湖北省黄冈市2019届高三9月质量检测数学(理)试卷(含答案)
湖北省黄冈市罗田县第一中学2019届高三数学调研考试试卷理【word版】.doc
湖北省黄冈市罗田县第一中学2019届高三数学调研考试试题理（扫描版）黄冈市2019届九月起点考试数学（理科）答案一、选择题1.C2.B3.A4.A5.B6.C7.C8.A9.B 10. A 11. C 12.A二、填空题 13. 3 14.-215.4 16.2122e e e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 三、17. 解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，由234,2,3a a a +成等差数列得3244=+3a a a +，又24a =，所以216=4+43q q +，即241670q q -+=，解得12q =或72q =（舍去），故224211=4()()22n n n n a a q ---⋅=⋅= ．即数列{}n a 的通项公式为41=()2n n a -．………………5分（2）216log ()n nb n a ==， ………………………………………………7分211111()(2)22k k b b k k k k +==-++11111111111(1)()()()23224235221111(1)221232342(1)(2)n S n n n n n n n =-+-+-++-+=+--+++=-++K ……10分18．【解析】（1）设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． 根据sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C-+=+-， 可得222a b c ba b c bc c a b c-+=⇒=+-+-，·········3分 所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又因为0A <<π，所以3A π=．·········6分（2）22sin 2sin sin 3a R a R A A π=⇒===·········8分 所以2232b c bc bc bc bc =+--=≥，·········10分所以11sin 32224S bc A =⨯⨯=≤（b c =时取等号）．故三角形面积最大值为4·········12分 19．解：（1）(2,1),(cos ,sin ),AB AC θθ==u u u r u u u r 若AB 与AC 平行，则1tan 2θ=，22222sin sin cos tan tan 1sin (sin cos )sin cos tan 15θθθθθθθθθθθ---===-++……6分 （2）(3,3),(2,1)(3,3)(23,3),AD OP m n m n m n ==+=++u u u r u u u r23,3,x m n y m n =+=+ 11,(2),(2),33m x y n y x m n x y =-=-+=-由图知m +n 的最大值为1. …………12分20.解：（I ）f （0）=1．表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量没有变化．……………2分（Ⅱ）设清洗前蔬菜上的农药量为1，那么用a 单位量的水清洗1次后．残留的农药量为W 1=1×f（a）=211a +； ……………………………………………………………4分 又如果用2a 单位量的水清洗1次，残留的农药量为1×f （2a ）=2)2(11a +，此后再用2a单位量的水清洗1次后，残留的农药量为W 2=2)2(11a +·f （2a ）=[2)2(11a +]2=22)4(16a +．……………………………8分由于W 1－W 2=211a +－22)4(16a +=22222)4)(1()8(a a a a ++-，………………………9分故当a >22时，W 1>W 2，此时，把a 单位量的水平均分成2份后，清洗两次，残留的农药量较少；当a =22时，W 1=W 2，此时，两种清洗方式效果相同；当0<a <22时，W 1<W 2，此时，把a 单位量的水清洗一次，残留的农药量较少．…………………12分21. 【解析】（1）Θ方程x x f 2)(=有两等根，即0)2(2=-+x b ax 有两等根，0)2(2=-=∆∴b ，解得2=b ； )3()1(x f x f -=-Θ,得1,1231=∴=-+-x xx 是函数图象的对称轴. 而此函数图象的对称轴是直线1,12,2-=∴=-∴-=a ab a b x ， 故x x x f 2)(2+-=……………………………………………6分 （2）(]22222,(,2),20,2xxxxy t x -+-+=-∈-∞∈，02p t <≤真则；222,02,()2, 2.x tx t x g x x tx t x ⎧-+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩若q 真，则022*******tt t t t t ⎧≤⎪⎪⎪-≤⎨⎪-+≤+-⎪⎪⎩40t ∴-≤≤若p q ∨真，则42t -≤≤. ……………………………………………12分 22.解：（1）由题意知，()f x 的定义域为),0(+∞，)0( 21)21(22222)('22>-+-=+-=+-=x xb x x b x x x b x x f ． ∴当12b ≥时，()0f x '≥，函数()f x 在定义域),0(+∞上单调递增． 当12b <令222'()220b x x b f x x x x -+=-+==， 得221211b x --=，212x = ①当 0b ≤时，110(0,)2x =≤∉+∞(舍去)，而211(0,)2x =+≥∈+∞， 此时：()f x '，()f x 随x 在定义域上的变化情况如下表：②当02b <<时，120,x x <<此时：()f x '，()f x 随x 在定义域上的变化情况如下表：综上：当12b ≥时，函数()f x 在定义域),0(+∞上单调递增；当102b <<时，函数()f x 在1(0,22-，1,22⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增,在11,2222⎛-+ ⎝⎭上单调递减；当0b ≤时，函数()f x 在1(0,2+上单调递减，在1,22⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增．……6分（2）由(1)可知当1b =-时，函数x x x f ln )1()(2--=，此时()f x 有惟一极小值点：12x ==， 且为减函数在时，)231,0()( ,0)(')231,0(+<+∈x f x f x ．141 3 0 1132k k +≥<<+≤<Q 当时， ∴[]221111f(1)(1) 0ln(1)ln(1)ln f k k k k k k>+>-+=-+-恒有，即恒有．……10分∴ 3k ≥当时，21ln(1)ln k k k +->恒有成立．令3,4,5,,(3,)k n n n N =≥∈L 相加得 222111ln(1)ln 3ln(n 1).34n n +++<+-<+L ……12分。
系列数学(理)试题金卷10套：【全国市级联考】湖北省黄石市2019届高三9月调研考试理数试题解析(解析版)
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2|31,|20A x x B x x x =-<<=-≤，则AB =（ ）A ．{}|01x x <<B ．{}|01x x ≤<C ．{}|32x x -<<D ．{}|32x x -<≤ 【答案】D 【解析】 试题分析：AB ={}{}|31|02=x x x x -<<≤≤{}|32x x -<≤，选D.考点：集合运算 【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在实行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 2.已知向量()()1,3,sin ,cos a b αα==且//a b ，则tan α=（ ） A ．3 B ．-3 C ．13 D ．13- 【答案】C考点：向量共线【思路点睛】(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，使用向量的相关知识能够解决某些函数问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 3.若复数z 满足()1021z i i+=+，则z 的共轭复数z =（ ） A ．13i + B ．13i - C ．3i + D ．3i - 【答案】A考点：复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b 、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi4.已知函数()221,1,1x x f x x ax x ⎧+<=⎨+≥⎩，若()()04f f a =，则实数a 等于（ ）A ．12 B ．45C ．2D ．9 【答案】C 【解析】 试题分析：()()0(2)4242ff f a a a ==+=⇒=，选C.考点：分段函数求值【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质能够将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.5.右图的程序框图所描述的算法称为欧几里德辗转相除法．若输入209,121m n ==，则输出的m 的值为（ ）A ．0B ．11C ．22D ．88 【答案】B考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.6.过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 与抛物线交于A B 、两点，若A B 、两点的横坐标之和为103，则AB =（ ） A ．133 B ．143 C ．5 D ．163【答案】D 【解析】试题分析：由抛物线定义得1016233A B AB x x p =++=+=，选D. 考点：抛物线定义【方法点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般使用定义转化为到准线距离处理．本题中充分使用抛物线定义实施转化，其关键在于求点P 的坐标．2．若P (x 0，y 0)为抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点，由定义易得|PF |＝x 0＋p2；若过焦点的弦AB的端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长为|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到． 7.将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度，所得的部分图象如右图所示，则ϕ的值为（ ）A ．6π B ．3π C ．12π D ．23π 【答案】A考点：三角函数求角【思路点睛】在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的函数，尽量做到所选函数在确定角的范围内为一对一函数。
2019黄冈9月质检试题
