数学建模——DVD在线租赁
DVD在线租赁问题优化方案（田密万国）摘要本文依托现实网站DVD在线租赁预测、购买和分配方式，抽象简化出主要以网站购置量少、分配方式好以及会员满意度高为目标的数学模型，并通过合理简化假设进行需求预测，并建立优化模型。
问题一：我们建立DVD利用率数学模型，得到了至少50%在一个月内能够看到各种DVD至少需要的DVD张数分别为6250,3125,1563,782,313，以及三个月内能保证至95%的会员能够看到各种DVD至少需要的每种DVD的张数分别为3959,1980,990,495,198。
（具体见表一）问题二：首先通过对数据的分析定义了关系式：满意度f ij=11－偏爱度d ij，建立整数规划模型。
用Lingo解得最大满意度为24746,以及前三十名会员的分配方案（见表一），全部会员的分配方式（见附表DVDc.xls）。
问题三：要求DVD购置量最小与满意度最高是决策问题的关键，平衡DVD购置量和会员满意度，找到较好的购置方式及分配方案。
于是有两个目标：DVD购买总量最少，总满意度最大。
采用分层序列法将多目标规划转换为单目标规划，用Lingo编程解得DVD 购买总量2850张, 最大满意度为25650,以及分配方式（见附表DVD3c.xls）。
问题四：我们的想法是从网站最大化客户满意度与最大利润双目标的具体实现入手，可以考虑设立不同等级优先度的策略，以及减少DVD人为或运输破损等造成的损失，来共同提高会员整体满意度和实现效益最优。
关键词：整数规划模型，满意度，0-1规划，多目标规划，Lingo一、问题重述信息时代，网络发挥越来越重要的作用，许多网站利用强大资源和知名度为消费者提供专业便捷的服务。
音像制品的在线租赁即为其中一项，充分发挥了网络诸多优势，为顾客提供了周到的服务。
考虑在线DVD租赁问题。
顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。
会员提交订单，网站根据现有的DVD数量和会员的订单进行分发，并基于其偏爱程度排序。
每个会员每月租赁次数和张数有限制。
会员在看完之后，将DVD寄回网站，就可以进行下次租赁。
考虑以下问题：1、网站预购新DVD，问卷调查得到愿意观看人数记录，并由历史数据得到租赁两次与租赁一次的人数之比。
考虑至少应准备多少张，能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD；类似的，考虑在三个月内能保证至95%的会员能够看到该DVD至少需要的DVD张数。
2、根据网站现有DVD张数以及所需处理的会员订单，思考如何分配这些DVD，使会员得到最大满意度，并列出前三十位会员分别获得哪些DVD。
3、考虑表2（假设DVD数量为0），确定DVD的购买量以及分配方式，使一个月内95%的会员得到想看的DVD，并达到最大满意度。
4、针对问题四，我们从网站最大化客户满意度与最大利润双目标的具体实现入手，可以考虑设立不同等级优先度的策略，以及减少DVD人为或运输破损等造成的损失，来共同提高会员整体满意度和实现效益最优。
二、模型假设、的比例分配；1、只存在每月租借一次和每月租借两次两类会员，且符合40%60%2、会员每月至少租借一次DVD，每次只能租借三张DVD，且三张不同；3、一个月借两次的人必须在第一次借的DVD归还之后才能再接第二次；4、每月只借一次的会员在月末才归还所借的DVD，所以这部分DVD不能再借给其他会员；5、不同DVD的需求与分配独立，之间没有关联性；6、某张DVD被会员还回后，可在当天配送给其他需要的会员；7、DVD的分配量决定其购置量；8、会员满意度与其在一个分配周期内租借到其想看DVD的具体时间无关；三、符号说明1、a j为第j(j=1,2…5)种DVD应准备的数量；2、b j为希望看到第j种DVD的人数;3、c ij等于1表示分配给会员i第j种DVD,反之不分配(i=1,2,…,1000，j=1,2,3…100)；4、d