立体几何、数列、三角函数、不等式、平面向量综合练习
高考数学基本(均值)不等式与其他知识相结合的9种方式-10.23
基本（均值）不等式与其他知识相结合的9种方式基本（均值）不等式是解决函数、立体几何、三角函数、数列、向量、解三角形等知识领域重要的方法之一。
本资料整理高一知识融合试题，试题偏难，仅供强基计划学生选用。
一、不等式与三角函数1．已知αβγπ++=，β为锐角，tan 3tan αβ=，则11tan tan γα+的最小值为（ ） A ．12B ．43C ．32 D ．34解析：∵αβγπ++=， ∴2tan tan 4tan tan tan()1tan tan 13tan αββγαβαββ+=-+=-=---，22113tan 119tan 1tan tan 4tan 3tan 12tan ββγαβββ-+∴+=+= 31321tan 49tan 432ββ⎛⎫=+≥⨯= ⎪⎝⎭， 当且仅当1tan 9tan ββ=即1tan 3β=时取等号， 所以11tan tan γα+的最小值为12.故选：A.二、不等式与数列2.阅读：已知a 、b ∈(0,+∞)，a +b =1，求y =1a +2b 的最小值. 解法如下：y =1a +2b =(1a +2b )(a +b)=ba +2a b+3≥3+2√2，当且仅当ba =2ab，即a =√2−1,b =2−√2时取到等号，则y =1a +2b 的最小值为3+2√2. 应用上述解法，求解下列问题：（1）已知a,b,c ∈(0,+∞)，a +b +c =1，求y =1a +1b +1c 的最小值； （2）已知x ∈(0,12)，求函数y =1x +81−2x 的最小值；（3）已知正数a 1、a 2、a 3,⋯,a n ，a 1+a 2+a 3+⋯+a n =1， 求证：S =a 12a1+a 2+a 22a2+a 3+a 32a3+a 4+⋯+a n2an +a 1≥12.解析：（1）∵a +b +c ＝1，∴y =1a +1b +1c =（a +b +c ）(1a +1b +1c )=3+(b a+a b+c a+a c+c b+b c)≥3+2√b a⋅ab+2√ca ⋅a c +2√cb ⋅bc=9， 当且仅当a ＝b ＝c =13时取等号．即y =1a +1b +1c 的最小值为9． （2）y =22x +81−2x =(22x +81−2x )(2x +1−2x)=10+2⋅1−2x 2x+8⋅2x1−2x ，而x ∈(0，12)，∴2⋅1−2x 2x+8⋅2x 1−2x≥2√2(1−2x)2x⋅8⋅2x1−2x =8，当且仅当2(1−2x)2x =8⋅2x1−2x ，即x =16∈(0，12)时取到等号，则y ≥18，∴函数y =1x +81−2x 的最小值为18． （3）∵a 1+a 2+a 3+…+a n ＝1， ∴2S ＝（a 12a 1+a 2+a 22a 2+a 3+a 32a 3+a 4+⋯+a n 2a n +a 1）[（a 1+a 2）+（a 2+a 3）+…+（a n +a 1）]=(a 12+a 22+⋯+a n 2)+[a 12a 1+a 2(a 2+a 3)+a 22a 2+a 3(a 1+a 2)+⋯+a n2an +a 1(a 1+a 2)+a 12a 1+a 2(a 3+a 4)+⋯]≥(a 12+a 22+⋯+a n 2)+（2a 1a 2+2a 2a 3+⋯+2a n a 1）=(a 1+a 2+⋯+a n )2=1．当且仅当a 1=a 2=⋯=a n =1n 时取到等号，则S ≥12．三、不等式与立体几何3.已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面,120ABC BAC ︒∠=，2AD =，若球O 的表面积为20π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为（ ）A B C D ．【解析】设球O 的半径为R ，AB x =，AC y =， 由2420R ππ=，得25R =． 如图：设三角形ABC 的外心为G ，连接OG ，GA ，OA ，可得112OG AD ==，则2AG ==．在ABC ∆中，由正弦定理可得：24sin120BCAG ==︒，即BC =由余弦定理可得，222221122()32BC x y xy x y xy xy ==+-⨯-=++，4xy ∴．则三棱锥A BCD -的体积的最大值为114sin120232⨯⨯⨯︒⨯=．故选：B ．4．如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥面ABC ，AB BC E F ⊥,、是SC 上两个三等分点，记二面角E AB F --的平面角为α，则tan α（ ）A ．有最大值43B ．有最大值34C ．有最小值43D ．有最小值34【解析】将三棱锥放入长方体中，设AB a ，BC b =，AS c =，如图所示：过E 作EN ⊥平面ABC 与N ，NM AB ⊥与M ，连接ME ， 则EMN ∠为二面角E AB C --的平面角，设为1α，则13NE c =，23MN b =，故1tan 2cbα=. 同理可得：设二面角F AB S --的平面角为2α，2tan 2b cα=. 12121231tan tan 34tan tan 2tan tan 422c b b cααπααααα-⎛⎫=--==≤ ⎪+⎝⎭+，当22c b b c=，即b c =时等号成立. 故选：B .5.如图，已知四面体ABCD 为正四面体，AB =E ，F 分别是AD ，BC 中点.若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）A ．1BC ．2D ．【解析】把正四面体补为正方体，如图，根据题意，//KL BC ，//LM GH ，KL AL BC AB =，LM BLAD AB=， 所以KL AL =，LM BL =，故KL LM AL BL +=+=，222KL LM S KL LM +⎛⎫=⋅≤= ⎪⎝⎭截面，当且仅当KL LM =时成立，故选：C.四、不等式证明6．设,,0x y z >，1114,4,4a x b y c z y z x=+=+=+，则,,a b c 三个数（ ） A ．都小于4 B ．至少有一个不大于4 C ．都大于4D ．至少有一个不小于4【解析】假设三个数144x y +<且144y z +<且144z x+<， 相加得：11144412x y z x y z+++++<， 由基本不等式得：144x x +；144y y +；144z z+；相加得：11144412x y z x y z+++++，与假设矛盾；所以假设不成立，三个数14x y +、14y z +、14z x+至少有一个不小于4． 故选：D ．7.已知a ，b ，R c ∈，2221a b c ++=．()1证明：112ab bc ca -≤++≤． ()2证明：()()()22222222223a b c b c a c a b +++++≤．【解析】()1证明：由()222222212220a b c a b c ab bc ca ab bc ca ++=+++++=+++≥，得12ab bc ca ++≥-．另一方面，222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥， 所以222222222a b c ab bc ca ++≥++，即1ab bc ca ++≤．所以112ab bc ca -≤++≤．()2证明：()()()222222222a b c b c a c a b +++++()()()()2222224441111a a b b c c a b c =-+-+-=-++，因为()()24442222222224444442221a b c a b ca b b c c a a b b c c a ++=++---≥-+++++，即()44431a b c ++≥，则44413a b c ++≥， 所以()()()22222222223a bc b c a c a b +++++≤．8.已知,,a b c 为正数，且满足 1.a b c ++= 证明：（1）1119a b c++≥； （2）8.27ac bc ab abc ++-≤【解析】（1）1a b c ++=，故111a b c a b c a b c a b c a b c++++++++=++ 332229b a c a c ba b a c b c =++++++≥+++=，当13a b c ===时等号成立. （2）易知10,10,10a b c ->->->.()()()()1111ac bc ab abc a b c ac bc ab abc a b c ++-=-+++++-=---31118327a b c -+-+-⎛⎫≤= ⎪⎝⎭.当13a b c ===时等号成立.9.设实数x ，y 满足2x y 1+=．()1若2y 12x 3--<，求x 的取值范围；()2若x 0>，y 0>，求证：1215x y 2+． 【解析】()1由21x y +=，得12y x =-，所以不等式2123y x --<，即为4123x x --<，所以有{1423x x x <-+<或1041423x x x ⎧≤≤⎪⎨⎪--<⎩或144123x x x ⎧>⎪⎨⎪--<⎩ 解得10x -<< 或10?4x ≤≤或 124x <<， 所x 的取值范围为()1,2x ∈-．()20x >，0y >，21x y +=所以()1212424448y xx y x y x y x y⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭ 当且仅当4y x x y =，即122x y ==时取等号．