2005年DVD在线租赁DVD在线租赁__数学建模
数学建模2005B DVD在线租赁(山东大学)
DVD 在线租赁方案摘要摘要本论文通过对DVD 租赁问题的抽象简化，建立了一个明确的、完整的数学模型，分别用线性规划模型与递归算法对DVD 分配进行优化，设计出一个使得会员满意度较高的分配方案。
针对问题一,我们利用正态分布等概率论知识建立了一个较为完整而又简单的数学模型1.6j j j d Q ω≥×在问题四中，关于问题一我们利用货币流通模型和信息源的最大熵原理，建立起关于需求量的另一种模型：j j j m d n ω=针对问题二, 考虑到当天会员的偏爱度加和可以用来衡量满意度，我们提出了在两种不同网站运行模式下的分配方案，方案一运用线性规划很好的解决了分配问题，使得满意度最大。
方案二运用递归算法较好的解决了此问题，并且跟方案一结果相当吻合。
针对问题三,我们利用问题一和问题二建立的数学模型组合起来解决了当前DVD 的购买和分发问题，并阐述了动态规划的方法。
针对问题四,我们从DVD 需求预测角度出发，利用本模型特点合理的引入了传染病模型，有效的解决了该预测问题。
最后,我们对模型的科学性和现实性进行了阐述,并得到了对模型的整体评价,及急需改进之处.关键字关键字:: 正态分布 线性规划 递归算法 货币流通 最大熵原理 SIS 模型SIR 模型问题重述问题重述随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。
许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。
DVD 的在线租赁就是一种可行的服务。
顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD 租赁服务。
会员对哪些DVD 有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。
会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD 是基于其偏爱程度排序的。
网站会根据手头现有的DVD 数量和会员的订单进行分发。
每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。
会员看完3张DVD 之后，只需要将DVD 放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁.1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD 的数据）。
DVD在线租赁的数学模型
DVD在线租赁的数学模型数学模型是通过数学语言、符号和算法来描述和解释现实生活中的问题的工具。
DVD在线租赁业务是一种基于数字技术和互联网的新型商业模式，对于该业务，数学模型有着非常重要的应用价值。
下面将介绍DVD在线租赁业务的数学模型。
一、问题描述DVD在线租赁业务是一种基于互联网的流媒体服务，用户可以通过网络订购所需的DVD，收到DVD后使用一段时间后再归还。
该业务存在一些关键问题，比如如何安排库存，如何控制用户租赁时间等问题。
下面将对这些问题进行具体描述。
1. 库存安排问题在DVD在线租赁业务中，每个DVD的使用时间不同，一些DVD可能会在一段时间内连续租出，而另一些DVD则可能长时间放置于库存中未被租赁。
因此，如何安排库存是一个非常重要的问题。
库存成本和库存量之间存在着一定的关系，库存量越高，库存成本则越高。
因此，需要找到一个合适的库存量，使库存成本最小化。
2. 用户租赁时间问题用户租赁时间会直接影响业务的盈利情况。
用户租赁时间越长，公司的收益也就越高。
但是，租赁时间过长也会导致库存中的DVD数量减少，增加库存成本。
因此，需要找到一个合适的租赁时间，使业务的收益最大化。
二、数学模型DVD在线租赁业务的数学模型可以采用动态规划模型来描述。
该模型可以将库存管理和用户租赁时间问题结合起来，以最大化业务的盈利为目标。
1. 库存管理的动态规划模型库存管理问题可以用动态规划模型来解决。
假设有一个DVD的库存，指定库存中每个DVD可以被租赁的最大时间为t，且每个DVD被租赁的时间是相互独立的。
那么该问题可以表述为：设f(i,j)表示前i个DVD中所有租赁时间不超过j的最大收益，则有：f(i,j) = max{f(i-1,j-k) + profit(i,k)}, 0 <= k <= t其中，profit(i,k)表示第i个DVD租赁k天的收益，f(i,j-k)表示前i-1个DVD所有租赁时间不超过j-k的最大收益，可以使用递推公式计算出f(i,j)。
(计算机软件及应用)DVD在线租赁问题数学模型
回溯算法
