2013-2014学年高中数学人教A版必修五同步辅导与检测：2.1数列的概念与简单表示法
人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 阅读与思考 斐波那契数列》优质课教案_0
随风潜人夜,润物细无声《神奇的斐波那契数列》教学设计《普通高中数学课程标准(实验)》在前言中指出：数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。
数学科学是自然科学、技术科学等科学的基础，并在经济科学、社会科学、人文科学的发展中发挥越来越大的作用。
数学的应用越来越广泛，正在不断地渗透到社会生活的方方面面，它与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造价值，推动着社会生产力的发展。
数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用。
数学是人类文化的重要组成部分，数学素质是公民所必须具备的一种基本素质。
数学教育作为教育的组成部分，在发展和完善人的教育活动中、在形成人们认识世界的态度和思想方法方面、在推动社会进步和发展的进程中起着重要的作用。
在现代社会中，数学教育又是终身教育的重要方面，它是公民进一步深造的基础，是终身发展的需要。
数学教育在学校教育中占有特殊的地位，它使学生掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想，使学生表达清晰、思考有条理，使学生具有实事求是的态度、锲而不舍的精神，使学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界。
《普通高中数学课程标准(实验)》将“体现数学的文化价值”作为课程的基本理念之一并在教学建议中明确指出:“数学是人类文化的重要组成部分,是人类社会进步的产物,也是推动社会发展的动力.教学中应引导学生初步了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用,体会数学的科学价值、应用价值、人文价值、开阔视野。
长期以来，在高考这根指挥棒下，学习逐渐服从于知识，服从于做题，服从于高考。
在数学教学上，老师教的许多内容既枯燥又抽象．大多数教师以做题为主要教学方法，以解题为主要目的，不关注数学问题的文化性; 学生在单一的数字、定义、定理、公理、公式的围攻下，对单纯的数学问题感到枯燥，厌倦，对数学的兴趣逐渐淡薄，认为数学毫无用处，数学问题被当成了获取分数的工具．因此如何将数学文化的内容有机地结合到日常的教学中,使学生在潜移默化中体会到数学的文化价值?这需要我们每位教师认真思考这个问题一、教材分析：本节课选自人教版《数学５》（必修）第二章《数列》第2.1节后的《阅读与思考》部分。
2014年高中数学 2.1数列的概念与简单表示法课时训练 新人教A版必修5
2014年高中数学 2.1数列的概念与简单表示法课时训练 新人教A 版必修5一、选择题1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数项D ．不能确定2．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列第4项是( )A ．1 B.12 C.34 D.583．若a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1，给出的数列{a n }的第34项是( )A.34103 B ．100 C.1100 D.11044．已知a n ＝32n －11(n ∈N *)，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则使S n >0的n 的最小值为( )A ．10B ．11C ．12D ．135．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ⎝⎛⎭⎫0≤a n <12，2a n －1 ⎝⎛⎭⎫12≤a n <1.若a 1＝67，则a 2 010的值为( )A.67B.57C.37D.17 二、填空题6．已知数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，(n ∈N *)，则使a n >100的n 的最小值是________．7．设a n ＝－n 2＋10n ＋11，则数列{a n }从首项到第m 项的和最大，则m 的值是________． 8．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋n ，则a 2 009＝________. 三、解答题9．已知函数f (x )＝2x －2－x ，数列{a n }满足f (log 2 a n )＝－2n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：数列{a n }是递减数列．10．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)求证：a n ＋3＝a n ； (2)求a 2 010.参考答案1．答案 A 2．答案 B 3．答案 C解析 a 2＝a 13a 1＋1＝13＋1＝14，a 3＝a 23a 2＋1＝1434＋1＝17，a 4＝a 33a 3＋1＝1737＋1＝110，猜想a n ＝13(n －1)＋1，∴a 34＝13×(34－1)＋1＝1100.4．答案 B解析 ∵－a 1＝a 10，－a 2＝a 9，－a 3＝a 8，－a 4＝a 7，－a 5＝a 6， ∴S 11>0，则当n ≥11时，S n >0，故n 最小为11. 5．答案 C解析 计算得a 2＝57，a 3＝37，a 4＝67，故数列{a n }是以3为周期的周期数列，又知2 010除以3能整除，所以a 2 010＝a 3＝37.二、填空题 6．答案 127．答案 10或11解析 令a n ＝－n 2＋10n ＋11≥0，则n ≤11.∴a 1>0，a 2>0，…，a 10>0，a 11＝0.∴S 10＝S 11且为S n 的最大值． 8．答案 2 017 036解析 由a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋n 得a n ＝a n －1＋n －1，a n －1＝a n －2＋n －2， ⋮a 2＝a 1＋1， a 1＝0，累加可得a n ＝0＋1＋2＋…＋n －1＝n (n －1)2，∴a 2 009＝2 009×2 0082＝2 017 036.三、解答题9． (1)解 因为f (x )＝2x －2－x ，f (log 2 a n )＝－2n ，所以2log 2 a n －2－log 2a n ＝－2n ，a n －1a n＝－2n ，所以a 2n ＋2na n －1＝0，解得a n ＝－n ±n 2＋1. 因为a n >0，所以a n ＝n 2＋1－n .(2)证明 a n ＋1a n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n ＝n 2＋1＋n(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)<1.又因为a n >0，所以a n ＋1<a n ，所以数列{a n }是递减数列．10． (1)证明 a n ＋3＝1－1a n ＋2＝1－11－1a n ＋1＝1－11－11－1a n ＝1－11－1a n －1a n＝1－11－a n a n －1＝1－1a n －1－a n a n －1＝1－1－1a n －1＝1－(1－a n )＝a n .∴a n ＋3＝a n .(2)解 由(1)知数列{a n }的周期T ＝3，a 1＝12，a 2＝－1，a 3＝2.又∵a2 010＝a3×670＝a3＝2.∴a2 010＝2.。
高中数学《2.1 数列的概念与简单表示法》教案 新人教A版必修5
随着对折数面积依次为 , , , ,…, ,….
生对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的1/256，再折下去太困难了.
师说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？
无穷多个数1排成一列数：1，1，1，1，….
