2017年秋季学期新版新人教版九年级数学上学期第21章、一元二次方程单元复习导学案7
人教新版 九年级(上)数学 第21章 一元二次方程 单元测试卷 (解析版)
第21章一元二次方程单元测试一、选择题（共10小题）.1．（3分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．x+2y＝0B．x2﹣4y＝0C．x2+3x＝0D．x+1＝02．（3分）一元二次方程（x﹣1）2＝0的解是（）A．x1＝0，x2＝1B．x1＝1，x2＝﹣1C．x1＝x2＝1D．x1＝x2＝﹣1 3．（3分）下列方程中，两根分别为2和3的方程是（）A．x2﹣x﹣6＝0B．x2﹣6x+5＝0C．x2+x﹣6＝0D．x2﹣5x+6＝0 4．（3分）某公司年前缴税20万元，今年缴税24.2万元．若该公司这两年的年均增长率相同，设这个增长率为x，则列方程（）A．20（1+x）3＝24.2B．20（1﹣x）2＝24.2C．20+20（1+x）2＝24.2D．20（1+x）2＝24.25．（3分）关于x的一元二次方程9x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实根，则k的范围是（）A．k＜1B．k＞1C．k≤1D．k≥16．（3分）已知方程x2+bx+a＝0有一个根是1，则代数式a+b的值是（）A．1B．﹣1C．0D．以上答案都不是7．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+c＝0，方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根；②若方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根，则方程cx2+bx+a＝0也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若m是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有b2﹣4ac＝（2am+b）2成立．其中正确的只有（）A．①②B．②③C．③④D．①④8．（3分）解方程（5x﹣1）2＝（2x+3）2的最适当方法应是（）A．直接开平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法9．（3分）以4、9为两边长的三角形的第三边长是方程x2﹣14x+40＝0的根，则这个三角形的周长为（）A．17或23B．17C．23D．以上都不对10．（3分）已知（x+y）（x+y+2）﹣8＝0，则x+y的值是（）A．﹣4或2B．﹣2或4C．2或﹣3D．3或﹣2二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝．12．（3分）将方程x2﹣2x+1＝4﹣3x化为一般形式为．13．（3分）已知一元二次方程2x2﹣3x＝1，则b2﹣4ac＝．14．（3分）一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个根为2，则p的值．15．（3分）若x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0的两个根，且x1+x2＝1﹣x1x2，则m 的值为．16．（3分）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+2）*5＝0的解为．三．解答题（共9小题，满分72分）17．（16分）用指定方法解下列一元二次方程（1）3（2x﹣1）2﹣12＝0（直接开平方法）（2）2x2﹣4x﹣7＝0（配方法）（3）x2+x﹣1＝0（公式法）（4）（2x﹣1）2﹣x2＝0（因式分解法）18．（6分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根．19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根x1和x2．（1）求实数m的取值范围；（2）当x12﹣x22＝0时，求m的值．20．（6分）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？21．（7分）某学校机房有100台学生电脑和1台教师用电脑，现在教师用电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有16台电脑被感染．（1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？（2）若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？22．（7分）一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔301支以上（包括301支）可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款，现有小王购买铅笔，如果给初三年级学生每人买1支，只能按零售价付款，需用（m2﹣1）元，（m为正整数，且m2﹣1＞100）如果多买60支，则可按批发价付款，同样需用（m2﹣1）元．（1）设初三年级共有x名学生，则x的取值范围是多少？铅笔的零售价每支多少元？批发价每支应为多少元？（用含x、m的代数式表示）（2）若按批发价每购15支比按零售价每购15支少一元，试求初三年级共有多少学生？并确定m的值．23．（7分）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC 分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C 点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？24．（8分）已知，下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：①x2﹣1＝0，②x2+x﹣2＝0，③x2+2x﹣3＝0，④x2+3x﹣4＝0，…，⑪，…（1）上述一元二次方程的解为①，②，③，④．（2）猜想：第n个方程为，其解为．（3）请你指出这n个方程的根有什么共同的特点（写出一条即可）．25．（9分）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：求代数式y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4∵（y+2）2≥0∴（y+2）2+4≥4∴y2+4y+8的最小值是4．（1）求代数式m2+m+4的最小值；（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值；（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？参考答案一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．x+2y＝0B．x2﹣4y＝0C．x2+3x＝0D．x+1＝0解：A．x+2y＝0含有两个未知数，不合题意；B．x2﹣4y＝0含有两个未知数，不合题意；C．x2+3x＝0是一元二次方程，符合题意；D．x+1＝0中未知数的最高次数不是2次，不合题意；故选：C．2．（3分）一元二次方程（x﹣1）2＝0的解是（）A．x1＝0，x2＝1B．x1＝1，x2＝﹣1C．x1＝x2＝1D．x1＝x2＝﹣1解：∵（x﹣1）2＝0，∴x﹣1＝0，x＝1，即x1＝x2＝1，故选：C．3．（3分）下列方程中，两根分别为2和3的方程是（）A．x2﹣x﹣6＝0B．x2﹣6x+5＝0C．x2+x﹣6＝0D．x2﹣5x+6＝0解：∵方程的两根分别为2和3，∴2+3＝5，2×3＝6，∴方程为x2﹣5x+6＝0．故选：D．4．（3分）某公司年前缴税20万元，今年缴税24.2万元．若该公司这两年的年均增长率相同，设这个增长率为x，则列方程（）A．20（1+x）3＝24.2B．20（1﹣x）2＝24.2C．20+20（1+x）2＝24.2D．20（1+x）2＝24.2解：设这个增长率为x，由题意得，20（1+x）2＝24.2．故选：D．5．（3分）关于x的一元二次方程9x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实根，则k的范围是（）A．k＜1B．k＞1C．k≤1D．k≥1解：∵关于x的一元二次方程9x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实根，∴△＝（﹣6）2﹣4×9k＞0，解得k＜1．故选：A．6．（3分）已知方程x2+bx+a＝0有一个根是1，则代数式a+b的值是（）A．1B．﹣1C．0D．以上答案都不是解：∵方程x2+bx+a＝0有一个根是1，∴1+b+a＝0，∴a+b＝﹣1．故选：B．7．