又2122x y +≥-=-，当且仅当122x y ==时取等号，所以12152x y +≥，当且仅当122x y ==时取等号．10、在锐角ABC ∆中，证明：（1）tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=；（2）tan tan tan A B C ⋅⋅≥证明：（1）tan tan tan tan()tan tan 1A BC A B A B +=-+=-∴tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=（5分）（2）解法1：tan ,(0,)2y x x π=∈是凸函数，∴tan tan tan A B C ≥解法2：3tan tan tan tan tan tan ()3A B C A B C ++≤，∴tan tan tan A B C ≥五、最值问题11.设0,0x y >>且4x y +=，则2212x y x y +++的最小值是 A ．167B ．73C ．2310D ．94【解析】∵4x y +=，∴（x+1）+(y+2)=7∴()()()()2222121124241212x x y y x y x y x y +-+++-+++=+++++=1+()1414x 1y 214y 24x 112216112?x 1y 2x 1y 277777x 17y 2777⎛⎫++++⎛⎫+=+++=++++≥+⨯= ⎪⎪++++++⎝⎭⎝⎭（）（） 12.已知实数0,1a b >>满足5a b +＝，则211a b +-的最小值为（ ） A．34+ B．34+ C．36+ D．36+ 【解析】因为0,1a b >>满足5a b +＝，则()21211()1114a b a b a b +=++-⨯⎡⎤⎣⎦--()21113(3414b a a b -⎡⎤=++≥+⎢⎥-⎣⎦ 当且仅当()211b aa b -=-时取等号，故选：A ．13．设0a b >>，则()241ab b b a b ++-的最小值是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．6【解析】因为00a b a b >>⇒->； 所以22224114()()ab ab b b b b a b b a b b ++=-+++--2214()2(246()b a b b b a b b a b b =-+++-=+=-．当且仅当1()()b a b b a b -=-，224b b=时取等号，∴241()ab b b a b ++-的最小值为6．故选：D ．六、不等式与函数14.已知()221f x x x =-++． （1）求不等式()6f x <的解集；（2）设,,m n p 为正实数，且()2m n p f ++=，求证：3mn np pm ++≤.【解析】（1）不等式2216x x -++<等价于不等式组1336x x <-⎧⎨-+<⎩或1256x x -≤≤⎧⎨-+<⎩或2336x x >⎧⎨-<⎩，所以不等式2216x x -++<的解集为()1,3-； （2）证明：因为3m n p ++=，所以()22222229m n p m n p mn mp np ++=+++++=， 因为,,m n p 为正实数，所以由基本不等式222m n mn +≥（当且仅当m n =时等号成立）， 同理22222,2m p mp p n pn +≥+≥，所以222m n p mn mp np ++≥++， 所以()22222229333m n p m n p mn mp np mn mp np ++=+++++=≥++， 所以3mn mp np ++≤.15.已知函数()f x =的定义域为R .（1）求实数m 的取值范围；（2）设实数t 为m 的最大值，若实数,,a b c 满足2222a b c t ++=，求222111123a b c +++++的最小值. 【解析】（1）函数()f x =R .∴231x x m ---≥对任意的x ∈R 恒成立，令()231g x x x =---，则()()()()7,353,035,0x x g x x x x x ⎧-≥⎪=-<<⎨⎪-≤⎩，结合()g x 的图像易知()g x 的最小值为4-，所以实数m 的取值范围(],4-∞-.（2）由（1）得4t =-，则22216a b c ++=，所以()()()22212322a b c +++++=，()()()22222222211112311112312322a b c a b c a b c ⎛⎫⎡⎤+++++++ ⎪⎣⎦+++⎝⎭++=+++ 222222222322213132312132322b ac a c b a b a c b c ++++++++++++++++++=922≥=，当且仅当222221233a b c +=+=+=，即2193a =，2163b =，2133c =时等号成立，∴222111123a b c +++++的最小值为922.七、不等式与向量16.若非零向量,m n 满足||||1m e m e n e n e --⋅=--⋅=（e 为单位向量），且m n ⊥，则||m n -的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【解析】由非零向量,m n 满足m n ⊥，可设(,0)m a =，(0,)n b =，其中,a b 均不为0． 因为e 为单位向量，可设(cos ,sin )e θθ=，因为||(cos 1m e m e a a θ--⋅=-=，所以222222cos cos sin 12cos cos a a a a θθθθθ+=++-+，即2sin 4cos a θθ= ①， 同理，由||1n e n e --⋅=可得2cos 4sin b θθ= ②，由①②，可得22224416cos 16sin sin cos a b θθθθ+=+=42242244cos sin cos sin sin cos 16sin cos θθθθθθθθ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭42421116tan tan 16(22)64tan tan θθθθ⎛⎫=+++≥⨯+= ⎪⎝⎭当且仅当2tan 1θ=时，等号成立，所以当2tan 1θ=时，min ||8m n -=， 故选：D ．17.已知平行四边形ABCD的面积为，23πBAD ∠=，E 为线段BC 的中点．若F 为线段DE 上的一点，且56AF AB AD λ=+，则AF 的最小值为___________． 【解析】由题可知，平行四边形ABCD 的图象如下：设DF kDE =，()=AF AD DF AD kDE AD k DC CE ∴=++=++，DC AB =，12CE DA =，则1+2AF AD k AB k DA =+， 所以11122AF k AB AD k AD k AB k AD ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，又56AF AB AD λ=+，则有：15126k k λ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：13k λ==，即1536AF AB AD =+， 平行四边形ABCD的面积为，即2sin3AB AD π⋅=18AB AD ∴⋅=， 2222151525369936AF AB AD AB AB AD AD ⎛⎫∴=+=+⋅+ ⎪⎝⎭，即：2221525cos 9936AF AB AB AD BAD AD ∴=+⋅∠+， 222221512512518=+599236936AF AB AD AB AD ⎛⎫∴=+⨯⨯-+- ⎪⎝⎭，即：222125=+5936AF AB AD -， 222212512552=218=1093618AB AD AB AD +≥⨯⨯⨯，即22125+10936AB AD ≥， 所以22125+55936AB AD -≥，25AF ∴≥，5AF ∴≥，当且仅当：22125=936AB AD 时，取等号，AF ∴的最小值为.18.平面向量,,a b c →→→满足||1a →≤，||1b →≤，|2()|||c a b a b →→→→→≤--+，则||c →的最大值为_______． 【解析】由绝对值不等式的性质可知，已知中|2()|||c a b a b -+≤-，可得|2|||||c a b a b -+≤-，即|2|||||c a b a b ≤++-，将a ，b 的起点移到同一点，以a ，b 为边构造平行四边形，则a b +，a b -为平行四边形的两条对角线，在平行四边形ABCD 中，2222||||||||AC AB AD AB AD ==++2||||cos AB AD BAD +⋅∠，由余弦定理可知222||||||2||||cos BD AB AD AB AD BAD -=+⋅∠，则22||||AC BD +=222||2||AB AD +，显然||||AC BD +若取最大值，则||AB ，||AD 应为最大1，即()()2222||||||||4||||||22||4||||2AC BD AC BD AC BD AC BD AC BD ++=⇒=--+=⇒由基本不等式可知()()()222|||||||||||282|||||||||4AC BD AC BD AC BD AC BD AC BD ++=≤⇒⇒++≤-≤当且仅当||||AC BD =时取等号，所以当||1a =，||1b =且||||a b a b +=-时，||||a b a b ++-取得最大值则|2|||||22c a b a b ≤++-≤，即||2c ≤，所以||c ．八、不等式与解三角形19．