备考2019高考数学二轮复习选择填空狂练九立体几何文
备考2019高考数学二轮复习选择填空狂练二十九模拟训练九文
模拟训练九1．[2018·衡水中学]已知集合(){}lg 2M x y x ==+，{}21x N y y ==-，则M N =U （ ）A ．RB ．()1,-+∞C ．()2,-+∞D ．[)2,-+∞2．[2018·衡水中学]已知i 为虚数单位，复数32i z i=-，则z 的实部与虚数之差为（ ）A ．15-B ．35C ．35-D ．153．[2018·衡水中学]已知圆锥曲线()22102cos x y θθ+=<<π，则θ=（ ）A ．6πB ．56πC ．3πD ．23π4．[2018·衡水中学]已知等比数列{}n a 中，2341a a a =，67864a a a =，则5a =（ ）A ．2±B ．2-C ．2D ．45．[2018·衡水中学]已知命题p ：“0x ∃∈R ，0101x <-”的否定是“x ∀∈R ，101x ≥-”；命题q ：“2019x >”的一个必要不充分条件是“2018x >”，则下列命题为真命题的是（ ）A ．q⌝B ．p q∧C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∨⌝6．[2018·衡水中学]我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，上广二丈，袤三丈，下广三丈，袤四丈，高三丈．问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛（如图所示），上底宽2丈，长3丈；下底宽3丈，长4丈；高3丈．问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，再次相加，再乘以高，最后除以6．则这个问题中的刍童的体积为（）A ．13.25立方丈B ．26.5立方丈C ．53立方丈D ．106立方丈7．[2018·衡水中学]如图的折线图是某公司2017年1月至12月份的收入与支出数据，若从7月至12月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，则这2个月中至少有一个月利润()=-利润收入支出不低于40万的概率为（一、选择题）A ．15B ．25C ．35D ．458．[2018·衡水中学]执行上面的程序框图，若输出的S 值为2-，则①中应填（ ）A ．98?n <B ．99?n <C ．100?n <D ．101?n <9．[2018·衡水中学]已知一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．(2116π+B ．(2124+π+C ．16+D ．8163π+10．[2018·衡水中学]已知函数()()2cos 0f x x ωω=->的图象向左平移02ϕϕπ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位，所得的部分函数图象如图所示，则ϕ的值为（ ）A ．6πB ．56πC ．12πD ．512π11．[2018·衡水中学]已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cosB sin B b c =+，1b =，点D 是ABC △的重心，且AD =ABC △的外接圆的半径为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．[2018·衡水中学]若函数()y f x =满足：①()f x 的图象是中心对称图形；②若x D ∈时，()f x 图象上的点到其对称中心的距离不超过一个正数M ，则称()f x 是区间D 上的“M 对称函数”．若函数()()()310f x x m m =++>是区间[]4,2-上的“M 对称函数”，则实数M 的取值范围是（ ）A．)⎡+∞⎣B ．)82,⎡+∞⎣C ．(0,382D ．()382,+∞13．[2018·衡水中学]已知()4tan 3α-π=-，则22sin 2cos sin 2ααα-=__________．14．[2018·衡水中学]若幂函数()163a f x ax+=的图象上存在点P ，其坐标(),x y 满足约束条件26y x x y y m -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为__________．15．[2018·衡水中学]已知在直角梯形ABCD 中，22AB AD CD ===，90ADC ∠=︒，若点M 在线段AC 上，则MB MD +u u u r u u u r的取值范围为__________．16．[2018·衡水中学]已知抛物线2:8C x y =的焦点为F ，准线为1l ，直线2l 与抛物线C 相切于点P ，记点P 到直线1l 的距离为1d ，点F 到直线2l 的距离为2d ，则212d d +的最大值为__________．二、填空题1．【答案】C【解析】由题意可得{}2M x x =>-，{}1N y y =>-，∴()2,M N =-+∞U ．故选C ．2．【答案】B【解析】()321222555i i i i z i i i -+-====---，故z 的实部与虚数之差为123555⎛⎫--= ⎪⎝⎭．故选B ．3．【答案】D【解析】由圆锥曲线的离心率大于1，可知该圆锥曲线为双曲线，且2cos 52c e aθ-===1cos 2θ=-，又0θ<<π∴23θπ=．故选D ．4．【答案】C【解析】由2341a a a =，67864a a a =，可得()331a =，()3764a =，∴31a =，74a =，又3a ，5a ，7a 同号，∴5372a a a ==，故选C ．5．【答案】C【解析】命题p ：“0x ∃∈R ，0101x <-”的否定是“x ∀∈R ，101x ≥-或1x =”；故命题p 为假命题；命题q ：“2019x >”的一个必要不充分条件是“2018x >”，故命题q 为真命题，∴只有C 选项正确．故选C ．6．【答案】B【解析】由算法可知，刍童的体积()()22 6V⎡⎤+⨯++⨯⨯⎣⎦=上底长下底长上底宽下底长上底长下底宽高()()23422433326.56⨯+⨯+⨯+⨯⨯⎡⎤⎣⎦==立方长，故选B ．7．【答案】D【解析】由图可知，7月，8月，11月的利润不低于40万元，从6个月中任选2个月的所有可能结果有()7,8，()7,9，()7,10，()7,11，()7,12，()8,9，()8,10，()8,11，()8,12，()9,10，()9,11，()9,12，()10,11，()10,12，()11,12共15种，其中至少有1个月的利润不低于40万元的结果有()7,8，()7,9，()7,10，()7,11，答案与解析一、选择题()7,12，()8,9，()8,10，()8,11，()8,12，()9,11，()10,11，()11,12共12种，故所求概率为124155P ==．故选D ．8．【答案】B【解析】由题知，该程序框图的功能是计算12lg lg lg lg 1231nS n n =+++=-++L （），当98n =时，lg992S =->-；当99n =时，lg1002S =-=-，跳出循环，故①中应填99?n <．故选B ．9．【答案】A【解析】三视图所对应的空间几何体为一个半圆锥拼接一个三棱锥所得，222425+=故所求几何体的表面积为()()(22211112422522252215162222S =π⨯+⨯⨯+π⨯⨯⨯⨯-=+π+．故选A ．10．【答案】C【解析】由题知，11521212T ππ⎛⎫=-=π ⎪⎝⎭，∴22T ωπ==，∴()2cos 2f x x =-，∴()()2cos 22f x x ϕϕ+=-+，∴552cos 22126f ϕϕππ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()5226k k ϕπ+=π+π∈Z ，∴()12k k ϕπ=+π∈Z ，又02ϕπ<<，∴12ϕπ=．故选C ．11．【答案】A【解析】3sin sin cos sin A B B A B =+，又sin 0B ≠cos 1A A -=，∴1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．由0A <<π，得5666A πππ-<-<，∴66A ππ-=，∴3A π=．由点D 是ABC △的重心，得()13AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r，∴222172cos 99AD AB AC AB AC A ⎛⎫=++⋅= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，化简，得2c AB ==u u u r，由余弦定理，得a ==由正弦定理得，ABC △的外接圆半径12sin aR A==．故选A ．12．【答案】A【解析】函数()()()310f x x m m =++>的图象可由3y x =的图象向左平移1个单位，再向上平移m 个单位得到，故函数()f x 的图象关于点()1,A m -对称，如图所示，由图可知，当[]4,2x ∈-时，点A 到函数()f x 图象上的点()4,27m --或()2,27m +的距离最大，最大距离为()2927382d m m =+--=，根据条件只需382M ≥，故382M ≥，应选A ．13．【答案】112【解析】根据题意得4tan 3α=-，∴22222242sin 2cos sin 2cos tan 2134sin 22sin cos 2tan 1223ααααααααα⎛⎫-- ⎪---⎝⎭====⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭．故答案为112．14．【答案】2【解析】作出不等式组满足的平面区域（如图中阴影所示），由函数()163a f x ax+=为幂函数，可知31a =，∴13a =，∴()12f x x =．作出函数()f x 的图象可知，该图象与直线60x y +-=交于点()4,2，当该点()4,2在可行域内时，图象上存在符合条件的点，二、填空题即2m ≤，故实数m 的最大值为2．故答案为2．15．【答案】【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则()0,0A ，()2,0B ，()1,2C ，()0,2D ，设()01AM AC λλ=≤≤u u u r u u u r，则(),2M λλ，故(),22MD λλ=--u u u r ，()2,2MB λλ=--u u u r ，则()22,24MB MD λλ+=--u u u ru u u r ，()()2223422242055MB MD λλλ⎛⎫+=-+-=-+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r 当λ0=时，MB MD +u u u r u u u r 取得最大值为223λ5=时，MB MD +u u u r u u u r 取得最小值为25，∴25,22MB MD ⎡+∈⎢u u u r u u u r ．故答案为25,22⎡⎢．16．【答案】12【解析】依题意，得点()0,2F ，∵28x y =，∴4xy '=，不妨设点()00,P x y ，则直线2l ：()0004x y y x x -=-，即0004xx y y --=，故点F 到直线2l 的距离0020222211216y d y y x --===+++，而点P 到直线1l 的距离102d PF y==+，∴12t ==≤=，=，即00y =时取等号，∴t 的最大值为12．故答案为12．。
备考2019高考数学二轮复习选择填空狂练二十九模拟训练九文
