福建省厦门双十中学2019届高三暑假第一次返校考试数学(理)试题+Word版含答案
福建省厦门第一中学近年届高三数学暑假第一次返校考试试题理(扫描(2021年整理)
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福建省厦门双十中学2019届高三数学模拟试题理(含解析)
福建省厦门双十中学2019届高三数学模拟试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分），则（已知集合）， 1. D.A.C.B.【答案】C【解析】【分析】，由补集的定义可得，根据交集的定义可得结果. 由一元二次不等式的解法化简集合，【详解】由题意知，或可得，因为集合，C..所以故选【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键且不属于集合的元素的是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合集合.是的（） 2.是纯虚数，条件设，则是虚数单位，条件复数B. A. 充分不必要条件必要不充分条件D. C. 充分必要条件既不充分也不必要条件A 【答案】【解析】【分析】.是纯虚数，必有复数利用充分条件与必要条件的定义可得结果【详解】若复数能推出是纯虚数，必有；所以由不能推出.，所以由 ,但若. 不能推出复数是纯虚数是充分不必要条件,故选因此A.【点睛】本题主要考查复数的基本概念以及充分条件与必要条件的定义，属于简单题. 判断和结论充要条件应注意：首先弄清条件分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还- 1 -可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.在区间上是增函数，则（ 3.，函数设）B. A.D.C.C 【答案】【解析】【分析】.利用二次函数的性质，配方后可得，由函数的单调性可得结果，【详解】因为函数上是增函数，在区间 C. 所以. 故选【点睛】本题主要考查二次函数的性质、函数单调性的应用，属于简单题. 函数单调性的应用比较广泛，是每年高考的重点和热点内容．归纳起来，常见的命题探究角度有：（1）求函数的值域或最值；（2）比较两个函数值或两个自变量的大小；（3）解函数不等式；（4）求参数的取值范围或值．函数的部分图象可能是（） 4.B. A.D. C.【答案】C【解析】- 2 -【分析】，由特殊点排除，从而可得结果由奇偶性排除.，【详解】因为所以是偶函数，图象关于轴对称，；可排除选项 C.，则，可排除取，故选【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.的图象如图所示，则定积分（二次函数）5.B. C. 2 D. 3A.B 【答案】【解析】【分析】，方程的根为1，2的零点为1，2，由由图象可知，二次函数的值，利用微积分基本定理可得结果.韦达定理求出【详解】由图象可知，二次函数的零点为1，2- 3 -，，2即方程的根为1.由韦达定理可得B.故选【点睛】本题考查二次函数的图象与性质以及方程的根与函数零点的关系，微积分基本定理. 的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于简单题时，奇函数，且对任意的，都有6..已知当是定义在上）（，则的D. 1B.C. 0A.C 【答案】【解析】【分析】根据条件判断函数的周期性，利用函数奇偶性和周期性的关系进行转化求解即可=-f都有f（x+3），且对任意实数【详解】∵设f（x）是定义在R上的奇函数，x x），=f（-x）（的周期函数，x）是周期为3∴函数f（，时，∵当∴，=0 ）（=f（673×3+0）=f0）∴f（2019 =0，1=ff（2020）（673×3+1）=f（）.【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据条件判断函数的周期性是解决本题的关键．图象与函数的图象关于原点对称，则（）若函数7.A. B.C. D.D 【答案】【解析】- 4 -【分析】在函数的图象上，设的图象上任意一点，利用是函数可得函数. 的解析式【详解】设是函数的图象上任意一点，其关于原点对称的点是.在函数的图象上，因为点所以故选可得D.【点睛】本题主要考查函数的解析式以及函数图象的对称性，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.在点处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积是8若抛物线，8.则此切线）方程是（A. B.C. D.B 【答案】【解析】【分析】利用导数求得切线斜率，根据点斜式可得切线方程，求得切线与坐标轴的交点，利用三角形. 面积公式可得结果处的切线方程是，则得，.【详解】由抛物线在点.，则，则令令所以切线方程是B. 故选于是解得）求出（在点在处的导数，即1【点睛】求曲线切线方程的一般步骤是：处的切线与轴平行时，在在出的切线斜率（当曲线处导数不存在，切）由点斜式求得切线方程2（.）；线方程为，则其在设9.3，若函数在上的最大值是上的最小值是- 5 -（）D.B. 1A. 2 C. 0A 【答案】【解析】【分析】.设则，利用二次函数的性质求解即可设【详解】. 则；时，因为所以当A.当，即时，故选于是【点睛】本题主要考查指数函数的性质以及二次函数在闭区间上的最值，属于中档题. 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.，则的大小关系是（，10.设，），B. A.C. D.D 【答案】【解析】【分析】.的符号即可得结果利用作差法，分别判断与【详解】因为，所以可得，所以递减，因为所以 D.可得，故选- 6 -【点睛】本题的考点是比较法，考查了作差法比较大小，解题的关键是理解比较法的内涵，本题的难点是判断差的符号，一般采取把差变为几个因式的乘积或者化为完全平方式的形式，从而确定出差的符号.上单调递减，则实数的取值范围是（已知函数在）11.D.B.C.A.【答案】B【解析】【分析】上单调递减，等价于恒成立，，函数求出在.可得,从而可得结果由【详解】函数在恒成立，上单调递减，等价于因为,在,上恒成立 B.故选因此,.【点睛】利用单调性求参数的范围的常见方法：①视参数为已知数，依据函数的图象或单调与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间确定函数的单调区间，上是单调性定义，或的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ②利用导数转化为不等式恒成立问题求参数范围，则其极大（12.是自然对数的底数）有极小值已知函数0 ）值是（A. 或B. 或或 D.C.或【答案】A【解析】【分析】求出，利用导数判断函数的单调性，由单调性可得极小值，利用极小值求得的值，从而可得函数的极大值..【详解】由题意知，- 7 -内单调因为在区间，所以函数和由得，递增，，在区间内单调递减. 的极小值为于是函数或即解得.极大值为当时，A.故选时，的极大值为.当的求导数确定函数的定义域；(3) 【点睛】解方程(2) 求函数极值的步骤：(1) ；如果左正右负在左右两侧值的符号，求出函数定义域内的所有根；(4)的根检查，那么在（左增右减）处取极小，那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增）. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值值.20.0分）二、填空题（本大题共4小题，共．，则”的逆否命题是13.，命题“若设__________【答案】若，则【解析】【分析】.直接利用逆否命题的定义求解即可【详解】因为逆否命题是将原命题的条件与结论否定后，再互换否定后的条件与结论，，则所以“若”的逆否命题是，.，则，“若，则”故答案为若要注意四种命题关系的相对性，一旦. 【点睛】本题主要考查逆否命题的定义，属于基础题一个命题定为原命题，也就相应地确定了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”，注意利. 用“原命题”与“逆否命题”同真假用小于号连接．，结果是__________和14.【答案】【解析】【分析】- 8 -.内单调递减，从而可得结果构造函数,在利用导数可证明【详解】构造函数因为，所以在内单调递减，内单增，在,又因为..所以故答案为利用【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题.的范围，可得函数，在定义域内，分别令导数求单调区间的步骤：求出求得的范围，可得函数.增区间，求得的减区间的，其中若函数是自然对数的底数，则实数的值域是15. ．最小值是__________【答案】【解析】【分析】域是导利用数可求得当的数值函；时函时，数的值域是当，. ，进而可得结果，从而可得.在上递增，值域是【详解】当时，此时函数是减函数，其值域是.当时，，因为函数的值域是.所以.于是故答案为解得.，即实数的最小值是【点睛】本题主要考查分段函数的解析式与应用，以及利用导数求函数的最值与转化与划归思想的应用，意在考查对基础知识掌握的熟练程度以及灵活应用所学知识解答问题的能力，- 9 -属于中档题.在上的零点有__________个16..函数5 【答案】【解析】【分析】，增在上令可得上在递减，递在，其中令 ,可得为，递减，且因上在上的图象与函数上有两个零点在, ,而的图象有3个交点，从而可得结果.得，. 【详解】由在上单减，.则令. 在上单增，其中令 ,，则，所以存在唯一的上单减，且在，又因为因此函数在,使得上单减 ,上单增，在而上有两个零点,所以上的图象与函数在在 ,在个交点3 的图象有上的零点有函数5个，故正确答.5.案是函数的性质. 【点睛】本题主要考查函数的零点以及导数在研究函数性质的应用，属于难题问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的根方程函数函数的零点在轴的交点的交点与.- 10 -三、解答题（本大题共6小题，共70.0分），其中已知关于.17.的函数的实数（Ⅰ）当的取值范围；时，求满足的上方，求的整数值的图象总在直线.时，函数（Ⅱ）若当.；【答案】（Ⅱ）（Ⅰ）【解析】【分析】（Ⅱ） , （Ⅰ）当即时，从而可得结果； ,等价于在上恒成立 .上恒成立在,上为单增函数，可得由－在，结合为整数，从而可. 得结果,（Ⅰ）当时，【详解】的取值范围是即故实数上恒成立（Ⅱ）,在上恒成立. 在即上均为单减函数，因为函数在.上为单增函数，最大值为所以－在.的整数值是解得故实数因此.或即可)恒成立【点睛】不等式恒成立问题常见方法：(①分离参数图象在上方即可恒成立（) 即可）；②数形结合(；③讨论最值.或恒成立；④讨论参数内单调递减的充要条件是.18.设:，证明函数在区间【答案】见解析【解析】分析】利用一次函数的单调性证明；充分性：两种情况，，判断二次函数的对称轴位置，- 11 -内单减，时，在利用二次函数的单调性证明即可；必要性：当.内单增，不满足在内单减，结合充分性的证明过程可得结果在. 【详解】先证充分性，则或若）当1在内单减. （时，）当（，时，内单减，在 2所以内单减.时，. 在内单减在因此. 再证必要性在区间若函数内单调递减，上面已证. 三类讨论时，.分在、和内单减在内单减，时，内单减在.当内单增，不满足在因此函数内单调递减，则.在区间在区间综上可知，函数内单调递减的充要条件是【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，以及二次函数的单调性与分类讨论思想的应用，分类讨论思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要. 属于中档题运用.的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度充分利用分类讨论思想方这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.. 法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中的19.已知函数的定义城为”；命题“，设命题“”.值域为为真，求实数的取值范围；（Ⅰ）若命题.为真命题，且（Ⅱ）若命题为假命题，求实数的取值范围（Ⅱ）；【答案】（Ⅰ）【解析】【分析】（Ⅱ）命，解得或（Ⅰ）命题为真，等价于；或- 12 -为真命题，等价于，或由解得题为真，真分别列不等式组，分假以及一真一假，分两种情况讨论，对于假为假命题，可得真. 的取值范围别解不等式组，然后求并集即可求得实数，【详解】的定义域是（Ⅰ）命题为真，即恒成立，等价于等价于或. 解得的取值范围为或．故实数为真，即（Ⅱ）命题，的值域是等价于取遍所有的正数，即值域为，等价于．或解得假为真命题，且若假”或“为假命题，则“真”，真.，解得或即或故实数的取值范围是【点睛】本题考查函数的定义域、值域二次函数的图象与性质以及逻辑联接词的应用，属于，只）根式型，.求参数的题型，主要有三种：对于定义域为（1简答题）分式型，（3（需；2，只需）对数型，，.，只需时等号20.设，当且仅当是自然对数的底数，我们常常称恒成立不等式（. 为“灵魂不等式”，它在处理函数与导数问题中常常发挥重要作用成立) ）试证明这个不等式；（1.，若内恒成立，求实数在（2的值）设函数. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】【分析】因此内单增，（Ⅰ）令则可得在内单减，在- 13 -由灵魂不等式定义可得，.，从而可得结果；（Ⅱ）时，当由灵魂不等式得，.，当，因此.时，可得，从而可. 得结果【详解】令内单增，显然则（Ⅰ）在在内单减，.于是因此，即，当且仅当时等号成立,时，等号成立. 当（Ⅱ）就是得，.. .时，当因此由灵魂不等式得，.由灵魂不等式因此当.时，..的值是综上可知，实数【点睛】不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的. 不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明现准备制定.万元100021.某公司计划投资开发一种新能源产品，预计能获得10万元的收益的增加而增加，且奖):)万元随收益(单位一个对开发科研小组的奖励方案:单位奖金(:万元.9万元，同时奖金总数不超过收益的金总数不超过，试确定这个函数的定义域、值域和（Ⅰ）若建立奖励方案函数模型的范围；试分析这两个函数模型是否符合现有两个奖励函数模型:①.；②（Ⅱ）. 请说明理由公司的要求?.；【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）函数符合公司要求【解析】【分析】；，，（Ⅰ）根据自变量的实际意义可得值域是在时，当 .不符合要求的最大值是当（Ⅱ）时，，.，符合题意定义域上为增函数，最大值为9，构造函数，利用导数可证明- 14 -，.【详解】，值域是（Ⅰ）的最大值是，（Ⅱ）当不符合要求时，.当时，在定义域上为增函数，最大值为9.，则令故函数符合公司要求.即.所以【点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及导数的应用，属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.函数.22.在区间上在点（Ⅰ）当曲线垂直时，判断函数处的切线与直线的单调性；.在定义域内有两个零点，求（Ⅱ）若函数的取值范围（Ⅱ）【答案】（Ⅰ）见解析；.【解析】【分析】增区间，求得解得由，的范围，令可得函数，（Ⅰ）（Ⅱ）函数的范围，可得函数在内有两个零点，的减区间；求得恰有两个不于等价方程相等的正实根，令不合题意；当，分两种情况讨论，时，利用导数研究函数的单调性以及函数的最值，结合零点存在定理，列不等式求解即可.的定义域为.【详解】（Ⅰ）由题意知，函数- 15 -，，解得，.恒成立，. ，则当时，.故函数上单调递增在区间的定义域为在.内有两个零点，即方程若函数（Ⅱ）函数恰有两个不相等的正实根，恰有两个不相等的正实根.也就是方程.令，．＞0当时，恒成立，函数上是增函数，在. 最多一个零点，不合题意，舍去∴函数.；由得时，由得当.单调递减，在所以函数在内单调递增，，即最小值是所以. ，，解得的内有一个零点所以在因为.，所以因为..所以在内有一个零点于是.的取值范围是故实数a【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、零点甚至数列与函数单调性有机结合，设计- 16 -综合题.- 17 -。
2019届福建省厦门双十中学高三暑假第一次返校考试数学(理)试题(解析版)
