因式分解四种方法(讲义)
人教版 小学8年级 数学上册 因式分解的四种方法(讲义及答案)
精品资料·人教版初中数学因式分解的四种方法（讲义）课前预习1. 平方差公式：___________________________；完全平方公式：_________________________；_________________________．2. 对下列各数分解因数：210=_________； 315=__________；91=__________； 102=__________．3. 探索新知：（1）39999-能被100整除吗？小明是这样做的：3229999999999199(991)99(991)(991)9998009998100-=⨯-⨯=⨯-=⨯+-=⨯=⨯⨯所以39999-能被100整除．（2）38989-能被90整除吗？你是怎样想的？（3）3m m -能被哪些整式整除？知识点睛1.__________________________________________叫做把这个多项式因式分解．2.因式分解的四种方法（1）提公因式法需要注意三点：①___________________________；②___________________________；③___________________________．（2）公式法两项通常考虑_____________，三项通常考虑_____________．运用公式法的时候需要注意两点：①___________________________；②___________________________．（3）分组分解法多项式项数比较多常考虑分组分解法，首先找____________，然后再考虑____________或者_____________．（4）十字相乘法十字相乘法常用于二次三项式的结构，其原理是：2()()()+++=++x p q x pq x p x q3.因式分解是有顺序的，记住口诀：“___________________”；因式分解是有范围的，目前我们是在______范围内因式分解．精讲精练1. 下列由左到右的变形，是因式分解的是________________．①222233x y x y -=-⋅⋅； ②2(3)(3)9a a a +-=-；③22+1()()1a b a b a b -=+-+； ④222()mR mr m R r +=+； ⑤2()x xy x x x y -+=-；⑥24(2)(2)m m m -=+-； ⑦2244(2)y y y -+=-．2. 因式分解（提公因式法）：（1）2212246a b ab ab -+；（2）32a a a --+； 解：原式=解：原式=（3）()(1)()(1)a b m b a n -+---；解：原式=（4）22()()x x y y y x ---；（5）1m m x x -+． 解：原式=解：原式=3. 因式分解（公式法）：（1）249x -；（2）216249x x ++； 解：原式=解：原式=（3）2244x xy y -+-；（4）229()()m n m n +--； 解：原式=解：原式=（5）22(3)2(3)(43)(43)x y x y x y x y +-+-+-；解：原式=（6）2(25)4(52)x x x -+-；解：原式=（7）228168ax axy ay -+-；（8）44x y -； 解：原式=解：原式=（9）4221a a -+；（10）22222()4a b a b +-．解：原式=解：原式=4. 因式分解（分组分解法）：（1）2105ax ay by bx -+-；（2）255m m mn n --+； 解：原式=解：原式=（3）22144a ab b ---；（4）22699a a b ++-； 解：原式=解：原式=（5）2299ax bx a b +--；（6）22244a a b b -+-．解：原式=解：原式=5. 因式分解（十字相乘法）：（1）243x x ++；（2）26x x +-； 解：原式=解：原式=（3）223x x -++；（4）221x x +-； 解：原式=解：原式=（5）22512x x +-；（6）2232x xy y +-； 解：原式=解：原式=（7）2221315x xy y ++；（8）3228x x x --． 解：原式=解：原式=6. 用适当的方法因式分解：（1）222816a ab b c -+-；（2）22344xy x y y --；解：原式=解：原式=（3）22(1)12(1)16a a ---+；（4）(1)(2)12x x ++-； 解：原式=解：原式=（5）2(2)8a b ab -+；解：原式=（6）222221x xy y x y -+-++．解：原式=【参考答案】课前预习1. 