生一些分数排成的一列数： ， ， ， ， ，….
二、新课学习：折纸问题
师请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试
生一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.
师你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？
【教具】多媒体电脑、实物投影仪、电子白板。
【学习方法】诱思探究法
【学习过程】
一、复习引入：
师课本图2.1-1中的三角形数分别是多少？
生1，3，6，10，….
师图2.1-2中的正方形数呢？
生1，4，9，16，25，….
师像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？
生-1的正整数次幂：-1，1，-1，1，…;
2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n项，….同学们能举例说明吗？
生例如，上述例子均是数列，其中①中，“2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这个数列中的第4项.
3.数列的分类：
1)根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列.
4，5，6，7，8，9，10…;②1, , , ,…③的图象.
人教A版高中数学必修五2.1 数列的概念与简单表示法 第2课数列的通项公式与递推公式 情境互动课型
探究点1 数列的通项公式
如果数列{a n }的第n项与序号n之间的关系可以用一个
式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
我们可以根据数列的通项公式算出数列的各项.
注：数列与函数的关系 函数值 y=f（x）
自变量
项
an n （正整数集N﹡或它的有
通项公式 限子集{1,2,3, …,n})
【即时练习】 写出下面数列的一个通项公式:
1. 通项公式、递推公式的概念； 2. 递推公式与数列的通项公式的区别是：
(1)通项公式反映的是项与项数之间的关系， 而递推公式反映的是相邻两项(或几项)之间的 关系.
(2)对于通项公式，只要将公式中的n依次取1, 2, 3, 4,…即可得到相应的项，而递推公式则 要已知首项(或前几项)，才可依次求出其他项.
（2）an
=（2n2）n2 -
. 1
（3）an
=
1+（- 1）n 2
.
（4）an
=（- 1）n 1 2n
.
（5）an
=
7 9
（ 10n
- 1）.
探究点2 数列的递推公式
1.观察以下数列，并写出其通项公式：
（1）1,3,5,7,9,11，… （2）0，-2，-4，-6，-8，… （3）3,9,27,81，…
2
2
答案: 1
2
例3 设数列{an}满足
写出这个数列的前5项.
解：由题意可知
a1 = 1，
a2
=
1+
1 a1
=
1+
1 1
=
2，
a3
= 1+
1 a2
=1+ 1 2
高中数学(人教版必修5)配套练习：2.1 数列的概念与简单表示法.doc
第二章 2.1一、选择题1．下列有关数列的说法正确的是( ) ①同一数列的任意两项均不可能相同； ②数列－1,0,1与数列1,0，－1是同一个数列； ③数列中的每一项都与它的序号有关． A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．③[答案] D[解析] ①是错误的，例如无穷个3构成的常数列3,3,3，…的各项都是3；②是错误的，数列－1,0,1与数列1,0，－1各项的顺序不同，即表示不同的数列；③是正确的，故选D.2．下面四个结论：①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3…，n })上的函数． ②数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点． ③数列的项数是无限的． ④数列通项的表示式是唯一的． 其中正确的是( ) A ．①② B ．①②③ C ．②③ D ．①②③④ [答案] A[解析] 数列的项数可以是有限的也可以是无限的．数列通项的表示式可以不唯一．例如数列1,0，－1,0,1,0，－1,0，…的通项可以是a n ＝sin n π2，也可以是a n ＝cos (n ＋3)π2等等．3．已知a n ＝n (n ＋1)，以下四个数中，哪个是数列{a n }中的一项( ) A ．18 B ．21 C ．25 D ．30 [答案] D[解析] 依次令n (n ＋1)＝18,21,25和30检验．有正整数解的便是，知选D. 4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n －1n ＋1，那么这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列[答案] A[解析] a n ＝n －1n ＋1＝1－2n ＋1，随着n 的增大而增大．5．数列1，－3,5，－7,9，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝2n －1 B ．a n ＝(－1)n (1－2n ) C ．a n ＝(－1)n (2n －1) D ．a n ＝(－1)n (2n ＋1)[答案] B[解析] 当n ＝1时，a 1＝1排除C 、D ；当n ＝2时，a 2＝－3排除A ，故选B. 6．已知数列2，5，22，11，…，则25可能是这个数列的( ) A ．第6项 B ．第7项 C ．第10项 D ．第11项 [答案] B[解析] 调整为：2，5，8，11，可见每一项都含有根号．且被开方数后一项比前一项多3，又25＝20，∴应是11后的第3项，即第7项，选B.二、填空题7.23，415，635，863，1099，…的一个通项公式是________． [答案] a n ＝2n(2n －1)(2n ＋1)[解析] 23＝21×3，415＝2×23×5，635＝2×35×7，863＝2×47×9，1099＝2×59×11，…，∴a n ＝2n(2n －1)(2n ＋1).8．已知数列3，7，11，15，19，…，那么311是这个数列的第________项． [答案] 25[解析] 观察可见，数列中的后一项被开方数比前一项大4，a 1＝3，a 2＝3＋4，a 3＝3＋4×2，a 4＝3＋4×3，∴a n ＝3＋4(n －1)＝4n －1， 令4n －1＝311得n ＝25，∴a 25＝311. 三、解答题9．写出下列数列的一个通项公式． (1)－11＋1，14＋1，－19＋1，116＋1，…； (2)2,3,5,9,17,33，…； (3)12，25，310，417，526，…； (4)1，43，2，165，…；(5)－13，18，－115，124，…；(6)2,6,12,20,30，….[解析] (1)符号规律(－1)n ，分子都是1，分母是n 2＋1，∴a n ＝(－1)n ·1n 2＋1.(2)a 1＝2＝1＋1，a 2＝3＝2＋1，a 3＝5＝22＋1， a 4＝9＝23＋1，a 5＝17＝24＋1，a 6＝33＝25＋1， ∴a n ＝2n －1＋1.(3)a 1＝12＝111＋1，a 2＝25＝222＋1，a 3＝310＝332＋1，a 4＝417＝442＋1…，∴a n ＝n n 2＋1.(4)a 1＝1＝22，a 2＝43，a 3＝2＝84，a 4＝165…，∴a n ＝2nn ＋1.(5)a 1＝－13＝－11×3，a 2＝18＝12×4，a 3＝－115＝－13×5，a 4＝124＝14×6，∴a n ＝(－1)n ·1n (n ＋2).(6)a 1＝2＝1×2，a 2＝6＝2×3，a 3＝12＝3×4，a 4＝20＝4×5，a 5＝30＝5×6，∴a n ＝n (n ＋1)．10．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ，求a 5. [解析] ∵a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ， ∴当n ＝1时，a 2＝a 1＋1＝2＋1＝3； 当n ＝2时，a 3＝a 2＋2＝3＋2＝5； 当n ＝3时，a 4＝a 3＋3＝5＋3＝8；当n ＝4时，a 5＝a 4＋4＝8＋4＝12，即a 5＝12.