ij表示会员i对第j种DVD的偏爱度(i=1,2,3…1000，j=1,2,…,100)；5、e j 表示第j 种DVD 现有的数量；6、f ij 为会员i 对第j 种DVD 的满意度(i=1,2,3…1000，j=1,2,3…100)；7、g i 表示会员i(i=1,2,3…1000)是否得到三张DVD ，若得三张，则其为1，反之为0； 8、x j 代表第j 中DVD 应该购买的数量,z 为购买的DVD 总数，y 为会员总满意度； 9、excel 文件：表DVDed 是偏爱度数据； 表DVDf 是满意度数据；表DVDc 是问题二DVD 的分配方案；表DVD3c 是模型三解得的DVD 分配方案和每种DVD 应购买数量。
四、问题分析与模型建立（一）模型一从实际情况看，每个会员每月最多借两次，根据历史数据，每月租借一次和两次的会员分别占总会员人数的40%和60%，即每个月借出去的DVD 有60%的人在本月会归还，还能借给他人，即第一次借出a j ，则归还后还能再借给其他60%a j 人，在一个月中使需要每种DVD 的会员中有50%的人可以借得DVD ，即至少有50%b j 人借得需要的DVD ；引入下面的结构图辅助分析：图 1对上面的租借结构图可以得出：①在一个月中要使希望看到该DVD 的会员中至少有50%可以看到该DVD ，则a,b 应满足：min=∑a j 5j=1; a j +60%a j ≥50%b j②在三个月中使希望看到该DVD 的会员中至少有95%的人可以看到该DVD ，由于每个月是一个周期，所以第二个月、三个月的情况与第一个月类似，所以a,b 应满足：min=∑a j 5j=1; 3(a j +60%a j )≥95%b j由Lingo 可以解出模型一的结果见表一：表一DVD 名称 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5 ①购置张数 6250 3125 1563 782 313 ②购置张数39591980990495198具体程序参考附录一（二）模型二要使会员的满意度最高，即使会员总的偏爱度最高，分析表中的数据可知表中所给的数据不代表订单的数量，而是代表偏爱程度，到数据为零代表该会员没有下订单，不为零代表有订单，而数据越小代表偏爱度越高，观察表中的数据可知：偏爱度最小为10，最大为1，为了方便计算，我们将偏爱度转化为满意度，则：最小满意度为1，最大满意度为10：即当偏爱度部位0时：满意度=11-偏爱度；当偏爱度为0时满意度为0。
同时分配DVD 时需满足：当会员无订单时不能给其分配DVD ，必须够三张才能给其分配，计算表中的DVD 现有数量总和可知，共有3007张DVD ，可以满足1000人每人三张。
目标函数：Max=∑∑c ijf ij 100j=11000i=1；分配原则必须满足如下条件：现有的DVD 数量约束： ∑c ij 1000i=1≤e j (j=1,2,3…100); 每人是否得到三张DVD 约束：∑c ij 100j=1=3g i (i=1,2,3…1000); 满意度计算：当 d ij =0时，f ij =0；当d ij >0时，f ij =11- d ij ； 综上，数学模型为：Max=∑∑c ijf ij 100j=11000i=1；约束条件：∑c ij 1000i=1≤e j (j=1,2,3…100); ∑c ij 100j=1=3g i (i=1,2,3…1000);当 d ij =0时，f ij =0；当d ij >0时，f ij =11- d ij ；运用Lingo 软件编程可求得前三十名会员的分配方案如下表二:表二会员编号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 DVD 编号 41 44 50 18 66 53 66 35 78 55 98 62 80 41 68 66 