DVD在线租赁预测模型[1]

收稿日期 : 2005 - 10 - 12 作者简介 : 周康 ( 1965 —) ,男 ,湖北省武汉市人 ,武汉工业学院副教授 ,博士生 ,主要研究方向为 DNA 计算及其编码 、 现代 优化算法 、 运筹学 、 系统稳定性 。
' 1995-2006 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
6
其中 h =
a - 3 3 ≤ a ≤ 5
yij ≥ m i + 3 ni 且
j =1
6
yij ≤ 3m i + h ×ni
j =1
3
a ≥6
a
由此可得租赁情况与会员在 a 种 DVD 租赁种类的约束不等式 :
m i + 3m i ≤
6
yij ≤ 3m i + h ×ni i = 1, 2, …, 100 000
由于目标函数没有变化 ,因此 ,可得到模型二 、 三个月采购预测模型 ηj ≤ 3 xj ≤ηj 0. 95
100 000
6
a
yijk = xik
i =1
xik ≤ xj
M in Z =
6
a
j =1
xj s . t . m ik + 3 nik ≤ m ik ≥ nik
6
yijk ≤ 3 nik + 2 nik
i =1
6
i =1
③租赁比例的约束条件 历史数据显示租赁两次的会员人数约占 60% , 在 DVD 的分配过程中也应该大致遵循这种比例 。
100 000 100 000 100 000
因此有 ( 0. 6 - ε)
ห้องสมุดไป่ตู้
6
mi ≤
i =1
6
ni ≤ ( 0. 6 +ε)
i =1
6
ni
i =1
其中 m i , ni 的含义同上述 ( 2 ) ,ε为误差限 。 在计算过程中 ε的取值由大到小 ,直到找不到可行解时
a
5
m ik + 3m ik ≤
6
yijk ≤ 3m ik + h ×nik i = 1, 2, …, 100 000; k = 1, 2, 3
j =1
m ik ≥ nik i = 1, 2, …, 100 000; k = 1, 2, 3
其他约束条件可以类似模型一得到 。
3. 1. 4 三个月采购预测模型的建立
j =1
100 000
100 000
100 000
( 0. 6 - ε)
6
m ik ≤
i =1
6
nik ≤ ( 0. 6 +ε)
i =1
6
m ik
i =1
xik , xi , yijk , m ik , nik 为正整数 , 且 yijk , m ik , nik ≤ 1
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6
ηj = 10 ×pj j = 1, 2, …, a yij ≤ xj j = 1, 2, …, a
5
i =1
根据假设可知 ,会员在此 a 种 DVD 中有 3 种租赁情况 ,即不租 、 只租一次和租两次 。若令
mi =
1 租赁过 0 没有租赁过
, ni =
a
1 租赁两次 0 没有租赁两次
第 4 期 周康 , 同小军 DVD 在线租赁预测模型
5 其中 j = 1, 2, …, a; i = 1, 2, …, 100 000; k = 1, 2, 3; ηj = 10 ×pj
3. 1. 2 一个月采购预测模型的建立
由此可得到 : 模型一 、 一个月采购预测模型 : ηj ≤ xj ≤ηj 0. 5
100 000
6
a
yij = xj
a
i =1
M in Z =
6
xj s . t .