一、选择题1．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n －1(n ∈N *)，则a 1000＝( ) A ．1 B ．1999 C ．1000 D ．－1[答案] A[解析] a 1＝1，a 2＝2×1－1＝1，a 3＝2×1－1＝1，a 4＝2×1－1＝1，…，可知a n ＝1(n ∈N *)．2．对任意的a 1∈(0,1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列满足a n ＋1>a n (n ∈N *)，则函数y ＝f (x )的图象是( )[答案] A[解析] 据题意，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }，满足a n ＋1>a n ，即该函数y ＝f (x )的图象上任一点(x ，y )都满足y >x ，结合图象，只有A 满足，故选A.3．若数列的前4项分别为2,0,2,0，则这个数列的通项公式不能是( ) A ．a n ＝1＋(－1)n ＋1 B ．a n ＝1－cos n π C ．a n ＝2sin 2n π2D ．a n ＝1＋(－1)n －1＋(n －1)(n －2) [答案] D[解析] 当n ＝1时，D 不满足，故选D.4．函数f (x )满足f (1)＝1，f (n ＋1)＝f (n )＋3 (n ∈N *)，则f (n )是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．不能确定[答案] A[解析] ∵f (n ＋1)－f (n )＝3(n ∈N *)， ∴f (2)>f (1)，f (3)>f (2)，f (4)>f (3)，…， f (n ＋1)>f (n )，…， ∴f (n )是递增数列． 二、填空题5．已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2＋2a n1－a n ，则a 6＝__________.[答案] －143[解析] a n ＋1＝2＋2a n 1－a n ＝21－a n ，a 1＝－2，∴a 2＝21－a 1＝23，a 3＝21－a 2＝6，a 4＝－25，a 5＝107，a 6＝－143.6．已知数列{a n }的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1(n 为奇数)2n －2(n 为偶数)，则a 2·a 3＝__________.[答案] 20[解析] (1)可见偶数项为0，∴a 12＝0.(2)相当于分段函数求值，a 2＝2×2－2＝2，a 3＝3×3＋1＝10，∴a 2·a 3＝20. 三、解答题7．已知数列{a n }中，a n ＝nn ＋1，判断数列{a n }的增减性． [解析] a n ＋1＝n ＋1n ＋2，则a n ＋1－a n ＝n ＋1n ＋2－nn ＋1＝(n ＋1)2－n (n ＋2)(n ＋2)(n ＋1)＝1(n ＋2)(n ＋1).∵n ∈N *，∴n ＋2>0，n ＋1>0， ∴1(n ＋2)(n ＋1)>0，∴a n ＋1>a n .∴数列{a n }是递增数列．8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4. (1)求数列{a n }中有多少项是负数？(2)当n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． [解析] (1)令a n ＝n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4， ∵n ∈N ＋，∴n ＝2,3.即数列{a n }中有两项是负数． (2)a n ＝n 2－5n ＋4＝(n －52)2－94，∴当n ＝2或3时，a n 取得最小值，最小值为－2.。
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基 础 强 化1．下列叙述正确的是( )A ．数列1,3,5,7与7,5,3,1是同一数列B ．数列0,1,2,3，…的通项公式为a n ＝n C. 0,1,0,1，…是常数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n n ＋1是递增数列 2．数列23，45，67，89，…的第10项是( )A.1617B.1819C.2021D.2223 3．数列1,3,6,10，x,21…中，x 的值是( ) A ．12 B ．13 C ．15D ．164．下列说法不正确的是( )A ．数列可以用图形表示B ．数列的通项公式不唯一C ．数列的项不能相等D ．数列可能没有通项公式 5．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列D ．摆动数列 6．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( ) A ．a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N *) B ．a n ＝a n －1＋n (n ∈N *，n ≥2) C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)(n ∈N *，n ≥2) D ．a n ＝a n －1＋(n －1)(n ∈N *，n ≥2)7．观察数列的特点，用适当的一个数填空：1，3，5，7，________，11，….8．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第________项．(1)a n ＝(－1)n ＋2；(2)a n ＝2nn ＋1.10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －23n ＋1.(1)求a 10；(2)710是否为该数列中的项？若是，它为第几项？ (3)求证：0<a n <1.品 味 高 考11．已知数列{a n }对于任意p ，q ∈N *，有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝19，则a 36＝__________.12．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 2n －1＝0，a 2n ＝a n (n ∈N *)，则a 2009＝________；a 2014＝________.。
【人教A版】高中数学必修5同步辅导与检测：第二章2.1数列的概念与简单表示法(含答案)
第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法A级基础巩固一、选择题1．如图，下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为()A．a n＝3n－1B．a n＝3nC．a n＝3n－2n D．a n＝3n－1＋2n－3解析：这4个着色三角形的个数依次为1，3，9，27，都是3的指数幂．猜想数列的通项公式为a n＝3n－1.答案：A2．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(1个分裂为2个)．经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成()A．511个B．512个C．1 023个D．1 024个解析：3小时含9个20分钟，分裂9次后细菌个数为29＝512.答案：B3．已知数列{a n}的前n项的S n＝n2－9n，第k项满足5＜a n＜8，则k等于()A．9 B．8 C．7 D．6解析：a1＝－8，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2－9n－(n－1)2＋9(n －1)＝2n －10.由5＜a k ＜8，得152＜k ＜9.所以k ＝8.答案：B4．已知数列－1，14，－19，…，(－1)n 1n 2，…，则它的第5项的值为( )A.15 B ．－15 C.125 D ．