精品课时15.二次函数及其图像复习导学案
北师大版九年级数学下册二次函数图像与性质2导学案
y＝2x2的顶点坐标是（，），y＝2x2+1的顶点坐标是（，）
3、完成随堂P33做一做(5分钟)
五、课堂总结：(2分钟)
六、布置作业:P34，2
学生自主参与、合作探究、展示交流并予以评价
课
堂
检
测
1．抛物线y=-x2-5可以看作是抛物线经过向平移个单位得到。
③顶点是：(，)，且从图像看它有最点，则函数y有最值，即当x=时y有最值是
承上启下
明确学习目标
学生自主参与、合作探究、展示交流并予以评价
根据解答过程总结方法
流
程
2、观察y＝2x2与y＝2x2+1图象总结y＝ax2+c图像与性质
①抛物线y=ax2+c可以由抛物线y=ax2经过向（c>0）或向(c<0)平移个单位得到。y＝ax2+c的开口方向由决定，当a>0时，开口向上；当时，开口向下。②对称轴是，当a>0时，在对称轴左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的增大而。 且函数y当x=0时ymin=。当a<时，在对称轴左侧，
2．抛物线y=x2+4的开口方向，对称轴是，在对称轴左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的增大而；顶点坐标是，当x=时，y有最值为。
3．已知：二次函数y＝ax2+1的图像与反比列函数y= 的图像有一个公共点是（-1，-1）。（1）求二次函数及反比例函数解析式；（2）在同一坐标系中画出它们的图形，说明x取何值时，二次函数与反比例函数都随x的增大而
在规定时间内独立完成
教师公布答案后以分数衡量教学效果
教后
二次函数及其图像教案
二次函数及其图像教案一、教学目标：1. 让学生理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式；2. 培养学生利用配方法、顶点式求解二次函数的能力；3. 让学生熟悉二次函数的图像特点，理解二次函数图像与系数之间的关系；4. 培养学生解决实际问题的能力，提高学生对二次函数的应用意识。
二、教学内容：1. 二次函数的概念及一般形式；2. 配方法求解二次函数；3. 顶点式求解二次函数；4. 二次函数的图像特点；5. 二次函数图像与系数之间的关系。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：二次函数的概念、一般形式，配方法、顶点式求解二次函数，二次函数的图像特点；2. 教学难点：配方法、顶点式求解二次函数的运用，二次函数图像与系数之间的关系。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探究二次函数的性质；2. 利用数形结合法，让学生直观地理解二次函数的图像特点；3. 运用实例分析法，培养学生解决实际问题的能力。
五、教学过程：1. 导入新课：通过复习一次函数、正比例函数的图像，引导学生思考二次函数的概念及图像特点；2. 讲解二次函数的概念及一般形式，让学生掌握二次函数的基本知识；3. 运用配方法求解二次函数，让学生理解配方法的原理及步骤；4. 运用顶点式求解二次函数，让学生掌握顶点式的运用方法；5. 分析二次函数的图像特点，让学生了解二次函数图像的形状及对称性；6. 探讨二次函数图像与系数之间的关系，让学生理解系数对图像的影响；7. 运用实例分析，让学生解决实际问题，提高应用意识；8. 课堂小结，梳理本节课的主要知识点；9. 布置作业，巩固所学内容。
六、教学活动：1. 让学生通过数学软件或图形计算器绘制二次函数图像，观察图像与系数之间的关系；2. 组织小组讨论，让学生分享各自绘制二次函数图像的心得，探讨如何快速判断二次函数的图像特点；3. 安排课堂练习，让学生运用所学知识解决实际问题，如：抛物线射击、最大（小）值问题等。
人教版初中数学《二次函数图像及其性质的应用》导学案
“百搭体质”的抛物线----二次函数图像及其性质的应用一网打尽抛物线是一个数学名词,指平面上一个动点P与定点O和固定直线AB保持相等的距离移动时所成的轨迹.通俗地说,将一物体向上斜抛出去所经的路线就是抛物线.自然和社会生活中,随处可见到抛物线现象.枪炮射击中子弹、炮弹出膛后形成的轨迹就是一条抛物线.沙漠中刮风所形成的迎风坡凹进,背风坡凸出,两个翼角指向迎风方向,平面轮廓呈抛物线状的横向沙丘,被称做抛物线沙丘.儿时郊外抛石块、牧羊人和放鸭人抛出的赶羊、赶鸭的土疙瘩,也都形成了一条抛物线.以抛物线为载体，将初中数学的数形结合体现到极致，这是抛物线的特异功能。
仔细分析：1.求解析式；2.三角形的形状；3.距离最小值问题；4.相似问题；5.存在性问题：直角三角形、等腰三角形、平行四边形；6.面积问题；7.角的存在与倍分问题；8.动点问题等.一提多问，生发思维例已知：如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3，顶点为D．（1）求此函数的关系式；（2）判断△ACD的形状，并说明理由；（3）求四边形ABCD的面积．（4）在对称轴上找一点P，使△BCP的周长最小，求出P点坐标及△BPC的周长。
