u（t）在[x0，）上无零点；函数u（t）在（0，x0）上为减函数，由u（0）=1及u（x0）＜0知存在唯一t0∈（0，x0），使u（t0）=0，于是存在唯一t0∈（0，），使u（t0）=0，设x1=π﹣t0∈（，π），则g（x1）=g（π﹣t0）=u（t0）=0，∴存在唯一x1∈（，π），使g（x1）=0，∵x1=π﹣t0，t0＜x0，∴x0+x1＞π点评：本题考查零点的判定定理，涉及导数法证明函数的单调性，属中档题．20．已知函数，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x﹣12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2﹣x）=f′（x）．（1）求f（x）；（2）设，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1﹣t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导数，利用f′（2﹣x）=f′（x），可求b的值；利用曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x﹣12，可求a，c，d的值，从而可得函数解析式；（2）确定函数解析式，分类讨论，可求函数g（x）在[0，m]上的最大值；（3）求出函数h（x），再将不等式转化为具体不等式，利用最值法，即可求得实数t的取值范围．解答：解：（1）求导数可得f′（x）=x2+2bx+c∵f′（2﹣x）=f′（x），∴f′（x）关于x=1对称，∴b=﹣1与x轴交点处的切线为y=4x﹣12，设交点为（a，0），则f（a）=0，f′（a）=4∴在（a，0）处的切线为：y=4（x﹣a）+0=4x﹣4a=4x﹣12，∴4a=12，∴a=3由f'（3）=9﹣6+c=3+c=4得：c=1由f（3）=×27﹣32+3+d=0得：d=﹣3所以有：2+x﹣3（2）=x|x﹣1|当x≥1时，g（x）=x（x﹣1）=x2﹣x=（x﹣）2﹣，函数为增函数x＜1时，g（x）=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，最大为g（）=比较g（m）=m（m﹣1）与得：m≥时，m（m﹣1）≥因此，0＜m时，g（x）的最大值为m﹣m2；时，g（x）的最大值为；m＞时，g（x）最大值为m2﹣m（3）h（x）=ln（1﹣x）2．∵h（x+1﹣t）＜h（2x+2）∴ln（t﹣x）2＜ln（2x+1）2∴（t﹣x）2＜（2x+1）2∴|t﹣x|＜2x+1∴﹣2x﹣1＜t﹣x＜2x+1∴﹣x﹣1＜t＜3x+1∵x∈[0，1]且上式恒成立∴t＞﹣x﹣1的最大值且t＜3x+1的最小值∴﹣1＜t＜1又由x∈[0，1]，则有﹣1＜t＜0点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的解析式，考查函数的最值，考查恒成立问题，确定函数的解析式是关键．。
江苏省南通市栟茶高级中学高三数学文月考试卷含解析
江苏省南通市栟茶高级中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 执行如图的程序框图，若输入M的值为1，则输出的S=（）A．6 B．12 C．14 D．20参考答案：B【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的M，S，k的值，当k=4时不满足条件k≤3，退出循环，输出S的值为12．【解答】解：模拟执行程序，可得M=1，S=1，k=1满足条件k≤3，M=3，S=4，k=2满足条件k≤3，M=2，S=6，k=3满足条件k≤3，M=6，S=12，k=4不满足条件k≤3，退出循环，输出S的值为12．故选：B．2. 已知S n是等差数列{a n}n∈N*的前n项和，且S6＞S7＞S5，给出下列五个命题：①d＜0；②S11＞0；③S12＜0；④数列{S n}中最大项为S11；⑤|a6|＞|a7|，其中正确命题的个数（）A． 5 B． 4 C． 3 D． 1参考答案：C考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：先由条件确定第六项和第七项的正负，进而确定公差的正负，再将S11，S12由第六项和第七项的正负判定．解答：解：∵等差数列{a n}中，S6最大，且S6＞S7＞S5，∴a1＞0，d＜0，①正确；∵S6＞S7＞S5，∴a6＞0，a7＜0，∴a1+6d＜0，a1+5d＞0，S6最大，∴④不正确；S11=11a1+55d=11（a1+5d）＞0，S12=12a1+66d=12（a1+a12）=12（a6+a7）＞0，∴②⑤正确，③错误故选：C．点评：本题考查等差数列的前n项和的最值．在等差数列中S n存在最大值的条件是：a1＞0，d＜0．3. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc．若sin B?sin C=sin2A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形参考答案：C【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】b2+c2=a2+bc，利用余弦定理可得cosA=，可得．由sin B?sin C=sin2A，利正弦定理可得：bc=a2，代入b2+c2=a2+bc，可得b=c．【解答】解：在△ABC中，∵b2+c2=a2+bc，∴cosA===，∵A∈（0，π），∴．∵sin B?sin C=sin2A，∴bc=a2，代入b2+c2=a2+bc，∴（b﹣c）2=0，解得b=c．∴△ABC的形状是等边三角形．故选：C．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4. 设f(x)＝lg，则f＋f的定义域为( )A．(－4,0)∪(0,4) B．(－4，－1)∪(1,4)C．(－2，－1)∪(1,2) D．(－4，－2)∪(2,4)参考答案：B略5. i是虚数单位，复数z满足，则复数z所对应的点位于复平面内的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：D6. 给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（）A. 12种B. 18种C. 24种D. 64种参考答案：C【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，有种分法；②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有种情况，此时有种情况，则有种不同的安排方法；故选：C．7. 函数当时，恒成立，则实数a的取值范围是A.(﹣∞，1]B.(﹣∞,1)C.(1,＋∞)D.(1, ＋∞)参考答案：A略8. 为计算，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4参考答案：B由得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9. 一个质量均匀的正四面体型的骰子，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，若连续投掷三次，取三次面向下的数字分别作为三角形的边长，则其能构成钝角三角形的概率为（）A． B． C． D．参考答案：C10. 已知则“a=b”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在△ABC中，点D是BC的中点，若AB⊥AD，∠CAD=30°，BC=2，则△ABC 的面积为．参考答案：2【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由题意画出图形并求出角A的值，根据正弦、余弦定理分别列出方程，化简后求出边AC 、AB，由三角形的面积公式即可求出△ABC 的面积．【解答】解：如图：设AB=c、AC=b，且BD=DC=，∵AD⊥AB，∠CAD=30°，∴AD2=7﹣c2，∠BAC=120°，在△ABC中，由正弦定理得，∴sinB===，在RT△ABD中，sinB===，∴AC=b=，在△ADC中，由余弦定理得，CD2=AD2+AC2﹣2?AD?AC?cos∠DAC，则7=7﹣c2+﹣2×××，化简得，c2=4，则c=2，代入b=得，b=4，∴△ABC的面积S===2，故答案为：2．【点评】本题考查正弦、余弦定理，三角形的面积公式，考查了方程思想，以及化简、计算能力，属于中档题．12. 某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校抽取6所学校对学生进行视力调查.若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，则抽取的2所学校均为小学的概率为_________参考答案：【知识点】古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．【答案解析】解析：解：每个个体被抽到的概率等于，故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为21×=3，14×=2，7×=1．（2）所有的抽法共有种，其中抽取的2所学校均为小学的方法有种，故抽取的2所学校均为小学的概率等于．故答案为.【思路点拨】先求出每个个体被抽到的概率，再用各个层的个体数乘以此概率，即得应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目．根据所有的抽法共有15种，其中抽取的2所学校均为小学的方法有3种，由此求得抽取的2所学校均为小学的概率．13. 若函数的值域为，则实数a 的最小值为▲．参考答案：2略14. 如图，已知椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，若，则该椭圆的离心率是 .参考答案：15. 直角坐标平面上，满足不等式组的整点个数是．参考答案：2551解：如图，即△OAB内部及边界上的整点．由两轴及x+y=100围成区域(包括边界)内的整点数=1+2+3+…+101=5151个．由x轴、y=x，x+y=100围成区域(不包括y=x上)内的整点数(x=1，2，3时各有1个整点，x=4，5，6时各有2个整点，...，x=73，74，75时有25个整点，x=76，77， (100)依次有25，24，…，1个整点．共有3×1+3×2+…+3×25+25+24+…+1=4(1+2+…+25)=1300．由对称性，由y轴、y=3x、x+y=100围成的区域内也有1300个整点．∴所求区域内共有5151－2600=2551个整点．16.二项式的展开式中的常数项是________________参考答案：答案：49517.已知直线a、b所成的角为80°，过空间一点P作直线m，若m与直线a、b所成角都为50°，则这样的直线共有条数为 .参考答案：答案：3三、解答题：本大题共5小题，共72分。
江苏省南通市高三第一次调研测试数学试题 Word版含答案.pdf
即又BN=2AM ②…………………………… 8分
由①②，得ABAC．选修4—2：矩阵与变换
（本小题满分10分），满足，，求．，因为，………………………………………………… 2分
所以，即…………………………………………… 6分
解得所以． 10分
C．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）：，过极点O的直线与曲线相交于A、B两点，
结束
Y
N 输入x ② M · （第18题） M F O E · ① M · （第19题） A B C D x P y · O （第2题） B C M N O （第22题） P1
，求直线的方程．的方程为(ρ∈R)，，， …………………………………2分
则．，故．+2kπ或+2kπ，k∈Z．修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）
已知，，均为正数求证：．证明：因为，，均为正数所以．同理可得．当且仅当yz均时，以上三式等号都成立．
将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得．【必做题】
（本小题满分10分），，…，为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．．（1）的概率；
（）的分布列及数学期望．1）从六个点任选三个不同点构成一个三角形共
有种不同选法，其中的为有一个角是
的直角三角形（如△），共种，
所以．（），，．的等腰三角形（如△），共6种，所以．的为等边三角形（如△），共2种，所以．
又
由（1）知，故的分布列为
所以．……………………………………… 10分
23．（本小题满分10分）满足下列性质T的排列，，…，的个数为（n≥2，且n∈，，…，中有且只有一个
（{1，2，…，}）．
（1）求；
（2）求．
解：（1）当时，1，2，3的所有排列有，2，，，3，，，1，，，3，，
江苏省栟茶高级中学2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试卷