－125解析：易知，数列的通项公式为(－1)n·1n2，当n ＝5时，该项为(－1)5·152＝－125.答案：D5．已知数列1，3，5，7，…，2n －1，…，则35是它的( )A ．第28项B ．第24项C ．第23项D ．第22项解析：数列的通项公式为a n ＝2n －1.令2n －1＝35，所以n ＝23.答案：C 二、填空题6．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝a n ＋1＋1a n，则a 5＝________．解析：a 3＝a 2＋1a 1＝4，a 4＝a 3＋1a 2＝133.a 5＝a 4＋1a 3＝5512.答案：55127．数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，则37是这个数列的第________项．解析：由2n ＋1＝37⇒n ＝18. 答案：188．图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME —7)的会徽图案，会徽的主体图案是由图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列的通项公式为a n ＝________．图1 图2解析：因为OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…， OA n ＝n ，…，所以a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，…，a n ＝n . 答案：n 三、解答题9．已知数列的通项公式为a n ＝4n 2＋3n ，试问110和1627是不是它的项？如果是，是第几项？解：令4n 2＋3n ＝110，则n 2＋3n －40＝0，解得n ＝5或n ＝－8，注意到n ∈N *， 故n ＝－8舍去，所以110是数列的第5项．令4n 2＋3n＝1627，则4n 2＋12n －27＝0， 解得n ＝32或n ＝－92，因为n ∈N *，所以1627不是此数列中的项．10．(1)设数列{a n }满足⎩⎨⎧a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1 （n ＞1），写出这个数列的前5项；(2)求数列{－2n 2＋9n ＋3}(n ∈N *)的最大项． 解：(1)由题意可知： a 1＝1，a 2＝1＋1a 1＝1＋11＝2，a 3＝1＋1a 2＝1＋12＝23，a 4＝1＋1a 3＝1＋23＝53，a 5＝1＋1a 4＝1＋35＝85.(2)令a n ＝－2n 2＋9n ＋3， 所以a n 与n 构成二次函数关系，因为a n ＝－2n 2＋9n ＋3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －942＋1058，且n 为正整数，所以当n 取2时，a n 取得最大值13， 所以数列{－2n 2＋9n ＋3}的最大项为13.B 级 能力提升1．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33 a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 010＝( )A ．－ 3B ．0 C. 3 D ．3解析：a 1＝0，a 2＝－31＝－ 3.a 3＝－23－3＋1＝3，a 4＝3－33＋1＝0，a 5＝－31＝－3，…，由此可知，a n ＋3＝a n .又2 010＝3×670， 所以a 2 010＝a 3＝ 3. 答案：C2．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝1＋a n3－a n.写出若干项，并归纳出通项公式a n ＝______________．解析：a 2＝1＋a 13－a 1＝13，a 3＝1＋133－13＝24，a 4＝1＋243－24＝35，a 5＝46，猜想：a n ＝n －1n ＋1.答案：n －1n ＋13．已知数列{a n }中，a 1＝1，1a n ＋1－1a n ＝12，求数列{a n }的通项公式．解：设b n ＝1a n，则b 1＝1，b n ＋1－b n ＝12，所以b n －b n －1＝12(n ≥2)，b n －1－b n －2＝12，…， b 2－b 1＝12，所以b n －b 1＝12×(n －1)，所以b n ＝1＋n －12＝n ＋12(n ≥2)，又当n ＝1时，b 1＝1＋12＝1，符合上式，所以b n ＝n ＋12＝1a n (n ∈N *)，所以a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．。
人教版高中数学必修五知识讲解,巩固练习(教学资料,补习资料)：专题2.1 数列的概念与简单表示法
第二章 数 列2.1 数列的概念与简单表示法知识1．数列的相关概念按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做__________），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项．所以，数列的一般形式可以写成123,,,,,,n a a a a L L 简记为{}n a ．2．数列的分类（1）根据数列项数的多少分有穷数列 项数_______的数列，例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列 无穷数列项数_______的数列，例如数列1，2，3，4，5，6，L 是无穷数列（2）根据数列项的大小分递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项_______的数列摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3．数列的通项公式如果数列{}n a 的第n 项n a 与序号n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的__________．我们可以根据数列的通项公式算出数列的各项．4．数列表示方法的优缺点通项公式法 优点：便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究 缺点：一些数列的通项公式表示比较困难列表法 优点：内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项缺点：表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难 _______法 优点：能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项变化的趋势 缺点：数列项数较多时用图象表示比较困难递推公式法优点：可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系缺点：不容易了解数列的全貌，计算也不方便5．递推公式的定义如果已知数列{}n a 的第1项(或前几项)，且从第2项（或某一项）开始的任一项n a 与它的前一项1n a - (或前n 项)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的__________． 注意：递推公式也是数列的一种表示方法．知识参考答案：1．首项2．有限 无限 相等3．通项公式4．图象5．递推公式重点重点 数列的表示方法、通项公式及其应用，根据递推公式写出数列的前几项 难点 根据数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 易错对递推公式变形时注意n 取值的变化根据数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式根据数列的前几项写出其一个通项公式的方法：（1）观察数列的前几项是否具有以下几个特征：各项的符号特征、各项能否分拆、分式的分子与分母的特征、相邻项的变化规律等；（2）寻找各项与对应的项的序号之间的规律．根据下面数列的前几项，写出数列的一个通项公式：（1）1，3，5，7，9，…； （2）32，154，356，638，9910，…； （3）0，2，0，2，0，2，…；（4）1，3，3，5，5，7，7，9，9，…； （5）3，5，9，17，33，…． 