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+c＝0，方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根；②若方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根，则方程cx2+bx+a＝0也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若m是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有b2﹣4ac＝（2am+b）2成立．其中正确的只有（）A．①②B．②③C．③④D．①④解：①因为a+c＝0，a≠0，所以①a、c异号，所以△＝b2﹣4ac＞0，所以方程有两个实数根；②若方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根，则△＝b2﹣4ac＞0，所以方程cx2+bx+a＝0也一定有两个不等的实数根；若c＝0，则方程cx2+bx+a＝0为一次，没有两个不等实数根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，当c＝0时，ac+b+1＝0不一定成立；④若m是方程ax2+bx+c＝0的一个根，所以有am2+bm+c＝0，即am2＝﹣（bm+c），而（2am+b）2＝4a2m2+4abm+b2＝4a[﹣（bm+c）]+4abm+b2＝﹣4abm﹣4ac+4abm+b2＝b2﹣4ac．所以①④成立．故选：D．8．（3分）解方程（5x﹣1）2＝（2x+3）2的最适当方法应是（）A．直接开平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法解：方程（5x﹣1）2＝（2x+3）2的最适当方法应是直接开平方法．故选：A．9．（3分）以4、9为两边长的三角形的第三边长是方程x2﹣14x+40＝0的根，则这个三角形的周长为（）A．17或23B．17C．23D．以上都不对解：x2﹣14x+40＝0，（x﹣4）（x﹣10）＝0，x﹣4＝0或x﹣10＝0，所以x1＝4，x2＝10，因为4+4＜9，不符合三角形三边的关系，所以三角形的第三边长是10，所以三角形的周长＝4+9+10＝23．故选：C．10．（3分）已知（x+y）（x+y+2）﹣8＝0，则x+y的值是（）A．﹣4或2B．﹣2或4C．2或﹣3D．3或﹣2解：设x+y＝a，原方程可化为a（a+2）﹣8＝0即：a2+2a﹣8＝0解得a1＝2，a2＝﹣4∴x+y＝2或﹣4故选：A．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝﹣1．解：∵方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1＝0是关于x的一元二次方程，∴|m|＝1，m﹣1≠0，解得：m＝﹣1．故答案为：﹣1．12．（3分）将方程x2﹣2x+1＝4﹣3x化为一般形式为x2+x﹣3＝0．解：方程整理得：x2+x﹣3＝0，故答案为：x2+x﹣3＝013．（3分）已知一元二次方程2x2﹣3x＝1，则b2﹣4ac＝17．解：由原方程，得2x2﹣3x﹣1＝0，∴二次项系数a＝2，一次项系数b＝﹣3，常数项c＝﹣1，∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝9+8＝17；故答案是：17．14．（3分）一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个根为2，则p的值﹣1．解：把x＝2代入方程x2+px﹣2＝0得4+2p﹣2＝0，解得p＝﹣1．故答案为：﹣1．15．（3分）若x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0的两个根，且x1+x2＝1﹣x1x2，则m 的值为1．解：∵x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0的两个根，∴x1+x2＝2m，x1x2＝m2﹣m﹣1．∵x1+x2＝1﹣x1x2，即2m＝1﹣（m2﹣m﹣1），∴m1＝﹣2，m2＝1．∵方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0有两个实数根，∴△＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣1）＝4m+4≥0，解得：m≥﹣1，∴m＝1．故答案为：1．16．（3分）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+2）*5＝0的解为x＝3或x＝﹣7．解：据题意得，∵（x+2）*5＝（x+2）2﹣52∴x2+4x﹣21＝0，∴（x﹣3）（x+7）＝0，∴x＝3或x＝﹣7．故答案为：x＝3或x＝﹣7三．解答题（共9小题，满分72分）17．（16分）用指定方法解下列一元二次方程（1）3（2x﹣1）2﹣12＝0（直接开平方法）（2）2x2﹣4x﹣7＝0（配方法）（3）x2+x﹣1＝0（公式法）（4）（2x﹣1）2﹣x2＝0（因式分解法）解：（1）3（2x﹣1）2﹣12＝0，移项，得3（2x﹣1）2＝12，两边都除以3，得（2x﹣1）2＝4，两边开平方，得2x﹣1＝±2，移项，得2x＝1±2，解得：x1＝，x2＝﹣；（2）2x2﹣4x﹣7＝0，两边都除以2，得x2﹣2x﹣＝0，移项，得x2﹣2x＝，配方，得x2﹣2x+1＝，即（x﹣1）2＝，解得：x﹣1＝±，即x1＝1+，x2＝1﹣；（3）x2+x﹣1＝0，这里a＝1，b＝1，c＝﹣1，∵b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5，∴x＝，解得：x1＝，x2＝；（4）（2x﹣1）2﹣x2＝0，方程左边因式分解，得（2x﹣1+x）（2x﹣1﹣x）＝0，即（3x﹣1）（x﹣1）＝0，解得：x1＝，x2＝1．18．（6分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根．解：（1）∵△＝a2﹣4×1×（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝（a﹣2）2+4＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）将x＝1代入方程，得：1+a+a﹣2＝0，解得a＝，将a＝代入方程，整理可得：2x2+x﹣3＝0，即（x﹣1）（2x+3）＝0，解得x＝1或x＝﹣，∴该方程的另一个根﹣．19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根x1和x2．（1）求实数m的取值范围；（2）当x12﹣x22＝0时，求m的值．解：（1）由题意有△＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，解得，∴实数m的取值范围是；（2）由两根关系，得根x1+x2＝﹣（2m﹣1），x1•x2＝m2，由x12﹣x22＝0得（x1+x2）（x1﹣x2）＝0，若x1+x2＝0，即﹣（2m﹣1）＝0，解得，∵＞，∴不合题意，舍去，若x1﹣x2＝0，即x1＝x2∴△＝0，由（1）知，故当x12﹣x22＝0时，．20．（6分）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？解：由题意得出：200（10﹣6）+（10﹣x﹣6）（200+50x）+（4﹣6）[（600﹣200）﹣（200+50x）]＝1250，即800+（4﹣x）（200+50x）﹣2（200﹣50x）＝1250，整理得：x2﹣2x+1＝0，解得：x1＝x2＝1，∴10﹣1＝9．答：第二周的销售价格为9元．21．（7分）某学校机房有100台学生电脑和1台教师用电脑，现在教师用电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有16台电脑被感染．（1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？（2）若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？解：（1）设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑，依题意得：1+x+（1+x）x＝16，整理得（1+x）2＝16，则x+1＝4或x+1＝﹣4，解得x1＝3，x2＝﹣5（舍去）．答：每轮感染中平均一台电脑会感染3台电脑；（2）∵n轮后，有（1+x）n台电脑被感染，故（1+3）n＝4n，∵n＝3时，43＝64，n＝4时，44＝256．答：4轮感染后机房内所有电脑都被感染．22．（7分）一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔301支以上（包括301支）可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款，现有小王购买铅笔，如果给初三年级学生每人买1支，只能按零售价付款，需用（m2﹣1）元，（m为正整数，且m2﹣1＞100）如果多买60支，则可按批发价付款，同样需用（m2﹣1）元．（1）设初三年级共有x名学生，则x的取值范围是多少？铅笔的零售价每支多少元？批发价每支应为多少元？