2012年高考数学30道压轴题30[1]

x [2k ,2k 2](k Z ) 时，求 f ( x) 的表达式。
证明
f ( x) 是偶函数。
f ( x ) log 4 1 0 是否有实数根？若有实数根， 指出实数根的个数； 若没有实数根， x
试问方程
请说明理由。当
3． （本题满分 12 分）如图，已知点 F（0，1） ，直线 L：y=-2，及圆 C： x （1） （2） （3）
（1）求数列{bn}的通项公式； （2）设数列{bn}的前项和为 Sn，试比较 Sn 与
7 8
的大小，并证明你的结论.
9．已知焦点在 x 轴上的双曲线 C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点 为半径的圆相切，又知 C 的一个焦点与 A 关于直线 （Ⅰ）求双曲线 C 的方程； （Ⅱ）设直线
A(0, 2 ) 为圆心，1
17． 已知 a =（x,0） ， b =（1，y） ， （a +



． 3 b ） （a – 3 b ）



（I） 求点 （x，y）的轨迹 C 的方程； （II） 若直线 L：y=kx+m(m 0)与曲线 C 交于 A、B 两点，D（0，–1） ，且有 的取值范围． |AD|=|BD|，试求 m
试比较 Tn 与 S n 的大小．
等差数列吗？请给予证明；
11.
→ → ：如图，设 OA、OB 是过抛物线 y2＝2px 顶点 O 的两条弦，且OA· OB＝0，求以 OA、OB 为直径的
两圆的另一个交点 P 的轨迹.(13 分)
9 12.知函数 f(x)＝log3(x2－2mx＋2m2＋ 2 )的定义域为 R m －3 (1)求实数 m 的取值集合 M； (2)求证：对 m∈M 所确定的所有函数 f(x)中，其函数值最小的一个是 2，并求使函数值等于 2 的 m 的值和 x 的值.
，BC＝ ．椭圆 C 以 A、B 为焦点且
22、直角梯形 ABCD 中∠DAB＝90° ，AD∥BC，AB＝2，AD＝ 经过点 D． （1）建立适当坐标系，求椭圆 C 的方程； （ 2 ）若点 E 满足 EC

1 AB ，问是否存在不平行 2
AB 的直线 l 与椭圆 C 交于 M 、 N 两点且
| ME || NE | ，若存在，求出直线 l 与 AB 夹角的范围，若不存在，说明理由．
13.设关于 x 的方程 2x2-tx-2=0 的两根为 , ( (1). 求 f( )和f ( ) 的值。 （2） 。证明：f(x)在[ , ] 上是增函数。 （3） 。对任意正数 x1、x2,求证：
), 函数 f(x)=
4x t . x2 1
f(
x1 x 2 x x 2 ) f( 1 ) 2 x1 x 2 x1 x 2
8 4 2 ，MN 的中点到 Y 轴的距离为 3 3
，
Y D C
E A O B X
27． （14 分） （理）已知椭圆
x2 y 2 1(a 1) ，直线 l 过点 A（－a，0）和点 B（a，ta） 2 a
（t＞0）交椭圆于 M.直线 MO 交椭圆于 N.（1）用 a，t 表示△AMN 的面积 S； （2）若 t∈[1，2]，a 为定值，求 S 的最大值.
f n (0) 1 2 ,定义 fn+1 (x)=f1［fn(x)］,an= ,其中 n∈N*. f n (0) 2 1 x
4n 2 n ,其中 n∈N*,试比较 9T2n 与 Qn 的大小. 4n 2 4n 1
(1) 求数列｛an｝的通项公式； (2)若 T2n=a1+2a2+3a3+„+2na2n,Qn=
2
( y 3) 2 1 。
若动点 M 到点 F 的距离比它到直线 L 的距离小 1，求动点 M 的轨迹 E 的方程； 过点 F 的直线 g 交轨迹 E 于 G（x1，y1） 、H（x2，y2）两点，求证：x1x2 为定值； 10 过轨迹 E 上一点 P 作圆 C 的切线，切点为 A、B，要使四边形 PACB 的面积 S 最小，求点 P 的 坐标及 S 的最小值。