黄冈市2019年高三年级9月质量检测数学试题（理科）黄冈市教育科学研究院命制2019.9.241、已知集合2{|230}A x x x =-->，{|lg(1)1}B x x =+≤，则()R C A B = A.{|13}x x -≤< B.{|19}x x -≤≤ C.{|13}x x -<≤ D.{|19}x x -<<2、若a b >，则下列不等式恒成立的是A.22ab< B.ln()0a b -> C.1133a b> D.||||a b >3、设n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若12320S S S +-=，且11a =，则4a =A.9B.18C.21D.274、几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点,M N 是锐角AQB ∠的一边QA 上的两点，试在QB 边上找一个点P ，使得MPN ∠最大”.如图，其结论是：点P 为过,M N 两点且和射线QB 相切的圆的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，给定两点(1,2),(1,4)M N -，点P 在x 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是A.1B.-7C.1或-7D.2或-75.如图为一个几何体的三视图，则该几何体中任意两个顶点间的距离的最大值为A ．17 B.15C ．13D.46.函数23sin ()1x xf x x -=+在[],ππ-的图像大致为A. B.C. D.7.已知抛物线24x y =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若4PQ FQ =，则FQ =A ．3或4B ．85或83C ．4或83D ．838.将函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位，得到函数()g x 的图象，则下列说法不正确的是A ．5112g π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()g x 在区间53,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．12x π=-是()g x 图象的一条对称轴D ．,08π⎛⎫⎪⎝⎭是()g x 图象的一条对称中心9.已知函数c bx ax x x f +++=23)(，)(x f 图象在点))2(,2(f 处的切线过点)4,3(，函数)1()(+=x f x g 为奇函数，则=b A.2B.3C.4D.510.在ABC △中，点P 满足PC BP 3=，过点P 的直线与AC AB ，所在的直线分别交于点N M 、，若AB AM λ=，AC AN μ=，)00(>>μλ，，则μλ+的最小值为A.122+ B.123+ C.23 D.2511.椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x M 与双曲线)00(1:2222>>=-n m n y m x Q ，焦点相同，21F F ，分别为左焦点和右焦点，椭圆M 与双曲线Q 在第一象限的交点为A ，且321π=∠AF F ，则当这两条曲线的离心率之积为23时，双曲线Q 的渐近线斜率是A.2± B.22±C.21±D.2±12.若函数x x m x f ln 3)(3+-=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e,1上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+313,1e B.(]3,13-e C.⎥⎦⎤ ⎝⎛+313,1e D.()+∞,1二．填空题（共20分）13.设命题2:p c c >；2000,410x R x cx ∃∈++<，若p 和q 中有且仅有一个为真命题，则实数c 的取值范围是___________.14.等比数列{}n a 满足0n a >，且1358a a +=，2454a a +=，则212log ()n a a a 的最小值为____________.15.已知函数22()3f x x x mx =-++，若方程()0f x =在()0,4上有两个不同的实数根，则实数m 的取值范围是__________.16.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为1的正方形，侧棱长为2，E ，F ，G ，M 分别是棱AB ，BC ，1CC ，1BB 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P与平面EFG 不存在公共点，则三角形PBM 面积的最小值为_________.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤。
黄冈2019届数学九月考试理科答案
黄冈市2019届九月起点考试数学（理科）答案一、选择题1.C2.B3.A4.A5.B6.C7.C8.A9.B 10. A 11. C 12.A二、填空题 13. 3 14.-216.三、17. 解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，由234,2,3a a a +成等差数列得3244=+3a a a +，又24a =，所以216=4+43q q +，即241670q q -+=，解得12q =或72q =（舍去）， 故224211=4()()22n n n n a a q ---⋅=⋅= ．即数列{}n a 的通项公式为41=()2n n a -．………………5分 （2）216log ()n nb n a ==， ………………………………………………7分 211111()(2)22k k b b k k k k +==-++11111111111(1)()()()23224235221111(1)221232342(1)(2)n S n n n n n n n =-+-+-++-+=+--+++=-++ ……10分18．【解析】（1）设内角，，所对的边分别为，，．根据，可得，·········3分 所以，又因为，所以．·········6分（2），·········8分 所以，·········10分所以（时取等号）．·········12分 2122e e e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，A B C a b c sin sin sin sinsin sin sin sin A BC BC A B C -+=+-222a b c ba b c bc c a b c-+=⇒=+-+-2221cos 222b c a bc A bc bc +-===0A <<π3A π=22sin 2sin sin 3a R a R A A π=⇒===2232b c bc bc bc bc =+--=≥11sin 322S bc A =⨯=≤b c =19．解：（1）(2,1),(cos ,sin ),AB AC θθ==若AB 与AC 平行，则1tan 2θ=， 22222sin sin cos tan tan 1sin (sin cos )sin cos tan 15θθθθθθθθθθθ---===-++……6分（2）(3,3),(2,1)(3,3)(23,3),AD OP m n m n m n ==+=++23,3,x m n y m n =+=+ 11,(2),(2),33m x y n y x m n x y =-=-+=-由图知m +n 的最大值为1. …………12分20.解：（I ）f （0）=1．表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量没有变化．……………2分 （Ⅱ）设清洗前蔬菜上的农药量为1，那么用a 单位量的水清洗1次后．残留的农药量为 W 1=1×f （a ）=211a +； ……………………………………………………………4分 又如果用2a 单位量的水清洗1次，残留的农药量为1×f （2a ）=2)2(11a +，此后再用2a单位量的水清洗1次后，残留的农药量为W 2=2)2(11a +·f （2a ）=[2)2(11a +]2=22)4(16a +．……………………………8分 由于W 1－W 2=211a +－)4(16a +=22222)4)(1()8(a a a a ++-，………………………9分故当a >22时，W 1>W 2，此时，把a 单位量的水平均分成2份后，清洗两次，残留的农药量较少；当a =22时，W 1=W 2，此时，两种清洗方式效果相同；当0<a <22时，W 1<W 2，此时，把a 单位量的水清洗一次，残留的农药量较少．…………………12分 21. 【解析】（1） 方程x x f 2)(=有两等根，即0)2(2=-+x b ax 有两等根，0)2(2=-=∆∴b ，解得2=b ；)3()1(x f x f -=- ,得1,1231=∴=-+-x xx 是函数图象的对称轴.而此函数图象的对称轴是直线1,12,2-=∴=-∴-=a ab a b x ， 故x x x f 2)(2+-=……………………………………………6分（2）(]22222,(,2),20,2xxxxy t x -+-+=-∈-∞∈，02p t <≤真则；222,02,()2, 2.x tx t x g x x tx t x ⎧-+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩若q 真，则0222422422t t t t t t ⎧≤⎪⎪⎪-≤⎨⎪-+≤+-⎪⎪⎩40t ∴-≤≤ 若p q ∨真，则42t -≤≤. ……………………………………………12分 22.解：（1）由题意知，()f x 的定义域为),0(+∞，)0( 21)21(22222)('22>-+-=+-=+-=x xb x x b x x x b x x f ． ∴当12b ≥时，()0f x '≥，函数()f x 在定义域),0(+∞上单调递增．当12b <令222'()220b x x bf x x x x-+=-+==， 得221211b x --=，212x =．①当 0b ≤时，110(0,)2x =≤∉+∞(舍去)，而211(0,)2x =≥∈+∞， 此时：()f x '，()f x 随x 在定义域上的变化情况如下表：②当0b <<时，120,x x <<此时：()f x '，()f x 随x 在定义域上的变化情况如下表：综上：当12b ≥时，函数()f x 在定义域),0(+∞上单调递增； 当102b <<时，函数()f x 在1(0,2，12⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增,在1122⎛+ ⎝⎭上单调递减； 当0b ≤时，函数()f x 在1(0,2上单调递减，在12⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增．……6分（2）由(1)可知当1b =-时，函数x x x f ln )1()(2--=，此时()f x 有惟一极小值点：11222x =+=， 且为减函数在时，)231,0()( ,0)(')231,0(+<+∈x f x f x ．14 3 0 113k k ≥<<+≤<当时， ∴[]221111f(1)(1) 0ln(1)ln(1)ln f k k kk k k >+>-+=-+-恒有，即恒有．……10分 ∴ 3k ≥当时，21ln(1)ln k k k+->恒有成立．令3,4,5,,(3,)k n n n N =≥∈相加得 222111ln(1)ln 3ln(n 1).34n n +++<+-<+ ……12分。
湖北省黄冈市2019届高三9月质量检测数学(理)试题(精品解析)