（用含x、m的代数式表示）（2）若按批发价每购15支比按零售价每购15支少一元，试求初三年级共有多少学生？并确定m的值．解：（1）由题意可得，，解得，241≤x≤300，即x的取值范围是：241≤x≤300（x为正整数）；铅笔的零售价每支应为：元；铅笔的批发价每支应为：元；（2）由题意可得，15×﹣15×＝1，化简，得x2+60x﹣900（m2﹣1）＝0，解得，x1＝30（m﹣1），x2＝﹣30（m+1）（舍去），∴241≤30（m﹣1）≤300，解得，≤m≤11，∴m＝10或m＝11，当m＝10时，m2﹣1＝99＜100，故m＝10不合题意，舍去，当m＝11时，m2﹣1＝120＞100，符合题意，∴m＝11，∴x＝30（m﹣1）＝300，经检验x＝300是原分式方程的解，答：初三年级共有300名学生，m的值是11．23．（7分）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC 分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C 点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？解：（1）设经过x秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分由题意知：AP＝x，BQ＝2x，则BP＝6﹣x，∴（6﹣x）•2x＝××6×8，∴x2﹣6x+12＝0，∵b2﹣4ac＜0，此方程无解，∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分；（2）设t秒后，△PBQ的面积为1①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时此时0＜t≤4由题意知：（6﹣t）（8﹣2t）＝1，整理得：t2﹣10t+23＝0，解得：t1＝5+（不合题意，应舍去），t2＝5﹣，②当点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上时此时4＜t≤6，由题意知：（6﹣t）（2t﹣8）＝1，整理得：t2﹣10t+25＝0，解得：t1＝t2＝5，③当点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上时此时t＞6，由题意知：（t﹣6）（2t﹣8）＝1，整理得：t2﹣10t+23＝0，解得：t1＝5+，t2＝5﹣，（不合题意，应舍去），综上所述，经过5﹣秒、5秒或5+秒后，△PBQ的面积为1．24．（8分）已知，下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：①x2﹣1＝0，②x2+x﹣2＝0，③x2+2x﹣3＝0，④x2+3x﹣4＝0，…，⑪，…（1）上述一元二次方程的解为①x1＝1，x2＝﹣1，②x1＝1，x2＝﹣2，③x1＝1，x2＝﹣3，④x1＝1，x2＝﹣4．（2）猜想：第n个方程为x2+（n﹣1）x﹣n＝0，其解为x1＝1，x2＝﹣n．（3）请你指出这n个方程的根有什么共同的特点（写出一条即可）．解：（1）①（x+1）（x﹣1）＝0，∴x1＝1，x2＝﹣1．②（x+2）（x﹣1）＝0，∴x1＝1，x2＝﹣2．③（x+3）（x﹣1）＝0，∴x1＝1，x2＝﹣3．④（x+4）（x﹣1）＝0，∴x1＝1，x2＝﹣4．（2）由（1）找出规律，可写出第n个方程为：x2+（n﹣1）x﹣n＝0，（x﹣1）（x+n）＝0，解得x1＝1，x n＝﹣n．（3）这n个方程都有一个根是1；另一个根是n的相反数；a+b+c＝0；b2﹣4ac＝（n+1）2；都有两个不相等的实数根；两个根异号．故答案是：（1）①x1＝1，x2＝﹣1．②x1＝1，x2＝﹣2．③x1＝1，x2＝﹣3．④x1＝1，x2＝﹣4．（2）x2+（n﹣1）x﹣n＝0；x1＝1，x2＝﹣n．（3）这n个方程都有一个根是1；另一个根是n的相反数；a+b+c＝0；b2﹣4ac＝（n+1）2；都有两个不相等的实数根；两个根异号．25．（9分）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：求代数式y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4∵（y+2）2≥0∴（y+2）2+4≥4∴y2+4y+8的最小值是4．（1）求代数式m2+m+4的最小值；（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值；（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？解：（1）m2+m+4＝（m+）2+，∵（m+）2≥0，∴（m+）2+≥，则m2+m+4的最小值是；（2）4﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+5，∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣（x﹣1）2+5≤5，则4﹣x2+2x的最大值为5；（3）由题意，得花园的面积是x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x，∵﹣2x2+20x＝﹣2（x﹣5）2+50∵﹣2（x﹣5）2≤0，∴﹣2（x﹣5）2+50≤50，∴﹣2x2+20x的最大值是50，此时x＝5，则当x＝5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2．。
新人教九年级上册第21章章末复习(一) 一元二次方程
新人教九年级上册第21章章末复习(一) 一元二次方程基础题知识点1 一元二次方程的有关概念1．(诏安模拟)已知m 是方程x 2－x －1＝0的一个根，则代数式m 2－m 的值等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．22．方程(a －2)xa 2－2＋3x ＝0是关于x 的一元二次方程，则a 的值为________．知识点2 一元二次方程的解法3．(宁夏中考)一元二次方程x(x －2)＝2－x 的根是( )A ．－1B ．2C ．1和2D ．－1和24．(随州中考)用配方法解一元二次方程x 2－6x －4＝0，下列变形正确的是( )A ．(x －6)2＝－4＋36B ．(x －6)2＝4＋36C ．(x －3)2＝－4＋9D ．(x －3)2＝4＋95．(深圳校级模拟)一元二次方程4x 2－x ＝1的解是( )A ．x ＝0B ．x 1＝0，x 2＝4C ．x 1＝0，x 2＝14D ．x 1＝1＋178，x 2＝1－1786．解下列一元二次方程：(1)(2x ＋3)2－81＝0；(2)x 2－6x －2＝0；(3)5x(3x ＋2)＝6x ＋4.知识点3 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系7．(湘西中考)下列方程中，没有实数根的是( )A ．x 2－4x ＋4＝0B ．x 2－2x ＋5＝0C ．x 2－2x ＝0D ．x 2－2x －3＝08．(张家界中考)若关于x 的一元二次方程kx 2－4x ＋3＝0有实数根，则k 的非负整数值是( )A ．1B ．0，1C ．1，2D ．1，2，39．(怀化中考)设x 1，x 2是方程x 2＋5x －3＝0的两个根，则x 21＋x 22的值是( )A ．19B ．25C ．31D ．3010．(内江中考)已知关于x 的方程x 2－6x ＋k ＝0的两根分别是x 1，x 2，且满足1x 1＋1x 2＝3，则k 的值是________． 知识点4 用一元二次方程解决实际问题11．(佛山中考)如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m ，另一边减少了3 m ，剩余一块面积为20 m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是()A．7 mB．8 mC．9 mD．10 m12．(东营中考)2013年东营市某楼盘以每平方米6 500元的均价对外销售．因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年的均价为每平方米5 265元．(1)求平均每年下调的百分率；(2)假设2016年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？(房价每平方米按照均价计算)中档题13．(安顺中考)三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长为() A．14 B．12C．12或14 D．以上都不对14．(安顺中考)若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过第象限() A．四B．三C．二D．一15．已知x＝1是关于x的方程(1－k)x2＋k2x－1＝0的根，则常数k的值为________．16．(随州中考)观察下列图形规律：当n＝________时，图形“●”的个数和“△”的个数相等．17．