81 71 100 85 会员编号DVD 编号 59 2 21 23 13 10 47 41 66 45 63 31 78 52 52 84 51 60 84 61 66419689859767788689会员编号DVD 编号50 55 81 41 69 68 58 34 30 62 53 57 95 76 94 95 78 82 55 98全部会员的分配方案见表DVDc.xls ；（三）模型三购买DVD 的数量越少越省钱，但是不能太少，如果不能满足一定的会员满意度，则会对公司后期发展造成不利后果，所以应该在购买DVD 的数量和会员满意度之间找到一个平衡，既能使购买的DVD 数量尽可能的少，又能使会员满意度尽可能的大。
于是该模型有两个目标函数：满意度：max y=∑∑c ij 100j=1f ij 1000i=1DVD 总购买量：min z=∑x j 100j=1; 约束条件：购买与分配的DVD 数量约束：∑c ij 1000i=1≤x j , j=1,2,3…100; 会员得到三张DVD 约束：∑c ij 100j=1=3g i , i=1,2,3…1000; 95%的会员得到需要的DVD 约束：∑g i 1000i=1=95%×1000; 0,1约束：g i =0或1；c ij =0或1。
综上，数学模型为：max=∑∑c ij 100j=1f ij 1000i=1 , min= ∑x j 100j=1;约束条件：∑c ij 1000i=1≤x j , j=1,2,3…100; ∑c ij 100j=1=3g i , i=1,2,3…1000; ∑g i 1000i=1=95%×1000; g i =0或1；c ij =0或1。
由于多目标函数用Lingo 不能直接求解，所以运用分层序列法求解：先不考虑总满意度最大，求得DVD 的最小购买量z=2580，再以求得的DVD 的最小购买量z=2580为约束条件求得最大满意度25650；然后再不考虑DVD 的最小购买量，求得总的最大满意度25650，以最大满意度为约束条件，求DVD 的最小购买量2850。
综上可知，最大满意度为25650，购买的DVD 数量为2850时可以使一个月有95%的会员能得到希望的DVD 。
具体程序见附录三。
（四）模型四从网站最大化客户满意度与最大利润双目标的具体实现入手，可以考虑根据会员缴纳会费多少设立不同等级优先度的策略，或者通过监管力度加大对流通环节因DVD 人为或运输破损等造成的损失，来共同提高会员整体满意度和实现效益最优。
五、模型评价1.问题一中采用DVD 利用率的简化模型，算法思想清晰，便于求解；2.问题二中采用的0-1规划模型，运用Lingo 较快解出了最优解3.问题三中采用0-1规划及多目标模型求解，为网站平衡会员满意度和DVD 购置量提供了量化依据。
历届数学建模国赛题
2007 A：中国人口增长预测 问题涉及： 预测（5） 主要可用模型或方法： 微分方程模型,马尔科夫链，计算机仿真 要求能力： 文字信息处理，大量数据处理，函数拟合以及参 数确定，数据搜索能力，高等数学知识（常微分 方程稳定性和矩阵知识） 决胜关键： 微分方程拟合程度，马尔科夫矩阵的处理和求解， 创新点（如参数确定方法等），结论的合理性
2005 B：DVD在线租赁 在线租赁 问题涉及： 计算（2），优化（3） 主要可用模型或方法： 各种优化算法，概率模型，图论 要求能力： 大量数据处理，优化软件应用 决胜关键： 概率计算正确性，优化算法实用性和适用 性
2006 A：出版社的资源配置 出版社的资源配置 问题涉及： 计算（1），预测（1），优化（3） 主要可用模型或方法： 灰色模型，各种优化算法，统计运筹学 要求能力： 大量数据处理，数据挖掘，统计学软件应用， 优化软件应用，调查问卷处理方法 决胜关键： 信息发掘全面性，问题分析的透彻程度，优化 算法结果好坏 创新思路：德尔菲法，数据挖掘技术，模糊数 学应用