在无法通过贪心算法得到最优解时，采用回溯算 法搜索所有可能的解，找到最优解。
3
分治算法
将问题拆分成若干个子问题，分别求解子问题， 再将子问题的解合并得到原问题的解。
算法复杂度分析
时间复杂度
贪心算法的时间复杂度为O(nlogn)，回溯算法的时间复杂度为 O(2^n)，分治算法的时间复杂度为O(nlogn)。
2. 最大利润 = 总租赁 费用 - N × C（C为 DVD的购买成本）
3. 最佳租赁策略 = argmax(总租赁费用)
求解方法：采用动态 规划方法求解最佳租 赁策略和最大利润。 通过迭代计算不同租 赁策略下的总租赁费 用和最大利润，最终 得到最优解。
04
模型求解与分析
求解算法设计
1 2
贪心算法
模型假设与符号定义
N
DVD的总数量
n
当前租赁的DVD数量
P
每张DVD的租赁费用
模型假设与符号定义
T
租赁期限（天数）
R
续租费用
F
退租费用
模型方程与求解方法
模型方程：根据问题 描述和假设，建立以 下方程来表示DVD的 租赁过程和费用计算
1. 总租赁费用 = N × P×T+n×R×TF × T × (N - n)
租赁期限、续租和退租等。
确定变量
根据问题确定相关的变量，如 DVD数量、租赁费用、租赁期 限等。
建立方程
根据问题描述和变量，建立数 学方程来表示DVD的租赁过程 和费用计算。
求解方程
通过数学方法求解建立的方程 ，得出最优解或近似解。
DVD在线租赁决策模型
ｄｓｉｕｉｎｏ Ｖ ．Ａ ｅ ｎ ｆ ｅ ｒｃ ｅ ｓ ｇ ｔ ｄｅ ｔ ｐｅｉ ｅＤ Ｄ ｄｍａｄ ａｖ ｃ ｉｒ ｔ ｆ Ｄ ｔ ｄｏ ｔ ｌ ｗ ｅＬ ｉ ｉ ｍｏ ｌｏ ｒｄｃ ｔ Ｖ ｅ ｎ ， ｄ ａ ｅ ｔｂ ｏ Ｄ ｈ ｔ ｅ ｈ ｔ ａ ｉｅ ｕ ｏ ｓｃ ｔ ｈ ｎ
产品 ，这既节约大量的制作 、配送费用 ，又方便 了
消 费者 。
在线 Ｄ ＶＤ租 赁 问题 主 要 包 括 Ｄ Ｄ 的 需 求 预 Ｖ 测 、购买和分配等问题 ，２０ ０ ５年全国大学生数学 建模竞赛 Ｂ题就 是以此为背景 而出的，具体题 目
和 数 据 可 从 ｈｔ ：／ ｍｃ ｃ ｕ ｃ／ ｃ Ｏ ／ ｍｂ ｔ ｐ ／ ｍ． ｄ ． ｎ ｍ ｍ ５ ｐ ． １ｍ ２ ０ ｃ ｓ ｅ ｓ０ ５ ．ａｐ下载 。
维普资讯
２０ ０６年 １ ２月 增刊
实
验
科
学
与
技
术
Ｄ Ｄ在 线 租 赁 决 策模 型 ’ Ｖ
侯德彬 ，常晓剑，贾世功 （ 电子科技大学 成都 ６０ ５ ） １ ４ ０
摘 要 ：以 ２０ ０５年全 国大学生数 学建模 竞赛 Ｂ题 为 背景 ，针 对现在 网上 流行 的 Ｄ Ｄ在 线租 赁 Ｖ
问题是 要求 站在 网站管 理人 员的立 场 ，以网站
获得最大赢利和使会员获得最大满意度为 目 ，对 标 各种 Ｄ Ｄ的购买量 和如何根据会员订单分配拥有 Ｖ 的 Ｄ Ｄ进行 决 策。为 了简化 问题 ，我们 只考 虑 Ｖ
・
［ 收稿 日期】２０ ０ ２ ０ ６— ７— ２
・ ・
［ 作者简介】 侯德彬（９ ３一） 男，本科生，就读 于电子信息科 学与技术专业。 １８ ，
11560-数学建模-2005年BD题《DVD在线租赁》题目、论文、点评
2005年B\D题《DVD在线租赁》题目、论文、点评DVD租赁优化方案王颖高德宏...在线租赁是信息时代发展的必然趋势。
在租赁过程中，网络经营者主要关注DVD 的预测、购买和分配。
本文提出了简单随机抽样、分类预测和关联预测等三种方法进行需求预测。
针对问题一，利用需求预测得到观霜DVD的人数服从二项分布，并计算出多种可靠度下购买DVD的数量。
以会员的最大满意度为目标函数，建立一个整数规划模型，得到问题二的分配方案。
并计算出前30位会员的分配结果。
在问题三中，我们考虑到60％的会员由于两次租赁而导致DVD可重复利用，因而，采用了两阶段购买的策略，在每个购买阶段都建立了双目标整数规划，从而得到的购买量比原来网站拥有量小，并且会员的满意度达到99．38％，本文最后还给出了考虑归还DVD周期的情形下购买与分配的模型。
DVD租赁优化方案.pdf (388.78 KB)DVD在线租赁系统的优化设计李蓬蓬朱小满...本文在DVD在线租赁背景下，对DVD的租赁与归还，网方的购买与分配以及需求预测等相关问题进行了建模和研究。
首先，对题中给出的表示会员对各DVD的偏爱程度的偏好指数进行修正，提出了绝对满意度和相对满意度的合理定义。
在模型的建盘和求解上，本文首先建立了基于DVD租用次数限制的通用模型和以Pois8ion过程模拟DVD归还过程的随机服务模型解决了在预知市场需求的情况下，各DVD采购量的问题。
随后，建立0-1整数线性规划模型并结合Lingo软件进行求解，很好地回答了现有碟的一次性分配问题。
结合抽样统计的知识，建立0-1规划模型用以解答第三问的多目标规划问题。