湖北省黄冈市2019届高三9月质量检测数学（理）试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集，集合，那么集合等于 U =R A ={x|x ‒3<0}B ={x|2x >1}.A ∩∁UB ()A. B. C. D. {x|‒2≤x ≤3}{x|‒2<x <3}{x|x ≤‒2}{x|x <3}【答案】C【解析】解：，．A ={x|x ‒3<0}={x|x <3}B ={x|2x >14}={x|x >‒2}则，∁U B ={x|x ≤‒2}则，A ∩∁U B ={x|x ≤‒2}故选：C ．求出集合A ，B 的等价条件，结合集合交集，补集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．2.已知复数z 为纯虚数，且，则 |z1‒i |=1z =()A. B. C. D. i±2i±2i 2i【答案】B 【解析】解：，，∵|z1‒i |=1∴|z|=|1‒i|=2又复数z 为纯虚数，，∴z =±2i 故选：B ．由，利用复数的模的运算性质可得：，再根据复数z 为纯虚数，|z1‒i |=1|z|=|1‒i|=2即可得出．本题考查了复数的模的运算性质、纯虚数，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.已知角的终边经过点，则 αP(sin 47∘,cos 47∘)sin(α‒13∘)=()A.B. C.D.13‒1‒3【答案】A【解析】解：，∵r =|OP|=sin 247∘+cos 247∘=1，，∴sinα=cos 47∘1=cos 47∘cosα=sin 47∘1=sin 47∘则sin(α‒13∘)=sinαcos 13∘‒cosαsin 13∘=cos 47∘cos 13∘‒sin 47∘sin 13∘=cos (47∘+13∘)=cos 60∘=12，故选：A ．根据三角函数的定义求出和，结合两角和差的正弦公式和余弦公式进行化简sinαcosα即可．本题主要考查三角函数的化简和求解，利用三角函数的定义结合两角和差的正弦公式是解决本题的关键．4.若l ，m 为两条不同的直线，为平面，且，则“”是“”的 αl ⊥αm//αm ⊥l ()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：由，“”反之不成立，可能．l ⊥αm//α⇒m ⊥l.m ⊂α因此“”是“”的充分不必要条件．m//αm ⊥l 故选：A ．由，“”反之不成立，可能即可判断出关系．l ⊥αm//α⇒m ⊥l.m ⊂α.本题考查了空间位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.已知点在抛物线C ：上，设抛物线C 的焦点为F ，若，则A(4,m)y 2=2px |AF|=5 P =()A. 4B. 2C. 1D. ‒2【答案】B【解析】解：抛物线C ：的焦点，准线方程为，y 2=2px F(p2,0)x =‒p2点在抛物线C ：上，若，A(4,m)y 2=2px |AF|=5可得，解得，4+p2=5p =2故选：B ．求得抛物线的准线方程，运用抛物线的定义可得，解方程可得所求值．4+p2=5本题考查抛物线的定义、方程和性质，注意运用方程思想和定义法解题，属于基础题．6.下列有关命题的说法中错误的是 ()A. 若为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题p ∨q B. 命题：“若是幂函数，则的图象不经过第四象限”的否命题y =f(x)y =f(x)是假命题C. 命题“，有且”的否定形式是“，有∀n ∈N ∗f(n)∈N ∗f(n)≤n ∃n 0∈N ∗且”f(n 0)∈N ∗f(n 0)>n 0D. 设a ，，则“”是“”的充要条件b ∈R a >b a|a|>b|b|【答案】C【解析】解：若为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题，故A 正确；p ∨q “若是幂函数，则的图象不经过第四象限”的否命题是“若y =f(x)y =f(x)不是幂函数，则的图象经过第四象限”，是假命题，如指数函数，故y =f(x)y =f(x)B 正确；命题“，有且”的否定形式是“，有∀n ∈N ∗f(n)∈N ∗f(n)≤n ∃n 0∈N ∗或，故C 错误；f(n 0)∉N ∗f(n 0)>n 0设，则，则当时，函数为增函数，当时，f(x)=x|x|f(x)={x 2,x ≥0‒x 2,x <0x ≥0f(x)x <0函数为增函数，f(x)，函数在上是增函数，∵f(0)=0∴f(x)(‒∞,+∞)则若，则，即成立，则“”是“”的充要a >b f(a)>f(b)a|a|>b|b|a >b a|a|>b|b|条件，故D 正确．说法中错误的是C ．∴故选：C ．由复合命题的真假判断判定A ；写出命题的否定并举例判定B ；写出全程命题的否定判断C ；设，由函数的单调性判断D ．f(x)=x|x|本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题，含有量词的命题的否定，复合命题以及充分条件和必要条件的判断，知识点较多综合性较强，但难度不大，是基础题．7.如图所示的三视图表示的几何体的体积为，则该几何体323的外接球的表面积为 ()A. 12πB. 24πC. 36πD. 48π【答案】C【解析】解：由三视图可得该几何体为底面边长为4、m ，一条侧棱垂直底面的四棱锥，高为4，则，13×4×4m =323解得，m =2将该几何体补成一个长方体，则其外接球半径为，R =1216+m 2+16=3故这个几何体的外接球的表面积为．4πR 2=36π故选：C ．由三视图可得该几何体为底面边长为4、m ，一条侧棱垂直底面的四棱锥，将该几何体补成一个长方体，求出外接球半径，代入球表面积公式，可得答案．本题考查了由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键属于中档题．.8.九章算术是我国古代的数字名著，书中均属章有如下问题：“今有五人《》《》分五钱，令上二人所得与下三人等问各德几何”其意思为“已知..A 、B 、C 、D 、E 五人分5钱，A 、B 两人所得与C 、D 、E 三人所得相同，且A 、B 、C 、D 、E 每人所得依次成等差数列问五人各得多少钱？”“钱”是古代.(的一种重量单位在这个问题中，E 所得为 ).()A. 钱B. 钱C. 钱D.钱23435632【答案】A【解析】解：由题意：设，，，，，A =a ‒4dB =a ‒3dC =a ‒2dD =a ‒dE =a 则，{5a ‒10d =52a ‒7d =3a ‒3d 解得，a =23故E所得为钱23.故选：A ．设，，，，，列出方程组，能求出E 所A =a ‒4d B =a ‒3d C =a ‒2d D =a ‒d E =a 得．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质、等差数列的性质的合理运用．9.函数其中e 为自然对数的底数图象的大致形状是 f(x)=(21+e x‒1)cosx()()A. B.C.D.【答案】B 【解析】解：，f(x)=(21+e x‒1)cosx =1‒e x 1+e xcosx．f(‒x)=1‒e ‒x 1+e ‒xcos (‒x)=e x ‒1e x +1cosx =‒f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除A ，C ；∴f(x)当时，，，0<x <π2e x>1cosx >0，∴f(x)=1‒e x 1+e xcosx <0故选：B ．判断的单调性，再根据在上的函数值的符号得出答案．f(x)f(x)(0,π2)本题考查了函数图象的判断，只有函数单调性、奇偶性的应用，属于中档题．10.若函数，且，，的最f(x)=3sin(π‒ωx)‒sin (5π2+ωx)f(α)=2f(β)=0|α‒β|小值是，则的单调递增区间是 π2f(x)()A. B.[2kπ‒π3,2kπ+2π3](k ∈Z)[2kπ‒π6,2kπ+5π6](k ∈Z)C.D.[kπ‒π4,kπ+3π4](k ∈Z)[kπ‒π3,kπ+2π3](k ∈Z)【答案】A 【解析】解：，∵f(x)=3sin(π‒ωx)‒sin (5π2+ωx)，，的最小值即为，=3sinωx ‒cosωx =2sin(ωx ‒π6)f(α)=2f(β)=0|α‒β|T 4=π2，∴T =2π=2πω，∴ω=1则f(x)=2sin(x ‒π6)令，，2kπ‒12π≤x ‒π6≤2kπ+12πk ∈z 可得，2kπ‒13π≤x ≤2kπ+2π3故函数的增区间为，，2[kπ‒13π,2kπ+23π]k ∈z 故选：A ．由条件求得的值，可得函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得的单调递ωf(x)增区间．本题主要考查正弦函数的图象特征，正弦函数的单调性，解答本题的关键是对条件的最小值即为的挖掘，属于基础题．|α‒β|T4=π211.在中，BC 边上的中垂线分别交边BC ，AC 于点D ，若，△ABC E.⃗AE ⋅⃗BC =8，则 |⃗AB|=3|⃗AC|=()A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】解：建立平面直角坐标系如图所示，设，，，，B(‒a,0)C(a,0)E(0,b)∠ABC =α由，得，|⃗AB|=3A(‒a +3cosα,3sinα)，，∴⃗AE=(a ‒3cosα,b ‒3sinα)⃗BC =(2a,0)∴⃗AE ⋅⃗BC=2a(a ‒3cosα)+0=2a 2‒6acosα=8，，∴a 2‒3acosα=4又，⃗AC=(2a ‒3cosα,‒3sinα)∴|⃗AC|=(2a ‒3cosα)2+(‒3sinα)2=4a 2‒12acosα+9=4(a 2‒3acosα)+9，=4×4+9=25．∴AC =5故选：C ．根据题意建立平面直角坐标系，设，，，，由，B(‒a,0)C(a,0)E(0,b)∠ABC =α|⃗AB |=3求出点A的坐标，再利用，求出．⃗AE ⋅⃗BC=8|AC|本题考查三角形边长的求法，考查平面向量的坐标表示与数量积运算问题等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查数形结合思想，是中档题．12.设函数，其中，若存在正数，使得f(x)=(x ‒a )2+4(lnx ‒a )2x >0a ∈R.x o 成立，则实数a 的值是 f(x o )≤45()A.B.C.D. 1152512【答案】A【解析】解：函数可以看作是动点与动点之间距离的平方，f(x)M(x,lnx 2)N(a,2a)动点M 在函数的图象上，N 在直线的图象上，y =2lnx y =2x 问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由得，，解得，y =2lnx x =1曲线上点到直线的距离，∴M(1,0)y =2x d =255则，f(x)≥45根据题意，要使，则，此时N 恰好为垂足，f(x 0)≤45f(x 0)=45由，解得．k MN =2a ‒0a ‒1=‒12a =15故选：A ．把函数看作是动点与动点之间距离的平方，利用导数求出曲线M(x,lnx 2)N(a,2a)上与直线平行的切线的切点，得到曲线上点到直线距离的最小值，结合y =2lnx y =2x 题意可得只有切点到直线距离的平方等于，然后由两直线斜率的关系列式求得实数a45的值．本题考查利用导数求曲线上过某点切线的斜率，考查了数形结合和数学转化思想方法，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.双曲线的离心率为______y 2‒x 22=1【答案】3【解析】解：由题意双曲线，，，，．y 2‒x 22=1a =1b =2∴c =3∴e =ca =3故答案为：．3根据双曲线的标准方程，确定几何量，进而利用离心率公式可得结论．本题考查双曲线的标准方程与几何性质，属于基础题．14.已知函数，则______f(x)={x 2+sin π2x ,x ≥1‒f(x +3),x <1f(‒2018)=【答案】‒2【解析】解：函数，∵f(x)={x 2+sin π2x ,x ≥1‒f(x +3),x <1．∴f(‒2018)=f(‒2)=‒f(1)=‒(12+sin π2)=‒2故答案为：．‒2推导出，由此能求出结果．f(‒2018)=f(‒2)=‒f(1)本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15.如图，在三角形OPQ 中，M 、N 分别是边OP 、OQ 的中点，点R 在直线MN 上，且，⃗OR =x ⃗OP +y ⃗OQ (x,y ∈R)则代数式的最小值为______．x 2+y 2‒x ‒y +12【答案】24【解析】解：，N 分别是OP ，OQ 的中点，∵M ，∴⃗OR=x ⃗OP+y ⃗OQ=2x ⃗OM+2y ⃗ON ，N ，R 三点共线，，即．∵M ∴2x +2y =1x +y =12，∴xy ≤(x +y 2)2=116．∴x 2+y 2‒x ‒y +12=(x +y )2‒2xy ‒(x +y)+12=14‒2xy ≥14‒18=24当且仅当时取等号．