模拟训练九1．[2018·衡水中学]已知集合(){}lg 2M x y x ==+，{}21x N y y ==-，则M N =U （ ） A ．RB ．()1,-+∞C ．()2,-+∞D ．[)2,-+∞2．[2018·衡水中学]已知i 为虚数单位，复数32i z i=-，则z 的实部与虚数之差为（ ）A ．15-B ．35C ．35-D ．153．[2018·衡水中学]已知圆锥曲线()22102cos x y θθ+=<<π，则θ=（ ） A ．6π B ．56π C ．3π D ．23π4．[2018·衡水中学]已知等比数列{}n a 中，2341a a a =，67864a a a =，则5a =（ ） A ．2±B ．2-C ．2D ．45．[2018·衡水中学]已知命题p ：“0x ∃∈R ，0101x <-”的否定是“x ∀∈R ，101x ≥-”；命题q ：“2019x >”的一个必要不充分条件是“2018x >”，则下列命题为真命题的是（ ） A ．q ⌝B ．p q ∧C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∨⌝6．[2018·衡水中学] 我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，上广二丈，袤三丈，下广三丈，袤四丈，高三丈．问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛（如图所示），上底宽2丈，长3丈；下底宽3丈，长4丈；高3丈．问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，再次相加，再乘以高，最后除以6．则这个问题中的刍童的体积为（ ）A ．13.25立方丈B ．26.5立方丈C ．53立方丈D ．106立方丈7．[2018·衡水中学]如图的折线图是某公司2017年1月至12月份的收入与支出数据，若从7月至12月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，则这2个月中至少有一个月利润()=-利润收入支出不低于40万的概率为（ ）一、选择题A ．15B ．25 C ．35D ．458．[2018·衡水中学]执行上面的程序框图，若输出的S 值为2-，则①中应填（ ）A ．98?n <B ．99?n <C ．100?n <D ．101?n <9．[2018·衡水中学]已知一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．(2116π+B ．(2124π+C ．16+D ．8163π+ 10．[2018·衡水中学]已知函数()()2cos 0f x x ωω=->的图象向左平移02ϕϕπ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位，所得的部分函数图象如图所示，则ϕ的值为（ ）A ．6π B ．56π C ．12π D ．512π 11．[2018·衡水中学]已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cosB sin B b c =+，1b =，点D 是ABC △的重心，且AD ABC △的外接圆的半径为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．[2018·衡水中学] 若函数()y f x =满足：①()f x 的图象是中心对称图形；②若x D ∈时，()f x 图象上的点到其对称中心的距离不超过一个正数M ，则称()f x 是区间D 上的“M 对称函数”．若函数()()()310f x x m m =++>是区间[]4,2-上的“M 对称函数”，则实数M 的取值范围是（ ）A．)⎡+∞⎣B ．)82,⎡+∞⎣C ．(0,382D ．()382,+∞13．[2018·衡水中学]已知()4tan 3α-π=-，则22sin 2cos sin 2ααα-=__________．14．[2018·衡水中学]若幂函数()163a f x ax+=的图象上存在点P ，其坐标(),x y 满足约束条件26y x x y y m -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为__________．15．[2018·衡水中学]已知在直角梯形ABCD 中，22AB AD CD ===，90ADC ∠=︒，若点M 在线段AC 上，则MB MD +uuu r uuu r的取值范围为__________．16．[2018·衡水中学]已知抛物线2:8C x y =的焦点为F ，准线为1l ，直线2l 与抛物线C 相切于点P ，记点P 到直线1l 的距离为1d ，点F 到直线2l 的距离为2d ，则212d d +的最大值为__________．二、填空题1．【答案】C【解析】由题意可得{}2M x x =>-，{}1N y y =>-，∴()2,M N =-+∞U ．故选C ． 2．【答案】B【解析】()321222555i i i i z i i i -+-====---，故z 的实部与虚数之差为123555⎛⎫--= ⎪⎝⎭．故选B ．3．【答案】D【解析】由圆锥曲线的离心率大于1，可知该圆锥曲线为双曲线， 且2cos 52c e a θ-==1cos 2θ=-，又0θ<<π∴23θπ=．故选D ． 4．【答案】C【解析】由2341a a a =，67864a a a =，可得()331a =，()3764a =， ∴31a =，74a =，又3a ，5a ，7a 同号，∴5372a a a ==，故选C ． 5．【答案】C【解析】命题p ：“0x ∃∈R ，0101x <-”的否定是“x ∀∈R ，101x ≥-或1x =”； 故命题p 为假命题；命题q ：“2019x >”的一个必要不充分条件是“2018x >”， 故命题q 为真命题，∴只有C 选项正确．故选C ． 6．【答案】B【解析】由算法可知，刍童的体积()()22 6V⎡⎤+⨯++⨯⨯⎣⎦=上底长下底长上底宽下底长上底长下底宽高 ()()23422433326.56⨯+⨯+⨯+⨯⨯⎡⎤⎣⎦==立方长，故选B ． 7．【答案】D【解析】由图可知，7月，8月，11月的利润不低于40万元，从6个月中任选2个月的所有可能结果有()7,8，()7,9，()7,10，()7,11，()7,12，()8,9，()8,10，()8,11，()8,12，()9,10，()9,11，()9,12，()10,11，()10,12，()11,12共15种，其中至少有1个月的利润不低于40万元的结果有()7,8，()7,9，()7,10，()7,11，()7,12，()8,9，答案与解析一、选择题()8,10，()8,11，()8,12，()9,11，()10,11，()11,12共12种，故所求概率为124155P ==．故选D ．8．【答案】B【解析】由题知，该程序框图的功能是计算12lg lg lg lg 1231n S n n =+++=-++L （）， 当98n =时，lg992S =->-；当99n =时，lg1002S =-=-，跳出循环， 故①中应填99?n <．故选B ． 9．【答案】A【解析】三视图所对应的空间几何体为一个半圆锥拼接一个三棱锥所得，=， 故所求几何体的表面积为()()(2221111242225222252215162222S =π⨯+⨯⨯+π⨯⨯⨯⨯-π+．故选A ． 10．【答案】C【解析】由题知，11521212T ππ⎛⎫=-=π ⎪⎝⎭，∴22T ωπ==，∴()2cos2f x x =-，∴()()2cos 22f x x ϕϕ+=-+，∴552cos 22126f ϕϕππ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()5226k k ϕπ+=π+π∈Z ，∴()12k k ϕπ=+π∈Z ， 又02ϕπ<<，∴12ϕπ=．故选C ． 11．【答案】A【解析】3sin sin sin cos sin A B B A B =+，又sin 0B ≠3sin cos 1A A -=，∴1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．由0A <<π，得5666A πππ-<-<，∴66A ππ-=，∴3A π=．由点D 是ABC △的重心，得()13AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r，∴222172cos 99AD AB AC AB AC A ⎛⎫=++⋅= ⎪⎝⎭uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r ，化简，得2c AB ==uu u r，由余弦定理，得a ==由正弦定理得，ABC △的外接圆半径12sin aR A==．故选A ． 12．【答案】A【解析】函数()()()310f x x m m =++>的图象可由3y x =的图象向左平移1个单位，再向上平移m 个单位得到，故函数()f x 的图象关于点()1,A m -对称， 如图所示，由图可知，当[]4,2x ∈-时，点A 到函数()f x 图象上的点()4,27m --或()2,27m +的距离最大， 最大距离为d 根据条件只需382M ≥382M ≥，应选A ．13．【答案】112【解析】根据题意得4tan 3α=-，∴22222242sin 2cos sin 2cos tan 2134sin 22sin cos 2tan 1223ααααααααα⎛⎫-- ⎪---⎝⎭====⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭．故答案为112． 14．【答案】2【解析】作出不等式组满足的平面区域（如图中阴影所示），由函数()163a f x ax+=为幂函数，可知31a =，∴13a =，∴()12f x x =．作出函数()f x 的图象可知，该图象与直线60x y +-=交于点()4,2， 当该点()4,2在可行域内时，图象上存在符合条件的点， 即2m ≤，故实数m 的最大值为2．故答案为2．二、填空题15．【答案】⎣ 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则()0,0A ，()2,0B ，()1,2C ，()0,2D ，设()01AM AC λλ=≤≤uuu r uuu r，则(),2M λλ， 故(),22MD λλ=--uuu r ，()2,2MB λλ=--uuu r ，则()22,24MB MD λλ+=--uuu ruuu r ，()()2223422242055MB MD λλλ⎛⎫+=-+--+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r当λ0=时，MB MD +uuu r uuu r 取得最大值为223λ5=时，MB MD +uuu r uuu r 25，∴25,22MB MD ⎡+∈⎢⎣uuu r uuu r ．故答案为25,22⎡⎢⎣． 16．【答案】12【解析】依题意，得点()0,2F ，∵28x y =，∴4xy '=，不妨设点()00,P x y ，则直线2l ：()0004x y y x x -=-，即0004xx y y --=，故点F 到直线2l 的距离0020222211216y d y y x --===+++而点P 到直线1l 的距离102d PF y ==+，∴01122t ==≤=，=00y =时取等号，∴t 的最大值为12．故答案为12．。
备考2019高考数学二轮复习选择填空狂练九立体几何文