22()()a b a b a b +-=-222222()2()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+2. 210=7×5×3×2；315=7×5×3×3；91=13×7；102=17×3×23. （2）328989898989-=⨯-289(891)89(891)(891)899088=⨯-=⨯+⨯-=⨯⨯∴38989-能被90整除3223(1)(1)(1)m m m m mm m m m m -=⋅-=-=+-（）∴3m m -能被1，m ，m +1，m -1，m (m +1)，m (m -1)，(m +1)(m -1)，m (m +1)(m -1)整除知识点睛1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式2. （1）①公因式要提尽②首项是负时，要提出负号③提公因式后项数不变（2）平方差公式，完全平方公式①能提公因式的先提公因式②找准公式里的a 和b（3）公因式，完全平方公式，平方差公式3. 一提二套三分四查，有理数精讲精练1. ④⑥⑦2. （1）6(241)ab a b -+（2）2(1)a a a -+-（3）()()a b m n -+（4）3()x y -（5）1(1)m x x -+3. （1）(23)(23)x x +-（2）2(43)x +（3）2(2)x y --（4）4(2)(2)m n m n ++（5）29(2)x y -（6）(25)(2)(2)x x x -+-（7）28()a x y --（8）22()()()x y x y x y ++-（9）22(1)(1)a a +-（10）22()()a b a b +-4. （1）(5)(2)x y a b --（2）(5)()m m n --（3）(12)(12)a b a b ++--（4）(33)(33)a b a b +++-（5）()(31)(31)a b x x ++-（6）(2)(22)a b a b -+-5. （1）(1)(3)x x ++（2）(3)(2)x x +-（3）(3)(1)x x --+（4）(21)(1)x x -+（5）(4)(23)x x +-（6）()(32)x y x y +-（7）(5)(23)x y x y ++（8）(2)(4)x x x +-6. （1）(4)(4)a b c a b c -+--（2）2(2)y x y --（3）2(5)(3)a a --（4）(2)(5)x x -+（5）2(2)a b +（6）2(1)x y --。
因式分解讲解
因式分解讲解一、辅导内容提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法四种基本方法的掌握。
二、学习指导因式分解是代数的重要内容，它是整式乘法的逆变形，在通分、约分、解方程以及三角函数式恒等变形中有直接应用。
重点是掌握提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法四种基本方法。
难点是根据题目的形式和特征恰当选择方法进行分解，以提高综合解题能力。
三、考点阐述考点1 提公因式法和公式法 常用公式：（1）))((22b a b a b a +-=- （2）222)(2b a b ab a ±=+± （3）))((2233b ab a b a b a +-+=+ （4）))((2233b ab a b a b a ++-=- 补充公式：（1）2222)(222c b a ca bc ab c b a ++=+++++（2）))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++例1 （1）33xy y x -； （2）x x x 2718323+-（3）()112---x x （4）()()3224x y y x ---分析：①因式分解时，无论有几项，首先考虑提取公因式。
提公因式时，不仅注意数，也要注意字母，字母可能是单项式也可能是多项式，一次提尽。
②当某项完全提出后，该项应为“1”③注意()()n na b b a 22-=-，()()1212++--=-n n a b b a④分解结果（1）不带中括号；（2）数字因数在前，字母因数在后；单项式在前，多项式在后；（3）相同因式写成幂的形式；（4）分解结果应在指定范围内不能再分解为止；若无指定范围，一般在有理数范围内分解。
答案：（1）()()y x y x xy -+； （2）()233-x x ；（3）()()21--x x ； （4）()()y x y x -+-222考点2 十字相乘法例2 （1） 893+-x x （2）32231222xy y x y x -+；（3）()222164x x -+ （4）22103y xy x --分析：对于二次三项齐次式，将其中一个字母看作“末知数”，另一个字母视为“常数”。