2019届福建省厦门双十中学高三暑假第一次返校考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =<I B ．A B R =U C ．{|1}A B x x =>U D ．A B =∅I【答案】A【解析】∵集合{|31}xB x =<∴{}|0B x x =< ∵集合{|1}A x x =<∴{}|0A B x x ⋂=<，{}|1A B x x ⋃=< 故选A2．已知函数()f x 的图象如图，()f x '是()f x 的导函数，则下列数值排序正确的是( )A ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-B ．0(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<<-C ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<D ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<【答案】C【解析】由题，根据图像和导数的几何意义，可得(2)(3)f f ''>，同时再根据割线的性质，可得(3)(2)AB f k f ''<<，代入可得答案. 【详解】结合函数的图象可知过点(2,(2))A f 的切线的倾斜角较大，过点(3,(3))B f 的切线的倾斜角较小，又过点(2,(2))A f 的切线的斜率1(2)k f ='，过点(3,(3))B f 的切线的斜率2(3)k f ='，直线AB 的斜率(3)(2)(3)(2)32AB f f k f f -==--，故0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<，故选C ．【点睛】本题考查了导函数的额几何意义，熟悉几何意义即在点的导函数值就是切线的斜率，属于较为基础题.3．下列函数中，与函数3y x =的单调性和奇偶性一致的函数是（ ）A ．y =B ．tan y x =C ．1y x x=+D ．x x y e e -=-【答案】D 【解析】【详解】函数3y x =即是奇函数也是R 上的增函数，对照各选项：y =为非奇非偶函数，排除A ；tan y x =为奇函数，但不是R 上的增函数，排除B ；1y x x=+为奇函数，但不是R 上的增函数，排除C ；xxy e e -=-为奇函数，且是R 上的增函数，故选D.4．已知函数()f x 满足()()1120f f x x x x x⎛⎫+-=≠ ⎪⎝⎭，则()2f -= A ．72-B ．92C ．72D ．92-【答案】C 【解析】令1x x=-，代入解析式，通过解方程组即可求得()f x -的解析式，进而求得()2f -的值．【详解】 由()()112?1f f x x x x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭, 可得()12? f x xf x x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭(2), 将(1)x ⨯+(2)得:()2222f x x x-=-⇒ ()21,f x x x -=-()722f ∴-=,【点睛】本题考查了函数解析式的求法，方程组法在解析式求法中的应用，属于中档题．5．定义运算*a b ，*{a a b b =()()a b a b ≤>，例如1*21=，则函数1*2xy =的值域为（ ）A ．()0,1 B ．(),1-∞ C ．[)1,+∞ D ．(]0,1【答案】D【解析】分析：欲求函数y=12x 的值域，先将其化成分段函数的形式，再画出其图象，最后结合图象即得函数值的取值范围即可． 详解：当1≤2x 时，即x≥0时，函数y=12x =1 当1＞2x 时，即x ＜0时，函数y=12x =2x∴f （x ）=1020x x x ≥⎧⎨⎩，，＜由图知，函数y=12x 的值域为：（0，1]． 故选D ．点睛：遇到函数创新应用题型时，处理的步骤一般为：①根据“让解析式有意义”的原则，先确定函数的定义域；②再化简解析式，求函数解析式的最简形式，并分析解析式与哪个基本函数比较相似；③根据定义域和解析式画出函数的图象④根据图象分析函数的性质．6．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]g x x =为取整函数，0x 是函数()2ln f x x x=-的零点，则()0g x 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】根据零点存在定理判断023x <<，从而可得结果. 【详解】 因为()2ln f x x x=-在定义域内递增， 且()2ln 210f =-<，()23ln 303f =->， 由零点存在性定理可得023x <<，根据[]x 表示不超过实数x 的最大整数可知()02g x =， 故选：B. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.7．已知：命题:p 若函数2()||f x x x a =+-是偶函数，则0a =.命题:(0,)q m ∀∈+∞，关于x 的方程23210mx x -+=有解，在①p q ∨；②p q ∧；③()p q ⌝∧；④()()p q ⌝∨⌝中为真命题的是（ ） A ．②③ B ．②④ C ．③④ D ．①④【答案】D【解析】先分析命题p ，q 的真假，再根据复合命题的真值判断方法即可求解． 【详解】解：若函数2()||f x x x a =+-为偶函数，则22()||||x x a x x a -+--=+-，即有||||x a x a +=-，易得0a =，故命题p 为真；当0m >时，方程的判别式412m ∆=-不恒大于等于零， 当13m >时，∆<0，此时方程无实根，故命题q 为假， 即p 真q 假，故命题p q ∨为真，p q ∧为假，()p q ⌝∧为假，()()p q ⌝∨⌝为真． 综上可得真确命题为①④． 故选：D ． 【点睛】本题考查复合命题的真假的判断．解题关键真确判断命题p ，q 的真假，再根据复合命题真值的判断方法求解．属于基础题．8．若f (x )=ln (x 2-2ax +1+a )在区间(),1-∞上递减,则实数a 的取值范围为（ ） A ．[1,2) B ．[1,2]C ．[1,)+∞D ．[2,)+∞【答案】B【解析】由外函数对数函数是增函数，可得要使函数2()ln(21)f x x ax a =-++在(),1-∞上递减，需内函数二次函数的对称轴大于等于1，且内函数在(),1-∞上的最小值大于0，由此联立不等式组求解． 【详解】解：令2()21g x x ax a =-++，其对称轴方程为x a =， 外函数对数函数是增函数，要使函数2()ln(21)f x x ax a =-++在(),1-∞上递减， 则1(1)1210a g a a ⎧⎨=-++≥⎩…，即：12a ≤≤．∴实数a 的取值范围是[]1,2．故选：B ． 【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题． 9．函数sin ()lg(2)xf x x =+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由函数的解析式，可求出函数的定义域，可排除B ，D 答案；分析(2,1)x ∈--时，函数值的符号，进而可以确定函数图象的位置后可可排除C 答案． 【详解】解：若使函数sin ()lg(2)xf x x =+的解析式有意义则2021x x +>⎧⎨+≠⎩，即21x x >-⎧⎨≠-⎩即函数sin ()lg(2)xf x x =+的定义域为()()2,11,---+∞U ，可排除B ，D 答案；当(2,1)x ∈--时，sin 0x <，lg(2)0x +<， 则sin ()0lg(2)xf x x =>+，可排除C 答案故选：A ． 【点睛】本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握函数定义域的求法及函数值符号的判定是解答的关键．10．已知函数41()(0)2xf x x e x =+-<与4()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ） A ．()e -∞B ．e ⎛-∞ ⎝C ．e e ⎛ ⎝D ．,e e ⎛- ⎝【答案】A【解析】根据条件转化为()()f x g x -=在0x >时，有解即可，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数图象交点问题，可以数形结合进行求解即可． 【详解】解：()f x 与()g x 的图象上存在关于y 轴对称的点， 等价为()()f x g x -=在0x >时，有解即可，则441()2x x e x ln x a -+-=++， 即1()2x e ln x a --=+，在(0,)+∞上有解即可， 设12xy e -=-，()()h x ln x a =+， 作出两个函数的图象如图：当0x =时，1111222xy e -=-=-=， 当0a …，将lnx 的图象向右平移，此时()ln x a +一定与12xy e -=-有交点，满足条件， 当0a >时，则1(0)2h lna =<，得120a e e <<=， 综上a e <，即实数a 的取值范围是(),e -∞ 故选：A ．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，结合条件进行转化为()()f x g x -=在0x >时，有解即可，利用函数与方程之间的关系利用数形结合是解决本题的关键，属于中档题．11．已知函数2()(21)x f x ae x a x =--+，若函数()f x 在区间(0,ln 2)上有极值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞- B ．(1,0)-C ．(2,1)--D ．(,1)(0,1)-∞-U【答案】A【解析】()2(21)()x f x ae x a g x '=--+=，由函数()f x 在区间(0,2)ln 上有极值()g x ⇔在区间(0,2)ln 上存在零点．利用函数零点存在定理即可得出． 【详解】解：()2(21)()x f x ae x a g x '=--+=， 由函数()f x 在区间(0,2)ln 上有极值，()g x ∴在区间(0,2)ln 上存在零点．(0)(2)(21)(22221)0g g ln a a a ln a ∴=-----<，可得10a +<，解得1a <-．∴实数a 的取值范围是(,1)-∞-．故选：A ． 【点睛】本题考查了利用对数研究函数的单调性与极值、函数零点存在定理、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x <，则a 的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞ B ．(1,)+∞ C ．(,2)-∞- D ．(,1)-∞-【答案】A【解析】由题意判断出0a >，再由题意可知20f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，从而求出a 【详解】解：Q 函数32()31f x ax x =-+，(0)1f =，且()f x 存在唯一的零点0x ，且00x <，0a ∴>，2()36f x ax x '∴=-2()363(2)0f x ax x x ax ∴'=-=-=时的解为0x =，2x a=； 令()0f x '>，解得0x <或2x a >，即()f x 在(),0-∞和2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；令()0f x '<，解得20x a <<，即()f x 在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减； 所以()f x 在2x a=处取得极小值，32222224310a f a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+=> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则2a >． 故选：A ． 【点睛】本题考查了函数的零点的判断，求导数判断求解即可，属于中档题，13．已知函数,0(),0x e x f x ax x ⎧≥=⎨<⎩，若方程()()f x f x -=有五个不同的根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,)+∞ B ．(,)e +∞C ．(,)e -∞-D ．(,1)-∞-【答案】C【解析】分析：求出f （﹣x ）的解析式，根据x 的范围不同得出两个不同的方程，由两个方程的关系得出f （﹣x ）=f （x ）在（0，+∞）上有两解，根据函数图象和导数的几何意义得出a 的范围．详解：∵f （x ）=,0,0x e x ax x ⎧≥⎨<⎩，∴f （﹣x ）=,0,0x e x ax x -⎧≥⎨-<⎩．显然x=0是方程f （﹣x ）=f （x ）的一个根， 当x ＞0时，e x =﹣ax ，① 当x ＜0时，e ﹣x =ax ，②显然，若x 0为方程①的解，则﹣x 0为方程②的解， 即方程①，②含有相同个数的解， ∵方程f （﹣x ）=f （x ）有五个不同的根， ∴方程①在（0，+∞）上有两解，做出y=e x （x ＞0）和y=﹣ax （x ＞0）的函数图象，如图所示：设y=kx 与y=e x 相切，切点为（x 0，y 0），则000x x e k kx e⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得x 0=1，k=e ． ∵y=e x 与y=﹣ax 在（0，+∞）上有两个交点， ∴﹣a ＞e ，即a ＜﹣e ． 故选 C ．点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e 为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题． 14．己知函数()2sin 20191xf x x =++，其中()'f x 为函数()f x 的导数，求()()()()20182018'2019'2019f f f f +-+--=（）A ．2B ．2019C ．2018D ．0【答案】A【解析】设()12019in 12019xxg x s x -=++，判断奇偶性和导数的奇偶性，求和即可得到所求值． 【详解】解：函数()212019sin sin 12019112019xx xf x x x -=+=++++ 设()12019sin 12019xxg x x -=++，则()()()1201912019sin sin 1201912019x x x x g x x x g x --⎛⎫---=-+=-+=- ⎪++⎝⎭即()()0g x g x -+=，即()()2f x f x -+=，则()()()()2018201820181201812f f g g +-=++-+=， 又()()''f x g x =，()()()()2,''0f x f x f x f x -+=∴--+=Q ，可得()()'2019'20190f f --=，即有()()()()20182018'2019'20192f f f f +-+--=，故选：A ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性和导数的奇偶性，考查运算能力，属于中档题．二、填空题15．《左传.僖公十四年》有记载:“皮之不存,毛将焉附?"”这句话的意思是说皮都没有了,毛往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基础,就不能存在.皮之不存,毛将焉附?则“有毛”是“有皮”的__________条件(将正确的序号填入空格处). ①充分条件②必要条件③充要 条件④既不充分也不必要条件 【答案】①【解析】分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．详解：由题意知“无皮”⇒“无毛”，所以“有毛”⇒“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分条件． 故答案为：①．点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．16．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________． 【答案】32-【解析】根据函数奇偶性的定义，建立方程关系即可得到结论． 【详解】由偶函数的定义可得f (－x )＝f (x )，即ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ， 即2ax=ln （e ﹣3x +1）﹣ln （e 3x +1）=lne ﹣3x =﹣3x ， ∴2ax ＝－3x ，∴a ＝－32故答案为：－32【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据偶函数的定义得到f （﹣x ）=f （x ）是解决本题的关键，属于基础题.17．函数f (x )＝1()3x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________． 【答案】3【解析】13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与y=－log 2(x ＋2) 都是[-1，1]上的减函数，所以函数f (x )＝13x⎛⎫ ⎪⎝⎭－log 2(x ＋2) 在区间[-1，1]上的减函数，∴最大值为：f （-1）=3 故答案为3．18．已知函数()2sin f x x x =-，若正实数,a b 满足()(21)0f a f b +-=，则14a b+的最小值是__________． 【答案】942+【解析】因为()2cos 0,()2sin ()f x x f x x x f x =->-=-+=-'，所以函数()f x 为单调递增奇函数，因此由()()210f a f b +-=，得()(21)(12)12,21,f a f b f b a b a b =--=-∴=-+=因此14a b +142424()(2)992942b a b a a b a b a b a b=++=++≥+⋅=+，当且仅当2b a =时取等号.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 19．已知函数f(x)＝x ＋2x ，g(x)＝x ＋ln x ，h(x)＝x －－1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是________(由小到大). 