9 立体几何与空间向量1．[2018·唐山一模]在长方体1111ABCD A B C D -中，12AB BC AA ==，则异面直线1A B 与1B C 所成角的余弦值为（ ） A B ．15C D 2．[2018·珠海模底]圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则圆锥的表面积为（ ） A ．)π１B ．4πC ．3πD ．5π3．[2018·大同中学]平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是1m 和1n ，给出下列四个命题：①11m n m n ⊥⇒⊥；②11m n m n ⊥⇒⊥；③1m 与1n 相交m ⇒与n 相交或重合；④1m 与1n 平行m ⇒与n 平行或重合；其中不正确的命题个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．[2018·长春质检]在正方体1111ABCD A B C D -中，直线11A C 与平面11ABC D 所成角的正弦值为（ ） A ．1B 3C 2D ．125．[2018·珠海模底]如图所示，已知四棱锥P ABCD -的高为3，底面ABCD 为正方形，PA =PB PC PD ==且AB =P ABCD -外接球的半径为（ ）A ．32B ．2CD ．36．[2018·玉溪一中]《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，AC = 三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．12πB ．16πC ．20πD ．24π7．[2018·湖师附中]在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是BC 的中点，点P 是正方形11DCC D 面内(包括边界)的动点，且满足APD MPC ∠=∠，则三棱锥P BCD -的体积最大值是（ ）一、选择题A ．36B ．24C ．D ．8．[2018·航天中学]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛9．[2018·南昌二模]将半径为3，圆心角为23π的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为（ ）A ．3B 3πC ．43π D ．2π10．[2018·东北育才]如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（ ）A ．1CC 与1B E 是异面直线B ．AC ⊥平面C ．AE ，11B C 为异面直线且11AE B C ⊥D ．11A C ∥平面1AB E11．[2018·太原模拟]如图是正四面体的平面展开图，G ，H ，M ，N 分别是DE ，BE ，EF ，EC 的中点，在这个正四面体中：①DE 与MN 平行；②BD 与MN 为异面直线；③GH 与MN 成60︒角；④DE 与MN 垂直．以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．[2018·三明一中]如图1，直线EF 将矩形纸ABCD 分为两个直角梯形ABFE 和CDEF ，将梯形CDEF 沿边EF 翻折，如图2，在翻折的过程中（平面ABFE 和CDEF 不重合），下面说法正确的是（ ）A ．存在某一位置，使得CD ∥平面ABFEB ．存在某一位置，使得DE ⊥平面ABFEC ．在翻折的过程中，BF ∥平面ADE 恒成立D ．在翻折的过程中，BF ⊥平面CDEF 恒成立13．[2018·东台中学]已知平面α，β，直线m ，n ，给出下列命题：①若m α∥，n β∥，m n ⊥，则αβ⊥；②若αβ∥，m α∥，n β∥，则m n ∥； ③若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥；④若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥． 其中是真命题的是____．（填写所有真命题的序号）．14．[2018·盐城中学]a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成30︒角； ②当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成60︒角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45︒； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60︒．其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)15．[2018·北京一模]如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 为边AB 的中点．将ADE △沿DE 翻折，得到四棱锥1A DEBC -．设线段1A C 的中点为M ，在翻折过程中，有下列三个命题： ① 总有BM ∥平面1A DE ； ② 三棱锥1C A DE -体积的最大值为3； 二、填空题③存在某个位置，使DE与A C所成的角为90 ．1其中正确的命题是____．（写出所有．．正确命题的序号）16．[2018·唐山一中]如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O，△分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚D，E，F为圆O上的点，DBC△，FAB△，ECA线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC△，使得D，E，F重合，得到三棱△，ECA△，FAB锥．当ABCcm）的最大值为______．△的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：31．【答案】B【解析】在长方体1111ABCD A B C D -中，连接1A D ，可得11A D B C ∥， ∴异面直线1A B 与1B C 所成的角，即为直线1A B 与直线1A D 所成的角， 即1DA B ∠为异面直线1A B 与1B C 所成的角，在长方体1111ABCD A B C D -中，设122AB BC AA ===，则115A B A D ==22BD =，在1A BD △中，由余弦定理得222111111cos 25255A B A D BD DA B A B A D +-∠===⋅⨯⨯，故选B ． 2．【答案】C【解析】∵圆锥的轴截面是边长为2的正三角形ABC △，∴圆锥的底面半径1r =，母线长2l =；表面积212232S r r l =π+⨯π⨯=π+π=π．故选C ．3．【答案】D【解析】结合题意逐一分析所给的四个说法，在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中：对于说法①：若取平面α为ABCD ，1m ，1n 分别为AC ，BD ，m ，n 分别为1A C ，1BD ， 满足11m n ⊥，但是不满足m n ⊥，该说法错误；答案与解析一、选择题对于说法②：若取平面α为11ADD A ，1m ，1n 分别为11A D ，1AD ，m ，n 分别为11A C ，1BD ， 满足m n ⊥，但是不满足11m n ⊥，该说法错误；对于说法③：若取平面α为ABCD ，1m ，1n 分别为AC ，BD ，m ，n 分别为1AC ，1BD ， 满足1m 与1n 相交，但是m 与n 异面，该说法错误；对于说法④：若取平面α为11ADD A ，1m ，1n 分别为11A D ，AD ，m ，n 分别为11A C ，BC ， 满足1m 与1n 平行，但是m 与n 异面，该说法错误；综上可得：不正确的命题个数是4．故选D ． 4．【答案】D 【解析】如图所示：连接1A D ，1AD 交于点O ，连接1OC ，在正方体中，∵AB ⊥平面1AD ，∴1AB A D ⊥， 又11A D AD ⊥，且1AD AB A =I ，∴1A D ⊥平面11AD C B ，∴11A C O ∠即为所求角， 在11Rt A C O △中，111sin 2A C O ∠=，∴11A C 与平面11ABC D 所成角的正弦值为12，故选D ． 5．【答案】B【解析】由已知，四棱锥P ABCD -为正四棱锥，设外接球半径为R ，连接AC 、BD 交于点'O ，连接'PO ，外接球的球心O 在高'PO 上，连接OA ，则OA OP R ==，∵四棱锥P ABCD -的高为3，AB ='3PO =，∴'O A ==，'3OO R =-，又∵'OO A △为直角三角形∴222''OA O A OO =+，即()2223R R =+-，解得2R =．故选B ．6．【答案】A【解析】由题意，PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，AC = ∵平面ABC ，和平面PBC 都是是直角三角形，则角ABC 为直角， 此时满足BC 垂直于PA ，BC 垂直于AB 进而得到BC 垂直于PB ， 此时满足面PBC 为直角三角形，底面外接圆的圆心是斜边AC 的中点，球心在过底面圆心并且和PA 平行的直线上，并且球心到圆心的距离为1，直角三角形外接圆的半径为r =∴221R r =+，即R ．∴球O 的表面积2412S R =π=π．故选A ． 7．【答案】D【解析】易知APD MPC :△△，则2PD ADPC MC==，欲使三棱锥P BCD -的体积最大，只需高最大， 通过坐标法得到动点运动轨迹(一段圆弧)，进而判断高的最大值23 ∴()max 116623332P BCD V -⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭．故选D ．8．【答案】B【解析】由题意得米堆的体积为2118320320254339⎛⎫⨯π⨯⨯=≈ ⎪ππ⎝⎭立方尺，∵1斛米的体积约为1.62立方尺，∴堆放的米有3209221.62≈斛，故选B ．9．【答案】A【解析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则2233r ππ=⨯，∴1r =，23122h =-，设内切球的半径为R 13=，∴R =334433V R =π=π=⎝⎭，故选A ． 10．【答案】C【解析】对于A 项，1CC 与1B E 在同一个侧面中，故不是异面直线，∴A 错；对于B 项，由题意知，上底面是一个正三角形，故AC ⊥平面11ABB A 不可能，∴B 错；对于C 项，∵AE ，11B C 为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，∴C 正确； 对于D 项，∵11A C 所在的平面与平面1AB E 相交，且11A C 与交线有公共点， 故11A C ∥平面1AB E 不正确，∴D 项不正确；故选C ．11．【答案】C【解析】将正四面体的平面展开图复原为正四面体()A B C DEF -、，如图：对于①，M 、N 分别为EF 、AE 的中点，则MN AF ∥，而DE 与AF 异面， 故DE 与MN 不平行，故①错误；对于②，BD 与MN 为异面直线，正确（假设BD 与MN 共面，则A 、D 、E 、F 四点共面，与ADEF 为正四面体矛盾，故假设不成立，故BD 与MN 异面）；对于③，依题意，GH AD ∥，MN AF ∥，60DAF ∠=︒，故GH 与MN 成60︒角，故③正确； 对于④，连接GF ，A 点在平面DEF 的射影1A 在GF 上，∴DE ⊥平面AGF ，DE AF ⊥， 而AF MN ∥，∴DE 与MN 垂直，故④正确．综上所述，正确命题的序号是②③④，故答案为②③④．故选C ． 12．【答案】C【解析】CD 与FE 不平行，且在同一平面内，∴CD 与FE 相交，∴CD 与平面ABFE 相交，A 错误．DE 在任何位置都不垂直于FE ，如果“存在某一位置，使得DE ⊥平面ABFE ”，则存在某一位置，使得DE FE ⊥矛盾，故B 错误．BF 在任何位置都不垂直于FE ，如果“在翻折的过程中，BF ⊥平面CDEF 恒成立”，那么BF FE ⊥恒成立，矛盾故D 错误．综上，故选C ．13．【答案】③④．【解析】对于①，若m α∥，n β∥，m n ⊥，则αβ∥或α，β相交，∴该命题是假命题； 对于②，若αβ∥，m α∥，n β∥，则m ，n 可能平行、相交、异面，∴该命题是假命题； 对于③④可以证明是真命题．故答案为③④． 14．【答案】②③二、填空题【解析】过点B 作1a a ∥，1b b ∥，当直线AB 与a 成60︒角时，由题意，可知AB 在由1a ，1b 确定的平面上的射影为BC ，且BC 与1a 成45︒角，又a b ⊥，故AB 与b 所成角也是60︒．①错，②正确；当直线a BC ∥时，AB 与a 所成角最小，故最小角为45︒．③正确，④错误．综上，正确的是②③，错误的是①④．(注：一条斜线与平面所成角的余弦值和其在平面内的射影与平面内一条直线所成角的余弦值的乘积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦值) 15．【答案】①②【解析】取DC 的中点为F ，连结FM ，FB ，可得1MF A D ∥，FB DE ∥，可得平面M BF ∥平面1A DE ， ∴BM ∥平面1A DE ，∴①正确；当平面1A DE 与底面ABCD 垂直时，三棱锥1C A DE -体积取得最大值， 最大值为11114 2222232323AD AE EC ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=存在某个位置，使DE 与1A C 所成的角为90︒．∵DE EC ⊥，∴DE ⊥平面1A EC ， 可得1DE A E ⊥，即AE DE ⊥，矛盾，∴③不正确；故答案为①②．16．【答案】415【解析】由题意，连接OD ，交BC 于点G ，由题意可得OD BC ⊥，OG =，即OG 的长度与BC 的长度成正比设OG x =，则BC =，5DG x =-，三棱锥的高h =()2212ABC S ==△，则213ABC V S h =⋅=△令()452510f x x x =-，502x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,，()3410050f x x x -'=，令()0f x '≥，即4320x x -≤，解得2x ≤，则()()280f x f ≤=，∴V <=。