在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，若222sin()SA C b c +=-，则1tan 2tan()CBC +-的最小值为（ ）AB ．2C ．1D．【解析】因为222sin()SA C b c +=-，即222sin S B b c =-，所以22sin sin ac B B b c =-，因为sin 0B ≠，所以22b c ac =+，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得2cos a c B c -=， 再由正弦定理得sin 2sin cos sin A C B C -=，因为sin 2sin cos sin()2sin cos sin()A C B B C C B B C -=+-=-， 所以sin()sin B C C -=，所以B C C -=或B C C π-+=， 得2B C =或B π=（舍去）.因为ABC ∆是锐角三角形，所以02022032C C C ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，得64C ππ<<，即tan C ∈，所以11tan tan 2tan()2tan C C B C C+=+≥-当且仅当tan C =，取等号. 故选:A20.已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且6a =，点O 为其外接圆的圆心.已知·15BO AC =，则当角C 取到最大值时ABC 的面积为（ ）A ．B ．CD ．【解析】设AC 中点为D ，则()BO AC BD DO AC ⋅=+⋅ BD AC =⋅ ()()12BC BA BC BA =+⋅- 221122BC BA =-，22111522a c ∴-=，即c = 由c a <知角C 为锐角，故222cos 2a b c C ab+-=2301301212b b b b +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ 1212b ⨯=，当且仅当30b b =，即b =cos C 最小，又cos y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭递减，故C 最大.此时，恰有222a b c =+，即ABC 为直角三角形，ABC12Sbc ==，故选A .21.在ABC 中,已知·9AB AC =,sin cos sin B A C =,6ABCS =,P 为线段AB 上的点,且CA CB CP xyCACB=+,则xy 的最大值为________.【解析】由sin cos sin B A C =得2222221622ABC b c a b c a b c S ab bc ∆+-=⇒+=⇒==所以由·9AB AC =得29,3,4AC b a =∴== 又P 为线段AB 上的点，且CA CB CP xyCACB=+,所以1,1,1334x y x y xy b a +=∴+=∴≥≤ ，当且仅当3,22x y ==时，等号成立即xy 的最大值为3.22.设ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3cos cos 5a Bb Ac -=，则()tan A B -的最大值为A．2B ．34C ．32D【解析】3cos cos 5a Bb Ac -=∴由正弦定理，得35sinAcosB sinBcosA sinC -=， C A B sinC sin A B π=-+⇒=+（）（），， ∴35sinAcosB sinBcosA sinAcosB cosAsinB -=+（），整理，得4sinAcosB sinBcosA =，同除以cosAcosB ， 得4tanA tanB = ， 由此可得23311144tanA tanB tanBtan A B tanAtanB tan BtanB tanB（），--===+++A B 、 是三角形内角，且tan A 与tanB 同号，A B ∴、 都是锐角，即00tanA tanB ＞，＞，144tanB tanB +≥= 33144tan A B tanB tanB-=≤+（），当且仅当14tanB tanB =，即12tanB = 时，tan A B -（）的最大值为34．故选B ．23.已知△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，若满足a 2+b 2+2c 2＝8，则△ABC 面积的最大值为（ ）A ．5B ．5C ．5D ．3【解析】因为a 2+b 2+2c 2＝8，所以22282a b c +=-，由余弦定理得222283cos 22a b c c C ab ab+--==，即22cos 83ab C c =-① 由正弦定理得in 12s S ab C =，即2sin 4ab C S =② 由①，②平方相加得()()()()()222222222483482ab c S abc =-+≤+=-，所以()()()()2222222222116556448283165525c c S c c c c ⎛⎫-+≤---=-≤= ⎪⎝⎭，即245S ≤，所以5S ≤， 当且仅当22a b =且221655c c -=即222128,55a b c ===时，取等号. 故选：B24.已知G 是ABC 的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 交于点,M N ，且AM xAB =，AN y AC =，(),0x y >，则3x y +的最小值是( )A ．83B ．72C ．52D ．433+ 【解析】因为,,M G N 三点共线，故()1AG t AM t AN =+-，因为,AM x AB AN y AC ==，所以()1AG txAB t yAC =+-，又G 为重心，故1331AG AB AC =+，而,AB AC 不共线，所以()11,133tx t y =-=，也即是113x y +=.()1111333433y x x y x y x y x y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由基本不等式可以得到：3y x x y +≥13x y ==+等号成立，故3x y +的最小值为433+，故选D .25.已知O 是ABC 的外心，45C ∠=︒,2,(,)OC mOA nOB m n R =+∈,则2214m n +的最小值为____．【解析】()2222222244OC mOA nOB OC mOA nOBm OA n OB mnOA OB =+∴=+=++⋅90045C AOB OA OB ∠=︒∴∠=︒∴⋅=故2241m n +=()2222222222414141644816m n n m m n mn m n ⎛⎫+=+=+++≥= ⎪⎭+⎝ 当222216n m m n=即2211,28n m ==时等号成立，故答案为：1626.在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若224sin 6b c bc A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭，则tan tan tan A B C ++的最小值是______．【解析】由余弦定理，得2222cos b c a bc A +=+，则由224sin 6b c bc A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭，得22cos 4sin 2cos )6a bc A bc A bc A A π⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，所以2sin a A =，由正弦定理，得2sin sin sin A B C A =⋅⋅，所以sin sin A B C =，所以sin()sin B C B C +=，sin cos cos sin sin B C B C B C +=，tan tan tan B C B C +=．因为tan tan tan tan()tan tan 1B CA B C B C +=-+=-，所以tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅，则tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan 1B C A B C B C B C B C +++=⋅⋅=⋅-．令tan tan 1B C m ⋅-=，而tan tan tan tan 1,0tan tan B CB C m A A⋅-=+∴> 则tan tan 1B C m ⋅=+，)221tan tan tan m m A B C m++++==1223(22)m m m ⎫=++=⎪⎭当且仅当1m =时，等号成立，故tan tan tan A B C ++的最小值为27.已知ABC ∆的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，且3cos cos 5a C c Ab -=，则tan()A C -的最大值为______． 