因式分解法的四种方法初中数学
因式分解法的四种方法初中数学嘿，同学们！今天咱就来好好聊聊初中数学里的因式分解法的那四种方法哟！咱先来说说提公因式法吧。
这就好比是一群小伙伴一起出去玩，总要有个带头的呀！公因式就是那个带头的，把它一提出来，剩下的部分就好处理啦。
比如一个式子像 3x²+6x，那 3x 不就是那个带头的嘛，提出来就变成 3x(x+2)啦，是不是挺神奇的？然后呢，是公式法。
这就像是一把神奇的钥匙，专门开特定的锁。
平方差公式和完全平方公式就是那两把厉害的钥匙哦。
遇到像 a²-b²这样的式子，马上就能想到用平方差公式，变成(a+b)(a-b)。
还有像a²+2ab+b²这样的，那就是完全平方公式啦，能变成(a+b)²呢！再来说说十字相乘法。
嘿，这可有点像搭积木哦！要把那些数字巧妙地组合起来。
比如说x²+5x+6，咱就得找到两个数，它们相乘等于6，相加等于 5，这不就是 2 和 3 嘛，然后就可以写成(x+2)(x+3)啦。
最后还有分组分解法呢。
这就像是给式子分小组一样，把它们分成合适的小组，然后再分别处理。
有时候式子看起来很复杂，但是一用分组分解法，嘿，马上就变得清晰明了啦！你们想想看呀，要是没有这些方法，那面对那些复杂的式子，咱不得抓耳挠腮呀！但有了这四种方法，就像有了四个得力的小助手，什么难题都能轻松搞定啦！学数学呀，就像是一场奇妙的冒险，而因式分解法就是我们在这场冒险中的有力武器。
咱可得把这武器用得溜溜的，在数学的世界里披荆斩棘呀！可别小瞧了这些方法哦，它们能帮我们解决好多难题呢！所以呀，同学们，一定要好好掌握这四种方法，让它们成为我们的好朋友，和我们一起在数学的海洋里畅游吧！怎么样，是不是觉得因式分解法很有趣呀？快去试试吧！。
初中生因式分解
因式分解是将一个多项式表达为几个多项式的乘积的过程。
对于初中生来说，通常需要掌握以下几种基本的因式分解方法：
1. 提公因式法：如果多项式的各项中都有公共的因子，可以提取出来，使得原多项式变为公因子与剩余部分的乘积。
例如：ax + ay = a(x + y)
2. 分组分解法：将多项式的各项分成几组，每组提出公因子，再将提取公因子后的表达式进行合并。
例如：ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)
3. 完全平方公式法：利用完全平方公式(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2和(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2进行因式分解。
例如：x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2
4. 差平方公式法：利用差平方公式a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)进行因式分解。
例如：x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)
5. 十字相乘法：适用于形如ax^2 + bx + c的三项式的因式分解，其中a、b、c是常数。
例如：x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
6. 配方法：通过添加和减去同一个数，将二次项和一次项的部分转换为完全平方的形式。
例如：x^2 + 4x = x^2 + 4x + 4 - 4 = (x + 2)^2 - 4
7. 其他特殊公式：如立方和公式、立方差公式等，用于特定形式的多项式因式分解。
因式分解是初中数学中的一个重要知识点，它不仅能够帮助简化多项式的表达，还是解决方程、不等式等问题的重要工具。
因式分解最全方法归纳
因式分解最全方法归纳在数学中，因式分解是一种将多项式表达式分解为较简单的乘法形式的方法。
它是解决多项式的基础步骤，也是高等数学和代数学中的重要概念。
本文将对因式分解的最全方法进行归纳总结，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、因式分解的基本定义因式分解是一种将多项式表达式分解为乘法形式的方法。
通常，我们将一个多项式表示为包含常数项、一次项、二次项等的和的形式。
而因式分解的目的就是将这个多项式表示为一个或多个因子相乘的形式。
二、常见因式分解方法1. 因式分解公式法因式分解公式法是因式分解中常用的方法之一。
根据不同的多项式形式，我们可以利用一些常见的因式分解公式来进行因式分解。