x =y =14故答案为：．24根据共线定理可得，再利用基本不等式求出最小值．x +y =12本题考查了平面向量的基本定理，基本不等式的应用，属于中档题．16.已知函数，若a 、b 、c 互不相等，且，则f(x)={lnx,0<x ≤e2‒lnx,x >e f(a)=f(b)=f(c)取值范围为______．a +b +c 【答案】(2e +1e ,e 2+2)【解析】解：函数f(x)={|lnx|,0<x ≤e2‒lnx,x >e ，若a ，b ，c 互不相等，且，f(a)=f(b)=f(c)如图，不妨设，a <b <c 由已知条件可知：，0<a <1<b <e <c <e 2，∵‒lna =lnb ∴ab =1，∵lnb =2‒1nc ∴bc =e 2，，∴a +b +c =b +e 2+1b (1<b <e)由，故为减区间，(b +e 2+1b )'=1‒e 2+1b 2<0(1,e)，∴2e +1e <a +b +c <e 2+2的取值范围是：．∴a +b +c (2e +1e ,e 2+2)故答案为：．(2e +1e ,e 2+2)画出函数的图象，判断a ，b ，c 的范围，然后推出的取值范围．a +b +c 本题考查分段函数的应用，函数的零点的判定，考查数形结合的思想方法的应用，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知数列是递减的等比数列，，且，，成等差数列．{a n }a 2=4a 22a 3a 4+3求数列的通项公式；(1){a n }若，求数列的前n 项和．(2)b n =log 2(16a n){1bn b n +2}S n 【答案】解：数列是递减的等比数列，且公比设为q ，(1){a n }，且，，成等差数列，a 2=4a 22a 3a 4+3可得，，即，a 1q =44a 3=a 2+a 4+34a 1q 2=a 1q +a 1q 3+3解得，，a 1=8q =12则；a n =8⋅(12)n ‒1=(12)n ‒4，(2)b n =log 2(16a n)=log 216⋅2n ‒4=n，1b n b n +2=1n(n +2)=12(1n ‒1n +2)前n 项和S n =12(1‒13+12‒14+13‒15+…+1n ‒1‒1n +1+1n ‒1n +2)．=12(32‒1n +1‒1n +2)=34‒2n +32(n +1)(n +2)【解析】设等比数列的公比为q ，运用等比数列的通项公式和等差数列中项性质可(1)得首项和公比的方程，解方程即可得到所求通项公式；由对数的运算性质可得，，再由裂(2)b n =log 216⋅2n ‒4=n 1b n b n +2=1n(n +2)=12(1n ‒1n +2)项相消求和计算可得所求和．本题考查等比数列的通项公式的运用，考查数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18.已知的内角A ，B ，C满足．△ABC sinA ‒sinB +sinC sinC =sinBsinA +sinB ‒sinC求角A ；(1)若的外接圆半径为1，求的面积S 的最大值．(2)△ABC △ABC 【答案】解：设内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，(1)根据，sinA ‒sinB +sinCsinC =sinBsinA +sinB ‒sinC 可得，a ‒b +cc=ba +b ‒c，分∴a 2=b 2+c 2‒bc …(2)，分∴cosA =b 2+c 2‒a 22bc=bc 2bc =12 (4)又，0<A <π；分∴A =π3 (6)由正弦定理得，(2)asinA=2R，分∴a =2RsinA =2sin π3=3 (8)由余弦定理得，分3=b 2+c 2‒bc ≥2bc ‒bc =bc (10)的面积为，∴△ABC S =12bcsinA ≤12×3×32=334当且仅当时取等号，(b =c )面积S 的最大值为分∴△ABC 334…(12)【解析】根据题意，利用正弦、余弦定理，即可求出角A 的值；(1)由正弦、余弦定理，利用三角形面积公式与基本不等式，(2)即可求得面积的最大值．△ABC 本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角形面积公式与基本不等式的应用问题，是中档题．19.已知直角坐标系中，，，A(l,2)B(3,3)C(cosθ+1,sinθ+2)D(4,5)若与平行，求的值；(1)⃗AB ⃗AC sinθ(sinθ‒cosθ)设点P 的坐标为且点P 在的边界及内部运动，若，(2)(x,y)△ABD ⃗OP =m ⃗AB +n ⃗AD 求的最大值．m +n【答案】解：由，，(1)A(l,2)B(3,3)，C(cosθ+1,sinθ+2)得：，，⃗AB =(2,1)⃗AC =(cosθ,sinθ)因为与平行，所以，⃗AB ⃗AC 2sinθ‒cosθ=0即，tanθ=12sinθ(sinθ‒cosθ)=sinθ(sinθ‒cosθ)sin 2θ+cos 2θ，=tan 2θ‒tanθtan 2θ+1=14‒121+1=‒15由题意有：(2)，⃗AD=(3,3),⃗OP=m(2,1)+n(3,3)=(2m +3n,m +3n)则：，，x =2m +3n y =m +3n，m =x ‒y,n =13(2y ‒x),m +n =13(2x ‒y)设，z =13(2x ‒y)由图知，由简单的线性规划得：当，时，x =2y =1即过点时，目标函数z 取最大值：1．A(2,1)故答案为：1．【解析】由向量的坐标表示有，，两向量共线的坐标表(1)⃗AB =(2,1)⃗AC =(cosθ,sinθ)示，即，齐次式的运算2sinθ‒cosθ=0tanθ=12，sinθ(sinθ‒cosθ)=sinθ(sinθ‒cosθ)sin 2θ+cos 2θ=tan 2θ‒tanθtan 2θ+1=14‒1214+1=‒15由可得解简单的线性规划及图象可得解．(2)本题考查了向量的坐标表示、两向量共线的坐标表示、齐次式的运算及简单的线性规划，属中档题．20.用水清洗一堆蔬菜上残留的农药的效果假定如下：用x 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留农药量与这次清洗前残留的农药量之比为．f(x)=11+x 2试解释的实际意义；(1)f(0)现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两(2)a(a >0)次哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药比较少？请说明理由．.【答案】解：表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量没有变化(1)f(0)=1.分 (2)设清洗前蔬菜上的农药量为1，那么用a 单位量的水清洗1次后残留的农药量为 (2).； 分W 1=1×f(a)=11+a 2 (4)又如果用单位量的水清洗1次，残留的农药量为，a21×f(a 2)=11+(a2)2此后再用单位量的水清洗1次后，残留的农药量为a2分W 2=11+(a2)2⋅f(a 2)=[11+(a 2)2]2=16(4+a 2)2.……………………………(8)由于，分W 1‒W 2=11+a 2‒16(4+a 2)2=a 2(a 2‒8)(1+a 2)(4+a 2)2 (9)故当时，，此时，把a 单位量的水平均分成2份后，清洗两次，残留a >22W 1>W 2的农药量较少；当时，，此时，两种清洗方式效果相同；当时，a =22W 1=W 20<a <22，W 1<W 2此时，把a 单位量的水清洗一次，残留的农药量较少分 (12)【解析】求出，然后说明它的实际意义；(1)f(0)设清洗前蔬菜上的农药量为1，那么用a 单位量的水清洗1次后残留的农药量为 (2).；然后求解，通过，推出函数的最值，得到结果即W 1=1×f(a)=11+a 2W 2W 1‒W 2可．本题考查函数的最值的求法，实际应用，考查转化思想以及计算能力．21.已知二次函数b 为常数，且满足条件：f(x)=ax 2+bx(a,a ≠0)，且方程有两相等实根．f(x ‒1)=f(3‒x)f(x)=2x 求的解析式；(1)f(x)设命题p ：“函数在上有零点”，命题q ：“函数(2)y =2f(x)‒t (‒∞,2)在上单调递增”；若命题“”为真命题，求实数g(x)=x 2+t|x ‒2|(0,+∞)p ∨q t 的取值范围．【答案】解：方程有两等根，即有两等根，(1)∵f(x)=2x ax 2+(b ‒2)x =0，解得；∴△=(b ‒2)2=0b =2，得，∵f(x ‒1)=f(3‒x)x ‒1+3‒x2=1是函数图象的对称轴．∴x =1而此函数图象的对称轴是直线，，，x =‒b2a∴‒b2a =1∴a =‒1故分f(x)=‒x 2+2x (6)p 真则；(2)y =2‒x 2+2x‒t,x ∈(‒∞,2),2‒x 2+2x∈(0,2],0<t ≤2；g(x)={x 2‒tx +2t,0<x <2x2+tx ‒2t,x ≥2.若q 真，则，{t 2≤0‒t2≤24‒2t +2t ≤4+2t ‒2t ；∴‒4≤t ≤0若真，则分p ∨q ‒4≤t ≤2 (12)【解析】方程有两等根，通过，解得b ；求出函数图象的对称轴求(1)f(x)=2x △=0.解a ，然后求解函数的解析式．求出两个命题是真命题时，t 的范围，利用真，转化求解即可．(2)p ∨q 本题考查命题的真假的判断与应用，函数的解析式的求法，考查函数与方程的综合应用，考查计算能力．22.设函数，其中b 为常数．f(x)=(x ‒l )2+blnx 判断函数在定义域上的单调性；(1)f(x)求证．(2)132+142+..+1n 2<ln(n +1)(n ≥3,n ∈N ∗)【答案】解：由题意知，的定义域为，(1)f(x)(0,+∞)．f'(x)=2x ‒2+b x=2(x ‒12)2+b ‒12x(x >0)当时，，函数在定义域上单调递增．∴b ≥12f(x)(0,+∞)当令，b <12f'(x)=0得，．x 1=12‒1‒2b 2x 2=12+1‒2b2当时，舍，而，①b ≤0x 1≤0x 2≥1此时：，随x 在定义域上的变化情况如下表：f'(x)f(x)x(0,x 2)x 2(x 2,+∞)f'(x)‒0+f(x)减极小值增当时，，此时：，随x 在定义域上的变化情况如下表：②0<b <120<x 1<x 2f(x)x(0,x 1)(x 1,x 2)(x 2,+∞)+‒+f(x)增减增分……(5)综上：当时，函数在定义域上单调递增；b ≥12f(x)(0,+∞)当时，函数在，上单调递增，在0<b <12f(x)(0,12‒1‒2b 2)(12+1‒2b 2,+∞)上单调递减；(12‒1‒2b 2,12+1‒2b 2)当时，函数在上单调递减，在上单调递增b ≤0f(x)(0,12+1‒2b 2)(12+1‒2b 2,+∞)分 (6)由可知当时，函数，(2)(1)b =‒1f(x)=(x ‒1)2‒lnx 此时有唯一极小值点：f(x)x =12+1‒2b 2=1+32且时，，在递减，x ∈(0,1+32)f'(x)<0f(x)(0,1+32)∵当k ≥3时,0<1<1+1k ≤43<1+32分∴恒有f(1)>f(1+1k ),即恒有0>1k2‒ln (1+1k )=1k 2‒[ln(k +1)‒lnk].……(10)当时，．∴k ≥3恒有ln(k +1)‒lnk >1k 2成立令，4，5，，，k =3…n(n ≥3,n ∈N)相加得分132+142+…+1n 2<ln(n +1)‒ln 3<ln(n +1).……(12)【解析】求出函数的导数，通过讨论b 的范围求出函数的单调性即可；(1)代入，求出函数的唯一极小值点，得到时，(2)b =‒1k ≥3，累加即可．恒有ln(k +1)‒lnk >1k 2成立本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．。
2019届黄冈市高三年级质量检测九月考试理科数学试卷(含答案)
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一、选择题
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二、填空题 13. 3 14.-2
2
15.
4
16.
