第17章 几何不等式与极值问题

第17章 几何不等式与极值问题17.1.1★ 一个凸行边形的内角中，恰好有4个钝角，求n 的最大值． 解析考虑这个凸行边形的n 个外角，有4n -个角90︒≥，故有()490360n -⨯︒<︒（严格小于是由于4个钝角的外角和大于0︒），因此8n <，n 的最大值是7．易构造这样的例子。

如果恰好有k 个钝角，则n 的最大值是3k +.17.1.2★ 在ABC △中，AB AC >，P 为BC 边的高AD 上的一点，求证：AB AC PB PC -<-.PCDB A解析易知AB AC PB PC +>+，又2222AB AC BD CD -=- 22PB PC =-，故有AB AC PB PC -<-． 评注 读者不妨考虑AD 是角平分线与中线的情况．17.1.3 已知四边形ABCD ，AC 、BD 交于O ，ADO △和BCO △的面积分别为3、12，求四边形ABCD 面积的最小值．CB ODA解析易知ABO BCOADO DCOS S BO S DO S ==△△△△，故36ABO CDO ADO BCO S S S S ⋅=⋅=△△△△.从而12ABO CDO S S +=△△≥，且当ABO CDO S S =△△（此时四边形ABCD 为一梯形）时等号成立，所以此时四边形ABCD 面积达到最小值27.17.1.4★ 已知：直角三角形ABC 中，斜边BC 上的高6h =． （1）求证：BC h AB AC +>+； （2）求()()22BC h AB AC ++-. 解析()()22BC h AB AC +-+222222BC h BC h AB AC AB AC =++⋅---⋅，由条件，知242ABC BC h S AB AC ⋅==⋅△，且222AB AC BC +=， 于是()()22236BC h AB AC h +-+==.注意：这同时解决了（1）和（2）.17.1.5★ 设矩形ABCD ，10BC =，7CD =，动点F 、E 分别在BC 、CD 上，且4BF ED +=，求AFE △面积的最小值．B FCED A解析设 BF x=，()4DE y x ==-，则()()()117101077022ABF ADE ECF S S S x y x y xy ++=++--=+⎡⎤⎣⎦△△△。

由()2144xy x y +=≤。

故 ()170704332AEF S -⨯+=△≥.当2BF ED ==时达到最小值．17.1.6★ 设P 是定角A ∠内一定点，过P 作动直线交两边于M 、N ，求证：AMN △面积最小时，P 为MN 的中点．解析 如图，连结AP ，设MAP α∠=，NAP β∠=，θαβ=+，由AMP ANP MAN S S S +=△△△，得sin sin sin AM AP AN AP AM AN αβθ⋅⋅+⋅⋅=⋅。

又 左式2AP ≥， 故 212sin sin sin 2sin AMN AP S AM AN αβθθ=⋅⋅△≥。

达到最小值时，须AMP ANP S S =△△，故P 为MN 之中点.17.1.7★ 正三角形ABC 的边长为1，M 、N 、P 分别在BC 、CA 、AB 上，1BM CN AP ++=，求MNP △的最大面积。

ABCMPN xyz解析如图，设BM x =，CN y =，AP z =，则0x ≤，y ，1z ≤，1x y z ++=。

()()()1111sin602APN BPM MNC S S S x z y x z y ++=-+-+-︒⎡⎤⎣⎦△△△， 于是问题变为求()()()111x z y x z y -+-+-的最小值，展开后约去()1x y z ++=，即求xz yx zy ++的最大值． 由不等式()21133xy yz zx x y z ++++=≤知，当13x y z ===时，29A PN BPM M N C A B CS SS S ===△△△△，此时MNP S △的面积达到最大值。

()max 13MNP ABC S S =△△. 17.1.8★ 设ABC △是边长为l 的正三角形，过顶点A 引直线l ，顶点B 、C 到l 的距离记为1d 、2d ，求12d d +的最大值．lCPBlAQ解析如图，若l 穿过BC ，则由“直角边小于斜边”知121d d BC +=≤，取到等号时仅当l BC ⊥.若l 不经过BC ，取BC 中点P ，作PQ l ⊥，Q 在l上，则1222d d PQ AP +==≤号仅当l BC ∥.综上所述，12d d +17.1.9在数1、12、13、14、15、16、17、18、19、110中，若任找三个数能组成三角形的三边，则称这三个数是“好搭档”，则总共有多少组“好搭档”？解析 此题可分类讨论。

显然1不可能为边．由于1115910<+，故15⎧⎨⎩，16，17，18，19，110⎫⎬⎭中任三数可构成三角形的三边，一共有6!203!3!=组。

当最大边为12时，次大边只能为13，最小边为14或15，有2组。

当最大边为13时，次大边为14或15．次大边为14时，最小边1113412>-=，故可取11~510；次大边为15时，最小边1123515>-=，可取16与17共有8组．当最大边为14时，次大边为15、16、17．次大边 为15时，最小边1114520>-=，可取11~610；次大边为16时，最小边1114612>-=，可取11~710； 次大边为17时，最小边1134728>-=，可取18和19。

共有11组。

综上所述，总共有41组． 17.1.10★ 设60XOY ∠=︒，A 、B 是OX 上的两个定点，P 是OY 上的一个动点，问当P 在什么位置时，22PA PB +最小？60°YPOA B X解析如图，设OA a =，OB b =，OP x =，不妨设a b <。

则222PA a x ax =+-， 222PB b x bx =+-，故 ()222222PA PB x a b x a b +=-+++()2222248a b a b x a b ++⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭。

显然当4a bx +=时，22PA PB +最小。

评注 容易验证，此时P 为AB 的中点在OY 上的射影。

17.1.11★ 设直角ABC △中，90C ∠=︒，求证：24ABC AB S △≤. 解析 如图，作A 关于BC 的对称点A '，连结'A B 、'A C ，则ACA'B'12ABC BAA S S =△△1'sin '4AB A B ABA =⋅⋅∠ 2211sin 244AB B AB =≤. 取等号仅当ABC △为等腰直角三角形。