江苏省栟茶高级中学2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试卷一、单选题1．已知集合{}2540A xx x =-+≥∣，集合{}Z 12B x x =∈-≤∣，则集合()R A B ⋂ð为（ ） A ．()1,3 B ．{}2,3C ．(]1,3D ．{}1,2,32．“0x y +=”是“2y xx y+=-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．在ABC V 中，,,M N E 分别是,,AB AC BC 的中点，若(),R AE AM AN λμλμ=+∈u u u r u u u u r u u u r，则λμ+=（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．24．已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能为（ ）A ．()e e x xf x x --=B ．()221sin 2ln x f x x x+=⋅C ．()e e x xf x x-+=D ．()221cos 2ln x f x x x+=⋅5．若()()πsin cos sin 4αβαβαβ⎛⎫+-+=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()tan 1αβ-=-B ．()tan 1αβ-=C ．()tan 1αβ+=-D ．()tan 1αβ+=6．已知()11,x y ，()22,x y 是函数2log y x =的图象上两个不同的点，则（ ） A ．1212222y y x x ++> B ．1212222y y x x ++<C ．121222y y x x ++>D ．121222y y x x ++<7．在锐角△ABC 中，()222S a b c =--，2a =，则△ABC 的周长的取值范围是（ ）A ．(]4,6B ．(2⎤⎦C ．(2⎤⎦D ．(2⎤⎦8．已知函数()log (0,1)a f x x a a =>≠，若()()f f x x =有且只有两个不等根，则a 的取值范围是（ ） A ．()e0,e-B ．)ee ,1-⎡⎣C ．11,e e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．1e e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、多选题9．已知函数()()πcos 0,0,0π2f x A x A ωϕϕωϕ⎛⎫=+><<<< ⎪⎝⎭的最大值为3，且()302f =，π33f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）． A ．()π3cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()f x 图象的一条对称轴是π12x =C ．()f x 在ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数π6y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是奇函数10．已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++-=，则（ ）A ．()f x 的图象关于点()2,1对称B ．()f x 是以8为周期的周期函数C ．20241(42)2024k f k =-=∑D ．存在函数()h x ，使得对R x ∀∈，都有()()||h g x x =11．如图所示，四面体S ABC -的各棱长均为4,,E F 分别为棱,AB BC 的中点，M 为棱SC 上异于顶点的点，则以下结论正确的为（ ）A ．EF SB ⊥B ．直线SE 与BCC ．四面体S ABC -的外接球体积为D ．平面EFM 截四面体所得的截面图形的周长最小值为8三、填空题12．已知ππ,32α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且α与β的终边关于直线y x =-对称，则cos β的最大值为．13．已知0a >，0b >，且111a b +=，则1411a b +--的最小值为.14．若存在正实数x ，使得不等式()2ln 2ln 00axa x a ⋅⋅-≤>成立，则a 的最大值为．四、解答题15．将函数()sin f x x =的图像向右平移π6个单位，再将横坐标变为原来的12，纵坐标不变得到函数()y g x =的图像. (1)求函数()y g x =的解析式；(2)若函数()y g x =在[0,]x m ∈上恰有两个零点，求实数m 的取值范围.16．如图，在三棱锥A BCD -中，ABC V 是正三角形，平面ABC ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，点E 是BC 的中点．(1)求直线AD 与平面BCD 所成角的正弦值；(2)若60BCD ∠=︒，BG BD λ=u u u r u u u r，求平面AEG 与平面ACD 所成锐二面角的余弦值最大时λ的值．17．在ABC V 中，三个内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ,()9cos cos 8A B C +-=, 5a = (1)求证：3b c a +=(2)若P 是边BC 上的点，且23BP PC =uu ruu u r，求AP 的最小值18．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：[)[)[)[)[]100,110,110,120,120,130,130,140,140,150，得到如下频率分布直方图.规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩.(1)求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第60百分位数；(2)现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为η，求η的分布列及方差；(3)在2024年“五一”劳动节前，甲､乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加,A B 两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由()*2,n n n ≥∈N 个该型号口罩构成.假定甲､乙两人在,A B 两店订单“秒杀”成功的概率分别为2π2cos π,n n n，记甲､乙两人抢购成功的口罩总数量为X ，求当X 的数学期望()E X 取最大值时正整数n 的值. 19．设0a >，()()ln ,4a xf xg x ax a=.(1)求函数y =f x 的单调区间; (2)求证:()(44af x ≥； (3)设函数()y p x =与()y q x =的定义域的交集为D ，集合A D ⊆.若对任意0x A ∈，都存在12,x x D ∈，使得102,,x x x 成等比数列，且()()()102,p x q x p x 成等差数列，则称()y p x =与()y q x =为"A 关联函数".求证：若y =f x 与y =g x 为"[)1,∞+关联函数"，则)41,e a ⎡∈⎣.。
(完整版)南通市2014届高三第一次调研测试数学(word版,含答案)
南通市2014届高三第一次调研测试数 学 试 题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合U ={1，2，3，4，5}，A ={1，2，4}，则U A =ð ▲ ．2．已知复数1z 13i =+，2z 3i =+(i 为虚数单位)．在复平面内，12z z -对应的点在第 ▲ 象限． 3．命题：“x ∃∈R ，0x ≤”的否定是 ▲ ．4．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28y x =上横坐标为1的点到其焦点的距离为 ▲ ．5．设实数x ，y 满足0 0 3 24 x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≤≤≥，≥，，，则32z x y =+的最大值是 ▲ ．6．如图是一个算法的流程图．若输入x 的值为2，则输出y 的值是 ▲ ． 7． 抽样统计甲，乙两个城市连续5天的空气质量指数(AQI)，数据如下：则空气质量指数(AQI )较为稳定(方差较小)的城市为 ▲ （填甲或乙）．8． 已知正三棱锥的侧棱长为1．现从该正三棱锥的六条棱中随机选取两条棱，则这两条棱互相垂直的概率是 ▲ ．9． 将函数()()sin 2f x x ϕ=+()0ϕ<<π的图象上所有点向右平移π6个单位后得到的图象关于原点对称，则ϕ等于 ▲ ．10．等比数列{a n }的首项为2，公比为3，前n 项和为S n ．若log 3［12a n (S 4m +1)］=9，则1n +4m的最小值是 ▲ ．11．若向量()cos sin αα=，a ，()cos sin ββ=，b ，且2+⋅≤a b a b ，则cos()αβ-的值是 ▲ ．（第6题）12．在平面直角坐标系xOy 中，直线y x b =+是曲线ln y a x =的切线，则当a ＞0时，实数b 的最小值是▲ ．13．已知集合M ={(,)|3x y x -≤y ≤1}x -，N ={|P PA,(1,0),(1,0)}A B -，则表示M ∩N 的图形面积等于 ▲ ．14．若函数2()2014(0)f x ax x a =++>对任意实数t ，在闭区间[1 1]t t -+，上总存在两实数1x 、2x ，使得12|()()|f x f x -≥8成立，则实数a 的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，1AB BC ⊥，且1AA AB =． （1）求证：AB ∥平面11D DCC ；（2）求证：1AB ⊥平面1A BC ．A 1B 11CDAD 1（第15题）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边长，且c =－3b cos A ，tan C =34． （1）求tan B 的值；（2）若2c ，求△ABC 的面积．17．(本小题满分14分)已知a 为实常数，y =f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且当x <0时，f (x )=2x －a 3x 2+1．（1）求函数f (x )的单调区间；（2）若f (x )≥a －1对一切x ＞0成立，求a 的取值范围．如图，一块弓形薄铁片EMF，点M为»EF的中点，其所在圆O的半径为4 dm（圆心O在弓形EMF内），∠EOF=23π．将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD(不计损耗)，AD∥EF，且点A、D在»EF上，设∠AOD=2θ．（1）求矩形铁片ABCD的面积S关于θ的函数关系式；（2）当矩形铁片ABCD的面积最大时，求cosθ的值．（第18题）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆22221(0)yx a ba b+=>>过点(1，又椭圆内接四边形ABCD (点A、B、C、D在椭圆上)的对角线AC，BD相交于点1(1)4P，，且2AP PC=u u u r u u u r，2BP PD=u u u r u u u r．（1）求椭圆的方程；（2）求直线AB的斜率．（第19题）已知等差数列{a n}、等比数列{b n}满足a1+a2＝a3，b1b2＝b3，且a3，a2+ b1，a1+ b2成等差数列，a1，a2，b2成等比数列．（1）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；（2）按如下方法从数列{a n}和数列{b n}中取项：第1次从数列{a n}中取a1，第2次从数列{b n}中取b1，b2，第3次从数列{a n}中取a2，a3，a4，第4次从数列{b n}中取b3，b4，b5，b6，……第2n－1次从数列{a n}中继续依次取2n－1个项，第2n次从数列{b n}中继续依次取2n个项，……由此构造数列{c n}：a1，b1，b2，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12，…，记数列{c n}的前n和为S n．求满足S n＜22014的最大正整数n．（第21—A 题）数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】A ． 选修4—1：几何证明选讲 （本小题满分10分）在△ABC 中，已知CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆交BC 于点N ，且BN =2AM ． 求证：AB 2=AC ．B ． 选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分） 设二阶矩阵A ，B 满足11234-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，()11001-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦BA ，求1-B ．C ．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知曲线C ：2sin =ρθ，过极点O 的直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，AB 求直线l 的方程．D ．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）已知x ，y ，z 均为正数，求证：111y x z yz zx xy x y z++++≥．【必做题】22．（本小题满分10分）如图，设1P ，2P ，…，6P 为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S ．（1）求S =的概率； （2）求S 的分布列及数学期望()E S ．23．（本小题满分10分）已知1，2，…，n 满足下列性质T 的排列1a ，2a ，…，n a 的个数为()f n （n ≥2，且n ∈N *）． 性质T ：排列1a ，2a ，…，n a 中有且只有一个1i i a a +>（i ∈{1，2，…，1n -}）． （1）求(3)f ； （2）求()f n ．4（第22题）南通市2014届高三第一次调研测试数学试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1.{3，5}．2.二．3.x ∀∈R ，||0x >． 3. 3．4. 7．5. 32-． 6. 乙． 7.25． 8. π3． 9.52． 11．1． 12.1-． 13．.43π+． 14．8． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)（1）证明：在四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，AB ⊄平面11D DCC ， CD ⊂平面11D DCC ，所以//AB 平面11D DCC ． ……………………………………………………………………6分 （2）证明：在四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形11A ABB 为平行四边形，又1AA AB =，故四边形11A ABB 为菱形．