2008 B：高等教育学费标准探讨 问题涉及： 评价（3），预测（2） 主要可用模型或方法： 不定 要求能力： 数据搜索能力，微分方程，个人价值观， 文笔 决胜关键： 结论的合理性，数据的全面程度和准确程 度
DVD在线租赁
资源和知名度 ， 面向其会员群提供 日益专业化和便 捷化 的 服 务 。这 项 服 务 充 分 发 挥 了 网络 的诸 多 优 势， 包括传播范围广泛 、 直达核 心消费群 、 强烈的互 动性 、 感官性强 、 成本相对低廉等 ， 为顾 客提供更为
Ｎ． Ｖ １ Ｊ １ ｏ． ｏ ５
ａ ｎ．２ ６ ００
ＤＶＤ在 线租 赁
李秋晓 杨 美玲 葛兴伟
（ 京工业 职业 技术学 院 ， 京 １０ ４ ） 北 北 ００ ２ 摘 要： 通过 建 立一种 比较 新颖 的 网站 在 线 ＤＶ 租赁 模 型 ， Ｄ 合理 安 排 了网站 购 买 Ｄ ＶＤ 的数 量 和 分 配 其 会 员租赁的 Ｄ Ｄ， Ｖ 在满足会 员偏爱程度（ 权重） 最大的基础上 ， 依据基本概率论、 —１ ０ 规划的方法， 已知表格 从
Ａｂ ｔ ｃ ： ｉ ａ ｔ ｌ ｔｏ ｕ ｅ ｏ ｅ ｄ Ｉ ｆ ｂ ｉ ｉｈｏ ｆｒ ｎｉｅＤＶＤ ｅ ｔ ｌ ｓ ｒｉｅ ｔｈ ｓｒａｏ ｓｒ ｔＴｈｓ ｒｉ ｅｉ ｒ ｃｓａｎ ｖ ｌ ａ ｃ ｎ ｄ ｍｏ ｅ ｏ ｗｅ ｓｔ ｗｈｃ ｆｅｓｏ ｌ ｅ ｎ ｒｎ ａｓ ｅｖｃ ．Ｉ ａ ｓ ｎ ｅ ａ ｌ ｑ ａ ｔｔ ｆＤＶＤ ｎ ｕ ｅｓｏ ｂｅ ｕ ｎ ｉ ｏ ｙ ａ ｄ ｎ ｍｂ ｒ ｆＤＶＤ ｉｈ ｃ ｕｄｂ ｅ ｔｄ ｂ ｓｍｅ ｂ ｒ ．Ｉ ａｉｆ ｉｇｔ ｅｎ ｅ ｓｏ ｔ ｗｈｃ ｏ ｌ ｅｒｎ ｅ ｙ ｉ ｍ ｅｓ ｎｓ ｔ ｙｎ ｈ ｅ ｄ ｆｉ ｔ ｓ ｓ ｍｅ ｅｓｏ ｈ ａｉ ｏ ｈ ｉ ｐ ｅｅｅ ｃｓ ｉ ｅｔｂｉｈ ｓ ａ ｒｎ ａ ｐａ ｎ ｔ ｅｂ ｓｓｏ ｏ ｒｄ ｒｖ ｄ ｆｏ ｔｅ ｍｂ ｒ ｎ ｔ ｅ ｂ ｓｓ ｆｔ ｅｒ ｒｆｒｎ ｅ ． ｔ ｓａ ｌ ｅ ｅ ｔｌ ｌｎ ｏ ｈ ａｉ ｆｐ ｗｅ ｅｉｅ ｒ ｍ ｈ ｓ ｋ ｏ ａａｂ ｓｎ ｒｂ ｂｌ ｙ ｔ ｅ ｒ ｎ ｅｈ ｆ ｎ ｗｎ ｄ ｔ ｙｕ ｉｇ ｐ ｏ ａ ｉｔ ｈ ｏ ｙ ａ ｄｍ ｔ ｏ ｏ ｉ ｄ ０— １Ｐ ｏ ｒｍ ．Ｔｈ ｎ ｔ ｅａ ｔ ｌ ｕｓｆｒ ｒ ｈ ｐ ｉ ｒｇａ ｅ ｈ ｒｉ ｅｐ ｔ ｏ ｗａｄ ｔ ｅｏ ｔ— ｃ ｍｉｅ ｉｔｉｕ ｉｎ ｐａ ｙｓ ｎｈ ｔｃｌ ｏ ｓ ｅｉｇｔ ｅｈｇ ｅｔｐ ｏｉ ａ ｄｔ ｅｈｇ ｅｔｄ ｇ ｅ ｆ ｅ ｅ ｓ ａ ｔ — ｚｄ ｄｓｒｂ ｔ ｌｎ ｂ ｙ ｔ ｅｉａｌ ｃ ｎ ｉ ｒｎ ｈ ｉｈ ｓ ｒ ｆ ｎ ｈ ｉｈ ｓ ｅ ｒｅｏ ｍｂ ｒ ’ｓ ｉ ｏ ｙ ｄ ｔ ｍ ｓ ｆｃｉｎ ａ ｄｅ ａｕ ｔｓａ ｄ ｉ ｒｖ ｓｔ ｅｍｏ ｅ． ａ ｔ ｎ ｖ ｌａｅ ｎ ｏ ｍｐ ｏ ｅ ｈ ｄ １ Ｋｅ ｒｓ： ｗｅ ；ｄ ｇ ｅ ｆｓ ｔ ｆｃｉｎ；０— １Ｐｒｇ ａ ｙｗｏ ｄ ｐ ｏ ｒ ｅ ｒｅｏ ｉ ａ ｔ ａ ｓ ｏ ｏ ｒｍ
DVD在线租赁决策模型
ｄｓｉｕｉｎｏ Ｖ ．Ａ ｅ ｎ ｆ ｅ ｒｃ ｅ ｓ ｇ ｔ ｄｅ ｔ ｐｅｉ ｅＤ Ｄ ｄｍａｄ ａｖ ｃ ｉｒ ｔ ｆ Ｄ ｔ ｄｏ ｔ ｌ ｗ ｅＬ ｉ ｉ ｍｏ ｌｏ ｒｄｃ ｔ Ｖ ｅ ｎ ， ｄ ａ ｅ ｔｂ ｏ Ｄ ｈ ｔ ｅ ｈ ｔ ａ ｉｅ ｕ ｏ ｓｃ ｔ ｈ ｎ
产品 ，这既节约大量的制作 、配送费用 ，又方便 了
消 费者 。
在线 Ｄ ＶＤ租 赁 问题 主 要 包 括 Ｄ Ｄ 的 需 求 预 Ｖ 测 、购买和分配等问题 ，２０ ０ ５年全国大学生数学 建模竞赛 Ｂ题就 是以此为背景 而出的，具体题 目
和 数 据 可 从 ｈｔ ：／ ｍｃ ｃ ｕ ｃ／ ｃ Ｏ ／ ｍｂ ｔ ｐ ／ ｍ． ｄ ． ｎ ｍ ｍ ５ ｐ ． １ｍ ２ ０ ｃ ｓ ｅ ｓ０ ５ ．ａｐ下载 。