在双目标规划的求解处理上，采取以满意度为限制条件，以碟的总量最小为目标进行规划的方式寻优求解。
针对第四问，本文引入VIP机制，分别建立并求解了VIP会员与普通会员的权重不同时的加权规划模型、VIP会员有优先权的分层规划模型。
还简单讨论了会员的信用度、邮递时间、租赁规则、DVD价格因素等实际问题DVD在线租赁系统的优化设计.pdf (315.72 KB)DVD租赁问题的模型设计及求解王成文野...本文讨论了DVD在线租赁的服务供应商可能遇到的问题与其解决方案。
DVD在线租赁问题的数学模型和计算
收 稿 日期 ： ０７— ０— ８ ２０ １ ０
作者简介 ： 张
立（ ９４ ） 男 ， １７ 一 ， 江苏武进人 ， 常熟理工学 院数学系讲师 ， 硕士 ， 研究方向 ： 优化和数学建模
维普资讯
第 ２期
张
立 ：Ｖ Ｄ Ｄ在线 租赁 问题 的数 学模 型和计算
３ ： ．Ａ 每月 租借 Ｄ Ｄ一 次 的会 员 的 比例 ；：每月 租借 Ｄ Ｄ两 次 的会 员 的 比例． Ｖ Ａ： Ｖ
４ 第 ｉ Ｄ Ｄ应该 准备 的数 量 （ ＝１２， ， ， ） ．ｂ： 种 Ｖ ｉ ， ３４５ ． ５ ． 一个 月 内对第 ｉ Ｄ Ｄ有需 求 的会员 得到 满足 的 比例 （ ＝１２ ３ ４ ５ ． ． ： 种 Ｖ ｉ ，， ，，） ６ Ｄ：Ｄ Ｄ每月可 用 次数 的数学期 望． ．Ｅ Ｖ ７ ， 一 个月 内对第 ｉ ．Ｑ ： 种需 求 的人数 上 限（ ＝１２ ３４， ） ｉ ，， ， ５ ．
１ ２， ．０） ， … ２ ．
３ 模 型 的建 立 和 求 解
对第 一个 问题 ， 考虑 到会 员 租 赁 的 实 际情 况 ， １中给 出 的某 种 Ｄ Ｄ的人 数 可 以看 成 是 某 月 选 择 该 表 Ｖ Ｄ Ｄ人 数 的数 学期 望 ， 月 实际选 择该 Ｄ Ｄ的人数 会有 少许 波动 ， 文认 为对 第 种 Ｄ Ｄ的总 的需 求可 以 Ｖ 每 Ｖ 本 Ｖ
３ ７
３ ．客 户提 交订单 应该 注 明 自己的租借 类 型 ： 该月 内一 次或 者两 次． ４ ．对 于租借 一 次或者 两次 的会员 ， 员 必须在 ３ 该会 ０天 内归 还所借 的 Ｄ Ｄ Ｖ．
符号 和变量 说 明如下 ： １ ．Ｎ：网站现 有 的会 员人 数． ． ２ Ｐ ： ｉ Ｄ Ｄ被选 中的概率 （ ＝１２ ３ ４， ） ｇ： ｉ Ｄ Ｄ没有 选 中的概率 （ ＝１２ ３， ５ ． ． 第 种 Ｖ ｉ ， ， ， ５ ； 第 种 Ｖ ｉ ， ， ４， ）
2005年数学建模B题(含代码)
i
j
k
第 j 种 DVD 总中张数
会员对网站的满意度
会员的标号
DVD 的种类
网站对 DVD 购买的量
一、问题的重述
随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。 许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化 的服务。例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥 了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感 官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。
文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违
反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）：
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：
参赛队员 (打印并签名) ：1.
考虑如下的在线 DVD 租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为网站会员， 可以订购 DVD 租赁服务。会员对哪些 DVD 有兴趣，只要在线提交订单，网站 就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张基于其偏爱程 度排序的 DVD。网站会根据手头现有的 DVD 数量和会员的订单进行分发。每 个会员每个月租赁次数不得超过 2 次，每次获得 3 张 DVD。会员看完 3 张 DVD 之后，只需要将 DVD 放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就 可以继续下次租赁。考虑回答下面问题： （1）网站准备购买一些新的 DVD，通过问卷调查 1000 个会员，得到了愿意观 看这些 DVD 的人数（表 1 给出了其中 5 种 DVD 的数据）。