（5）在AC下方的抛物线上有一点N,过点N作直线l∥y轴，交AC与点M,当点N坐标为多少时，线段MN的长度最大? 最大是多少?（6）在AC下方的抛物线上，是否存在一点N使△CAN面积最大？最大面积是多少？（7）在AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使四边形ABCN面积最大，且最大面积是多少？（8）在y轴上是否存在一点E，使△ADE为直角三角形，若存在。
求出点E的坐标；若不存在，说明理由。
（9）在y轴上是否存在一点F，使△ADF为等腰三角形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由。
（10）在抛物线上是否存在一点N,使S△ABN=S△ABC，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由。
中考数学第一轮复习导学案：二次函数及其图象
二次函数及其图象◆【课前热身】1.向上发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 公尺，且时间与高度关系为y =ax 2+bx .若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？（ ）A ． 第8秒B ． 第10秒C ．第12秒D ．第15秒 2.在平面直角坐标系中，将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为（ ）A ．222-=x yB ．222+=x yC ．2)2(2-=x yD ．2)2(2+=x y 3.抛物线3)2(2+-=x y 的顶点坐标是（ ）A ．（2，3）B ．（－2，3）C ．（2，－3）D ．（－2，－3） 4.二次函数2(1)2y x =++的最小值是（ ）．A ．2B ．1C ．－3D ． 235.抛物线y=－2x 2－4x －5经过平移得到y=－2x 2，平移方法是（ ） A ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 C ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位【参考答案】 1. B 2. B 3. A 4. A 5. D◆【考点聚焦】〖知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向〖大纲要求〗1．理解二次函数的概念；2．会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；3．会平移二次函数y＝ax2(a≠0)的图象得到二次函数y＝a(ax＋m)2＋k的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；4．会用待定系数法求二次函数的解析式；5．利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系.◆【备考兵法】〖考查重点与常见题型〗1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x为自变量的二次函数y＝(m－2)x2＋m2－m－2额图象经过原点，则m的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图象，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图象，试题类型为选择题，如：如图，如果函数y＝kx＋b的图象在第一、二、三象限内，那么函数y＝kx2＋bx－1的图象大致是（） y y y y1 1A B C D3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴yxO为x ＝53，求这条抛物线的解析式.4． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y 轴交点的纵坐标是－32 （1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题. 抛物线的平移抛物线的平移主要是移动顶点的位置，将y=ax 2沿着y 轴（上“＋”，下“－”）平移k （k>0）个单位得到函数y=ax 2±k ，将y=ax 2沿着x 轴（右“－”，左“＋”）平移h （h>0）个单位得到y=a （x ±h ）2．•在平移之前先将函数解析式化为顶点式，再来平移，若沿y•轴平移则直接在解析式的常数项后进行加减（上加下减），若沿x 轴平移则直接在含x 的括号内进行加减（右减左加）．◆【考点链接】1. 二次函数2()y a x h k =-+的图象和性质a ＞0a ＜0图 象开 口对 称 轴 顶点坐标最 值 当x ＝ 时，y 有最 值 当x ＝ ，y 有最 值增减性在对称轴左侧y 随x 的增大而y 随x 的增大而 在对称轴右侧 y 随x 的增大而y 随x 的增大而2. 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成()k h x a y +-=2的形式，其中h ＝ ， k ＝ .3. 