【答案】x 1<x 2<x 3【解析】由，，分别为f(x)＝x ＋2x ，g(x)＝x ＋ln x ，h(x)＝x －－1的零点，将，，转化为函数y 1＝2x ，y 2＝ln x ，y 3＝－－1与函数y ＝－x 交点的横坐标，所以在同一平面直角坐标系中，作出函数y 1＝2x ，y 2＝ln x ，y 3＝－－1，y ＝－x 图象，数形结合，判断，，的大小 【详解】令y 1＝2x ，y 2＝ln x ，y 3＝－－1，y ＝－x ，∵函数f(x)＝x ＋2x ，g(x)＝x ＋ln x ，h(x)＝x －－1的零点分别为x 1，x 2，x 3，即函数y 1＝2x ，y 2＝ln x ，y 3＝－－1与函数y ＝－x 交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3.分别作出函数的图象，结合图象可得x 1<x 2<x 3.【点睛】根据零点求参数方法：1.直接法：直接根据题设条件，构建关于参数的关系式，确定参数的取值范围2.数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解20．如图所示，已知函数2log 4y x =图象上的两点,A B 和函数2log y x =图象上的点C ，线段AC 平行于y 轴，当ABC V 为正三角形时，点B 的横坐标为______.3【解析】根据题意，设出A 、B 、C 的坐标，由线段//AC y 轴，ABC ∆是等边三角形，得出AB 、AC 与BC 的关系，求出p 、q 的值，计算出结果． 【详解】解：根据题意，设0(A x ，202log )x +，(,)B p q ，0(C x ，20log )x ，Q 线段//AC y 轴，ABC ∆是等边三角形，2AC ∴=，22log p q +=，22q p -∴=，42q p ∴=； 又03x p -=03p x ∴=03x p ∴=；又202log 1x q +-=，20log 1x q ∴=-，102q x -=；12q p -∴；224q p p +==，p ∴=【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用问题，也考查了指数，对数的运算问题，属于中档题．三、解答题21．已知函数f(x)＝1112xa ⎛⎫⎪⎝⎭＋－x 3(a>0且a≠1)． (1)求函数f(x)的定义域； (2)讨论函数f(x)的奇偶性；(3)求a 的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立． 【答案】（1）{x|x ∈R ，且x≠0}（2）偶函数（3）agt;1. 【解析】(1)由于a x －1≠0，则a x ≠1，所以x≠0， 所以函数f(x)的定义域为{x|x ∈R ，且x≠0}． (2)对于定义域内任意的x ，有f(－x)＝1112x a -⎛⎫ ⎪⎝⎭＋－(－x)3＝－112xxa a⎛⎫ ⎪⎝⎭＋－x 3＝－11112x a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＋－x 3＝1112x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋－x 3＝f(x)所以f(x)是偶函数． (3)①当a>1时，对x>0， 所以a x >1，即a x －1>0，所以11xa －＋12>0. 又x>0时，x 3>0，所以x 31112xa ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋－>0， 即当x>0时，f(x)>0.由(2)知，f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)， 则当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)>0成立． 综上可知，当a>1时，f(x)>0在定义域上恒成立．②当0<a<1时，f(x)＝31)2(1)xax x a （＋－， 当x>0时，0<a x <1，此时f(x)<0，不满足题意； 当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)<0，也不满足题意． 综上可知，所求a 的取值范围是a>122．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，曲线2y x=与抛物线C 交于点,P PF x ⊥轴.（1）求p 的值；（2）抛物线的准线交x 轴交于点Q ，过点Q 的直线与抛物线C 交于A B 、两点，求AB 的中点M 的轨迹方程.【答案】（1）2（2）222?(1)y x x =+> 【解析】分析：（1）设00,P x y （），则由已知可得2000022y px y x⎧=⎪⎨=⎪⎩，从而可得0x =又根据PF x ⊥轴，则2p = （2）设直线AB 的方程为1x ny =-，211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，(),M x y ，联立直线AB 的方程与抛物线方程，利用根与系数的关系式以及中点坐标公式即可求得答案. 详解：（1）,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设00,P x y （），则20000022y px x y x⎧=⎪⇒=⎨=⎪⎩PF x ⊥Q 轴，0=2p x ∴，2p ∴= 2p ∴=（2）由（1）知，抛物线C 的方程为24y x =，所以点1,0Q-（）.设直线AB 的方程为1x ny =-，211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，(),M x y .214x ny y x =-⎧⎨=⎩消去x ，得方程2440y ny -+=．121244y y ny y +=⎧⎨=⎩, 22161601n n ∆=->⇒> 因为M 为AB 的中点所以()2212212122122442112822y y y y y y x n y y y n ⎧+⎪+-==⎪=->⎨⎪+==⎪⎩， 消去n 得，222(1)y x x =+>.所以点M 的轨迹方程为222(1)y x x =+>．点睛：对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果． 23．已知函数f(x)=x －ax+(a －1)ln x ，1a >，（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）证明：若5a <，则对任意x ，x (0,)+∞，xx ，有1212()()1f x f x x x ->--。
福建省厦门双十中学高三数学暑假第一次返校考试试题理
厦门双十中学2018年高三上理科数学第一次返校考考卷一、选择题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|1A x x =<，{}|31x B x =<，则（ ）A ．{}|0AB x x =< B ．A B R =C ．{}|0A B x x =<D ．A B =∅2.已知函数()f x 的图象如图，'()f x 是()f x 的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）A ．0'(2)'(3)'(3)'(2)f f f f <<<-B ．0'(3)'(2)'(3)'(2)f f f f <<<-C ．0'(3)'(2)'(2)'(3)f f f f <-<<D ．0'(3)'(3)'(2)'(2)f f f f <<-<3.下列函数中，与函数3y x =的单调性和奇偶性一致的函数是（ ）A ．y =．tan y x = C ．1y x x =+D ． x x y e e -=- 4.已知函数()f x 满足11()()2f f x x x x+-=（0x ≠），则(2)f -=（ ） A ．72 B ．92 C.72- D ．92- 5.定义运算a b *，()()a ab a b b a b ≤⎧*=⎨>⎩，例如121*=，则函数12x y =*的值域为（ ） A ．(0,1) B ．(,1)-∞ C.[1,)+∞ D ．(0,1]6.已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，[]()g x x =为取整函数，0x 是函数2()ln f x x x=-的零点，则0()g x 等于（ ）A ．1B ．2 C.3 D ．47.已知：命题p :若函数2()||f x x x a =+-是偶函数，则0a =；命题q ：(0,)m ∀∈+∞，关于x 的方程2210mx x -+=有解.在○1p q ∨；○2p q ∧；○3()p q ⌝∧；○4()()p q ⌝∨⌝中真命题的是（ ）A ．○2○3B ．○2○4 C. ○3○4 D ．○1○48.若2()lg(21)f x x ax a =-++在区间(,1]-∞上单调递减，则a 的取值范围为（ ）A ．[1,2)B ．[1,2] C.[1,)+∞ D ．[2,)+∞9.函数sin ()ln(2)x f x x =+的图象可能是（ ）A ．B ． C. D ．10.已知函数41()2x f x x e =+-（0x <）与4()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A ．(-∞B ．(-∞ C.( D ．( 11.已知函数2()(21)x f x ae x a x =-++，若函数()f x 在区间(0,ln 2)上有最值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,0)- C.(2,1)-- D ．(,0)(0,1)-∞12.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x <，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(2,)+∞B ．(,2)-∞- C.(1,)+∞ D ．(,1)-∞-13.已知函数,0(),0x e x f x ax x ⎧≥=⎨<⎩，若方程()()f x f x -=有五个不同的根，则实数a 的取值范围是（ ）A.(1,)+∞B.(,)e +∞C.(,)e -∞-D.(,1)-∞- 14.已知函数2()sin 20191x f x x =++，其中'()f x 为函数()f x 的导数，求(2018)(2018)'(2019)'(2019)f f f f +-++-=（ ）A.2B.2019C.2018D.0二、填空题（每题6分，满分30分，将答案填在答题纸上）15.《左传·僖公十四年》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”这句话的意思是说皮都没有了，毛往哪里依附呢？比喻事物失去了借以生存的基础，就不能存在. 皮之不存，毛将焉附？则“有毛”是“有皮”的 条件（将正确的序号填入空格处）．○1充分条件○2必要条件○3充要条件○4既不充分也不必要条件 16.若3()ln(1)xf x e ax =++是偶函数，则a = ． 17.函数21()log (2)3x f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间[1,1]-上的最大值为 ． 18.已知函数()2sin f x x x =-，若正实数a ，b 满足()(21)0f a f b +-=，则14a b+的最小值是 ．19.已知函数()2x f x x =+，()ln g x x x =+，()1h x x =的零点分别为1x ，2x ，3x ，则1x ，2x ，3x 的大小关系是 （由小到大）．20.如图所示，已知函数2log (4)y x =图象上的两点A ，B 和函数2log y x =图象上的点C ，线段AC 平行于y 轴，当ABC ∆为正三角形时，点B 的横坐标为 ．三、解答题 （本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21. 已知311()12x f x x a ⎛⎫=+. ⎪-⎝⎭（0a >，且1a ≠）. （1）讨论()f x 的奇偶性；（2）求a 的取值范围，使()0f x >在定义域上恒成立.22. 已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，曲线2y x=与抛物线C 交于点P PF x ⊥轴.（1）求p 的值；（2）抛物线的准线交x 轴交于点Q ，过点Q 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，求AB 的中点M 的轨迹方程.23.已知函数21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-，1a >. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：若5a <，则对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠，有1212()()1f x f x x x ->--. 24.已知函数()(1)x f x bx e a =-+（a ，b R ∈）.（1）如果曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =，求a 、b 值；（2）若1a <，2b =，关于x 的不等式()f x ax <的整数解有且只有一个，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:ADDAD 6-10:BDAAA 11-14：AACA二、填空题15.① 16.32- 17.3 18.9+19.123x x x <<三、解答题21.解：（1）由于10x a -≠，则1x a ≠，得0x ≠，所以函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠对于定义域内任意x ，有311()()12x f x x a -⎛⎫-=+- ⎪-⎝⎭311()12x x a ⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭3111()12x x a ⎛⎫=--+- ⎪-⎝⎭311()12x x f x a ⎛⎫=+= ⎪-⎝⎭∴()f x 是偶函数（2）由（1）知()f x 是偶函数，∴只需讨论0x >时的情况，当0x >时，要使()0f x >，即311012x x a ⎛⎫+> ⎪-⎝⎭， 即11012x a +>-，即102(1)xx a a +>-，则1x a >又∵0x >，∴1a >.因此当a 的取值范围为(1,)+∞时，()0f x >22.解：（1）(,0)2pF ，设00(,)P x y ，则2000022y px y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩0x ⇒=∵PF x ⊥轴 ∴02px =，∴2p=2p =（2）由（1）知，抛物线C 的方程为24y x =，所以点(1,0)Q -设直线AB 的方程为1x ny =-，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，(,)M x y214x ny y x =-⎧⎨=⎩消去x ，得方程2440y ny -+=.121244y y n y y +=⎧⎨=⎩，22161601n n ∆=->⇒>因为M 为AB 的中点， 所以221222121212()244211,2822y y y y y y x n y y y n⎧+⎪+-===->⎪⎨⎪+==⎪⎩消去n 得，222y x =+（1x >）.所以点M 的轨迹方程为222y x =+（1x >）.23.（1）()f x 的定义域为(0,)+∞.211(1)(1)'()a x ax a x x a f x x a x x x--+--+-=-+==. （i ）若11a -=即2a =，则2(1)'()x f x x-=，故()f x 在(0,)+∞上单调递增. （ii ）若11a -<，而1a >，故12a <<，则当(1,1)x a ∈-时，'()0f x <；当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，故()f x 在(1,1)a -单调递减，在(0,1)a -，(1,)+∞单调递增.（iii ）若11a ->即2a >，同理可得()f x 在(1,1)a -单调递减，在(0,1)，(1,)a -+∞单调递增.（2）考虑函数21()()(1)ln 2g x f x x x ax a x x =+=-+-+，则21'()(1)(1)11)a g x x a a x -=--+≥-=- 由于15a <<，故'()0g x >，即()g x 在(4,)+∞单调增加，从而120x x >>时有12()()0g x g x ->，即1212()()0f x f x x x -+->，故1212()()1f x f x x x ->--， 当120x x <<时，有12211221()()()()1f x f x f x f x x x x x --=>--- 24.（1）函数()f x 的定义域为R ，'()(1)(1)x x x f x be bx e bx b e =+-=+-因为曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =，所以(0)0,'(0)1,f f =⎧⎨=⎩得10,10,a b -=⎧⎨-=⎩解得1,2,a b =⎧⎨=⎩（2）当2b =时，()(21)xf x x e a =-+（1a <），关于x 的不等式()f x ax <的整数解有且只有一个，等价于关于x 的不等式(21)0x x e a ax -+-<的整数解有且只有一个.构造()(21)x F x e x a =+-①当0x ≥时，因为1x e ≥，211x +≥，所以(21)1x e x +≥，又1a <，所以'()0F x >，所以()F x 在(0,)+∞上单调递增.因为(0)10F a =-+<，(1)0F e =>，所以在[0,)+∞上存在唯一的整数00x =使得0()0F x <即00()f x ax <②当0x <时，为满足题意，函数()F x 在(,0)-∞内不存在整数使()0F x <，即()F x 在(,1]-∞-上不存在整数使()0F x <.因为1x ≤-，所以(21)0x e x +<.当01a ≤<时，函数'()0F x <，所以()F x 在(,1)-∞-内为单调递减函数，所以(1)0F -≥，即312a e≤< 当0a <时，3(1)20F a e-=-+<，不符合题意. 综上所述，a 的取值范围为3[,1)2e。