17.1.12★ X 是ABC △的边AB 上一点，P 为ACX △的内心，Q 是BCX △的内心，M 是PQ 的中点，求证：MC MX >. 解析如图，连结XP 、XQ 、CP 、CQ ，则90QXP ∠=︒，12MX PQ =，又1902PCQ BCA ∠=∠<︒，故12CM PQ >，于是结论成立。

CBQMP X A评注 三角形某边上的中线分别大于、等于、小于该边的充要条件是该边所对内角为锐角、直角或钝角，这是一个常见的结论．17.1.13★★ 已知凸六边形ABCDEF 中，AF CD ∥，AB ED ∥，BC EF ∥， 求证：ACE BDF ABCDEF S S S +△△≥.QP REDC BF A解析如图，作ABCD □、QCDE □、EFAR □，于是出现三组全等三角形。

这样便有()2ACE PQR PQR ABCDEF S S S S -+=△△△六边形，即 ()1+2ACE PQR ABCDEF S S S =△△六边形 12ABCDEF S 六边形≥. 同理有 12BDF ABCDEF S S △六边形≥.评注 不破除对称性，此题就比较复杂（当然不是所有的题目都能带给你好运）．另外，用这种方法还能证明ACE BDF S S =△△.17.1.14★★ 已知矩形ABCD ，3AB =，5BC =，P 是AD 上一点，CP 、BA 延长后交于M ，直线CQ 垂直于BP ，交BM 于Q ，若Q 为MB 中点，求AP .又条件同上，若BC 的长度不固定，求BC 的最小值．QCBDPA M解析如图，设AP x =，由MBC △∽CDP △，得MB CD BC PD =，代入得155MB x=-。

又APB △∽BQC △，得BQ AP BC AB =，53BQ x =。

由2MB BQ =，得3253x x =-，或221090x x -+=，解得x =若BC 长度不固定，设其为y ，3y MB y x =-，3xyBQ =，故由2MB BQ =得323x y x =-，或22290x yx -+=，由0∆≥得y ≥BC可取的最小值是P 为AD 中点。

17.1.15★★ 设I 为ABC △的内心，P 是ABC △内部的一点，满足P B A P C A P B C∠+∠=∠+∠. 求证：AP AI ≥，并说明等号成立的充分必要条件是P I =.IPCB A解析易知()12PBC PCB B C IBC ICB ∠+∠=∠+∠=∠+∠，因此 BPC BIC ∠=∠.故B 、C 、I 、P 四点共圆，即点P 在BCI △的外接圆ω上。

记ABC △的外接圆为Ω，则ω的中心M 为Ω的BC 的中点，即为A ∠的平分线AI 与Ω的交点。

在APM △中，有AP PM AM AI IM AI PM +=+=+≥， 故 AP AI ≥.等号成立的充分必要条件是点P 位于线段AI 上，即P I =.17.1.16★★ 延长一凸四边形形的四边和对角线，得六条直线，任两条直线有一个不大于90︒的夹角（这些线无两条平行），求这些夹角中最小的一个的最大值． 654321FEC B A解析 如图，标好各角，则12345612180ACB ABC ∠+∠+∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒，故总有一角30︒≤，当ABC △为正三角形，DB AB ⊥、DC AC ⊥时最小角达到最大值30︒ 17.1.17★★ 凸四边形ABCD 中，点M 、P 分别是BC 、CD 的中点，若AM AP a +=，求证：21<2ABCD S a 四边形。

