华南理工大学高等数学统考试卷下2010级试卷扫描
高等数学B(下)华南理工
高等数学B（下）华南理工简介《高等数学B（下）华南理工》是华南理工大学开设的高等数学B课程的下半部分。
本门课程主要讲授高等数学的进阶内容，包括多元函数微分学、多元函数积分学、曲线积分与曲面积分等。
本文档将对《高等数学B（下）华南理工》课程的相关内容进行介绍和概述。
目录1.多元函数微分学2.多元函数积分学3.曲线积分与曲面积分1. 多元函数微分学1.1 偏导数与全微分多元函数微分学是高等数学的重要内容之一，它主要研究多元函数的微分和导数。
在本章中，我们将学习偏导数与全微分的概念。
偏导数是多元函数在某一变量上求导的结果，它表示了函数沿着某一方向变化的速率。
全微分则是多元函数在某一点附近的线性近似。
1.2 隐函数与参数方程在本节中，我们将学习隐函数与参数方程的概念和性质。
隐函数是由一个或多个方程组构成的函数，而参数方程则是由参数表示的函数。
我们将探讨如何通过隐函数和参数方程来求解一些特定的问题，例如曲线的切线与法线方程。
1.3 多元函数的极值与条件极值本节将介绍多元函数的极值和条件极值的概念。
我们将学习如何通过求偏导数和利用拉格朗日乘数法来求解多元函数的极值和条件极值问题。
1.4 多元函数的积分在多元函数积分学中，我们将学习多重积分的概念和计算方法。
多重积分是对多元函数在一个区域上的积分，它可以理解为将一个二维或三维的区域切割成无穷小的小块，然后对每个小块进行积分求和。
2. 多元函数积分学2.1 曲线积分曲线积分是多元函数积分学的一个重要内容，它主要研究曲线上的积分问题。
在本章中，我们将学习曲线积分的定义、性质以及计算方法。
曲线积分可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分，它们对应不同的物理问题和计算方法。
2.2 曲面积分曲面积分是多元函数积分学中的另一个重要内容，它主要研究曲面上的积分问题。
在本节中，我们将学习曲面积分的定义、性质以及计算方法。
曲面积分可以分为第一类曲面积分和第二类曲面积分，它们对应不同的曲面类型和积分方法。
华南理工大学高数(下)习题册答案汇总
第七章 多元函数微分学作业1 多元函数1．填空题（1）已知函数22,y f x y x y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则(),f x y =()()22211x y y -+； （2）49arcsin2222-+++=y x y x z 的定义域是(){}22,49x y x y ≤+≤； （3）)]ln(ln[x y x z -=的定义域是(){}(){},,0,1,0,1x y x y x x y x x y x >>+⋃<<≤+；（4）函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,sin ),(x y x x xyy x f 的连续范围是 全平面 ；（5）函数2222y x z y x+=-在22y x =处间断.2．求下列极限（1）00x y →→；解：000016x t t y →→→→===-（2）22()lim (ex y x y x y -+→+∞→+∞+）.解：3y x =22()2()lim (e lim (e 2x y x y x y x x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤+=+-⎣⎦）） 由于1lim e lim lim 0tt t t t t t t e e-→+∞→+∞→+∞===，2222lim e lim lim lim 0tt t t t t t t t t t e e e -→+∞→+∞→+∞→+∞====，故22()2()lim (elim (e 20x y x y x yx x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤+=+-=⎣⎦）） 3．讨论极限26300lim y x yx y x +→→是否存在.解：沿着曲线()()3,,0,0y kx x y =→,有336626262000lim lim 1x x y kx x y kx kx y x k x k →→=→==+++因k 而异，从而极限26300lim y x yx y x +→→不存在4．证明⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2),(222222y x y x y x xyy x f 在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y都连续，但作为二元函数在点)0,0(却不连续.解：由于(,0)0,(0,)0,f x f y ≡≡从而可知在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y 都连续，但沿着曲线()(),,0,0y kx x y =→,有2222222000222lim lim 1x x y kx xy kx kx y x k x k →→=→==+++因k 而异， 从而极限()0lim ,x y f x y →→不存在，故作为二元函数在点)0,0(却不连续.作业2 偏导数1．填空题（1）设22),(y x y x y x f +-+=，则=)4,3(x f 25； （2）（3）设(),ln 2y f x y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则1x y f y==∂=∂12； （3）设2sin x u xz y =+，则42ux y z∂=∂∂∂ 0 ；（4）曲线22:44x y z y ⎧+=⎪Γ⎨⎪=⎩在点()2,4,5处的切线与Ox 轴正向的倾角是4π. 2．设2e xyu =， 证明 02=∂∂+∂∂yu y x u x. 证:因为222312,xxy yu ux e e x y y y∂∂-==∂∂ 所以222223221222220x x x xy y y y u u x x x x y xe ye e e x y y y y y ∂∂--+=+=+=∂∂3. 设xyz ln =，求22x z ∂∂，yx z∂∂∂2.解：ln ln x yz e⋅=，从而222ln ln ln ln ln ln ln 222ln ln ln ln ln ,,x y x y x y x z y z y y y y e e e y x x x x x x ⋅⋅⋅∂∂--⎛⎫=⋅=⋅+⋅= ⎪∂∂⎝⎭2ln ln ln ln ln ln ln 11ln ln 1x y x y x z y x y x e e y x y x y x y xy⋅⋅∂⋅+=⋅⋅+⋅⋅=∂∂4．设y x z u arctan =， 证明 0222222=∂∂+∂∂+∂∂zuy u x u . 