河海大学电磁学作业答案1-3

2
所包含的电量为： 所包含的电量为： 由高斯定理： 由高斯定理：
φ e = 2π rlE
2π rlE =
[ π ρ l (r 2 − R 2 4 )] ε 0 l ρ 2 2 E= (r − R / 4 ) 2ε 0 r
E
(3)
r > R
作以r为半径，高为 的同轴封闭圆柱面为高斯面 的同轴封闭圆柱面为高斯面， 作以 为半径，高为l的同轴封闭圆柱面为高斯面，高斯 为半径 面上的电通量为 所包含的电量为： 所包含的电量为：
q = aSρ
高斯面内所包含的电通量为： 高斯面内所包含的电通量为：
φ e = 2 ES
由高斯定理： 由高斯定理：
2 ES = q ε 0 = aS ρ ε 0 EQ = aρ (2ε 0 )
(2)
的积分路径， 作P → Q的积分路径，场强分布为分段函数， 的积分路径 场强分布为分段函数， P →平板边界 边界 → Q
高斯面内所包含的电通量为： 高斯面内所包含的电通量为：
O
Q P
φ e = 2 ES
由高斯定理： 由高斯定理：
2 ES = q ε 0 = 2 x p S ρ ε
0
E p = x p ρ ε 0 = aρ (4ε 0 )
对于Q点 对于 点： 为对称点作垂直于平板平面的圆柱面为高斯面， 以Q为对称点作垂直于平板平面的圆柱面为高斯面， 为对称点作垂直于平板平面的圆柱面为高斯面 设底面积为S，长度为2x 设底面积为 ，长度为 Ｑ 高斯面内所包含的电量为： 高斯面内所包含的电量为：
电场（ 电场（一）库仑定律 电场强度 一、选择题 二、填空题 1. 2.
r r 1 2 qi − Qr Ep = j 2 4πε 0 a 2 r r E = 0 . 09 i (N C )
1. D
2. B
r F = 1 .度带电量： 注：单位长度带电量：
l+a = ln 4π ε 0 l a
E x = xρ ε 0
VPQ
O
(2ε 0 ) r Q r = ∫ E ⋅ dl
E = aρ
P
Q P
=
∫
a 2 a 4
xρ dx + ε 0
2
∫
5a 4 a 2
aρ dx 2ε 0
15 a ρ = 32ε 0
2. 解: 以左端为坐标原点 ，棒长方向为 方向，如图所示。 以左端为坐标原点O，棒长方向为x方向 如图所示。 方向， P O x dq a
4π ε 0 R
Rλ dθ λ dθ = = 2 4π ε 0 R 4π ε 0 R
dE
y
λ
R
dq
dE x = dE cos (π + θ ) = − dE cos θ
dE y = dE sin (π + θ ) = − dE sin θ
E x = ∫ dE x =
π
2 0
θ
x
∫
− dE cos θ
q=0
由高斯定理： 由高斯定理：
0 = 2π rlE E=0
l
E
( 2 )、 R 2 < r < R
作以r为半径， 的同轴封闭圆柱面为高斯面， 作以 为半径，高为 l 的同轴封闭圆柱面为高斯面，高斯面上 为半径 的电通量为： 的电通量为：
q = l ρ [π r 2 − π ( R 2 ) ] = πρ l (r 2 − R 2 4 ) .
电场（ 电场（二）电场强度 高斯定理 一、选择题 1. C 2. C
解题思路： 为中心， 解题思路：以A为中心，补上７个相同得立方体。A 为中心 补上７个相同得立方体。 位于体心。每个侧面的面积为abcd的4倍。总电通量 位于体心。每个侧面的面积为 的 倍 由对称性， 的电通量为q/ 为q/ ε0。由对称性，abcd的电通量为 24ε0。 的电通量为 二、填空题 1. 2.
