数学建模案例DVD在线租赁

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意度为目标含有随机变量的规划模型， 在计算时我们考虑用贪婪算法得出近似最 优解。 对于第三个小题，我们认为可以在第一个小题和第二个小题结合得到，考虑 先用第一小题的方法算出网站应该购入的 DVD 数量，在此基础上再建立和第二 小题类似的规划模型来解决。 最后一个问题具有较多的研究方向，由于时间关系，我们仅就邮资最小， 网 站的成本最低，盈利最大这个方面进行了一些讨论。 2、题目要义的理解： a、一个月内 DVD 出租次数的限制： 根据假设 1，结合实际，由于邮寄货物一般要一到两个星期左右，因此本文 考虑一张 DVD 在一个月内最多只能分配两次，即只能在初次分配后由会员返还 一次，也就是说一个月可以考虑有两个阶段的分配，第一阶段是网站对其拥有的 DVD 进行初次分配，这一阶段的分配网站在某一原则下（文中是满意度最大原 则）是可以完全掌控的； 第二个阶段网站可分配的 DVD 数量是由第一阶段分配后剩下的 DVD 数量 加上第一阶段分配的会员中返还得 DVD 数量之和。这一阶段的分配是带有随机 性的，因为会员是否返还 DVD （也就是一个月租赁两次）是一个随机事件，这 一阶段，因此必须在承认随机性的前提上考虑其分配。 b、会员满意度 α ij 的定义： 根据假设 4，本文满意度 α ij 定义如下： 若题中所给表 2 中会员 i 对第 j 张 DVD 的订单是 aij （ aij 越小，偏爱程度越 高） ，则会员 i 得到第 j 张 DVD 的满意度 α ij = 则 α ij = 0 ，与假设相符合。
DVD 在线租赁问题研究
摘要
本文解决的是 DVD 在线租赁网站在 DVD 的需求预测、购买和分配中的重要 问题。 首先我们通过随机概率模型分析了要满足会员要求的 DVD 的最少采购量， 其中主要利用了 0 − 1 分布和二项分布的理论， 即认为会员是否一个月租赁两次是 一个随机事件，服从 0 − 1 分布，因此分配到自己想要 DVD 的会员中租赁两次的 人数就服从二项分布，具体计算时（由于是大样本场合）用标准正态分布逼近二 项分布得到最后的结果。 在解决最大满意度原则下的 DVD 分配时，我们建立的是以最大期望满意度 为目标，含有随机变量的规划模型。出于计算规模和效率方面的考虑，文中采用 类似贪婪算法的处理方法，将 DVD 的分配分成两个阶段来处理，这两个阶段分 别的最优解之和作为最终要得到的最优目标。 最后我们基于现实基础提出了以最大满意度和最小邮费为目标的规划方程， 并对上述几个模型进行了评价和推广价值讨论。
二．模型假设
1. 2. 3. 4.
考虑到邮寄时间的限制， DVD 在一个月内分配后返还的次数是有限的。 会员当月租赁的 DVD 在当月内归还。 当会员要归还 DVD 时，该 DVD 肯定可以在下一个月前回到网站。 会员得到该 DVD 地满意度与会员对该 DVD 的偏爱程度成正相关的。
三．问题分析
1、总体解题思路： 在解决第一小题时：会员是否一个月租赁两次是一个随机事件，服从 0 − 1 分 布，因此要真正保证 50％的会员得到满足，就必须使用概率论与数理统计的方 法，本文在取定一个合理的置信度后，计算出至少要订购的 DVD 数量。 在解决第二小题时：我们认为网站的分配可以分为两个阶段的分配，其中第 一个阶段的分配，网站是可以完全掌控的，而第二个阶段则是一个以最大期望满
否则表示没有租赁给第 i 个会员
zபைடு நூலகம்j
0-1 变量， z ij = 1 表示第二个租赁阶段内将第 j 张 DVD 租赁给第 i 个会员，
否则表示没有租赁给第 i 个会员
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M1 M2
M
第一阶段分配的最大满意度 第二阶段分配的最大满意度 总的最大满意度
五．模型的建立
1. 问题一： 模型 1：从最直观的思路分析，既然分配到 DVD 的会员中有 60%的人会归还 碟片并再次租赁，那么最少需要的购入量将是 1.6 x1 ≥ 0.5d1 ，即
1≤i ≤1000,1≤ j ≤100
max
aij + 1 − aij ，如果 aij = 0,
四．符号说明
xj α ij yij
网站对第 j 张 DVD 的购入量 满意度矩阵中的元素，表示第 i 个会员对收到第 j 张 DVD 的满意度 0-1 变量， y ij = 1 表示第一个租赁阶段内将第 j 张 DVD 租赁给第 i 个会员，
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一．问题重述
考虑如下 DVD 租赁问题：顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购 DVD 租赁 服务。会员对哪些 DVD 有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽 可能满足要求。会员提交的订单包括多张 DVD，这些 DVD 是基于其偏爱程度排序 的。网站会根据手头现有的 DVD 数量和会员的订单进行分发。 其中网站有如下几个约定：①每个会员每个月租赁次数不得超过 2 次。②每 次获得 3 张 DVD。③会员看完 3 张 DVD 之后，只需要将 DVD 放进网站提供的信封 里寄回（邮费由网站承担） ，就可以继续下次租赁。 现在需要解决以下几个问题： 1. 若网站准备购买一些新的 DVD，通过问卷调查 1000 个会员，得到了愿意 观看这些 DVD 的人数（表 1 给出了其中 5 种 DVD 的数据） 。另外根据经验 有，60%的会员每月租赁 DVD 两次，而另外的 40%只租一次。网站现有 10 万个会员，用表 1 中的数据进行推广，计算出应该至少准备多少张，才 能保证希望看到该 DVD 的会员中至少 50%在一个月内能够看到该 DVD？如 果要保证在三个月内至少 95%的会员能够看到该 DVD 该如何准备？ 2. 表 2 中列出了网站手上 100 种 DVD 的现有张数和当前需要处理的 1000 位会员的在线订单，分配这些 DVD，使会员获得最大的满意度。并具体 列出前 30 位会员（即 C0001~C0030）分别获得哪些 DVD。 3. 继续考虑表 2，并假设表 2 中 DVD 的现有数量全部为 0。决定每种 DVD 的购买量，以及如何对这些 DVD 进行分配，才能使一个月内 95%的会员 得到他想看的 DVD，并且满意度最大？ 4. 深入研究 DVD 的需求预测、购买和分配中的重要问题，提出这些问题并 建立模型加以改进。