【解析】因为3cos cos 5a Cc A b -=，由正弦定理得3sin cos sin cos sin 5A C C AB -=， 又()B AC π=-+，所以3sin cos sin cos sin[()]5A C C A A C -=-+π， 即3sin cos sin cos sin()5A C C A A C -=+， 所以5sin cos 5sin cos 3sin cos 3cos sin A C C A A C A C -=+，所以2sin cos 8cos sin A C A C =，当cos 0C ≤或cos 0A ≤时，等式不成立，所以,(0,)2A C π∈， 所以tan 4tan A C =， 所以2tan tan 3tan 3tan()11tan tan 14tan 4tan tan A C C A C A C C C C--===+++ 又tan 0C >，所以14tan tan C C +≥， 当且仅当14tan tan C C =，即1tan 2C =时，等号成立， 所以33tan()144tan tan A C C C -=≤+， 所以tan()A C -的最大值为34．28.已知ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且满足0,cos cos a b A B++=则2sin 2tan B C ⋅的取值范围是__________.【解析】0cos cos a b A B+=，即cos cos cos 0a B b A A +=，即sin cos sin cos cos 0A B B A C A ++=，()sin 10C A =，sin 0C ≠，故10A =，34A π=，故4B C π+=. ()()222222222cos 11cos sin 1sin 2tan cos 232cos cos cos cos C C C B C C C C C C --⎛⎫⋅=⋅==-+ ⎪⎝⎭， 0,4C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故21cos ,12t C ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，故132y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，根据双勾函数性质知：函数在1,22⎛ ⎝⎭上单调递增，在2⎫⎪⎢⎪⎣⎭上单调递减.故max 3y =-，当1t =时，0y = ，当12t =时，0y =，故(2sin 2tan 0,3B C ⋅∈-.故答案为：(0,3-.九、不等式与恒成立问题29.正数,a b 满足191a b+=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[3,)+∞B ．(,3]-∞C ．(,6]-∞D ．[6,)+∞ 【解析】190,0,1a b a b>>+=，199()1010216b a b a b a b a b a b a ⎛⎫∴+=++=+++= ⎪⎝⎭当且仅当3a b =，即4, 12a b ==时，“=”成立，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立，则241816x x m -++-≤， 即242x x m -++≤对任意实数x 恒成立，2242(2)66x x x -++=--+≤ 6m ∴≥ 实数m 的取值范围是[6,)+∞30．数列{}n a 中，112a =，()()()*111n n n na a n n na +=∈++N ，若不等式()24110n n a n nλ++-≥恒成立，则实数λ的取值范围为__________. 【解析】由数列{} n a 满足112a =,1()(1)(1)x n n nna a n N n na +=∈++， 两边取倒数可得：1111(1)n n n a na +-=+，∴数列1n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列, 公差为1, 首项为2 12(1)1n n n na ∴=+-=+，1(1)n a n n =+∴ 由241(1)0n n a n nλ++-恒成立,得221414(1)(1)n n n n n n n λ---⋅--=+, 当 n 为偶数时，(1)(4)4(5)n n n n nλ-++=-++, 则9λ≥-，当n 为奇数时，45n n λ++,则283λ ，∴实数λ的取值范围为289,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。
2-3-22三角函数、平面向量、立体几何、概率与统计型解答题
高考专题训练二十二三角函数、平面向量、立体几何、概率与统计型解答题班级_______ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：50分 总得分________1．(12分)(2011·广东卷)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，x ∈R. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．分析：本题考查运用三角公式化简求值．(1)f (x )的解析式已给出，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4即可；(2)先化简f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，再结合α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2求cos α与sin β，代入即得cos(α＋β)的值． 解：(1)∵f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝2sin π4＝ 2. (2)∵α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，∴2sin α＝1013，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π2＝65，即sin α＝513，cos β＝35，∴cos α＝1213，sin β＝45，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1213×35－513×45＝1665.2．(12分)(2011·重庆卷)如图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，AB ⊥BC ，AD ＝CD ，∠CAD＝30°.(1)若AD ＝2，AB ＝2BC ，求四面体ABCD 的体积；(2)若二面角C －AB －D 为60°，求异面直线AD 与BC 所成角的余弦值．分析：本小题主要考查面面垂直的性质、四面体的体积计算公式、二面角的意义与异面直线所成的角的意义及求法．在具体处理过程中，可围绕线面垂直的性质定理去考虑，从而添加相关的辅助线，由此求得相关几何体的体积；在求异面直线所成的角的过程中，注意根据异面直线所成角的意义，考虑平移其中一条或两条直线，从而将问题转化为求两条相交直线的夹角问题．也可考虑通过建立坐标系的方式解决相关问题．解：(1)如图所示，设F 为AC 中点，连接FD ，由于AD ＝CD ，所以DF ⊥AC .又由平面ABC ⊥平面ACD ，知DF ⊥平面ABC ，即DF 是四面体ABCD 的面ABC 上的高，且DF ＝AD sin30°＝1，AF ＝AD cos30°＝ 3.在Rt △ABC 中，因AC ＝2AF ＝23，AB ＝2BC ，由勾股定理易知BC ＝2155，AB ＝4155.故四面体ABCD 的体积V ＝13·S △ABC ·DF ＝13×12×4155×2155＝45.(2)解法一：如图所示，设G ，H 分别与边CD ，BD 的中点，则FG ∥AD ，GH ∥BC ，从而∠FGH 是异面直线AD 与BC 所成的角或其补角．设E 为边AB 的中点，则EF ∥BC ，由AB ⊥BC ，知EF ⊥AB .又由(1)知DF ⊥平面ABC ，故由三垂线定理知DE ⊥AB .所以∠DEF 为二面角C －AB －D 的平面角．由题设知 ∠DEF ＝60°.设AD ＝a ，则DF ＝AD ·sin ∠CAD ＝a2.在Rt △DEF 中，EF ＝DF ·cot ∠DEF ＝a 2·33＝36a ，从而GH ＝12BC ＝EF ＝36a .因Rt △ADE ≌△BDE ，故BD ＝AD ＝a ， 从而，在Rt △BDF 中，FH ＝12BD ＝a 2.又FG ＝12AD ＝a 2，从而在△FGH 中，因FG ＝FH ，由余弦定理得cos ∠FGH ＝FG 2＋GH 2－FH 22FG ·GH ＝GH 2FG ＝36.因此，异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为36.解法二：如图所示，过F 作FM ⊥AC ，交AB 于M ，已知AD ＝CD ，平面ABC ⊥平面ACD ，易知FC ，FD ，FM 两两垂直．以F 为原点，射线FM ，FC ，FD 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系F －xyz .不妨设AD ＝2，由CD ＝AD ，∠CAD ＝30°，易知点A ，C ，D 的坐标分别为A (0，－3，0)，C (0，3，0)，D (0,0,1)，则AD →＝(0，3，1)．显然向量k ＝(0,0,1)是平面ABC 的一个法向量．已知二面角C －AB －D 为60°，故可取平面ABD 的一个单位法向量n ＝(l ，m ，n )，使得〈n ，k 〉＝60°，从而n ＝12.由n ⊥AD →，有3m ＋n ＝0，从而m ＝－36.由l 2＋m 2＋n 2＝1，得l ＝±63.设点B 的坐标为B (x ，y,0)，由AB →⊥BC →，n ⊥AB →，取l ＝63，有⎩⎨⎧x 2＋y 2＝3，63x －36(y ＋3)＝0，解之得，⎩⎨⎧x ＝469，y ＝739或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－3(舍去)． 