备考2019高考数学二轮复习选择填空狂练三框图文
3 框图1．[2018·唐山一摸]已知程序框图如右图所示则该程序框图的功能是（ ）A ．求1111357+++的值B ．求111113579++++的值C ．求1111357-++的值D ．求111113579-+++的值2．[2018·东师附中]执行如图所示的程序框图，如果输入的[]2,2x ∈-，则输出的y 值的取值范围是（ ）A ．52y ≤-或0y ≥B ．223y -≤≤C ．2y ≤-或203y ≤≤ D ．2y ≤-或23y ≥3．[2018·宝安区调研]定义某种运算:S m n ⊗=⊗的运算原理如右边的流程图所示，则6547⊗-⊗=（ ）一、选择题A．3 B．1 C．4 D．0 4．[2018·南昌测试]某程序框图如图所示，若输出3S=，则判断框中M为（）A．14?k>k≤D．15?k<B．14?k≤C．15?5．[2018·南昌联考]执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A．14 B．15 C．24 D．306．[2018·拉萨中学]执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．77．[2018·南昌二模]执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A ．15B ．16C ．24D ．258．[2018·南昌检测]根据某校10位高一同学的身高(单位：cm )画出的茎叶图（图1），其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，设计一个程序框图（图2），用()1210i A i =L ,,,表示第个同学的身高，计算这些同学身高的方差，则程序框图①中要补充的语句是（ ）A ．iB B A =+B ．2i B B A =+C ．()2i B B A A =+-D ．22i B B A =+9．[2018·南昌检测]执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．210．[2018·哈尔滨六中]《九章算术》中盈不足章中有这样一则故事：“今有良马与驽马发长安，至齐． 齐去长安三千里． 良马初日行一百九十三里，日增一十二里；驽马初日行九十七里，日减二里．” 为了计算每天良马和驽马所走的路程之和，设计框图如下图． 若输出的S 的值为350，则判断框中可填（ ）A ．6?i >B ．7?i >C ．8?i >D ．9?i >11．[2018·山东模拟]下面程序框图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，，那么在◇和□两个空白框中，可以分别填入（ ）A ．1000A >和1n n =+B ．1000A >和2n n =+C ．1000A ≤和1n n =+D ．1000A ≤和2n n =+12．[2018·银川一中]我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（ ）A ．7i <，1S S i=-，2i i =B ．7i ≤，1S S i=-，2i i =C ．7i <，2SS =，1i i =+ D ．7i ≤，2SS =，1i i =+13．[2018·南昌检测]某程序框图如图所示， 则输出的结果是__________．14．[2018·中原名校]如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a ，b ，i 的值分别为8，6，1，输出a 和i 的值，若正数x ，y 满足251x y+=，则ax iy +的最小值为__________．15．[2018·宁德质检]我国南北朝时期的数学家张丘建是世界数学史上解决不定方程的第一人，他在《张丘建算经》中给出一个解不定方程的百鸡问题，问题如下：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？用代数方法表述为：设鸡翁、鸡母、鸡雏的数量分别为x ，y ，z ，则鸡翁、二、填空题鸡母、鸡雏的数量即为方程组531003100z x y x y z ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩的解．其解题过程可用框图表示如下图所示，则框图中正整数m 的值为 ______．16．[2018·湖北模拟]如图所示的茎叶图为高三某班54名学生的政治考试成绩，程序框图中输入的1a ，2a ，L ，54a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的S 和n 的值分别是__________．1．【答案】C【解析】由题意，执行如图所示的程序框图可知：开始1a=，1n=，0S=；第一次循环：1S=，1a=-，3n=；第二次循环：113S=-，1a=，5n=；第三次循环：11135S=-+，1a=-，7n=；第四次循环：1111357S=-++，1a=，9n=；此时终止循环，输出结果，所以该程序框图是计算输出1111357S=-++的值，故选C．2．【答案】C【解析】由题意知，该程序的功能是求函数()021120xxxf xx xx⎧≤≤⎪⎪+=⎨⎪+-≤<⎪⎩,,的值域．①当02x≤≤时，()1111xf xx x==-++在区间[]0,2上单调递增，∴()()()02f f x f≤≤，即()23f x≤≤；②当20x-≤<时，()11122f x x x xx x x⎛⎫=+=--+≤-⋅=-⎪--⎝⎭，当且仅当1xx-=-，即1x=-时等号成立．综上输出的y值的取值范围是2y≤-或23y≤≤．故选C．3．【答案】A【解析】由流程图得()6565124⊗=⨯-=，()4774121⊗=⨯-=，∴654724213⊗-⊗=-=，故选A．4．【答案】B【解析】由框图程序可知S=+L，1S L∴13S=，解得15n=，即当15n=时程序退出，故选B．5．【答案】C【解析】结合流程图可知流程图运行过程如下：首先初始化数据：0S=，1i=，第一次循环，满足5i<，执行12i i=+=，此时不满足i为奇数，执行1222iS S S-=+=+=；第二次循环，满足5i<，执行13i i=+=，此时满足i为奇数，执行2157S S i S=+-=+=；答案与解析一、选择题第三次循环，满足5i <，执行14i i =+=，此时不满足i 为奇数，执行12815i S S S -=+=+=； 第四次循环，满足5i <，执行15i i =+=，此时满足i 为奇数，执行21924S S i S =+-=+=； 第五次循环，不满足5i <，跳出循环，输出S 的值为24． 故选C ． 6．【答案】B【解析】模拟程序的运行，可得：1a =，1k =，不满足条件10a >，执行循环体，2a =，2k =；不满足条件10a >，执行循环体，4a =，3k =； 不满足条件10a >，执行循环体，8a =，4k =；不满足条件10a >，执行循环体，16a =，5k =； 满足条件10a >，退出循环体，输出k 的值为5，故选B ． 7．【答案】B【解析】进入循环，当1i =时，15<，i 为奇数，1S =；当2i =时，25<，i 为偶数，123S =+=； 当3i =时，35<，i 为奇数，358S =+=；当4i =时，45<，i 为偶数，8816S =+=； 当5i =时，55≥，结束循环，输出16S =．故选B ． 8．【答案】B 【解析】由()()()()222222212121222n n n x x x x x x x x x x x x x nx s nn-+-+⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅++==22222222212122n n x x x nx nx x x x x n n++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+==-，循环退出时11i =，知221A x i ⎛⎫= ⎪-⎝⎭．∴2221210B A A A =++⋅⋅⋅+，故程序框图①中要补充的语句是2i B B A =+．故选B ． 9．【答案】D【解析】由循环结构的计算原理，依次代入求得如下：1S =，1i =， ①2S =，2i =；②2S =，3i =；③1S =，4i =； ④1S =，5i =；⑤2S =，6i =；⑥2S =，7i =；⑦1S =，8i =；⑧1S =，9i =；⑨2S =，10i =；∴输出2S =．故选D ． 10．【答案】B【解析】模拟程序的运行，可得0S =，1i =；执行循环体，290S =，2i =； 不满足判断框内的条件，执行循环体，300S =，3i =； 不满足判断框内的条件，执行循环体，310S =，4i =； 不满足判断框内的条件，执行循环体，320S =，5i =；不满足判断框内的条件，执行循环体，330S =，6i =；不满足判断框内的条件，执行循环体，340S =，7i =；不满足判断框内的条件，执行循环体，350S =，8i =；由题意，此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出S 的值为350． 可得判断框中的条件为7?i >．故选B ．11．【答案】D【解析】本题考查程序框图问题．∵要求1000A >时输出，且框图中在“否”时输出，∴“◇”内不能输入“1000A >”， 又要求n 为偶数，且n 的初始值为0，∴“□”中n 依次加2可保证其为偶数， ∴D 选项满足要求，故选D ．12．【答案】D【解析】算法为循环结构，循环7次，每次对长度折半计算，也就是2S S =，因此②填2S S =， 又①填判断语句，需填7i ≤，③填1i i =+．故选D ．13．【答案】33+ 【解析】由题意得330tan 0tantan tan tan 2313312643S ππππ=+++++=+． 14．【答案】49【解析】输入a ，b ，i 的值分别为8，6，1；第一次循环，2i =，2a =； 第二次循环，3i =，4b =；第三次循环，4i =，2b =；第四次循环，5i =，b a =；退出循环，输出2a =，5i =，()2510102542549y x ax iy x y x y x y ⎛⎫+=++=+++≥ ⎪⎝⎭， 当x y =时，等号成立，即ax iy +的最小值为49，故答案为49．15．【答案】4【解析】由531003100z x y x y z ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩得7254y x =-，故x 必为4的倍数， 当4x t =时，257y t =-，由2570y t =->得t 的最大值为3，故判断框应填入的是4t <？，即4m =，故答案为4．16．【答案】86，13【解析】S 为大于等于80分的学生的平均成绩，计算得86S =；二、填空题n ．n表示60分以下的学生人数，由茎叶图可知13。
专题04 立体几何-2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(文)(原卷版)