维普资讯
２０ ０６年 １ ２月 增刊
实
验
科
学
与
技
术
Ｄ Ｄ在 线 租 赁 决 策模 型 ’ Ｖ
侯德彬 ，常晓剑，贾世功 （ 电子科技大学 成都 ６０ ５ ） １ ４ ０
摘 要 ：以 ２０ ０５年全 国大学生数 学建模 竞赛 Ｂ题 为 背景 ，针 对现在 网上 流行 的 Ｄ Ｄ在 线租 赁 Ｖ
问题是 要求 站在 网站管 理人 员的立 场 ，以网站
获得最大赢利和使会员获得最大满意度为 目 ，对 标 各种 Ｄ Ｄ的购买量 和如何根据会员订单分配拥有 Ｖ 的 Ｄ Ｄ进行 决 策。为 了简化 问题 ，我们 只考 虑 Ｖ
・
［ 收稿 日期】２０ ０ ２ ０ ６— ７— ２
・ ・
［ 作者简介】 侯德彬（９ ３一） 男，本科生，就读 于电子信息科 学与技术专业。 １８ ，
数学建模计算实验
学时：4学时 实验目的：掌握用Lindo求解线性规划问题的方法，能够阅读Lindo结果 报告。
实验内容：
解：
实例2：求解书本上P130的习题1。列出线性规划模型，然后用
Lindo求解，根据结果报告得出解决方案。
投资规划问题
某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券
以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的
解：设投资证券A,B,C,D的金额分别为
（百万元），按照
规定限制1000万元的资金约束，则线性规划模型为：
0.043 +0.054*0.5 +0.050*0.5 +0.044*0.5 +0.045
实验三：用Lingo求解非线性规划问题
学时：2学时 实验目的：掌握用Lingo求解非线性规划问题的方法。 实验内容：
考虑如下的在线DVD租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会 员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订 单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多 张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的 DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2 次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVDa放进网 站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。请考 虑以下问题：
DVD在线租赁问题的数学模型和计算
收 稿 日期 ： ０７— ０— ８ ２０ １ ０
作者简介 ： 张
立（ ９４ ） 男 ， １７ 一 ， 江苏武进人 ， 常熟理工学 院数学系讲师 ， 硕士 ， 研究方向 ： 优化和数学建模
维普资讯
第 ２期
张
立 ：Ｖ Ｄ Ｄ在线 租赁 问题 的数 学模 型和计算
３ ： ．Ａ 每月 租借 Ｄ Ｄ一 次 的会 员 的 比例 ；：每月 租借 Ｄ Ｄ两 次 的会 员 的 比例． Ｖ Ａ： Ｖ
４ 第 ｉ Ｄ Ｄ应该 准备 的数 量 （ ＝１２， ， ， ） ．ｂ： 种 Ｖ ｉ ， ３４５ ． ５ ． 一个 月 内对第 ｉ Ｄ Ｄ有需 求 的会员 得到 满足 的 比例 （ ＝１２ ３ ４ ５ ． ． ： 种 Ｖ ｉ ，， ，，） ６ Ｄ：Ｄ Ｄ每月可 用 次数 的数学期 望． ．Ｅ Ｖ ７ ， 一 个月 内对第 ｉ ．Ｑ ： 种需 求 的人数 上 限（ ＝１２ ３４， ） ｉ ，， ， ５ ．
１ ２， ．０） ， … ２ ．
３ 模 型 的建 立 和 求 解