解：因为()()2222222222211022,1uyz u yz x xyzz xy x y x x x y x y y ∂∂-⋅-=⋅⋅===∂+∂⎛⎫+++ ⎪⎝⎭()()2222222222221022,1u x xz u xz y xyzz yy x y y x x y x y y ∂--∂-⋅=⋅⋅==-=∂+∂⎛⎫+++ ⎪⎝⎭22arctan ,0,u x uz y x∂∂==∂∂ 所以()()2222222222222200u u u xyz xyzx y z x y x y ∂∂∂-++=++=∂∂∂++ 5．设函数()()2221sin ,0,0,x x y x f x y xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩.（1）试求(),f x y 的偏导函数； 解：当()()()3222221110,,42sin cos x x f x y x xyx x y xx x-≠=+++⋅()21,2sin y f x y x y x =，()()()322211,42sin cos x f x y x xy x y x x=+-+当()()()()222001sin 0,0,0,0,lim lim 00x x x x x y f x y f y x x f y x x→→+--≠===-()()()000,0,000,lim lim 0y y y f y y f y f y y y ∆→→+∆--===∆-∆，()()()322211,42sin cos x f x y x xy x y x x=+-+（2）考察偏导函数在()0,3点处是否连续.()()200331lim ,lim 2sin00,3y y x x y y f x y x y f x→→→→===，故(),y f x y 在()0,3点处连续， ()()()3222003311lim ,lim 42sin cos x x x y y f x y x xy x y x x →→→→⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦不存在，从而(),x f x y 在()0,3点处不连续作业3 全微分及其应用1．填空题（1）),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在是),(y x f z =在该点可微的必要 条件；（2）函数23z x y =在点()2,1-处，当0.02,0.01x y ∆=∆=-时有全增量z ∆=0.2040402004-，全微分d z =0.20-；（3）设),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量为z ∆，全微分为dz ，则),(y x f 在点),(00y x 处的全增量与全微分的关系式是()z dz o dz ∆=+；（4）22yx x u +=在点)1,0(处的d u =dx ；（5）xy u cos )(ln =,则d u =cos cos (ln )ln ln sin ln x x y y xdx dy y y ⎡⎤-⋅+⎢⎥⎣⎦； （6）zyx u )(=,则d u =()ln zx z z x dx dy dz y x y y ⎛⎫-+⎪⎝⎭；（7）2221zy x u ++=,则d u = ()()3222212x y z -++ .2．证明：(),f x y =在点()0,0处连续，()0,0x f 与()0,0y f 存在，但在()0,0处不可微.证：由于(0,)0,(,0)0,f y f x ==从而(0,0)0,(0,0)0.y x f f ==但是limlimx x y y ∆→∆→∆→∆→=不存在，从而在()0,0处不可微.3．设函数()()222222221sin ,0,0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩试证：（1）函数(),f x y 在点()0,0处是可微的；证：因为 ()()()()22001sin0,00,00,0limlim 0,0,000x y x x x f x f x f f x x →→--====-- 又()()()()()22221sinlimlim0x x y y x y x y ∆→∆→∆→∆→∆+∆∆+∆==所以函数(),f x y 在点()0,0处是可微的（2）函数(),x f x y 在点()0,0处不连续.证：当()222222221210,,2sincos x x x y f x y x x y x y x y+≠=-+++ ()2222220000121lim ,lim 2sin cos x x x y y x f x y x x y x y x y ∆→∆→∆→∆→⎛⎫=- ⎪+++⎝⎭不存在， 故(),x f x y 在点()0,0处不连续作业4 多元复合函数的求导法则1．填空题（1）设2ln ,,32yz u v u v y x x===-，则 z x ∂=∂()()223222ln 3232y y y x x x y x ----； （2）设22,cos ,sin z x y xy x u v y u v =-==，则zv∂=∂()333sin cos sin 2sin sin 2cos u v v v v v v +--； （3）设()22,zu x y z x y =-=+，则u x ∂=∂()()222ln z x y x y x x y x y ⎡⎤+--+⎢⎥-⎣⎦；（4）设2sin z x y x ==，则dd zx =2x . 2．求下列函数的偏导数（1）设,,x y u f y z ⎛⎫=⎪⎝⎭其中f 具有一阶连续偏导数，求,u x ∂∂u y ∂∂和uz ∂∂； 解：111,f u f x y y ∂=⋅=∂121222222211,u x x u y yf f f f f f y y z y z z z z∂--∂--=⋅+⋅=+=⋅=∂∂ （2）设(),,,u f x y z =()(),,,z y t t y x ϕψ==，其中,,f ϕψ均可微，求u x ∂∂和uy∂∂. 解：因为1231212,,du f dx f dy f dz dz dy dt dt dy dx ϕϕψψ=++=+=+ 从而()1231212du f dx f dy f dy dy dx ϕϕψψ=++++⎡⎤⎣⎦()()1322231321f f dx f f f ϕψϕϕψ=+++++所以1322231321,u u f f f f f x yϕψϕϕψ∂∂=+=++∂∂ 3．验证下列各式（1）设()22yz f x y =-，其中()f u 可微，则211z z z x x y y y ∂∂+=∂∂； 证：因为222212,z xyf z y f x f y f f ''∂-∂==+∂∂ 所以222211121121z z z xyf y f zx x y y x x f y f f yf y ''⎛⎫∂∂∂-+=++== ⎪∂∂∂⎝⎭ （2）设()23y z xy x ϕ=+，其中ϕ可微，则220z zx xy y x y ∂∂-+=∂∂. 