专题04立体几何1．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则A．BM=EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM=EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线3．【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是A．158B．162C．182D．3244．【2019年高考浙江卷】设三棱锥V –ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P –AC –B 的平面角为γ，则A ．β<γ，α<γB ．β<α，β<γC ．β<α，γ<αD ．α<β，γ<β5．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为，那么P 到平面ABC 的距离为___________．6．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）7．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D 挖去四棱锥O −EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =AA =，，3D 打印所用原料密度为0.9g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.8．【2019年高考北京卷文数】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．9．【2019年高考北京卷文数】已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．10．【201925若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.11．【2019年高考江苏卷】如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E −BCD的体积是▲.12．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】如图，直四棱柱ABCD–A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点.（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；（2）求点C 到平面C 1DE 的距离．13．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1．（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C 的体积．14．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的四边形ACGD的面积.-中，PA⊥平面ABCD，底部ABCD为菱形，E 15．【2019年高考北京卷文数】如图，在四棱锥P ABCD为CD的中点．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；（3）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．16．【2019年高考天津卷文数】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD △为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，,2,3PA CD CD AD ⊥==.（1）设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：GH ∥平面PAD ；（2）求证：PA ⊥平面PCD ；（3）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值.17．【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．18．【2019年高考浙江卷】如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A A C AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点.（1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.19．【云南省昆明市2019届高三高考5月模拟数学试题】已知直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，若αβ⊥，则下列结论正确的是A ．l β∥或l β⊄B ．//l m C ．m α⊥D ．l m⊥20．【陕西省2019届高三年级第三次联考数学试题】已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为A ．34B ．34C ．4D ．5421．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学试题】如图，边长为2的正方形ABCD 中，,E F 分别是,BC CD 的中点，现在沿,AE AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使,,B C D 三点重合，重合后的点记为P ，则四面体P AEF -的高为A ．13B ．23C ．34D ．122．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月）数学试题】在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC △是边长为6的等边三角形，PAB △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．23．【河南省洛阳市2019年高三第三次统一考试（5月）数学试题】在四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是平行四边形，1A A ⊥平面ABCD ，60BAD ∠=︒，12,1,AB BC AA ===，E 为11A B 中点.（1）求证：平面1A BD ⊥平面1A AD ；（2）求多面体1A E ABCD -的体积.。
高考数学答题技巧：立体几何篇
2019高考数学答题技巧：立体几何篇2019高考数学答题技巧：立体几何篇高考数学之立体几何高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道，解答题1道)，共计总分27分左右，考查的学问点在20个以内。
选择填空题考核立几中的计算型问题，而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题，当然，二者均应以正确的空间想象为前提。
随着新的课程改革的进一步实施，立体几何考题正朝着多一点思索，少一点计算的发展。
从历年的考题改变看，以简洁几何体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。
学问整合1.有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不行缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决平行与垂直的有关问题着手，通过较为基本问题，熟识公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，驾驭立体几何中解决问题的规律--充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维实力和空间想象实力。
2.判定两个平面平行的方法：(1)依据定义--证明两平面没有公共点;(2)判定定理--证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面;(3)证明两平面同垂直于一条直线。
3.两个平面平行的主要性质：⑴由定义知：两平行平面没有公共点。
⑵由定义推得：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
⑶两个平面平行的性质定理：假如两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。
⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。
以上性质⑵、⑷、⑸、⑹在课文中虽未干脆列为性质定理，但在解题过程中均可干脆作为性质定理引用。
2019高3数学(理人教版)二轮复习高考大题专攻练： 9 Word版含解析
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高考大题专攻练9.解析几何(A组)大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！1.如图，设点A，F1，F2分别为椭圆+=1的左顶点和左、右焦点，过点A作斜率为k的直线交椭圆于另一点B，连接BF2并延长交椭圆于点C.(1)求点B的坐标(用k表示).(2)若F1C⊥AB，求k的值.【解析】(1)设点B(x B，y B)，直线AB的方程为y=k(x+2)，联立+=1得，(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0，所以-2x B=，即x B=，所以y B=k(x B+2)=，即B.(2)易知F2(1，0)，=，=-，所以直线BF2，CF1的方程分别为y=(x-1)，y=-(x+1)，由解得C(8k2-1，-8k)，代入+=1，得192k4+208k2-9=0，即(24k2-1)(8k2+9)=0，得k2=，所以k=±.2.已知动圆P与圆E：(x+)2+y2=25，圆F：(x-)2+y2=1都内切，记圆心P的轨迹为曲线C.世纪金榜导学号92494445(1)求曲线C的方程.(2)直线l与曲线C交于点A，B，点M为线段AB的中点，若|OM|=1，求△AOB面积的最大值.【解题导引】(1)确定|PE|+|PF|=4>2，可得P的轨迹是以E，F为焦点的椭圆，且a=2，c=，b=1，即可求C的方程.(2)将直线方程代入椭圆方程，由根与系数的关系及中点坐标公式，即可求得M点坐标，由|OM|=1，可得n2=，由三角形面积公式，结合换元、配方法即可求得△AOB面积的最大值.【解析】(1)设动圆P的半径为r，由已知|PE|=5-r，|PF|=r-1，则有|PE|+|PF|=4>2，所以P的轨迹是以E，F为焦点的椭圆，且a=2，c=，b=1所以曲线C的方程为+y2=1.(2)设直线l：x=my+n，A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程，整理得：(4+m2)y2+2mny+n2-4=0①y1+y2=-，y1·y2=，x1+x2=，由中点坐标公式可知：M因为|OM|=1，所以n2=②，设直线l与x轴的交点为D(n，0)，则△AOB面积S2=n2(y1-y2)2=，设t=m2+16(t≥16)，则S2=48，当t=24时，即m=±2时，△AOB的面积取得最大值1.【加固训练】(2019·武汉二模)已知椭圆C：+y2=1的左焦点为F，不垂直于x轴且不过F点的直线l与椭圆C相交于A，B两点.(1)如果直线FA，FB的斜率之和为0，则动直线l是否一定经过一定点？若过一定点，则求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.(2)如果FA⊥FB，原点到直线l的距离为d，求d的取值范围.【解析】(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为：y=kx+b，联立整理得(2k2+1)x2+4kbx+2(b2-1)=0，x1+x2=，x1x2=，Δ=8(2k2+1-b2)>0 ①，k FA+k FB=+=.所以(kx2+b)(x1+1)+(kx1+b)(x2+1)=2kx1x2+(k+b)(x1+x2)+2b=2k×-(k+b)×+2b=0，所以b=2k，直线AB的方程为：y=kx+2k，则动直线l一定经过一定点(-2，0).(2)由(1)得·=(x1+1，y1)·(x2+1，y2)=(x1+1)(x2+1)+(kx1+b)(kx2+b)=(1+k2)x1x2+(kb+1)(x1+x2)+b2+1=(k2+1)×-(kb+1)×+b2+1=0.所以3b2-4kb-1=0，k=代入①得①恒成立.又d===<，所以d的取值范围.关闭Word文档返回原板块。