对第 一个 问题 ， 考虑 到会 员 租 赁 的 实 际情 况 ， １中给 出 的某 种 Ｄ Ｄ的人 数 可 以看 成 是 某 月 选 择 该 表 Ｖ Ｄ Ｄ人 数 的数 学期 望 ， 月 实际选 择该 Ｄ Ｄ的人数 会有 少许 波动 ， 文认 为对 第 种 Ｄ Ｄ的总 的需 求可 以 Ｖ 每 Ｖ 本 Ｖ
３ ７
３ ．客 户提 交订单 应该 注 明 自己的租借 类 型 ： 该月 内一 次或 者两 次． ４ ．对 于租借 一 次或者 两次 的会员 ， 员 必须在 ３ 该会 ０天 内归 还所借 的 Ｄ Ｄ Ｖ．
符号 和变量 说 明如下 ： １ ．Ｎ：网站现 有 的会 员人 数． ． ２ Ｐ ： ｉ Ｄ Ｄ被选 中的概率 （ ＝１２ ３ ４， ） ｇ： ｉ Ｄ Ｄ没有 选 中的概率 （ ＝１２ ３， ５ ． ． 第 种 Ｖ ｉ ， ， ， ５ ； 第 种 Ｖ ｉ ， ， ４， ）
2005年数学建模B题(含代码)
i
j
k
第 j 种 DVD 总中张数
会员对网站的满意度
会员的标号
DVD 的种类
网站对 DVD 购买的量
一、问题的重述
随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。 许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化 的服务。例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥 了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感 官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。
文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违
反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）：
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：
参赛队员 (打印并签名) ：1.
考虑如下的在线 DVD 租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为网站会员， 可以订购 DVD 租赁服务。会员对哪些 DVD 有兴趣，只要在线提交订单，网站 就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张基于其偏爱程 度排序的 DVD。网站会根据手头现有的 DVD 数量和会员的订单进行分发。每 个会员每个月租赁次数不得超过 2 次，每次获得 3 张 DVD。会员看完 3 张 DVD 之后，只需要将 DVD 放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就 可以继续下次租赁。考虑回答下面问题： （1）网站准备购买一些新的 DVD，通过问卷调查 1000 个会员，得到了愿意观 看这些 DVD 的人数（表 1 给出了其中 5 种 DVD 的数据）。此外，历史数据显 示，60%的会员每月租赁 DVD 两次，而另外的 40%只租一次。假设网站现有 10 万个会员，对表 1 中的每种 DVD 来说，应该至少准备多少张，才能保证希 望看到该 DVD 的会员中至少 50%在一个月内能够看到该 DVD？如果要求保证 在三个月内至少 95%的会员能够看到该 DVD 呢？ （2）表 2 中列出了网站手上 100 种 DVD 的现有张数和当前需要处理的 1000 位会员的在线订单，如何对这些 DVD 进行分配，才能使会员获得最大的满意 度？请具体列出前 30 位会员（即 C0001~C0030）分别获得哪些 DVD。 （3）继续考虑表 2，并假设表 2 中 DVD 的现有数量全部为 0。如果你是网站 经营管理人员，如何决定每种 DVD 的购买量，以及如何对这些 DVD 进行分配， 才能使一个月内 95%的会员得到他想看的 DVD，并且满意度最大？