B M CPDA解析如图，连结AC 、MP ，易知1142AMP BDC AMCP ABCD S S S S +==△△四边形四边形．又BDC ABCD S S <△四边形，1sin 2AMP S AM AP MAP =⋅∠△ 221()1288AM AP AM AP a +⋅=≤≤， 因此 2111248ABCD ABCD S S a <+四边形四边形，即212ABCD S a <四边形．17.1.18★★★ 在三角形ABC 中，4AC =，6BC =，2BAC ABC ∠=∠．P 是平面上任意一点，求32PA PB PC ++的最小值． 64CB AD解析 因为32U PA PB PC =++2()()PA PB PA PC =+++224AB AC AB +=+≥． 下面来求AB ．延长BA 至D ，使得DA AC =，连结CD ，则12D DCA BAC ABC ∠=∠=∠=∠，所以DCA △∽DBC △，故D C D AB D D C=，所以2DC DA DB =⋅，即364(4)AB =+，故5AB =． 所以，所求的最小值为14．17.1.19★★ 在锐角三角形ABC 中，求证：cos cos 2sin 2AB C +≤．解析 当B C ∠=∠时，显然有cos cos 2sin2AB C +=．下面不妨设AB AC >． BED CG H F A在AB 上取点F ，使A F A C =．作角平分线AE 、高AD ，则AE 垂直平分CF ．又作FH AD ⊥于H ，AD 与CF 交于G ，则2sin cos cos 2A CF FG CG FH CDB C AC FA AC FA AC==+>+=+．17.1.20★★ ABC △中，点D 为BC 之中点，点E 、F 分别在AC 、AB 上，求证： 2DEF ABC AEF S S S <-△△△．解析 如图，连结BE 、CF ，则由BD CD =，得 2DEF BEF CEF S S S =+△△△．CD B EFA而BEF BCF S S <△△，故BEF CEF BCF CEF ABC AEF S S S S S S +<+=-△△△△△△．于是结论成立． 17.1.21★★ 设a 、b 、c 为三角形三边长，则对任意实数x 、y 、z ，有 22()()()()a x y x z b y z y x --+--2()()0c z x z y +--≥．解析 设x y p -=，y z q -=，则x z p q -=+， 原式222()()a p p q b qp c p q q =+-++ 2222222()()a p a b c pq c q f p =+-++=．它的判别式 22222222()4a b c q a c q ∆=-+-22222[()][()]a c b a c b q =+---0≤．于是()0f p ≥．17.1.22★ 已知图中窗框总材料一定，问何时窗的面积最大？（图中6个矩形全等）BAC解析 设AB x =，AC y =，则总材料为109πl x y x =++（l 为常数），面积为2π62S xy x =+．于是(10π)9l x y -+=，代入，得2220π336l S x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．这个二次函数在240πlx =+时取到极大值，此时x 、y 均有实际意义．取得窗的最大面积为221203πl +．17.1.23★★ ABCD 和EFGH 都是边长为1的正方形，且AB EF ∥．两个正方形重叠部分的面积为116，求两个正方形中心距离的最小值．解析 如图，设ABCD 的中心为I ，EFGH 的中心为J ，过I 、J 分别作IK AB ∥，JK BC ∥，IK 、JK 交于K ．又设两正方形重叠部分为矩形BMHN ，HM x =，HN y =，则116xy =，11122IK x x ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，同理1JK y =-，所以222(1)(1)IJ x y =-+- 222()2x y x y =+-++21()2()2216x y x y =+-++-⋅ 277(1)88x y =+-+≥．所以，4IJ ≥． 当x，23y 时等号成立．故所求的最小值为． 17.1.24★★ 在锐角ABC △的边BC 、CA 、AB 上各有一动点D 、E 、F ，求证：DEF △的周长达到最小当且仅当AD 、BE 、CF 为ABC △的三条高．解析 如图，设D 关于AB 、AC 的对称点分别为G 、H ，GD 与AB 交于M ，DH 与AC 交于N ，则D△的周长22G F F E E H G H M N=++==∠≥≥42s i nABC SAD BAC BC'∠=⋅△ 2sin ABCS BAC R∠=△． HN CD BM GE FA这里AD '为ABC △的高，R 为ABC △的外接圆半径．又由对称性，除了AD BC ⊥外，BE 、CF 也分别必须垂直于AC 、AB 时方能达到．17.1.25★★ 直角三角形内切圆半径为1，求其面积的最小值．解析 设该直角三角形直角边长为a 、b，则易知其内切圆半径为1(12a b +=，整理，得222(2)a b a b +-=+，或2222ab a b =+-≥，此即22)2≥． 由于每条直角边均大于内切圆直径22>2积为3+17.1.26★★ 梯形ABCD 高为d ，上底AD a =，对角线交于P ，求用a 、d 表示APD △与BCP △面积之和的最小值．解析 如图，作EPF 与AD 、BC 垂直，垂足分别是E 、F ．设BC x =，则PE PF d +=，PE AD aPF BC x ==，解得ad PE a x=+，xd PF a x=+，于是2222111222APD BCPa d x d a x S S d a x a x a x++=⋅+⋅=⋅+++△△． CF B P DEA设22a x y a x+=+，则220x yx a ay -+-=有解，故0∆≥，即224()y a ay -≥，即22y a +≥，y的最小值为1)a，故最小面积为1)ad．此时1)x a =．17.1.27★★ 设D 是ABC △的边BC 的中点，E 、F 分别在边AB 、AC 上，DE DF ⊥，试比较BE CF +与EF 的大小关系．解析 如图，延长FD 至P 使DP DF =，由BD CD =，知BDP △≌(SAS)CDF △，故CF BP =．PCDB FEA又ED 垂直平分PF ，故EF PE =，易见EP BE BP <+，所以EF BE CF <+． 17.1.28★★ 一凸六边形ABCDEF 每条边长均为1，求证：AD 、BE 、CF 中至少有一个2≤． 解析 如图，由于720A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，不妨设240A F ∠+∠︒≤，作菱形ABGF ，则60GFE ∠︒≤，1FG FE ==，则GE 是FGE △最小边，1GE ≤，又1BG =，故2BE BG GE +≤≤．