福建省厦门市双十中学2018-2019学年高三(上)开学数学试卷(理科)(二)(含精品解析)
福建省厦门市双十中学2018-2019学年高三（上）开学数学试卷（理科）（二）一、选择题（本大题共10小题，共60.0分）1. 对于函数f(x)=√1−2x ，下列结论正确的是（ ）A. f(x)是增函数，其值域是[0,+∞)B. f(x)是增函数，其值域是[0,1)C. f(x)是减函数，其值域是[0,+∞)D. f(x)是减函数，其值域是[0,1)2. 函数y =A sin （ωx +φ）的部分图象如图所示，则（ ）A. y =2sin(2x −π6) B. y =2sin(2x −π3) C. y =2sin(2x +π6) D. y =2sin(2x +π3)3. 若向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为π3，且|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=1，则a ⃗ 与a ⃗ +2b ⃗ 的夹角为（ ）A. π6B. π3C. 2π3D. 5π64. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y =2x 上，则cos2θ=（ ）A. −45B. −35C. 35D. 455. 已知函数f （x ）=2sinωx （ω＞0）在区间[−π3，π4]上的最小值是-2，则ω的最小值等于（ ）A. 23B. 32C. 2D. 36. 已知tanθ=2，则sin(π2+θ)−cos(π−θ)sin(π2−θ)−sin(π−θ)=（ ）A. 2B. −2C. 0D. 237. 若cos （π8-α）=16，则cos （3π4+2α）的值为（ ）A. 1718B. −1718C. 1819D. −18198. 数列{a n }，满足对任意的n ∈N +，均有a n +a n +1+a n +2为定值．若a 7=2，a 9=3，a 98=4，则数列{a n }的前100项的和S 100=（ ） A. 132 B. 299 C. 68 D. 999. 如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （λ、μ为实数），则λ2+μ2=（ ）A. 58B. 14C. 1D. 51610. 已知函数f （x ）=sin （ωx +φ）（0＜ω≤12，ω∈N *，0＜φ＜π），图象关于y 轴对称，且在区间[π4，π2]上不单调，则ω的可能值有（ ）A. 7个B. 8个C. 9 个D. 10个二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11. 在极坐标系中，点A 在圆ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0上，点P 的坐标为（1，0），则|AP |的最小值为______． 12. 设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n 若对任意自然数n 都有S n T n=2n−34n−3，则a 9b 5+b 7+a 3b 8+b 4的值为______．13. 已知函数f （x ）=（m +3）（x +m +1）（x +m ），g （x ）=2x -2，若对任意x ∈R ，有f（x ）＞0或g （x ）＞0成立，则实数m 的取值范围是______．14. 已知△ABC 中，角C 为直角，D 是BC 边上一点，M 是AD 上一点，且|CD |=1，∠DBM =∠DMB =∠CAB ，则|MA |=______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）15. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：{y =tsinαx=tcosα（t 为参数，t ≠0），其中0≤α≤π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=2sinθ，C 3：ρ=2√3cosθ． （1）求C 2与C 3交点的直角坐标；（2）若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．16. 如图，在四边形ABCD 中，∠DAB =π3，AD ：AB =2：3，BD =√7，AB ⊥BC ．（1）求sin ∠ABD 的值； （2）若∠BCD =2π3，求CD 的长．17. 已知直线l 的参数方程为{x =m +√22t y =√22t（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ+3ρ2sin 2θ=12，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上．（Ⅰ）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点．求|FA |•|FB |的值； （Ⅱ）设曲线C 的内接矩形的周长为P ，求P 的最大值．18. 设函数f （x ）=sin （ωx -π6）+sin （ωx -π2），其中0＜ω＜3，已知f （π6）=0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y =f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y =g （x ）的图象，求g （x ）在[-π4，3π4]上的最小值．19. 已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N ∗)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2+b 3=12，b 3=a 4-2a 1，S 11=11b 4． （1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）记数列c n =a n -b n ，求{c n }的前n 项和T n （n ∈N *）．20.设a∈R，函数f（x）=ln x-ax．（1）若a=3，求曲线y=f（x）在P（1，-3）处的切线方程；（2）求函数f（x）单调区间；（3）若f（x）有两个零点x1，x2，求证：x1•x2＞e2．答案和解析1.【答案】D【解析】解：根据题意，函数，有1-2x≥0，解可得x≤0，即函数的定义域为（-∞，0]；令t=1-2x，则有0≤t＜1，则y=，t=1-2x，在（-∞，0]为减函数，y=在[0，1）上为增函数，则函数为减函数，且有y∈[0，1），即函数的值域为[0，1）；故选：D．根据题意，求出函数的定义域，令t=1-2x，则有0≤t＜1，则y=，由复合函数的单调性判断方法分析可得f（x）的单调性，进而求出其值域，即可得答案．本题考查复合函数的单调性以及值域的计算，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：根据函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象，可得A=2，==+，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=，∴φ=-，故f（x）=2sin（2x-），故选：A．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：∵向量，的夹角为，且||=2，||=1，∴===1．∴==22+2×1=6，==．两向量的夹角θ的取值范围是，θ∈[0，π]，∴===，∴与+2的夹角为．故选：A．利用数量积运算性质、向量的夹角公式即可得出．本题考查了数量积运算性质、向量的夹角公式，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：根据题意可知：tanθ=2，所以cos2θ===，则cos2θ=2cos2θ-1=2×-1=-．故选：B．根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tanθ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cosθ的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cosθ的平方代入即可求出值．此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．5.【答案】B【解析】解：函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在区间上的最小值是-2，则ωx的取值范围是，∴或，∴ω的最小值等于，故选：B．先根据x的范围求出ωx的取值范围，进而根据函数f（x）在区间上的最小值求出ω的范围，再由ω＞0可求其最小值．本题主要考查正弦函数的最值和三角函数的单调性．属基础题．6.【答案】B【解析】解：=====-2．故选：B．直接利用诱导公式化简，然后利用齐次式，分子、分母同除cosθ，代入tanθ=2即可得到结果．本题是基础题，考查三角函数的诱导公式的应用，考查计算能力，常考题型．7.【答案】A【解析】解：∵cos（-α）=，∴cos（-2α）=2cos2（-α）-1=2×-1=-，∴cos（+2α）=cos[π-（-2α）]=-cos（-2α）=．故选：A．利用二倍角公式求出cos（-2α）的值，再利用诱导公式求出cos（+2α）的值．本题考查了余弦二倍角公式与诱导公式的应用问题，是基础题．8.【答案】B【解析】解：对任意的n∈N+，均有a n+a n+1+a n+2为定值，∴（a n+1+a n+2+a n+3）-（a n+a n+1+a n+2）=0，故a n+3=a n，∴{a n}是以3为周期的数列，故a1=a7=2，a2=a98=4，a3=a9=3，∴S100=（a1+a2+a3）+…+（a97+a98+a99）+a100=33（2+4+3）+a1=299．故选：B．对任意的n∈N+，均有a n+a n+1+a n+2为定值，可得（a n+1+a n+2+a n+3）-（a n+a n+1+a n+2）=0，a n+3=a n，于是{a n}是以3为周期的数列，即可得出．本题考查了数列的周期性，考查了计算能力，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：根据题意知，=-=-=（+）-=-，∴λ=，μ=-，∴λ2+μ2=+=，故选：A．运用平面向量基本定理可解决此问题．本题考查平面向量基本定理的简单应用．10.【答案】C【解析】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（0＜ω≤12，ω∈N*，0＜φ＜π），图象关于y轴对称，∴φ=，∴f（x）=sin（ωx+）=cosωx．在区间上不单调，则ω•＞π，∴ω＞2，∴ω=3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，共计10个，经过检验，ω=4不满足条件，故满足条件的ω有9个，故选：C．先求出φ，再根据诱导公式，余弦函数的单调性求出ω的范围，可得结论．本题主要考查正弦函数的奇偶性、以及图象的对称性，余弦函数的单调性，属于中档题．11.【答案】1【解析】解：设圆ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0为圆C，将圆C的极坐标方程化为：x2+y2-2x-4y+4=0，再化为标准方程：（x-1）2+（y-2）2=1；如图，当A在CP与⊙C的交点Q处时，|AP|最小为：|AP|min=|CP|-r C=2-1=1，故答案为：1．先将圆的极坐标方程化为标准方程，再运用数形结合的方法求出圆上的点到点P的距离的最小值．本题主要考查曲线的极坐标方程和圆外一点到圆上一点的距离的最值，难度不大．12.【答案】1941【解析】解：由等差数列的性质和求和公式可得：=+======故答案为：由等差数列的性质和求和公式可得原式=，代值计算可得．本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．13.【答案】（-3，-2）【解析】解：由g（x）=2x-2＜0，得x＜1，故对x≤1时，g（x）＞0不成立，从而对任意x≤1，f（x）=（m+3）（x+m+1）（x+m）＞0恒成立，则必满足，解得-3＜m＜-2．则实数m的取值范围是（-3，-2）．故答案为：（-3，-2）由题意可知x＜1时，g（x）＜0成立，进而得到f（x）=（m+3）（x+m+1）（x+m）＞0对x≤1均成立，得到m满足的条件，求解不等式组可得答案本题考查了函数的值，考查了不等式的解法，体现了恒成立思想的应用，属于中档题14.【答案】2【解析】解：设∠DBM=θ，则∠ADC=2θ，∠DAC=-2θ，∠AMB=-2θ，在△CDA中，由正弦定理可得=，在△AMB中，由正弦定理可得=，∴===，从而MA=2，故答案为：2．设∠DBM=θ，在△CDA中，由正弦定理可得=，在△AMB中，由正弦定理可得=，继而可得=，问题得以解决本题考查了正弦定理的应用，关键是掌握应用的条件，属于中档题． 15.【答案】解：（I ）由曲线C 2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x 2+y 2=2y ．同理由C 3：ρ=2√3cosθ．可得直角坐标方程：x 2+y 2=2√3x ，联立{x 2+y 2−2y =0x 2+y 2−2√3x =0， 解得{y =0x=0，{x =√32y =32， ∴C 2与C 3交点的直角坐标为（0，0），(√32，32)．（2）曲线C 1：{y =tsinαx=tcosα（t 为参数，t ≠0），化为普通方程：y =x tanα，其中0≤α≤π，α≠π2；α=π2时，为x =0（y ≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R ，ρ≠0）， ∵A ，B 都在C 1上，∴A （2sinα，α），B (2√3cosα，α)． ∴|AB |=|2sinα−2√3cosα|=4|sin(α−π3)|， 当α=5π6时，|AB |取得最大值4．【解析】（I ）由曲线C 2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C 3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C 2与C 3交点的直角坐标．（2）由曲线C 1的参数方程，消去参数t ，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R ，ρ≠0），利用|AB|=即可得出．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】解：（1）设AD =2x ，AB =3x ，由余弦定理得：cos π3=4x 2+9x 2−72×2x×3x =12，解得x =1，∴AD =2，AB =3，∴由正弦定理得：sin∠ABD2=sinπ3√7，解得sin ∠ABD =√217．（2）sin （∠ABD +∠CBD ）=sin π2，∴sin ∠CBD =cos ∠ABD ， cos ∠ABD =√1−2149=2√77，∴sin ∠CBD =2√77，由正弦定理得CD sin∠CBD =BDsin 2π3，解得CD =4√33． 【解析】（1）设AD=2x ，AB=3x ，由余弦定理求出AD=2，AB=3，再由正弦定理能求出sin ∠ABD ．（2）由sin （∠ABD+∠CBD ）=sin，得sin ∠CBD=cos ∠ABD ，求出sin，由此利用正弦定理能求出CD ．本题考角的正弦值的求法，考查三角形边长的求法，考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．17.【答案】解：（I ）曲线C 的直角坐标方程为x 2+3y 2=12，即x 212+y24=1． ∴曲线C 的左焦点F 的坐标为F （-2√2，0）． ∵F （-2√2，0）在直线l 上， ∴直线l 的参数方程为{x =−2√2+√22t y =√22t（t 为参数）．将直线l 的参数方程代入x 2+3y 2=12得：t 2-2t -2=0，∴|FA |•|FB |=|t 1t 2|=2．（II ）设曲线C 的内接矩形的第一象限内的顶点为M （x ，y ）（0＜x ＜2√3，0＜y ＜2）， 则x 2+3y 2=12，∴x =√12−3y 2． ∴P =4x +4y =4√12−3y 2+4y ．令f （y ）=4√12−3y 2+4y ，则f ′（y ）=√12−3y 24． 令f ′（y ）=0得y =1，当0＜y ＜1时，f ′（y ）＞0，当1＜y ＜2时，f ′（y ）＜0． ∴当y =1时，f （y ）取得最大值16． ∴P 的最大值为16． 【解析】（I ）求出曲线C 的普通方程和焦点坐标，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程利用根与系数的关系和参数的几何意义得出；（II ）设矩形的顶点坐标为（x ，y ），则根据x ，y 的关系消元得出P 关于x （或y ）的函数，求出此函数的最大值．