【答案】见解析．【解析】（1）数列的各项是连续的正奇数，它的一个通项公式为a n ＝2n -1； （2）分子是连续的正偶数，分母为分子的平方减去1，它的一个通项公式为a n ＝2241nn -；（3）将数列变形为1234561(1),1(1),1(1),1(1),1(1),1(1)+-+-+-+-+-+-，…，易知它的一个通项公式为a n ＝1(1)n+-；（4）将数列变形为1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，7＋0，8＋1，…，类似于（3）可得它的一个通项公式为a n ＝n ＋2)1(1n-+；（5）将数列变形为1234521,21,21,21,21+++++，…，可得它的一个通项公式为a n ＝21n +． 【名师点睛】寻找各项与对应的项的序号之间的规律的方法：（1）熟记一些特殊数列的通项公式，如2=,21,2,n n n n n a n a n a a n =+==等；（2）将数列的各项分解成若干个常见数列的“和”“差”“积”“商”，如分式形式的数列，可将分子、分母分别求通项；（3）当数列各项的符号出现“+”“-”相间时，可用(1)n -或1(1)n +-来实现．数列1，579,,,81524--的一个通项公式是A ．1*221(1)()n n n a n n n ++=-∈+NB ．1*221(1)()3n n n a n n n --=-∈+N C ．1*221(1)()2n n n a n n n+-=-∈+ND ．1*221(1)()2n n n a n n n-+=-∈+N 【答案】D 【解析】A 中132a =，B 中114a =，C 中113a =，D 中11a =，因此排除A 、B 、C ，故选D ．数列中项的判断与求解（1）如果已知数列的通项公式，只要将相应序号代入通项公式，就可以写出数列中的指定项；（2）判断某数是否为数列的项，只需将此数代入数列的通项公式中，求出n 的值．若求出的n 为正整数，则该数是数列的项，否则该数不是数列的项．已知数列{}n a 的通项公式(1)(21)nn a n =--，则（1）12a a +=_____________；（2）12310a a a a ++++=L _____________． 【答案】（1）2；（2）10．【解析】（1）因为121,3,a a =-=所以122a a +=．（2）观察可知12349102,2,,2,a a a a a a +=+=+=L 故12310a a a a ++++=L 10．已知数列{}n a 的通项公式是2=2n a n n -，那么A ．30是数列{}n a 的一项B ．44是数列{}n a 的一项C ．66是数列{}n a的一项D ．90是数列{}n a 的一项【答案】C【解析】注意到30，44，66，90均比较小，可以写出这个数列的前几项，则问题就可以解决了.易得1234567=1=615,28,45,66,91a a a a a a a =====，，．故选C ．【名师点睛】若出现的数比较大，可以用解方程的方法加以解决（看求出的解是否为正整数）．根据数列的递推公式求n a由递推公式求通项公式的常用方法：（1）归纳法．根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式； （2）迭代法、累加法或累乘法．已知12a =，12n n a a +=，写出前5项，并猜想n a ．【答案】前五项分别为2,4,8,16,32，猜想2nn a =．【解析】由题可得123452,4,8,16,32a a a a a =====．故前五项分别为2,4,8,16,32．由12a =，22222a =⨯=，233222a =⨯=，…观察，猜想2nn a =．【解题技巧】（1）本题若是求n a ，则由a n +1=2a n 可得a n =2a n －1，即21=-n na a ，依次向下写，一直到第一项，然后将它们相乘，有⨯⨯⨯-----32211n n n n n n a a a a a a L ×1212n a a -=，所以a n =a 1·2n －1=2n ．这种方法通常叫叠乘法，这种方法在已知递推公式求数列通项公式的问题中是比较常用的方法，对应的还有叠加法．（2）应注意的是：数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的．已知12a =，12nn n a a +=，则数列{}n a 的通项公式n a =A ．2122n n -+B ．2122n n ++C ．2222n n -+D ．2222n n --【答案】C【解析】由12nn n a a +=可得12n n n a a +=，当2n ≥时，2212122112122222n n n n n n n n n a a a a a a a a -+-----=⋅⋅=⋅⋅=，经检验，12a =也符合上述通项公式．故选C ．数列的单调性数列单调性的判断方法和应用思路：（1）比较数列{}n a 中任意相邻两项+1n a 和n a 的大小来判断，常用方法是定义法、作差法和作商法； （2）利用数列的单调性：数列{}n a 递增+1n a ⇔>n a ，数列{}n a 递减+1n a ⇔<n a ． 对于通项较复杂的数列问题，常采用“特值探路”的策略，并结合数列的单调性求解．已知数列{}n a 的通项公式为2()n a n n n =+∈*N ，判断数列{}n a 的单调性．【答案】数列{}na 是递增数列．【解析】方法1：221,(1)(1),n n a n n a n n +=+=+++ 则221(1)(1)()2n n a a n n n n n +-=+++-+=+20>，即+1n n a a >()n ∈*N ，故数列{}n a 是递增数列．方法2：221,(1)(1),n n a n n a n n +=+=+++则212(1)(1)21n n a n n n a n n n+++++==>+， 又0n a >，故+1n n a a >，即数列{}n a 是递增数列．方法3：令2y x x =+，则函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为112x =-<，则函数2y x x =+在[1)+∞，上单调递增，故数列{}n a 是递增数列．【名师点睛】方法3借助于数列对应的函数，运用我们熟知的函数的单调性进行求解，更加简捷．数列的最大（小）项的求法数列的最大（小）项问题有如下两种求法： （1）利用数列的单调性确定数列的最大（小）项．当数列不单调时，还需解不等式+10n n a a ->（或+11n na a >，此时应注意n a 的符号）； （2）通过解不等式组来确定．设第(1)k k k ∈>*N ，项是数列的最大（小）项，则11k k k k a a a a -+≥⎧⎨≥⎩11()k k kk a a a a -+≤⎧⎨≤⎩，求出k 的正整数值即得最大（小）项，这样就不必再判断数列的单调性了．已知数列{}n a的通项公式4()5nna n=⋅()n∈*N，试问数列{}n a是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，请说明理由．【答案】数列{}n a有最大项为4a或5a，且545441024==5625a a=．【解析】方法1：作差比较+1na与na的大小，判断{}na的单调性．1+14444=(1)()()()5555n n nn nna a n n+--+⋅-⋅=⋅，当4n<时，+10n na a->，即+1n na a>；当4n=时，+1n na a-=，即+1n na a=；当4n>时，+10n na a-<，即+1n na a<．故12345678a a a a a a a a<<<=>>>>L，所以数列{}n a有最大项为4a或5a，且545441024==5625a a=．方法2：作商比较+1na与na的大小，判断{}na的单调性，1+14(1)()445=.45()5nnnnna na nn++⋅+=⋅令+11nnaa>，解得4n<；令+11nnaa=，解得4n=；令+11nnaa<，解得4n>．故12345678,a a a a a a a a<<<=>>>>L所以数列{}n a有最大项为4a或5a，且545441024==5625a a=．