例如：- 当多项式为二次差平方时，可以利用差平方公式进行因式分解。
例如，x^2 - a^2 = (x+a)(x-a)。
- 当多项式为完全平方时，可以利用完全平方公式进行因式分解。
例如，x^2 + 2ab + b^2 = (x+a)^2。
- 当多项式为二次三项差积时，可以利用二次三项差积公式进行因式分解。
例如，x^2 - ax - b = (x-c)(x-d)，其中c、d为满足cd = b且c+d = a的两个数。
2. 提取公因式法提取公因式法是因式分解的一种常用方法。
当多项式的各项存在公因式时，我们可以将这些公因式提取出来，得到一个公因式和一个因式分解后的多项式。
例如：对于多项式2x^2 + 4x，我们可以提取出公因式2x，得到2x(x+2)。
3. 分组分解法分组分解法是一种将多项式进行分组，然后再进行因式分解的方法。
它通常适用于多项式中存在四项以上的情况，且多项式的各项无法直接提取公因式。
例如：对于多项式x^3 + x^2 + 3x + 3，我们可以按照如下方式进行分组分解：(x^3 + x^2) + (3x + 3)。
进一步因式分解得到：x^2(x + 1) + 3(x + 1)。
再进一步因式分解得到：(x^2 + 3)(x + 1)。
因式分解的方法
因式分解的方法因式分解是代数学中的重要概念，它在解决多项式的因式问题时起着至关重要的作用。
因式分解的方法有多种，本文将为大家介绍一些常见的因式分解方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一概念。
首先，我们来看一下因式分解的基本原理。
当我们要对一个多项式进行因式分解时，其实就是要把这个多项式表示成几个因式的乘积的形式。
而要实现这个目标，我们就需要运用一些特定的方法和技巧来进行因式分解。
一、公因式提取法。
公因式提取法是因式分解中最基本的一种方法。
它适用于多项式中含有公因式的情况。
具体来说，就是先找到多项式中的公因式，然后将其提取出来，再将剩下的部分进行因式分解。
例如，对于多项式2x+4xy，我们可以提取出公因式2x，得到2x(1+2y)，这样就完成了因式分解。
二、配方法。
配方法是另一种常用的因式分解方法。
它适用于多项式中含有平方项的情况。
具体来说，就是通过加减平方项的方法，将多项式转化为一个完全平方的形式，然后再进行因式分解。
例如，对于多项式x^2+2xy+y^2，我们可以将其转化为(x+y)^2，然后再进行因式分解。
三、分组分解法。
分组分解法是针对四项式的因式分解方法。
具体来说，就是将四项式中的四个项进行分组，然后再对每组进行公因式提取或者配方法，最终将四项式进行因式分解。
例如，对于四项式x^2+2xy+2x+4y，我们可以将其分组为(x^2+2xy)+(2x+4y)，然后再进行因式分解。
四、换元法。
换元法是一种比较灵活的因式分解方法。
它适用于多项式中含有复杂因式的情况。
具体来说，就是通过变量替换的方法，将多项式转化为一个更容易进行因式分解的形式，然后再进行因式分解。
例如，对于多项式x^3+3x^2+3x+1，我们可以通过令y=x+1，将其转化为y^3，然后再进行因式分解。
以上就是一些常见的因式分解方法，当然，实际问题中可能还会涉及到更多的情况和方法。
希望大家通过学习和练习，能够更好地掌握因式分解的方法，从而更好地解决代数学中的问题。
因式分解方法
因式分解方法
因式分解是将一个多项式表达式写成若干个因子相乘的形式。
它可以帮助我们简化计算、求解方程、理解多项式的性质等。
以下是一些常见的因式分解方法：
1. 括号法：将多项式中的每一项按照最大公因式进行分组，然后利用分配律将括号因式提取出来。
例如，分解多项式3x^2 + 6x为3x(x + 2)。
2. 公式法：利用一些常见的代数公式进行分解，例如二次差平方公式、完全平方公式等。
例如，分解多项式x^2 - 4为(x + 2)(x - 2)。
3. 分解质因数法：将多项式中的每一项进行质因数分解，然后将相同的质因数提取出来。
例如，分解多项式2x^2 + 6x为2x(x + 3)。
4. 代入法：利用代入某个特定的值之后多项式值为零的性质进行分解。
例如，求解方程x^2 - 4 = 0，可以利用代入法将它分解为(x + 2)(x - 2) = 0，得到解x = 2或x = -2。
这些方法只是因式分解的一部分，具体的分解方法会根据多项式的形式和结构的不同而有所变化。
因此，在实际的因式分解过程中，根据具体问题的要求选择合适的方法是非常重要的。
因式分解方法大全
因式分解方法大全因式分解是数学中一种常见的运算方法，指将一个多项式按照约定的规则展开或合并，以求得其约简或简化的过程。
因式分解在代数中的应用非常广泛，可以用来解方程、简化算式、求最大公因式等。