本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，函数的最值，参数方程的几何意义，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）函数f （x ）=sin （ωx -π6）+sin （ωx -π2）=sinωx cos π6-cosωx sin π6-sin （π2-ωx ） =√32sinωx -32cosωx=√3sin （ωx -π3），又f （π6）=√3sin （π6ω-π3）=0， ∴π6ω-π3=k π，k ∈Z ， 解得ω=6k +2， 又0＜ω＜3， ∴ω=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）=√3sin （2x -π3），将函数y =f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y =√3sin （x -π3）的图象；再将得到的图象向左平移π4个单位，得到y =√3sin （x +π4-π3）的图象， ∴函数y =g （x ）=√3sin （x -π12）； 当x ∈[-π4，3π4]时，x -π12∈[-π3，2π3]，∴sin （x -π12）∈[-√32，1]，∴当x =-π4时，g （x ）取得最小值是-√32×√3=-32． 【解析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数f （x ）为正弦型函数，根据f （）=0求出ω的值；（Ⅱ）写出f （x ）解析式，利用平移法则写出g （x ）的解析式，求出x ∈[-，]时g （x ）的最小值．本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档题． 19.【答案】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ．由已知b 2+b 3=12，得b 1(q +q 2)=12，而b 1=2，所以q 2+q -6=0． 又因为q ＞0，解得q =2．所以，b n =2n ． 由b 3=a 4-2a 1，可得3d -a 1=8．由S 11=11b 4，可得a 1+5d =16，联立①②，解得a 1=1，d =3， 由此可得a n =3n -2．所以，{a n }的通项公式为a n =3n -2，{b n }的通项公式为b n =2n ． （2）c n =a n -b n =3n -2-2n ． ∴{c n }的前n 项和T n =n(1+3n−2)2-2(2n −1)2−1=3n 2−n 2-2n +1+2．【解析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ．由已知b 2+b 3=12，得得=12，而b 1=2，可得q 2+q-6=0．又q ＞0，解得q ．可得b n ．由b 3=a 4-2a 1，可得3d-a 1=8．由S 11=11b 4，可得a 1+5d=16，联立解出， （2）c n =a n -b n =3n-2-2n ．利用分组求和与求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20.【答案】解：在区间（0，+∞）上，f ′（x ）=1−ax x…………（1分）（1）当a =3时，f ′（1）=-2，则切线方程为y -（-3）=-2（x -1），即2x +y +1=0…（2分）（2）①若a ≤0，则f ′（x ）＞0，f （x ）是区间（0，+∞）上的增函数，（3分） ③若a ＞0，令f ′（x ）=0，得：x =1a．（4分）在区间（0，1a ）上，f ′（x ）＞0，函数f （x ）是增函数；（ 5分） 在区间（1a ，+∞）上，f ′（x ）＜0，函数f （x ）是减函数；（6分） （3）设x 1＞x 2＞0，∵f （x 1）=0，f （x 2）=0， ∴ln x 1-ax 1=0，ln x 2-ax 2=0，∴ln x 1+ln x 2=a （x 1+x 2），ln x 1-ln x 2=a （x 1-x 2）， 原不等式x 1•x 2＞e 2⇔ln x 1+ln x 2＞2（8分） ⇔a （x 1+x 2）＞2⇔lnx 1−lnx 2x 1−x 2＞2x1+x 2⇔ln x 1x 2＞2(x 1−x 2)x 1+x 2，令x 1x 2=t ，则t ＞1，于是ln x 1x 2＞2(x 1−x 2)x 1+x 2⇔ln t ＞2(t−1)t+1．（9分）设函数g （t ）=ln t -2(t−1)t+1，（t ＞1），求导得：g ′（t ）=(t−1)2t(t+1)2＞0（11分） 故函数g （t ）是（1，+∞）上的增函数， ∴g （t ）＞g （1）=0， 即不等式ln t ＞2(t−1)t+1成立，故所证不等式x 1•x 2＞e 2成立．（12分） 【解析】（1）代入a 的值，计算f′（1），求出切线方程即可； （2）通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可； （3）问题转化为ln ＞，令=t ，则t ＞1，得到lnt ＞，设函数g （t ）=lnt-，（t ＞1），根据函数的单调性证明即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。
高三数学暑假第一次返校考试试题 理
厦门双十中学2019年高三上理科数学第一次返校考考卷一、选择题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|1A x x =<，{}|31x B x =<，则（ ）A ．{}|0AB x x =<I B ．A B R =UC ．{}|0A B x x =<UD ．A B =∅I2.已知函数()f x 的图象如图，'()f x 是()f x 的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）A ．0'(2)'(3)'(3)'(2)f f f f <<<-B ．0'(3)'(2)'(3)'(2)f f f f <<<-C ．0'(3)'(2)'(2)'(3)f f f f <-<<D ．0'(3)'(3)'(2)'(2)f f f f <<-<3.下列函数中，与函数3y x =的单调性和奇偶性一致的函数是（ ）A ．y x =B ．tan y x =C ．1y x x=+ D ． x x y e e -=- 4.已知函数()f x 满足11()()2f f x x xx+-=（0x ≠），则(2)f -=（ ） A ．72 B ．92 C.72- D ．92-5.定义运算a b *，()()a ab a b b a b ≤⎧*=⎨>⎩，例如121*=，则函数12x y =*的值域为（ ） A ．(0,1) B ．(,1)-∞ C.[1,)+∞ D ．(0,1]6.已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，[]()g x x =为取整函数，0x 是函数2()ln f x x x=-的零点，则0()g x 等于（ ）A ．1B ．2 C.3 D ．47.已知：命题p :若函数2()||f x x x a =+-是偶函数，则0a =；命题q ：(0,)m ∀∈+∞，关于x 的方程2210mx x -+=有解.在○1p q ∨；○2p q ∧；○3()p q ⌝∧；○4()()p q ⌝∨⌝中真命题的是（ ）A ．○2○3B ．○2○4 C. ○3○4 D ．○1○4 8.若2()lg(21)f x x ax a =-++在区间(,1]-∞上单调递减，则a 的取值范围为（ ）A ．[1,2)B ．[1,2] C.[1,)+∞ D ．[2,)+∞9.函数sin ()ln(2)x f x x =+的图象可能是（ ）A ．B ． C. D ．10.已知函数41()2x f x x e =+-（0x <）与4()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A ．(-∞B ．(-∞ C.( D ．( 11.已知函数2()(21)x f x ae x a x =-++，若函数()f x 在区间(0,ln 2)上有最值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,0)- C.(2,1)-- D ．(,0)(0,1)-∞U12.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x <，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(2,)+∞B ．(,2)-∞- C.(1,)+∞ D ．(,1)-∞-13.已知函数,0(),0x e x f x ax x ⎧≥=⎨<⎩，若方程()()f x f x -=有五个不同的根，则实数a 的取值范围是（ ）A.(1,)+∞B.(,)e +∞C.(,)e -∞-D.(,1)-∞- 14.已知函数2()sin 20191x f x x =++，其中'()f x 为函数()f x 的导数，求(2018)(2018)'(2019)'(2019)f f f f +-++-=（ ）A.2B.2019C.2019D.0二、填空题（每题6分，满分30分，将答案填在答题纸上）15.《左传·僖公十四年》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”这句话的意思是说皮都没有了，毛往哪里依附呢？比喻事物失去了借以生存的基础，就不能存在. 皮之不存，毛将焉附？则“有毛”是“有皮”的 条件（将正确的序号填入空格处）．○1充分条件○2必要条件○3充要条件○4既不充分也不必要条件 16.若3()ln(1)x f x e ax =++是偶函数，则a = ．17.函数21()log (2)3x f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间[1,1]-上的最大值为 ． 18.已知函数()2sin f x x x =-，若正实数a ，b 满足()(21)0f a f b +-=，则14a b +的最小值是 ．19.已知函数()2x f x x =+，()ln g x x x =+，()1h x x x =--的零点分别为1x ，2x ，3x ，则1x ，2x ，3x 的大小关系是 （由小到大）．20.如图所示，已知函数2log (4)y x =图象上的两点A ，B 和函数2log y x =图象上的点C ，线段AC 平行于y 轴，当ABC ∆为正三角形时，点B 的横坐标为 ．三、解答题 （本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21. 已知311()12x f x x a ⎛⎫=+. ⎪-⎝⎭（0a >，且1a ≠）. （1）讨论()f x 的奇偶性；（2）求a 的取值范围，使()0f x >在定义域上恒成立.22. 已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，曲线2y x=与抛物线C 交于点P PF x ⊥轴.（1）求p 的值；（2）抛物线的准线交x 轴交于点Q ，过点Q 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，求AB 的中点M 的轨迹方程.23.已知函数21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-，1a >.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：若5a <，则对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠，有1212()()1f x f x x x ->--. 24.已知函数()(1)x f x bx e a =-+（a ，b R ∈）. （1）如果曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =，求a 、b 值；（2）若1a <，2b =，关于x 的不等式()f x ax <的整数解有且只有一个，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:ADDAD 6-10:BDAAA 11-14：AACA二、填空题15.① 16.32- 17.318.9+ 19.123x x x <<三、解答题21.解：（1）由于10x a -≠，则1xa ≠，得0x ≠， 所以函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠对于定义域内任意x ，有311()()12x f x x a -⎛⎫-=+- ⎪-⎝⎭ 311()12x x a⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭ 3111()12x x a ⎛⎫=--+- ⎪-⎝⎭ 311()12x x f x a ⎛⎫=+= ⎪-⎝⎭∴()f x 是偶函数（2）由（1）知()f x 是偶函数，∴只需讨论0x >时的情况，当0x >时，要使()0f x >，即311012x x a ⎛⎫+> ⎪-⎝⎭， 即11012x a +>-，即102(1)x x a a +>-，则1x a > 又∵0x >，∴1a >.因此当a 的取值范围为(1,)+∞时，()0f x >22.解：（1）(,0)2p F ，设00(,)P x y ，则 2000022y px y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩0x ⇒=∵PF x ⊥轴 ∴02p x =，∴2p =2p = （2）由（1）知，抛物线C 的方程为24y x =，所以点(1,0)Q -设直线AB 的方程为1x ny =-，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，(,)M x y 214x ny y x=-⎧⎨=⎩ 消去x ，得方程2440y ny -+=. 121244y y n y y +=⎧⎨=⎩，22161601n n ∆=->⇒> 因为M 为AB 的中点， 所以221222121212()244211,2822y y y y y y x n y y y n ⎧+⎪+-===->⎪⎨⎪+==⎪⎩ 消去n 得，222y x =+（1x >）. 所以点M 的轨迹方程为222y x =+（1x >）. 23.（1）()f x 的定义域为(0,)+∞.211(1)(1)'()a x ax a x x a f x x a x x x--+--+-=-+==. （i ）若11a -=即2a =，则2(1)'()x f x x-=，故()f x 在(0,)+∞上单调递增. （ii ）若11a -<，而1a >，故12a <<，则当(1,1)x a ∈-时，'()0f x <；当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，故()f x 在(1,1)a -单调递减，在(0,1)a -，(1,)+∞单调递增.（iii ）若11a ->即2a >，同理可得()f x 在(1,1)a -单调递减，在(0,1)，(1,)a -+∞单调递增.（2）考虑函数21()()(1)ln 2g x f x x x ax a x x =+=-+-+，则21'()(1)(1)11)a g x x a a x -=--+≥-=- 由于15a <<，故'()0g x >，即()g x 在(4,)+∞单调增加，从而120x x >>时有12()()0g x g x ->，即1212()()0f x f x x x -+->，故1212()()1f x f x x x ->--， 当120x x <<时，有12211221()()()()1f x f x f x f x x x x x --=>--- 24.（1）函数()f x 的定义域为R ，'()(1)(1)x x x f x be bx e bx b e =+-=+-因为曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =，所以(0)0,'(0)1,f f =⎧⎨=⎩得10,10,a b -=⎧⎨-=⎩解得1,2,a b =⎧⎨=⎩（2）当2b =时，()(21)xf x x e a =-+（1a <）， 关于x 的不等式()f x ax <的整数解有且只有一个，等价于关于x 的不等式(21)0xx e a ax -+-<的整数解有且只有一个. 构造()(21)xF x e x a =+- ①当0x ≥时，因为1x e ≥，211x +≥，所以(21)1xe x +≥，又1a <，所以'()0F x >，所以()F x 在(0,)+∞上单调递增.因为(0)10F a =-+<，(1)0F e =>，所以在[0,)+∞上存在唯一的整数00x =使得0()0F x <即00()f x ax <②当0x <时，为满足题意，函数()F x 在(,0)-∞内不存在整数使()0F x <，即()F x 在(,1]-∞-上不存在整数使()0F x <.因为1x ≤-，所以(21)0xe x +<. 当01a ≤<时，函数'()0F x <，所以()F x 在(,1)-∞-内为单调递减函数，所以(1)0F -≥，即312a e≤< 当0a <时，3(1)20F a e -=-+<，不符合题意.综上所述，a 的取值范围为3[,1)2e。
2019届福建省厦门双十中学高三热身考试数学(理)试题(带答案解析)