DCEGBFA17.1.29★★ 在正ABC △内，P 是一动点，求以P 在三边上的射影为顶点的三角形面积的最大值．解析 如图，ABC △内一点P 在BC 、CA 、AB 的射影分别为D 、E 、F ，则CD B PEFADEF EPF FPD DPE S S S S =++△△△△1()sin1202PD PE PE PF PF PD =⋅+⋅+⋅︒)PD PE PE PF PF PD =⋅+⋅+⋅． 由熟知的不等式21()3ab bc ca a b c ++++≤，及PD PE PF ++为常数（ABC △的高h ），得2)DEF S PD PE PF ++△21144ABC S ==△． 等式成立，仅当PD PE PF ==，此时P 为ABC △的中心．17.1.30★★ 证明：四边形四边的平方和不小于对角线的平方和，等号成立仅当该四边形为平行四边形时．解析 如图，设BD 中点为E ，由中线长公式知CBEDA222224AB AD BD AE +=-，222224BC CD BD CE +=-． 又由基本不等式，有22222()()AE CE AE CE AC ++≥≥，故用中线长公式代入，即得四边形四边平方和的不等式．等号成立时A 、E 、C 共线，且E 为AC 中点，即AC 、BD 互相平分，于是四边形ABCD 为一平行四边形．评注 又由托勒密不等式AD BC AB CD AC BD ⋅+⋅⋅≥，知有222()()()AD BC AB CD AC BD ++++≥，等号成立仅当四边形ABCD 为矩形．17.1.31★★ 设面积为1的锐角ABC △三条边分别是a 、b 、c ，动点P 在AC 上，P 在BC 上的射影是Q ，求BPQ △面积的最大值（用a 、b 、c 表示）． 解析 如图，作AR BC ⊥于R ．因为cot BQ PQ C BC +=（常数），于是4cot BQ PQ C ⋅⋅= 22()BC BQ CQ --．CQ R BPA当BR RC ≤，即A B A C ≤或c b ≤时，Q 可为BC 中点，此时BQ CQ =，从而BPQ S △可得最大值为2211sin tan 288cos a C BQ PQ BC C C ⋅⋅=⋅=22224cos 2()ABC a S a b C a b c ⋅==+-△． 当BR RC >，即c b >时，BQ CQ >．当Q 落在R 上，BQ CQ -达到最小，BQ PQ ⋅达到最大．此时BPQ S △的最大值为22222sin cos cos 22ABR c c a c b S B B B a a +-===△．17.1.32★★ 设D 为定线段AB 上一定点，P 为动点，PD 的长度固定，求PA PB +之最大值． 解析 由斯图沃特定理222PA BD PB AD AD BD AB PD AB ⋅+⋅=⋅⋅+⋅，注意等式右端为定值．BD A P又由柯西不等式（或展开后移项配方）有22211()()PA BD PB AD PA PB BD AD ⎛⎫+⋅+⋅+ ⎪⎝⎭≥， 故 2()PA PB +2()ABAD BD AB PD AB BD AD⋅⋅+⋅⋅≤222PD AB AB BD AD⋅=+⋅， 于是PA PB +的最大值是PA ADPB BD=，PD 为APB ∠的平分线． 17.1.33★★ 直角三角形ABC 的直角顶点C 在直角三角形DEF 的斜边DF 上，而E 在ABC △的斜边AB 上，如AC 、BC 、DE 、EF 分别等于10、15、12、12，求凸四边形ABFD 之面积的最大值． 解析 如图，由四边形面积公式，知1115022ABFD AECD EBFC S S S AC DE EF BC =+⋅+⋅=四边形四边形四边形≤．F BCEDA取等号须AC DE ⊥，EF BC ⊥．此时若将点C 位于DF 中点，则由DE 、EF 的值易知E 在ACB ∠平分线上，BC 垂直平分EF ，AC 垂直平分DE ，进而由AC 、BC 之值可知E 在AB 上，满足要求．所以ABFD S 四边形的最大值为150．17.1.34★★ 凸四边形一内点到四个顶点的距离分别是1、2、3、4，求这样的四边形的最大面积．解析 设凸四边形ABCD 内有一点P ， {PA ，PB ，PC ，}{1PD =，2，3，4}， 则ABP BCP CDP DAP ABCD S S S S S =+++△△△△四边形11112222PA PB PB PC PC PD PD PA ⋅+⋅+⋅+⋅≤ 1()()2PA PC PB PD =++ 2125()82PA PC PB PD +++=≤． 等号成立，必须PA PC PB PD +=+，比如1PA =，4PC =，2PB =，3PD =，且A 、P 、C 共线，B 、P 、D 共线，AC BD ⊥，此时，5AC BD ==，ABCD S 四边形取最大值252． 17.1.35★★ 面积为1的三角形ABC 中，三条边长a 、b 、c 满足a b c ≤≤，求a b +的最小值．解析 如图，过C 作直线l AB ∥，又作BE l ⊥于E ，延长一倍至D ，连结CD．则a b AC CD AD +=+≥h BE =．ABlECD显然有22448c h ch +=≥，于是a b +≥仅当A 、C 、D共线，即a b ==，且22c h ==时取等号，此时ABC △为等腰直角三角形．17.1.36★★ 三角形两边长分别等于10和15，证明：这两个边的夹角的角平分线小于12． 解析 如图，不妨设15AB =，10AC =，AD 为角平分线．今在AB 上取一点E ，使E D A C ∥，则易知153255ED BD AB AC BC AB AC ====+， CDB EA故31065ED =⨯=，又由EAD DAC EDA ∠=∠=∠知6AE ED ==，于是12AD AE ED <+=．显然12是最佳上界．17.1.37★★ 正三角形ABC 边长为1，M 、N 、P 分别在BC 、CA 、AB 上（含顶点），AP AN BP BM MC CN +=+=+，求MNP △的最大周长和最小周长． 解析 如图，易知1AP AN BP BM MC CN +=+=+=．CMB PTNS A由PN AP AN +≤等知MNP △的周长3AB BC CA ++=≤，达到最大值时M 、N 、P 分别落在ABC △的三个顶点上．又作BAC ∠的平分线AST ，PT 、NS 分别与AST 垂直于T 、S ，由于30PAS NAS ∠=∠=︒，1222AP AN PT SN PN =+=+≤，故12PN ≥，取等号时PN AS ⊥，且P 、N 是AB 、AC的中点，同理有PM ，12MN ≥，故M NP △的周长32≥，取等号仅当M 、N 、P 为各边之中点时．17.1.38★★ 已知面积为T 的梯形ABCD 满足AB CD ∥，E 为边AB 上一点，且满足EC AD ∥，直线AC 、BD 、DE 交出的三角形面积为t ．当t T 最大时，求ABCD ． 解析 如图，设DE 与AC 交于M ，BD 与AC 交于N ，则MND S t =△．