1.提取公因式法：当一个多项式中各项都含有相同的因子时，可以先将这个公因子提取出来。
例如，对于多项式2x+6，可以将公因子2提取出来，得到2(x+3)。
2.公式法：对于一些常见的代数公式，可以直接运用它们进行因式分解。
例如，平方差公式a^2-b^2可以分解为(a+b)(a-b)。
3. 完全平方公式法：当一个多项式是一个完全平方时，可以利用完全平方公式进行因式分解。
完全平方公式为a^2 + 2ab + b^2 = (a +b)^2、例如，对于多项式x^2 + 4x + 4，可以看出它是一个完全平方，因此可以因式分解为(x + 2)^24.分组法：当一个多项式中含有四项及以上的项，并且无法直接运用其他公式进行因式分解时，可以尝试使用分组法。
分组法的基本思想是将多项式中的项以一定的方式分成两组，并将每一组内的项提取出一个公因式，然后再运用其他的因式分解方法进一步简化。
例如，对于多项式3x^3-6x^2+4x-8，可以将其分为两组：(3x^3-6x^2)+(4x-8)，然后分别提取每一组内的公因式，得到3x^2(x-2)+4(x-2)，再将公共因子(x-2)提取出来，得到(x-2)(3x^2+4)。
5. 和差平方公式法：当一个多项式可以表示为两个项的平方之差时，可以运用和差平方公式进行因式分解。
和差平方公式有两个形式：(a +b)(a - b) = a^2 - b^2和(a + b)^2 - 2ab = a^2 + 2ab + b^2、例如，对于多项式x^2 - 4y^2，可以看出它是一个差的平方，因此可以因式分解为(x + 2y)(x - 2y)。
6.相异二次根法：当一个多项式为一个一次二次根式相减或相加时，可以尝试运用相异二次根法进行因式分解。
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因式分解的四种方法（讲义）
➢ 课前预习
1. 平方差公式：___________________________；
完全平方公式：_________________________；
_________________________．
2. 对下列各数分解因数：
210=_________； 315=__________；
91=__________； 102=__________．
3. 探索新知：
（1）39999-能被100整除吗？
小明是这样做的：
32299999999991
99(991)
99(991)(991)999800
9998100
-=⨯-⨯=⨯-=⨯+-=⨯=⨯⨯
所以39999-能被100整除．
（2）38989-能被90整除吗？你是怎样想的？
（3）3m m -能被哪些整式整除？
➢ 知识点睛
1. __________________________________________叫做把这个多项式因式分
解．
2. 因式分解的四种方法
（1）提公因式法
需要注意三点：
①___________________________；
②___________________________；
③___________________________．
（2）公式法
两项通常考虑_____________，三项通常考虑_____________．
运用公式法的时候需要注意两点：
①___________________________；
②___________________________．
（3）分组分解法
多项式项数比较多常考虑分组分解法，首先找____________，然后再考虑____________或者_____________．
（4）十字相乘法
十字相乘法常用于二次三项式的结构，其原理是：
2()()()x p q x pq x p x q +++=++
3. 因式分解是有顺序的，记住口诀：“___________________”；因式分解是
有范围的，目前我们是在______范围内因式分解．
➢ 精讲精练
1. 下列由左到右的变形，是因式分解的是________________．
①222233x y x y -=-⋅⋅； ②2(3)(3)9a a a +-=-；
③22+1()()1a b a b a b -=+-+； ④222()mR mr m R r +=+； ⑤2()x xy x x x y -+=-；
⑥24(2)(2)m m m -=+-； ⑦2244(2)y y y -+=-．
2. 因式分解（提公因式法）：
（1）2212246a b ab ab -+；
（2）32a a a --+； 解：原式=
解：原式= （3）()(1)()(1)a b m b a n -+---； 解：原式=
（4）22()()x x y y y x ---； （5）1m m x x -+． 解：原式=
