最新人教版高中数学选修2-2第二章《综合法与分析法》知识讲解

数学人教B 选修2-2第二章2.2.1 综合法与分析法
1．掌握综合法证明问题的思考过程和推理特点，学会运用综合法证明简单题目．
2．掌握分析法证明问题的思考过程和推理特点，学会运用分析法证明简单题目．
3．区分综合法、分析法的推理特点，以便正确选取适当方法进行证明．
1．综合法
一般地，利用已知条件和某些数学______、______、______等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
综合法有三个特点：
(1)综合法是从原因推导到结果的思维方法；
(2)用综合法证明问题，从已知条件出发，逐步推理，最后达到待证的结论；
(3)综合法证明的思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
【做一做1－1】综合法是( )．
A ．执果索因的逆推法
B ．由因导果的顺推法
C ．因果互推的两头凑法
D ．以上均不对
【做一做1－2】设x ＞0，y ＞0，A ＝x ＋y 1＋x ＋y ，B ＝x 1＋x ＋y 1＋y
，则A 与B 的大小关系为( )．
A ．A ＞
B B ．A ≥B
C ．A ＜B
D ．A ≤B
2．分析法
一般地，从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的______条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明的方法叫做______．
用分析法证明的逻辑关系是：
B (结论)B 1B 2…B n A (已知)．
在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的______条件，最后一步归结到已被证明了的事实．因此，从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略．
分析法的特点：
(1)分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“需知”执果索因，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件．
(2)由于分析法是逆扒证明，故在利用分析法证明时应注意逻辑性与规范性，即分析法有独特的表达。

【做一做2】分析法是( )．
A ．执果索因的逆推法
B ．由因导果的顺推法
C ．因果分别互推的两头凑法
D ．逆命题的证明方法
证明与推理有哪些联系与区别？
剖析：(1)联系：证明过程其实就是推理的过程．就是把论据作为推理的前提，应用正
确的推理形式，推出论题的过程．一个论证可以只含一个推理，也可以包含一系列的推理；可以只用演绎推理，或只用归纳推理，也可以综合运用演绎推理和归纳推理，所以证明就是推理，是一种特殊形式的推理．
(2)区别：①从结构上看，推理包含前提和结论两部分，前提是已知的，结论是根据前提推出来的；而证明是由论题、论据、论证三部分组成的．论题相当于推理的结论，是已知的，论据相当于推理的前提．
②从作用上看，推理只解决形式问题，对于前提和结论的真实性是不确定的，而证明却要求论据必须是真实的，论题经过证明后其真实性是确信无疑的．
题型一 综合法
【例题1】设数列{a n }的前n 项和为S n ，且(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3(n ∈N ＋)．其中m 为常数，且m ≠－3.
(1)求证：{a n }是等比数列；
(2)若数列{a n }的公比q ＝f (m )，数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝32
f (b n －1)(n ∈N ＋，n ≥2)，求证：⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1b n 为等差数列． 分析：本题要求证明数列为等差、等比数列，思路是用定义证明，所以恰当的处理递推关系是关键．
反思：应用综合法证明问题是从已知条件出发，经过逐步地运算和推理，得到要证明的结论，并在其中应用一些已经证明的或已有的定理、性质、公式等．综合法的特点是：从已知看可知，再由可知逐步推向未知，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件．步骤可以归结为P 0(已知)P 1P 2P 3…P n (结论)．
题型二 分析法
【例题2】如图所示，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F ，求证：AF ⊥SC .
分析：本例所给的已知条件中，垂直关系较多，我们不容易确定如何在证明中使用它们，
因而用综合法比较困难．这时，可以从结论出发，逐步反推，寻求使要证结论成立的充分条件．
反思：在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件，最后一步归结到已被证明了的事实．因此，从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略．
题型三 易错辨析
易错点：分析法是一种重要的证明方法，因为它叙述较繁，易造成错误，所以在利用分析法证明时应注意逻辑性与规范性，另外，要注意前后的必要性，即应是“”，而不是“”．
【例题3】求证：3＋6＜4＋ 5.
错证：由不等式3＋6＜4＋ 5.①
平方得9＋62＜9＋4 5.②
即32＜2 5.③
则18＜20.④
因为18＜20，所以3＋6＜4＋ 5.