易知l ＝－63与坐标系的建立方式不合，舍去．因此点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫469，739，0.所以CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫469，－239，0.从而cos 〈AD →，CB →〉＝AD →·CB →|AD →||CB →|＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2393＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫4692＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2392＝－36.故异面直线AD 与BC 所成的角的余弦值为36.3．(13分)(2011·浙江卷)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A －MC －B 为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．分析：此题主要考查了线线位置关系和二面角的求解，对(1)问线线垂直的证明易入手，利用线面垂直即可进行证明；对(2)问可采用空间直角坐标向量法进行处理；解题时对(2)问要注意恰当建立坐标系，恰当设参数，从而有效快速求解．解：方法一：(1)如图，以O 为原点，以射线OP 为z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O －xyz .则O (0,0,0)，A (0，－3,0)，B (4,2,0)，C (－4,2,0)，P (0,0,4)， AP →＝(0,3,4)，BC →＝(－8,0,0)，由此可得AP →·BC →＝0，所以AP →⊥BC →，即AP ⊥BC .(2)设PM →＝λPA →，λ≠1，则PM →＝λ(0，－3，－4)． BM →＝BP →＋PM →＝BP →＋λPA →＝(－4，－2,4)＋λ(0，－3，－4)＝(－4，－2－3λ，4－4λ)， AC →＝(－4,5,0)，BC →＝(－8,0,0)． 设平面BMC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 平面APC 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧BM →·n 1＝0，BC →·n 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4x 1－(2＋3λ)y 1＋(4－4λ)z 1＝0，－8x 1＝0，即⎩⎨⎧x 1＝0，z 1＝2＋3λ4－4λ1，可取n 1＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，2＋3λ4－4λ. 由⎩⎪⎨⎪⎧ AP →·n 2＝0，AC →·n 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y 2＋4z 2＝0，－4x 2＋5y 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝54y 2，z 2＝－34y 2，可取n 2＝(5,4，－3)．由n 1·n 2＝0，得4－3·2＋3λ4－4λ0，解得λ＝25，故AM ＝3.综上所述，存在点M 符合题意，AM ＝3.方法二：(1)由AB ＝AC ，D 是BC 的中点，得AD ⊥BC . 又PO ⊥平面ABC ，得PO ⊥BC .因为PO ∩AD ＝O ，所以BC ⊥平面PAD ， 故BC ⊥PA .(2)如图，在平面PAB 内作BM ⊥PA于M ，连接CM .由(1)中知PA ⊥BC ，得AP ⊥平面BMC .又AP ⊂平面APC ，所以平面BMC ⊥平面APC .在Rt △ADB 中，AB 2＝AD 2＋BD 2＝41，得AB ＝41.在Rt △POD 中，PD 2＝PO 2＋OD 2， 在Rt △PDB 中，PB 2＝PD 2＋BD 2， 所以PB 2＝PO 2＋OD 2＋DB 2＝36，得PB ＝6. 在Rt △POA 中，PA 2＝AO 2＋OP 2＝25，得PA ＝5. 又cos ∠BPA ＝PA 2＋PB 2－AB 22PA ·PB ＝13，从而PM ＝PB cos ∠BPA ＝2，所以AM ＝PA －PM ＝3. 综上所述，存在点M 符合题意，AM ＝3.4．(13分)(2011·天津)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球，2个黑球，乙箱子里装有1个白球，2个黑球， 这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)．(1)求在1次游戏中； (ⅰ)摸出3个白球的概率； (ⅱ)获奖的概率；(2)求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E (X )． 解：(1)(ⅰ)设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件A i ＝(i ＝0,1,2,3)，则P (A 3)＝C 23C 25·C 12C 23＝15.(ⅱ)设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则B ＝A 2∪A 3.又P (A 2)＝C 23C 25·C 22C 23＋C 13C 12C 25·C 12C 23＝12. 且A 2，A 3互斥，所以P (B )＝P (A 2)＋P (A 3)＝12＋15＝710.(2)由题意可知X 的所有可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－7102＝9100.P (X ＝1)＝C 12710⎝ ⎛⎭⎪⎫1－710＝2150. P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7102＝49100. 所以X 的分布列是X 的数学期望E (X )＝0×9100＋1×2150＋2×49100＝75.。
2-3-22三角函数、平面向量、立体几何、概率与统计型解答题
高考陪练
1.(2011· 北京卷)已知函数
π f(x)＝4cosxsinx＋ －1. 6
(1)求 f(x)的最小正周期； (2)求
π π f(x)在区间－ ， 上的最大值和最小值． 6 4
数学（理） 第29页 新课标· 高考二轮总复习
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[解]
(1)证明：
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证法一：综合法 设 G 是线段 DA 与线段 EB 延长线的交点，由于△ 1 OAB 与△ODE 都是正三角形，所以 OB 綊 DE，OG＝ 2 OD＝2.同理，设 G′是线段 DA 与线段 FC 延长线的交 点，有 OG′＝OD＝2.又由于 G 和 G′都在线段 DA 的 延长线上，所以 G 与 G′重合．
数学（理） 第25页 新课标· 高考二轮总复习
【热点例 4】
(2011· 江西)某饮料公司招聘了一名员工，
现对其进行一项测试， 以便确定工资级别，公司准备了两种不 同的饮料共 8 杯，其颜色完全相同，并且其中 4 杯为 A 饮料， 另外 4 杯为 B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从 8 杯饮 料中选出 4 杯 A 饮料， 4 杯都选对， 若 则月工资定为 3500 元； 若 4 杯选对 3 杯， 则月工资定为 2800 元； 否则月工资定为 2100 元，令 X 表示此人选对 A 饮料的杯数，假设此人对 A 和 B 两 种饮料没有鉴别能力． (1)求 X 的分布列； (2)求此员工月工资的期望．
数学（理） 第16页 新课标· 高考二轮总复习
2π (2)因为 b ＝a ＋c －2accos ， 3
2 2 2
高中数学练习题基础
高中数学练习题基础一、集合与函数(1) A = {x | x是小于5的自然数}(2) B = {x | x² 3x + 2 = 0}(1) 若A∩B = ∅，则A∪B = A(2) 对于任意实数集R，有R⊆R(1) f(x) = √(x² 5x + 6)(2) g(x) = 1 / (x² 4)(1) f(x) = x³ 3x(2) g(x) = |x| 2二、三角函数(1) sin 45°(2) cos 60°(3) tan 30°2. 已知sin α = 1/2，α为第二象限角，求cos α的值。
(1) y = sin(2x + π/3)(2) y = cos(3x π/4)三、数列(1) an = n² + 1(2) bn = 2^n 1(1) 2, 4, 8, 16, 32, …(2) 1, 3, 6, 10, 15, …(1) 1, 4, 9, 16, 25, …四、平面向量1. 已知向量a = (2, 3)，求向量a的模。
2. 计算向量a = (4, 5)与向量b = (3, 2)的数量积。
(1) a = (2, 1)，b = (4, 2)(2) a = (1, 3)，b = (2, 1)五、平面解析几何(1) 经过点(2, 3)且斜率为2的直线(2) 经过点(1, 3)且垂直于x轴的直线(1) 圆心在原点，半径为3的圆(2) 圆心在点(2, 1)，半径为√5的圆(1) 点(1, 2)到直线y = 3x 1的距离(2) 点(2, 3)到直线2x + 4y + 6 = 0的距离六、立体几何(1) 正方体边长为2(2) 长方体长、宽、高分别为3、4、52. 已知正四面体棱长为a，求其体积。