证：因为()()222,33z y z y y xy x xy x x y xϕϕ∂∂''=-+=+∂∂ 所以22z z x xy y x y ∂∂-+=∂∂()()2222233y y x y xy xy x xy y x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫''-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22222033y y x y xy y x y xy y ϕϕ''=-+--+=4．设22,,y z xf x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2z x y ∂∂∂. 解：因为221212222,z y y f x f f f xf f x x x ⎛⎫∂-=++⋅=+- ⎪∂⎝⎭所以22212212222222222z y y y y y y f xf f f xf f f x y y x x x x x x⎡⎤∂∂=+-=+⋅--⋅⎢⎥∂∂∂⎣⎦ 31222224y yf f x=-4．设)()(xy x x y u ψϕ+=其中函数ψϕ,具有二阶连续偏导数，试证：022222222=∂∂+∂∂∂+∂∂y u y y x u xy x u x . 证：因为222223432,u y y u y y y x x x x x x x ϕψψϕϕψ∂-∂'''''''=+-=++∂∂222322211,,u y y u u x y x x x y x y x xϕψϕϕψϕψ''''∂∂∂'''''''=---=+=+∂∂∂∂ 从而左边222234323222120y y y y y x xy y x x x x x x x x ϕψϕϕψϕϕψ''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''''''=+++---++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭作业5 隐函数求导法1．填空题（1）已知3330x y xy +-=，则d d y x =22x yx y--； （2）已知20x y z ++-=，则x y ∂=∂（3）已知xzz y =，则d z =2ln ln z dy yz zdxxy yz y--；（4）已知222cos cos cos 1x y z ++=，则d z =sin 2sin 2sin 2xdx ydyz+-；（5）已知(),z f xz z y =-，其中f 具有一阶连续偏导数，则d z =12121zf dx f dyxf f ---.2．设(),0,F y z xy yz ++=其中F 具有二阶连续偏导数，求22zx∂∂．解：212120,yF z z z F F y y x x x F yF -∂∂∂⎛⎫+⋅+=⇒= ⎪∂∂∂+⎝⎭ ()()[]()22122122122221212x x x F z F y yz F yF F F yF F z y y x x F yF F yF '⋅+++-+⎡⎤⎛⎫∂∂⎣⎦=-=- ⎪∂∂++⎝⎭()()()()()2222112111222212221231212y F F F yF F F yF y F F F F F yF F yF -+++⎡⎤-⎣⎦=+++3．求由方程组222222320z x yx y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩所确定的()y x 及()z x 的导数d d y x 及d d z x .解：由已知()2222222602460dz xdx ydydz xdx ydy xdx dz xdx zdz xdx ydy zdz -=⎧=+⎧⎪⇒⎨⎨+-+=++=⎪⎩⎩()()22606,132623220xdx z dz dz x dy x xy dx z dx y yz xdx ydy z xdx ydy -++=⎧+⎪⇒⇒==-⎨+++++=⎪⎩4．设函数()z f u =，又方程()()d xy u u P t t ϕ=+⎰确定u 是,x y 的函数，其中()f u 与()u ϕ均可微；()(),P t u ϕ'连续，且()1u ϕ'≠. 试证：()()0z zP y P x x y∂∂+=∂∂. 证：因为()(),z u z uf u f u x x y y∂∂∂∂''=⋅=⋅∂∂∂∂， ()()()(),1P x u u uu P x x x x u ϕϕ∂∂∂'=⋅+='∂∂∂- ()()()(),1P y u u uu P y y y y u ϕϕ-∂∂∂'=⋅-='∂∂∂- ()()()()()()()()()()011P x P y z zP y P x P y f u P x f u x y u u ϕϕ-∂∂''+=+=''∂∂-- 5．设函数()f u 具有二阶连续偏导数，而()e sin xz f y =满足方程22222e xz z z x y∂∂+=∂∂，求()f u . 解：因为()()()()222sin ,sin sin x xx z z f u e y f u e y f u e y x x∂∂''''==+∂∂ ()()()()222cos ,cos (sin )x x x z z f u e y f u e y f u e y y y∂∂''''==+-∂∂()()222222()e ,()0x x z zf u e f u f u f u x y∂∂''''+==⇒-=∂∂ 特征方程为()2121210,1,1,u u r r r f u c e c e --===-=+作业6 方向导数与梯度1．填空题（1）在梯度向量的方向上，函数的变化率 最大 ； （2）函数在给定点的方向导数的最大值就是梯度的 模 ； （3）函数2249z x y =+在点()2,1的梯度为grad z ={16,18}；（4）函数xyz u =在点)1,1,1(处沿方向}cos ,cos ,{cos γβα=l的方向导数是cos cos cos αβγ++，且函数u 在该点的梯度是{1,1,1}；（5）函数e cos()xu yz =在点)0,0,0(处沿方向}2,1,2{-=l的方向导数是23； （6）函数)ln(22z y x u ++=在点)1,0,1(A 处沿A 指向点)2,2,3(-B 方向的方向导数是12. 2．求222z y x u -+=在点)0,0,(a A 及点)0,,0(a B 处的梯度间的夹角.解：{}2,2,2{2,0,0}AAgradux y z a =-={}2,2,2{0,2,0}B Bgradu x y z a =-=夹角余弦为cos 02A B A Bgradu gradu gradu gradu πϕϕ⋅==⇒=⋅3．求二元函数22z x xy y =-+在点()1,1-沿方向{}2,1l =的方向导数及梯度，并指出z 在该点沿那个方向减少得最快沿那个方向z 的值不变 解：(){}(){}1,11,12,23,3gradz x y y x --=--=-5l =⎨⎩，{3,3}5zl ∂=-⋅=-∂z 在该点沿梯度相反方向，即方向减少得最快；沿与梯度垂直的那个方向，即±方向z 的值不变 4．设x轴正向到l 得转角为α，求函数()22220,0,x y f x y x y +>=+=⎩在点()0,0处沿着方向l 的方向导数.