从而11AB A B ⊥．…………………………………………………………………………… 9分 又1AB BC ⊥，而1A B I BC B =，1 A B ，BC ⊂平面1A BC ， 所以1AB ⊥平面1A BC ． ………………………………………………………………… 14分16．(本小题满分14分)（1）解：由正弦定理，得 sin 3sin cos C B A =-，………………………………………………2分即sin()3sin cos A B B A +=-．所以sin cos cos sin 3sin cos A B A B B A +=-． 从而sin cos 4sin cos A B B A =-． 因为cos cos 0A B ≠，所以tan 4tan A B=-．……………………………………………………4分又tan tan tan tan()tan tan 1A B C A B A B +=-+=-，由（1）知，23tan 344tan 1B B =+， 解得1tan 2B =．………………………………………………………………………………6分（2）解：由（1），得sin Asin B 3sin 5C =．………………………10分ABCCDABD（第15题）由正弦定理，得sin sin 35c A a C ===12分 所以△ABC的面积为114sin 2223ac B ==．……………………14分 17．(本小题满分14分)（1）解：由奇函数的对称性可知，我们只要讨论f (x )在区间(－∞，0)的单调性即可．f ′(x )＝2＋2a 3x 3，令f ′(x )＝0，得x ＝－a ． ………………………………………2分 ①当a ≤0时，f ′(x )＞0，故f (x )在区间(－∞，0)是单调递增．……………… 4分 ②当a ＞0时，x ∈(－∞，－a )，f ′(x )＞0，所以f (x )在区间(－∞，－a )是单调递增．x ∈(－a ，0)，f ′(x )＜0，所以f (x )在区间(－a ，0)是单调减．…… 6分综上所述：当a ≤0时，f (x )单调增区间为(－∞，0)，(0，+∞)；当a ＞0时，f (x )单调增区间为(－∞，－a )，(a ，+∞)，单调减区间为(－a ，0)，(0，a )．… 7分（2）解：因为f (x )为奇函数，所以当x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝－(－2 x －a 3x 2＋1)＝2x ＋ a 3x 2－1．……………… 9分①当a ＜0时，要使f (x )≥a －1对一切x ＞0成立，即2x ＋ a 3x 2≥a 对一切x ＞0成立．而当x ＝－a2＞0时，有－a +4a ≥a ，所以a ≥0，则与a ＜0矛盾．所以a ＜0不成立．………………………………………………………………………11分 ②当a ＝0时，f (x )＝2x －1＞－1=a －1对一切x ＞0成立，故a ＝0满足题设要求．…12分 ③当a ＞0时，由(1)可知f (x )在(0，a )是减函数，在(a ，+∞)是增函数．所以f min (x )=f (a )＝3a －1＞a －1，所以a ＞0时也满足题设要求．………………… 13分 综上所述，a 的取值范围是[0,)+∞．………………………………………………… 14分 18．(本小题满分16分)（1）解：设矩形铁片的面积为S ，AOM θ∠=．当03θπ<<时（如图①），4cos 2AB θ=+，24sin AD θ=⨯，()()()4cos 224sin 16sin 2cos 1S AB AD θθθθ=⨯=+⨯=+．…………………………… 3分当32θππ<≤时（如图②），24cos AB θ=⨯，24sin AD θ=⨯，故64sin cos 32sin2S AB AD θθθ=⨯==． 综上得，矩形铁片的面积S 关于θ的函数关系式为（第18①()16sin 2cos 1 0 332sin 2 .32S θθθθθπ⎧+<<⎪=⎨ππ⎪<⎩，，，≤……………………………………………………… 7分 （2）解：当03θπ<<时，求导，得 ()()()216cos 2cos 1sin 2sin 164cos cos 2S θθθθθθ'=++-=+-⎡⎤⎣⎦． 令0S '=，得cos θ．…………………………………………………………… 10分记区间(0 )3π，θ（唯一存在）．列表：又当32θππ<≤时，32sin2S θ=在[ )32ππ，上的单调减函数， 所以当0θθ=即cos θ= 16分19．(本小题满分16分)（1）解：依题意，222221314. c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩，解得224 1. a b ⎧⎪⎨⎪⎩=，= 所求椭圆的方程为2214x y +=． ………………………………… 6分（2）解：设()11 A x y ，，则221114x y +=．由2AP PC =u u u r u u u r ，得()1133428x y C --，．…………………………………………… 8分 代入椭圆方程2214x y +=，得()()21213342148x y --+=．整理，得221111319()04216x y x y +-+-=，…………………………………………… 10分即1118x y +=-．③ ……………………………………… 12分设()22 B x y ，，同理可得2218x y +=-． ④ ……………………………………… 14分 ③-④，得21211y y x x -=--，即直线AB 的斜率为21211y y k x x -==--．……………… 16分（第1920．(本小题满分16分)（1）解：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，依题意，得1112111111112111()2 () (2)()2[() ()(). a a d a d b b q b q a d a b q a d b a d a b q ++=+⎧⎪=⎪⎨+++=++⎪⎪+=⎩，，]，解得a 1=d =1，b 1=q =2．故a n =n ，b n =2n ．…………………………………………………………………………… 6分（2）解：将a 1，b 1，b 2记为第1组，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6记为第2组，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12记为第3组，……以此类推，则第n 组中，有2n －1项选取于数列{a n }，有2 n 项选取于数列{b n }，前n 组共有n 2项选取于数列{a n }，有n 2＋n 项选取于数列{b n }，记它们的总和为P n ，并且有()22211222nn n n n P +++=+-． ………… 11分222014207120144545(451)222202P +-=+-->，2220141981334444(441)22(21)202P +-=---<．当2245(451)2n S +=＋（2＋22＋…＋22012）时，222014201345(451)22202n S +-=--+<．………………………………………………… 13分当2245(451)2n S +=＋（2＋22＋…＋22013)时，22201445(451)2202n S +-=-+>．可得到符合20142n S <的最大的n =452＋2012=4037．…………………………………… 16分（第21—A 题）ABCMNO数学Ⅱ（附加题）参考答案与评分标准21．【选做题】C ． 选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）证明：如图，在△ABC 中，因为CM 是∠ACM 的平分线，所以AC AM BC BM=， ① …………………………… 3分 又因为BA 与BC 是圆O 过同一点B 的割线， 所以BM BA BN BC ⋅=⋅， 即BA BN BC BM=，…………………………………… 6分 又BN =2AM ， 所以2 BA AM BC BM=， ②…………………………… 8分 由①②，得AB 2=AC ． ……………………… 10分 D ． 选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）解：设1a b c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B，因为()111---=BA A B ，…………………………………… 2分 所以10120134a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即21 20 340 341 a c b d a c b d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，，，，…………………………………… 6分 解得2 1 3 21 2a b c d =-⎧⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪=-⎪⎩，，，，所以1213122--⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦B ．…………………………………………… 10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）解：设直线l 的方程为0θθ=(ρ∈R )，() 0A 0，，()10 B ρθ，，…………………………2分 则1|0|AB =-=ρ0|2sin |θ．…………………………………………………………… 5分 又3AB =，故03sin =θ ……………………………………………………… 7分解得03π=θ+2k π或03π=-θ+2k π，k ∈Z ．所以直线l 的方程为3π=θ或32π=θ (ρ∈R )． …………………………………… 10分D ．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）证明：因为x ，y ，z 均为正数，所以()12y y x x yz zx z x y z++≥≥．……………… 4分同理可得2y z xy zx x +≥，2x z yz xy y+≥．…………………………………………… 7分当且仅当x =y =z 均时，以上三式等号都成立． 将上述三个不等式两边左，右两边分别相加，并除以2，得111yx z yzzxxyxyz++++≥．……………………………………………………… 10分 【必做题】22．（本小题满分10分）解：（1）从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有36C 种不同选法，其中S =的为有一个角是30o的直角三角形（如△145P P P ），共6212⨯=种，所以(361235C P S ===． ………………… 3分（2）S．S =的为顶角是120o的等腰三角形（如△123P P P ），共6种，所以(366310C P S ==．…………………………………………… 5分S =的为等边三角形（如△135P P P ），共2种，所以(362110C P S ===．…… 7分又由（1）知(361235C P S ===，故S的分布列为所以331()10510E S 10分23．（本小题满分10分）解：（1）当3n =时，1，2，3的所有排列有(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)， (3，1，2)，(3，2，1)，其中满足仅存在一个i ∈{1，2，3}，使得1i i a a +>的排列有(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，所以(3)4f =．………………………………………………………………………… 3分 （2）在1，2，…，n 的所有排列1(a ，2a ，…，)n a 中，若(11)i a n i n =-≤≤，从1n -个数1，2，3，…，1n -中选1i -个数按从小到大的顺序排列为1a ，2a ，…，1i a -，其余按从小到大的顺序排列在余下位置，于是满足题意的排列个数为11C i n --．………………………………………… 6分 若n a n =，则满足题意的排列个数为(1)f n -．…………………………… 8分 综上，()f n =(1)f n -+1111Cn i n i ---=∑1(1)21n f n -=-+-．从而()33212()(3)(3)2112n n f n n f n --=--+=---． ……………………… 10分564（第22题）。
江苏省栟茶高级中学2015届高三上学期第一次学情调研数学Word版含答案
