DVD在线租赁问题

+(60% 40% 3+60% 40% 3) 4+40% 3
2 2 2 3
4.44890
由于能看到该D V D 人数的比例: R = 95 % 将数 值代入模型
xj
Pj E
R
求解并且把解向右取整
问题1:网站购买DVD的数量(x)
假设：每种DVD独立考虑（联合考虑没有足够信息） • 希望看到该DVD的会员数量：确定？随机！！！ 会员希望看该DVD的概率为p 二项分布N(n, p)
信息：
1.数据是随机抽取1000会员的调查数据
2.每个会员每月至多租2次 3.每次租赁可租3张（寄回可再租）； 4.40％会员每月租1次，记作A类会员 5.60％会员每月租2次，记作B类会员 问题： 至少要准备多少张DVD（上述5种），才能保证： ①希望看到该DVD的会员中至少50％能看到想看的 DVD？（一个月内） ②希望看到该DVD的会员中至少95％能看到DVD？ （三个月内）
假设: 1、事先无法预测会员在本月订D v D 的次数
2、会员每次得到3 张D V D 3、假设60 % 的每月租赁D V D 两次的会员租赁的
D V D 一个月内可外借两次,而40% 的每月租赁D V
D 一次的会员租赁的D V D 在一个月内只能外借一
次
第j 种DVD 应准备数量（xj）×每张光盘利用次数的期望（E）
=愿观看人数（Pj）×能看到该DVD 人数的比例（R）
即
xj
Pj E
R
一个月的情况
假设: 光盘第一次被每月租两次的会员租的D V D 光盘一 个月能利用两次, 即可被两个会员租到, 被只租一次 的会员租的D V D 光盘一个月只能利用一次 每个光盘在一个月内能利用次数的期望 E=2x60% + 1x 40% = 1.6
Step 3 :……… 依此类推分配下去, 在Step 3 以后分配时,己经拥有3 张光盘的会员不参加分配 Step 11 : 如果还有剩下的光盘, 随机分配给尚未分 满的会员, 分配结束 这种贪婪算法计算量较小, 速度很快。由于上述步 骤尽量保证了偏爱程度较高的匹配, 可以保证结果 的近似最优
问题二 网站分发DVD的数学模型 模型二：网络优化模型 – 最小费用最大流 • 上海交大 1
• １－α＝0.95; • n=100000; P%=50%
DVD名称 DVD1 p 0.2 x 6290
P% x np npq * u1a 1.6
DVD4 DVD5 合计 12150


DVD2 DVD3
0.1 3155
0.05 1585
0.025 797
0.01 323
• 推广到３个月的模型
1、设矩阵B为偏爱度矩阵，矩阵中的元素bij为表1.2中 的偏爱数，表示第i个会员对DVDj的偏爱数。bij越小 表示会员的满意程度越高，bij为1时最高，bij为0时表 示客户没有下订单。于是就得到了偏爱度矩阵
B10020 bij
i 1,2,3,,100; j 1,2,3,,20
根据题目中订单，若第i个会员预订了第j种DVD， 则添加有向边(Ci ，Dj)，该边的容量为1，单位流量 费用为该会员对该种DVD 的偏爱值
考虑到现实中，DVD 的个数为整数，我们规定图1 中G所有边的流量为整数。因此，图1中G是一个整 数流量的最小费用最大流模型。 建立的图论模型，其最小费用最大流恰好表示了满 足上述最大满意度定义的分配方案，而最小费用恰 恰代表着最大满意度 王成, 文野, 俞寅涛, DVD租赁问题的模型设计及求 解,工程数学学报, 2005, 7(22): 92-100
多目标规划模型
问题三有两个目标：最少的购买量和最大的满 意度， 建立双目标规划模型 并将其通过加权组合转化为单目标的混合整数规 划模型 总的满意度
问题三 购买和分发同时考虑
•在一定的假设下，把问题近似分解成前面考虑过的购买和分发两个子 问题。例如，有的论文先根据会员订单统计DVD的需求情况，确定 DVD购买量，然后用前一问中建立的模型进行第一次分发，再对网站 是否知道哪些会员租赁两次作出一定假设，进行第二次分发。 •有的论文对前一问中建立的模型进行一定修改，建立购买和分发统一 的多目标数学规划模型，且同时考虑两次分发和服务水平约束，不过 往往在二次分配和服务水平约束方面考虑有些缺陷。 •考虑到一个月内可能一个会员要发货两次，这又是一个多阶段的决策 问题，建立随机决策模型并寻找最优决策是可能的（例如采用马氏决 策方法），但由于后一阶段决策时需要考虑前一阶段哪些会员归还了 哪些DVD，因此这样建立模型的难度较大，评委们在评阅中几乎没有 见到非常成功的论文。 •采用数值模拟（仿真）建模和求解，或检验其他模型。
2、设矩阵A为满意度矩阵，矩阵中的元素aij为满意 度，表示第i个会员对第DVDj 的满意度。 可通过如 下算法获得：
a ij 10 bij a ij 0 bij 0 bij 0