2019届福建省厦门双十中学高三热身考试数学（理)试题第I 卷（选择题)一、单选题1．已知A ={x|lgx >0}，B ={x||x −1|<2}，则A ∪B =（ ） A ．{x|x <−1或x ≥1} B ．{x|1<x <3} C ．{x|x >3}D ．{x|x >−1}2．已知复数(1)z a a i =+-（i 为虚数单位，a R ∈），则“(0,2)a ∈”是“在复平面内复数z 所对应的点位于第一象限”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图是一位发烧病人的体温记录折线图，下列说法不正确的是（ ）A ．病人在5月13日12时的体温是38℃B ．从体温上看，这个病人的病情在逐渐好转C ．病人体温在5月14日0时到6时下降最快D ．病人体温在5月15日18时开始逐渐稳定4．已知点P 在抛物线y 2=4x 上，那么点P 到点Q(2,−1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ） A ．(14,−1)B ．(14,1)C ．(1,2)D ．(1,−2)5．如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．4π3+4B ．4π3+8C ．8π3+4D ．8π3+86．设126log a =，14log 12b =，15log 15c =，则（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．c a b <<7．如图Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2AC AB =，BAC ∠平分线交△ABC 的外接圆于点D ，设AB a =u u u v v ，AC b =u u u v v ，则向量AD =u u u v（ ）A ．a b +v vB ．12a b +v vC ．12a b +v vD ．23a b +v v8．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）A ．12B ．13C ．41π- D ．42π-9．函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于,M N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．函数()f x 的图象关于点,034⎛⎫π ⎪⎝⎭成中心对称 C ．函数()f x 在2(,)36ππ--单调递增 D ．函数()f x 的图象向右平移512π后关于原点成中心对称10．2019年4月25日-27日，北京召开第二届“一带一路”国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为 ( ) A ．198B ．268C ．306D ．37811．已知点12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>的左、右焦点，以2F 为圆心且过点1F 的圆N 与双曲线M 在第一象限的交点为P ，圆N 与x 轴的另一个交点为Q ，若1||a PF b PQ =，则双曲线的离心率为（ ）A B ．2C ．54D ．5312．设*n N ∈，函数1()xf x xe =，21()()f x f x '=，32()()f x f x '=，…，1()()n n f x f x +'=，曲线()n y f x =的最低点为n P ，12n n n P P P ++V 的面积为n S ，则（ ） A ．{}n S 是常数列 B ．{}n S 不是单调数列C ．{}n S 是递增数列 D ．{}n S 是递减数列第II 卷（非选择题)二、填空题13．非零向量,a b v 满足：a b a -=r r r ，()0a a b ⋅-=r r r ,则a b -v v 与b v 夹角的大小为_______14．设锐角ABC ∆三个内角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、,若cos cos )2sin a B b A c C +=，1b =，则c 的取值范围为__________．15．回收1吨废纸可以生产出0.8吨再生纸，可能节约用水约100吨，节约用煤约1.2吨，回收1吨废铅蓄电池可再生铅约0.6吨，可节约用煤约0.8吨，节约用水约120吨，回收每吨废铅蓄电池的费用约0.9万元，回收1吨废纸的费用约为0.2万元.现用于回收废纸和废铅蓄电池的费用不超过18万元，在保证节约用煤不少于12吨的前提下，最多可节约用水约__________吨．16．已知球D 的半径为3，圆A 与圆C 为该球的两个小圆，MN 为圆A 与圆C 的公共弦，MN =B 是弦MN 的中点，则四边形ABCD 的面积的最大值为__________．三、解答题17．数列{}n a 中，12a =，112pn n n a a ++=（p 为常数）.（1）若1a -，212a ，4a 成等差数列，求p 的值； （2）是否存在p ，使得{}n a 为等比数列？并说明理由.18．某公司销售部随机抽取了1000名销售员1天的销售记录，经统计，其柱状图如图． 该公司给出了两种日薪方案．方案1：没有底薪，每销售一件薪资20元；方案2：底薪90元，每日前5件的销售量没有奖励，超过5件的部分每件奖励20元． （1）分别求出两种日薪方案中日工资y （单位：元）与销售件数n 的函数关系式； （2）若将频率视为概率，回答下列问题：（Ⅰ）根据柱状图，试分别估计两种方案的日薪X （单位：元）的数学期望及方差； （Ⅱ）如果你要应聘该公司的销售员，结合（Ⅰ）中的数据，根据统计学的思想，分析选择哪种薪资方案比较合适，并说明你的理由．19．如图，在多面体ABCDFE 中，////AB CD EF ，四边形ABCD 和四边形ABEF 是两个全等的等腰梯形.（1）求证：四边形CDFE 为矩形；（2）若平面ABEF ⊥平面ABCD ，2AB =，6CD =，AD =ADF 与平面BCE 所成二面角的余弦值.20．已知两定点1,03A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,03B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点M 是平面内的动点，且||||4AB AM BA BM +++=u u u r u u u u r u u u r u u u u r，记M 的轨迹是C .（1）求曲线C 的方程；（2）过点(1,0)F 引直线l 交曲线C 于, Q N 两点，点Q 关于x 轴的对称点为R ，证明直线NR 过定点.21．已知函数()()()221ln f x a x ax a R x=---∈． （Ⅰ）当1a =时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()()12x e ax ag x f x x--+=+，若2x =是()g x 的唯一极值点，求a ．22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为x a ty t⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，0a >），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线1C 上一点A 的极坐标为π1,3⎛⎫⎪⎝⎭，曲线2C 的极坐标方程为cos ρθ=. （1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）设点,M N 在1C 上，点P 在2C 上（异于极点），若,,,O M P N 四点依次在同一条直线l 上，且||,||,||MP OP PN 成等比数列，求l 的极坐标方程. 23． 设函数(),0f x x a a =+>.(Ⅰ)当2a =时，求不等式()2f x x <的解集；(Ⅱ)若函数()()()1g x f x f x =+- 的图象与直线11y =所围成的四边形面积大于20,求a 的取值范围.参考答案1．D 【解析】 【分析】分别解对数不等式和绝对值不等式得集合A,B 进而求并集即可. 【详解】A ={x|lgx >0}={x|x >1}，B ={x||x −1|<2}={x|−1<x <3}， 则A ∪B ={x|x >−1}.故应选D. 【点睛】本题主要考查对数不等式和绝对值不等式的求解及集合的并集运算，属于基础题. 2．B 【解析】 【分析】根据复平面内点的坐标表示，结合充分必要条件的性质即可判断. 【详解】复数(1)z a a i =+-，所以在复平面内对应的点坐标为(),1a a -，若(0,2)a ∈，则10a ->，10a -=或10a -<都有可能，因而不一定位于第一象限，所以不是充分条件；若在复平面内复数z 所对应的点位于第一象限，有可得010a a >⎧⎨->⎩，可得01a <<，而()()0,10,2⊆所以是必要条件，综上可知， “(0,2)a ∈”是“在复平面内复数z 所对应的点位于第一象限”的必要不充分条件， 故选:B 【点睛】本题考查了复数的几何意义，充分必要条件的判断，属于基础题. 3．C 【解析】【分析】根据折线图，结合选项即可判断.【详解】由该发烧病人的体温记录折线图，可知对于A，病人在5月13日12时的体温是38℃，故A正确；对于B，从体温上看，这个病人的体温逐渐趋于正常，说明病情在逐渐好转，故B正确；对于C，病人体温在5月13日6时到12时下降最快，故C错误；对于D，病人体温在5月15日18时开始逐渐稳定，故D正确.综上可知，C为错误选项，故选：C.【点睛】本题考查了折线图的特征和简单应用，属于基础题.4．A【解析】【分析】根据抛物线安的方程求出焦点坐标，由抛物线的性质，得到P,Q和M三点共线且点P在中间时距离和最小，由此求出纵坐标，代入抛物线的方程，即可求解．【详解】由题意，抛物线的方程为y2=4x，所以p=2，所以焦点F(1,0)，过点M作准线x=−1的垂线，垂足为M，由PF=PM,依题意可知当P,Q和M三点共线且点P在中间时距离和最小，如图所示，，故点P的纵坐标为−1，代入抛物线的方程，求得x=14,−1)，故选A．所以点(14【点睛】本题主要考查了抛物线的定义、标准方程，及抛物线的几何性质的应用，其中解答中由抛物线的性质，当P,Q 和M 三点共线且点P 在中间时距离和最小是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 5．A 【解析】 【分析】通过三视图可知，该几何体是由一个18球和一个三棱柱组合而成，分别求出它们的体积相加即可. 【详解】通过三视图可知，该几何体是由一个18球和一个三棱柱组合而成，因此 V =18×43π⋅23+12×2×2×2=43π+4，故本题选A.【点睛】本题考查了通过三视图求几何体的体积问题，关键是识别出几何体的形状. 6．A 【解析】 【分析】由对数运算与换底公式化简，结合对数函数的图像与性质即可比较大小. 【详解】根据对数运算与换底公式，化简可得()2122226631312log log 1log log log a =--===-+，()41444412123131log log 1lo l g l 4g o og b =--===-+， ()515555log 15log 151log log 1o 3l 51g 3c =--===-+ 由于333245log log log >>，所以254log lo 131313g log --<--<--， a b c ∴<<. 故选：A 【点睛】本题考查了对数的运算与换底公式，对数函数图像与性质应用，属于基础题. 7．C 【解析】 【分析】根据Rt ABC ∆中，的边角关系，结合圆的性质，得到四边形ABDO 为菱形，所以12AD AB AO a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r ．【详解】解：设圆的半径为r ，在Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2AC AB =，所以3BAC π∠=，6ACB π∠=，BAC ∠平分线交ABC ∆的外接圆于点D ，所以6ACB BAD CAD π∠=∠=∠=，则根据圆的性质BD CD AB ==，又因为在Rt ABC ∆中，12AB AC r OD ===， 所以四边形ABDO 为菱形，所以12AD AB AO a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r．故选C ． 【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则，共线向量基本定理，圆的性质等知识，考查分析解决问题的能力和计算能力．属于中档题．8．C 【解析】令圆的半径为1，则()22'41S P S ππππ--===-，故选C 。
2019届福建省厦门双十中学高三暑假第一次返校考试数学(理)试题(解析版)
2019届福建省厦门双十中学高三暑假第一次返校考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B R = C ．{|1}AB x x =>D ．AB =∅2．函数()f x 的图象如图所示，()f x '为函数()f x 的导函数，下列数值排序正确是（ ）A ．()()()()02332f f f f ''<<<-B ．()()()()03322f f f f ''<<-<C ．()()()()03232f f f f ''<<<-D ．()()()()03223f f f f ''<-<<3．下列函数中，与函数3y x =的单调性和奇偶性一致的函数是（ ） A．y =B ．tan y x =C ．1y x x=+D ．x x y e e -=-4．已知函数()f x 满足()()1120f f x x x x x⎛⎫+-=≠⎪⎝⎭，则()2f -= A ．72-B ．92C ．72D ．92-5．定义运算*a b ，*{a a b b =()()a b a b ≤>，例如1*21=，则函数1*2xy =的值域为（ ）A ．0,1B ．(),1-∞C ．[)1,+∞D ．(]0,16．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]g x x =为取整函数，0x 是函数()2ln f x x x=-的零点，则()0g x 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．已知：命题:p 若函数2()||f x x x a =+-是偶函数，则0a =.命题:(0,)q m ∀∈+∞，关于x 的方程23210mx x -+=有解，在①p q ∨；②p q ∧；③()p q ⌝∧；④()()p q ⌝∨⌝中为真命题的是（ ）A ．②③B ．②④C ．③④D ．①④8．若f (x )=ln (x 2-2ax +1+a )在区间(),1-∞上递减,则实数a 的取值范围为（ ） A ．[1,2)B ．[1,2]C ．[1,)+∞D ．[2,)+∞9．函数sin ()lg(2)xf x x =+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数41()(0)2xf x x e x =+-<与4()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ） A．(-∞B．⎛-∞ ⎝C．⎛ ⎝ D．⎛ ⎝ 11．已知函数2()(21)x f x ae x a x =--+，若函数()f x 在区间(0,ln 2)上有极值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,0)-C ．(2,1)--D ．(,1)(0,1)-∞-12．已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是 A ．()2,+∞B ．()1,+∞C ．(),2-∞-D ．(),1-∞-13．已知函数,0(),0x e x f x ax x ⎧≥=⎨<⎩，若方程()()f x f x -=有五个不同的根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(1,)+∞B ．(,)e +∞C ．(,)e -∞-D ．(,1)-∞-14．已知函数()2sin 20191xf x x =++，其中()'f x 为函数()f x 的导数，求()()()()20182018'2019'2019f f f f +-+--=（）A ．2B ．2019C ．2018D ．0二、填空题15．《左传.僖公十四年》有记载:“皮之不存,毛将焉附?"”这句话的意思是说皮都没有了,毛往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基础,就不能存在.皮之不存,毛将焉附?则“有毛”是“有皮”的__________条件(将正确的序号填入空格处).①充分条件②必要条件③充要 条件④既不充分也不必要条件 16．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________．17．函数f (x )＝1()3x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________． 18．已知函数()2sin f x x x =-，若正实数,a b 满足()(21)0f a f b +-=，则14a b+的最小值是__________． 19．已知函数f(x)＝x ＋2x ，g(x)＝x ＋ln x ，h(x)＝x－1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是________(由小到大).20．如图所示，已知函数2log 4y x =图象上的两点,A B 和函数2log y x =图象上的点C ，线段AC 平行于y 轴，当ABC 为正三角形时，点B 的横坐标为______.三、解答题21．已知函数f(x)＝1112xa ⎛⎫⎪⎝⎭＋－x 3(a>0且a≠1)． (1)求函数f(x)的定义域； (2)讨论函数f(x)的奇偶性；(3)求a 的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立． 22．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，曲线2y x=与抛物线C 交于点,P PF x ⊥轴. （1）求p 的值；（2）抛物线的准线交x 轴交于点Q ，过点Q 的直线与抛物线C 交于A B 、两点，求AB 的中点M 的轨迹方程.23．