点的电势为： 解题思路： 点的电势为 解题思路：O点的电势为： V0 = 电场力作功：A = Q (V 电场力作功：
∞ − V0 ) = −
6q 4πε 0 r
=−
6 3q 外力作功： ，外力作功： 4πε 0 a
A' = − A =
6 3q 。 4π ε 0 a
（1)
二、填空题 1.
6π ε 0 l qq0 ，
dq = λ Rd θ
λ dθ λ =∫ − cos θ = − 4 πε 0 R 4π ε 0 R E y = ∫ dE y = ∫ − dE ⋅ cos θ
=
∫
π
2 0
−
λ dθ λ s in θ = − 4 π ε0R 4π ε 0 R
r E = −
r r λ λ i − j 4π ε 0R 4π ε 0R
三、计算题
1. 解: (1) 以O为对称点作垂直于平板平面的圆柱面为高斯面， 为对称点作垂直于平板平面的圆柱面为高斯面， 为对称点作垂直于平板平面的圆柱面为高斯面 设底面积为S，长度为2x 如图所示。 设底面积为 ，长度为 P，如图所示。 高斯面内所包含的电量为： 高斯面内所包含的电量为：
q = 2 x p Sρ
q 。
−
6π ε 0 l
qq0
。
（2） ）
6π ε 0 l
2.
q
45 伏，
−15伏
B C
A
1 1 VA = VA − VB = − = 45 4πε 0 0.1 0.2 q
1 1 VC = VC − VB = − = −15 4πε 0 0.3 0.2 q
q =
∫
r
0
4π r ′ 2ρ d r ′ = π Ar
4
r
2 由高斯定理： 由高斯定理： 4 π r E = q ε 0 ,
r′
E = Ar
2
(4 ε 0 )
r>R
作以r为半径的高斯面，高斯面内所包含的电量为： 作以 为半径的高斯面，高斯面内所包含的电量为： 为半径的高斯面
R
q=∫
0
′2 ρ dr ′ = π AR 4 4π r
q dx l
在棒上x处取 段带电dq， 处取dx段带电 在棒上 处取 段带电 ， dq = dq在p点的电势 在 点的电势
dq dV = = 4π ε 0 (l + a - x ) 4π ε
q dx 0 (l + a - x )
Vp =
∫
dV = q
∫
l 0
q dx 4π ε 0 l ( l + a − x )
1 , a
异
1.14 × 10 −12 .
− 9.02 × 10 5 ,
三、计算题
1. 解: (1) Q = (2)
∫
R 0
4 π r ρ dr =
2
∫
R 0
4π A r 3 dr = π AR 4
r<R
dr ′
作以r为半径的高斯面，高斯面内所包含的电量为： 作以 为半径的高斯面，高斯面内所包含的电量为： 为半径的高斯面
φ e = 2π rlE
q = π R −π R 2
2 2
[
(
)]
2
3 R 2 lρ . lρ = 4
由高斯定理： 由高斯定理：
1 3 R 2 lρ 2π rlE = ε0 4
3R ρ E= . 8ε 0 r
2
电场（ 电场（三）电势 电势差 一、选择题 1. B 2. C
q 4πε 0 r + 2q 4πε 0 r + a r= 4πε 0 r 3 3q
r E0 = 0 + r λd i 2 4 πε 0 R
Q λ = = 5 .0 × 1 0 − 1 0 ( C m 2π R − d
)
库仑力为： 3. 库仑力为：
14.4 ( N )
1 .24 × 10
36
与万有引力之比为： 与万有引力之比为：
三、计算题
dE = dq
解:
2
取电荷元dq，其矢径与 轴的交角为 取电荷元 ，其矢径与x轴的交角为θ
dr ′
由高斯定理： 由高斯定理： 4π r 2 E = q ε 0 ,
E = AR
2
(4 r
2
ε
0
)
r
R r′
2. 解: (1)、 r < R / 2 作以 为半径，高为 l 的同轴封闭圆柱面为高 作以r为半径， 为半径 斯面， 斯面，高斯面上的电通量为
φ e = 2 π rlE
所包含的电量为： 所包含的电量为：