解：原式= 3. 因式分解（公式法）： （1）249x -；
（2）216249x x ++； 解：原式=
解：原式= （3）2244x xy y -+-； （4）229()()m n m n +--； 解：原式=
解：原式= （5）22(3)2(3)(43)(43)x y x y x y x y +-+-+-； 解：原式=
（6）2(25)4(52)x x x -+-； 解：原式=
（7）228168ax axy ay -+-； （8）44x y -； 解：原式=
解：原式= （9）4221a a -+； （10）22222()4a b a b +-． 解：原式= 解：原式=
4. 因式分解（分组分解法）： （1）2105ax ay by bx -+-； （2）255m m mn n --+；
解：原式= 解：原式=
（3）22144a ab b ---；
（4）22699a a b ++-；
解：原式=
解：原式= （5）2299ax bx a b +--； （6）22244a a b b -+-． 解：原式=
解：原式= 5. 因式分解（十字相乘法）： （1）243x x ++；
（2）26x x +-； 解：原式=
解：原式= （3）223x x -++；
（4）221x x +-； 解：原式=
解：原式= （5）22512x x +-；
（6）2232x xy y +-； 解：原式=
解：原式= （7）2221315x xy y ++； （8）3228x x x --． 解：原式= 解：原式=
6. 用适当的方法因式分解： （1）222816a ab b c -+-； （2）22344xy x y y --；
解：原式= 解：原式=
（3）22(1)12(1)16a a ---+； （4）(1)(2)12x x ++-； 解：原式=
解：原式= （5）2(2)8a b ab -+； 解：原式=
（6）222221x xy y x y -+-++．
解：原式= 【参考答案】
➢ 课前预习
1. 22()()a b a b a b +-=-
222
222()2()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+
2. 210=7×5×3×2；315=7×5×3×3；91=13×7；102=17×3×2
3. （2）328989898989-=⨯-
289(891)
89(891)(891)899088
=⨯-=⨯+⨯-=⨯⨯
∴38989-能被90整除
3223(1)
(1)(1)m m m m m
m m m m m -=⋅-=-=+-（）
∴3m m -能被1，m ，m +1，m -1，m (m +1)，m (m -1)，(m +1)(m -1)，m (m +1)(m -1)整除
➢ 知识点睛
1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式
2. （1）①公因式要提尽
②首项是负时，要提出负号
③提公因式后项数不变
（2）平方差公式，完全平方公式 ①能提公因式的先提公因式
②找准公式里的a 和b
（3）公因式，完全平方公式，平方差公式
3. 一提二套三分四查，有理数 ➢ 精讲精练
1. ④⑥⑦
2. （1）6(241)ab a b -+
（2）2(1)a a a -+-
（3）()()a b m n -+
（4）3()x y -
（5）1(1)m x x -+
3. （1）(23)(23)x x +-
（2）2(43)x +
（3）2(2)x y --
（4）4(2)(2)m n m n ++
（5）29(2)x y -
（6）(25)(2)(2)x x x -+-
（7）28()a x y --
（8）22()()()x y x y x y ++-
（9）22(1)(1)a a +-
（10）22()()a b a b +-
4. （1）(5)(2)x y a b --
（2）(5)()m m n --
（3）(12)(12)a b a b ++--
（4）(33)(33)a b a b +++-
（5）()(31)(31)a b x x ++-
（6）(2)(22)a b a b -+-
5. （1）(1)(3)x x ++
（2）(3)(2)x x +-
（3）(3)(1)x x --+
（4）(21)(1)x x -+
（5）(4)(23)x x +-
（6）()(32)x y x y +-
（7）(5)(23)x y x y ++
（8）(2)(4)x x x +-
6. （1）(4)(4)
a b c a b c -+-- （2）2(2)y x y --
（3）2(5)(3)a a --
（4）(2)(5)x x -+
（5）2(2)a b +
（6）2(1)x y --。