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1 e
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三、17. 解：（1）设数列 {an} 的公比为 q ，由 a2 , 2a3 , a4 3 成等差数列得 4a3 =a2 +a4 3 ，又
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9届高三名校数学(理)试题金卷10套：(第11卷)湖北省黄冈市2019届高三9月质量检测理数试题解析(解析版)
黄冈市2019年高三9月质量检测理科数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知函数()f x =的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则()R MC N =（ ）A ．{|1}x x <B ．{|1}x x ≥C ．φD ．{|11}x x -<< 【答案】A .考点：1、集合及其基本运算. 2.给定下列两个命题：221:,,0p a b R a ab b ∃∈--<；2p ：在三角形ABC 中，A B >，则sin sin A B >.则下列命题中的真命题为（ ）A ．1pB ．12p p ∧C ．12()p p ∨⌝D ．12()p p ⌝∧ 【答案】D .【解析】试题分析：对于221:,,0p a b R a ab b ∃∈--<，因为0)(4)(22≥---=∆b b ，所以022≥--b ab a ，即命题1p 为假命题；对于2p ：在三角形ABC 中，A B >，则sin sin A B >，因为在三角形ABC 中，大角对大边可知b a >，由正弦定理可得BbA a sin sin =，所以sin sin A B >，即命题2p 为真命题，故应选D .考点：1、命题及其关系.3.设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++=（ ）A ．120B ．105C ．90D ．75 【答案】B .【解析】试题分析：设{}n a 的公差为d ，则由12315a a a ++=可得，1532=a 即52=a ，所以51=+d a ；所以1631=a a ，所以16)2(11=+d a a ，联立方程可得21=a 或81=a ，又因为其公差为正数，所以21=a ，所以3=d ，所以111213a a a ++=105)11(33112=+=d a a ，故应选B . 考点：等差数列.4.若,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列为真命题的是（ ） A ．若,m βαβ⊂⊥，则m α⊥ B ．若//,//m n αα，则//m n C ．若,//m m βα⊥，则αβ⊥ D ．若,αγαβ⊥⊥，则βγ⊥ 【答案】C .考点：1、空间直线与直线的位置关系；2、空间直线与平面的位置关系.5.设条件2:210p ax ax -+>的解集是实数集R ；条件:01q a <<，则条件p 是条件q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要【答案】C . 【解析】试题分析：因为条件2:210p ax ax -+>的解集是实数集R ，所以当0=a 时，显然满足条件；当0≠a 时，⎩⎨⎧<∆>00a 即10<<a ，所以条件p 是条件q 成立的充要条件，故应选C . 考点：1、充分条件；2、必要条件.6.函数()(1)ln ||f x x x =-的图象大致为（ ）【答案】A .考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用；2、函数的图像.【思路点睛】本题主要考查了导数在研究函数的单调性中的应用和函数的图像，具有一定的综合性，属中档题.其解题的一般思路为：首先观察函数的表达式的特征如0)1(=f ，然后运用导数在研究函数的单调性和极值中的应用求出函数的单调区间，进而判断选项，最后将所选的选项进行验证得出答案即可. 其解题的关键是合理地分段求出函数的单调性.7.已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ）A ．3B ．3+C ．1+D ．1+【答案】B .考点：1、三视图；2、空间几何体的体积、面积的计算. 8.函数()sin()(0)f x A x A ϕ=+>在3x π=处取得最小值，则（ ）A ．()3f x π+是奇函数B ．()3f x π+是偶函数 C ．()3f x π-是奇函数 D ．()3f x π-是偶函数 【答案】B .【解析】试题分析：因为函数()sin()(0)f x A x A ϕ=+>在3x π=处取得最小值，所以A A -=+)3sin(ϕπ，即1)3sin(-=+ϕπ，所以Z k k ∈+-=+,223ππϕπ，即Z k k ∈+-=,265ππϕ，所以()sin()(0)f x A x A ϕ=+>)65sin(π-=x A ，所以()3f x π+x A x A cos )653sin(-=-+=ππ为偶函数，所以应选B .考点：1、三角函数的图像与性质；2、函数的奇偶性.9.在Rt ABC ∆中，90BCA ∠=，6AC BC ==，M 为斜边AB 的中点，N 为斜边AB 上一点，且MN =CM CN ∙的值为（ ）A ．B ．16C ．24D ．18 【答案】D .考点：1、平面向量的应用.10.设12x <<，则ln x x ，2ln ()x x，22ln x x 的大小关系是（ ）A ．222ln ln ln ()x x x x x x <<B ．222ln ln ln ()x x x x x x <<C ．222ln ln ln ()x x x x x x <<D ．222ln ln ln ()x x x x x x<< 【答案】A . 【解析】试题分析：令21,ln )(<<-=x x x x f ，则011)('>-=xx f ，所以函数21,ln )(<<-=x x x x f 为增函数，所以01)1(ln )(>=>-=f x x x f ，所以0ln >>x x ，即0ln 1>>x x ，所以x x x x ln ln 2<⎪⎭⎫ ⎝⎛；又因为0ln ln 2ln ln 222>-=-x x x x x x x x ，所以222ln ln ln ()x x x x x x<<，故应选A . 考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用.11..设12,F F 是双曲线2214y x -=的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使22()0OP OF F P +∙=（O 为坐标原点）且12||||PF PF λ=，则λ的值为（ ）A ．2B ．12 C ．3 D ．13【答案】A .考点：1、双曲线的简单几何性质；2、双曲线的概念．【方法点睛】本题考查了双曲线的定义和双曲线的简单几何性质，考查学生综合知识能力和图形识别能力，属中档题.其解题方法为：首先设出点),41(2m m P +的坐标，然后运用已知平面向量的数量积的运算即可求出参数m 的值，进而得出点P 的坐标，最后运用双曲线的第二定义即可求出2PF 的长度，进而得出1PF的长度，进而得出所求的结果.12.已知()||xf x x e =∙，又2()()()()g x f x t f x t R =+∙∈，若满足()1g x =-的x 有四个，则t 的取值范围为（ ）A ．21(,)e e ++∞B ．21(,)e e +-∞-C ．21(,2)e e +--D ．21(2,)e e+【答案】B . 【解析】考点：1、函数与方程；2、函数的图像与性质；3、导数的综合应用.【思路点睛】本题主要考查了函数与方程、分段函数的应用、函数的图像与性质和导数的综合应用，考查学生综合知识能力，属中高档题.其解题的一般思路为：首先将函数)(x f 用分段函数表示出来，然后分别利用导数判断其各段的函数的单调性，进而得出其极值，再结合函数的图像即可得出方程m x f =)(的解的情况.其解题的关键是数形结合在分段函数中的应用.第Ⅱ卷（共90分）（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知抛物线2:2(0)C y px p =>上一点(4,)A m 到其焦点的距离为174，则p 的值为 .【答案】21=p . 【解析】试题分析：由抛物线的定义可知，抛物线2:2(0)C y px p =>上一点(4,)A m 到其焦点的距离等于其到准线的距离，即17442+=p ，所以21=p .考点： 1、抛物线.14.设函数24,0()3,0x x f x x x ⎧->=⎨--<⎩，若()(1)f a f >，则实数a 的取值范围是 .【答案】(-∞，-1)∪(1，+∞). 【解析】试题分析：由题意知，242)1(-=-=f ，当0>a 时，42)(-=aa f ，由()(1)f a f >可得242->-a，即1>a ；当0<a 时，3)(--=a a f ，由()(1)f a f >可得23->--a ，即1-<a ；所以实数a 的取值范围是(-∞，-1)∪(1，+∞). 考点：1、分段函数的应用.15.已知向量,a b 满足||2a =，||1b =，a 与b 的夹角为3π，则a 与2a b +的夹角为 .【答案】6π.考点：1、平面向量的数量积的应用.【易错点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的应用，属中档题.其解题过程中最容易出现以下错误：其一是不能正确地运用平面向量的数量积计算出其数量积，进而导致出现错误；其二不能正确运用数量积的概念求解两向量的夹角的大小，进而导致出现错误.其解题的关键是正确运用平面向量的数量积在解题中的应用.16.对于函数sin ,[0,2]()1(2),(2,)2x x f x f x x π∈⎧⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列3个命题：①任取12,[0,)x x ∈+∞，都有12|()()|2f x f x -≤恒成立； ②*()2(2)()f x kf x k k N =+∈，对于一切[0,)x ∈+∞恒成立；③函数()ln(1)y f x x =--在(1,)+∞上有3个零点； 则其中所有真命题的序号是 . 【答案】①③. 【解析】试题分析：函数sin ,[0,2]()1(2),(2,)2x x f x f x x π∈⎧⎪=⎨-∈+∞⎪⎩的图像如图所示：考点：1、分段函数；2、函数的图像及其性质.【思路点睛】本题主要考查了分段函数的应用和函数的图像及其性质，考查综合知识能力的应用，属高中档题.其解题的一般思路为：首先根据已知条件可画出函数)(x f 的图像，然后结合函数的图像得出函数)(x f 的最大值和最小值，并得出函数的零点问题，进而得出所求的结果即可.其解题的关键是正确地运用数形结合求解分段函数的问题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且sin cos c C c A =-.（1）求A ；（2）若1a =，ABC ∆，求,b c . 【答案】（1）A=3π；（2）b=c=1．【解析】试题分析：（1）结合已知条件并运用正弦定理即可得出21)6sin(=-πA ，再由三角形内角和为π即可得出角A 的大小即可；（2）由三角形的面积公式S=12bcsinA 即可求出bc 的值，然后结合（1）并运用余弦定理即可得出关于b,c 的另一个等式关系，再联立方程组即可求出b,c 的值即可.试题解析：（1）由已知结合正弦定理可得﹣sinCcosA ，∵sinC ≠0，∴sinA ﹣cosA=2sin （A ﹣6π），即sin （A ﹣6π）=12， 又∵A ∈（0，π），∴A ﹣6π∈（﹣6π，56π），∴A ﹣6π=6π，∴A=3π. （2）S=12bcsinA ，即34=12bc 32，∴bc=1，①又∵a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=（b +c ）2﹣2bc ﹣2bccos 3π，即1=（b +c ）2﹣3，且b ，c 为正数，∴b +c=2，②由①②两式解得b=c=1．考点：1、三角恒等变换；2、正弦定理在解三角中的应用；3、余弦定理在解三角中的应用. 【方法点睛】本题主要考查了三角恒等变换、正弦定理在解三角中的应用和余弦定理在解三角中的应用，属中档题. 其解题方法是：首先运用正弦定理或余弦定理将已知条件进行转化，然后运用辅助角公式即可求出角A 的大小，再运用三角形的面积公式可得出关于b,c 的方程组，进而可求出答案即可. 其解题的关键是正确的运用三角恒等变换和正弦、余弦定理在实际问题中的应用.18.（本小题满分12分）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x 满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”. :()2x p f x m =+为定义在[1,1]-上的“局部奇函数”； :q 方程2(51)10x m x +++=有两个不等实根；若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求m 的取值范围. 【答案】54m <-或315m -<<-或15m >.试题解析：若p 为真，则由于()2xf x m =+为[1,1]-的局部奇函数，从而()()0f x f x +-=，即2220x x m -++=在[1,1]-上有解，令12[,2]2x t =∈，则12m t t -=+，又1()g t t t=+在1[,1)2上递减，在[1,2]上递增，从而5()[2,]2g t ∈，得52[2,]2m -∈，故有514m -≤≤-. 若q 为真，则有2(51)40m ∆=+->，得35m <-或15m >. 