(毕节中考)一个容器盛满纯药液40 L，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10 L，则每次倒出的液体是________L.18．(日照中考)如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2－m＝3，n2－n＝3，那么代数式2n2－mn＋2m＋2 015＝________．19．(乌鲁木齐中考)某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？20．阅读下列例题的解答过程：解方程：3(x－2)2＋7(x－2)＋4＝0.解：设x－2＝y，则原方程化为：3y2＋7y＋4＝0.∵a＝3，b＝7，c＝4，∴b2－4ac＝72－4×3×4＝1.∴y ＝－7±12×3＝－7±16.∴y 1＝－1，y 2＝－43. 当y ＝－1时，x －2＝－1，∴x ＝1；当y ＝－43时，x －2＝－43，∴x ＝23. ∴原方程的解为：x 1＝1，x 2＝23. 请仿照上面的例题解一元二次方程：2(x －3)2－5(x －3)－7＝0.综合题21．(广元中考)李明准备进行如下操作实验：把一根长40 cm 的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积和等于58 cm 2，李明应该怎么剪这根铁丝？(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2.你认为他的说法正确吗？请说明理由．参考答案基础题1.C2.－23.D4.D5.D6.(1)(2x ＋3)2＝81.x 1＝3，x 2＝－6.(2)x 1＝3＋11，x 2＝3－11.(3)(3x ＋2)(5x －2)＝0.x 1＝－23，x 2＝25. 7.B 8.A 9.C 10.2 11.A12.(1)设平均每年下调的百分率为x ，根据题意，得6 500(1－x)2＝5 265.解得x 1＝0.1＝10%，x 2＝1.9(不合题意，舍去)．答：平均每年下调的百分率为10%.(2)如果下调的百分率相同，2016年的房价为：5 265×(1－10%)＝4 738.5(元/m 2)．则100平方米的住房的总房款为：100×4 738.5＝473 850(元)＝47.385(万元)．∵20＋30＞47.385，∴张强的愿望可以实现．中档题13.B 14.D 15.0或1 16.5 17.20 18.2 02619.设降价x 元，则售价为(60－x)元，销售量为(300＋20x)件，根据题意，得(60－x －40)(300＋20x)＝6 080，解得x 1＝1，x 2＝4，又因为顾客得实惠，故取x ＝4，即定价为56元．答：应将销售单价定为56元．20.设x －3＝y.则原方程化为：2y 2－5y －7＝0.∵a ＝2，b ＝－5，c ＝－7，∴b 2－4ac ＝(－5)2－4×2×(－7)＝81.∴y ＝5±812×2＝5±94.∴y 1＝－1，y 2＝72.当y ＝－1时，x －3＝－1，∴x ＝2；当y ＝72时，x －3＝72，∴x ＝132.∴原方程的解为：x 1＝2，x 2＝132. 综合题21．(1)设其中一个正方形的边长为x cm ，则另一个正方形的边长为(10－x)cm ，由题意得x 2＋(10－x)2＝58.解得x 1＝3，x 2＝7，∴这两个正方形的周长分别为4×3＝12(cm)，4×7＝28(cm)，∴李明应该把铁丝剪成12 cm 和28 cm 的两段．(2)李明的说法正确．设其中一个正方形的边长为y cm ，则另一个正方形的边长为(10－y)cm ，由题意得y 2＋(10－y)2＝48，整理得y 2－10y ＋26＝0，∵Δ＝(－10)2－4×1×26＝－4＜0，∴此方程无实数根．即这两个正方形的面积之和不能等于48 cm 2.∴李明的说法是正确的．。
人教版九年级数学上册 第21章 《一元二次方程》 单元复习题
《一元二次方程》单元复习题一．选择题1．一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的一次项系数是（）A．1 B．﹣3 C．3 D．﹣42．关于x的一元二次方程x2+（k+1）x+k﹣2＝0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断3．关于一元二次方程x2﹣2x+1﹣a＝0无实根，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＞0 C．a＜D．a＞4．某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%，设平均每次增长的百分数为x，那么x应满足的方程是（）A．x＝B．100（1+40%）（1+10%）＝（1+x）2C．（1+40%）（1+10%）＝（1+x）2D．（100+40%）（100+10%）＝100（1+x）25．菱形ABCD的一条对角线长为6cm，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD 的周长等于（）A．10cm B．12 cm C．16cm D．12cm或16cm 6．若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜且k≠﹣2 B．k C．k≤且k≠﹣2 D．k7．用配方法解方程x2﹣4x＝0，下列配方正确的是（）A．（x+2）2＝0 B．（x﹣2）2＝0 C．（x+2）2＝4 D．（x﹣2）2＝48．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两根，则x12+x22的值为（）A．6 B．8 C．14 D．169．现代互联网技术的广泛应用，促进快递行业高速发展，据调查，某家快递公司，今年5月份与7月份完成投递的快递总件数分别为8.5万件和10万件，设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．8.5（1+2x）＝10B．8.5（1+x）＝10C．8.5（1+x）2＝10D．8.5+8.5（1+x）+8.5（1+x）2＝1010．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（）A．32x+2×20x﹣2x2＝570B．32x+2×20x＝32×20﹣570C．（32﹣2x）（20﹣x）＝32×20﹣570D．（32﹣2x）（20﹣x）＝570二．填空题11．关于x的一元二次方程x2﹣4x+m2＝0有两个相等的实数根，则m＝．12．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根．设方程的两个实数根分别为x1，x2，且（1+x1）（1+x2）＝3，则k的值是．13．设m、n是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为．14．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（k﹣1）x+k＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．15．如图，有一块矩形铁皮，长为100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为1400cm2，那么铁皮各角切去的正方形的边长为cm．三．解答题16．（1）解方程：x（x﹣3）＝x﹣3；（2）用配方法解方程：x2﹣10x+6＝017．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃，其中边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃垂直于墙的一边长为x米．（1）若苗圃的面积为72平方米，求x的值；（2）这个苗圃的面积能否是120平方米？请说明理由．18．已知关于x的方程（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0．（1）求证：无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为﹣1，则另一个根为．19．某服装店出售某品牌的棉衣，进价为100元/件，当售价为150元/件时，平均每天可卖30件；为了增加利润和减少库存，商店决定降价销售．经调査，每件每降价1元，则每天可多卖2件．（1）若每件降价20元，则平均每天可卖件．（2）现要想平均每天获利2000元，且让顾客得到实惠，求每件棉衣应降价多少元？20．关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）设出x1、x2是方程的两根，且x12+x22＝12，求m的值．21．因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2019年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2021年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．