D设CD x =，()AB y x =≥，2ADCE ABCD S xS x y=+梯形，即2A D C E xT S x y =+，2()DMC xTS x y =+△，又设AM CM p ==，MN q =，则y A BA N p q x C DC N p q +===-，解出q y xp y x-=+，即2()2()2()DMN y x xT y x xT t S y x x y x y --==⋅=+++△．于是要2()()y x x x y -+达到最大，即21(1)k k -+达最大，其中1y k x =≥．令1112S k ⎛⎫= ⎪+⎝⎭≤，则222111212122(12)(1)2228k S S S S S S k -+-⎛⎫=-=⋅⋅-⋅= ⎪+⎝⎭≤，仅当212S S =-时达到最大，此时3k =．17.1.39★★ 已知ABC △的边AB 、AC 上分别有点D 、E ，F 在DE 上，求证：ABC S △，并求等号成立的条件．解析 如图，连结CD 、AF ．设1AD k DB =，2AE k CE =，3DFk EF=，则 CB EFDA23111111EFC EFC AFC ADC ABC AFC ADC ABC S S S S kS S S S k k k =⋅⋅=⋅⋅+++△△△△△△△△． 同理321321111DFB ABC S k k S k k k =⋅⋅+++△△． 于是31222221231111(1)(1)(1)44464EFC DFB ABC S S k k k S k k k ⋅=⋅⋅⨯⨯=+++△△△≤． 开方即得结论．取等号时1231k k k ===，即DE 是中位线，F 为DE 中点．17.1.40★★ 已知Rt ABC △中，90C ∠=︒，CD AB ⊥于D ，B ∠的平分线交CD 于E ，交CA 于F ，G 是EF 的中点，连结CG ，设CFG △、BED △、BFC △的周长分别为1C 、2C 、3C ．求123C C C +的最大值． ADGF EB C解析 易知1902CFB ABC BED CEF ∠=︒-∠=∠=∠，可得CE CF =，则CG 平分ECF ∠，而90ECF BCD ABC ∠=︒-∠=∠，所以FCG ECG CBF ABF ∠=∠=∠=∠，可推得CFG △∽BFC △∽BED △．因此13C CF C BF =，23C BEC BF =． 设CFx BF =，因为2BE BF GF =-，2CF GF BF =，所以 22121212BE GF CF x BF BF BF ⎛⎫=-⋅=-⋅=- ⎪⎝⎭． 因此，221212333199(12)2488C C C C CF BE x x x C C C BF BF +⎛⎫=+=+=+-=--+ ⎪⎝⎭≤，所以，当14x =，即4CF BF =时，123C C C +有最大值98． 17.1.41★★ BE 、CF 是ABC △的中线，且BE CF ⊥，设AC b =，()AB c c b =>． （1）求BC 之长（用b 、c 表示）；（2）若ABC △存在，求bc的范围． 解析 （1）设BE 交CF 于G ，则G 为ABC △的重心，故2GF GC =，2GE BG =，设G E x =，GF y =，因FGB △、EGC △、GBC △为直角三角形，于是有：CB EGFA22222222214,414,444.x y b y x c x y BC ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩①②③由①+②得222215()()4x y b c +=+，由③得 2221()5BC b c =+，即BC =（2）如果ABC △存在，则 AB AC BC AB AC +>>-， 于是有：0)c b c b c b ⎧+>⎪⎪⎨⎪-<>>⎪⎩从而2222221()(),51()().5c b b c c b b c ⎧+>+⎪⎪⎨⎪-<+⎪⎩④⑤不等式④恒成立；由不等式⑤得： 241040b b c c ⎛⎫⎛⎫-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解之得：122bc<<． 由于0c b >>，结合不等式⑤的解，得： 112bc<<． 所以，当112bc<<时，ABC △存在． 17.1.42★★ ABC △中，点D 、E 、F 分别在BC 、CA 、AB 上，求证：1min(,,)4AFE BFD CED ABC S S S S △△△△≤，并求等号成立的条件． 解析 如图，222A F EB F DDCA B C A B CAB S S S AF AE BF BD CD CE AF BF BD CD CE EA S S S AB AC AB BC BC CA AB BC AC ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅△△△△△△． CD B EFA易知221()4AF BF AF BF AB AF BF ⋅⋅=+≤，仅当F 为AB 中点时取等号，同理2BD CD BC ⋅，214CE EA AC ⋅≤，于是记min(,,)AFE BFD CED S S S S =△△△，则33164AFE BFD DCE ABCABC ABC ABC S S S S S S S S ⋅⋅△△△△△△△≤≤． 所以14ABC S S △≤，取等号时仅当D 、E 、F 为各边中点．17.1.43★★★ 已知：锐角ABC △中，角平分线AD 、中线BM 、高CH 交于一点P ，证明：45BAC ∠>︒． 解析 如图，若45BAC ∠︒≤，则由于90ACB ∠<︒，得45ABC ∠>︒，故A C B C >，AH BH >．MQPCDBHNA作边AB 上的中线CN ，交BM 于Q ，易知N 在AH 内，于是12AH HP NQ AC CP QC =<=，故在直角三角形AHC 中，60BAC ∠>︒，矛盾，于是45BAC ∠>︒．17.1.44★★★ 证明托勒密定理和托勒密不等式：对于凸四边形ABCD ，AB CD AD BC AC BD ⋅+⋅⋅≥，等号成立仅当A 、B 、C 、D 共圆．解析 如图，今在AB 或延长线上取一点M ，在AD 或延长线上取一点N ，使2A B A M A C A D A N ⋅==⋅，连结MC 、NC 、MN ．易知ABC △∽ACM △，故AC MC BC AB =⋅，同理，ACNC CD AD=⋅，又ABD △∽ANM △，故2AM BD AC MN BD AD AD AB=⋅=⋅．由于MN CM CN +≤，上几式代入，得2BD AC AC ACBC CD AD AB AB AD⋅⋅+⋅≤， 去分母，即得托勒密不等式．等式成立的条件是M 、C 、N 共线，此时 180ABC ADC ACM ACN ∠+∠=∠+∠=︒， 即A 、B 、C 、D 共圆．D NCMB A17.1.45★★★ 边长为1的正方形内部或边界上有n 个点，则必有两点距离(3)n -=，1(4)n =．解析 如图(a)，先说明一个结果：ABC △中AD 为角平分线，AA '是AD 的反向延长，则由90A AB A AC ''∠=∠>︒，得A B AB '>，A C AC '>．