解：{}cos ,sin ,cos l αααα===由于该函数在点()0,0处不可微，从而不能用公式，只能由定义得出沿着方向l 的方向导数：()()00,0,0lim x y f x y f fl ρρρ→→→→-∂===∂1cos sin sin 22ααα==作业7 偏导数的几何应用1．填空题（1）已知曲面224z x y =--上点P 的切平面平行于平面221x y z ++=，则点P的坐标是(1,1,2)；（2）曲面e 23zz xy -+=在点()1,2,0处的切平面方程是24x y +=；（3）由曲线223212x y z ⎧+=⎨=⎩绕y轴旋转一周所得到的旋转曲面在点(M处的指向内侧的单位法向量为0,⎧⎪⎨⎪⎩； （4）曲面2222321x y z ++=在点()1,2,2-处的法线方程是122146x y y -+-==-； （5）已知曲线23,,x t y t z t ===上点P 的切线平行于平面24x y z ++=，则点P的坐标是()1,1,1--或111,,3927⎛⎫--⎪⎝⎭． 2．求曲线22sin ,sin cos ,cos x t y t t z t ===在对应于的点π4t =处的切线和法平面方程.解：切点为{}224111,,,2sin cos ,cos sin ,2cos sin {1,0,1}222T t t t t t tπ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，从而切线为11110222,11012x z x y z y +-=⎧---⎪==⎨-=⎪⎩， 法平面为110,022x z x z ⎛⎫---=-= ⎪⎝⎭3．求两个圆柱面的交线22221:1x y x z ⎧+=⎪Γ⎨+=⎪⎩在点M 处的切线和法平面的方程.解：1{2,2,0}|//{1,1,0}M n x y =，2{2,0,2}|//{1,0,1}M n x z ={}{}1,1,01,0,1{1,1,1}T =⨯=--==，法平面为0x y z --+= 4．求曲面()22210ax by cz abc ++=≠在点()000,,x y z 处的切平面及法线的方程. 解：000000{2,2,2}//{,,}n ax by cz ax by cz =切平面为0001ax x by y cz z ++=，法线为000000x x y y z z ax by cz ---== 5．求函数22221x y z a b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在点M 处沿曲线22221x y a b +=在此点的外法线方向的方向导数.解：2222,,MM x y gradza b a b ⎧⎪⎧⎫=--=--⎨⎬⎨⎩⎭⎪⎪⎩⎭2222,M x y n a b a b ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭指向外侧为此点的外法线方向，方向导数为(2a z n gradz n n∂=⋅=-∂6．证明：曲面y z xf x ⎛⎫=⎪⎝⎭在任意点处的切平面都通过原点，其中f 具有连续导数. 证：设切点为()000,,x y z ，则000000000000,,1,y y y y y n f f f z x f x x x x x ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪''=--=⎨⎬⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭ 切平面为()()()000000000000y y y y f f x x f y y z z x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫''--+---=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦令0x y z ===，得左边等于右边，从而原点在任意点处的切平面上，也即任意点处的切平面都通过原点。
2010年全国高考理科数学试题-广东
3.非选择题必须用黑色 迹钢笔或签 笔作答， 答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应位置 如需改动， 先划掉原来的答案， 然 再写 新的答案 准使用铅笔和涂改液
按以 要求作答的答案无效 4.作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答 漏涂 错 涂 多涂的，答案无效 5.考 必须保持答题卡的整洁 考试结束 ，将试卷和答题卡一并交回
品数 2 在 述抽取的 40 件产品中任取 2 件，设 y 重 超过 505 克的产品数 ，求 y 的分 列 3 从该流水线 任取 5 件产品，求恰由 2 件产品的重 超过 505 克的概率 18. 本小题满分 14 分
AEC 是半径 如图 5，
a 的半圆，AC
直径，点 E
AC 的中点，点 B 和点 C
15. 坐标系 参数方程选作题 在极坐标系
ρ ,θ
0 ≤ θ ≤ 2π
中，曲线 ρ = 2sin θ
ρ cos θ = −1 的交点的极坐标
解答题 本大题共 6 小题，满分 80 分，解答 写出文字说明 证明过程和演算 骤 16. 本小题满分 14 分 已知函数 f ( x ) =Asin 3 x + ϕ 1 求 f ( x ) 的最小 周期 2 求 f ( x ) 的解析式 3 若f A>0, x
2010 年普通高等学校招生全国统一考试
广东卷
数学
理科
本试卷共 4 页，21 小题，满 注意事项
150
考试用时 120
钟
1.答卷前，考 务必用黑色 迹的钢笔或签 笔将自 的姓 和考 号 试室号 座位 号填写在答题卡 用 2B 铅笔将试卷类型 A 填涂在答题卡相应位置 将条形码横贴
在答题卡右 角 条形码粘贴处 2.选择题每小题选出答案 ，用 2B 铅笔把答题卡 对应题目选项的答案信息点涂黑， 如需改动，用橡皮擦 净 ，再选涂其他答案，答案 能答在试卷
2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学试题 (理科)(全解析)(word版)