二次函数2()y a x h k =-+的图象和2ax y =图象的关系.4. 二次函数c bx ax y ++=2中c b a ,,的符号的确定. ◆【典例精析】例1 已知：二次函数为y=x 2－x+m ，（1）写出它的图象的开口方向，对称轴及顶点坐标；（2）m 为何值时，顶点在x 轴上方，（3）若抛物线与y 轴交于A ，过A 作AB ∥x 轴交抛物线于另一点B ，当S △AOB =4时，求此二次函数的解析式．【分析】（1）用配方法可以达到目的；（2）顶点在x 轴的上方，•即顶点的纵坐标为正；（3）AB ∥x 轴，A ，B 两点的纵坐标是相等的，从而可求出m 的值．【解答】（1）∵由已知y=x 2－x+m 中，二次项系数a=1>0，∴开口向上，又∵y=x 2－x+m=[x 2－x+（12）2]－ 14+m=（x －12）2+414m - ∴对称轴是直线x=12，顶点坐标为（12，414m -）．（2）∵顶点在x 轴上方， ∴顶点的纵坐标大于0，即414m ->0 ∴m>14 ∴m>14时，顶点在x 轴上方．（3）令x=0，则y=m ．即抛物线y=x 2－x+m 与y 轴交点的坐标是A （0，m ）． ∵AB ∥x 轴∴B 点的纵坐标为m ．当x 2－x+m=m 时，解得x 1=0，x 2=1． ∴A （0，m ），B （1，m ）在Rt △BAO 中，AB=1，OA=│m │． ∵S △AOB =12OA ·AB=4． ∴12│m │·1=4，∴m=±8 故所求二次函数的解析式为y=x 2－x+8或y=x 2－x －8．【点评】正确理解并掌握二次函数中常数a ，b ，c•的符号与函数性质及位置的关系是解答本题的关键之处．会用待定系数法求二次函数解析式例2(湖北武汉)如图，抛物线24y ax bx a =+-经过(10)A -，、(04)C ，两点，与x 轴交于另一点B ．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点(1)D m m +，在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接BD ，点P 为抛物线上一点，且45DBP ∠=°，求点P 的坐标．【分析】（1）中用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）中考查象限，点关于直线的对称点求法；（3）中主要是做出正确的辅助线求解，进而求出点的坐标.【答案】解：（1）Q 抛物线24y ax bx a =+-经过(10)A -，，(04)C ，两点，404 4.a b a a --=⎧∴⎨-=⎩，解得13.a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为234y x x =-++．yOABC（2）Q 点(1)D m m +，在抛物线上，2134m m m ∴+=-++， 即2230m m --=，1m ∴=-或3m =．Q 点D 在第一象限，∴点D 的坐标为(34)，．由（1）知45OA OB CBA =∴∠=，°． 设点D 关于直线BC 的对称点为点E ．(04)C Q ，，CD AB ∴∥，且3CD =，45ECB DCB ∴∠=∠=°，E ∴点在y 轴上，且3CE CD ==．1OE ∴=，(01)E ∴，． 即点D 关于直线BC 对称的点的坐标为（0，1）．（3）方法一：作PF AB ⊥于F ，DE BC ⊥于E ．由（1）有：445OB OC OBC ==∴∠=，°，45DBP CBD PBA ∠=∴∠=∠Q °，．(04)(34)C D Q ，，，，CD OB ∴∥且3CD =．yOABCDE yOA BC DEP F45DCE CBO ∴∠=∠=°，322DE CE ∴==． 4OB OC ==Q ，42BC ∴=，522BE BC CE ∴=-=， 3tan tan 5DE PBF CBD BE ∴∠=∠==． 设3PF t =，则5BF t =，54OF t ∴=-，(543)P t t ∴-+，．P Q 点在抛物线上，∴23(54)3(54)4t t t =--++-++，0t ∴=（舍去）或2225t =，266525P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，． 方法二：过点D 作BD 的垂线交直线PB 于点Q ，过点D 作DH x ⊥轴于H ．过Q 点作QG DH ⊥于G ．45PBD QD DB ∠=∴=Q °，． QDG BDH ∴∠+∠90=°，又90DQG QDG ∠+∠=°，DQG BDH ∴∠=∠．QDG DBH ∴△≌△，4QG DH ∴==，1DG BH ==． 由（2）知(34)D ，，(13)Q ∴-，． (40)B Q ，，∴直线BP 的解析式为31255y x =-+．yOABC DPQGH解方程组23431255y x x y x ⎧=-++⎪⎨=-+⎪⎩，，得1140x y =⎧⎨=⎩，；222566.25x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴点P 的坐标为266525⎛⎫- ⎪⎝⎭，．