2019年江苏高考数学二轮复习教师用书：第1部分 知识专题突破 专题9 立体几何 Word版含答案
专题九 立体几何———————命题观察·高考定位———————(对应学生用书第39页)1. (2019·江苏高考)如图9－1，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．图9－132[设球O 的半径为R ， ∵球O 与圆柱O 1O 2的上、下底面及母线均相切， ∴圆柱O 1O 2的高为2R ，底面半径为R .∴V 1V 2＝πR 2·2R 43πR3＝32.] 2．(2019·江苏高考)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为______．7 [设新的底面半径为r ，由题意得13×π×52×4＋π×22×8＝13×π×r 2×4＋π×r 2×8， ∴r 2＝7，∴r ＝7.]3．(2019·江苏高考)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2.若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________．32 [设两个圆柱的底面半径和高分别为r 1，r 2和h 1，h 2，由S 1S 2＝94，得πr 21πr 22＝94，则r 1r 2＝32.由圆柱的侧面积相等，得2πr 1h 1＝2πr 2h 2，即r 1h 1＝r 2h 2，则h 1h 2＝23，所以V 1V 2＝πr 21h 1πr 2h 2＝32.]4. (2019·江苏高考)如图9－2，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点．设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________.图9－21∶24 [设三棱柱的底面ABC 的面积为S ，高为h ，则其体积为V 2＝Sh .因为D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以△ADE 的面积等于14S .又因为F 为AA 1的中点，所以三棱锥F －ADE 的高等于12h ，于是三棱锥F －ADE 的体积V 1＝13×14S ·12h ＝124Sh ＝124V 2，故V 1∶V 2＝1∶24.] 5．(2019·江苏高考) 如图9－3，在三棱锥A －BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD . 求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)AD ⊥AC .【导学号：56394060】图9－3[证明] (1)在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF ⊥AD ，所以EF ∥AB .又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC .(2)因为平面ABD ⊥平面BCD ， 平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，BC ⊂平面BCD ，BC ⊥BD ，所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥AD .又AB ⊥AD ，BC ∩AB ＝B ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥平面ABC . 又因为AC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥AC .6. (2019·江苏高考)如图9－4，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F 在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.图9－4[证明](1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.又因为DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.又因为B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.[命题规律]观近几年江苏的高考题，立体几何的客观题以柱、锥、球为载体考查体积、表面积为主，属容易题；解答题一般都处于解答题第16题的位置，也就是属于容易题范畴，考查的难度不大，且都是考查线线、线面或面面的平行与垂直关系的证明．从近几年江苏高考试题分析，解答题中考查一道立体几何题型是固定模式，一般与棱柱和棱锥相关，其重点放在对几何体中的一些线、面之间的平行与垂直关系的证明上，突出考查学生的空间想象能力和推理运算能力．———————主干整合·归纳拓展———————(对应学生用书第40页)[第1步▕核心知识再整合]1．空间几何体的两组常用公式(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式：①S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高)；②S 锥侧＝12ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)；③S 台侧＝12(c ＋c ′)h ′(c ′，c 分别为上下底面的周长，h ′为斜高)；④S 球表＝4πR 2(R 为球的半径)． (2)柱体、锥体和球的体积公式： ①V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； ②V 锥体＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；③V 球＝43πR 3.2．直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α. (2)线面平行的性质定理：a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b ⇒a ∥b .(3)面面平行的判定定理：a ⊂β，b ⊂β，a ∩b ＝P ，a ∥α，b ∥α⇒α∥β. (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b . 3．直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m ⊂α，n ⊂α，m ∩n ＝P ，l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α. (2)线面垂直的性质定理：a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b . (3)面面垂直的判定定理：a ⊂β，a ⊥α⇒α⊥β.(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β.[第2步▕ 高频考点细突破]【例1】图9－5在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则三棱锥A －B 1D 1D 的体积为________cm 3.[解析] VA －B 1D 1D ＝VB 1－AD 1D ＝13×S △AD 1D ×B 1A 1＝13×12×AD ×D 1D ×B 1A 1＝13×12×3×2×3＝3. [答案] 3[规律方法] (1)在求三棱锥体积的过程中，等体积转化法是常用的方法，转换底面的原则是使其高易求，常把底面放在已知几何体的某一面上．(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体变为规则几何体，易于求解．(3)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系．(4)求与球有关的“切”或者“接”球半径时，往往用到的方法有构造法或者直接确定球心． [举一反三](江苏省南京市2019届高考三模数学试题)如图9－6，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，BB 1＝3，∠ABC ＝90°，点D 为侧棱BB 1上的动点，当AD ＋DC 1最小时，三棱锥D －ABC 1的体积为________．图9－613[将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1展开成矩形ACC 1A 1，如图，连接AC 1，交BB 1于D ，此时AD ＋DC 1最小，∵AB ＝1，BC ＝2，BB 1＝3，∠ABC ＝90°，点D 为侧棱BB 1上的动点， ∴当AD ＋DC 1最小时，BD ＝1， 此时三棱锥D －ABC 1的体积：VD －ABC 1＝VC 1－ABD ＝13×S △ABD ×B 1C 1＝13×12×AB ×BD ×B 1C 1 ＝13×12×1×1×2＝13.]【例2】①若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；②若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；③若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；④若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．则其中所有真命题的序号是________．【导学号：56394061】[解析]两个平面平行，其中一个平面内的直线与另一平面一定没有公共点，因此线面平行，①正确；同样两个平面平行，一直线与其中一个平面垂直，则它必垂直这个平面内的任意直线，根据面面平行的性质定理，它也必垂直另一平面内的两条相交直线，故这条直线与另一平面也垂直，②正确；两平面垂直，垂直于其中一个平面的直线可能在另一平面内(面面垂直性质定理)，③错误；两平面垂直时，它们的交线与两平面都不垂直，④错误．[答案]①②[规律方法]解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全移植到立体几何中．[举一反三]设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不正确的是________．(填序号)①当c⊥α时，若c⊥β，则α//β；②当b⊂α，a⊄α且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥b；③当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥β；④当b⊂α且c⊄α时，若c//α，则b//c.③[①命题的逆命题为“当c⊥α时，若α∥β，则c⊥β”，正确；②命题的逆命题为“当b⊂α，a⊄α且c是a在α内的射影时，若a⊥b，则b⊥c”，正确；③命题的逆命题为“当b⊂α时，若α⊥β，则b⊥β”，错误；④命题的逆命题为“当b⊂α且c⊄α时，若b∥c，则c∥α”，正确．]【例3】(111CA＝CB，AA1＝2AB，D是AB的中点．(1)求证：BC1∥平面A1CD；(2)若点P 在线段BB 1上，且BP ＝14BB 1，求证：AP ⊥平面A 1CD .图9－7[证明] (1)连接AC 1，设与CA 1交于O 点，连接OD (图略)． ∴直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，O 为AC 1的中点，∵D 是AB 的中点， ∴在△ABC 1中，OD ∥BC 1， 又∵OD ⊂平面A 1CD ， ∴BC 1∥平面A 1CD .