m i + 3m i ≤ m i ≥ ni
6
yij ≤ 3m i + 2m i
2 问题的分析
首先要对调查结果进行数据处理 ,将其转化为会员选择新的 DVD (设有 a 种 ) 的概率 (设为 pi ( i =
1, 2, …, a ) ) ; 并将这些新的 DVD 假设放入 DVD 租赁公司原有的 DVD 库存中 ; 再对这个新的 DVD 库
存进行分配 。因此 ,此问题转化为在一个虚拟的 DVD 库存中分配 DVD 的问题 ,这是一个规划问题 。为 确定需要购买的新的 DVD 的数量 ,需要以新的 DVD 的采购总量最小为目标 ,然后通过建立一个整数规 划模型来解决此采购预测问题 。 因为这些新的 DVD 只是虚拟的 DVD 库存中的一部分 ,会员在一个月内最多可以租赁两次 ,每次 3 张 。会员得到的 DVD 中可能包括这 5 种里面的任意几张 (不超过 3 张 ) ,而我们只能通过会员得到这 5 种 DVD 的数目 ,来推测该会员租赁的次数 ,这样我们作如下假设是合理的 。 假设 : 对于这 a 种 DVD ,如果会员得到了其中的 1 到 3 张 ,认为该会员租赁一次 ; 如果会员得到了 4 张及 4 张以上 ,认为该会员租赁了两次 ; 其他的情况为租赁零次 。 根据题意 ,我们可以给出如下定义 定义 : 若 DVD 租赁的周转时间为一个月时 ,所提问题称为单周期 ; 若 DVD 在一个月内周转的次数 r
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陕 西 理 工 学 院 学 报 第 21 卷
为止 ,这是整数规划模型的要求 。此约束表示在 DVD 种类比较少的时候 ,会员对 DVD 的租赁次数也大 致满足这个关系 。 ④整数约束条件 显然需要 xj , yij , m i , ni 为正整数 , 且 yij , m i , ni ≤1。
5
( 1 ) 根据要求目标函数为 M in Z =
6
xj
j =1
( 2 ) 约束条件 : ①有界约束 由于要保证希望看到第 j种 DVD 的会员能够在一个周期内看到该 DVD 不低于 50% ,从而若以 ηi 表示愿意观看第 i种 DVD 的总人数 ,那么
100 000
ηj ≤ xj ≤ηj j = 1, 2, …, a 0. 5 ② DVD 的租赁次数约束
3. 1 模型的建立 3. 1. 1 采购预测模型的目标函数和约束条件分析
先考虑一个月的情形 。用 xj 表示第 j种新的 DVD 采购量 ( j = 1, 2, …, a ) ,根据实际情况有 a ≥ 3;
yij 表示第 i个人观看第 j种 DVD 的次数 ( i = 1, 2, …, 100 000 ) ;ηi 表示愿意观看第 i种 DVD 的总人数 ;
第 4 期 周康 , 同小军 DVD 在线租赁预测模型
大于 1 则称为多周期 。 依据历史数据 ,认为在此假设下 ,我们的分配必需考虑到租赁一次和租赁两次的会员所占的比例分 别为 40%和 60% 。
3 单周期问题模型的建立与求解
2005 年 12 月 陕 西 理 工 学 院 学 报 第 21 卷第 4 期 Journal of Shaanxi University of Technology
Dec. 2005 Vol . 21 No. 4
[文章编号 ]1673 - 2944 ( 2005 ) 04 - 0078 - 05
DVD 在线租赁预测模型
周 康, 同小军
(武汉工业学院 数理科学系 , 湖北 武汉 430023)
[摘 要 ] 对自由竞争环境下的 DVD 租赁服务依据市场调查 (或订单 ) 进行 DVD 购买量预
测问题进行了模型研究 。首先对单周期情形以 DVD 购买总量最小为目标 , 在合理的假设下 , 考虑到 DVD 租赁比例的要求 ,巧妙性地利用两个 0 - 1 变量来表示会员在一个月的 DVD 租赁 次数 ,将非线性约束转化为线性约束 ,并将模型推广到三个月内 。并对这些模型利用 lingo 软 件求得 5 种 DVD 购买量最优解 。最后将模型推广到多周期问题的预测数学模型 。
100 000
ηj ≤ 3 xj ≤ηj j = 1, 2, …, a 6 yijk = xjk j = 1, 2, …, a; k = 1, 2, 3 0. 95
i =1
ηj = 10 ×pj j = 1, 2, …, a xjk ≤ xj j = 1, 2, …, a; k = 1, 2, 3 ( 2 ) DVD 的租赁次数约束 根据假设 ,必须分别考虑每个月的租赁情况 ,因此有
由此 ,显然 m i ≥ ni (租赁两次必定要先租赁一次 ) ,
6
yij 表示第 i个会员租赁新的 DVD 的张数 ,为
a
j =1
了表示租赁一次 (DVD 张数为 1、 2、 3 ) ,那么需要满足
a a
6
yij ≥ m i
j =1
为了表示租赁两次且不超过两次 (DVD 张数为 4、 5、 6 ) ,那么需要满足
( 1) ( 2)
j =1
m i ≥ ni i = 1, 2, …, 100 000
a
注 :当
6
yij = 0, 由不等式 ( 1 ) 的左侧不等式必有 m i = 0, ni = 0, 即不租赁 。
a
i =1
当 1≤ 当 4≤
6
a
yij ≤ 3, 由不等式 ( 1 ) 的左右两侧不等式和不等式 ( 2 ) 必有 m i = 1, ni = 0, 即租赁一次 。 yij ≤ 3 + h, 由不等式 ( 1 ) 右侧不等式必有 m i = 1, ni = 1, 即租赁两次 。