1函数f (x )＝ln(e x ＋1)－x 2( )．
A ．是偶函数，但不是奇函数
B ．是奇函数，但不是偶函数
C ．既是奇函数，又是偶函数
D ．既不是奇函数，也不是偶函数
2已知函数f (x )＝lg 1－x
1＋x ，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( )．
A ．a
B ．－b
C ．1b
D ．－1b
3已知两个正数x ，y 满足x ＋4y ＋5＝xy ，则当xy 取最小值时x ，y 的值分别为(
)． A ．5,5 B ．10,52
C ．10,5
D ．10,10
4已知三棱锥S —ABC 的三视图如图所示，在原三棱锥中给出下列命题：
①BC ⊥平面SAC ；②平面SBC ⊥平面SAB ；③SB ⊥AC .
其中正确的命题是________(填序号)．
5若a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则a ，b 应满足的条件是________________．
答案：
基础知识·梳理
1．定义 公理 定理
【做一做1－1】B
【做一做1－2】C ∵x ＞0，y ＞0，x 1＋x ＋y 1＋y ＞x 1＋x ＋y ＋y 1＋x ＋y ＝x ＋y
1＋x ＋y .
2．充分 分析法 充分
【做一做2】A
典型例题·领悟
【例题1】证明：(1)由(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3，得(3－m )S n ＋1＋2ma n ＋1＝m ＋3，
两式相减，得(3＋m )a n ＋1＝2ma n ，m ≠－3，
∴a n ＋1
a n ＝2m m ＋3，∴{a n }是等比数列．
(2)∵b 1＝a 1＝1，q ＝f (m )＝2m
m ＋3，
∴n N ＋且n ≥2时，
b n ＝32f (b n －1)＝32·2b n －1b n －1＋3b n b n －1＋3b n ＝3b n －11
b n －1
b n －1＝13.
∴⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1b n 是首项为1，公差为13的等差数列． 【例题2】证明：要证AF ⊥SC ，
只需证SC ⊥平面AEF ，
只需证AE ⊥SC (因为EF ⊥SC )，
只需证AE ⊥平面SBC ，
只需证AE ⊥BC (因为AE ⊥SB )，
只需证BC ⊥平面SAB ，
只需证BC ⊥SA (因为AB ⊥BC )．
由SA ⊥平面ABC 可知，上式成立．
所以AF ⊥SC .
【例题3】错因分析：由于错证的过程是①②③④，因而书写格式导致了逻辑错误．其证明的模式(步骤)以论证“若A ，则B ”为例：
欲证命题B 成立，只需证命题B 1成立，只需证命题B 2成立……，只需证A 为真．由已知A 真，故B 必真．
正确证法：欲证不等式3＋6＜4＋5成立，只需证3＋218＋6＜4＋220＋5成立，即证18＜20成立，即证18＜20成立．由于18＜20是成立的，故3＋6＜4＋ 5.
随堂练习·巩固
1．A 函数的定义域为R ，f (－x )＝ln(e －x
＋1)－－x 2＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋e x e x ＋x 2＝ln(e x ＋1)－ln e x ＋x 2＝ln(e x ＋1)－x 2＝f (x )．∴f (x )＝ln(e x ＋1)－x 2
为偶函数． 2．B ∵f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝－lg 1－x 1＋x
＝－f (x )，∴f (－a )＝－f (a )＝－b . 3．B 由x ＋4y ＋5＝xy ，得24xy ＋5≤xy ，即4xy ＋5≤xy .再利用二次函数求xy 的最
小值，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4y ，x ＋4y ＋5＝xy 时，xy 取到最小值，求得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝10，y ＝52.
故选B.
4．① 由三视图知在三棱锥S —ABC 中，底面ABC 为直角三角形且∠ACB ＝90°，∴BC ⊥AC ，又SA ⊥平面ABC ，∴BC ⊥SA ，由于SA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面SAC .故命题①正确，由已知推证不出②③命题．
5．a ≥0，b ≥0且a ≠b a a ＋b b ＞a b ＋b a ⇔(a －b )2(a ＋b )＞0⇔a ≥0，b ≥0且a ≠b .。