（1）求东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率．（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2021年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？参考答案一．选择题1．解：一次项是：未知数次数是1的项，故一次项是﹣3x，系数是：﹣3，故选：B．2．解：∵△＝（k+1）2﹣4（k﹣2）＝（k﹣1）2+8＞0，∴关于x的一元二次方程x2+（k+1）x+k﹣2＝0一定有两个不相等的实数根．故选：A．3．解：∵一元二次方程x2﹣2x+1﹣a＝0无实根，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（1﹣a）＜0，解得，a＜0，故选：A．4．解：设平均每次增长的百分数为x，∵某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%，∴商品现在的价格为：100（1+40%）（1+10%），∵某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为x，∴商品现在的价格为：100（1+x）2，∴100（1+40%）（1+10%）＝100（1+x）2，整理得：（1+40%）（1+10%）＝（1+x）2，故选：C．5．解：解方程x2﹣7x+12＝0得：x＝3或4，即AB＝3或4，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝DC＝BC，当AD ＝DC ＝3cm ，AC ＝6cm 时，3+3＝6，不符合三角形三边关系定理，此时不行； 当AD ＝DC ＝4cm ，AC ＝6cm 时，符合三角形三边关系定理，即此时菱形ABCD 的周长是4×4＝16，故选：C ．6．解：∵关于x 的一元二次方程（k +2）x 2﹣3x +1＝0有实数根，∴k +2≠0且△＝（﹣3）2﹣4（k +2）•1≥0，解得：k且k ≠﹣2， 故选：C ．7．解：x 2﹣4x +4＝4，（x ﹣2）2＝4．故选：D ．8．解：∵x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣5＝0的两根，∴x 1+x 2＝2，x 1x 2＝﹣5∴原式＝（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝4+10＝14故选：C ．9．解：设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x ，根据题意，得8.5（1+x ）2＝10，故选：C ．10．解：设道路的宽为xm ，则草坪的长为（32﹣2x ）m ，宽为（20﹣x ）m ，根据题意得：（32﹣2x ）（20﹣x ）＝570．故选：D ．二．填空题（共5小题）11．解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣4x +m 2＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣4）2﹣4×1×m 2＝0，解得：m ＝±2．故答案为：±2．12．解：由题意知x 1+x 2＝﹣（2k +1），x 1x 2＝k 2，∵（1+x1）（1+x2）＝3，∴1+x1+x2+x1x2＝3，即1﹣（2k+1）+k2＝3，解得k＝﹣1或k＝3，∵方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（2k+1）2﹣4k2＞0，解得：k＞﹣，∴k＝3，故答案为：3．13．解：∵m、n是方程x2+x﹣20200的两个实数根，∴m+n＝﹣1，并且m2+m﹣2020＝0，∴m2+m＝2020，∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝2020﹣1＝2019．故答案为：201914．解：根据题意知[﹣（k﹣1）]2﹣4k×k＞0且k≠0，解得：k＜且k≠0．故答案为：k＜且k≠0．15．解：设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为（100﹣2x）cm，宽为（50﹣2x）cm，根据题意得：（100﹣2x）（50﹣2x）＝1400，展开得：x2﹣75x+900＝0，解得：x1＝15，x2＝60（不合题意，舍去），则铁皮各角应切去边长为15cm的正方形．故答案是：15．三．解答题（共6小题）16．解：（1）∵x（x﹣3）＝x﹣3，∴x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，则（x﹣3）（x﹣1）＝0，∴x ﹣3＝0或x ﹣1＝0，解得x ＝3或x ＝1；（2）∵x 2﹣10x +6＝0，∴x 2﹣10x ＝﹣6，则x 2﹣10x +25＝﹣6+25，即（x ﹣5）2＝19，∴x ﹣5＝±， 则x ＝5．17．解：（1）根据题意得x （30﹣2x ）＝72，化简得x 2﹣15x +36＝0，即（x ﹣12）（x ﹣3）＝0∴x ﹣12＝0或x ﹣3＝0∴x 1＝12，x 2＝3当x ＝12时，平行于墙的一边为30﹣2x ＝6＜18，符合题意；当x ＝3时，平行于墙的一边为30﹣2x ＝24＞18，不符合题意，舍去．故x 的值为12；（2）根据题意得x （30﹣2x ）＝120，化简得x 2﹣15x +60＝0∵△＝（﹣15）2﹣4×1×60＝﹣15＜0，∴方程无实数根故这个苗圃的面积不能是120平方米．18．（1）证明：原方程可化为（x ﹣m ）（x ﹣m +2）＝0，x ﹣m ＝0或x ﹣m +2＝0．解得x 1＝m ，x 2＝m ﹣2，∵m ＞m ﹣2，∴无论m 为何值，该方程都有两个不相等的实数根；（2）当m ＝﹣1时，另一个根为m ﹣2＝﹣1﹣2＝﹣3；当m ﹣2＝﹣1时，解得m ＝1，另一个根为m ＝1，即方程的另一个根为1或﹣3．19．解：（1）30+20×2＝70件，故答案为：70；（2）设每件棉衣降价x 元，则日销售量是（30+2x ）件依题意可得：（150﹣100﹣x ）（30+2x ）＝2000解得x 1＝10，x 2＝25为了使顾客得到实惠，舍去x 1＝10答：每件棉衣降价25元．20．解：（1）根据题意得：△＝（2m ）2﹣4（m 2+m ）＞0，解得：m ＜0．∴m 的取值范围是m ＜0．（2）根据题意得：x 1+x 2＝﹣2m ，x 1x 2＝m 2+m ，∵x 12+x 22＝12，∴﹣2x 1x 2＝12，∴（﹣2m ）2﹣2（m 2+m ）＝12，∴解得：m 1＝﹣2，m 2＝3（不合题意，舍去），∴m 的值是﹣2．21．解：（1）设年平均增长率为x ，由题意得：20（1+x ）2＝28.8，解得：x 1＝20%，x 2＝﹣2.2（舍去）．答：东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率为20%．（2）设每杯售价定为a 元，由题意得：（a ﹣6）[300+30（25﹣a ）]＝6300，解得：a 1＝21，a 2＝20．∴为了能让顾客获得最大优惠，故a 取20．答：每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．。
九年级数学上册 第21章 一元二次方程小节与复习课件1 (新版)新人教版
C.没有实数根
b24ac 0
D.根的情况无法
3. 关于x的一元二次方程 mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为1，求m的 值及该方程的根。
解：b2-4ac=[-(3m-1)]2-4m(2m-1)=9m2-6m+1-8m2+4m =m2-2m+1=(m-1)2
∴ (m-1)2=1,即 m1＝2， m2＝0(二次项系数不为0，舍去)。
次项系数和次项系数．
回顾与复习 2
你学过一元二次方程的哪些解法?
开平方法
配方法
公式法
因式分解法
你能说出每一种解法的特点吗?
方程的左边是完全平方式,右边是非 负数;即形如x2=a(a≥0)
x1 a,x2 a
“配方法”解方程的基本步骤
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边同加一次项系数
当m=2时，原方程变为2x2-5x+3＝0， x＝3/2或x=1.
下课了!
结束寄语
• 一元二次方程也是刻画现实世界的 有效数学模型.
• 用列方程的方法去解释或解答一些 生活中的现象或问题是一种重要的 数学方程方法——即方程的思想.
一半的平方;
4.变形:化成(x m )2 a
5.开平方，求解
★一除、二移、三配、四化、五解.
用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程:
ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
xb2b2a 4a.bc24a0 c.
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零;
2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零.