方法3：假设{}n a中有最大项，且最大项为第n项，则11n nn na aa a-+≥⎧⎨≥⎩，即1144()(1)()5544()(1)()55n nn nn nn n-+⎧⋅≥-⋅⎪⎪⎨⎪⋅≥+⋅⎪⎩，即54nn≤⎧⎨≥⎩，故数列{}n a有最大项为4a或5a，且545441024==5625a a=．对递推公式变形时忽略n的取值已知数列{}n a满足3123=()na a a a n n∈*NL，则数列{}na的通项公式na=_____________．【错解】由3123=n a a a a n L ，可得31231(1)n a a a a n -=-L ，两式相除可得33=(1)n n a n -．【错因分析】31231=(1)n a a a a n --L 仅适用于n ∈*N 且2n >时的情况，故不能就此断定33=(1)n n a n -就是数列{}n a 的通项公式． 【正解】当1n =时，11a =；当2n ≥时，由3123=n a a a a n L ，可得31231(1)n a a a a n -=-L ，上述两式相除可得33=(1)n n a n -，故331,1,1,(1)n n a n n n n =⎧⎪=⎨>∈⎪-⎩*N． 【名师点睛】在对递推公式变形时，常常会改变n 的取值，因此求出的n a 不一定适用于n ∈*N ．基础训练1．数列1,2,4,8,16,32,的一个通项公式是 A ．21n a n =- B ．12n n a -= C ．2nn a =D ．12n n a +=2．不能作为数列2，0，2，0，…的通项公式的是A ．1(11)n n a +=+- B ．(1)1nn a =--C ．(1)1nn a =+-D ．1cos n a n =-π3．数列{}n a 中，nn n a )1(-+=，则=+54a aA ．7B ．8C ．9D ．104．在数列{}n a 中，11a =，211(1)n n a a n +=-≥，则12345a a a a a ++++=A ．1-B ．1C ．0D ．25．600是数列12⨯，23⨯，34⨯，45⨯，…的 A ．第20项 B ．第24项 C ．第25项D ．第30项6．数列{}n a 的前n 项和223n S n n =-，则{}n a 的通项公式为A ．45n -B ．43n -C ．23n -D ．21n -7．数列{}n x 中，若11x =，1111n n x x +=-+，则2018x = A ．1- B ．12- C ．12D ．18．如图，给出的3个三角形图案中圆的个数依次构成一个数列的前3项，则这个数列的一个通项公式是A ．21n +B ．3nC ．222n n +D ．2322n n ++9．已知数列{}n a 的通项公式为1(1)nn a =+-，则2018a =______________． 10．数列{}n a 中，276n a n n =-+，那么满足0n a <的有______________项．11．数列{}n a 中，已知(1)nn a n a =-+（a 为常数），且1423a a a +=，则100a =______________．12．如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，推测第6行的第3个数字为______________．13．数列{2{}2n n }中的最大项是______________．14．已知数列{}n a ，其通项公式为2*3()n a n n n =-∈N ，判断数列{}n a 的单调性．15．已知数列{}n a 的通项公式为53n a n =+．（1）求9a 的值；（2）试判断80是否为数列{}n a 中的项，若是，是第几项？若不是，请说明理由．能力提升16．不能作为数列 ,1,0,1,0,1的一个通项公式的是A ．π|sin|2n n a =B ．(1)π|cos|2n n a += C ．(1)12n n a --=D ．11(1)2n n a ++-=17．在数列{}n a 中，112()2121()2n n n n n a a a a a +⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩，若145a =，则1001a 的值为A ．53B ．54 C ．25D ．1518．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras ，约公元前570年—公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．根据下列四个图形及相应的正方形的个数的变化规律，第n 个图形中有_____________个正方形．19．若数列{}n a 满足2,1181=-=+a a a nn ，则=1a _____________． 20．已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，211(21)20n n n n a a a a ++---=，则23a a +=_____________．21．若无穷数列{}n a 满足：只要(,)p q a a p q =∈*N ，必有1p a +=1q a +，则称{}n a 具有性质P ．若{}n a 具有性质P ，且2452,3,2a a a ===，678a a a ++=21，则3a =_____________．22．已知{}n a 是递增数列，且对任意的自然数n (n ≥1)，都有2n a n n λ=+恒成立，则实数λ的取值范围为_____________．23．已知数列{}n a 的通项公式278n a n n =--．（1）数列中有多少项为负数?（2）数列{a n }是否有最小项?若有，求出其最小项．24．数列{}n a 中，)2(22,1111≥+==--n a a a a n n n ，求5432,,,a a a a ，并归纳出n a ．25．已知数列{}n a 中，11a =，*1()()n n n a n a a n +=-∈N ，求数列{}n a 的通项公式．真题练习26．（2018新课标全国Ⅲ文节选）设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=，求{}n a 的通项公式.参考答案1．【答案】B【解析】观察数列的前6项知，每一项与项数n 的关系为12-=n n a ，故选B ．2．【答案】C【解析】验证易知，只有C 选项中的式子不能作为已知数列的通项公式．故选C ．3．【答案】C【解析】因为n n n a )1(-+=，所以444(1)5,a =+-=555(1)4,a =+-=所以459.a a +=故选C ．5．【答案】B【解析】由数列12⨯，23⨯，34⨯，45⨯，…可得通项公式为(1)n a n n =+，令(1)600n n +=，求解得24n =，故选B ．6．【答案】A【解析】因为223n S n n =-，所以当2n ≥时，2121))(3(1n S n n -=---，两式相减可得n n a S =-145n S n -=-，又当1n =时，111a S ==-，满足上式，故选A ．7．【答案】B【解析】将11x =代入1111n n x x +=-+，得212x =-，再将2x 代入1111n n x x +=-+，得31x =，所以数列周期为2，所以2018212x x ==-，故选B ． 8．【答案】D 【解析】由11n n a a n -=+-，再根据累加法得1211(3(34)5)n n n a a a a a a -=+-+-=++++++1n +＝2322n n ++，故选D ． 9．【答案】2【解析】因为1(1)n n a =+-，所以201820181(1)112a =+-=+=．10．【答案】4【解析】由二次函数知识可知，该数列为二次函数276y x x =-+图象上的整数点，当2,3,4,5n =时满足0n a <，故满足0n a <的有4项．11．【答案】97【解析】由(1)n n a n a =-+可得12341,2,3,4a a a a a a a a =-=+=-=+，因为1423a a a +=，所以143(2)a a a -++=+，解得3a =-，所以(1)3n n a n =--，所以100100397a =-=．12．