i 1,2,3,,100; j 1,2,3,,20
3、用0-1变量xij表示DVDj是否分配给第i个会员
能看到该D V D 人数的比例: R = 50 % 调查的人数只占全部会员的1%, 所以数据按100 倍扩大将数值入xj Pj E
R
三个月的情况
每个光盘在三个月内能利用的次数的期望
E3 60% 6 (60% 40% 5+60% 40% 4) 5
5 3 2 4
网站的会员总数为n
n比较大，可用正态分布N(np, npq) 近似（q=1-p） • 保证一个月至少P%有需求的会员能得到满足? 一定置信水平下成立！
可近似认为1个月该DVD 实际可用张数是1.6x张
问题1:网站购买DVD的数量(x)
• 置信水平１－α ξ～N(np, npq)
PrP% * 1.6 x 1 a
问题二 网站分发DVD的数学模型 0-1规划（最常见） 在现有一定数量DVD的前提下，如何分配以使会员总的 满意度最大。这与“分配问题”或“指派问题 （Assignment problem）”有很多相同点。 我们可以通过一些变化来使求解“分配问题”的模型 能运用于该问题。 我们把问题二中“100个会员对DVD的需求” 理解 为“需要完成的100项任务”，“20种DVD数量”理解 为“有20个人可以承担这些任务”，“会员对于不同 DVD的偏爱度”理解为“不同人去完成不同工作的效 率”，通过类比就能把分配问题的模型运用到问题二 中了。
1, aij '
1
aij’=aij (aij >0) aij’=M (aij =0)
s
2 3,0 … n 会员
2
cj,0
t
(或没有弧)
…
m DVD
•存在多项式时间算法 •两个模型等价吗?
构造加权有向图G { V,E }: 点集 V={source，C1,C2⋯ ,C1000,D1,D2,⋯,D100,terminal}， 其中， Ci (1≤i≤1000)代表第i个会员，Dj(1≤j≤100)代 表第j张DVD盘，source为网络流的源点，terminal 为网络流的汇点。 在source与所有的 Ci之间添加有向边(source，Ci )， (1≤i≤1000) ，该边具有容量3，单位流量费用为0； 在所有Dj与terminal之间添加有向边( Dj，terminal)， (1 ≤j≤100) ，该边的容量为第j种DVD的现有数量，单 位流量费用为0
类似考虑：１张DVD在三个月内可以用多少次？
归还规律／出借规律的探讨将变得复杂一些， 一般需要在更多的假设下，才能得到（如还回网站 的DVD是否一定能马上分给某个需要的会员？）
问题1:网站购买DVD的数量(x)
• 其他模型： 需求上限：一定置信水平下得到上限M （x = P% * M / 1.6） 其他理解：例如认为表中给出的只是初始时段(一 个月或半个月)的需求，并进一步假设以后时段的 需求持续不变或按某种规律变化 （排队论？随机决策？） 数值模拟（仿真）：需交代详细过程 （归还规律？出借规律）
2012年数学建模竞赛暑期集训 系列讲座之一 DVD在线租赁
主讲教师：董庆来 2012年8月9日
CUMCM-2005B: DVD在线租赁
命题人：余刚先生（教授） 时任亚马逊公司全球供应链运营副总裁 曾任美国德州大学奥斯汀分校管理学院Jack G. Taylor讲席教授
获多项美国专利，1995年创建美国科莱科技公司 (CALEB Technologies Corp.)并任董事长和总裁
二、问题分析与建模
问题一 网站购买DVD的最优数量
在现有会员中随机抽取1000个会员进行调查，以得知愿意观看不同DVD的 人数（表1.1给出了其中5种DVD的数据）。从历史数据显示，60%的会员每 月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。现在我们假设网站现有10万个会 员，并已经知道会员对DVD的需求，以及会员每月订DVD的规律。问题是应 该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内 能够看到？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到呢？ 表1.1 对1000个会员调查的部分结果 DVD名称 愿意观看的人数 DVD1 200 DVD2 100 DVD3 50 DVD4 25 DVD5 10
xij aij
x
i 1 20
100
ij
wj 3 yi
x
j 1
ij
i 1, 2, 3,L
,100
(LINGO求解容易,Why?)
,100; j 1, 2, 3, L , 20
xij {0,1}, yi {0,1}
i 1, 2, 3,L
用LINGO 数学软件实现对此题0-1规划模型的求解
xij aij