2017年秋季学期新版新人教版九年级数学上学期第21章、一元二次方程单元复习教案24
一元二次方程教学目标：知识与技能目标：认识形如x2＝a（a≥0）或（ax+b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c为常数）类型的方程，并会用直接开平方法解．过程与方法目标：培养学生准确而简洁的计算能力及抽象概括能力．情感与态度目标：通过两边同时开平方，将2次方程转化为一次方程，向学生渗透数学新知识的学习往往由未知（新知识）向已知（旧知识）转化，这是研究数学问题常用的方法，化未知为已知．教学重、难点与关键：重点：用直接开平方法解一元二次方程．．教辅工具：教学程序设计：程序教师活动学生活动备注创设问题情景在初二代数“数的开方”这一章中，学习了平方根和开平方运算．“如果x2=a（a≠0），那么x就叫做a的平方根．”“求一个数平方根的运算叫做开平方运算”．正确理解这个概念，在本节课我们就可得到最简单的一元二次方程x2＝a的解法，在此基础上，就可以解符合形如（ax＋b）2=c（a，b，c常数，a≠0，c≥0）结构特点的一元二次方程，从而达到本节课的目的．举一些生活中平移的实例。
探究新知11．复习提问（1）什么叫整式方程？举两例，一元一次方程及一元二次方程的异同？（2）平方根的概念及开平方运算？2．引例：解方程x2-4=0．解：移项，得x2＝4．两边开平方，得x＝±2．∴ x1＝2，x2＝-2．举例反馈训练应用提高练习：教材P．7中1（1）（2）（3）（4）．按照要求完成后，相互检查讨论完成。
学生在练习、板演过程中充分体会直接开平方法的步骤以及蕴含着关于平方根的一些概念．探究新知2 例1 解方程9x2-16＝0．此题解法教师板书，学生回答，再次强化解题反馈训练应用提高练习：教材P．7中2．按照要求完成后，相互检查讨论完成。
探究新知2 例2 解方程（x＋3）2＝2．例3 解方程（2-x）2-81＝0．解法（一）解法（二）学生试解反馈训练应用提高练习：解下列方程：（1）（1-x）2-18＝0；（2）（2-x）2＝4；按照要求完成后，相互检查讨论完成。
秋九年级数学上册 第21章 一元二次方程单元复习整合 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中九年级上
一元二次方程答知识专题复习专题一巧用一元二次方程及根的定义探究引路【例1】 若0=x 是关于x 的方程0823)2(22=-+++-m m x x m 的解，某某数m 的值，并讨论此方程解的情况.思路图示 0=x 为方程的解 0822=-+m m 求出m 的值 代入原方程验证.答案因0=x 是此方程的根，所以代入的0822=-+m m 解得21=m ，42-=m .当2=m 时，此方程是一元一次方程03=x ，所以0=x . 当4-=m 时，此方程是一元二次方程0362=+-x x ， 解得01=x ，212=x . 归纳拓展求一元二次方程中的某一个字母的取值X 围时，将方程先化为一般式(有时已经是一般式，就不用转化)，再根据一元二次方程的定义，使这个字母或含这个字母的代数式的值同时满足两条：二次项的系数不等于0且未知数的最高次数是2.或者已知一元二次方程的根求方程中某个字母的值时，所求出的字母的值也应满足两条：二次项的系数不等于0且未知数的最高次数是2.否则，应舍去不符合以上两条的这个字母的值.【迁移应用1】已知0=x 是一元二次方程023)2(22=-++-m x x m 的根，求m 的值.答案 ∵0=x 是方程的根，∴02030)2(2=-+⨯+⨯-m m . ∴022=-m解得2±=m 又∵02≠-m ∴2≠m ∴2-=m .专题二 一元二次方程的解法技巧与运用 探究引路【例2】解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a解析 此方程没指明是什么方程，也没指明a 的取值X 围，因此应分类讨论，分别求解. 答案 (1)当1=a 时，原方程是一元一次方程012=+-x ， ∴21=x . (2)当1≠a 时，∵a a a a ac b 4)1(4)2(422=---=-=△. ①当0<a 时，原方程无实数解. ②当0=a 时，021==x x . ③当0>a 且1≠a 时，1121--=-+=a aa x a a a x ，.【例3】 解方程：(1)04424=+-x x ； (2)08736=--x x解析 “换元法”，可使高次方程化为二次方程达到逐步降次求解的目的. 答案 (1)设y x =2，则原方程可化为0442=+-y y∴221==y y .∴22=x ，2±=x ，即2221-==x x ，.(2)设y x =2，则原方程可化为0872=--y y ， ∴11-=y ，82=y ，∴13-=x 或83=x∴2121=-=x x ， 归纳拓展在解一元二次方程时，要观察方程的结构特点，在没给出解法要求时，可选取简单解法.要先看是否能用因式分解法或直接开平方法，否则就用公式法，一般不用配方法.【迁移应用2】 解方程04)1(5)1(222=+---x x . 答案 设y x =-12，则原方程可化为0452=+-y y ，解得4121==y y ，. 当112=-x 时，52=x ，∴5±=x ，∴21=x ，22-=x .当112-=-x 时，22=x ，∴2±=x ，∴51=x ，52-=x .∴原方程的解为：21=x ，22-=x ，53=x ，54-=x .专题三一元二次方程在日常生活中的应用 探究引路【例4】润滑用油90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油为36千克。
初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程单元复习-章节测试习题(6)
章节测试题1.【题文】已知关于x的一元二次方程（a+c）x2-2bx+（a-c）＝0，其中a、b、c 分别为△ABC三边的长．（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【答案】见解答．【分析】（1）把x＝1代入方程得a+c-2b+a-c＝0，整理得a＝b，从而可判断三角形的形状；（2）根据判别式的意义得△＝（-2b）2-4（a+c）（a-c）＝0，即b2+c2＝a2，然后根据勾股定理可判断三角形的形状；（3）利用等边三角形的性质得a＝b＝c，方程化为x2-x＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）把x＝1代入方程得a+c-2b+a-c＝0，则a＝b，∴△ABC为等腰三角形；（2）根据题意得△＝（-2b）2-4（a+c）（a-c）＝0，即b2+c2＝a2，∴△ABC为直角三角形；（3）∵△ABC为等边三角形，∴a＝b＝c，∴方程化为x2-x＝0，解得x1＝0，x2＝1．2.【答题】将一元二次方程化为一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（）A. 3，-6B. 3，6C. 3，1D.【答案】A【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【解答】解化成一元二次方程一般形式是，则它的二次项系数是3，一次项系数是-6．选A．3.【答题】方程（x+1）2＝0的根是（）A. x1＝x2＝1B. x1＝x2＝-1C. x1＝-1，x2＝1D. 无实根【答案】B【分析】根据平方根的意义，利用直接开平方法即可进行求解．【解答】（x+1）2＝0，∴x+1=0，∴x1＝x2＝-1，选B.4.【答题】解一元二次方程x2＋4x-1＝0，配方正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案．【解答】∵x2+4x-1=0，∴x2+4x+4=5，∴（x+2）2=5，选C．5.【答题】关于x的方程x2-3x+k＝0的一个根是2，则常数k的值为（）A. 1B. 2C. -1D. -2【答案】B【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入得4-6+k=0，然后解关于k的方程即可．【解答】把x=2代入得，4-6+k=0，解得k=2．故答案为：B.6.【答题】定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）．A. B. C. D.【答案】A【分析】∵方程有两个相等的实数根，∴根的判别式△=b2-4ac=0，又a+b+c=0，即b=-a-c，代入b2-4ac=0得（-a-c）2-4ac=0，化简即可得到a与c的关系．【解答】∵一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根∴△=b2−4ac=0，又a+b+c=0，即b=−a−c，代入b2−4ac=0得（−a−c）2−4ac=0，即（a+c）2−4ac=a2+2ac+c2−4ac=a2−2ac+c2=（a−c）2=0，∴a=c选A7.