已知函数f(x)=x －ax+(a －1)ln x ，1a >，（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）证明：若5a <，则对任意x ，x(0,)+∞，xx ，有1212()()1f x f x x x ->--． 24．已知函数()(1)x f x bx e a =-+（a ，b R ∈）.（1）如果曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =，求a 、b 值；（2）若1a <，2b =，关于x 的不等式()f x ax <的整数解有且只有一个，求a 的取值范围.参考答案1．A 【解析】∵集合{|31}x B x =< ∴{}0B x x =<∵集合{|1}A x x =<∴{}0A B x x ⋂=<，{}|1A B x x ⋃=< 故选A 2．B 【分析】根据导数的几何意义可对比切线斜率得到()()032f f ''<<，将()()32f f -看作过()()22f ,和()()3,3f 的割线的斜率，由图象可得斜率的大小关系，进而得到结果.【详解】由()f x 图象可知，()f x 在2x =处的切线斜率大于在3x =处的切线斜率，且斜率为正，()()032f f ''∴<<，()()()()323232f f f f --=-，()()32f f ∴-可看作过()()22f ,和()()3,3f 的割线的斜率，由图象可知()()()()3322f f f f ''<-<，()()()()03322f f f f ''∴<<-<.故选：B . 【点睛】本题考查导数几何意义的应用，关键是能够将问题转化为切线和割线斜率大小关系的比较，进而根据图象得到结果. 3．D 【详解】函数3y x =即是奇函数也是R 上的增函数，对照各选项：y =为非奇非偶函数，排除A ；tan y x =为奇函数，但不是R 上的增函数，排除B ；1y x x=+为奇函数，但不是R 上的增函数，排除C ；xxy e e -=-为奇函数，且是R 上的增函数，故选D. 4．C 【分析】 令1x x=-，代入解析式，通过解方程组即可求得()f x -的解析式，进而求得()2f -的值． 【详解】 由()()112?1f f x x x x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭, 可得()12? f x xf x x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭(2), 将(1)x ⨯+(2)得:()2222f x x x-=-⇒ ()21,f x x x -=-()722f ∴-=,故选C ． 【点睛】本题考查了函数解析式的求法，方程组法在解析式求法中的应用，属于中档题． 5．D 【解析】分析：欲求函数y=1*2x 的值域，先将其化成分段函数的形式，再画出其图象，最后结合图象即得函数值的取值范围即可．详解：当1≤2x 时，即x ≥0时，函数y=1*2x =1 当1＞2x 时，即x ＜0时，函数y=1*2x =2x ∴f （x ）=1020xx x ≥⎧⎨⎩，，＜ 由图知，函数y=1*2x 的值域为：（0，1]． 故选D ．点睛：遇到函数创新应用题型时，处理的步骤一般为：①根据“让解析式有意义”的原则，先确定函数的定义域；②再化简解析式，求函数解析式的最简形式，并分析解析式与哪个基本函数比较相似；③根据定义域和解析式画出函数的图象④根据图象分析函数的性质． 6．B 【分析】根据零点存在定理判断023x <<，从而可得结果. 【详解】 因为()2ln f x x x=-在定义域内递增， 且()2ln 210f =-<，()23ln 303f =->， 由零点存在性定理可得023x <<，根据[]x 表示不超过实数x 的最大整数可知()02g x =， 故选：B. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续. 7．D 【分析】先分析命题p ，q 的真假，再根据复合命题的真值判断方法即可求解． 【详解】解：若函数2()||f x x x a =+-为偶函数，则22()||||x x a x x a -+--=+-，即有||||x a x a +=-，易得0a =，故命题p 为真；当0m >时，方程的判别式412m ∆=-不恒大于等于零， 当13m >时，∆<0，此时方程无实根，故命题q 为假， 即p 真q 假，故命题p q ∨为真，p q ∧为假，()p q ⌝∧为假，()()p q ⌝∨⌝为真． 综上可得真确命题为①④． 故选：D ． 【点睛】本题考查复合命题的真假的判断．解题关键真确判断命题p ，q 的真假，再根据复合命题真值的判断方法求解．属于基础题． 8．B 【分析】由外函数对数函数是增函数，可得要使函数2()ln(21)f x x ax a =-++在(),1-∞上递减，需内函数二次函数的对称轴大于等于1，且内函数在(),1-∞上的最小值大于0，由此联立不等式组求解． 【详解】解：令2()21g x x ax a =-++，其对称轴方程为x a =， 外函数对数函数是增函数，要使函数2()ln(21)f x x ax a =-++在(),1-∞上递减， 则1(1)1210a g a a ⎧⎨=-++≥⎩，即：12a ≤≤．∴实数a 的取值范围是[]1,2．故选：B ． 【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题． 9．A 【分析】由函数的解析式，可求出函数的定义域，可排除B ，D 答案；分析(2,1)x ∈--时，函数值的符号，进而可以确定函数图象的位置后可可排除C 答案． 【详解】解：若使函数sin ()lg(2)xf x x =+的解析式有意义则2021x x +>⎧⎨+≠⎩，即21x x >-⎧⎨≠-⎩即函数sin ()lg(2)xf x x =+的定义域为()()2,11,---+∞，可排除B ，D 答案；当(2,1)x ∈--时，sin 0x <，lg(2)0x +<， 则sin ()0lg(2)xf x x =>+，可排除C 答案故选：A ． 【点睛】本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握函数定义域的求法及函数值符号的判定是解答的关键． 10．A 【分析】根据条件转化为()()f x g x -=在0x >时，有解即可，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数图象交点问题，可以数形结合进行求解即可． 【详解】解：()f x 与()g x 的图象上存在关于y 轴对称的点， 等价为()()f x g x -=在0x >时，有解即可，则441()2x x e x ln x a -+-=++， 即1()2x e ln x a --=+，在(0,)+∞上有解即可， 设12xy e -=-，()()h x ln x a =+， 作出两个函数的图象如图：当0x =时，1111222xy e -=-=-=， 当0a ，将lnx 的图象向右平移，此时()ln x a +一定与12xy e -=-有交点，满足条件， 当0a >时，则1(0)2h lna =<，得120a e <<，综上a <即实数a 的取值范围是(-∞ 故选：A ．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，结合条件进行转化为()()f x g x -=在0x >时，有解即可，利用函数与方程之间的关系利用数形结合是解决本题的关键，属于中档题． 11．A 【分析】()2(21)()x f x ae x a g x '=--+=，由函数()f x 在区间(0,2)ln 上有极值()g x ⇔在区间(0,2)ln 上存在零点．利用函数零点存在定理即可得出． 【详解】解：()2(21)()x f x ae x a g x '=--+=， 由函数()f x 在区间(0,2)ln 上有极值，()g x ∴在区间(0,2)ln 上存在零点．(0)(2)(21)(22221)0g g ln a a a ln a ∴=-----<，可得10a +<，解得1a <-．∴实数a 的取值范围是(,1)-∞-．故选：A ． 【点睛】本题考查了利用对数研究函数的单调性与极值、函数零点存在定理、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12．C 【解析】试题分析：当0a =时，2()31f x x =-+，函数()f x 和不满足题意，舍去；当0a >时，2()36f x ax x '=-，令()0f x '=，得0x =或2x a=．(,0)x ∈-∞时，()0f x '>；2(0,)x a ∈时，()0f x '<；2(,)x a∈+∞时，()0f x '>，且(0)0f >，此时在(,0)x ∈-∞必有零点，故不满足题意，舍去；当0a <时，2(,)x a∈-∞时，()0f x '<；2(,0)x a∈时，()0f x '>；(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，且(0)0f >，要使得()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，只需2()0f a>，即24a >，则2a <-，选C ．考点：1、函数的零点；2、利用导数求函数的极值；3、利用导数判断函数的单调性． 13．C 【解析】分析：求出f （﹣x ）的解析式，根据x 的范围不同得出两个不同的方程，由两个方程的关系得出f （﹣x ）=f （x ）在（0，+∞）上有两解，根据函数图象和导数的几何意义得出a 的范围．详解：∵f （x ）=,0,0x e x ax x ⎧≥⎨<⎩，∴f （﹣x ）=,0,0x e x ax x -⎧≥⎨-<⎩． 显然x=0是方程f （﹣x ）=f （x ）的一个根， 当x ＞0时，e x =﹣ax ，①当x＜0时，e﹣x=ax，②显然，若x0为方程①的解，则﹣x0为方程②的解，即方程①，②含有相同个数的解，∵方程f（﹣x）=f（x）有五个不同的根，∴方程①在（0，+∞）上有两解，做出y=e x（x＞0）和y=﹣ax（x＞0）的函数图象，如图所示：设y=kx与y=e x相切，切点为（x0，y0），则xxe kkx e⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得x0=1，k=e．∵y=e x与y=﹣ax在（0，+∞）上有两个交点，∴﹣a＞e，即a＜﹣e．故选C．点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题．14．A【分析】设()12019 in12019xxg x s x -=++，判断奇偶性和导数的奇偶性，求和即可得到所求值．【详解】解：函数()212019sin sin 12019112019xx x f x x x -=+=++++设()12019sin 12019xxg x x -=++，则()()()1201912019sin sin 1201912019x xx x g x x x g x --⎛⎫---=-+=-+=- ⎪++⎝⎭即()()0g x g x -+=，即()()2f x f x -+=，则()()()()2018201820181201812f f g g +-=++-+=， 又()()''f x g x =，()()()()2,''0f x f x f x f x -+=∴--+=，可得()()'2019'20190f f --=，即有()()()()20182018'2019'20192f f f f +-+--=，故选A ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性和导数的奇偶性，考查运算能力，属于中档题． 15．① 【解析】分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．详解：由题意知“无皮”⇒“无毛”，所以“有毛”⇒“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分条件． 故答案为：①．点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键． 16．32-【分析】根据函数奇偶性的定义，建立方程关系即可得到结论． 【详解】由偶函数的定义可得f (－x )＝f (x )，即ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ， 即2ax=ln （e ﹣3x +1）﹣ln （e 3x +1）=lne ﹣3x =﹣3x ，∴2ax ＝－3x ，∴a ＝－32故答案为：－32【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据偶函数的定义得到f （﹣x ）=f （x ）是解决本题的关键，属于基础题. 17．3 【解析】13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与y=－log 2(x ＋2) 都是[-1，1]上的减函数，所以函数f (x )＝13x⎛⎫⎪⎝⎭－log 2(x ＋2) 在区间[-1，1]上的减函数，∴最大值为：f （-1）=3 故答案为3．18．9+ 【解析】因为()2cos 0,()2sin ()f x x f x x x f x '=->-=-+=-，所以函数()f x 为单调递增奇函数，因此由()()210f a f b +-=，得()(21)(12)12,21,f a f b f b a b a b =--=-∴=-+=因此14a b +1424()(2)999b a a b a b a b =++=++≥+=+，当且仅当b =时取等号.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 19．x 1<x 2<x 3 【分析】由1x ，2x ，3x 分别为f(x)＝x ＋2x ，g(x)＝x ＋ln x ，h(x)＝x －1的零点，将1x ，2x ，3x 转化为函数y 1＝2x ，y 2＝ln x ，y 31与函数y ＝－x 交点的横坐标，所以在同一平面直角坐标系中，作出函数y 1＝2x，y 2＝ln x ，y 31，y ＝－x 图象，数形结合，判断1x ，2x ，3x 的大小 【详解】令y 1＝2x ，y 2＝ln x ，y 31，y ＝－x ，∵函数f(x)＝x ＋2x，g(x)＝x ＋ln x ，h(x)＝x 1的零点分别为x 1，x 2，x 3，即函数y 1＝2x ，y 2＝ln x ，y 3－1与函数y ＝－x 交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3. 分别作出函数的图象，结合图象可得x 1<x 2<x 3.【点睛】根据零点求参数方法：1.直接法：直接根据题设条件，构建关于参数的关系式，确定参数的取值范围2.数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解20【分析】根据题意，设出A 、B 、C 的坐标，由线段//AC y 轴，ABC ∆是等边三角形，得出AB 、AC 与BC 的关系，求出p 、q 的值，计算出结果．【详解】解：根据题意，设0(A x ，202log )x +，(,)B p q ，0(C x ，20log )x ， 线段//AC y 轴，ABC ∆是等边三角形，2AC ∴=，22log p q +=，22q p -∴=，42q p ∴=；又0x p -=0p x ∴=0x p ∴=；又202log 1x q +-=，20log 1x q ∴=-，102q x -=；12q p -∴；224q p p +==，p ∴=【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用问题，也考查了指数，对数的运算问题，属于中档题．21．（1）{x|x ∈R ，且x≠0}（2）偶函数（3）a>1. 【解析】(1)由于a x －1≠0，则a x ≠1，所以x≠0， 所以函数f(x)的定义域为{x|x ∈R ，且x≠0}． (2)对于定义域内任意的x ，有f(－x)＝1112x a -⎛⎫ ⎪⎝⎭＋－(－x)3＝－112x xa a⎛⎫ ⎪⎝⎭＋－x 3＝－11112x a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＋－x 3＝1112x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋－x 3＝f(x)所以f(x)是偶函数． (3)①当a>1时，对x>0， 所以a x >1，即a x －1>0，所以11x a －＋12>0. 又x>0时，x 3>0，所以x 31112x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋－>0，即当x>0时，f(x)>0.由(2)知，f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)， 则当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)>0成立． 综上可知，当a>1时，f(x)>0在定义域上恒成立．②当0<a<1时，f(x)＝31)2(1)x ax x a （＋－，当x>0时，0<a x <1，此时f(x)<0，不满足题意； 当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)<0，也不满足题意． 综上可知，所求a 的取值范围是a>1 22．