(a)CDBAA'先考虑3n =的情形，假定P 、Q 、R 三点在正方形ABCD （边长1）内或边上．若P 在内，则可用QPR ∠角平分线反向延长，交到正方形某边或顶点为P '，这样P QR '△的每边都不小于PQR △的相应边．于是P 、Q 、R 三点最终都被“调”到正方形ABCD 的边或顶点上．再通过平移，必能使某点落在正方形的顶点上，其余点若在正方形内，再按上述办法继续调，最终三个顶点都落在正方形边界上，且其中至少有一个点的正方形的顶点．不妨设P 落在A 的位置，若Q 在AD 或AB 上，则1PQ <≤于是由对称性，可设Q 在CD 上，而R 在BC 上．如图(b)．若AQ >(b)CRB QD A2DQ，1CQ<，同理1CR<，RQ综上所述结论成立．以下讨论4n=的情形．由于正方形内或边上最远两点距离是正方形对角线长度，故正方形ABCD（边长1）中四点P、Q、R、S中任两点距离如四点构成凸四边形PQRS，不妨设90S∠︒≥，则2222PS SR PR+≤≤，所以PS、SR中有一个1≤．如四点中S位于PQR△内或边上，不妨设12090PSR∠︒>︒≥，同理得min(,)1PS PS<．17.1.46★★★设ABC△三边长分别为a、b、c，D、E分别在AB、AC上，且DE平分ABC△的面积，求DE的最值（用a、b、c表示）．解析如图，设CF、BH为中线．HECBDFA设AD x=，AE y=，则由12ADE ABCS S=△△，有12xy bc=．又由余弦定理，222222cos()2(1cos)()(1cos) DE x y xy A x y xy A x y bc A=+-=-+-=-+-．因(1cos)bc A-为常数，故DE的大小取决于||x y-．由于xy为常数，故x y-是x的增函数．当||x y-取最大值，x需最大或最小，x最大为AB c=（这时y取最小值2b），最小为2c （这时y取最大值b）．因此DE的最大值是AB、AC中短边上的中线．比如当c b≥时，DE．记()f x x y=-，若()0f c≥，02cf⎛⎫⎪⎝⎭≤，则x y=可取到，于是当122cb≤≤时，DE的最=当12cb<或2cb>时，比如2c b>时，x总不会小于y，此时2cx=时，||x y-最小，DE就是CF，即为AB、AC中长边上的中线，所以在2c b>的前提下，DE最小值是．2b c >时可以类推． 17.1.47★★ 在Rt ABC △中，D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 的中点，H 为斜边AB 的高的垂足，G 是DH 的中点．设O 为AB 上的任一点，求证：EOF ∠取最大的角便是EGF ∠．F NB HGDOAEC解析 连结CH ，则HF 为Rt CHB △斜边BC 上的中线，故12HF BC FB ==． D 、E 分别为AB 、AC 中点，故DE ==∥12BC ，所以DE HF =，ADE ABC FHB ∠=∠=∠，从而EDG FHG ∠=∠．又DG GH =，故EDG △≌FHG △． 于是有EG GF =，EGD FGH ∠=∠．延长EG 至N ，使GN EG =，连结HN ，易知FGH △≌NGH △． 从而FH HN =．结合GF GN =知GH 为线段FN 的垂直平分线．设O 为AB 上任一异于G 的点，则OF ON =，且易知ON OF OE =>（若O 在G 的左边，OF OE >，O 在G 的右边，则OE OF >）．从而 OFG ONG OEM ∠=∠∠≤，在OEM △与MGF △中，EMO ∠与FMG ∠为对顶角，于是有： EOF EOM MGF ∠=∠∠≤（等号当且仅当点O 与点G 重合时取到）． 这就证明了EOF ∠取最大角时便是EGF ∠．17.1.48★★★ 设四边形四边依次为a 、b 、c 、d ，则其面积S 不大于)d 其中2a b c dp +++=．取到最大值时，仅当四边形内接于圆．解析 如图，连结AC 、BD ，交于O ，AOB θ∠=，则由四边形的余弦定理（见题13.1.7），得cbda O D CBA22222cos b d a c AC BD θ+--=⋅，又42sin ABCD S AC BD θ=⋅⋅四边形，两式平方后相加，得2222222164()ABCD S AC BD b d a c =⋅-+--四边形，即ABCD S 四边形 由托勒密不等式（参见题17．1．44），有AC BD ac bd ⋅+≤，故ABCD S 四边形==.由托勒密定理知，仅当ABCD 内接于圆时，面积取最大值. 17.1.49★★★中，D 、E 分别是边BC 、AB 上的点，且123∠=∠=∠．如果ABC △、EBD △、ADC △的周长依次为m 、1m 、2m ，求证：1254m m m +≤. 321EA解析因为23∠=∠，所以ED AC ∥，EBD △∽ABC △，1m BDm BC=；又13∠=∠，所以ADC △∽BAC △，2m AC m BC=，设A C b =，BC a =，由A D C △∽BAC △得22AC b DC BC a ==，222b a b BD a a a -=-=，这样，由2212m BD a b m BC a -==，2m AC b m BC a ==，可得2221221551244m m a b b b b b m a a a a a +-⎛⎫⎛⎫=+=-++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤.当12b a =，即2BC AC =时，等号成立．17．1．50★★★为ABC △内一点，过O 引三条边的平行线DE BC ∥，FG CA ∥，HI AB ∥．D 、E 、F 、G 、H ，I 为各边上的点（如图），记1S 为六边形DGHEFJ 的面积，2S 为ABC △的面积．证明：1223S S ≥.O E CFI BD G HA解析 可以从DGO △、OHE △，OIF △的面积与ABC △的面积关系入手． 设BC a =，CA b =，AB c =，FI x =，EH y =，DG z =.易知OIF △∽HOE △∽GDO △∽ABC △，所以，z OD BI c a a ==，y OE FCb a a==， 由此可得1x y z IF FC BIa b c a++++==. 由柯西不等式知： 222222221133OIF OEH OGD S S S x y z x y z S a b c a b c ++⎛⎫=++++= ⎪⎝⎭△△△≥，从而223OHAG OEFC OIBD S S S S ++四边形四边形四边形≤.而四边形OHAG 、OECF 、OIBD 均为平行四边形，所以213AHG CEF BDI S S S S ++△△≤，即1223S S ≥.17.1.51★★★直角三角形ABC 中，1BC =，90C ∠=︒，30A ∠=︒，P 、Q 、R 分别在AB 、BC 、CA 上，求()max , , PQ QR RP 的最小值．解析如图，猜想最小值是当PQR △为正三角形时取到．为求此值，不妨设图中的PQR△为正三角形．作QD AC ∥，S 在AB 上．当S 在AP 上时1302PSQ PRQ ∠=︒=∠，故S 、P ，Q 至R 等距，S 在BP 上亦然．