【答题】若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值（）A. 0B. 1或2C. 1D. 2【答案】D【分析】把x=0代入已知方程得到关于m的一元二次方程，通过解方程求得m的值；注意二次项系数不为零，即m-1≠0．【解答】解：根据题意，将x=0代入方程，得：m2-3m+2=0，解得：m=1或m=2，又m-1≠0，即m≠1，∴m=2，选D.8.【答题】若关于x的一元二次方程（a＋1）x2＋x＋a2-1＝0的一个解是x＝0，则a的值为（）A. 1B. -1C. ±1D. 0【答案】A【分析】方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于a的方程，从而求得a的值，且（a＋1）x2＋x＋a2-1＝0为一元二次方程，即．【解答】把x=0代入方程得到：a2-1＝0解得：a=±1．（a＋1）x2＋x＋a2-1＝0为一元二次方程即．综上所述a=1．选A．9.【答题】将一元二次方程用配方法化成的形式为（）A. B.C. D.【答案】A【分析】先移项得，x2-2x=3，然后在方程的左右两边同时加上1，即可化成（x+h）2=k的形式．【解答】移项，得x2-2x=3，配方，得x2-2x+1=3+1，即（x-1）2=4．选A.10.【答题】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是13，则每个支干长出（）A. 2根小分支B. 3根小分支C. 4根小分支D. 5根小分支【答案】B【分析】先设每个支干长出x个分支，则每个分支又长出x个小分支，x个分支共长出x2个小分支；再根据主干有1个，分支有x个，小分支有x2个，列出方程；然后根据一元二次方程的解法求出符合题意的x的值即可．【解答】设每个支干长出x个分支，根据题意得1+x+x•x=13，整理得x2+x-12=0，解得x1=3，x2=-4（不符合题意舍去），即每个支干长出3个分支．故应选B．11.【答题】关于x的方程（m+n）x2+-（m-n）x=0（m+n≠0）的二次项系数与一次项系数的和为，差为2，则常数项为（）A. B. C. D.【答案】A【分析】二次项系数与一次项系数的和为，差为2列方程组求出m、n的值，然后可求出常数项．【解答】由题意得，解之得，∴．选A．12.【答题】若代数式的值是，则的值为（）A. 7或-1B. 1或-5C. -1或-5D. 不能确定【答案】A【分析】首先把方程化为一般形式x2-6x+5-12=0，即x2-6x-7=0，用因式分解法求解．【解答】∴解得：选A.13.【答题】如果关于x的一元二次方程（m-3）x2+3x+m2-9＝0有一个解是0，那么m的值是（）A. -3B. 3C. ±3D. 0或-3【答案】A【分析】把X=0代入方程（m-3）x+3x+m-9=0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0【解答】把x=0代入方程（m-3）x+3x +m-9=0中得：m-9=0解得m=-3或3当m=3时，原方程二次项系数m-3=0，舍去，选A14.【答题】若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是______．【答案】m≠1【分析】将原方程化为一般式，根据一元二次方程中，二次项系数不能为零求解即可．【解答】原方程可化为：，∵方程是关于的一元二次方程，∴，即，故答案为：．15.【答题】已知是一元二次方程的一根，则该方程的另一个根为______．【答案】-2【分析】由于该方程的一次项系数是未知数，∴求方程的另一解根据根与系数的关系进行计算即可．【解答】设方程的另一根为x1，由根与系数的关系可得：1×x1=-2，∴x1=-2．故答案为：-2．16.【答题】在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2-b2，根据这个规则，方程（x+2）*5＝0的解为______．【答案】3或-7【分析】本题考查了新定义、一元二次方程的解法．【解答】据题意得，∵（x+2）*5=（x+2）2-52∴x2+4x-21=0，∴（x-3）（x+7）=0，∴x=3或x=-7．17.【答题】若方程的两根，则的值为______．【答案】5【分析】根据根与系数的关系求出，代入即可求解．【解答】∵是方程的两根∴=-=4，==1∴===4+1=5，故答案为：5．18.【题文】已知关于的方程．（1）为何值时，此方程是一元一次方程？（2）为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．【答案】（1）时，此方程是一元一次方程；（2）．一元二次方程的二次项系数、一次项系数，常数项．；【分析】（1）根据一元一次方程的定义可得=0，且m+1≠0，解得m的值；（2）根据一元二次方程的定义可得≠0，可得m的取值范围，然后写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．【解答】解：（1）=0，且m+1≠0，解得m=1，答：当m=1时，此方程是一元一次方程；（2）≠0，解得m≠±1，答：当m≠±1时，此方程是一元二次方程，其二次项系数为，一次项系数为-（m+1），常数项为m．19.【题文】选择适当方法解下列方程：（1）（用配方法）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1），；（2），；（3），；（4），．【分析】本题考查了一元二次方程的解法．【解答】解：，移项得：，配方得：，即，∴，∴，；，移项，得，，或，，；，∵，，，∴，∴，∴，；．，，或，，．20.【题文】已知：已知关于的方程（1）求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）若该方程的一个根为1，求的值及方程的另一个根．【答案】（1）见解答；（2），方程的另一个根是．【分析】（1）由方程的各系数结合根的判别式可得出△＞0，由此即可得出结论（2）将x=1代入原方程，得出关于m的一元一次方程，解方程求出m的值，将其代入原方程得出关于x的一元二次方程，结合根与系数的关系得出方程的另一个解．【解答】解：（1）证明：∵在关于x的方程中，，∴不论为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）将x=1代入方程中得出：1+m+m-2=0 解得：，∴原方程为：∴∵∴∴，方程的另一个根是．。
2017年秋季学期新版新人教版九年级数学上学期第21章、一元二次方程单元复习课件3
例6 某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元， 调查发现当销售价为24元，平均每天能售出32件，而当销售价每上 涨2元，平均每天就少售出4件. (1)若公司每天的销售价为x元，则每天的销售量为多少？ （2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该 公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？
专题五 一元二次方程的根与系数的关系
例4 已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m2－mn＋ n2＝ 25． 解析 根据根与系数的关系可知，m+n=4,mn=-3. m2－mn＋n2＝
2-3 ×(-3)=25.故填25. m2+n2-mn=(m+n)2-32 mn=42 2 ① x x ( x x ) 2x1 x2 ; 【重要变形】 1 2 1 2
解析 本题为销售中的利润问题，其基本本数量关系用表析分如下：设公司每天的 销售价为x元.
单件利润 正常销售 涨价销售 销售量（件） 每星期利润（元）
为“有根必代” . 易错提示 求出m 值有两个1和-1,由于原方程是一元二次方程，所以1
不符合，应引起注意. 2 配套训练 一元二次方程x +px-2=0的一个根为2，则p的值为 -1 .
专题三 一元二次方程的解法
例3 (1)用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变为（ A ） A. (x-1)2=6 C. (x+1)2=6 B.(x+2)2=9 D.(x-2)2=9
九年级数学上（RJ） 教学课件
第二十一章
一元二次方程
复习课
知识网络
专题复习
课堂小结
课后训练
知识网络
一元二次方 程的定义 一元二次方 程的解法
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第21章一元二次方程
一、知识梳理
1．一元二次方程的概念
只含有个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程．[注意] 一元二次方程判定的条件是：(1)必须是整式方程；(2)二次项系数不为零；(3)未知数的最高次数是2，且只含有一个未知数．
2．一元二次方程的解法
一元二次方程有四种解法：法、法、
法和法．其基本思想是.