又由“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，则p 与q 一真一假；若p 真q 假，则5143155m m ⎧-≤≤-⎪⎪⎨⎪-≤≤⎪⎩，得无交集；若p 假q 真，则5141355m m m m ⎧>-<-⎪⎪⎨⎪><-⎪⎩或或，得54m <-或315m -<<-或15m >，综上知m 的取值范围为54m <-或315m -<<-或15m >.考点：1、命题及其关系；2、一元二次方程问题；3、指数函数问题.【方法点睛】本题主要考查了命题及其关系、一元二次方程问题和指数函数问题，考查学生综合运用知识的能力，属中档题. 其解题的一般方法为：首先运用二次函数在区间上的最值和一元二次方程根的情况分别求出命题p ，q 为真命题时所满足的m 的取值范围；然后运用补集的思想和命题间的基本关系即可求出满足题意的参数m 的取值范围. 19.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(3,3)A B ，点C 在第二象限，且ABC ∆是以BAC ∠为直角的等腰直角三角形，点(,)P x y 在ABC ∆三边围成的区域内（含边界）. （1）若0PA PB PC ++=，求||OP ；（2）设(,)OP mAB nAC m n R =+∈，求2m n +的最大值.【答案】（1）58||OP =（2）52.试题解析：（1）A （1,1），B （3,3），ABC ∆是以BAC ∠为直角的等腰直角三角形且C 在第二象限，(1,3)C ∴- ，0PA PB PC ++=，P 是ABC ∆的重心，7(1,)3P ∴，58||OP =(2) (,)OP mAB nAC m n R =+∈,(2,2),(2,2)AB AC ==-，(,)(22,22)x y m n m n =-+，3,,2444x y y x y xm n m n +--==+=，有线性规划知3y x -的最大值为10，此时1,3x y =-=2m n +的最大值为52.考点：1、平面向量的坐标运算；2、平面向量的数量积的应用；3、线性规划问题.【方法点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积的应用和线性规划问题，属中档题.（1）直接运用平面向量的坐标运算即可求出点P 的坐标，进而得出向量的长度；（2）首先设出点P 的坐标，然后结合已知可求出关于n m ,与x,y 的关系式，最后运用线性规划即可求出所求的结果.其解题的关键是正确地运用平面向量的坐标运算求解实际问题. 20.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，向量(,)n a S n =，(97,2)b n =-，且a 与b 共线. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意*m N ∈，将数列{}n a 中落入区间2(9,9)mm内的项的个数记为m b ，求数列{}m b 的前m 项和m T .【答案】（1）a n ＝9n －8(n ∈N *)；（2）299110980m m ⨯+-⨯.(2)对m ∈N *，若9m ＜a n ＜92m ，则9m ＋8＜9n ＜92m ＋8. 因此9m －1＋1≤n ≤92m －1.故得b m ＝92m －1－9m －1.于是T m ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b m ＝(9＋93＋…＋92m －1)－(1＋9＋…＋9m －1)＝9(181)1918119m m ----- ＝299110980m m⨯+-⨯.考点：1、等差数列；2、等比数列的前n 项和. 21.（本小题满分12分） 已知函数2()28f x x x =--.（1）若对3x >，不等式()(2)15f x m x m >+--恒成立，求实数m 的取值范围； （2）记1()()42h x f x =--，那么当12k ≥时，是否存在区间[,]()m n m n <使得函数在区间[,]m n 上的值域恰好为[,]km kn ？若存在，请求出区间[,]m n ；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）(,2]-∞；（Ⅱ）当112k ≤<时，[,][0,22]m n k =-，当1k >时，[,][22,0]m n k =-，当1k =时，不存在区间.试题解析：(1) 2()28f x x x =--, 228(2)15x x m x m -->+--，即2(4)70x m x m -+++>对3x >恒成立，则①43293(4)70m m m +⎧≤⎪⎨⎪-+++≥⎩或②2(4)4(7)0m m ∆=+-+≤，解得①2m ≤或 ②62m -≤≤综合得m 的取值范围为(,2]-∞.（注：亦可分离变量2471x x m x -+<-对3x >恒成立，）（2）22111()(1)222h x x x x =-+=--+，max 1()2kn h x ≤=，,12n k ≤，又12k ≥，∴1n ≤，∴()h x 在[,]m n 上单调递增，()()h m km h n kn =⎧⎨=⎩，221212m m kmn n kn⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，m,n 是方程-12x 2+(1-k)x=0的两根，x 1=0,x 2=2-2k ∴当112k ≤<时，[,][0,22]m n k =-，当1k >时，[,][22,0]m n k =-，当1k =时，不存在区间.考点：1、二次函数的图像与性质；2、恒成立问题.【易错点睛】本题考查二次函数的图像与性质和恒成立问题，渗透着函数与方程、函数与不等式之间的转化关系，属中档题. 其解题过程中容易出现以下错误：其一是不能正确地将恒成立问题转化为一元二次方程或二次函数根的分布情况进行解题，导致无法求解；其二是不能正确地利用函数的单调性求解值域问题，导致解题错误. 22.（本小题满分12分）已知函数2()ln ,f x x ax x a R =+-∈.（1）若函数()f x 在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围；（2）令2()()g x f x x =-，是否存在实数a ，当(0,]x e ∈（e 是自然常数）时，函数()g x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. （3）当(0,]x e ∈时，证明：225(1)ln 2e x x x x ->+. 【答案】（1）72a ≤-；（2）存在实数a=e 2，使得当x ∈（0，e ]时g （x ）有最小值3；（3）详见解析．试题解析：（1）2'121()20x ax f x x a x x +-=+-=≤在[1，2]上恒成立，令h （x ）=2x2+ax ﹣1，有(1)0(2)0h h ≤⎧⎨≤⎩得172a a ≤-⎧⎪⎨≤-⎪⎩，得72a ≤-. （2）假设存在实数a ，使g （x ）=ax ﹣lnx （x ∈（0，e]）有最小值3，'11()ax g x a x x -=-=①当a≤0时，g （x ）在（0，e]上单调递减，g （x ）min=g （e ）=ae ﹣1=3，4a e =（舍去），②当10e a <<时，g （x ）在1(0,)a 上单调递减，在1(,]e a 上单调递增∴min 1()()1ln 3g x g a a ==+=，a=e2，满足条件．③当1ea≥时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，4ae=（舍去），综上，存在实数a=e2，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．（3）令F（x）=e2x﹣lnx，由（2）知，F（x）min=3．令ln5()2xxxφ=+，'21ln()xxxφ-=，当0＜x≤e时，ϕ'（x）≥0，φ（x）在（0，e]上单调递增∴max1515 ()()3222x eeφφ==+<+=∴2ln5ln2xe x xx->+，即225(1)ln2e x x x x->+．考点：1、导数在研究函数的单调性与极值；2、构造函数法；。
湖北省黄冈市2019届高三9月质量检测数学(理)试题(精品解析)
湖北省黄冈市2019届高三9月质量检测数学（理）试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U=R，集合A={x|x−3<0}，B={x|2x>14}.那么集合A∩∁U B等于( )A. {x|−2≤x≤3}B. {x|−2<x<3}C. {x|x≤−2}D. {x|x<3}【答案】C【解析】解：A={x|x−3<0}={x|x<3}，B={x|2x>14}={x|x>−2}．则∁U B={x|x≤−2}，则A∩∁U B={x|x≤−2}，故选：C．求出集合A，B的等价条件，结合集合交集，补集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．2.已知复数z为纯虚数，且|z1−i|=1，则z=()A. ±2iB. ±√2iC. √2iD. i【答案】B【解析】解：∵|z1−i|=1，∴|z|=|1−i|=√2，又复数z为纯虚数，∴z=±√2i，故选：B．由|z1−i|=1，利用复数的模的运算性质可得：|z|=|1−i|=√2，再根据复数z为纯虚数，即可得出．本题考查了复数的模的运算性质、纯虚数，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.已知角α的终边经过点P(sin47∘,cos47∘)，则sin(α−13∘)=()A. 12B. √32C. −12D. −√32【答案】A【解析】解：∵r=|OP|=√sin247∘+cos247∘=1，∴sinα=cos47∘1=cos47∘，cosα=sin47∘1=sin47∘，则sin(α−13∘)=sinαcos13∘−cosαsin13∘=cos47∘cos13∘−sin47∘sin13∘=cos(47∘+ 13∘)=cos60∘=12，故选：A．根据三角函数的定义求出sinα和cosα，结合两角和差的正弦公式和余弦公式进行化简即可．本题主要考查三角函数的化简和求解，利用三角函数的定义结合两角和差的正弦公式是解决本题的关键．4.若l，m为两条不同的直线，α为平面，且l⊥α，则“m//α”是“m⊥l”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：由l⊥α，“m//α”⇒m⊥l.反之不成立，可能m⊂α．因此“m//α”是“m⊥l”的充分不必要条件．故选：A．由l⊥α，“m//α”⇒m⊥l.反之不成立，可能m⊂α.即可判断出关系．本题考查了空间位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.已知点A(4,m)在抛物线C：y2=2px上，设抛物线C的焦点为F，若|AF|=5，则P=()A. 4B. 2C. 1D. −2【答案】B【解析】解：抛物线C：y2=2px的焦点F(p2,0)，准线方程为x=−p2，点A(4,m)在抛物线C：y2=2px上，若|AF|=5，可得4+p2=5，解得p=2，故选：B．求得抛物线的准线方程，运用抛物线的定义可得4+p2=5，解方程可得所求值．本题考查抛物线的定义、方程和性质，注意运用方程思想和定义法解题，属于基础题．6.下列有关命题的说法中错误的是()A. 若p ∨q 为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题B. 命题：“若y =f(x)是幂函数，则y =f(x)的图象不经过第四象限”的否命题是假命题C. 命题“∀n ∈N ∗，有f(n)∈N ∗且f(n)≤n ”的否定形式是“∃n 0∈N ∗，有f(n 0)∈N ∗且f(n 0)>n 0”D. 设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a|a|>b|b|”的充要条件【答案】C【解析】解：若p ∨q 为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题，故A 正确； “若y =f(x)是幂函数，则y =f(x)的图象不经过第四象限”的否命题是“若y =f(x)不是幂函数，则y =f(x)的图象经过第四象限”，是假命题，如指数函数，故B 正确； 命题“∀n ∈N ∗，有f(n)∈N ∗且f(n)≤n ”的否定形式是“∃n 0∈N ∗，有f(n 0)∉N ∗或f(n 0)>n 0，故C 错误； 设f(x)=x|x|，则f(x)={−x 2,x <0x 2,x≥0，则当x ≥0时，函数f(x)为增函数，当x <0时，函数f(x)为增函数，∵f(0)=0，∴函数f(x)在(−∞,+∞)上是增函数，则若a >b ，则f(a)>f(b)，即a|a|>b|b|成立，则“a >b ”是“a|a|>b|b|”的充要条件，故D 正确． ∴说法中错误的是C ． 故选：C ．由复合命题的真假判断判定A ；写出命题的否定并举例判定B ；写出全程命题的否定判断C ；设f(x)=x|x|，由函数的单调性判断D ．本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题，含有量词的命题的否定，复合命题以及充分条件和必要条件的判断，知识点较多综合性较强，但难度不大，是基础题．7. 如图所示的三视图表示的几何体的体积为323，则该几何体的外接球的表面积为( )A. 12πB. 24πC. 36πD. 48π【答案】C【解析】解：由三视图可得该几何体为底面边长为4、m ， 一条侧棱垂直底面的四棱锥，高为4， 则13×4×4m =323，解得m =2，将该几何体补成一个长方体，则其外接球半径为R =12√16+m 2+16=3， 故这个几何体的外接球的表面积为4πR 2=36π． 故选：C ．由三视图可得该几何体为底面边长为4、m ，一条侧棱垂直底面的四棱锥，将该几何体补成一个长方体，求出外接球半径，代入球表面积公式，可得答案．本题考查了由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键.属于中档题．8. 