2015届高三年级第一次学情检测数 学 试 卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1.已知集合{}1,21A a =-+，集合{}4,3B =-，且{}3AB =，则a = ▲ ．2.若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a = ▲ ．3.已知)(x f 为奇函数，且当0>x 时x x f 2log )(=，则=-)4(f ▲ ．4.函数y =的定义域是 ▲ ．5.函数y x =+[]2,5x ∈的值域为 ▲ ．6.满足条件M ∪{1，2}={1，2，3}的集合M 的个数是 ▲ ．7.8.已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，()x x x f 42-=那么，不等式()52<+x f 的解集是 ▲ ． 9.设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =则,,a b c 按由小到大的顺序用“<”连接为 ▲ ．10.若方程229xx =-在区间())(1,Z k k k ∈+上有解，则所有满足条件的实数k 值的和为 ▲ ．11.已知函数f (x )f (a )f (－a ) = ▲ ．12. 已知函数2ln ,1()2,1x x f x x x a x ≥⎧=⎨++<⎩（a 为常数）的图象在点(1,0)A 处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．13. 已知实数a,b,c,d 满足ln 31a c b d+==，则()()22a cb d -+-的最小值为 ▲ ． 14.设函数)(x f 在R 上存在导数)('x f ,对任意的R x ∈有2)()(x x f x f =+-,且在),0(+∞上()f x 'x >.若a a f a f 22)()2(-≥--,则实数a 的取值范围 ▲ ．二.解答题: 本大题共6小题．共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）若函数2()2f x x =+，()41g x x =-的定义域都是集合A ，函数)(x f 和)(x g 的值域分别为S 和T . （1）若[]2,1=A ，求T S ；（2）若[]m A ,0=，且S T ⊆，求实数m 的取值范围； （3）若对于A 中的每一个x 值，都有)()(x g x f =，求集合A ．16. （本小题满分14分）已知函数()f x 满足22()3()8f x f x ax x+-=-（R a ∈）. （1）求()f x 的解析式；（2）试判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（3）若函数)(x f 始终满足)()(2121x f x f x x --与同号（其中[)1212,3,,x x x x ∈+∞≠），求实数a 的取值范围．17. （本小题满分14分）已知函数)(x f =bx ax+2，在1=x 处取得极值2． (1)求函数)(x f 的解析式；(2)m 满足什么条件时，区间)12,(+m m 为函数)(x f 的单调增区间？ (3)若),(00y x P 为)(x f =b x ax +2图象上的任意一点，直线l 与)(x f =bx ax+2的图象切于P 点，求直线l 的斜率的取值范围．18．（本小题满分16分）某种出口产品的关税税率t 、市场价格x (单位：千元)与市场供应量p (单位：万件)之间近似满足关系式：p =2(1-kt )(x -b )2，其中k 、b 均为常数. 当关税税率为75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件;若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件． (1)试确定k 、b 的值；(2)市场需求量q (单位：万件)与市场价格x 近似满足关系式：2xq p q -=,=时，市场价格称为市场平衡价格. 当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值．19．（本小题满分16分）设函数2()3f x x ax a =-++，()2g x ax a =-．（1）对于任意[2,2]a ∈-都有()()f x g x >成立，求x 的取值范围；（2）当0a >时对任意12,[3,1]x x ∈--恒有12()()f x ag x >-，求实数a 的取值范围； （3）若存在0R x ∈，使得0()0f x <与0()0g x <同时成立，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分16分）设a R ∈,函数()ln f x x ax =-.（1）若3a =，求曲线()y f x =在()1,3P -处的切线方程； （2）若()f x 有零点,求实数a 的取值范围；（3）若()f x 有两个相异零点12,x x ,求证: 212x x e ⋅>.2015届高三年级第一次学情检测数学加试试卷（物理方向考生作答）解答题（共4小题，每小题10分共40分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21．已知函数()()3log 31f x x =-，求()3f '．22．已知函数()212x f x e x -=-． （1）求函数()f x 的导数()f x '； （2）证明：2122x e x ->-．23．对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，定义：设()f x ''是函数()y f x =的导函数()y f x '=的导数，若()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”．已知函数32()322f x x x x =-+-，请解答下列问题： （1）求函数()f x 的“拐点”A 的坐标； （2）求证()f x 的图象关于“拐点”A 对称．24．已知函数()()()22211xf x ax a x a a e⎡⎤=+-+--⎣⎦(其中a ∈R ).若0x =为()f x 的极值点．解不等式()()21112f x x x x ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭．2015届高三年级第一次学情检测数学参考答案一.填空题: 本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上1． 1 2．6- 3．2- 4. (][),13,-∞-+∞ 5. []3,7 6. 4 7.)37(，- 9. c<b<a 10.1- 11.12.33,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 13.8 14. (,1]-∞ 二.解答题: 本大题共6小题．共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.解：（1）由题意可得，[]3,6S =，[]3,7T =，所以[]3,6ST =；………………………………4分（2）由题意可得，22,2S m ⎡⎤=+⎣⎦，[]1,41T m =--，因为S T ⊆，所以2241m m +≤-，所以2430m m -+≤可得13m ≤≤ ………………………………………………………………9分 （3）因为)()(x g x f =，所以2241x x +=-，可得1x =或3x =。
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【试题解析】江苏省南通市通州高中等五校2015届高三上学期第一次联考数学试卷2014-2015学年江苏省南通市通州高中等五校联考高三(上)第一次月考数学试卷一、填空题:本大题共14个小题，每小题5分，共70分(把答案填在答卷纸相应的位置上(1(若集合A={x|,2?x?3}，B={x|x,,1或x,4}，则集合A?B= (2(设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为 (3(函数的单调递减区间为 (24(直线l经过A(，1)，B(m，2)(m?R)两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是 (5(在?ABC中，?A=90?，且•=,1，则边AB的长为 (6(已知α?(0，π)，求tanα的值 (227(直线l:y=kx+1与圆O:x+y=1相交于A，B两点，则“k=1”是“?OAB的面积为”的条件((填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”之一)8(设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若x?z，且y?z，则x?y”为真命题的是 ((填所正确条件的代号)?x，y，z为直线;?x，y，z为平面;?x，y为直线，z为平面;?x为直线，y，z为平面(9(已知f(x)=，则f()的值为 (10(长方体ABCD,ABCD中，AB=BC=3，AA=2，则四面体ABCD的体积为( 111111111(在?ABC中，已知AB=5，BC=2，?B=2?A，则边AC的长为 (2212(不等式a+mb?λb(a+b)对于任意的a，b?R，存在λ?R成立，则实数m的取值范围为 (213(函数f(x)=mx+(2,m)x+n(m,0)，当,1?x?1时，|f(x)|?1恒成立，求f()= (14(数列{a}，{b}都是等比数列，当n?3时，b,a=n，若数列a唯一，则a= ( nnnnn1二、解答题:本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤( 15(已知函数f(x)=2sin(x+)•cos(x+),sin(2x+3π)( (1)求f(x)的最小正周期;(2)若将f(x)的图象向左平移个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值(16(如图，在四棱锥P,ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD?底面ABCD，PD=DC=2，E?PB交PB于点F( 是PC的中点，作EF(1)证明:PA?平面EDB;(2)证明:PB?平面EFD(17(某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元(为了增加企业竞争力，决定优*化产业结构，调整出x(x?N)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元(a,0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%( (1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业,(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少,18(已知?ABC的三个顶点A(,1，0)，B(1，0)，C(3，2)，其外接圆为?H( (1)若直线l过点C，且被?H截得的弦长为2，求直线l的方程;(2)对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求?C的半径r的取值范围(19(函数f(x)=(mx+1)(lnx,1)(1，求曲线y=f(x)在x=1的切线方程; (1)若m=(2)若函数f(x)在(0，+?)上是增函数，求实数m的取值范围; (3)设点P(m，0)，A(x，f(x))，B(x，f(x))满足lnx•lnx=ln(x•x)(x?112212121x)， 2判断是否存在实数m，使得?APB为直角,说明理由(*220(若数列{a}的各项均为正数，?n?N，a=aa+t，t为常数，且2a=a+a( nn+1nn+2324(1)求的值;(2)证明:数列{a}为等差数列; n**(3)若a=t=1，对任意给定的k?N，是否存在p，r?N(k,p,r)使，，成等1 差数列,若存在，用k分别表示一组p和r;若不存在，请说明理由(【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分(请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤(【选修4-1:几何证明选讲】21(如图，AB是?O的直径，C，F是?O上的两点，OC?AB，过点F作?O的切线FD交AB的延长线于点D(连接CF交AB于点E(2求证:DE=DB•DA(【选修4-2:矩阵与变换】22((选修4,2:矩阵与变换)已知矩阵A=，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为=，属于特征值1的一个特征向量为=(求矩阵A，并写出A的逆矩阵(【选修4-4:坐标系与参数方程】23(已知曲线C的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为12，判断两曲线的位置关系(【选修4-5:不等式选讲】224(设f(x)=x,x+14，且|x,a|,1，求证:|f(x),f(a)|,2(|a|+1)(【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分(请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤(25(袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为(现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球部放回，直到其中有一人去的白球时终止(用X表示取球终止时取球的总次数( (1)求袋中原有白球的个数;(2)求随机变量X的概率分布及数学期望E(X)(26(已知数列{a}是等差数列，且a，a，a是展开式的前三项的系数( n123(?)求展开式的中间项;(?)当n?2时，试比较与的大小(2014-2015学年江苏省南通市通州高中等五校联考高三(上)第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题:本大题共14个小题，每小题5分，共70分(把答案填在答卷纸相应的位置上(1(若集合A={x|,2?x?3}，B={x|x,,1或x,4}，则集合A?B= {x|,2?x,,1} ( 考点: 交集及其运算(专题: 集合(分析: 直接利用交集运算得答案(解答: 解:?A={x|,2?x?3}，B={x|x,,1或x,4}，则集合A?B={x|,2?x?3}?{x|x,,1或x,4}={x|,2?x,,1}( 故答案为:{x|,2?x,,1}(点评: 本题考查了交集及其运算，是基础的概念题(2(设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为 ,2 (考点: 复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念(专题: 数系的扩充和复数(分析: 由已知得=+，从而得到，由此求出a=,2( 解答: 解:==+，?复数为纯虚数，?，解得a=,2(故答案为:,2(点评: 本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要注意复数的代数形式的乘除运算法则的合理运用(3(函数的单调递减区间为 (0，1] (考点: 利用导数研究函数的单调性(专题: 计算题(分析: 根据题意，先求函数的定义域，进而求得其导数，即y′=x,=，令其导数小于等于0，可得?0，结合函数的定义域，解可得答案( 解答: 解:对于函数，易得其定义域为{x|x,0}，y′=x,=，令?0，2又由x,0，则?0?x,1?0，且x,0;解可得0,x?1，即函数的单调递减区间为(0，1]，故答案为(0，1]点评: 本题考查利用导数求函数的单调区间，注意首先应求函数的定义域(24(直线l经过A(，1)，B(m，2)(m?R)两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是 (0，)?