[注意] 公式法其实质是配方法，只不过省去了配方的过程，但用公式时应注意：(1)将一元二次方程化为一般形式，即先确定a、b、c的值；(2)牢记使用公式的前提是b2－4ac≥0.
3．一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac
(1)Δ>0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有的实数根；
(2)Δ＝0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有的实数根；
(3)Δ<0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 实数根．
[注意] (1)根的判别式是在一元二次方程的一般形式下得出的，因此使用根的判别式之前，必须把一元二次方程化成一般形式；(2)如果说一元二次方程有实根，应该包括有两个相等的实数根与两个不相等的实数根两种情况，此时b2－4ac≥0，不能丢掉等号；(3)在利用根的判别式确定方程中字母系数的取值范围时，如果二次项系数含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件．
4.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1＋x2＝，x1·x2＝.
[注意] 它成立的条件：①二次项系数不能为0；②方程根的判别式大于或等于0.
5.一元二次方程的主要应用类型：几何面积、增长率、商品销售等。
二、题型、技巧归纳
考点一:一元二次方程及根的有关概念
【主题训练1】若(a-3)
2
a7
x－ +4x+5=0是关于x的一元二次方程,则a的值为( )
A.3
B.-3
C.±3
D.无法确定
【解答】
归纳：
考点二：一元二次方程的解法
【训练2】解方程x2-2x-1=0.
【解答】
归纳：
考点三：根的判别式及根与系数的关系
【训练3】若5k+20<0,则关于x的一元二次方程x2+4x-k=0的根的情况是( )
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法判断
【解答】
归纳：
考点四：一元二次方程的应用
【训练4】某校为培养青少年科技创新能力,举办了动漫制作活动,小明设计了点做圆周运动的一个雏型.如图所示,甲、乙两点分别从直径的两端点A,B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程l(cm)与时间t(s)满足关系:l= t2+ t(t≥0),乙以4cm/s的速度匀速运动,半圆的长度为21cm.
(1)甲运动4s后的路程是多少?
(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了多少时间?
(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了多少时间?
【解答】
归纳：
考点五几何图形型应用题
【训练5】如图所示，在长为10 cm，宽为8 cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，求所截去小正方形的边长．
例5图
【解答】
归纳：
【典例精讲】
例题：某百货大楼服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少？
解：
三、随堂检测
1.下列方程中,一定是一元二次方程的是( )
A.ax2+bx+c=0
B. 1
2
x2=0
C.3x2+2y-1
2=0 D.x2+ 4
x
-5=0
2.若关于x的一元二次方程ax2+bx+5 =0(a≠0)的解是x=1,则2013-a-b的值是( )
A.2 018
B.2 008
C.2 014
D.2 012
3.一元二次方程2x2-3x-2=0的二次项系数是,一次项系数是,常数项是.
4.已知b<0,关于x的一元二次方程(x-1)2=b的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根，
B.有两个相等的实数根，
C.没有实数根，
D.有两个实数根
5、若将方程x2+6x=7化为(x+m)2=16,则m= .
6.解方程:(x-3)2-9=0.
7.下列一元二次方程有两个相等实数根的
是( )
A.x2+3=0
B.x2+2x=0
C.(x+1)2=0
D.(x+3)(x-1)=0
8. 8.已知一元二次方程:①x2+2x+3=0,
②x2-2x-3=0,下列说法正确的是( )
A.①②都有实数解
B.①无实数解,②有实数解
C.①有实数解,②无实数解
D.①②都无实数解
9.已知一元二次方程x2-6x+c=0有一个根为2,则另一根为( )
A.2
B.3
C.4
D.8
10. 10.若x1,x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根,则x1x2的值是( )
A.-2
B.-3
C.2
D.3
11. 11.关于x的方程ax2-(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根x1,x2,且有x1-x1x2+x2=1-a,则a的值是( )
A.1
B.-1
C.1或-1
D.2
12.从一块正方形的木板上锯掉2m宽的长方形木条,剩下的面积是48m2,则原来这块木板的面积是( )
A.100 m2
B.64 m2
C.121 m2
D.144 m2
13.我国政府为解决老百姓看病难问题,决定下调药品的价格.某种药经过两次降价,由每盒60元调至48.6元,则每次降价的百分率为（）.
14.为响应“美丽广西清洁乡村”的号召,某校开展“美丽广西清洁校园”的活动,该校经过精心设计,计算出需要绿化的面积为498m2,绿化150m2后,为了更快地完成该项绿化工作,将每天的工作量提高为原来的1.2倍.结果一共用20天完成了该项绿化工作.
(1)该项绿化工作原计划每天完成多少m2?
(2)在绿化工作中有一块面积为170m2的矩形场地,矩形的长比宽的2倍少3m,请问这块矩形场地的长和宽各是多少米?
答案：
1.选B.A中的二次项系数缺少不等于0的条件,C中含有两个未知数,D中的方程不是整式方程.
2. 【解析】选A.∵x=1是一元二次方程ax2+bx+5=0的一个根, ∴a·12+b·1+5=0,∴a+b=-5,∴2013-a-b=2013-(a+b)=2013-(-5)=2018.
3. 答案:2 -3 -2
4. 选C.∵(x-1)2=b中b<0,∴没有实数根.
5. 答案: 3
6. 【解析】移项得:(x-3)2=9,两边开平方得x-3=±3,
所以x=3±3,解得:x1=6,x2=0.
7. 【解析】选C.
8. 【解析】选B.一元二次方程①的判别式的值为Δ= b2-4ac=4-12=-8<0,所以方程无实数根;一元二次方程②的判别式的值为Δ=b2-4ac=4+12=16>0,所以方程有两个不相等的实数根.
9. 【解析】选C.由题意,把2代入原方程得:22
-6×2+c=0,解得c=8,把c=8代入方程得x 2
-6x+8=0,解得x 1=2,x 2=4.
10. 【解析】选B. 11. 【解析】选B.
12. 【解析】选B.设正方形原边长是x,根据题意可得:(x-2)x=48,解得x 1=8,x 2=-6(不合题意,舍去),所以原边长是8,面积是64m 2
.
13. 【解析】∵设每次降价的百分率为x,则根据题意,得60(1-x)2
=48.6,解得x 1=1.9(不合题意,舍去),x 2=0.1=10%.
答案:10%
14.【解析】(1)设该项绿化工作原计划每天完成xm 2
,则提高工作 量后每天完成1.2xm 2
,根据题意,得150
498150x
1.2x
－=20,解得x=22.
经检验,x=22是原方程的根.
答:该项绿化工作原计划每天完成22m 2
. (2)设矩形宽为ym,则长为(2y-3)m, 根据题意,得y(2y-3)=170,
解得y=10或y=-8.5(不合题意,舍去). 2y-3=17.
答:这块矩形场地的长为17m,宽为10m.。