(1) 正方体A边长为2，正方体B边长为4(2) 长方体A长、宽、高分别为3、4、5，长方体B长、宽、高分别为6、8、10七、概率与统计1. 抛掷一枚硬币10次，求恰好出现5次正面的概率。
全国乙卷数学试题及解析2021
全国乙卷数学试题及解析2021一、试题概述全国乙卷数学试题2021年以考查基础知识和基本技能为主，同时注重考查考生的数学思维能力和水平。
试题涵盖了函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、解析几何、立体几何等多个知识点，题型丰富多样，难度适中。
二、试题具体内容1. 选择题：试题涵盖了多个基础知识点，如函数图像、方程根、三角函数性质等。
题目难度适中，注重考查考生对基础知识的掌握情况。
2. 填空题：填空题主要考查考生对数学概念、公式、定理的理解和运用。
题目难度适中，注重考查考生的解题思路和技巧。
3. 解答题：解答题主要考查考生的综合应用能力，包括解三角形、数列求和、函数单调性证明、导数应用、圆锥曲线问题等。
题目难度中等偏难，需要考生具备一定的数学思维和解题能力。
三、试题解析以下为部分试题解析：1. 选择题第1题：函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=f(1)=0，f(x)在x=0处取得极值。
求证：在(0,1)内至少存在一个点ξ，使得f’(ξ)=0。
解析：根据极值的定义，函数f(x)在区间内取得极值的条件是函数在该区间内至少存在两个不同的点ξ，使得在该点处的导数为0。
因此，我们可以通过构造辅助函数，利用导数性质证明该结论。
2. 填空题第8题：已知数列｛an｝的前n项和Sn满足：a1=2，a2=4，a(n+2)=4an+2(n≥2)。
求证：数列｛a(n+1)+2｝是等比数列。
解析：根据题意，可得到递推关系式Sn-S(n-1)=4an+2，化简得S(n+1)-Sn=4a(n+1)，从而得到Sn+2=(a(n+1)+2)·3/2，从而证明了｛a(n+1)+2｝是等比数列。
四、备考建议针对本次试题，考生在备考时应注意以下几点：1. 夯实基础，注重对基础知识的理解和运用；2. 强化解题技巧和方法，提高解题速度和准确度；3. 加强综合应用能力的培养，提高解决实际问题的能力；4. 注重平时积累，多做习题，积累解题经验。
全国甲卷2023高考理科数学试卷
全国甲卷2023高考理科数学试卷全国甲卷2023高考理科数学试卷(含答案)新高考数学各知识点所占比如下：一、分数占比1、集合5分2、三大函数5分3、立体几何初步12分+5分4、平面几何初步5分+12分5、算法初步5分6、统计5分7、概率5分+12分8、三角函数恒等变换5分+5分+12分9、平面向量5分10、解三角形5分+12分11、数列5分+12分12、不等式5分+12分13、常用逻辑用语5分14、圆锥曲线与方程5分+12分15、空间向量与立体几何5分+12分16、导数及应用5分+12分17、推理与证明12分18、数系扩充与复数的引入5分19、计数原理5分20、坐标系与参数方程10分二、题型1、选择+填空（8题单选+4题多选+4题填空）16道，每道5分，共80分。
占总分的大半。
送分题、基础题较多，以书上性质、公式的运用为主。
2、集合、复数：默认送分题。
平面向量：能建系尽量建系做。
计数原理：以二次项定理与分配问题居多。
统计与概率：可能会在读题上挖坑。
其他：命题、各章基本概念、计算（不等式或者比大小）3、中高档题会以几何或函数为主，可能会考新定义题。
几何：解三角形、立体几何、解析几何。
函数：函数（指对幂、正余切）的性质（单调奇偶对称周期）与图像（识别和变换）、简单求导、构造函数（常见于指对数比大小）。
4、新定义题：近年来高考的趋势，题干给出一个新的定义（高中课本里没学过的），然后让你利用其解题。
难度一般都不会太大，只要严格按照题干描述一步一步做就行。
高考数学为什么这么重要？数学是最好得分的科目，同时数学又是高考成败的关键。
多少学子因为数学成绩而走向不同的大学。
从某种意义上讲，高一高二的基础很重要，高一高二有没有“弄懂”将在很大程度上影响高三复习的进度，如果基础打得牢，高三可以向更高的层次冲一把，如果自认为基础有些薄弱，也不是完全没办法，一轮复习将在很大程度上弥补以前的弱势。
首先建议看看自己来年参加的考试的试卷题型分布，在复习方面，进入高三，哪些知识点只属于识记和基础理解层次，哪些知识点属于重难点。
平面向量全章习题
《平面向量》学法指导向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有着极其丰富的数学和物理背景；同时它也是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，在表述和解决相关问题中有着重要应用。
在本模块的学习中，我们首先将了解向量丰富的数学背景（有向线段）和物理背景（位移、速度、力和做功）。
有向线段具有长度和方向，向量也具有大小和方向，两者的几何特征是完全一致的，因此我们常用有向线段来表示．．一个向量。
向量也是对物理学中的矢量的进一步抽象，因此我们在学习中可以将向量和矢量对照学习，尤其是向量的正交分解、加减、数乘与数量积运算。
向量的运算的学习要从一些实例开始，如从位移的合成引入向量的加法（减法），从速度的倍数引入数乘向量，从“做功”引入向量的数量积。
同时我们要注意充分利用几何图形语言,从图形直观上获得解题的思路甚至直接获得解法。
在学习中我们要注意到利用向量法解决有关几何问题、力学问题和其它一些实际问题，如距离、角度等的计算以及各种空间关系如垂直、平行等的论证，发展学生的运算能力和解决实际问题的能力。
由22a a = 可知，222222121()()a a x y x x y y ==+=-+- ，此即求距离和线段长度的向量法 ；由cos a b a b θ∙=∙∙ （θ为向量,a b 夹角），知θcos =121222221212,x x y y a b a b x x y y +∙=++ 利用这个公式可以求已知方向向量的两条直线的夹角； 求两条直线夹角常见如已知两条直线方程，则可由方程求出方向向量进而求夹角；再如，判断两条直线的位置关系，求直线方程，求符合某些条件的曲线方程等，均可利用向量法进行；另外，由于空间向量是平面的自然推广，由于向量的平移不变性，每两个空间向量均可视为两个平面向量，所以在立体几何中模块中，对向量的应用将更加广泛，对空间垂直、平行关系的判断与证明、对空间角度与距离的求解等利用向量均有很好的解法。
解析几何和数列综合练习
解析几何和数列综合练习1．在平面直角坐标系xOy 中，点()(),0P a b a b >>为动点，1F 、2F 分别为椭圆22221x y a b+=的左、右焦点．已知11PF F ∆为等腰三角形.（1）求椭圆的离心率e ；（2）设直线2PF 与椭圆相交于A 、B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ⋅=-，求点M 的轨迹方程.【答案】（1）12e =；（2）218150x --=. 【解析】试题分析：（1）先利用平面向量的数量积确定12F PF ∠为钝角，从而得到当12PF F ∆时，必有212F F F P =，根据两点间的距离公式列有关a 、b 、c 的方程，求出a 与c 之间的等量关系，从而求出离心率的值；（2）先求出直线2PF 的方程，与椭圆方程联立求出交点A 、B 的坐标，利用2AM BM ⋅=-以及P 、M 、2F 三点共线列方程组消去c ，从而得出点M 的轨迹方程.试题解析：（1）设椭圆22221x y a b+=的焦距为2c ，则c =()1,0F c -，()2,0F c ，()()()21,0,02,0F F c c c =--=- ，()()()2,,0,F P a b c a c b =-=-， ()21220F F F P c a c ∴⋅=-⋅-<，所以12F F P ∠为钝角，由于12PF F ∆为等腰三角形，212F F F P ∴=，2c ∴=，即()2224a c b c -+=，即()()22224a c a c c -+-=，整理得2220c ac a +-=，即()()20c a c a -+=，由于0a c >>，故有122c c a e a =⇒==，即椭圆的离心率为12； （2）易知点P的坐标为()2c ，则直线2PF的斜率为k ==故直线2PF的方程为)y x c =-，由于2a c =，b ==，故椭圆的方程为2222143x y c c+=，即22243x y c +=， 将直线2PF 的方程代入椭圆方程并化简得2580x cx -=，解得85cx =或0x =，于是得到点85c A ⎛⎝⎭，()0,B ， （2）设点M 的坐标为(),x y ，由于点M 在直线2PF 上，所以)3y x c c x y =-⇒=-， ()88,,,5555c c AM x y x y ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()(),0,,BM x y x y x =-=+=，8255c AM BM x x y ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，即825x x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅+=-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，整理得218150x --=，即点M的轨迹方程为218150x --=. 考点：1.椭圆的方程；2.两点间的距离；3.