【答案】15【解析】由题图可知，从第3行开始，每个数字都等于其“肩上”的两数之和，那么第6行的数字为1,6,15,20,15,6,1，故第3个数字为15．14．【答案】数列{}n a 是递增数列．【解析】方法1：2*3()n a n n n =-∈N ，2*+13(1)(1)(),n a n n n =+-+∈N则2213(1)(1)(3)6+20,n n a a n n n n n +-=+-+--=> 即*1()n n a a n +>∈N ，故数列{}n a 是递增数列.方法2：2*3()n a n n n =-∈N ，2*+13(1)(1)(),n a n n n =+-+∈N 则2123(1)(1)3n n a n n a n n ++-+==-132 1.31n n n n ++⋅>- 即数列{}n a 是递增数列． （注：这里要确定n a 的符号，否则无法判断+1n a 与n a 的大小）方法3：令23y x x =-，则函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为116x =<， 则函数23y x x =-在1(,)6+∞上单调递增，故数列{}n a 是递增数列． 15．【答案】（1）32；（2）见解析．【解析】（1）因为数列{}n a 的通项公式为53n a n =+，所以953932a =+⨯=．（2）80是数列{}n a 中的项．理由如下：假设80是数列{}n a 中的项，则8053n =+，解得*25n =∈N ，所以80是数列{}n a 中的项，且为第25项．16．【答案】C【解析】因为数列 ,1,0,1,0,1的前几项为摆动数列，因此通过验证可知A ，B ，D 都适合，C 选项不适合．故选C ．18．【答案】(1)2n n + 【解析】设数列为，由图知，11a =，212a =+，3123a =++，41234a =+++，所以由此猜想：(1)1232n n n a n +=++++=． 19．【答案】12【解析】由已知得111n n a a +=-，82a =，所以781112a a =-=，67111a a =-=-，56112a a =-=，451112a a =-=，34111a a =-=-，23112a a =-=，121112a a =-=． 20．【答案】34【解析】由211(21)20n n n n a a a a ++---=，令1n =，解得212a =，同理可得314a =，所以2334a a +=． 21．【答案】16【解析】因为52a a =，所以63a a =，743a a ==，852a a ==， 于是678332a a a a ++=++，又67821a a a ++=，所以316a =． 22．【答案】(-3，+∞)【解析】由{a n }为递增数列，得a n+1-a n =(n+1)2+λ(n+1)-n 2-λn =2n+1+λ>0恒成立，即λ>-2n-1在n ≥1时恒成立，令f (n )=-2n-1，n ∈*N ，则f (n )max =-3．只需λ>f (n )max =-3即可.故实数λ的取值范围为(-3，+∞) ．23．【答案】（1）7；（2）当3n =或4时，数列{}n a 有最小项，且最小项3420a a ==-．24．【答案】5432,,,a a a a 的值分别为2121,,,3253，12+=n a n ． 【解析】 )2(22,1111≥+==--n a a a a n n n ， ∴3222112=+=a a a ， 232221242a a a ===+， 5222334=+=a a a ， 454221263a a a ===+， 由 ,62,52,42,32,22可以归纳出12+=n a n ． 25．【答案】n a n =．【解析】方法1(累乘法)：∵*1()()n n n a n a a n +=-∈N ，即11n n a n a n ++=， ∴2121a a =，3232a a =，4343a a =，…，1(2)1n n a n n a n -=≥-． 以上各式两边分别相乘，得12341231n a n a n =⨯⨯⨯⨯-． 又11a =，∴(2)n a n n =≥，∵11a =也适合上式，∴n a n =．方法2(迭代法)：由11n n a n a n -=-知，2121a a =，3232a a =，4343a a =，…， 则31241123212341112321n n n n n a a a a a n n a a n a a a a a n n ----=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=--． 26．【答案】122-=n a n ． 【思路分析】先由题意得2≥n 时，)1(2)32(3121-=-+++-n a n a a n ，再作差得122-=n a n ，同时应验证1=n 时是否也满足上式． 【解析】因为123(21)2n a a n a n +++-=， 故当2n ≥时，1213(23)22n a a n a n ++++-=-． 两式相减得(21)2n n a -=，所以2(2)21n a n n =≥-． 又由题设可得12a =，从而{}n a 的通项公式为221n a n =-．。
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答案：练习2：(1)是无穷数列；(2)是有穷数列．
3．列表、图象、通项公式 练习3：(1)不是相同数列 (2)3 金品质•高追求 我们让你更放心！
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◆数学•必修5•(配人教A版)◆ 4．(1)通项公式：________________叫数列{an}的通项 公式．
(2)已知数列{an}的通项公式为an＝n＋3，则a6＝____. 5．(1)数列的图象是：____________. (2)写出数列an＝n＋3的前六项并且画出其图象．
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数 列
2.1
数列的概念与简单表示法
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1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、 图象、通项公式)．
2．了解数列是一种特殊函数．
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1．已知数列{an}的通项公式为an＝
1 ，则它的第 n
2．已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n，n∈N*，则 1 ，第9项是____ －1 ． 它的第8项是____ 3．数列{an}的通项公式为an＝25－2n，在下列各数中， 不是{an}的项的是( ) A．1 B．－1 C．3 D．2
解析：25－2n不可能是偶数．故选D. 答案：D 金品质•高追求 我们让你更放心！
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由数列的通项公式求数列的最大(小)项 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4. (1)数列中有哪几项是负数？ (2)n为何值时，an有最小值？并求出此最小值． 解析：(1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4. ∵n∈N*，∴n＝2,3，即第二和第三项是负数． 52 9 2 (2)∵an＝n －5n＋4＝ n－ － 该二次函数图 2 4 象的对称轴为n＝2.5，
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迭代表
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一、选择填空题 1．数列1,3,7,15,31，…的一个通项公式为( )
A．an＝2 n
C．an＝2n －1
B．an＝2n＋1
D．an＝2n－1
解析：代入检验，选C，另法：将数列的每一项都 加1，得到的数列是2,4,8,16,32，…，通项为2n.故原数列 的通项为2n－1.