绝密★启用前 试卷类型：A2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时．请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的．答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}|21A x x =-<<，{}|02B x x =<<，则集合A ∩B=（ ）A ．{}|11x x -<<B ．{}|21x x -<<C ．{}|22x x -<<D ．{}|01x x << 1．D ．【解析】A ∩B =2．若复数11z i =+，23z i =-，则12z z ⋅=（ ）A ．42i +B ．2i +C ．22i +D ．3i + 2．A ．【解析】12(1)(3)1311(31)42z z i i i i ⋅=+⋅-=⨯+⨯+-=+3．若函数()33xxf x -=+与()33xxg x -=-的定义域均为R ，则 ( ) A ．()()f x g x 与均为偶函数 B ．()f x 为偶函数，()g x 为奇函数 C ．()()f x g x 与均为奇函数 D ．()f x 为奇函数，()g x 为偶函数 3．B ．【解析】()33(),()33()xx x x f x f x g x g x ---=+=-=-=-．4．已知数列{}n a 为等比数列，n S 是是它的前n 项和,若2312a a a ⋅=，且4a 与27a 的等差中项为54，则5S = ( )A ．35B ．33C ．3lD ．294．C ．【解析】设{n a }的公比为q ，则由等比数列的性质知，231412a a a a a ⋅=⋅=，即42a =。
华工2010级高数试题
一、填空题（共5小题，每小题3分）1）当x a →时，()1ln x f x x -=是无穷小，则实数a = 。
2）设()()3ln sin 1y x =+，则dy = 。
3）设()f x 在0x 可导，则()()00023lim h f x h f x h h→+--= 。
4）曲线ln y x =的拐点为 。
5）设()x f x xe =，则()()n f x 在点x =处取极小值 。
二、计算下列各题（共4小题，每小题5分）1）求极限222111lim 12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭。
2）计算21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
3）求极限()202arctan lim1xx t dt x →+∞+⎰。
4）设函数()10100xxx f x e x ⎧≠⎪=⎨+⎪=⎩，讨论函数()f x 在点0x =处的连续性和可导性。
三、解答下列各题（共3小题，每小题6分）1）由方程()tan y x y =+确定了隐函数()y y x =，求()y x 的二阶导数。
2）设()()3,1t x f t y f e π=-=-，其中()f t 二阶可导，且()00f '≠，求2002,t t dyd ydx dx ==。
3）指出数列{}n n 中最大的数，并说明理由。
四、解答下列各题（共4小题，每小题6分）1）设()2ln 111121x x f x x x ≥⎧⎪=⎨-<⎪+⎩，求()f x dx ⎰。
2）计算32211dxx x +⎰。
3）设0s >，求()01,2,s x n n I e x dx n +∞-==⎰4）设2,a i j k b i j k =-+=++ ，试在,a b 所确定的平面内，求一个与a垂直的单位向量。
五、解答下列各题（共2小题，每小题6分）1）求心形线()1cos r a θ=+围成的图形的面积。
2）求摆线()()()sin ,1cos 0x a t t y a t a =-=->的一拱02t π≤≤与x 轴所围成的平面图形绕2y a =旋转所得旋转体的体积。
华南理工大学2007~2010年概率论试卷答案
2007级概率论与数理统计试卷A 卷参考答案一、1. C注释：由“A ⊂B 成立”得P(A)=P(AB) ()()(|)()()P AB P A P A B P B P B ==故2. C3. B 注释：参考课本86页4.B 2sin 1A xdx π=⎰0注释： ?5.6. B A 项参见课本64页，D 项参见课本86页二、 1. 2 注释：若X 服从Poisson 分布，则EX=λ，DX=λ。
（课本84页） 2. 12 注释：cov(X,Y)= r X Y DX DY ⋅⋅。
（参考课本86页） 3. 1/5 注释：运用等比求和公式S=1(1)1na q q--4. 38.4 注释：22()(),(,),,E D E B n p E np D npq ξξξξξξ=+== 对于 5．p(x)=,00,0x e x x λλ-⎧>⎨≤⎩,211,E D ξξλλ==6. 0.2 注释：类似2006级试卷填空题第6题7.2/5三、（1）1/20; (2)14/15 注释：（1）P(A)=224431078910C C C，表示从、、、这四个数中选两个;（2）B =“三个号码中既含4又含6” 四、（1）C=4; (2)112()-2{1}41-3e ;xx y P dx edy ξη--++<==⎰⎰(3)222__02__0(),()0_____00_____0()()(,),x y e x e y p x p y x y p x p y p x y ξηξηξη--⎧⎧≥≥==⎨⎨<<⎩⎩⋅=因故与独立？(4)2222022112,2221()41124xxE x edx E x edx D E E E D ξηξηξξξξξηη+∞+∞--=⋅==⋅==-===⎰⎰与独立，所以cov(,)=0故同理，，五、 0.9979 注释：运用全概率公式，类似2006级试卷第三题 六、0.9525100(100,0.9),))85{85)1)1( 1.67)(1.67)0.9525X X B P X ⨯⨯≈Φ-Φ≥≈-Φ=-Φ-=Φ=注释：设这个部件中没有损坏部件数为， 则服从二项分布且有______EX=np=1000.9=90,DX=npq=900.1=9由拉普拉斯定理，b-EX a-EX P{a<X<b}((DXDX故至少须有个部件工作的概率为：85-90(9七、M=160,X ⨯⨯⨯≈⨯⨯≥≥≤≥≤注释：设出事人数为则有X B(5000000,0.0003)EX=50000000.0003=1500,DX=50000000.00030.99971500若要以99%的概率保证保险公司在此项保险中获得60万元以上的利润，则P{5000000M (1-40%)-X 300000600000}99%得P{X 10M-2}99%X-150010M-2-1500故需满足P{15001}99%99% 2.33159.22,160M M ≥Φ≥≈Φ≥=50010M-2-1500即（）（）1500解得故八、（1）课本98页辛欣大数定理（2）22222n 11221222211()0(1)()0()()[()]()211_____0(1)()()211,2,3,,()()0112)()2n n n n n n n kn kk k n n k k E n n nnn D E E E n n nnnk E E nn D n nnnξξξξξξξξξξξ++==+==⋅-+⋅+-⋅==-==⋅-+⋅+-⋅===⋅⋅⋅====⋅=∑∑∑由于令则______________________ D(由契比雪夫2n 0,2()|}1lim ()|}1}n n n n n E n E εξξεεξξεξ→∞>-<≥--<=不等式，对任意的有________________P{|故有P{|即{服从大数定律2008年概率论与数理统计试卷A 卷参考答案一、1.D 1(1)()X u u uP X u P σσ-+-≤+=≤注释：=1()σΦ2.C 注释：参考课本第8页3.A 注释：连续型随机变量在某一个点上的概率取值为零，故A 正确 ？