平面向量的数量积；4.动点的轨迹方程2．如图，F 1，F 2C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左、右焦点，直线l ：x ＝－12将线段F 1F 2分成两段，其长度之比为1:3．设A ，B 是C 上的两个动点，线段AB的中垂线与C 交于P ，Q 两点，线段AB 的中点M 在直线l 上．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)求22F P F Q ⋅的取值范围．【答案】(Ⅰ)2212x y +=； (Ⅱ)[1-，125232）． 【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意比例关系先求c ，再由离心率求a ，从而可求椭圆的方程；（Ⅱ）分直线AB 斜率是否存在两种情况讨论：（1）当直线AB 垂直于x 轴时，易求；（2）当直线AB 不垂直于x 轴时，先设直线AB 的斜率，点M 、A 、B 的坐标，把点A 、B 坐标代入椭圆方程求k 、m 之间的关系，再求PQ 直线方程，然后与椭圆方程联立方程组，由韦达定理求22F P F Q ⋅的表达式，最后求其范围．试题解析：(Ⅰ) 设F 2(c ，0)，则1212c c -+＝13，所以c ＝1． 因为离心率e2，所以a所以椭圆C 的方程为2212x y +=． 6分(Ⅱ)当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 方程为x ＝－12，此时P(2-，0)、Q(2,0)221F P F Q ⋅=-．当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的斜率为k ，M(－12，m) (m ≠0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．由 221122221,21,2x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)1212y y x x -⋅-＝0，则－1＋4mk ＝0，故k ＝14m ．此时，直线PQ 斜率为m k 41-=，PQ 的直线方程为)21(4+-=-x m m y ．即m mx y --=4．联立⎪⎩⎪⎨⎧=+--=12422y x m mx y 消去y ，整理得2222(321)16220m x m x m +++-=． 所以212216321m x x m +=-+，212222321m x x m -=+． 于是=⋅F F 22(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2)4)(4(1)(212121m mx m mx x x x x +++++-=22122121))(14()161(m x x m x x m +++-++=2222222(116)(22)(41)(16)1321321m m m m m m m +---=+++++22191321m m -=+． 令t ＝1＋32m 2，1＜t ＜29，则tF F 3251321922-=⋅． 又1＜t ＜29，所以221251232F P F Q -<⋅< ．综上，F F 22⋅的取值范围为[1-，125232）． 15分考点：1、椭圆的方程及性质；2、直线与椭圆相交的性质；3、向量的坐标运算.3．P 为椭圆2212516x y +=上任意一点，1F 、2F 为左右焦点．如图所示：（1）若1PF 的中点为M ，求证1152MO PF =-；（2）若1260F PF ︒∠=，求12PF PF 的值． 【答案】（1）)证明：在12F PF ∆ 中，MO 为中位线21112152222PF a PF PF MO a PF -∴===-=- （2）643【解析】试题分析：（1）由椭圆定义知12210PF PF a +==，则2110PF PF =-，由条件知点O 、M 分别是1PF 、12F F 的中点，所以MO 为12F PF ∆的中位线，则22PF MO =，从而命题得证；（2）根据椭圆定义，在12F PF ∆中有1210PF PF +=，126F F =，又由条件1260F PF ︒∠=，从这些信息中可得到提示，应从余弦定理入手，考虑到22212121212cos 2PF PF F F F PF PF PF +-∠=⋅，所以需将1210PF PF +=两边平方，得2212121002PF PF PF PF +=-，将其代入余弦定理，得到关于12PF PF 的方程，从而可得解.试题解析：(1)证明：在12F PF ∆ 中，MO 为中位线21112152222PF a PF PF MO a PF -∴===-=- 5分 (2)2212121210,1002PF PF PF PF PF PF +=∴+=- ，126F F =在12PF F ∆中，222121212cos 602PF PF F F PF PF ︒+-=⋅，1212100236PF PF PF PF ∴⋅=-⋅-12643PF PF ∴=12分 考点：1.椭圆定义；2.余弦定理.4．如图，已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，双曲线12222=-by a x 的两条渐近线为1l 、2l .过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使1l l ⊥，又l 与2l 交于点P ，设l 与椭圆C 的两个交点由上至下依次为A 、B .（1）若1l 与2l 的夹角为60，且双曲线的焦距为4，求椭圆C 的方程； （2）求||||AP FA 的最大值.【答案】（1）2213x y +=；（21. 【解析】试题分析：（1）先确定双曲线的渐近线方程，根据条件两条渐近线的夹角为60，确定a 与b 的等量关系，再结合c 的值，确定a 与b 的值，最终确定椭圆C 的方程；（2）设点A 的坐标为()00,x y ，并设||||FA AP λ=得到FA AP λ= ，利用向量的坐标运算得到()2201c a x c λλ+=+，()01ab y c λλ=+，再由点A 在椭圆C 上这一条件将点A 的坐标代入椭圆方程，通过化简得到λ与离心率e 之间的关系式2222232e e λ⎛⎫=--++ ⎪-⎝⎭，结合基本不等式得到λ的最大值.试题解析：（1）因为双曲线方程为12222=-by a x ，所以双曲线的渐近线方程为x aby ±=． 因为两渐近线的夹角为60且1<ab，所以30POF ∠= ．所以a b tan 303== ，所以b a 3=．因为2c =，所以2222=+b a ，所以a =1b =．所以椭圆C 的方程为2213x y +=； （2）因为1l l ⊥，所以直线l 与的方程为()ay x c b=-，其中c = 因为直线2l 的方程为by x a=， 联立直线l 与2l 的方程解得点2,a ab P c c ⎛⎫⎪⎝⎭.设||||FA AP λ=，则FA AP λ= . 因为点(),0F c ，设点()00,A x y ，则有()20000,,a abx c y x y c c λ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭．解得()2201c a x c λλ+=+，()01ab y c λλ=+.因为点()00,A x y 在椭圆22221x y a b+=上，所以()()()()2222222222111c a ab a c b c λλλλ++=++． 即()()222224221c aa a c λλλ++=+．等式两边同除以4a 得()()222221e e λλλ++=+，()0,1e ∈，所以24222222322e e e e e λ-⎛⎫==--++ ⎪--⎝⎭，)2331≤-=-=所以当22222e e-=-，即e =λ1． 故FA AP1.考点：1.双曲线的渐近线方程；2.椭圆的方程；3.三点共线的转化5．如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB ，CA=CB ，⊙O 交直线OB 于E 、D ，连结EC 、CD.（Ⅰ）求证：直线AB 是⊙O 的切线；（Ⅱ）若tan ∠CED=21,⊙O 的半径为3，求OA 的长. 【答案】（1）详见解析；（2）5OA =【解析】 试题分析：（1）连接OC ，要证明AB 是圆O 的切线，根据切线的判定定理，只需证明OC AB ⊥，因为,OA OB CA CB ==，所以OC AB ⊥；（2）由已知OA OB =，所以求OB 即可，因为圆O 的半径已知，所以求BD 即可，这时需要 寻求线段BD 长的等量关系，或者考虑全等或者考虑相似，由（1）知AB 是圆O 的切线，有弦切角定理可知,BCD E ∠=∠还有公共角B B ∠=∠，所以可判定BCD ∆∽BEC ∆，从而列出关于线段BD 的比例式，从中计算即可.试题解析：（1）连接OC ，因为,OA OB CA CB ==，所以OC AB ⊥，所以AB 是圆O 的切线；（2）因为AB 是圆O 的切线，所以,BCD E ∠=∠又B B ∠=∠，所以BCD ∆∽BEC ∆,BC CE BE BD CD BC ==，所以2()CE BECD BD=，因为DE 是圆O 的直径，所以EC CD ⊥，在ECD ∆中，1tan 2CED ∠=，所以4BE BD =，64BD BD +=，∴2BD =，5OA =. 考点：1、圆的切线的判定；2、三角形的相似；3、弦切角定理.6．如图，设F(－c,0)是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点，直线l ：x ＝－c a 2与x轴交于P 点，MN 为椭圆的长轴，已知|MN|＝8，且|PM|＝2|MF|。