(，π) (考点: 直线的倾斜角(专题: 直线与圆(分析: 设直线AB的倾斜角为θ，0?θ,π，AB的斜率为k==，由倾斜角与斜率的关系，得tanθ,0或,?tanθ,0，由此能求出直线l的倾斜角的取值范围( 解答: 解:设直线AB的倾斜角为θ，0?θ,π，根据斜率的计算公式，得AB的斜率为k==，?k,0或,?k,0，由倾斜角与斜率的关系，得tanθ,0或,?tanθ,0， ?0,θ,，或,θ,π(?直线l的倾斜角的取值范围是(0，)?(，π)( 故答案为:(0，)?(，π)(点评: 本题考查直线的倾斜角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直线方程的性质的合理运用(5(在?ABC中，?A=90?，且•=,1，则边AB的长为 1 (考点: 平面向量数量积的性质及其运算律(专题: 计算题(分析: 直接利用向量的数量积以及三角函数的定义，求出AB的长( 解答: 解:因为在?ABC中，?A=90?，且•=,1，所以•=||•||cos(π,?B)=,||•||×=,1，所以AB=1(故答案为:1(点评: 本题考查向量的数量积的应用，解三角形知识，考查计算能力(6(已知α?(0，π)，求tanα的值 , (考点: 同角三角函数间的基本关系(专题: 三角函数的求值(分析: 首先将sinα+cosα平方得出sinαcosα的值，进而由α的范围可知sinα,0，cosα,0，sinα,cosα,0，再由sinαcosα的值求出sinα,cosα=，即可解得sinα=cosα=,，最后由tanα=得出答案(解答: 解:?222?(sinα+cosα)=sinα+cosα+2sinαcosα=1+2sinαcosα= ?sinαcosα=,又因为0,α,π，所以sinα,0，cosα,0所以sinα,cosα,02(sinα,cosα)=1+=所以sinα,cosα=又因为解得sinα= cosα=,tanα=,故答案为:,点评: 本题考查了对同角的三角函数的关系tanα=的应用能力，属于中档题(227(直线l:y=kx+1与圆O:x+y=1相交于A，B两点，则“k=1”是“?OAB的面积为”的充分而不必要条件((填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”之一)考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断(专题: 简易逻辑(分析: 根据直线与圆的位置得出|AB|=，d=，?OAB的面积为S=×=，求出k，即可判断答案(22解答: 解:?直线l:y=kx+1与圆O:x+y=1相交于A，B两点， ?d=，R=1222根据R=d+()?|AB|=，?“?OAB的面积为S=×=，?“?OAB的面积为”?=，?k=?1，根据充分必要条件的定义可判断:“k=1”是“?OAB的面积为”的充分而不必要条件，故答案为:充分而不必要(点评: 此题主要考查必要条件、充分条件和充要条件的定义，直线与圆的位置关系，是一道基础题(8(设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若x?z，且y?z，则x?y”为真命题的是 ? ((填所正确条件的代号)?x，y，z为直线;?x，y，z为平面;?x，y为直线，z为平面;?x为直线，y，z为平面(考点: 复合命题的真假;空间中直线与平面之间的位置关系(专题: 压轴题(分析: 空间点线面的位置关系考查，借助于正方体考虑平行和垂直( 解答: 解:?x，y，z为正方体从一个顶点出发的三条直线，结论错误; ?x，y，z为正方体中交于一点的三个平面，结论错误;?由垂直于同一平面的两条直线平行可知?正确;?中有可能x?y，结论错误;故答案为?点评: 本题借助命题真假的判断考查空间点线面的位置关系，在空间中要多借助于比较熟悉的几何体，如正方体，三棱锥等(9(已知f(x)=，则f()的值为 (考点: 绝对值不等式的解法(专题: 三角函数的求值(分析: 由题意可得f()=f()+1=f(,)+2=cos(,)+2，利用诱导公式计算求得结果(解答: 解:?f(x)=，则f()=f()+1=f(,)+2=cos(,)+2=cos+2=,+2=，故答案为:(点评: 本题主要考查利用函数的解析式求函数的值，诱导公式，体现了转化的数学思想，属于基础题(10(长方体ABCD,ABCD中，AB=BC=3，AA=2，则四面体ABCD的体积为 6( 1111111考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积(专题: 计算题(分析: 根据等底等高的棱锥的体积相等，四面体的体积等于长方体的体积减去四个等底等高的三棱锥的体积，求出长方体的体积与其中一个三棱锥的体积，计算求得( 解答: 解:如图，?等底等高的棱锥的体积相等，?三棱锥A,ABC的体积为V,4， 1长方体V=3×3×2=18，长方体=××3×3×2=3，?V=18,4×3=6( 四面体故答案是6(点评: 本题以长方体为载体，考查用间接法求几何体的体积，考查三棱锥的体积公式的应用，;求三棱锥的体积时，要合理选取底面和高(11(在?ABC中，已知AB=5，BC=2，?B=2?A，则边AC的长为 (考点: 正弦定理(专题: 计算题;解三角形(分析: 在三角形ABC中，利用正弦定理列出关系式，再利用二倍角的正弦函数公式化简，表示出cosA，再利用余弦定理列出关系式，将各自的值代入计算求出b 的值，即为AC的长( 解答: 解:在?ABC中，AB=c=5，BC=a=2，AC=b，?B=2?A，由正弦定理=得:=，即=，整理得:b=4cosA，即cosA=，2222再由余弦定理得:a=b+c,2bccosA，即4=b+25,10b•，解得:b=(负值舍去)，则AC=b=(故答案为:点评: 此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键(2212(不等式a+mb?λb(a+b)对于任意的a，b?R，存在λ?R成立，则实数m的取值范围为 [,1，+?) (考点: 函数恒成立问题(专题: 函数的性质及应用( 222分析: 由已知可得a,λba,(λ,m)b?0，结合二次不等式的性质可得?=λ+4(λ2,m)=λ+4λ,4m?0，又存在λ?R成立，??0可求( 22解答: 解:?a+mb?λb(a+b)对于任意的a，b?R恒成 22?a+mb,λb(a+b)?0对于任意的a，b?R恒成 22即a,(λb)a+(m,λ)b?0恒成立， 22由二次不等式的性质可得，?=λ+4(λ,m)=λ+4λ,4m?0又?存在λ?R使得上述不等式恒成立，??=16+16m?0，解得m?,1，故答案为:[,1，+?)(点评: 本题主要考查了二次不等式的恒成立问题的求解，解题的关键是灵活利用二次函数的性质，本题难在对“存在λ?R成立“的处理(2x)=mx+(2,m)x+n(m,0)，当,1?x?1时，|f(x)|?1恒成立，求f()13(函数f(= , (考点: 二次函数的性质(专题: 函数的性质及应用(分析: 首先，根据二次函数的图象与性质，其对称轴x=0，且f(0)=1，得到m=2，n=,1，然后求解(解答: 解:?当,1?x?1时，|f(x)|?1恒成立，?其对称轴x=0，且f(0)=,1，?m=2，n=,1，2?f(x)=2x,1，2)=2×()?f(,1=,，故答案为:(点评: 本题重点考查了二次函数的图象与性质、恒成立问题的处理思路和方法等知识，属于中档题(14(数列{a}，{b}都是等比数列，当n?3时，b,a=n，若数列a唯一，则a= 、( nnnnn1考点: 数列递推式(专题: 等差数列与等比数列(分析: 设出等比数列{a}的公比，根据b,a=n得到数列{b}的前三项，由等比数列的性nnnn质得到，再由等比数列{a}唯一可得方程的判别式等于0，或判n别式大于0时有一0根一非0根，由此求解a的值( 1解答: 解:设等比数列{a}的公比为q，则 n当n=1时，b,a=1，b=a+1， 1111当n=2时，b,a=b,aq=2，b=aq+2， 222121当n=3时，b,a=，， 33?{b}是等比数列， n?，即，，?数列a唯一， n?若上式为完全平方式，2则?=b,4ac==( 解得a=,1(舍去)或者a=0(舍去)( 11或?,0时，方程有一0根和一非0根，由根与系数关系得到3a,1=0，即( 1当?,0并且两根都不为零，但是若有一根可以使b中有项为0，与b为等比数列矛盾， nn那么这样的话关于a的方程虽然两根都不为0，但使得b中有0项的那个根由于与题目矛nn盾所以必须舍去，这样a也是唯一的，由此求出( n故答案为:、,(点评: 本题考查了数列递推式，考查了等比数列的性质，训练了二次方程有两相等实根的条件，是中档题(二、解答题:本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤(15(已知函数f(x)=2sin(x+)•cos(x+),sin(2x+3π)( (1)求f(x)的最小正周期;(2)若将f(x)的图象向左平移个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值(考点: 函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;三角函数的周期性及其求法( 专题:三角函数的图像与性质(分析: (1)利用倍角公式及诱导公式化简，然后由周期公式求周期; (2)由三角函数的图象平移得到函数g(x)的解析式，结合x的范围求得函数g(x)在区间上的最大值和最小值(解答: 解:(1) ====2sin(2x+)(?f(x)的最小正周期为;(2)由已知得=，?x?，?，故当，即时，;当，即x=0时，(点评: 本题考查了三角恒等变换及其应用，考查了三角函数的图象和性质，考查了三角函数的最值，是基础题(16(如图，在四棱锥P,ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD?底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点，作EF?PB交PB于点F((1)证明:PA?平面EDB;(2)证明:PB?平面EFD(考点: 直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定( 专题: 证明题(分析: (1)由题意连接AC，AC交BD于O，连接EO，则EO是中位线，证出PA?EO，由线面平行的判定定理知PA?平面EDB;D得PD?DC，再由DC?BC证出BC?平面PDC，即得BC?DE，再由ABCD(2)由PD?底面ABC是正方形证出DE?平面PBC，则有DE?PB，再由条件证出PB?平面EFD( 解答: 解:(1)证明:连接AC，AC交BD于O(连接EO(?底面ABCD是正方形，?点O是AC的中点(?在?PAC中，EO是中位线，?PA?EO，?EO?平面EDB，且PA?平面EDB，?PA?平面EDB((2)证明:?PD?底面ABCD，且DC?底面ABCD，?PD?BC(?底面ABCD是正方形，?DC?BC，?BC?平面PDC(?DE?平面PDC，?BC?DE(又?PD=DC，E是PC的中点，?DE?PC(?DE?平面PBC(?PB?平面PBC，?DE?PB(又?EF?PB，且DE?EF=E，?PB?平面EFD(点评: 本题考查了线线、线面平行和垂直的相互转化，通过中位线证明线线平行，再由线面平行的判定得到线面平行;垂直关系的转化是由线面垂直的定义和判定定理实现(17(某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元(为了增加企业竞争力，决定优*化产业结构，调整出x(x?N)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元(a,0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%( (1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业,(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少,考点: 基本不等式在最值问题中的应用;函数模型的选择与应用(专题: 计算题;应用题(分析: (1)根据题意可列出10(1000,x)(1+0.2x%)?10×1000，进而解不等式求得x的范围，确定问题的答案((2)根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意建立不等式，根据均值不等式求得求a的范围( 解答: 解:(1)由题意得:10(1000,x)(1+0.2x%)?10×1000，2即x,500x?0，又x,0，所以0,x?500(即最多调整500名员工从事第三产业((2)从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为万元，则(1+0.2x%)所以，所以ax?，即a?恒成立，因为，当且仅当，即x=500时等号成立(所以a?5，又a,0，所以0,a?5，即a的取值范围为(0，5](点评: 本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用(考查了学生综合运用所学知识，解决实际问题的能力(18(已知?ABC的三个顶点A(,1，0)，B(1，0)，C(3，2)，其外接圆为?H( (1)若直线l过点C，且被?H截得的弦长为2，求直线l的方程;(2)对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求?C的半径r的取值范围(考点: 直线和圆的方程的应用(专题: 直线与圆(分析: (1)先求出圆H的方程，再根据直线l过点C，且被?H截得的弦长为2，设出直线方程，利用勾股定理，即可求直线l的方程;(2)设P的坐标，可得M的坐标，代入圆的方程，可得以(3，2)为圆心，r为半径的圆与以(6,m，4,n)为圆心，2r为半径的圆有公共点，由此求得?C的半径r的取值范围( 解答: 解:(1)由题意，A(,1，0)，B(1，0)，C(3，2)，?AB的垂直平分线是x=0 ?BC:y=x,1，BC中点是(2，1)?BC的垂直平分线是y=,x+3由，得到圆心是(0，3)，?r=?弦长为2，?