(2)由题意，设AB ＝x ，则BP ＝24x ，AD ＝12x ，A 1A ＝2x ， 由于BP AD ＝AB AA 1＝22，∴△ABP ∽△ADA 1，可得∠BAP ＝∠AA 1D ， ∵∠DA 1A ＋∠ADA 1＝90°，可得：AP ⊥A 1D ，又∵CD ⊥AB ，平面ABC ⊥平面ABB 1A 1，CD ⊂平面ABC ，平面ABC ∩平面ABB 1A 1＝AB ，可得CD ⊥平面ABB 1A 1，∴CD ⊥AP ，又∵A 1D ∩CD ＝D ， ∴AP ⊥平面A 1CD .[规律方法] (1)要证线面平行，先在平面内找一条直线与已知直线平行，或找一个经过已知直线与已知平面相交的平面，找出交线，证明两线平行． (2)要证线线平行，可考虑公理4或转化为线面平行．(3)要证线面垂直可转化为证明线线垂直，应用线面垂直的判定定理与性质定理进行转化． [举一反三] 如图9－8所示，在四面体PABC 中，PC ⊥AB ，PA ⊥BC ，点D ，E ，F ，G 分别是棱AP ，AC ，BC ，PB 的中点．(1)求证：DE ∥平面BCP ； (2)求证：四边形DEFG 为矩形；(3)是否存在点Q ，到四面体PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由．图9－8[解] (1)证明：因为D ，E 分别是AP ，AC 的中点，所以DE ∥PC . 又DE ⊄平面BCP ，所以DE ∥平面BCP .(2)证明：因为D ，E ，F ，G 分别为AP ，AC ，BC ，PB 的中点，所以DE ∥PC ∥FG ，DG ∥AB ∥EF . 所以四边形DEFG 为平行四边形． 又PC ⊥AB ，所以DE ⊥DG . 所以四边形DEFG 为矩形．(3)存在点Q 满足条件．理由如下：连接DF ，EG ，如图所示，设Q 为EG 的中点， 由(2)知，DF ∩EG ＝Q ，且QD ＝QE ＝QF ＝QG ＝12EG .分别取PC ，AB 的中点M ，N ，连接ME ，EN ，NG ，MG ，MN .与(2)同理，可证四边形MENG 为矩形，其对角线交点为EG 的中点Q ，且QM ＝QN ＝12EG ，所以Q 为满足条件的点.【例4】 CDE 所在的平面交于CD ，AE ⊥平面CDE ，且AB ＝2AE .(1)求证：AB ∥平面CDE ； (2)求证：平面ABCD ⊥平面ADE .图9－9[证明] (1)正方形ABCD中，AB//CD，又AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AB//平面CDE.(2)∵AE⊥平面CDE，且CD⊂平面CDE，∴AE⊥CD，又正方形ABCD中，CD⊥AD，且AE∩AD＝A，AE⊂平面ADE，AD⊂平面ADE，∴CD⊥平面ADE，又CD⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ADE.[规律方法]线面、线线垂直与平行的位置关系在面面平行与垂直位置关系的证明中起着承上启下的桥梁作用，依据线面、面面位置关系的判定定理与性质定理进行转化是解决这类问题的关键．证明面面平行主要依据判定定理，证明面面垂直时，关键是从现有直线中找一条直线与其中一个平面垂直，若图中不存在这样的直线应借助添加中线、高线等方法解决．[举一反三](江苏省南京市2019届高考三模数学试题)如图9－10，在三棱锥A－BCD中，E、F分别为BC，CD上的点，且BD∥平面AEF.(1)求证：EF∥平面ABD；(2)若AE⊥平面BCD，BD⊥CD，求证：平面AEF⊥平面ACD.【导学号：56394062】图9－10[证明] (1)∵BD∥平面AEF，BD⊂平面BCD，平面BCD∩平面AEF＝EF，∴BD ∥EF ，又BD ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ， ∴EF ∥平面ABD .(2)∵AE ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， ∴AE ⊥CD ，由(1)可知BD ∥EF ，又BD ⊥CD ， ∴EF ⊥CD ，又AE ∩EF ＝E ，AE ⊂平面AEF ，EF ⊂平面AEF ， ∴CD ⊥平面AEF ，又CD ⊂平面ACD ， ∴平面AEF ⊥平面ACD .[第3步▕ 高考易错明辨析]1．概念不清，做题时想当然导致出错．这是一些中差生最常犯的错如图9－11，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4 cm ，AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则四棱锥A －BB 1D 1D 的体积为________cm 3.图9－11[错解] 设AC ，BD 的交点为O (图略)，则四棱锥A －BB 1D 1D 的体积V ＝13×SBB 1D 1D ×AO ，根据题意AC ＝5 cm ，所以AO ＝52，四棱锥A －BB 1D 1D 的体积V ＝13×5×2×52＝253 cm 3.[错解分析] 由于AO 不垂直于面BB 1D 1D ，四棱锥A －BB 1D 1D 的体积不是13×SBB 1D 1D ×AO .[正解] 作AO ⊥BD ，垂足为O (图略)，因为平面ABCD ⊥平面BB 1D 1D .所以，AO ⊥平面BB 1D 1D ，所以四棱锥A －BB 1D 1D 的高为AO ，根据题意BD ＝5 cm ，所以AO ＝125，四棱锥A －BB 1D 1D 的体积V ＝13×5×2×125＝8 cm 3.2. 考纲要求学生要有一定的空间想象力，能根据图形想象出直观形象．学生往往由于空间感太差，考虑问题不全面，忽视一些细节之处，把图形想错已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是________．(填序号) ①m ⊥α，m ⊥n ⇒n ∥α； ②α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥n ； ③m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥α；④m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β.[错解]对①，想象为如下图形，所以正确，填①.[错解分析]空间想象能力差，考虑问题不全面而导致出错．[正解]对①，直线有可能在平面内，故错；对②，只能说明直线m、n无公共点，它们还有可能为异面直线，故错；对③，图形如下，所以正确，填③. 对④，平面α、β有可能相交，故错．3．推理不严密，逻辑思维混乱导致出错如图9－12，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．如图，求证：平面PAC ⊥平面PBC.图9－12[错解]因为PA垂直圆所在的平面，所以PA⊥AC.又因为AB是圆的直径，C是圆上的点，所以BC⊥AC.所以平面PAC⊥平面PBC.[错解分析]证明任何一种位置关系，应紧扣相应的判定定理，要证两个平面垂直，必须证明其中一个平面经过另外一个平面的一条垂线．以上证明找到了PA⊥AC，BC⊥AC，但这并不能说明平面PAC⊥平面PBC.[正解]由AB是圆的直径可得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.又因为BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC.———————专家预测·巩固提升———————(对应学生用书第43页)1．边长为2 2 的正△ABC内接于体积为43π的球，则球面上的点到△ABC的最大距离为________．433[设M 是△ABC 的外心，半径为r ，设球心为O ，球体半径为R ， 则V ＝43πR 3＝43π，即R ＝3，在Rt △OMC 中，2r ＝22sin 60°，则r ＝223，d ＝R 2－r 2＝3－83＝33，d max ＝d ＋R ＝33＋3＝433.]2．等边三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为2，此时四面体ABCD 外接球体积为________.【导学号：56394063】图9－1355π6 [根据题意可知三棱锥B －ACD 的三条侧棱BD ⊥AD ，DC ⊥DA ，底面是直角三角形，它的外接球就是它扩展为正三棱柱的外接球，球心在上下底面斜边的中点连线的中点处，求出上下底面斜边的中点连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，R ＝OB ＝OC 2＋BC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝52，∴V ＝43πR 3＝556π.] 3．在边长为6 cm 的正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，M 、N 分别为AB 、CF 的中点，现沿AE 、AF 、EF 折叠，使B 、C 、D 三点重合于B ，构成一个三棱锥(如图9－14所示)． (1)在三棱锥上标注出M 、N 点，并判别MN 与平面AEF 的位置关系，并给出证明；(2)G 是线段AB 上一点，且AG →＝λ·AB →， 问是否存在 点G 使得AB ⊥平面EGF ，若存在，求出λ的值； 若不存在，请说明理由； (3)求多面体E －AFNM 的体积．图9－14[解] (1)因翻折后B 、C 、D 重合，所以MN 应是△ABF 的一条中位线，如图所示． 则MN //平面AEF.证明如下：⎭⎪⎬⎪⎫MN //AFMN ⊄平面AEF AF ⊂平面AEF ⇒MN //平面AEF . (2)存在G 点使得AB ⊥平面EGF ，此时λ＝1.因为⎭⎪⎬⎪⎫AB ⊥BEAB ⊥BF BE ∩BF ＝B ⇒AB ⊥平面EBF . 又G 是线段AB 上一点，且AG →＝λ·AB →，∴ 当点G 与点B 重合时AB ⊥平面EGF ，此时λ＝1. (3)因为AB ⊥平面BEF ， 且AB ＝6，BE ＝BF ＝3， ∴V A －BEF ＝13·AB ·S △BEF ＝9，又V E －AFNM V E －ABF ＝S AFNM S △ABF ＝34， V E －AFNM ＝274.。
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9 立体几何与空间向量1．[2018·唐山一模]在长方体1111ABCD A B C D-中，12AB BC AA==，则异面直线1A B与1B C所成角的余弦值为（）A．10B．15C．5D．152．[2018·珠海模底]圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则圆锥的表面积为（）A．()3+π１B．4πC．3πD．5π3．[2018·大同中学]平面α外有两条直线m和n，如果m和n在平面α内的射影分别是1m和1n，给出下列四个命题：①11m n m n⊥⇒⊥；②11m n m n⊥⇒⊥；③1m与1n相交m⇒与n相交或重合；④1m与1n平行m⇒与n平行或重合；其中不正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44．[2018·长春质检]在正方体1111ABCD A B C D-中，直线11A C与平面11ABC D所成角的正弦值为（）A．1 B．3C．2D．125．[2018·珠海模底]如图所示，已知四棱锥P ABCD-的高为3，底面ABCD为正方形，PA=PB PC PD==且6AB=，则四棱锥P ABCD-外接球的半径为（）A．32B．2 C3D．36．[2018·玉溪一中]《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC-为鳖臑，PA⊥平面ABC，2PA AB==，22AC=三棱锥P ABC-的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．12πB．16πC．20πD．24π7．[2018·湖师附中]在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D-中，M是BC的中点，点P是正方形11DCC D面内(包括边界)的动点，且满足APD MPC∠=∠，则三棱锥P BCD-的体积最大值是（）A．36 B．24 C．183D．123一、选择题8．[2018·航天中学]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛9．