P SACQB于是S R R Q =，SR RQ =，RQ =，而显见SQ +，故37R Q =当37CQ =时，RQ．若能证明对一般的动点P 、Q 、R ，有()max , , PQ QR RP 问题就解决了．用反证法，假定PQ ，QR，RP <设ABC △的费马点为F （图中未画出），则120BFA AFC CFB ∠=∠=∠=︒，设FA a =，FB b =，FC c =，则由余弦定理，知2222223 , 1. ,4 a c ac b c bc a b ab ++=++=⎧++=⎪⎨⎪⎩①②③①-②，得()()1b c a b c -++=， ②-③，得()()2a b a b c -++=，故a b c >>，22a b b c -=-，32a b c =-，代入②得 2222331b c bc b c bc +-==++，于是224b bc =，2b c =，4a c =，代入上式得c，b =，a =，a b c ++=()12ABC APFR CRPQ BPFQ S S S S PR FA RQ FC PQ FB ==++⋅+⋅+⋅△≤)a b c <++=，矛盾！ 因此()max , , PQ QR RP. 评注PQR △实为费马点的等角共扼点的垂足三角形．a b c ++其实也等于(CD =，ABD △为向外作的正三角形．17.1.52★★★证明：若a 、b 、c 能构成三角形的三边长，则1a b +、1b c +、1c a+也能．又若a 、b 、c 构成锐角三角形三边长，则1a b +、1b c +、1c a+呢? 解析 不妨设a ≥b ≥c >0，问题归结为：若b c a +>，则111a b c a b c+>+++．证明如下： 111122a b c a b c b c +>+++++ 1112222b c b c b c>+=+++． 当a 、b 、c 构成锐角三角形时，1a b +、1b c +、1c a+也构成锐角三角形，证明如下(仍设a ≥b ≥c >0)：由于()()()()22112c a a b c a a b +++++≥，下证()()()221a b c a b c >+++即可，此等价于()222b c a bc ab ca +>+++，由于()2222222b c b c bc a bc a bc +=++>+>+，又()()()()2b c b cb c a b c a b a c +=++>+=+，两式相加即得结论．17.1.53★★★点D 、E 、F 分别在BC 、CA 、AB 上，若分别记AEF S △、BFD S △、CED S △为1S 、2S 、3S，证明：DEF S △≥AD 、BE 、CF 共点时等号成立．B D CEFA解析 设1AF BF λ=，2BD CD λ=，3CEAE λ=，则 ()()111311ABC S Sλλλ=++△， ()()222111ABC S S λλλ=++△， ()()332311ABC S S λλλ=++△，所以123DEF ABC S S S S S =---△△()()()()()()()()()123213213123111111111ABCS λλλλλλλλλλλλ⎡⎤=⋅+++-+-+-+⎣⎦+++△ ()()()1231231111ABCSλλλλλλ+=+++△． 又有()()()1231232322123111ABC S S S S λλλλλλ=+++△， 故 223123123DEF ABC DEF ABCABC S S S S S S S S S S S ⎛⎫⋅=⋅⎪⎝⎭△△△△△ ()212312314λλλλλλ+=≥，于是命题得证．仅当1231λλλ=时取等号，由塞瓦逆定理知，此时必有AD 、BE 、CF 共点． 17.1.54★★★已知定角()XOY θ=∠内有一定点P ，动直线l 过P ，交X O Y ∠两边于M 、N ，求OM ON +之最小值(假定POX α=∠，POY β=∠，PO d =)． 解析 如图，由面积得MON MOP NOPS S S =+△△△，即s i n s i n OMO N O M O P O N O Pθαβ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅，此式可化为sin sin sin ON OM dαβθ+=． βαPYNOK MX用柯西不等式(或展开后用平均不等式)，可得()()sin sin sin OM ON OM ON d ON OM θαβ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭2≥，故OM ON +的最小值为2sin dθ．等号成立，仅当OM ON =．其与sin sin sin ON OM d αβθ+=联立，可解得)sin sin dOM βθ=，)sin sin d ON αθ=．又作PK OY ∥，与OX 交于K ，则sin sin dOK βθ=⋅，OK OM <，这样的M 、N 的确存在．17.1.55★★★★已知锐角三角形ABC ，D 、E 、F 分别是BC 、CA 、AB 上的动点，求证：222DE EF FD ++达到最小时，满足GD BC ⊥、GE AC ⊥、GF AB ⊥，及等价的A B A C B CG F G E G D==，此处G 为DEF △重心，并用ABC △三边及面积表示这个最小值． 解析 如图，先设E 、F 固定，M 为EF 中点，则2222122DE DF MD EF +=+．当MD 达最小时，应有MD BC ⊥，如对三边作处理，便有GD BC ⊥、GE AC ⊥、GF AB ⊥，此时GFD GED S S =△△，sin sin FG FGD GE EGD ⋅=⋅∠∠，故sin sin FG B GE C ⋅=⋅，sin sin FG GEC B=，同理此值为sin GD A ，此即AB AC BCGF GE GD==．CD B GE MFA下证此时的DEF △确实达到三边之平方和最小．先求此值，设GF k AB =⋅，GE k AC =⋅，GD k BC =⋅，则()2222ABC k AB BC CA S ++=△．又2222cos DE GE GD GE GD C =++⋅⋅()2222cos k AC BC AC BC C =++⋅ ()222222k AC BC AB =+-，同理有另两式，加之，得()22222223DE EF FD k AB BC CA ++=++222212ABCS AB BC CA =++△． 下证对于一般的DEF △，有()()222222DEEF FD AB BC CA ++++212ABC S △≥．找到DEF △重心G ，由中线长，易知有()()222222DEEF FD AB BC CA ++++()()2222223FG GD GE AB BC CA =++++()23FG AB GD BC GE CA ⋅+⋅+⋅≥212ABC S △≥．评注 这里用到柯西不等式，不难得出等号成立之条件．此题还包含了另一个问题：三角形内求一点至三边距离平方和最小． 