DVD在线租赁问题的最优规划模型
中圈分 类号 ： Ｂ１４ 文 献标 识码 ： 文章 编 号 ：６ ２２ ６ （０ ６０ －０ ６ ０ Ｔ １ Ａ １７ — ８ ８２０ ）６－ ０ － ５ ０
ｌ 引 言
生 数 学建 模 竞 赛 （ Ｕ Ｍ）０ ５ Ｃ ＭＣ ２ ０ Ｄ题 为 例 【 应 用 ｌ 】 ， 线 性 规 划 方 法 。建 立 关 于 此 问 题 的最 优 规 划 模
所 分得 的 ＤＶ 的满意度 为 ： ＝ Ｄ Ｍｉ
ｏ
× ‘ ，
凡个会员 的总体满意度为：
＾
＝
程度 。依此 ， 我们可 以将会员的在线订单上凡是 非０ 项全部算作 １从而可 以计算出定单上该张 ， Ｄ 的总数 。
另 外 ， 们 还 应 考 虑 到 ， 为 网 站 方 ， 该 我 作 应 是 定 购 的 ＤＶ 数 量 最 小 但 同 时 又 应 该 能 使 会 Ｄ 员 的满 意 度 最 大 。上 法 确 定 的 ＤＶ 数 没 有 考 Ｄ 虑 到 满 意 度 的 问题 。 为 此 。 们 参 考层 次 分 析 我
随着互 联 网 的迅 速发 展 ， 电子 商务 已经成 为
一
种新的商务手段。Ｄ Ｄ在线租赁问题 ， Ｖ 就是许
型 ．并应用 ＬＮ Ｏ软件和 Ｍ Ⅱｂ软件进行模型 ＩＧ ａａ
的分 析和求 解 。
２ 建模 ２１ 符 号说 明 ．
多 知名 网站利 用 自己拥有 的知 名度 ， 对入 会 的会 员进 行 在线服务 的一种形 式 。网站对顾 客 收费成 为会 员 ， 受 Ｄ 享 ＶＤ租 赁服 务 。会 员对 网站 提供 的
０６× ２ ＋０４Ｘ Ｘ凡 ｃ ． ｘ ｘ凡 ． ≥ｓ加 ｍ％ （ ） Ｘ １
2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目A题: 长江水质的评价和预测水是人类赖以生存的资源，保护水资源就是保护我们自己，对于我国大江大河水资源的保护和治理应是重中之重。
专家们呼吁：“以人为本，建设文明和谐社会，改善人与自然的环境，减少污染。
”长江是我国第一、世界第三大河流，长江水质的污染程度日趋严重，已引起了相关政府部门和专家们的高度重视。
2004年10月，由全国政协与中国发展研究院联合组成“保护长江万里行”考察团，从长江上游宜宾到下游上海，对沿线21个重点城市做了实地考察，揭示了一幅长江污染的真实画面，其污染程度让人触目惊心。
为此，专家们提出“若不及时拯救，长江生态10年内将濒临崩溃”（附件１），并发出了“拿什么拯救癌变长江”的呼唤（附件2）。
附件3给出了长江沿线17个观测站（地区）近两年多主要水质指标的检测数据，以及干流上７个观测站近一年多的基本数据（站点距离、水流量和水流速）。
通常认为一个观测站（地区）的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水。
一般说来，江河自身对污染物都有一定的自然净化能力，即污染物在水环境中通过物理降解、化学降解和生物降解等使水中污染物的浓度降低。
反映江河自然净化能力的指标称为降解系数。
事实上，长江干流的自然净化能力可以认为是近似均匀的，根据检测可知，主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的降解系数通常介于0.1~0.5之间，比如可以考虑取0.2(单位：1/天)。
附件4是“1995~2004年长江流域水质报告”给出的主要统计数据。
下面的附表是国标(GB3838-2002)给出的《地表水环境质量标准》中4个主要项目标准限值，其中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类为可饮用水。