[2018·南昌二模]将半径为3，圆心角为23π的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为（ ） A ．2πB ．3π C ．43π D ．2π10．[2018·东北育才]如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（ ）A ．1CC 与1B E 是异面直线B ．AC ⊥平面C ．AE ，11B C 为异面直线且11AE B C ⊥D ．11A C ∥平面1AB E11．[2018·太原模拟]如图是正四面体的平面展开图，G ，H ，M ，N 分别是DE ，BE ，EF ，EC 的中点，在这个正四面体中：①DE 与MN 平行；②BD 与MN 为异面直线；③GH 与MN 成60︒角；④DE 与MN 垂直．以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．[2018·三明一中]如图1，直线EF 将矩形纸ABCD 分为两个直角梯形ABFE 和CDEF ，将梯形CDEF 沿边EF 翻折，如图2，在翻折的过程中（平面ABFE 和CDEF 不重合），下面说法正确的是（ ）A ．存在某一位置，使得CD ∥平面ABFEB ．存在某一位置，使得DE ⊥平面ABFEC ．在翻折的过程中，BF ∥平面ADE 恒成立D ．在翻折的过程中，BF ⊥平面CDEF 恒成立13．[2018·东台中学]已知平面α，β，直线m ，n ，给出下列命题：①若m α∥，n β∥，m n ⊥，则αβ⊥；②若αβ∥，m α∥，n β∥，则m n ∥； ③若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥；④若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥． 其中是真命题的是____．（填写所有真命题的序号）．14．[2018·盐城中学]a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成30︒角； ②当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成60︒角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45︒； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60︒．其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)15．[2018·北京一模]如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 为边AB 的中点．将ADE △沿DE 翻折，得到四棱锥1A DEBC -．设线段1A C 的中点为M ，在翻折过程中，有下列三个命题： ① 总有BM ∥平面1A DE ； ② 三棱锥1C A DE -42； ③ 存在某个位置，使DE 与1A C 所成的角为90︒． 其中正确的命题是____．（写出所有．．正确命题的序号） 二、填空题16．[2018·唐山一中]如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O，△分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚D，E，F为圆O上的点，DBC△，ECA△，FAB线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC△，使得D，E，F重合，得到三棱△，FAB△，ECA锥．当ABCcm）的最大值为______．△的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：31．【答案】B【解析】在长方体1111ABCD A B C D-中，连接1A D，可得11A DB C∥，∴异面直线1A B与1B C所成的角，即为直线1A B与直线1A D所成的角，即1DA B∠为异面直线1A B与1B C所成的角，在长方体1111ABCD A B C D-中，设122AB BC AA===，则115A B A D==，22BD=，在1A BD△中，由余弦定理得222111111cos25255A B A D BDDA BA B A D+-∠===⋅⨯⨯，故选B．2．【答案】C【解析】∵圆锥的轴截面是边长为2的正三角形ABC△，∴圆锥的底面半径1r=，母线长2l=；表面积212232S r r l=π+⨯π⨯=π+π=π．故选C．3．【答案】D【解析】结合题意逐一分析所给的四个说法，在如图所示的正方体1111ABCD A B C D-中：对于说法①：若取平面α为ABCD，1m，1n分别为AC，BD，m，n分别为1A C，1BD，满足11m n⊥，但是不满足m n⊥，该说法错误；对于说法②：若取平面α为11ADD A，1m，1n分别为11A D，1AD，m，n分别为11A C，1BD，答案与解析一、选择题满足m n ⊥，但是不满足11m n ⊥，该说法错误；对于说法③：若取平面α为ABCD ，1m ，1n 分别为AC ，BD ，m ，n 分别为1AC ，1BD ， 满足1m 与1n 相交，但是m 与n 异面，该说法错误；对于说法④：若取平面α为11ADD A ，1m ，1n 分别为11A D ，AD ，m ，n 分别为11A C ，BC ， 满足1m 与1n 平行，但是m 与n 异面，该说法错误；综上可得：不正确的命题个数是4．故选D ． 4．【答案】D 【解析】如图所示：连接1A D ，1AD 交于点O ，连接1OC ，在正方体中，∵AB ⊥平面1AD ，∴1AB A D ⊥， 又11A D AD ⊥，且1AD AB A =I ，∴1A D ⊥平面11AD C B ，∴11A C O ∠即为所求角， 在11Rt A C O △中，111sin 2A C O ∠=，∴11A C 与平面11ABC D 所成角的正弦值为12，故选D ． 5．【答案】B【解析】由已知，四棱锥P ABCD -为正四棱锥，设外接球半径为R ，连接AC 、BD 交于点'O ，连接'PO ，外接球的球心O 在高'PO 上，连接OA ，则OA OP R ==，∵四棱锥P ABCD -的高为3，6AB ='3PO =，∴6'32O A ==，'3OO R =-，又∵'OO A △为直角三角形∴222''OA O A OO =+，即(()22233R R =+-，解得2R =．故选B ．6．【答案】A【解析】由题意，PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，22AC =∵平面ABC ，和平面PBC 都是是直角三角形，则角ABC 为直角， 此时满足BC 垂直于PA ，BC 垂直于AB 进而得到BC 垂直于PB ， 此时满足面PBC 为直角三角形，底面外接圆的圆心是斜边AC 的中点，球心在过底面圆心并且和PA 平行的直线上，并且球心到圆心的距离为1，直角三角形外接圆的半径为2r =． ∴221R r =+，即3R =．∴球O 的表面积2412S R =π=π．故选A ． 7．【答案】D【解析】易知APD MPC :△△，则2PD ADPC MC==，欲使三棱锥P BCD -的体积最大，只需高最大， 通过坐标法得到动点运动轨迹(一段圆弧)，进而判断高的最大值23 ∴()max 116623332P BCD V -⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭．故选D ．8．【答案】B【解析】由题意得米堆的体积为2118320320254339⎛⎫⨯π⨯⨯=≈ ⎪ππ⎝⎭立方尺，∵1斛米的体积约为1.62立方尺，∴堆放的米有3209221.62≈斛，故选B ．9．【答案】A【解析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则2233r ππ=⨯，∴1r =，23122h =-， 设内切球的半径为R 1322R =-，∴2R =3344223323V R ⎛=π=π= ⎝⎭，故选A ． 10．【答案】C【解析】对于A 项，1CC 与1B E 在同一个侧面中，故不是异面直线，∴A 错；对于B 项，由题意知，上底面是一个正三角形，故AC ⊥平面11ABB A 不可能，∴B 错；对于C 项，∵AE ，11B C 为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，∴C 正确； 对于D 项，∵11A C 所在的平面与平面1AB E 相交，且11A C 与交线有公共点， 故11A C ∥平面1AB E 不正确，∴D 项不正确；故选C ． 11．【答案】C【解析】将正四面体的平面展开图复原为正四面体()A B C DEF -、，如图：对于①，M 、N 分别为EF 、AE 的中点，则MN AF ∥，而DE 与AF 异面， 故DE 与MN 不平行，故①错误；对于②，BD 与MN 为异面直线，正确（假设BD 与MN 共面，则A 、D 、E 、F 四点共面，与ADEF 为正四面体矛盾，故假设不成立，故BD 与MN 异面）；对于③，依题意，GH AD ∥，MN AF ∥，60DAF ∠=︒，故GH 与MN 成60︒角，故③正确； 对于④，连接GF ，A 点在平面DEF 的射影1A 在GF 上，∴DE ⊥平面AGF ，DE AF ⊥， 而AF MN ∥，∴DE 与MN 垂直，故④正确．综上所述，正确命题的序号是②③④，故答案为②③④．故选C ． 12．【答案】C【解析】CD 与FE 不平行，且在同一平面内，∴CD 与FE 相交，∴CD 与平面ABFE 相交，A 错误．DE 在任何位置都不垂直于FE ，如果“存在某一位置，使得DE ⊥平面ABFE ”，则存在某一位置，使得DE FE ⊥矛盾，故B 错误．BF 在任何位置都不垂直于FE ，如果“在翻折的过程中，BF ⊥平面CDEF 恒成立”，那么BF FE ⊥恒成立，矛盾故D 错误．综上，故选C ．13．【答案】③④．【解析】对于①，若m α∥，n β∥，m n ⊥，则αβ∥或α，β相交，∴该命题是假命题； 对于②，若αβ∥，m α∥，n β∥，则m ，n 可能平行、相交、异面，∴该命题是假命题； 对于③④可以证明是真命题．故答案为③④． 14．【答案】②③【解析】过点B 作1a a ∥，1b b ∥，当直线AB 与a 成60︒角时，由题意，可知AB 在由1a ，1b 确定的平面上的射影为BC ，且BC 与1a 成45︒角，又a b ⊥，故AB 与b 所成角也是60︒．①错，②正确；二、填空题当直线a BC ∥时，AB 与a 所成角最小，故最小角为45︒．③正确，④错误．综上，正确的是②③，错误的是①④．(注：一条斜线与平面所成角的余弦值和其在平面内的射影与平面内一条直线所成角的余弦值的乘积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦值) 15．【答案】①②【解析】取DC 的中点为F ，连结FM ，FB ，可得1MF A D ∥，FB DE ∥，可得平面M BF ∥平面1A DE ， ∴BM ∥平面1A DE ，∴①正确；当平面1A DE 与底面ABCD 垂直时，三棱锥1C A DE -体积取得最大值， 最大值为11114 2222232323AD AE EC ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，∴②正确．存在某个位置，使DE 与1A C 所成的角为90︒．∵DE EC ⊥，∴DE ⊥平面1A EC ， 可得1DE A E ⊥，即AE DE ⊥，矛盾，∴③不正确；故答案为①②．16．【答案】415【解析】由题意，连接OD ，交BC 于点G ，由题意可得OD BC ⊥，3OG =，即OG 的长度与BC 的长度成正比 设OG x =，则23BC x =，5DG x =-，三棱锥的高222225102510h DG OG x x x x =--+--()221323332ABC S xx ==△，则245132510325103ABC V S h x x x x =⋅=--△令()452510f x x x =-，502x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,，()3410050f x x x -'=，令()0f x '≥，即4320x x -≤，解得2x ≤，则()()280f x f ≤=， ∴380415V <=415。