答案：C
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2．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次 (1个分裂为2个)．经过3小时，这种细菌由1个可繁殖 成( ) A．511个 C．1023个 B．512个 D．1024个
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基础梳理 1．（1）数列是指：______________________.
（2）判断下列是否是数列
(1)1,2,3,4,1,2,3. (2){3,2,1,0，－1}． 2．数列的分类____________________________． 答案：1．按一定顺序排列着的一列数(数列的有序性)称为 数列 练习1：(1)是；(2)不是． 2．递增数列、递减数列、常数列、摆动数列； 有穷数列、 无穷数列 金品质•高追求 我们让你更放心！
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练习2：判断下列数列是有穷数列还是无穷数列 (1)1,2,3,4,5,6，…. (2)10,100,1000，…，1000000. 3．（1）数列的三种表示法是：________________. (2)数列1,2,3与数列3,2,1是否是相同数列？____. (3)An＋1＝An＋1，A1＝1，则a3＝____.
答案：4．数列{an}的第n项an与序号n之间的函数关系式
练习4：9 5．一群孤立的点 练习5：数列的前六项是：4、5、6、7、8、9.画图略 金品质•高追求 我们让你更放心！
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6．(1)数列的实质：从映射、函数的观点看，数列可以 看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…， n})的函数，________________________即为相应的函数解析 式． (2)写出下列数列所确定函数的定义域与值域 1,4,9,16,25,36,49. 答案：6．当自变量从小到大依次取值时对应的一 列函数值，通项公式 练习6：定义域为：{1,2,3,4,5,6,7} 值域为：{1,4,9,16,25,36,49}
(2)1,0.84,0.842,0.843，…；
(3)0,10,20,30，…，1000.
答案：练习7：(1)有穷数列、递增数列 (2)无穷数 列、递减数列 (3)有穷数列、递增数列
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自测自评
1 100 100项是____________ ．
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写出简单数列的通项公式 写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分 别是下列各数：
(1)1,0,1,0，…； 2 3 4 5 6 (2)－ ， ，－ ， ，－ ，…； 3 8 15 24 35 (3)7,77,777,7777，…； (4)－1,7，－13,19，－25,31，…； 3 5 9 17 (5) ， ， ， ，…. 2 4 16 256
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由数列通项公式写出数列的项 根据下面数列{an}的通项公式，写出它的前5项：
n (1)an＝ ； n＋1
(2)an＝(－1)nn.
解析：在通项公式中依次取n＝1,2,3,4,5得到数列{an} 的前5项为：
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由特殊到一般观察数列的通项公式 2an 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ (n∈N*)， an＋2 写出数列的前5项，并归纳出an的一个通项公式．
2 2× 3 1 2 2 解析：a1＝1，a2＝ ＝ ，a3＝ ＝ ， 2 2 1＋2 3 ＋2 3 1 2 2× 2× 2 2 5 1 a4＝ ＝ ，a5＝ ＝ . 1 5 2 3 ＋2 ＋2 2 5 2 2 1 2 2 由 a1＝1＝ ，a2＝ ，a3＝ ＝ ，a4＝ ， 2 3 2 4 5 1 2 a5＝ ＝ ，可看出分子为常数 2，分母为 n＋1. 3 6 2 所以 an＝ . n＋1
解析：3小时含9个20分钟，分裂9次后细菌个数为 29＝512. 答案：B
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1．数列的通项公式不唯一．
* －1，n＝2k－1，k∈N 例如：an＝ 与an＝(－1)n表示 * 1，n＝2k，k∈N
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◆数学•必修5•(配人教A版)◆ 7．按照数列的每一项随序号变化的情况分类
(1)递增数列——从第2项起，每一项都________它的 前一项的数列；
(2)递减数列——从第2项起，每一项都________它的 前一项的数列；
(3)常数列——各项________的数列；
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1＋－1 * 解析：(1) an＝ ，n∈N . 2 n ＋1 n * (2)an＝(－1) · ，n∈N . 2 n＋1 －1 7 n * (3) an＝ ×(10 －1)，n∈N . 9 n * (4) an＝(－1) (6n－5)，n∈N . n 2 ＋1 * (5)an＝ n－1 ，n∈N . 22
n＋1
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跟踪训练 2．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是
(
)
－1n＋1 A. 2 n＋1π C．cos 2
nπ B．cos 2 n＋2π D．cos 2
解析：分别取n＝1,2,3,4代入验证可得． 答案：D
(4)摆动数列——从第2项起，有些项大于它的前一项 有些项小于它的前一项的数列．
答案：7．(1)大于 (2)小于 (3)都等于同一个常数
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(5)指出下列数列哪些是有穷数列、无穷数列、递增数 列、递减数列、摆动数列、常数列？
(1)1,2,22,23,24，…，263；
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4．注意通项公式的反用，知项求项数问题或判断
一个具体数是否是该数列中的项．
5．注意用函数观点看数列．求数列最大(小)项及
数列是否有单调性等．
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高追求
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1 2 3 4 5 (1)a1＝2，a2＝3，a3＝4，a4＝5，a5＝6.
(2)a1＝－1，a2＝2，a3＝－3，a4＝4，a5＝－5.
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