此外，历史数据显 示，60%的会员每月租赁 DVD 两次，而另外的 40%只租一次。假设网站现有 10 万个会员，对表 1 中的每种 DVD 来说，应该至少准备多少张，才能保证希 望看到该 DVD 的会员中至少 50%在一个月内能够看到该 DVD？如果要求保证 在三个月内至少 95%的会员能够看到该 DVD 呢？ （2）表 2 中列出了网站手上 100 种 DVD 的现有张数和当前需要处理的 1000 位会员的在线订单，如何对这些 DVD 进行分配，才能使会员获得最大的满意 度？请具体列出前 30 位会员（即 C0001~C0030）分别获得哪些 DVD。 （3）继续考虑表 2，并假设表 2 中 DVD 的现有数量全部为 0。如果你是网站 经营管理人员，如何决定每种 DVD 的购买量，以及如何对这些 DVD 进行分配， 才能使一个月内 95%的会员得到他想看的 DVD，并且满意度最大？
DVD在线租赁DVD在线租赁数学建模
DVD在线租赁一、问题重述随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。
许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。
例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。
这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。
考虑如下的在线DVD租赁问题。
顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。
会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。
会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。
网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。
每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。
会员看完3张DVD 之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。
请考虑以下问题：1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。
此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。
假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单（表2的数据格式示例如下表2，具体数据请从.asp下载），如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。
3）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。
如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？4）如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。
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DVD在线租赁一、问题重述随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。
许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。
例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。
这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。
考虑如下的在线DVD租赁问题。
顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。
会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。
会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。
网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。
每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。
会员看完3张DVD 之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。