，过点 P 且平行于准线 l 的直线与椭圆相交于另一点 M ，证明 AP AQ （ 1 ）
FM FQ. (14 分)
2． 已知函数 （1） （2） （3）
f ( x) 对任意实数 x 都有 f ( x 1) f ( x) 1 ，且当 x [0,2] 时， f ( x) | x 1 | 。
平分线的垂线，垂足为 N，试求点 N 的轨迹方程．
2
10.
1 f ( x) 对任意 x R 都有 f ( x) f (1 x) . 2 1 1 n 1 ) (n N ) 的值． （Ⅰ）求 f ( ) 和 f ( ) f ( 2 n n 1 2 n 1 ) f (1) ，数列 an 是 （Ⅱ）数列 an 满足： a n = f (0) + f ( ) f ( ) f ( n n n
（1）求数列 {an } 的通项 an ； （2）若 0 （3）若 a
a 1, 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn，求 lim S n ；
n
2, 令bn an f (an ) ，对任意 n N , 都有bn f 1 (t ) ,求实数 t 的取值范围.
4
20．已知△OFQ 的面积为 2 （1）设
21、已知函数
f ( x) 3x 2 bx 1是偶函数， g ( x) 5x c 是奇函数，正数数列 an 满足
2
an 1, f ( an an1 ) g( an1an an ) 1
① ②若 求
an 的通项公式；
3 2 1 2
Sn . an 的前 n 项和为 S n ，求 lim n
5
23、 ．设函数
f ( x)
1 , 4 2
x
（1）求证：对一切 x R, （2 ）记 a n
f ( x) f (1 x) 为定值；
(n N *), 求数列 {an } 的通
1 2 n 1 f (0) f ( ) f ( ) f ( ) f (1) n n n
项公式及前 n 项和.
24. 已知函数 (I)
f ( x) 是定义在 R 上的偶函数.当 X 0 时, f ( x) = f ( x) 的解析式;
(X 0)在
7x . x x 1
2
求当 X<0 时,
(II) (III)
试确定函数 若 x1
y = f ( x)
1, 的单调性，并证明你的结论.
y
M
B
A N
O
x
7
28．已知函数 f(x)=
2 且 x2 2 ，证明：| f ( x1 ) － f ( x2 ) |<2.
6
25、已知抛物线
y 2 4 x 的准线与 x 轴交于 M
点，过 M 作直线与抛物线交于 A、B 两点，若线段 AB
的垂直平分线与 X 轴交于 D(X0,0) ⑴求 X0 的取值范围。 ⑵△ABD 能否是正三角形？若能求出 X0 的值，若不能，说明理由。 26、已知□ABCD，A（-2，0） ，B（2，0） ，且∣AD∣=2 ⑴求□ABCD 对角线交点 E 的轨迹方程。 ⑵过 A 作直线交以 A、B 为焦点的椭圆于 M、N 两点，且∣MN∣= 求椭圆的方程。 ⑶与 E 点轨迹相切的直线 l 交椭圆于 P、Q 两点，求∣PQ∣的最大值及此时 l 的方程。
HP · PM =0， PM =－
3 MQ ， 2
（1）当点 P 在 y 轴上移动时，求点 M 的轨迹 C； （2）过点 T（－1，0）作直线 l 与轨迹 C 交于 A、B 两点，若在 x 轴上存在一点 E（x0,0） ，使得△ABE 3
为等边三角形，求 x0 的值.
16.（14 分）设 f1(x)=
8
y
6
4
C
2
F
x -15
-10 -5
O
-2
5
X
10
-4
1
-6
-8
-10
x2 2 4.以椭圆 2 y ＝1（a＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证 a
能作出多少个符合条件的三角形. 5 已知，二次函数 f（x）＝ax2＋bx＋c 及一次函数 g（x）＝－bx，其中 a、b、c∈R，a＞b＞c，a＋b＋
*
14．已知数列{an}各项均为正数，Sn 为其前 n 项的和.对于任意的 n N ，都有 4 S n I、求数列 II、若 2
n
an 1
2
.
an 的通项公式.
tSn 对于任意的 n N * 恒成立，求实数 t 的最大值.
15.( 12 分)已知点 H（－3，0） ，点 P 在 y 轴上，点 Q 在 x 轴的正半轴上，点 M 在直线 PQ 上，且满足
（1） （2） （3）
求 A 的取值范围，使不等式 f（x）≤A－1987 对于 x∈[－1，4]恒成立； 令g
x f x 3x 2 tx 1。是否存在一个实数 t，使得当 x (0,1] 时，g（x）有最大

值 1？ 7 已知两点 M（－2，0） ，N（2，0） ，动点 P 在 y 轴上的射影为 H，︱ PH ︱是 2 和 PM PN 的等比
nf (n 1) f ( n)
（3）设 bn

Байду номын сангаас
(n N ), Sn bk , 试比较
k 1
1 k 1 S k
n
与 6 的大小．