◆【迎考精练】 一、选择题1.(上海市)抛物线22()y x m n =++（m n ，是常数）的顶点坐标是（ ）A ．()m n ，B ．()m n -，C ．()m n -，D ．()m n --，2.(陕西省)根据下表中的二次函数c bx ax y ++=2的自变量x 与函数y 的对应值，可判断二次函数的图像与x 轴（ ）x … －10 12…y … －1 47-－2 47- … A ．只有一个交点B ．有两个交点，且它们分别在y 轴两侧C ．有两个交点，且它们均在y 轴同侧D ．无交点3.（湖北荆门）函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ）4.（广东深圳）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图2所示，若点A （1，y 1）、B （2，y 2）是它图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是（ ）A ．21y y <B ．21y y =C ．21y y >D ．不能确定B ．C ．D ．1111xo yyo x yo xxoy5.（湖北孝感）将函数2y x x =+的图象向右平移a (0)a >个单位，得到函数232y x x =-+的图象，则a 的值为 A ．1B ．2C ．3D ．46.（天津市）在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）A ．22y x x =--+ B ．22y x x =-+-C.22y x x =-++ D ．22y x x =++7.（四川遂宁）把二次函数3412+--=x x y 用配方法化成()k h x a y +-=2的形式A.()22412+--=x yB. ()42412+-=x yC.()42412++-=x yD. 321212+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y 8.(河北)某车的刹车距离y （m ）与开始刹车时的速度x （m/s ）之间满足二次函数2120y x =（x ＞0），若该车某次的刹车距离为5 m ，则开始刹车时的速度为（ ） A ．40 m/s B ．20 m/s C ．10 m/sD ．5 m/s二、填空题1.（北京市）若把代数式223x x --化为()2x m k -+的形式，其中,m k 为常数，则m k +=.2.（安徽）已知二次函数的图象经过原点及点（12-，14-），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为 3.（湖南郴州）抛物线23(1)5y x =--+的顶点坐标为__________．4.（内蒙古包头）已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、1(0)x ，，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)，的下方．下列结论：①420a b c -+=；②0a b <<；③20a c +>；④210a b -+>．其中正确结论的个数是 个．5.（湖北襄樊）抛物线2y x bx c =-++的图象如图所示， 则此抛物线的解析式为 ．6.（湖北荆门）函数(2)(3)y x x =--取得最大值时，x =______． 三、解答题1.（湖南衡阳）已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，－2），求这个二次函数的关系式．2.（湖南株洲）已知ABC ∆为直角三角形，90ACB ∠=︒，AC BC =,点A 、C 在x 轴上，点B 坐标为（3，m ）（0m >），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为顶点的抛物线过点B 、D ．（1）求点A 的坐标（用m 表示）； （2）求抛物线的解析式；（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连结PQ 并延长交BC 于点E ，连结BQ 并延长交AC 于点F ，试证明：()FC AC EC +为定值．yxQPFEDC BAOyxO3x =15题3.（湖南常德）已知二次函数过点A （0，2-），B （1-，0），C （5948，）． （1）求此二次函数的解析式； （2）判断点M （1，12）是否在直线AC 上？ （3）过点M （1，12）作一条直线l 与二次函数的图象交于E 、F 两点（不同于A ，B ，C 三点），请自已给出E 点的坐标，并证明△BEF 是直角三角形．4. (陕西省) 如图，在平面直角坐标系中，OB ⊥OA ，且OB ＝2OA ，点A 的坐标是(－1，2)．（1）求点B 的坐标；（2）求过点A 、O 、B 的抛物线的表达式；（3）连接AB ，在（2）中的抛物线上求出点P ，使得S △ABP ＝S △ABO ．第3题5.(湖北黄冈)新星电子科技公司积极应对世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线．