请考虑以下问题：1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。
此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。
假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单（表2的数据格式示例如下表2，具体数据请从.asp下载），如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。
3）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。
如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？4）如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。
二、模型假设1.一个月的天数按30天计算；2.1000名会员的样本足以反映10万名会员的特点；3.严格按照60%的会员每月租赁两次DVD，40%会员每月租赁一次，且对DVD没有损坏；4.会员提交的订单的时间是随机的；5.会员连续两次借的DVD没有重复的；6.会员每个月必须至少租赁一次；7.会员对他所偏爱的DVD的偏爱度不会改变。
三、符号说明四、问题分析五、模型的建立与求解5.1问题一5.1.1悲观情况估计 ①一个月的情况假设DVDj 其购买量为j x ,从表1中可以认为是想看DVDj 的人数，而会员一个月借1次或借2次是随机的，这就可能出现极端的情况，即第一次分配时正好所有1类会员都分配到了DVDj ，我们把这种情况称为悲观情况。
则j x 的一部分首先被会员总数40%的1类会员借走了,而且在该月不会归还。
那么,为了保证至少有50%的会员在一个月内能看到该DVD,则DVDj 总的购买量应满足：j j j j p p x p 100000%502)100000%40(100000%40⨯≥⨯⨯-+⨯其中 5,4,3,2,1=j表3②三个月的情况从“一月情况”，我们可以推广到“三月情况”。
如果 j j p x 100000%40⨯<，则每次分配都将只能由每月借一次的会员的到DVD ，这样三个月中DVDj 的流动量就仅为3j x ，为了保证至少有50%的会员在一个月内能看到该DVD ，那么此时DVDj 总的购买量应该满足:j j p x 100000%953⨯≥⨯其中 5,4,3,2,1=j表45.1.2均值情况估计:现实中，每天都会有订单提交，也有DVD 归还，而且都是服从参数为λ的泊松分布。
考虑平均情况，认为：60%的会员15天归还DVD ，40%的会员一个月归还，即对于每张DVD 有60%的可能15天流通一次，40%的可能30天流动一次。
假设所有会员在每个月的某天（不妨为1号）提交订单，那些2类会员也集中在15号归还并提交下一份订单，则可以发现上述的简化是泊松分布的平均情况。
因此，在处理时可以不考虑每个会员的具体租赁、归还的时间，而只考虑每个月两次的分配方案，即1号和15号的分配方案。
同时，在DV D 租赁出去后，对于某种DVD ，是均匀的分布在1类会员和2类会员中，即在15号，该DVD 将有60%归还。
我们用下图表示租赁情况，每块代表长度为15天的时段，上方的箭头表示该时刻借出的数量，下方表示归还的数量。
则初始时刻DVD 有j x 1张可用于分配。
图1①一个月的情况：对于“一月情况”，仅观察上图中的前两段。
在分配时，每张DVD 都有60%的可能被分配给每月借2次的会员，40%的可能分配给每月借1次的。
在初始时刻会将所有DVD 借出，因此j x 1表示网站对DVDj 的购买量，而问题目标则是要求出j x 1的最小值，以达到效益的最优。
因为，第1个月月中有60%×j x 1的DVDj 归还，另外40%仍在会员中，这时网站可将60%×j x 1的DVDj 借出。
则j x 2=0.6j x 1。
这样就可以计算 DVDj 在一个月中的流通量为j x 1+j x 2＝1.6j x 1，即一个月内DVD 的流通量为月初购买量的1.6倍，称这个“1.6”为“一月流通系数”。
那么DVD 一个月最小购买量可通过以下公式来计算：∑==511min i i x Si i p x ⨯⨯≥100000%506.11其中5,4,3,2,1=i由表1表5总的购买量12033min =S 。
②三个月的情况：由图1可以得到各个时间节点的DVD 数量的关系式从而建立模型如下：j j x x 126.0= j i j ij i x x x 214.06.0--+=j i jip x100000%9561⨯≥∑=其中6,5,4,3,2,16,5,4,3==j i所以，各种表6购买量之和8147max =S 。