圆心到l的距离d=3(设l:y=k(x,3)+2，则d==3，?k=，?l的方程y=x,2; 当直线的斜率不存在时，x=3，也满足题意(综上，直线l的方程是x=3或y=x,2;(2)直线BH的方程为3x+y,3=0，设P(m，n)(0?m?1)，N(x，y)( 因为点M是点P，N的中点，所以M()，又M，N都在半径为r的圆C上，所以，即因为该关于x，y的方程组有解，即以(3，2)为圆心，r为半径的圆与以(6,m，4,n)2222为圆心，2r为半径的圆有公共点，所以(2r,r),(3,6+m)+(2,4+n),(r+2r)，又3m+n,3=0， 222所以r,10m,12m+10,9r对任意m?[0，1]成立(2而f(m)=10m,12m+10在[0，1]上的值域为[，10]，222又线段BH与圆C无公共点，所以(m,3)+(3,3m,2,)r对任意m?[0，1]成立，即( 故圆C的半径r的取值范围为[，)(点评: 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查解不等式，考查学生分析解决问题的能力，有难度(19(函数f(x)=(mx+1)(lnx,1)((1)若m=1，求曲线y=f(x)在x=1的切线方程;(2)若函数f(x)在(0，+?)上是增函数，求实数m的取值范围; (3)设点P(m，0)，A(x，f(x))，B(x，f(x))满足lnx•lnx=ln(x•x)(x?112212121x)， 2判断是否存在实数m，使得?APB为直角,说明理由(考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程( 专题: 转化思想;导数的综合应用(分析: (1)通过m=1，求出取得坐标，切线的斜率，然后求曲线y=f(x)在x=1的切线方程;(2)求出函数的对数，通过函数f(x)在(0，+?)上是增函数，导数大于等于0(构造新函数，通过新函数的值域，求解实数m的取值范围;(3)设点P(m，0)，A(x，f(x))，B(x，f(x))满足lnx•lnx=ln(x•x)(x?112212121x)，化简向量数量积的表达式，推出数量积是否为0，即可判断是否存在实数m，使得?APB2为直角(解答: (本题满分16分)，函数f(x)=(x+1)(lnx,1)(切点坐标(1，,2)，解:(1)m=1f′(x)=(lnx,1)+(x+1)(f′(1)=1，?切线方程为:y+2=x,1(即:x,y,3=0( …(3分)(2)在(0，+?)恒成立，…(5分),1设h(x)=xlnx，h(x)值域[,e，+?)，,1即mt+1?0在t?[,e，+?)恒成立，，0?m?e(…(10分) (3)，=(x,m)(x,m)+(mx+1)(mx+1)12122(lnx,1)(lnx,1)=(x,m)(x,m)+(mx+1)(mx+1)=(m+1)(xx+1),0， 12121212?不存在实数m，使得?APB为直角(…(16分)点评: 本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，函数恒成立，考查转化思想的应用(*220(若数列{a}的各项均为正数，?n?N，a=aa+t，t为常数，且2a=a+a( nn+1nn+2324(1)求的值;(2)证明:数列{a}为等差数列; n**(3)若a=t=1，对任意给定的k?N，是否存在p，r?N(k,p,r)使，，成等1 差数列,若存在，用k分别表示一组p和r;若不存在，请说明理由(考点: 数列递推式;等差关系的确定(专题: 点列、递归数列与数学归纳法(分析: (1)由题意，分别令n=1，2得到=aa+t?，令n=2，=aa+t?利用做差1324法，即可求出的值;(2)?，?，得到利用做差法，得到数列为常数数列，继而得到数列{a}为等差数列; n(3)由条件求出数列{a}的通项公式，由此推导出当k=1时，不存在p，r满足题设条件;n当k?2时，存在令p=2k,1得r=kp=k(2k,1)，满足题设条件(*2解答: 解:(1)由条件，?n?N， a=aa+t，t为常数， n+1nn+2令n=1，得=aa+t?，令n=2，=aa+t? 1324?,?，得，a(a+a)=a(a+a)， 331224?((2)?，?， ?,?，得，为常数数列， ?数列?(?a+a=2a， nn+2n+1?数列{a}为等差数列( n(3)由(2)知，数列{a}为等差数列，设公差为d， n2则由条件a=aa+1，得 n+1nn+22?d=a=1，又数列{a}的各项为正数， 1n?d,0，?d=1，?a=n( n当k=1时，若存在p，r使，，成等差数列，则=,1=?0(与,0矛盾(因此，当k=1时，不存在(当k?2时，则+=，所以r=(令p=2k,1得r=kp=k(2k,1)，满足k,p,r( 综上所述，当k=1时，不存在p，r;当k?2时，存在一组p=2k,1，r=k(2k,1)满足题意(点评: 本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查使得数列为等差数列的正整数是否存在的判断，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用(【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分(请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤(【选修4-1:几何证明选讲】21(如图，AB是?O的直径，C，F是?O上的两点，OC?AB，过点F作?O的切线FD交AB的延长线于点D(连接CF交AB于点E( 2求证:DE=DB•DA(考点: 与圆有关的比例线段(证明题( 专题:22分析: 欲证DE=DB•DA，由于由切割线定理得DF=DB•DA，故只须证:DF=DE，也就是要证:?CFD=?DEF，这个等式利用垂直关系通过互余角的转换即得( 解答: 证明:连接OF(因为DF切?O于F，所以?OFD=90?(所以?OFC+?CFD=90?(因为OC=OF，所以?OCF=?OFC(因为CO?AB于O，所以?OCF+?CEO=90?((5分)所以?CFD=?CEO=?DEF，所以DF=DE(22因为DF是?O的切线，所以DF=DB•DA(所以DE=DB•DA((10分)点评: 本题考查的与圆有关的比例线段、切线的性质、切割线定理的运用(属于基础题(【选修4-2:矩阵与变换】22((选修4,2:矩阵与变换)已知矩阵A=，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为=，属于特征值1的一个特征向量为=(求矩阵A，并写出A的逆矩阵(考点: 特征值与特征向量的计算;二阶行列式与逆矩阵(计算题( 专题:分析: 根据特征值的定义可知Aα=λα，利用待定系数法建立等式关系，从而可求矩阵A，再利用公式求逆矩阵(解答: 解:由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α=可得=6， 1即c+d=6; …(3分)由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α=，可得=， 2即3c,2d=,2，…(6分)解得即A=，…(8分),1?A逆矩阵是A==(点评: 本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，同时考查了逆矩阵求解公式，属于基础题(【选修4-4:坐标系与参数方程】23(已知曲线C的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为12，判断两曲线的位置关系(考点: 参数方程化成普通方程;直线与圆的位置关系(专题: 直线与圆(分析: 把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离大于半径，由此可得两曲线的位置关系(解答: 解:将曲线C，C化为直角坐标方程得:，表示一条直线( 12曲线，即，表示一个圆，半径为(圆心到直线的距离，?曲线C与C相离( 12点评: 本题主要考查把极坐标方程化为直角方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系应用，属于基础题(【选修4-5:不等式选讲】224(设f(x)=x,x+14，且|x,a|,1，求证:|f(x),f(a)|,2(|a|+1)(考点: 不等式的证明(专题: 不等式的解法及应用(分析: 先利用函数f(x)的解析式，代入左边的式子|f(x),f(a)|中，再根据|f(x)22,f(a)|=|x,x,a+a|=|x,a|•|x+a,1|,|x+a,1|=|x,a+2a,1|?|x,a|+|2a,1|,1+| 2a|+1，进行放缩即可证得结果(22解答: 证明:由|f(x),f(a)|=|x,a+a,x|=|(x,a)(x+a,1)|=|x,a||x+a,1|,|x+a,1|=|(x,a)+2a,1|?|x,a|+|2a|+1,|2a|+2 =2(|a|+1)( ?|f(x),f(a)|,2(|a|+1)(点评: 本题主要考查绝对值不等式的性质，用放缩法证明不等式，体现了化归的数学思想，属于中档题(【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分(请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤(25(袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为(现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球部放回，直到其中有一人去的白球时终止(用X表示取球终止时取球的总次数( (1)求袋中原有白球的个数;(2)求随机变量X的概率分布及数学期望E(X)(考点: 离散型随机变量的期望与方差;等可能事件的概率;离散型随机变量及其分布列( 专题: 计算题;压轴题(分析: (1)由题意知本题是一个等可能事件的概率的应用问题，试验发生包含的所有事件22是从9个球中取2个球，共有C种结果，而满足条件的事件是从n个球中取2个，共有C9n种结果，列出概率使它等于已知，解关于n的方程，舍去不合题意的结果( (2)用X表示取球终止时取球的总次数，由题意知X的可能取值为1，2，3，4，结合变量对应的事件，用等可能事件的概率公式做出结果，写出分布列和期望( 解答: 解:(1)由题意知本题是一个等可能事件的概率的应用问题，2试验发生包含的所有事件是从9个球中取2个球，共有C种结果 92而满足条件的事件是从n个球中取2个，共有C种结果 n设袋中原有n个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为，由题意知=，即，2化简得n,n,30=0(解得n=6或n=,5(舍去)( 故袋中原有白球的个数为6(2)用X表示取球终止时取球的总次数，由题意，X的可能取值为1，2，3，4(;;;P(X=4)=(?取球次数X的概率分布列为:?所求数学期望为E(X)=1×+2×+3×+4×=( 点评: 本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，是一个综合题，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，要引起注意(26(已知数列{a}是等差数列，且a，a，a是展开式的前三项的系数( n123(?)求展开式的中间项;(?)当n?2时，试比较与的大小(二项式定理;等差数列的性质( 考点:专题: 概率与统计(分析: (?)根据题意求得a=1，a=，a=，再由数列{a}是等差数列，求12 3 n得得 m=8(再根据二项式定理求得展开式的中间项((?)由(?)可得，a=3n,2(求得当n=2或3时，=,，n。
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2014-2015学年江苏省南通市江苏省栟茶高中高三（上）第一次月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．已知集合A={﹣1，2a+1}，集合B={﹣4，3}，且A∩B={3}，则a= ．2．若函数f（x）=|2x+a|的单调递增区间是[3，+∞），则a= ．3．已知f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）=log2x，则f（﹣4）= ．4．函数y=的定义域是．5．函数y=x+，x∈[2，5]的值域为．6．满足条件M∪{1，2}={1，2，3}的集合M的个数是．7．若函数f（x）=的图象关于原点对称，则a=．8．已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是．9．设a=log36，b=log510，c=log714 则a，b，c 按由小到大的顺序用“＜”连接为．10．若方程2|x|=9﹣x2在区间（k，k+1）（k∈Z）上有解，则所有满足条件的实数k值的和为．11．已知函数f（x）=，若f（a）=，则f（﹣a）= ．12．已知函数f（x）=（a为常数）的图象在点A（1，0）处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数a的取值范围是．13．已知实数a，b，c，d满足==1，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为．14．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R有f（﹣x）+f（x）=x2，且在（0，+∞）上f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围．二.解答题：本大题共6小题．共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．若函数f（x）=x2+2，g（x）=4x﹣1的定义域都是集合A，函数f（x）和g（x）的值域分别为S和T．（1）若A=[1，2]，求S∩T；（2）若A=[0，m]，且S⊆T，求实数m的取值范围；（3）若对于A中的每一个x值，都有f（x）=g（x），求集合A．16．已知函数f（x）满足f（x）+3f（﹣x）=8ax2﹣（a∈R）．（1）求f（x）的解析式；（2）试判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）若函数f（x）始终满足x1﹣x2与f（x1）﹣f（x2）同号（其中x1，x2∈[3，+∞），x1≠x2），求实数a的取值范围．17．已知函数在x=1处取得极值2．（1）求函数f（x）的表达式；（2）当m满足什么条件时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增？（3）若P（x0，y0）为图象上任意一点，直线l与的图象切于点P，求直线l的斜率k的取值范围．