由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次）．公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x（月）之间的函数关系式（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上．该图象从左至右，依次是线段OA、曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线的一部分，且点A，B，C的横坐标分别为4，10，12（1）求该公司累积获得的利润y（万元）与时间第x（月）之间的函数关系式；（2）直接写出第x个月所获得S（万元）与时间x（月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）；（3）前12个月中，第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？6.（内蒙古包头）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，．（1）求一次函数的表达式；（2）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围．7.（福建漳州）如图1，已知：抛物线与轴交于两点，与轴交于点C，经过B、C两点的直线是，连结．（1）B、C两点坐标分别为B（_____，_____）、C（_____，_____），抛物线的函数关系式为______________；（2）判断的形状，并说明理由；（3）若内部能否截出面积最大的矩形（顶点在各边上）？若能，求出在边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由．[抛物线的顶点坐标是]【参考答案】 选择题 1. B 2. B 3. C【解析】本题考查函数图象与性质，当0a >时，直线从左向右是上升的，抛物线开口向上，D 是错的，函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象必过（0，1），所以C 是正确的，故选C ． 4. C 5. B 6. C 7. D 8. C 填空题 1. -32. 2y x x =+，21133y x =-+ 3. （1，5） 4. 4【解析】本题考查二次函数图象的画法、识别理解，方程根与系数的关系筀等知识和数形结合能力.根据题意画大致图象如图所示，由2y ax bx c =++与X 轴的交点坐标为(-2,0)得()()2220a b c ⨯-+⨯-+=，即 420a b c -+=所以①正确；由图象开口向下知0a <，由2y ax bx c =++与X 轴的另一个交点坐标为()1,0x 且112x <<，则该抛物线的对称轴为()121222x b x a -+=-=>- 由a<0得b>a,所以结论②正确；由一元二次方程根与系数的关系知12.2cx x a=<-，结合a<0得20a c +>，所以③结论正确；由420a b c -+=得22c a b -=-，而0<c<2,，∴102c -<-< ∴-1<2a-b<0 ∴2a-b+1>0,所以结论④正确.点拨： 420a b c -+=是否成立，也就是判断当2x =-时，2y ax bx c =++的函数值是否为0；判断2y ax bx c =++中a 符号利用抛物线的开口方向来判断，开口向上a>0,开口向下a<0;判断a 、b 的小关系时，可利用对称轴2bx a =-的值的情况来判断；判断a 、c 的关系时，可利用由一元二次方程根与系数的关系12.cx x a=的值的范围来判断；2a-b+1的值情况可用420a b c -+=来判断. 5. 223y x x =-++【解析】本题考查二次函数的有关知识，由图象知该抛物线的对称轴是1x =，且过点（3，0），所以12930bb c ⎧-=⎪-⎨⎪-++=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩，所以抛物线的解析式为223y x x =-++，故填223y x x =-++ 6.52【解析】本题考查二次函数的最值问题，可以用配方法或二次函数顶点坐标公式求出当x 为何值时二次函数取得最大值，下面用配方法，22549(2)(3)5624y x x x x x ⎛⎫=--=-+-=--+ ⎪⎝⎭，所以当52x =时，函数(2)(3)y x x =--取得最大值，故填52解答题1. 解：设这个二次函数的关系式为得：解得：∴这个二次函数的关系式是，即2. （1）由(3,)B m 可知3OC =，BC m =，又△ABC 为等腰直角三角形，∴AC BC m ==，3OA m =-，所以点A 的坐标是（3,0m -）. （2）∵45ODA OAD ∠=∠=︒ ∴3OD OA m ==-，则点D 的坐标是（0,3m -）. 