由jx 2＝0.6jx 1，ji x ＝0.6ji x 1-+0.4ji x 2-（i=3,4,5,6）得到“三月情况”中DVD 流通量∑=61i i x ＝4.49jx1。
5.1.3中心极限模型中心极限定理的客观背景：在客观实际中有许多随机变量，它们是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的，而其中每一个因素在总的影响中所起的作用都是微小的，这种随机变量是近似地服从正态分布。
会员每月借一次的人的概率和借两次的概率服从独立同分布。
为使想看该DVD 的会员中至少50%在一个月内能够看到，即要j ni ip ⨯⨯≥∑=100000%501ξ其中5,4,3,2,1=j为使它成立的概率尽可能的大，不妨取：%95)100000%50(1≥⨯⨯≥∑=j ni i p P ξ当n 充分大时，可以通过)(x Φ给出其近似分布，这样就可以利用正态分布对∑=ni i1ξ作理论分析或作实际计算，其好处是明显的。
95.0)6.04.06.1100000%506.04.06.1(1≥⨯⨯-⨯⨯≥⨯⨯+∑=n np n nP j ni iξ将j p 的数值依次带入经查表知，均值模型成立。
我们把模型推广到范围更广的现实经济生活中。
假设通过问卷调查分析推算出任意客户群体的借阅分布情况，b p 为会员每月借两次的人的概率；j p 会员喜欢看第j 种DVD 人的概率;n 为所考虑月份数，N 为会员总数，则可得到下面更一般的带约束的线性规划模型（这里人设DVD 种类为k 种）：Min S=∑=kj j ix1j b j x p x 12⨯=ji b j i b j i x p x p x 21)1(--⨯-+⨯=j ni j i p N x ⨯>∑=21其中k j n i ,,3,2,12,,4,3ΛΛ==5.2问题二问题二是在现有一定数量DVD 的前提下，如何分配以使会员总的满意度最大。
这与“分配问题”或“指派问题”有很多相同点。
我们可以通过一些变化来使求解“分配问题”的模型能运用于该问题。
我们把问题二中“1000个会员对DVD 的需求” 理解为“需要完成的1000项任务”，“100种DVD 数量”理解为“有 100个人可以承担这些任务”，“会员对于不同DVD 的偏爱度”理解为“不同人去完成不同工作的效率”，通过类比就能把分配问题的模型运用到问题二中了。
分配问题最常用的方法是0-1型整数规划。
在具体使用前，还需要将每个会员对不同DVD 的偏爱度转化为满意度。
因为我们的目标是总体满意度最大。
从表1.2中可以看到：会员的在线订单用数字1,2,…表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD 当前不在会员的在线订单中。
我们想到了，用一个对于9的固定数字减去偏爱数，但存在一定的不合理性。
比如，当看到了最想看的DVD 时，心理上满足是非常大的 ，但当仅仅得到了次想看的DVD ，那满足感会大打折扣，而如果仅得到了第三想看得DVD ，满足感会更低，但与仅获得第二想看的DVD 相比，也许失落感并不会如没有获得第一想看的DVD 那么大。
所以，如果只是简单得把会员订单中的DVD 进行了相同差别的处理，无法表示出会员的真实满意度差别。
所以我们想到了用偏爱数的倒数来表示会员的满意度，对满意度矩阵F 的元素ij f 来定义：ijij b f 1= 0≠ij bij f ＝0 0＝ij b1） 表2中的数字0意义特殊，不直接与满意度产生关系。
0代表该DVD 没有出现在订单中，即会员不需要看该DVD 。
从分配费用考虑，避免把该DVD 分配给会员。
根据ij a 的定义，不妨认为：≤ij a ij b ，则 ij b =0时，ij a 也就等于0了，从而避免了上述情况的发生。
2）于一次最多只能借3张，但，如果会员没被分配到3张DVD ，那么他们的需求就没被满足，会导致客源流失，那么就必须有1000,,2,131001Λ==∑=i aj ij又DVDj 分配给各会员的数量肯定不超过现有数量j e ，所以,≤∑=10001i ijaj e 。
3）有上述可表示所有会员的满意度的总和为iji j ij af ∑∑==100011001综上，建立的模型如下：ij i j ij a f Z ∑∑===100011001max≤ij a ij b31001=∑=j ija≤∑=10001i ijaj eij a =0或1其中i ＝1，2，3，···，1000；j ＝1，2，3，···，100我们利用Lingo 软件进行模型的求解发现，上述模型无解，经分析知，是由于≤ija ijb ，31001=∑=j ij a 其中i =1,2,3,…,1000约束条件加强了的原因。