B 项是否正确4.B 注释：参考课本86页5.A 二、 1. 1.33(或者填13591024) 2．25 注释：参考课本86页 3. 0.254. （X+Y ）～B(7,p)注释：E(X)=3p,E(Y)=4p,故E(X+Y)=E(X)+E(Y)=3p+4p=7p;D(X)=3p(1-p),D(Y)=4p(1-p)且X 、Y 独立，故D(X+Y)=D(X)+D(Y)= 3p(1-p)+ 4p(1-p) 设（X+Y ）～B(n,P),则有E (X +Y )=7p=nPD (X +Y )=3p(1-p)+4p(1-p)=nP(1-P)⎧⎨⎩解得n=7,P=p5. 2/52215041()5b 4(2)41(54)0,1 4.112555X f x ac X X X X P dx dx =∆=-=-⨯⨯-≥≤≥=+=⎰⎰的密度函数为方程有实根，则必须满足即或者故方程有实根的概率6. 0.3522(35)112(35),9322242{24}0.15,{}0.15333200.1532233202222}33333E X EX D X D X D X X P X P X σσσσσσσσσσσσσσ+==+===---<<=<<=ΦΦ=-ΦΦ----<=ΦΦΦ由得由得因故所以（）-（）所以（）-（）=0.3P{X<0}=P{（）=[1-（）-（）]/2______=[1-0.3]/2=0.35?7. 相关 三、四、1__1___30.3_0.5_0.2(1)0.310.530.20.8X EX -⎛⎫⎪⎝⎭=-⨯+⨯+⨯=五、1022201____02(1)()1___021____02()11_0211(2)(510)1)(2211(322_____012xx xx xxxe xf x e x e x F x e x P X eex e dx x e dx EXx e dx x ---∞--∞-∞⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩⎧≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩-<<=--⋅+⋅===⋅+⋅⎰⎰⎰0+0由题意故（）EX=221211___[22][22(2xxxxe dx x e xe e xD X EX ∞--∞=-++-=-=⎰+2EX)？六、2220001(0.005,0.035)0.0050.03510.02,(0.0350.005)0.000075212a 1(,),,())2120.0250.02520005020000{50}{i i i i i i i ii X i X U EX D X b X U a b EX D X b a Y X Y Y P Y P =+===-=+==-=<⨯=-⨯<=∑设为第台机床生产的次品率（注：对于均匀分布有设总次品率若要满足这批产品的平均次品率小于，则.025020000.02}(25.8)20000.00007520000.000075-⨯<=Φ⨯⨯A=B =B =B =B B B B (B )|)0.50.9|)0.540.83P A ⨯⨯⨯⋅⨯====甲乙丙乙甲丙甲甲甲甲设“取出的产品是正品”； 取出的产品是甲厂生产的” 取出的产品是乙厂生产的” 取出的产品是丙厂生产的”则P(A)=P(A )+P(A )+P(A )=0.50.9+0.30.8+0.20.7=0.83P(A )P(A B P(B P(A)P(A)？试卷中没有给出(25.8)Φ的值，且直观上感觉(25.8)Φ的值太大了，故不能肯定题中的做法是否可行 七、____,0_______2________()0__________2________()0__________22(2)0,0a b ababa x ab y b a x a x ab y b y bEX x dx EY y dy a bππππππ--=⎧-≤≤-≤≤⎪⎨⎪⎩⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩=⋅==⋅=⎰⎰椭圆X Y (1)S 1故（x,y)的联合密度函数f(x,y)=ab其它X 的边缘密度函数f 其它Y 的边缘密度函数f 其它222222222222,2424,3344()25,()4335332(3),22()()ab aba b EXx dx EY y dy aba b D X EX EX D Y EY EY a b a x a b y b x y a bπππππππππππ--=⋅==⋅==-===-====-≤≤-≤≤⋅=⋅≠⎰⎰X Y 解得，时，1f f ，故X与Y不独立ab八、555511___________5()1(1)(xzzZ dx zedx eeF z z e ----≤⋅≤≤=-=-=--⋅-⎰⎰1z 1z的分布函数F(z)=P{Z z}=1-P(Z>z)=1-P{min(X,Y)>z}_______________=1-P(X>z,Y>z)=1-P(X>z)P(Y>z)当z 0时，P(X>z)=P(Y>z)=1故F(z)=1-1=0当0<z 1时，P(X>z)=P(Y>z)=故555555)z 1()1010__________________0()1(1)()__0_____________________0()65_______010_____________________1z z z e F z z F z z e e z f z e ze e z z ------>=-=≤⎧⎪=--⋅-≤⎨⎪⎩≤⎧⎪=--<≤⎨⎪>⎩当时，P(X>z)=0故所以0<z 11__________________z>12009年2学分参考答案一、解：设i A ＝｛第i 枚弹道导弹击沉航空母舰｝，i B ＝｛第i 枚弹道导弹击伤航空母舰｝i C ＝｛第i 枚弹道导弹没有击中航空母舰｝，i ＝1，2，3，4D ＝｛发射4枚弹道导弹能击沉航空母舰｝()31=i A P ，()21=i B P ，()61=i C P ，i ＝1，2，3，443214321432143214321B C C UC C B C UC C C B UC C C C UB C C C C D =()()()()()()434432143214321432143216132161461=⨯⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++=B C C C P C B C C P C C B C P C C C B P C C C C P D P()()461311-=-=D P D P = 0.99二、解：（1）A ＝｛同花顺（5张同一花色连续数字构成）｝()55255236)413(4C C A P =-⨯=（只要说明顺子的构成，分子40也算对）（2）A ＝｛3张带一对（3张数字相同、2张数字相同构成）｝()5522411234113CC C C C A P =（3）A ＝｛3张带2散牌（3张数字相同、2张数字不同构成）｝()552141421234113C C C C C C A P =三、解：（1）设A ＝｛被查后认为是非危险人物｝， B ＝｛过关的人是非危险人物｝，则()()()()()B A P B P B A P B P A P +=9428.005.004.098.096.0=⨯+⨯= ()()()()998.0==A PB A P B P A B P（2）设需要n 道卡，每道检查系统是相互独立的，则Ci={第i 关危险人物被误认为非危险人物}，{}n n C C P 05.01= ，所以999.005.01≥-n，05.0ln 0001.0ln ≥n ，即1005.0ln 0001.0ln +⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n =[3.0745]+1 = 4 四、解：当1=a 时，1=Y ，则()⎩⎨⎧>≤=1110y y y F Y当10<<a 时，当0≤y 时，()()0=<=y Y P y F Y ，()()0==dyy dF y f Y Y当0>y 时，()()()y a X P y a P y F X Y ln ln <=<=()⎪⎭⎫ ⎝⎛>=a y X P y F Y ln ln ⎪⎭⎫⎝⎛Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=a y a y X P ln ln 1ln ln 1()()222)ln ln (21ln 1σμπσ--⋅-==ay Y Y ea y dyy dF y f当1>a 时，当0≤y 时，()()0=<=y Y P y F Y ，()()0==dyy dF y f Y Y当0>y 时，()⎪⎭⎫ ⎝⎛<=a y X P y F Y ln ln ⎪⎭⎫⎝⎛Φ=a y ln ln ()()222)ln ln (21ln 1σμπσ--⋅==ay Y Y ea y dyy dF y f五、解：（1）E(X+Y)=6.0315.0314.0213.0103.0101.0114.023=+--=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯--⨯--=b a b a174.015.014.013.012.003.002.001.014.0=++=+++++++++b a b a联立解得：17.0=a ，09.0=b （2）X 的概率分布函数：-2-110.17 0.23 0.060.54（3）E(XY)＝8.015.0214.0112.0114.0117.02=⨯+⨯+⨯-⨯+⨯六、解：95.01.0≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-p n m P ，因()()1,0~1N np p pnm--()()95.011.01≥⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<--n p p np p pnm P ，()96.111.0975.0=≥-u np p()()p p n -≥16.192；因为()4/11≤-p p ，取()4/6.192≥n =96.04即97=n七、解：（1）二维随机变量(X,Y)的联合概率密度：⎩⎨⎧<<<<=othersby a x ab y x f ,00,0,/1),(边缘概率密度：⎩⎨⎧<<=othersa x a x f X ,00,/1)(，⎩⎨⎧<<=othersb y b y f Y ,00,/1)(（2）36)12/1(,12)12/1(22====b DY a DX ，312,12==b a （3）随机变量X 与Y 相互独立，因为)()(),(y f x f y x f Y X = 八、解： 333||33||33||||)(||)(||)()|(|tc tE x dF tx x dF tx x dF t P x t x tx ==≤≤=>⎰⎰⎰≥>>ξξ九、解：（1）dx Axydy dxdy y x f ⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=+∞∞-+∞∞-1010),(4A =＝1，A ＝4 （2）P(X<0.4，Y<1.3)＝16.044.0010=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰dx xydy （3）⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=++1014dx xydy e Eesytx sYtX ⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101114dx dy e s s ye x e sysy txX⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=2222114t t e t e s s e s e tt s s （4）32410102=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰dx ydy x EX ，214101032=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰dx ydy x EX()91942122=-=-=EX EXDX ，()=XY E 944101022=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰dx dy y x ()0323294,=⨯-=⋅-=EY EX EXY Y X Cov十、解：（1）设ξ表示该观众答对题数， ,2,1,0=ξ 则第ξ+1次解答答错（即首次出错）。
华南理工大学2009-2010高等数学下册期中考试试卷答案.
华南理工大学期中考试2009-2010学年第二学期《高等数学》期中考试试卷注意事项：1. 考试形式：闭卷；．本试卷满分100分，考试时间90分钟。
. 解答下列各题 (每小题5分,共20分)设函数由方程确定，其中F为可微函数，且，求z是由方程所确定的函数，其中具有二阶导数，且22求dz.对等式两端取微分得22，x在点处的梯度. yiP为椭球面上的一动点，若S在点P处的切平面与xoy面垂直，P的轨迹C。
椭球面S点处的法向量是，222《高等数学》试卷第 1 页共 6 页点P处的切平面与xoy面垂直的充要条件是n⋅{0,0,1}=2z-y=0⎧232⎧x2+y2+z2-yz=1⎪x+y=1所以点P的轨迹C的方程为：⎨，即⎨ 4⎩2z-y=0⎪⎩2z-y=0二. 解答下列各题 (每小题10分,共30分)５．求二元函数f(x,y)=x解 fx'(x,y)=2x2+y2(2+y)+ylny的极值 22y(2),f'(x,y)=2xy+lny+1令fx'(x,y)=0,fy'(x,y)=0，解得唯一驻点 0,⎪⎛⎝1⎫e⎭'' 0,⎪=2 2+由于A=fxx⎛⎝1⎫e⎭⎛⎝1⎫1⎛1⎫''>0,B=f0,=4⋅0⋅=0 xy⎪2⎪e⎭e⎝e⎭1⎫1⎫⎛22''⎛C=fyy0,=2⋅0+e=e,B-AC=-2e2+<0 ⎪ 2⎪ee⎝⎭⎝⎭从而f 0,⎪=-是f(x,y)的极小值⎛⎝1⎫e⎭1e∂2u∂2u∂2u+52=0。