（1）2（2）222? (1)y x x =+> 【解析】分析：（1）设00,P x y （），则由已知可得2000022y px y x⎧=⎪⎨=⎪⎩，从而可得0x =又根据PF x ⊥轴，则2p = （2）设直线AB 的方程为1x ny =-，211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，(),M x y ，联立直线AB 的方程与抛物线方程，利用根与系数的关系式以及中点坐标公式即可求得答案.详解：（1）,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设00,P x y （），则20000022y px x y x⎧=⎪⇒=⎨=⎪⎩PF x ⊥轴，0=2p x ∴，2p ∴= 2p ∴=（2）由（1）知，抛物线C 的方程为24y x =，所以点1,0Q-（）. 设直线AB 的方程为1x ny =-，211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，(),M x y .214x ny y x =-⎧⎨=⎩消去x ，得方程2440y ny -+=．121244y y ny y +=⎧⎨=⎩, 22161601n n ∆=->⇒> 因为M 为AB 的中点所以()2212212122122442112822y y y y y y x n y yy n ⎧+⎪+-==⎪=->⎨⎪+==⎪⎩， 消去n 得，222(1)y x x =+>.所以点M 的轨迹方程为222(1)y x x =+>．点睛：对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果． 23．（1）见解析（2）见解析 【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+.()()()21111'x x a a x ax a f x x a x x x-+---+-=-+==. （i ）若11a -=即2a =，则()()21'x f x x-=，故()f x 在()0,∞+上单调递增.（ii ）若11a -<，而1a >，故12a <<，则当()1,1x a ∈-时，()'0f x <； 当()0,1x a ∈-及()1,x ∈+∞时，()'0f x >，故()f x 在()1,1a -单调递减，在()0,1a -，()1,+∞单调递增.（iii ）若11a ->即2a >，同理可得()f x 在()1,1-a 单调递减，在()0,1，()1,a -+∞单调递增.（2）考虑函数()()()211ln 2g x f x x x ax a x x =+=-+-+，则()()())21'1111a g x x a a x -=--+≥-=-由于15a <<，故()'0g x >，即()g x 在()4,+∞单调增加，从而当120x x >>时有()()120g x g x ->，即()()12120f x f x x x -+->，故()()12121f x f x x x ->--，当120x x <<时，有()()()()122112211f x f x f x f x x x x x --=>---.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.24．（1）1,{ 2.a b ==（2）3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【解析】分析：（1）由曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为y x =，得(0)0(0)1f f =⎧⎨='⎩，求出,a b 的值即可；（2）构造函数，通过对构造函数求导，并分类讨论，即可求得a 的取值范围． 详解：（1）函数()f x 的定义域为R ，()()()11x x x f x be bx e bx b e =+-=+-'.因为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y x =，所以()()0001f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩得101a b b -=⎧⎨-=⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩. （2）当2b =时，()()21(1)xf x x e a a =-+<， 关于x 的不等式()f x ax <的整数解有且只有一个.等价于关于x 的不等式()210xx e a ax -+-<的整数解有且只要一个，构造函数()()21,x F x x e a ax x R =-+-∈，所以()()21x F x e x a '=+-.①当0x ≥时，因为1,211xe x ≥+≥，所以()211xex +≥，又1a <，所以()0F x '>，所以()F x 在()0,+∞内单调递增.因为()()010,10F a F e =-+=，所以在[)0,+∞上存在唯一的整数00x =使得()00F x <，即()00f x ax <.②当0x <时，为满足题意，函数()F x 在(),0-∞内不存在整数使()0F x <，即()F x 在(],1-∞上不存在整数使()0F x <.因为1x ≤-，所以()210xex +<.当01a ≤<时，函数()0F x '<，所以()F x 在(),1-∞-内为单调递减函数，所以()10F -≥，即312a e≤<； 当0a <时，()3120F a e-=-+<，不符合题意. 综上所述，a 的取值范围为3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 点睛：本题考查了导数几何意义，以及导数在函数中的综合应用，其中利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，着重考查了转化和化归思想，以及数形结合思想的应用．。
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厦门双十中学2018年高三上理科数学第一次返校考考卷一、选择题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|1A x x =<，{}|31x B x =<，则（ ）A ．{}|0AB x x =< B ．A B R =C ．{}|0A B x x =<D ．A B =∅2.已知函数()f x 的图象如图，'()f x 是()f x 的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）A ．0'(2)'(3)'(3)'(2)f f f f <<<-B ．0'(3)'(2)'(3)'(2)f f f f <<<-C ．0'(3)'(2)'(2)'(3)f f f f <-<<D ．0'(3)'(3)'(2)'(2)f f f f <<-<3.下列函数中，与函数3y x =的单调性和奇偶性一致的函数是（ ）A ．y =．tan y x = C ．1y x x =+D ． x x y e e -=- 4.已知函数()f x 满足11()()2f f x x x x+-=（0x ≠），则(2)f -=（ ）A ．72B ．92 C.72- D ．92- 5.定义运算a b *，()()a ab a b b a b ≤⎧*=⎨>⎩，例如121*=，则函数12x y =*的值域为（ ） A ．(0,1) B ．(,1)-∞ C.[1,)+∞ D ．(0,1]6.已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，[]()g x x =为取整函数，0x 是函数2()ln f x x x=-的零点，则0()g x 等于（ ）A ．1B ．2 C.3 D ．47.已知：命题p :若函数2()||f x x x a =+-是偶函数，则0a =；命题q ：(0,)m ∀∈+∞，关于x 的方程2210mx x -+=有解.在○1p q ∨；○2p q ∧；○3()p q ⌝∧；○4()()p q ⌝∨⌝中真命题的是（ ）A ．○2○3B ．○2○4 C. ○3○4 D ．○1○48.若2()lg(21)f x x ax a =-++在区间(,1]-∞上单调递减，则a 的取值范围为（ ）A ．[1,2)B ．[1,2] C.[1,)+∞ D ．[2,)+∞9.函数sin ()ln(2)x f x x =+的图象可能是（ ）A ．B ． C. D ．10.已知函数41()2x f x x e =+-（0x <）与4()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A ．(-∞B ．(-∞ C.( D ．( 11.已知函数2()(21)x f x ae x a x =-++，若函数()f x 在区间(0,ln 2)上有最值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,0)- C.(2,1)-- D ．(,0)(0,1)-∞12.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x <，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(2,)+∞B ．(,2)-∞- C.(1,)+∞ D ．(,1)-∞-13.已知函数,0(),0x e x f x ax x ⎧≥=⎨<⎩，若方程()()f x f x -=有五个不同的根，则实数a 的取值范围是（ ）A.(1,)+∞B.(,)e +∞C.(,)e -∞-D.(,1)-∞- 14.已知函数2()sin 20191x f x x =++，其中'()f x 为函数()f x 的导数，求(2018)(2018)'(2019)'(2019)f f f f +-++-=（ ）A.2B.2019C.2018D.0二、填空题（每题6分，满分30分，将答案填在答题纸上）15.《左传·僖公十四年》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”这句话的意思是说皮都没有了，毛往哪里依附呢？比喻事物失去了借以生存的基础，就不能存在. 皮之不存，毛将焉附？则“有毛”是“有皮”的 条件（将正确的序号填入空格处）．○1充分条件○2必要条件○3充要条件○4既不充分也不必要条件 16.若3()ln(1)xf x e ax =++是偶函数，则a = ． 17.函数21()log (2)3x f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间[1,1]-上的最大值为 ． 18.已知函数()2sin f x x x =-，若正实数a ，b 满足()(21)0f a f b +-=，则14a b+的最小值是 ．19.已知函数()2x f x x =+，()ln g x x x =+，()1h x x =的零点分别为1x ，2x ，3x ，则1x ，2x ，3x 的大小关系是 （由小到大）．20.如图所示，已知函数2log (4)y x =图象上的两点A ，B 和函数2log y x =图象上的点C ，线段AC 平行于y 轴，当ABC ∆为正三角形时，点B 的横坐标为 ．三、解答题 （本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21. 已知311()12x f x x a ⎛⎫=+. ⎪-⎝⎭（0a >，且1a ≠）. （1）讨论()f x 的奇偶性；（2）求a 的取值范围，使()0f x >在定义域上恒成立.22. 已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，曲线2y x=与抛物线C 交于点P PF x ⊥轴.（1）求p 的值；（2）抛物线的准线交x 轴交于点Q ，过点Q 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，求AB 的中点M 的轨迹方程.23.已知函数21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-，1a >. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：若5a <，则对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠，有1212()()1f x f x x x ->--. 24.已知函数()(1)x f x bx e a =-+（a ，b R ∈）.（1）如果曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =，求a 、b 值；（2）若1a <，2b =，关于x 的不等式()f x ax <的整数解有且只有一个，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:ADDAD 6-10:BDAAA 11-14：AACA二、填空题15.① 16.32- 17.3 18.9+19.123x x x <<三、解答题21.解：（1）由于10x a -≠，则1x a ≠，得0x ≠，所以函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠对于定义域内任意x ，有311()()12x f x x a -⎛⎫-=+- ⎪-⎝⎭311()12x x a ⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭3111()12x x a ⎛⎫=--+- ⎪-⎝⎭311()12x x f x a ⎛⎫=+= ⎪-⎝⎭∴()f x 是偶函数（2）由（1）知()f x 是偶函数，∴只需讨论0x >时的情况，当0x >时，要使()0f x >，即311012x x a ⎛⎫+> ⎪-⎝⎭， 即11012x a +>-，即102(1)x x a a +>-，则1x a > 又∵0x >，∴1a >.因此当a 的取值范围为(1,)+∞时，()0f x >22.解：（1）(,0)2p F ，设00(,)P x y ，则 2000022y px y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩0x ⇒=∵PF x ⊥轴 ∴02p x =，∴2p =2p = （2）由（1）知，抛物线C 的方程为24y x =，所以点(1,0)Q -设直线AB 的方程为1x ny =-，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，(,)M x y 214x ny y x=-⎧⎨=⎩ 消去x ，得方程2440y ny -+=. 121244y y n y y +=⎧⎨=⎩，22161601n n ∆=->⇒> 因为M 为AB 的中点， 所以221222121212()244211,2822y y y y y y x n y y y n ⎧+⎪+-===->⎪⎨⎪+==⎪⎩ 消去n 得，222y x =+（1x >）.所以点M 的轨迹方程为222y x =+（1x >）.23.（1）()f x 的定义域为(0,)+∞.211(1)(1)'()a x ax a x x a f x x a x x x--+--+-=-+==. （i ）若11a -=即2a =，则2(1)'()x f x x-=，故()f x 在(0,)+∞上单调递增. （ii ）若11a -<，而1a >，故12a <<，则当(1,1)x a ∈-时，'()0f x <；当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，故()f x 在(1,1)a -单调递减，在(0,1)a -，(1,)+∞单调递增.（iii ）若11a ->即2a >，同理可得()f x 在(1,1)a -单调递减，在(0,1)，(1,)a -+∞单调递增.（2）考虑函数21()()(1)ln 2g x f x x x ax a x x =+=-+-+，则21'()(1)(1)11)a g x x a a x -=--+≥-=- 由于15a <<，故'()0g x >，即()g x 在(4,)+∞单调增加，从而120x x >>时有12()()0g x g x ->，即1212()()0f x f x x x -+->，故1212()()1f x f x x x ->--， 当120x x <<时，有12211221()()()()1f x f x f x f x x x x x --=>--- 24.（1）函数()f x 的定义域为R ，'()(1)(1)x x x f x be bx e bx b e =+-=+-因为曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =，所以(0)0,'(0)1,f f =⎧⎨=⎩得10,10,a b -=⎧⎨-=⎩解得1,2,a b =⎧⎨=⎩（2）当2b =时，()(21)xf x x e a =-+（1a <），关于x 的不等式()f x ax <的整数解有且只有一个，等价于关于x 的不等式(21)0x x e a ax -+-<的整数解有且只有一个.构造()(21)x F x e x a =+-①当0x ≥时，因为1x e ≥，211x +≥，所以(21)1x e x +≥，又1a <，所以'()0F x >，所以()F x 在(0,)+∞上单调递增.因为(0)10F a =-+<，(1)0F e =>，所以在[0,)+∞上存在唯一的整数00x =使得0()0F x <即00()f x ax <②当0x <时，为满足题意，函数()F x 在(,0)-∞内不存在整数使()0F x <，即()F x 在(,1]-∞-上不存在整数使()0F x <.因为1x ≤-，所以(21)0x e x +<.当01a ≤<时，函数'()0F x <，所以()F x 在(,1)-∞-内为单调递减函数，所以(1)0F -≥，即312a e≤< 当0a <时，3(1)20F a e-=-+<，不符合题意. 综上所述，a 的取值范围为3[,1)2e。