18．某种出口产品的关税税率t，市场价格x（单位：千元）与市场供应量p（单位：万件）之间近似满足关系式：p=，其中k，b均为常数．当关税税率为75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量均为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件．（1）试确定k、b的值；（2）市场需求量q（单位：万件）与市场价格x近似满足关系式：q=2﹣x．p=q时，市场价格称为市场平衡价格．当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值．19．设函数f（x）=x2﹣ax+a+3，g（x）=ax﹣2a．（1）对于任意a∈[﹣2，2]都有f（x）＞g（x）成立，求x的取值范围；（2）当a＞0 时对任意x1，x2∈[﹣3，﹣1]恒有f（x1）＞﹣ag（x2），求实数a的取值范围；（3）若存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，求实数a的取值范围．20．设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（1）若a=3，求曲线y=f（x）在P（1，﹣3）处的切线方程；（2）若f（x）有零点，求实数a的取值范围；（3）若f（x）有两个相异零点x1，x2，求证：x1•x2＞e2．三、解答题（共4小题，满分0分）21．已知函数f（x）=log3（3x﹣1），求f′（3）．22．已知函数f（x）=e2x﹣1﹣2x．（1）求函数f（x）的导数f'（x）；（2）证明：e2x﹣1＞2x﹣2．23．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的导数，若f″（x）=0 有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．已知函数f（x）=x3﹣3x2+2x﹣2，请解答下列问题：（1）求函数f（x）的“拐点”A的坐标；（2）求证f（x）的图象关于“拐点”A对称．24．已知函数f（x）=[ax2+（a﹣1）2x+a﹣（a﹣1）2]e x（其中a∈R）．若x=0为f（x）的极值点．解不等式f（x）＞（x﹣1）（x2+x+1）．2014-2015学年江苏省南通市江苏省栟茶高中高三（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．已知集合A={﹣1，2a+1}，集合B={﹣4，3}，且A∩B={3}，则a= 1 ．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：利用交集的性质求解．解答：解：∵集合A={﹣1，2a+1}，集合B={﹣4，3}，且A∩B={3}，∴2a+1=3，解得a=1．故答案为：1．点评：本题考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．2．若函数f（x）=|2x+a|的单调递增区间是[3，+∞），则a= ﹣6 ．考点：带绝对值的函数；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：根据函数f（x）=|2x+a|关于直线对称，单调递增区间是[3，+∞），可建立方程，即可求得a的值．解答：解：∵函数f（x）=|2x+a|关于直线对称，单调递增区间是[3，+∞），∴∴a=﹣6故答案为：﹣6点评：本题考查绝对值函数，考查函数的单调性，解题的关键是确定函数的对称轴，属于基础题．3．已知f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）=log2x，则f（﹣4）= ﹣2 ．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：利用奇函数的性质即可得出f（﹣4）=﹣f（4），再利用对数的运算法则即可得出．解答：解：∵f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）=log2x，∴f（﹣4）=﹣f（4）=﹣log24=﹣2．故答案为﹣2．点评：熟练掌握奇函数的性质、对数的运算法则是解题的关键．4．函数y=的定义域是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数成立的条件，即可得到结论．解答：解：要使函数f（x）有意义，则﹣8≥0，即≥8，则x2﹣2x≥3，即x2﹣2x﹣3≥0，解得x≥3或x≤﹣1，即函数的定义域为（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）点评：本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．5．函数y=x+，x∈[2，5]的值域为[3，7] ．考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：设t=，运用换元法转化为二次函数求解．解答：解：设t=，函数y=x+，x∈[2，5]y=t2+t+1，t∈[1，2]可判断为递增函数，t=1，时，y=3．t=2时，y=7．故答案为：[3，7]．点评：本题考查了二次函数闭区间上的值域求解问题．6．满足条件M∪{1，2}={1，2，3}的集合M的个数是 4 ．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：利用并集的性质求解．解答：解：∵M∪{1，2}={1，2，3}，∴m={3}，或M={1，3}，或M={2，3}，或M={1，2，3}．故满足条件M∪{1，2}={1，2，3}的集合M的个数是4．故答案为：4．点评：本题考查集合的个数的求法，是基础题，解题时要认真审题．7．若函数f（x）=的图象关于原点对称，则a=﹣\frac{1}{2} ．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据奇函数的图象的性质，可以函数f（x）图象关于原点对称，即f（x）为奇函数．解答：解：∵函数f（x）=的图象关于原点对称，∴函数f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴=﹣，∴（﹣2x+1）（﹣x+a）=（2x+1）（x+a）解得，a=﹣，故答案为：点评：本题主要考查了奇函数的图象和性质，属于基础题．8．已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．考点：函数单调性的性质；一元二次不等式的解法．专题：压轴题；不等式的解法及应用．分析：由偶函数性质得：f（|x+2|）=f（x+2），则f（x+2）＜5可变为f（|x+2|）＜5，代入已知表达式可表示出不等式，先解出|x+2|的范围，再求x范围即可．解答：解：因为f（x）为偶函数，所以f（|x+2|）=f（x+2），则f（x+2）＜5可化为f（|x+2|）＜5，即|x+2|2﹣4|x+2|＜5，（|x+2|+1）（|x+2|﹣5）＜0，所以|x+2|＜5，解得﹣7＜x＜3，所以不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．故答案为：（﹣7，3）．点评：本题考查函数的奇偶性、一元二次不等式的解法，借助偶函数性质把不等式具体化是解决本题的关键．9．设a=log36，b=log510，c=log714 则a，b，c 按由小到大的顺序用“＜”连接为c＜b＜a ．考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数的性质求解．解答：解：a=log36=log32+1，b=log510=log52+1，c=log714=log72+1，log32＞log52＞log72，∴c＜b＜a．故答案为：c＜b＜a．点评：本题考查对数值大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．10．若方程2|x|=9﹣x2在区间（k，k+1）（k∈Z）上有解，则所有满足条件的实数k值的和为﹣1 ．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：将方程的根化为f（x）=2|x|与g（x）=9﹣x2在区间（k，k+1）（k∈Z）上有交点，作出图象，由图可得k 的值．解答：解：方程2|x|=9﹣x2在区间（k，k+1）（k∈Z）上有解可化为：f（x）=2|x|与g（x）=9﹣x2在区间（k，k+1）（k∈Z）上有交点，作两个函数的简图如下：则它们的交点在区间（﹣3，﹣2），（2，3）之间，故k=﹣3，2；故答案为：﹣1．点评：本题考查了方程的解与函数的零点之间的关系，属于基础题．11．已知函数f（x）=，若f（a）=，则f（﹣a）= ．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的奇偶性，即可得到结论．解答：解：f（x）==1+，则f（x）﹣1=是奇函数，∴f（﹣a）﹣1=﹣[f（a）﹣1]，即f（﹣a）=﹣f（a）+2=，故答案为：点评：本题主要考查函数值的计算，根据条件构造奇函数是解决本题的关键．12．已知函数f（x）=（a为常数）的图象在点A（1，0）处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数a的取值范围是（﹣3，）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：利用导数的几何意义求出切线方程，利用分段函数与切线有三个不同的交点，得到当x＜1时，切线和二次函数有两个不同的交点，利用数形结合，即可求得a的取值范围．解答：解：当x≥1，函数f（x）的导数，f'（x）=，则f'（1）=1，则在A（1，0）处的切线方程为y﹣0=（x﹣1），即y=x﹣1．当x≥1时，切线和函数f（x）=lnx有2个交点，∴要使切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则当x＜1时，函数f（x）=x2+2x+a=x﹣1，有2个交点，即x2+x=﹣a﹣1在x＜1时，有2个不同的根，设g（x）=x2+x，则g（x）=（x+）2﹣，∵x＜1，∴当x=时，g（x）=﹣，当x=1时，g（x）=2，要使x2+x=﹣a﹣1在x＜1时，有2个不同的根，则满足﹣＜﹣a﹣1＜2，即﹣3＜a＜，∴实数a的取值范围是（﹣3，），故答案为：（﹣3，）点评：本题主要考查导数的几何意义，以及函数交点问题，利用二次函数的性质是解决本题的关键．考查学生分析问题的能力，综合性较强．13．已知实数a，b，c，d满足==1，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为8 ．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：根据题意可将（a，b），（c，d）分别看成函数y=lnx与y=x+3上任意一点，然后利用两点的距离公式，结合几何意义进行求解．解答：解：因为==1，所以可将（a，b），（c，d）分别看成函数y=lnx与y=x+3上任意一点，而函数y=lnx在（a，b）的切线与直线y=x+3平行时（a﹣c）2+（b﹣d）2取最小值，则，解得，此时点（1，0）到直线y=x+3的距离为，所以（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为8．故答案为：8．点评：本题主要考查了利用导数研究切线，解题的关键是利用几何意义进行求解．14．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R有f（﹣x）+f（x）=x2，且在（0，+∞）上f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围（﹣∞，1] ．考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．专题：计算题；导数的综合应用．分析：令g（x）=f（x）﹣x2，由g（﹣x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是增函数，f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，即g（2﹣a）≥g（a），可得 2﹣a≥a，由此解得a的范围．解答：解：令g（x）=f（x）﹣x2，∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＞0，故函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是增函数．f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，等价于f（2﹣a）﹣≥f（a）﹣，即g（2﹣a）≥g（a），∴2﹣a≥a，解得a≤1，故答案为：（﹣∞，1]．点评：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．二.解答题：本大题共6小题．共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．若函数f（x）=x2+2，g（x）=4x﹣1的定义域都是集合A，函数f（x）和g（x）的值域分别为S和T．（1）若A=[1，2]，求S∩T；（2）若A=[0，m]，且S⊆T，求实数m的取值范围；（3）若对于A中的每一个x值，都有f（x）=g（x），求集合A．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：函数的性质及应用；集合．分析：（1）若A=[1，3]，分别利用二次函数，一次函数的性质，求出S，T，再计算S∪T．（2）若A=[0，m]，同样地分别利用二次函数，一次函数的性质，求出S，T，根据集合相等的定义，求实数m的值．（3）方程f（x）=g（x）的解即为集合A中元素．解答：解：（1）由题意可得，S=[3，6]，T=[3，7]，所以S∩T=[3，6]；…（4分）（2）由题意可得，S=[2，m2+2]，T=[﹣1，4m﹣1]，因为S⊆T，所以m2+2≤4m﹣1，所以m2﹣4m+3≤0 可得1≤m≤3 …（9分）（3）因为f（x）=g（x），所以x2+2=4x﹣1，可得x=1 或x=3所以A={1} 或A={3} 或A={1，3}．…（14分）点评：本题灵活的考查了一些基本知识：二次函数、一次函数的性质，集合相等，集合的表示方法．