确定的６．设函数u=f(x,y)具有二阶连续偏导数，且满足等式42+12∂x∂x∂y∂y∂2u=0 a,b值，使等式在变换ξ=x+ay,η=x+by下简化为∂ξ∂η2∂u∂u∂u∂2u∂2u∂u∂u2=+,=+2+解，∂x∂ξ∂η∂x2∂ξ2∂ξ∂η∂η222∂u∂u∂u∂2u∂2u∂2u∂2u∂2u∂2u2∂u2∂u=a+b,2=a+2ab+b=a2+(a+b)+b222∂y∂ξ∂η∂y∂ξ∂ξ∂η∂η∂x∂y∂ξ∂ξ∂η∂η将以上各式代入原等式，得∂2u∂2u∂2u2(a+12a+4)2+⎡⎣10ab+12(a+b)+8⎤⎦∂ξ∂η+(5b+12b+4)∂η2=0 ∂ξ2《高等数学》试卷第 2 页共 6 页由题意，令a+12a+4=0,10ab+12(a+b)+8≠0,5b+12b+4=0 22解得a=-2,b=-22，或a=-,b=-2 55⎧x2+y2-2z2=07．已知曲线C:⎨，求C上距离xOy面最远的点和最近的点。
华南理工大学高等数学统考试卷下2014试卷A及参考解答 打印版
诚信应考,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试2014-2015学年第二学期《微积分（下）》试卷（A 卷）注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上； ．考试形式：闭卷；本试卷共十二大题，满分100分，考试时间120分钟。
4分，共20分）1. 设y xy z )1(+=, 则=∂∂xz12)1(-+y xy y .2. 函数22ln y x z +=在点)1,1(处的全微分=z d y x d 21d 21+. 3. 球面6222=++z y x 在点)1,2,1(处的切平面方程为062=-++z y x . 4. 设曲线1:22=+y x L , 则曲线积分=+⎰Ls y x d )(2π2.5. 函数)cos(e yz u x =在原点)0,0,0(处的梯度为)0,0,1(.二、（本题8分）设方程组⎩⎨⎧=-=uv y u v x 222确定了隐函数组⎩⎨⎧==),(),(y x v v y x u u , 求x u ∂∂与x v∂∂.解. ⎩⎨⎧+=⋅-⋅=x x x x vu uv u u v v 0222或者⎩⎨⎧=+=⋅-⋅01x x x x vu uv u u v v , 22v u u u x +-=, 22v u vv x +=.三、（本题8分）设),(y x y x f z -+=, ),(v u f 有二阶连续偏导数, 求x z∂∂与y x z ∂∂∂2.21f f z x '+'=221122211211f f f f f f z xy ''-''=''-''+''-''= 四、（本题8分）计算二重积分⎰⎰=Dx y I σd 22, 其中D 是由直线2=y , x y =及双曲线1=xy 围成的闭区域.49d d 12221==⎰⎰yyx x y y I五、（本题8分）计算曲线积分⎰+++=Ly x x x x y I d )(sin d )1cos (, 其中L 为由点)0,(a A 至点)0,(a B -的上半圆弧22x a y -=(0>a ).a a yx x x x y y x I BAD221d )(sin d )1cos (d d 2-=+++-=⎰⎰⎰π其中D 是半圆域222a y x ≤+, 0≥y .六、（本题8分）计算曲面积分⎰⎰∑=S z I d , 其中∑为圆锥面22y x z +=位于圆柱体x y x 222≤+内部分.2932d d 2d d 22cos 02222=⋅=⋅+=⎰⎰⎰⎰-θππθr r r yx y x I D其中D 是圆域x y x 222≤+.七、（本题8分）计算曲面积分⎰⎰∑++=y x z x z y z y x I d d d d d d 333, 其中曲面∑是由上半球面222y x z --=与圆锥面22y x z +=围成的闭曲面的外侧.)12(524d d sin d 3d )(32224020222-=⋅=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωπϕϕθππr r r vz y x I其中Ω为已知两曲面围成的闭区域. 八、（本题7分）求微分方程y y x y ln tan ='通解.x xxy y y d sin cos d ln 1= C x y ln sin ln ln ln += x C y sin e =九、（本题7分）求微分方程x y y cos =+''的通解. 对应齐次方程的通解为x C x C Y sin cos 21+= 原方程的一个特解为x x y sin 21*=原方程的通解为x x x C x C y sin 21sin cos 21++=十、（非化工类做）（本题6分）判断级数∑∞=1!2sin n nn 的收敛性.!2!2sin n n nn ≤且10!2)!1(2lim1<=++→∞n n n n n ⇒级数∑∞=1!2n nn 收敛, 所以级数∑∞=1!2sin n n n 收敛.十一、（非化工类做）（本题6分）把函数x x x f arctan )(=展开为x 的幂级数, 并指出成立的区间.∑∑⎰⎰∞=+∞=+-=-=+=022020212)1(d )(d 11)(n n n n x n x x n x x x xx x x f其中11≤≤-x .十二、（非化工类做）（本题6分）设级数∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 都收敛, n n n b c a ≤≤(*N ∈n ), 证明级数∑∞=1n n c 也收敛.⇒⎪⎭⎪⎬⎫-≤-≤∑∑∞=∞=收敛11,0n n n n n n n n b a a b a c ∑∞=-1)(n n na c收敛⇒∑∞=1n n c 收敛.十、（化工类做）（本题6分）求函数333y x axy z --=(0>a )的极值.由⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=03303322y ax z x ay z y x 得驻点),(),0,0(a a 在点)0,0(处0922<-=-a B AC , 从而在)0,0(处不取极值；在点),(a a 处02722>=-a B AC , 06<-=a A , 从而在点),(a a 处取极大值3a .十一、（化工类做）（本题6分）求微分方程0)d (cos d )3(sin 32=+++y x y x y x x 的通解.0d cos )d d (d sin 33=+++y y y x x y x x所求通解为.sin cos 3C y y x x =++-十二、（化工类做）（本题6分）证明曲面0),(=--cz ay bz ax F 上任一点处的切平面都平行于同一向量, 其中c b a ,,为非零常数.所给曲面在任一点处的法向量为),,(2121F c F b F a F a n '-'-''=它始终平行于向量),,(a c b .。