《九章算术》是我国古代的数字名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各德几何.”其意思为“已知A 、B 、C 、D 、E 五人分5钱，A 、B 两人所得与C 、D 、E 三人所得相同，且A 、B 、C 、D 、E 每人所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位).在这个问题中，E 所得为( )A. 23钱B. 43钱C. 56钱D. 32钱【答案】A【解析】解：由题意：设A =a −4d ，B =a −3d ，C =a −2d ，D =a −d ，E =a ， 则{2a −7d =3a −3d 5a−10d=5， 解得a =23， 故E 所得为23钱. 故选：A ．设A =a −4d ，B =a −3d ，C =a −2d ，D =a −d ，E =a ，列出方程组，能求出E 所得．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质、等差数列的性质的合理运用．9. 函数f(x)=(21+e x −1)cosx(其中e 为自然对数的底数)图象的大致形状是( )A. B.C. D. 【答案】B【解析】解：f(x)=(21+e x −1)cosx=1−e x1+e xcosx，f(−x)=1−e−x1+e−x cos(−x)=e x−1e x+1cosx=−f(x)．∴f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除A，C；当0<x<π2时，e x>1，cosx>0，∴f(x)=1−e x1+e xcosx<0，故选：B．判断f(x)的单调性，再根据f(x)在(0,π2)上的函数值的符号得出答案．本题考查了函数图象的判断，只有函数单调性、奇偶性的应用，属于中档题．10.若函数f(x)=√3sin(π−ωx)−sin(5π2+ωx)，且f(α)=2，f(β)=0，|α−β|的最小值是π2，则f(x)的单调递增区间是()A. [2kπ−π3,2kπ+2π3](k∈Z) B. [2kπ−π6,2kπ+5π6](k∈Z)C. [kπ−π4,kπ+3π4](k∈Z) D. [kπ−π3,kπ+2π3](k∈Z)【答案】A【解析】解：∵f(x)=√3sin(π−ωx)−sin(5π2+ωx)，=√3sinωx−cosωx=2sin(ωx−π6 )f(α)=2，f(β)=0，|α−β|的最小值即为T4=π2，∴T =2π=2πω，∴ω=1，则f(x)=2sin(x −π6)令2kπ−12π≤x −π6≤2kπ+12π，k ∈z ， 可得2kπ−13π≤x ≤2kπ+2π3，故函数的增区间为2[kπ−13π,2kπ+23π]，k ∈z ， 故选：A ．由条件求得ω的值，可得函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得f(x)的单调递增区间．本题主要考查正弦函数的图象特征，正弦函数的单调性，解答本题的关键是对条件|α−β|的最小值即为T4=π2的挖掘，属于基础题．11. 在△ABC 中，BC 边上的中垂线分别交边BC ，AC 于点D ，E.若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =8，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=( ) A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】解：建立平面直角坐标系如图所示， 设B(−a,0)，C(a,0)，E(0,b)，∠ABC =α， 由|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，得A(−a +3cosα,3sinα)， ∴AE⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −3cosα,b −3sinα)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2a,0)， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a(a −3cosα)+0=2a 2−6acosα=8， ∴a 2−3acosα=4，又AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2a −3cosα,−3sinα)， ∴|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=(2a −3cosα)2+(−3sinα)2 =4a 2−12acosα+9 =4(a 2−3acosα)+9 =4×4+9 =25， ∴AC =5． 故选：C ．根据题意建立平面直角坐标系，设B(−a,0)，C(a,0)，E(0,b)，∠ABC =α，由|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，求出点A 的坐标，再利用AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =8，求出|AC|．本题考查三角形边长的求法，考查平面向量的坐标表示与数量积运算问题等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查数形结合思想，是中档题．12. 设函数f(x)=(x −a)2+4(lnx −a)2，其中x >0，a ∈R.若存在正数x o ，使得f(x o )≤45成立，则实数a 的值是( )A. 15B. 25C. 12D. 1【答案】A【解析】解：函数f(x)可以看作是动点M(x,lnx 2)与动点N(a,2a)之间距离的平方， 动点M 在函数y =2lnx 的图象上，N 在直线y =2x 的图象上， 问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离， 由y =2lnx 得，，解得x =1，∴曲线上点M(1,0)到直线y =2x 的距离d =2√55， 则f(x)≥45，根据题意，要使f(x 0)≤45，则f(x 0)=45，此时N 恰好为垂足， 由k MN =2a−0a−1=−12，解得a =15．故选：A ．把函数看作是动点M(x,lnx 2)与动点N(a,2a)之间距离的平方，利用导数求出曲线y =2lnx 上与直线y =2x 平行的切线的切点，得到曲线上点到直线距离的最小值，结合题意可得只有切点到直线距离的平方等于45，然后由两直线斜率的关系列式求得实数a 的值． 本题考查利用导数求曲线上过某点切线的斜率，考查了数形结合和数学转化思想方法，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 双曲线y 2−x 22=1的离心率为______【答案】√3【解析】解：由题意双曲线y 2−x 22=1，a =1，b =√2，∴c =√3，∴e =ca =√3．故答案为：√3．根据双曲线的标准方程，确定几何量，进而利用离心率公式可得结论． 本题考查双曲线的标准方程与几何性质，属于基础题．14. 已知函数f(x)={x 2+sin π2x ,x ≥1−f(x +3),x <1，则f(−2018)=______【答案】−2【解析】解：∵函数f(x)={x 2+sin π2x ,x ≥1−f(x +3),x <1，∴f(−2018)=f(−2)=−f(1)=−(12+sin π2)=−2．故答案为：−2．推导出f(−2018)=f(−2)=−f(1)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15. 如图，在三角形OPQ 中，M 、N 分别是边OP 、OQ 的中点，点R 在直线MN 上，且OR ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (x,y ∈R)，则代数式√x 2+y 2−x −y +12的最小值为______．【答案】√24【解析】解：∵M ，N 分别是OP ，OQ 的中点， ∴OR ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2y ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵M ，N ，R 三点共线，∴2x +2y =1，即x +y =12． ∴xy ≤(x+y 2)2=116，∴√x 2+y 2−x −y +12=√(x +y)2−2xy −(x +y)+12=√14−2xy ≥√14−18=√24． 当且仅当x =y =14时取等号． 故答案为：√24．根据共线定理可得x +y =12，再利用基本不等式求出最小值． 本题考查了平面向量的基本定理，基本不等式的应用，属于中档题．16. 已知函数f(x)={2−lnx,x >e lnx,0<x≤e，若a 、b 、c 互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则a +b +c 取值范围为______． 【答案】(2e +1e ,e 2+2)【解析】解：函数f(x)={2−lnx,x >e |lnx|,0<x≤e， 若a ，b ，c 互不相等， 且f(a)=f(b)=f(c)，如图，不妨设a <b <c ， 由已知条件可知：0<a <1<b <e <c <e 2， ∵−lna =lnb ，∴ab =1 ∵lnb =2−1nc ∴bc =e 2， ∴a +b +c =b +e 2+1b，(1<b <e)，由(b +e 2+1b )′=1−e 2+1b 2<0，故(1,e)为减区间，∴2e +1e<a +b +c <e 2+2，∴a +b +c 的取值范围是：(2e +1e ,e 2+2)． 故答案为：(2e +1e ,e 2+2)．画出函数的图象，判断a ，b ，c 的范围，然后推出a +b +c 的取值范围．本题考查分段函数的应用，函数的零点的判定，考查数形结合的思想方法的应用，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知数列{a n }是递减的等比数列，a 2=4，且a 2，2a 3，a 4+3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n =log 2(16a n)，求数列{1bn b n+2}的前n 项和S n ．【答案】解：(1)数列{a n }是递减的等比数列，且公比设为q ， a 2=4，且a 2，2a 3，a 4+3成等差数列，可得a 1q =4，4a 3=a 2+a 4+3，即4a 1q 2=a 1q +a 1q 3+3， 解得a 1=8，q =12， 则a n =8⋅(12)n−1=(12)n−4；(2)b n =log 2(16a n)=log 216⋅2n−4=n ，1b n b n+2=1n(n+2)=12(1n −1n+2)，前n项和S n=12(1−13+12−14+13−15+⋯+1n−1−1n+1+1n−1n+2)=12(32−1n+1−1n+2)=34−2n+32(n+1)(n+2)．【解析】(1)设等比数列的公比为q，运用等比数列的通项公式和等差数列中项性质可得首项和公比的方程，解方程即可得到所求通项公式；(2)由对数的运算性质可得b n=log216⋅2n−4=n，1b n b n+2=1n(n+2)=12(1n−1n+2)，再由裂项相消求和计算可得所求和．本题考查等比数列的通项公式的运用，考查数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18.已知△ABC的内角A，B，C满足sinA−sinB+sinCsinC =sinBsinA+sinB−sinC．(1)求角A；(2)若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值．【答案】解：(1)设内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，根据sinA−sinB+sinCsinC =sinBsinA+sinB−sinC，可得a−b+cc =ba+b−c，∴a2=b2+c2−bc，…(2分)∴cosA=b2+c2−a22bc =bc2bc=12，…(4分)又0<A<π，∴A=π3；…(6分)(2)由正弦定理得asinA=2R，∴a=2RsinA=2sinπ3=√3，…(8分)由余弦定理得3=b2+c2−bc≥2bc−bc=bc，…(10分)∴△ABC的面积为S=12bcsinA≤12×3×√32=3√34，(当且仅当b=c时取等号)，∴△ABC面积S的最大值为3√34…(12分)【解析】(1)根据题意，利用正弦、余弦定理，即可求出角A的值；(2)由正弦、余弦定理，利用三角形面积公式与基本不等式，即可求得△ABC面积的最大值．本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角形面积公式与基本不等式的应用问题，是中档题．19. 已知直角坐标系中A(l,2)，B(3,3)，C(cosθ+1,sinθ+2)，D(4,5)(1)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC⃗⃗⃗⃗⃗ 平行，求sinθ(sinθ−cosθ)的值； (2)设点P 的坐标为(x,y)且点P 在△ABD 的边界及内部运动，若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求m +n 的最大值．