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A． B．0 C． D．1
30．在 中，角 对应的边分别为 ，若 ，则角 等于（ ）
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
31．设直线 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则 的一个充分条件是（ ）
A. B.
C. D.
32．已知函数 ，若 且 ，则 的取值围是（ ）
三、解答题（题型注释）
43．在 中，角 的对边分别是 已知向量
,且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 面积的最大值。
44．已知函数f（x）=2sin ωx cos ωx+ cos 2ωx（ω>0）的最小正周期为π.
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间.
45．已知等比数列 中， .若 ，数列 前 项的和为 .
（Ⅰ）若 ，求 的值；
（Ⅱ）求不等式 的解集.
（Ⅲ）设 ,求数列 的前n项的和Tn。
46．已知数列 与 满足 .
（1）若 数列 的通项公式；
（2）若 且 对一切 恒成立,数 的取值围.
47．设 是数列 的前 项和，已知 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 .
48．(本小题共13分)
A. 143B. 156C. 168D. 195
8．已知数列｛ n｝是等比数列， 1=1，并且 2， 2+1， 3成等差数列，则 4=（ ）
A、－1 B、－1或4 C、 －1或8 D、8
9． 在△ABC中， ， ，A=120°，则B等于
A.30°B.60°C.150°D. 30°或150°[来源:ZXXK]
10．在 中， 、 、 分别是角A、B、C所对的边， ，则 的面积 （ ）
A．1B． C． D．2
11．函数 ，则不等式 的解集是
（A） （B） （C） （D）
12．在△ABC中，若 ，则角A的度数为（ ）
A．30° Hale Waihona Puke ．150° C．60° D．120°
13．若角 的终边经过点 ，则 的值为（ ）
22．．设G是 的重心，且 ，则角 B的大小为（ ）
A．45°B．60°C．30°D．1 5°
23．在△ABC中，a=2，b=2，B=45°，则A等于（）
A．30°B．60°C．60°或120°D．30°或150°
24．已知数列 满足 （ ）
A． B． C． D．
25．若平面向量 与向量 平行，且 ，则 ( )
立体几何、数列、三角函数、不等式、平面向量综合练习
学校:___________：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（题型注释）
1．若指数函数 在 上是减函数，那么（ ）
A、 B、 C、 D、
2．若数列 的通项公式是 ,则 （ ）
A．15B．12 C．－12D．－15
18．函数 在区间 上的最大值为（ ）
（A） （B） （C）1 （D）
19．已知函数 的部分图象如图所示， ，则正确的选项是（ ）
A． B．
C． D．
20．已知 与 的夹角为600,若 与 垂直,则 的值为（ ）
A． B． C． D．
21．函数 的部分图象如图所示,如果 ,且 ,则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知 为等差数列，其前n项和为 ，若 ，则公差d等于（ ）
A.1B. C.2D.3
4．已知向量 ， ．若向量 满足 ， ，则
A． B． C． D．
5．已知 为锐角，若 ，则 （ ）
A.3 B.2 C. D.
6．在 中， ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
7．已知数列 满足 ， ，则 ( )
已知函数 .
(I)求 的最小正周期；(II)求 在区间 上的取值围.
49．（本小题满分12分）在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ ACB=90°，AC=BC=AA1=1，D、E分别为棱AB、 BC的中点，M为棱AA1上的点。
（1）证明：A1B1⊥C1D；
（2）当 的大小。
50．如图，在棱柱 中，侧棱 底面 ，点 是 的中点.
A. B. C. D.
14．在锐角 中，角 所对的边长分别为 ，若 ，则角 等于（ ）
A. B.
C. D.
15．已知向量 ， ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
16．如果 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
17．直三棱柱 中，若 a b c
(A)a+b-c(B)a–b+c(C)-a+b+c．(D)-a+b-c
37．若实数 满足 ，则 的最小值为__________
38．已知幂函数 的图象过点 ，则 __________．
39．函数 的一个零点在区间 ，则实数 的取值围是.
40．已知函数 ，若实数 满足 ，则 等于.
41．数列 满足 ， ，其前 项积为 ，则 ．
42．已知函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)，若f(2)>f(3)，则实数a的取值围是________．
A． B． C． D． 或
26．已知平面向量 、 、 为三个单位向量，且 ，满足 ，则 的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
27．设 满足不等式组 ，若 的最大值为 ，最小值为 ，则实数 的取值围是
A． B． C． D．
28．已知函数 ，使函数值为5的 的值是（ ）
A．-2B．2或 C． 2或-2D．2或-2或
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成的角的正切值.
51．（本题满分16分）
如图，在棱长为1的正方体 中， 、 分别为 和 的中点．
（1）求异面直线 和 所成的角的余弦值；
（2）求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值；
参考答案
1．D
【解析】
试题分析：由指数函数 在 上是减函数可知：
，故选D.
考点：本题考查指数函数性质。
2．A
【解析】
故选A
3．C
【解析】
试题分析：由题意可得 ，解得 ，故公差 ，故答案为：2.
考点：1.等差数列的前n项和；2.等差数列的公差.
4．D
【解析】略
5．A
【解析】
试题分析：
（舍），故选A.
考点：三角恒等变换.
6．B
A． B． C． D．
33．已知 、 是两个平面， 、 是两条直线，则下列命题不正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
34．已知 ，则 的值等于（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（题型注释）
35．. .
36．已知正数x,y满足x+2y=1,则 的最小值是.