考查对知识的准确理解与掌握．是基础题，也是好题．16．已知函数f（x）满足f（x）+3f（﹣x）=8ax2﹣（a∈R）．（1）求f（x）的解析式；（2）试判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）若函数f（x）始终满足x1﹣x2与f（x1）﹣f（x2）同号（其中x1，x2∈[3，+∞），x1≠x2），求实数a的取值范围．考点：函数奇偶性的判断；函数解析式的求解及常用方法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）由f（x）+3f（﹣x）=8ax2﹣（a∈R）．可得f（﹣x）+3f（x）=8ax2+（a∈R）．联立解得即可．（2）分类讨论：a=0与a≠0，利用函数的奇偶性定义即可判断出；（3）法一：利用函数的单调性定义即可得出；法二：利用导数研究函数的单调性即可得出．解答：解：（1）∵f（x）+3f（﹣x）=8ax2﹣（a∈R）．∴f（﹣x）+3f（x）=8ax2+（a∈R）．由两式可得．（2）f（x）定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）当a=0时，，，∴a=0时f（x）为奇函数．当a≠0时，f（﹣x）≠±f（x），函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．）（3）由题意可知函数f（x）在x∈[3，+∞上为增函数．设3≤x1＜x2，要使函数f（x）在x∈[3，+∞）上为增函数，法一：必须，∵x1﹣x2＜0，x1x2＞9，∴2ax1x2（x1+x2）＞1．∵x1+x2＞6，∴x1x2（x1+x2）＞54．∴要使，∴a的取值范围是．法二：在[3，+∞）上恒成立，所以在[3，+∞）上恒成立，所以，所以a 的取值范围是．点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性，考查了利用导数研究函数的单调性和分离参数法，属于中档题．17．已知函数在x=1处取得极值2．（1）求函数f（x）的表达式；（2）当m满足什么条件时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增？（3）若P（x0，y0）为图象上任意一点，直线l与的图象切于点P，求直线l的斜率k的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；直线的斜率．专题：综合题；压轴题．分析：（1）由函数在x=1处取得极值2可得f（x）=2，f′（1）=0求出a和b确定出f（x）即可；（2）令f′（x）＞0求出增区间得到m的不等式组求出解集即可；（3）找出直线l的斜率k=f′（x0），利用换元法求出k的最小值和最大值即可得到k的范围．解答：解：（1）因，而函数在x=1处取得极值2，所以⇒⇒所以；（2）由（1）知，如图，f（x）的单调增区间是[﹣1，1]，所以，⇒﹣1＜m≤0，所以当m∈（﹣1，0]时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增．（3）由条件知，过f（x）的图形上一点P的切线l的斜率k为：=令，则t∈（0，1]，此时，根据二次函数的图象性质知：当时，k min=，当t=1时，k max=4所以，直线l的斜率k的取值范围是．点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，以及直线斜率的求法．18．某种出口产品的关税税率t，市场价格x（单位：千元）与市场供应量p（单位：万件）之间近似满足关系式：p=，其中k，b均为常数．当关税税率为75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量均为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件．（1）试确定k、b的值；（2）市场需求量q（单位：万件）与市场价格x近似满足关系式：q=2﹣x．p=q时，市场价格称为市场平衡价格．当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；综合题．分析：（1）根据“关系式：p=2（1﹣kt）（x﹣b）2，及市场价格为5千元，则市场供应量均为1万件；市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件”，可得到从而求得结果．（2）当p=q时，可得2（1﹣t）（x﹣5）2=2﹣x，可求得t=1+=1+，由双勾函数f（x）=x+在（0，4]上单调递减，可知当x=4时，f（x）有最小值．解答：解：（1）由已知可得：，∴，解得：b=5，k=1（2）当p=q时，2（1﹣t）（x﹣5）2=2﹣x∴（1﹣t）（x﹣5）2=﹣x⇒t=1+=1+，而f（x）=x+在（0，4]上单调递减，∴当x=4时，f（x）有最小值，此时t=1+取得最大值5；故当x=4时，关税税率的最大值为500%点评：本题主要考查函数模型的应用，考查了指数方程的解法和双勾函数最值的求法．19．设函数f（x）=x2﹣ax+a+3，g（x）=ax﹣2a．（1）对于任意a∈[﹣2，2]都有f（x）＞g（x）成立，求x的取值范围；（2）当a＞0 时对任意x1，x2∈[﹣3，﹣1]恒有f（x1）＞﹣ag（x2），求实数a的取值范围；（3）若存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，求实数a的取值范围．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由题意可得，（﹣2x+3）a+x2+3＞0 对于任意a∈[﹣2，2]恒成立．设h（a）=（﹣2x+3）a+x2+3，则有，解不等式组可得x的范围．（2）由题意可知在区间[﹣3，﹣1]上，[f（x）]min＞[﹣ag（x）]max．利用二次函数的单调性求得f（x）min和[﹣ag（x）]max的值，解不等式求得a的范围．（3）分a=0、a＜0、a＞0三种情况，分别由条件求得a的范围，再取并集，即得所求．解答：解：（1）因为对于任意a∈[﹣2，2]都有f（x）＞g（x）成立，都有x2﹣ax+a+3＞ax﹣2a，即（﹣2x+3）a+x2+3＞0 对于任意a∈[﹣2，2]恒成立．设h（a）=（﹣2x+3）a+x2+3，则有，解不等式组可得，或．（2）由题意可知在区间[﹣3，﹣1]上，[f（x）]min＞[﹣ag（x）]max．因为f（x）=x2﹣ax+a+3 的图象的对称轴，所以f（x）=x2﹣ax+a+3 在[﹣3，﹣1]上单调递减，可得f（x）=f（﹣1）=2a+4．min因为﹣ag（x）=﹣a2x+2a2在[﹣3，﹣1]上单调递减，可得，所以2a+4＞5a2，可得．（3）若a=0，则g（x）=0，不合题意，舍去．若a＜0，由g（x）＜0 可得x＞2．原题可转化为在区间（2，+∞）上存在x0，使得f（x0）＜0．因为f（x）=x2﹣ax+a+3 在上单调递增，所以f（2）＜0，可得a＞7，又因为a＜0，不合题意．若a＞0，由g（x）＜0 可得x＜2，原题可转化为在区间（﹣∞，2）上若存在x0，使得f（x0）＜0．当时，即a＞4 时，f（2）=7﹣a＜0，可得a＞7；当时，即0＜a＜4 时，，可得a＞6 或a＜﹣2．综上可知a＞7．点评：本题主要考查二次函数的性质的应用，函数的恒成立问题，体现了分类讨论、转化的数学思想，属中档题．20．设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（1）若a=3，求曲线y=f（x）在P（1，﹣3）处的切线方程；（2）若f（x）有零点，求实数a的取值范围；（3）若f（x）有两个相异零点x1，x2，求证：x1•x2＞e2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理．专题：计算题；证明题；导数的综合应用．分析：（1）求出当a=3 时的导数，再求切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；（2）对a讨论，分a=0，a＜0，a＞0，可通过解方程和零点存在定理以及应用导数求极值，令极大值不小于0，即可得到；（3）原不等式x1x2＞e2⇔lnx1+lnx2＞2⇔a（x1+x2）＞2⇔＞⇔ln＞，令=t，则t＞1，于是ln＞⇔lnt＞．设函数g（t）=lnt﹣（t＞1）．求出导数，判断单调性，由单调性即可得证．解答：解：在区间（0，+∞）上，f′（x）=﹣a=．（1）当a=3 时，f'（x）=﹣3．曲线y=f（x）在P（1，﹣3）处的切线斜率为1﹣3=﹣2，则切线方程为y﹣（﹣3）=﹣2（x﹣1），即2x+y+1=0；（2）①若a=0，f（x）=lnx有唯一零点x=1．②若a＜0，则f′（x）＞0，f（x）是区间（0，+∞）上的增函数，∵f（1）=﹣a＞0，f（e a）=a﹣ae a=a（1﹣e a）＜0，∴f（1）•f（e a）＜0，函数f（x）在区间（0，+∞）有唯一零点．③若a＞0，令f′（x）=0得：x=．在区间（0，）上，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数；在区间（，+∞）上，f′（x）＜0，函数f（x）是减函数；故在区间（0，+∞）上，f（x）的极大值为f（）=ln﹣1=﹣lna﹣1．由即﹣lna﹣1≥0，解得：．故所求实数a的取值范围是．（3）证明：设x1＞x2＞0，∵f（x1）=f（x2）=0∴lnx1﹣ax1=0，lnx2﹣ax2=0，∴lnx1+lnx2=a（x1+x2），lnx1﹣lnx2=a（x1﹣x2），原不等式x1x2＞e2⇔lnx1+lnx2＞2⇔a（x1+x2）＞2，⇔＞⇔ln＞，令=t，则t＞1，于是ln＞⇔lnt＞．设函数g（t）=lnt﹣（t＞1）．求导得：g′（t）=﹣=＞0，故函数g（t）是（1，+∞）上的增函数，∴g（t）＞g（1）=0，即不等式lnt＞（t＞1）成立，故所证不等式x1•x2＞e2成立．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间和极值，考查函数的零点问题，注意运用零点存在定理，考查不等式的证明，注意构造函数应用导数判断单调性加以证明，属于中档题．三、解答题（共4小题，满分0分）21．已知函数f（x）=log3（3x﹣1），求f′（3）．考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：根据导数的运算法则，先求导，再代入值计算．解答：解：∵，所以点评：本题主要考查了复合函数的导数的求导法则，属于基础题．22．已知函数f（x）=e2x﹣1﹣2x．（1）求函数f（x）的导数f'（x）；（2）证明：e2x﹣1＞2x﹣2．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用导数的性质能求出f（x）=e2x﹣1﹣2x的导数．（2）由f′（x）=2e2x﹣1﹣2=0 解得，由导数性质得，由此能证明e2x﹣1＞2x﹣2．解答：（1）解：∵f（x）=e2x﹣1﹣2x，∴f′（x）=2e2x﹣1﹣2．（4分）（2）证明：由f′（x）=2e2x﹣1﹣2=0 解得，时，f'（x）＜0；时，f'（x）＞0．…（6分）∴当时，，∴f（x）≥0＞﹣2，即e2x﹣1﹣2x＞﹣2，∴e2x﹣1＞2x﹣2．…（10分）点评：本题考查导数的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．23．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的导数，若f″（x）=0 有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．已知函数f（x）=x3﹣3x2+2x﹣2，请解答下列问题：（1）求函数f（x）的“拐点”A的坐标；（2）求证f（x）的图象关于“拐点”A对称．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）根据“拐点”的定义求出f''（x）=0的根，然后代入函数解析式可求出“拐点”A的坐标．（2）设出点的坐标，根据中心对称的定义即可证明．解答：解：（1）∵f'（x）=3x2﹣6x+2，∴f''（x）=6x﹣6，令f''（x）=6x﹣6=0，得x=1，f（1）=﹣2所以“拐点”A的坐标为（1，﹣2）（2）设P（x0，y0）是y=f（x）图象上任意一点，则∴P（x0，y0）关于（1，﹣2）的对称点P'（2﹣x0，﹣4﹣y0），把P'（2﹣x0，﹣4﹣y0）代入y=f（x），得左边=右边=∴左边=右边，∴P'（2﹣x0，﹣4﹣y0）在y=f（x）图象上，∴f（x）的图象关于“拐点”A对称．点评：本题考查一阶导数、二阶导数的求法，函数的拐点的定义以及函数图象关于某点对称的条件．24．已知函数f（x）=[ax2+（a﹣1）2x+a﹣（a﹣1）2]e x（其中a∈R）．若x=0为f（x）的极值点．解不等式f （x）＞（x﹣1）（x2+x+1）．考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：由于x=0为f（x）的极值点，可得f′（0）=0，得到a=0．当a=0时，f（x）＞（x﹣1）（x2+x+1）⇔（x ﹣1）•e x＞，整理得（x﹣1）＞0．令g（x）=e x﹣，利用导数研究其单调性极值即可得出．解答：解：∵函数f（x）=[ax2+（a﹣1）2x+a﹣（a﹣1）2]e x，∴f′（x）=[ax2+（a2+1）x+a]e x，∵x=0为f（x）的极值点，∴f′（0）=ae0=0，解得a=0．检验，当a=0时，f′（x）=xe x，当x＜0时，f′（x）＜0，当x＞0时，f′（x）＞0．∴x=0为f（x）的极值点，故a=0．当a=0时，f（x）＞（x﹣1）（x2+x+1）⇔（x﹣1）•e x＞，整理得（x﹣1）＞0，即或令g（x）=e x﹣，h（x）=g′（x）=e x﹣（x+1），h′（x）=e x﹣1，当x＞0时h′（x）=e x﹣1＞0；当x＜0时，h′（x）＜0．∴h（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，∴h（x）＞h（0）=0．即g′（x）＞0，∴g（x）在R上单调递增，g（0）=0．故＞0⇔x＞0；＜0⇔x＜0．∴原不等式的解集为{x|x＜0或x＞1}．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了利用单调性解不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。