【答案】解：(1)由A(l,2)，B(3,3)，C(cosθ+1,sinθ+2)，得：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ,sinθ)， 因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 平行，所以2sinθ−cosθ=0， 即tanθ=12，sinθ(sinθ−cosθ)=sinθ(sinθ−cosθ)sin 2θ+cos 2θ=tan 2θ−tanθtan 2θ+1 =14−1214+1=−15，(2)由题意有：AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,3),OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m(2,1)+n(3,3)=(2m +3n,m +3n)， 则：x =2m +3n ，y =m +3n ，m =x −y,n =13(2y −x),m +n =13(2x −y)， 设z =13(2x −y)，由图知，由简单的线性规划得：当x =2，y =1时， 即过点A(2,1)时，目标函数z 取最大值：1． 故答案为：1．【解析】(1)由向量的坐标表示有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ,sinθ)，两向量共线的坐标表示2sinθ−cosθ=0，即tanθ=12，齐次式的运算sinθ(sinθ−cosθ)=sinθ(sinθ−cosθ)sin 2θ+cos 2θ=tan 2θ−tanθtan 2θ+1=14−1214+1=−15，(2)由可得解简单的线性规划及图象可得解．本题考查了向量的坐标表示、两向量共线的坐标表示、齐次式的运算及简单的线性规划，属中档题．20. 用水清洗一堆蔬菜上残留的农药的效果假定如下：用x 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留农药量与这次清洗前残留的农药量之比为f(x)=11+x 2． (1)试解释f(0)的实际意义；(2)现有a(a>0)单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次.哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药比较少？请说明理由．【答案】解：(1)f(0)=1.表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量没有变化.……………(2分)(2)设清洗前蔬菜上的农药量为1，那么用a单位量的水清洗1次后.残留的农药量为W1=1×f(a)=11+a2；…………………(4分)又如果用a2单位量的水清洗1次，残留的农药量为1×f(a2)=11+(a2)2，此后再用a2单位量的水清洗1次后，残留的农药量为W2=11+(a2)2⋅f(a2)=[11+(a2)2]2=16(4+a2)2.……………………………(8分)由于W1−W2=11+a2−16(4+a2)2=a2(a2−8)(1+a2)(4+a2)2，………………………(9分)故当a>2√2时，W1>W2，此时，把a单位量的水平均分成2份后，清洗两次，残留的农药量较少；当a=2√2时，W1=W2，此时，两种清洗方式效果相同；当0<a<2√2时，W1<W2，此时，把a单位量的水清洗一次，残留的农药量较少.…………………(12分)【解析】(1)求出f(0)，然后说明它的实际意义；(2)设清洗前蔬菜上的农药量为1，那么用a单位量的水清洗1次后.残留的农药量为W1=1×f(a)=11+a2；然后求解W2，通过W1−W2，推出函数的最值，得到结果即可．本题考查函数的最值的求法，实际应用，考查转化思想以及计算能力．21.已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数，且a≠0)满足条件：f(x−1)=f(3−x)，且方程f(x)=2x有两相等实根．(1)求f(x)的解析式；(2)设命题p：“函数y=2f(x)−t在(−∞,2)上有零点”，命题q：“函数g(x)=x2+t|x−2|在(0,+∞)上单调递增”；若命题“p∨q”为真命题，求实数t的取值范围．【答案】解：(1)∵方程f(x)=2x有两等根，即ax2+(b−2)x=0有两等根，∴△=(b−2)2=0，解得b=2；∵f(x−1)=f(3−x)，得x−1+3−x2=1，∴x=1是函数图象的对称轴．而此函数图象的对称轴是直线x=−b2a ，∴−b2a=1，∴a=−1，故f(x)=−x2+2x……………………………………………(6分)(2)y=2−x2+2x−t,x∈(−∞,2),2−x2+2x∈(0,2], p真则0<t≤2；g(x)={x 2+tx −2t,x ≥2.x 2−tx+2t,0<x<2；若q 真，则{t 2≤0−t 2≤24−2t +2t ≤4+2t −2t ，∴−4≤t ≤0；若p ∨q 真，则−4≤t ≤2.……………………………………………(12分)【解析】(1)方程f(x)=2x 有两等根，通过△=0，解得b ；求出函数图象的对称轴.求解a ，然后求解函数的解析式．(2)求出两个命题是真命题时，t 的范围，利用p ∨q 真，转化求解即可．本题考查命题的真假的判断与应用，函数的解析式的求法，考查函数与方程的综合应用，考查计算能力．22. 设函数f(x)=(x −l)2+blnx ，其中b 为常数．(1)判断函数f(x)在定义域上的单调性；(2)求证132+142+..+1n 2<ln(n +1)(n ≥3,n ∈N ∗)． 【答案】解：(1)由题意知，f(x)的定义域为(0,+∞)， f′(x)=2x −2+bx =2(x−12)2+b−12x(x >0)．∴当b ≥12时，，函数f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增．当b <12令f′(x)=0， 得x 1=12−√1−2b 2，x 2=12+√1−2b 2．①当b ≤0时，x 1≤0舍，而x 2≥1，此时：f′(x)，f(x)随x 在定义域上的变化情况如下表： x(0,x 2) x 2(x 2,+∞) f′(x) −0 +f(x)减极小值增②当0<b <12时，0<x 1<x 2，此时：，f(x)随x 在定义域上的变化情况如下表： x(0,x 1)(x 1,x 2) (x 2,+∞) +−+……(5分)综上：当b ≥12时，函数f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增；当0<b <12时，函数f(x)在(0,12−√1−2b 2)，(12+√1−2b2,+∞)上单调递增，在(12−√1−2b 2,12+√1−2b2)上单调递减； 当b ≤0时，函数f(x)在(0,12+√1−2b 2)上单调递减，在(12+√1−2b2,+∞)上单调递增.……(6分)(2)由(1)可知当b =−1时，函数f(x)=(x −1)2−lnx ， 此时f(x)有唯一极小值点：x =12+√1−2b 2=1+√32，且x ∈(0,1+√32)时，f′(x)<0，f(x)在(0,1+√32)递减，∵当k ≥3时,0<1<1+1k≤43<1+√32，∴恒有f(1)>f(1+1k ),即恒有0>1k 2−ln(1+1k )=1k 2−[ln(k +1)−lnk].……(10分) ∴当k ≥3时，恒有ln(k +1)−lnk >1k 2成立． 令k =3，4，5，…，n(n ≥3,n ∈N)，相加得132+142+⋯+1n 2<ln(n +1)−ln3<ln(n +1).……(12分) 【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论b 的范围求出函数的单调性即可；(2)代入b =−1，求出函数的唯一极小值点，得到k ≥3时，恒有ln(k +1)−lnk >1k 2成立，累加即可．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．。
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(1)若
平行，求 sinθ（sinθ- cosθ）的值；
(2)设点 P 的坐标为（x，y）且点 P 在△ABD 的边界及内部运动，若 n 的最大值．
，求 m +
20.（本题满分 12 分）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药的效果假定如下：用 x 单位量的水清洗一次 以后，蔬菜上残留农药量与这次清洗前残留的农药量之比为 f(x)=
5．已知点 A(4，m)在抛物线 C:y2=2px 上，设抛物线 C 的焦点为 F，若|AF| =5，则 p= A．4 B．2 C．1 D．-2
6．下列有关命题的说法中错误的是 A．若 pVq 为真命题，则 p，q 中至少有一个为真命题 B．命题：“若 y=f(x)是幂函数，则 y=f(x)的图象不经过第四象限”的否命题是假命题 C．命题“ n∈N*，有 f(n) ∈N*且 f(n）≤n”的否定形式是“ n0∈N*，有 f(n0）∈N *且 f(n0）> n0” D．设 a，b∈R，则“a>b”是“a|a| >b|b|”的充要条件
三、17.
解：（1）设数列 {an } 的公比为 q ，由 a2 , 2a3 , a4 3 成等差数列得 4a3 =a2 +a4 3 ，又 a2 4 ，
q 1 7 q 2或 2 （舍去），
2 2 所以 16q =4+4q 3 ，即 4q 16q 7 0 ，解得
1 1 1 an =a2 q n 2 4 ( ) n 2 ( ) n 4 an =( ) n 4 { a } 2 2 2 故 ．即数列 n 的通项公式为 ．………………5 分
钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．在这个问题中，E 所得为
A． 钱
B． 钱
C． 钱
D． 钱9．函Biblioteka f(x)=的图象的大致形状是
10.若函数 f(x)= 单调递增区间是
，且 f(α)=2，f(β)=0，|α-β|的最小值是
则 f(x)的
A．
B．
C．
D． = 8, =3，则
11.在△ABC 中，BC 边上的中垂线分别交边 BC，AC 于点 D，E．若
(2)求证
(n≥3，n∈N*)
黄冈市 2019 届九月起点考试 数学（理科）答案
一、选择题 1.C 2.B 3.A 4.A 5.B 6.C 7.C 8.A 9.B 10. A 11. C 12.A
二、填空题
13.
3 14. -2
2 15. 4
1 2 2e ，e 2 e 16.
7．如图所示的三视图表示的几何体的体积为
，则该几何体的外接球的表面积为
A．12π
B．24π
C．36π
D．48π
8．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上 二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知 A，B，C，D，E 五人分 5 钱，A，B 两人 所得与 C，D， E 三人所得相同，且 A，B，C，D，E 每人所得依次成等差数列，问五人各得多少
(2)若 bn=
，求数列
的前 n 项和 Sn．
18.（本题满分 12 分）已知△ABC 的内角 A，B，C 满足 (1)求角 A； (2)若△ABC 的外接圆半径为 1，求△ABC 的面积 S 的最大值， 19.（本题满分 12 分）已知直角坐标系中 A(l，2)，B(3，3)，C（cosθ +1，sinθ +2），D(4，5)
A. 3
B.4
C.5
D.6
12.设函数 f(x)=（x-a）2+4（lnx -a）2，其中 x>0,a∈R．若存在正数 xo，使得 f(xo)≤ 成立，则实数 a 的值是
A.
B.
C.
D．1
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.双曲线
的离心率为
14．已知函数 f(x)=
，则 f(-2018）=
(1)试解释 f(0)的实际意义； (2)现有 a(a>0)单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成 2 份后清洗两次．哪种方案清洗后 蔬菜上残留的农药比较少？请说明理由． 21.（（本题满分 12 分））已知二次函数 f(x)=ax2+bx（a，b 为常数，且 a≠0）满足条件：f(x =f(3 -x)，且方程 f(x)=2x 有两相等实根． (1)求 f(x)的解析式； (2)设命题 p：“函数 y=2f(x)-t 在（一∞，2）上有零点”，命题 q：“函数 g（x）= （0，+∞）上单调递增”；若命题“pVq”为真命题，求实数 t 的取值范围． 22.（本题满分 12 分）设函数 f(x)=(x-l)2+blnx，其中 b 为常数． (1)判断函数 f(x)在定义域上的单调性； x2+t|x -2|在 -1)
，那么集合 D.{x|x <3}
等于
C.{x|x≤一 2}
2．已知复数 z 为纯虚数，且 A．+2i B．± i C． i
=1，则 z= D．i
3．已知角 a 的终边经过点 P( sin47°，cos47°)，则 sm（a-13°）=
A．
B．
C．
D．-
4．若 l，m 为两条不同的直线，a 为平面，且 l⊥a，则“m∥a”是“m⊥l”的 A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
黄冈市 2019 届高三年级 9 月质量检测 数学试题（理科）
黄冈市教育科学研究院命制 2018 年 9 月 26 日上午 8：00—10: 00
第 I 卷（选择题共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是 符合题目要求的）
1．已知全集 U=R，集合 A={x|x-3 <0}，B= A.{x| -2≤x≤3} B.{x| -2 <x <3}
15.如图，在三角形 OPQ 中，M，Ⅳ分别是边 OP，OQ 的中点，点 R 在直线 MN 上，且
（x，y∈R），则代数式
的最小值为
．
16．已知函数 f(x)= 围为
，若 a，b，c 互不相等，且 f(a)=f(b)=f(c)，则 a+b+c 的取值范
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.（本题满分 10 分）已知数列{an}是递减的等比数列，a2=4，且 a2，2a3，a4+3 成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式；