17.1.56★★★已知ABC △，D 、E 分别在BC 、AB 上，AD 、CE 交于O ，记A C O △、EDO △、BED △的面积分别是1S 、2S 、3S ，求3S 的最小值(假定1s 、2s 已知，用1S 、2S 表示之)．解析 如图，若设AEO S S =△，ODC S S =△′，则由简单的比例知S S ⋅′12S S =⋅，又O CBEA12AEC ACDEDC AED S S S AO CO AO CO S EO DO DO EO S S ⋅==⋅=⋅⋅△△△△ AEC ACD AED EDC S S BC ABS S BD BE =⋅=⋅△△△△ 12333ABC S S S S S S S S ++++'==△1233S S S S +++≥231S =+，故3S最小值为2S S S =′，即ED AC ∥．17.1.57★★★已知ABC △三边分别为a 、b 、c ，其中b 、c 确定，D 为BC 中点，ADC θ=∠，求sin θ的最大值(a 不固定，用b 、c 表示)．θCD A解析 易知2222cos a b c bc A =+-，()222212cos 4AD l b c bc A ==++(延长AD 一倍至E 并连CE 即知)．于是()22222sin 4sin ABC bc A S a l θ==△，()2222222222sin sin 1cos 4b c Ab c b c A θ=+-下证此式()222224b c bc+≤．这等价于()()22222222224cos sin bc b c A b c A +-+≥，这可由222b c bc +≥及2cos 0A ≥推出，故sin θ的最大值为222bcb c+，仅当90BAC =∠゜或AB AC =时成立．17.1.58★★★★(费马光行最速原理)光线由A 到B ，在介质分界面l 上折射．设C 为l 上一点，直线AC 、BC 与l 所夹锐角分别为1θ、2θ，又设C ′是l 上另一点．求证：当1v 、2v (光线在两种不同介质中的速度)满足θ2θ1B 1BDCC 'ElA F1122cos cos v v θθ=时必有1212AC BC AC BCv v v v ''+>+． 解析 作点B 关于直线l 的对称点1B ，则有 1B C BC =，1B C ′BC =′， 12DCB DCB θ==∠∠．过A 作CA 的垂线，过1B 作1B C 的垂线，两垂线交于点F ，且与l 分别交于E 、D ．在D E F △中，EF C ⋅′A DF C +⋅′()12C EF C FD B S S ''>+△△()22DEF CEF CDF S S S ==+△△△1EF CA DF CB =⋅+⋅．由正弦定理，得2211cos sin sin cos v EF FDE DF FED v θθ===∠∠， 故 2v A C ⋅′11v B C +⋅′211v AC v B C >⋅+⋅， 即 111212B C B CAC AC v v v v ''+>+， 得1212AC BC AC BC v v v v ''+>+．17.1.59★★★★ABC △内(或边界上)有一点D ，180ADC ABC +=∠∠゜，CD AB a ==，AC b =．a <b <2a ，求ABC ACD S S -△△的最大值(用a 、b 表示，需分情况讨论)．解析 易知90ADC >∠゜．如图，延长AD 至P ，使A P C A B C C D P ==∠∠∠，则C P C D A B ==，且A 、B 、P 、C 共圆，于是四边形ABPC 为等腰梯形，因此ABC ACD APC ACD DCP S S S S S -=-=△△△△△．BCPEDA问题归结为求DCP S △的最大值．当然是希望90DCP =∠゜，这样212DCP S a =△．下面来研究DCP ∠的可取范围，设DCP θ=∠．由于AE CE =，DAC DCA ∠≥∠，因此CD AD ≥． 在ACP△中，由等腰三角形CDP 知22b a AD AP -=⋅(见题9.2.3)2222sin 2AD AD DP CD CD DP a a a θ=+⋅+⋅=+⋅≤，即221sin 22b a θ-≤．因为b <2a ，故左式<1，θ总有解，下面讨论之．(1)当1ba<θ可取90゜，此时的最大面积正是212a ； (2)当2ba<时，取22sin 122b a θ=-，则22sin 22b PD a a a θ==-，DCP S △得最大值为2sin cos 22a θθ=．17.1.60★★★★已知：定角60O =∠゜，内有一定点P ，OP 平分O ∠，OP d =，过P 作一动直线交O ∠两边于A 、B (OAB ∠、90OBA ∠≤゜)，过A 、B 分别作OA 、OB 的垂线交于Q ．求四边形AOBQ 面积的最大值，并刻画此时AB 的位置．解析 不妨设OA a =，OB b =，作A D O B ⊥于D ，则c o s 602aB D b a b =-=-゜，2cos ab ABO AB-=∠，同理2cos b a OAB AB-=∠． 由正弦定理，s i n s i n B QA B B A Q Q =∠，或c o s s i n 60B QA BO A B =∠゜，故2b B Q a ⎫=-⎪⎭，2215222422ABQa b a b S BD BQ b a ab ⎫⎫⎛⎫=⋅⋅=--=--⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭△，又O A S a b =△，故)224OBQA S ab a b =--． 下面求出a 与b 之间的关系．由AOB AOP BOP S S S =+△△△，得sin30sin30sin60ad bd ab +=゜゜゜，不妨设d a b ab +=．由此得ab ≥4ab ≥． 又()()()()22222466938ab a b ab a b ab ab ab -+=-+=-=--≤． 于是当2a b ==时，OBQA S一般情况下．当a b =2)，此时AB OP ⊥．17.1.61★★★★ABC △的边BC 内有一点D ，AD BC ⊥，又在BC 上找一点E ，使BE CD=(E 比D 靠近B )，过E 任作一直线，交AB 于F ，交AC 的延长线于G ，求证：BC FG <．解析1 如图(a )，连结BG 、DG ，显然ABC ∠、ACB ∠均为锐角．由梅氏定理，有1BA FG EC AF GE CB ⋅⋅=，于是欲证结论变成求证1BA EC AF GE ⋅<，或BF GE CEAF CE-<． 作GH BC ⊥于H ，连结AE 、AH ，注意左边为BEG DCG DHG AHG AEG AEG AEG AEG S S S S CH EH CE GE CES S S S CE CE CE --=<===<△△△△△△△△． 于是结论成立．(b)(a)ME D CGNBFAHC DE BF A解析2 如图(b )，作FM 、GN 与BC 垂直，垂足为M 、N ．由梅氏定理知1AG CE BFGC BE AF ⋅⋅=， 用AG AC AF AB >及CE BDBE CD=代入，得。