请你们研究下列问题：（1）对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价，并分析各地区水质的污染状况。
（2）研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源主要在哪些地区?（3）假如不采取更有效的治理措施，依照过去10年的主要统计数据，对长江未来水质污染的发展趋势做出预测分析，比如研究未来10年的情况。
全国大学生数学建模竞赛赛题综合评析
社会热点
叶其孝、周义仓
开放性强、社会关注性强，突出数据来源的可靠性、结论解释的合理性
数据收集与处理、问题的分析与假设，初等数学方法、一般统计方法、多目标规划、回归分析、综合评价方法、灰色预测
2009年
A题：制动器试验台的控制方法分析
工业问题
方沛辰、刘笑羽
问题具体、专业性强，要花时间读懂、理解清楚问题
出版社的资源配置
孟大志
艾滋病疗法的评价及疗效的预测
边馥萍
易拉罐形状和尺寸的最优设计（C题）
叶其孝
煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制（D题）
韩中庚
2007年
中国人口增长预测
唐云
乘公交，看奥运
方沛辰、吴孟达
手机“套餐”优惠几何（C题）
韩中庚
体能测试时间安排（D题）
刘雨林
2008年
数码相机定位
谭永基
高等教育学费标准探讨
叶其孝、周义仓
地面搜索（C题）
肖华勇
NBA赛程的分析与评价（D题）
姜启源
2009年
制动器试验台的控制方法分析
方沛辰、刘笑羽
眼科病床的合理安排
吴孟达、毛紫阳
卫星和飞船的跟踪测控（C题）
周义仓
会议筹备（D题）
王宏健
2010年
储油罐的变位识别与罐容表标定
韩中庚
2010年上海世博会影响力的定量评估
杨力平
输油管的布置（C题）
1
6
8
付鹂
重庆大学
1
6
9
姜启源
清华大学
4
3
10
陈叔平
浙江大学、贵州大学
2
5
11
数学建模汽车租赁问题
数学建模汽车租赁问题随着城市交通的发展和人们生活水平的提高，汽车租赁业务也逐渐兴起。
汽车租赁公司为个人和企业提供短期或长期租赁服务，给用户提供了更方便、灵活和经济的出行方式。
但是，如何合理安排租车方案，以最大程度地满足用户需求，同时又能使汽车租赁公司的利益最大化，是一个复杂的数学建模问题。
本文将探讨数学建模在汽车租赁问题中的应用。
首先，对于汽车租赁问题来说，主要涉及到两个关键因素：用户需求和汽车数量。
用户需求是指在一定时间内，用户对租车的需求量；汽车数量是指汽车租赁公司可提供的汽车数量。
为了使建模更具体，我们可以将时间分为若干时间段，每个时间段内的用户需求是一个已知的数值。
将用户需求和汽车数量通过数学表达式进行描述，建立数学模型成为解决问题的关键。
其次，在建立数学模型时，需要考虑到用户的租车时长。
用户可以根据个人需求选择租车的时间长度，汽车租赁公司通常会提供一天、一周或一个月的不同租赁方案。
因此，在数学建模中，我们需要根据用户的租车时长来确定租车费用，以便在最大程度满足用户需求的同时，实现汽车租赁公司的利益最大化。
另外，为了提高租车服务的质量，汽车租赁公司通常会对汽车进行维护和保养。
在数学模型中，我们可以引入维护和保养成本，以考虑到这一因素。
维护和保养成本可以通过每次租车的费用中加入一个折旧费用来体现。
通过适当调整租车费用，可以使得租车公司在满足用户需求的同时，合理分摊维护和保养成本，进而实现公司的利益最大化。
此外，汽车租赁公司还可以通过灵活制定不同类型的车辆租赁费用来满足不同用户的需求。
例如，对于高端汽车的租赁费用可以相对较高，而对于经济型汽车的租赁费用可以相对较低。
通过灵活制定不同类型的车辆租赁费用，可以吸引更多的用户选择租赁公司的服务，并进一步实现公司的利益最大化。
最后，在数学建模中，我们还可以考虑一些其他因素，如季节性需求的变化、市场竞争等。
通过分析这些因素对租车需求的影响，可以在制定租车方案时进行合理的调整，以更好地满足用户需求。