又抛物线顶点为(1,0)P ，且过点B 、D ，所以可设抛物线的解析式为：2(1)y a x =-，得：22(31)(01)3a m a m ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩ 解得14a m =⎧⎨=⎩ ∴抛物线的解析式为221y x x =-+ （3）过点Q 作QM AC ⊥于点M ，过点Q 作QN BC ⊥于点N ，设点Q 的坐标是2(,21)x x x -+，则2(1)QM CN x ==-，3MC QN x ==-.∵//QM CE ∴PQM ∆∽PEC ∆ ∴QM PMEC PC =即2(1)12x x EC --=，得2(1)EC x =- ∵//QN FC ∴BQN ∆∽BFC ∆ ∴QN BN FC BC =即234(1)4x x FC ---=，得41FC x =+ 又∵4AC = ∴444()[42(1)](22)2(1)8111FC AC EC x x x x x x +=+-=+=⋅+=+++ 即()FC AC EC +为定值8.3. （1）设二次函数的解析式为c bx ax y ++=2（0a ≠）， 把A （0，2-），B （1-，0），C （5948，）代入得2092558164c a b c a b c⎧⎪=-⎪=-+⎨⎪⎪=++⎩解得 a =2 ， b =0 ， c =－2， ∴222y x =-（2）设直线AC 的解析式为(0)y kx b k =+≠ ，把A （0，－2），C （5948，）代入得29584b k b =-⎧⎪⎨=+⎪⎩， 解得522k b ==-， ，∴522y x =- 当x =1时，511222y =⨯-= ∴M （1，12）在直线AC 上（3）设E 点坐标为（1322--，），则直线EM 的解析式为4536y x =- 由 2453622y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩化简得2472036x x --=，即17()(2)023x x +-=，第3题∴F 点的坐标为（713618，）．过E 点作EH ⊥x 轴于H ，则H 的坐标为（102-，）． ∴3122EH BH ==， ∴2223110()()224BE =+=，类似地可得 22213131690845()()186324162BF =+==， 222401025001250()()186324162EF =+==， ∴2221084512504162162BE BF EF +=+==，∴△BEF 是直角三角形．4. 解：（1）过点A 作AF ⊥x 轴，垂足为点F ，过点B 作BE ⊥x 轴，垂足为点E ，则AF ＝2，OF ＝1．∵OA ⊥OB ，∴∠AOF+∠BOE ＝90°． 又 ∵∠BOE+∠OBE ＝90°，∴∠AOF ＝∠OBE ． ∴Rt △AFO ∽Rt △OEB ． ∴2===OAOBAF OE OF BE ． ∴BE ＝2，OE ＝4． ∴B(4，2)．（2）设过点A(－1，2)，B(4，2)，O(0，0)的抛物线为y=ax 2+bx+c ．∴⎪⎩⎪⎨⎧==++=+-.0,2416,2c c b a c b a 解之，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==.0,23,21c b a∴所求抛物线的表达式为x x y 23212-=． （3）由题意，知AB ∥x 轴．设抛物线上符合条件的点P 到AB 的距离为d ，则S △ABP ＝AF AB d AB ⋅=⋅2121． ∴d ＝2．∴点P 的纵坐标只能是0或4． 令y ＝0，得023212=-x x ，解之，得x ＝0，或x ＝3． ∴符合条件的点P 1(0，0)，P 2(3，0)． 令y ＝4，得423212=-x x ，解之，得2413±=x ． ∴符合条件的点P 3(2413-，4)，P 4(2413+，4)． ∴综上，符合题意的点有四个： P 1(0，0)，P 2(3，0)，P 3(2413-，4)，P 4(2413+，4)． （评卷时，无P 1(0，0)不扣分）5.解：（1）当时，线段O A 的函数关系式为;当时，由于曲线AB 所在抛物线的顶点为A （4，－40），设其解析式为在中，令x=10，得；∴B （10，320）∵B （10，320）在该抛物线上 ∴解得∴当时，=综上可知，(2) 当时,当时,当时,(3) 10月份该公司所获得的利润最多,最多利润是110万元.6. 解：（1）根据题意得解得．所求一次函数的表达式为．（2），抛物线的开口向下，当时，随的增大而增大，而，当时，．当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．（3）由，得，整理得，，解得，．由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而，所以，销售单价的范围是．7. （1）（4，0），．．（2）是直角三角形．证明：令，则．．．解法一：．．是直角三角形．解法二：，．．，．即．是直角三角形．（3）能．当矩形两个顶点在上时，如图1，交于．，．．解法一：设，则，，．=．当时，最大．．，．，．解法二：设，则．．当时，最大．．，．，．当矩形一个顶点在上时，与重合，如图2，，．．解法一：设，，．=．当时，最大．，．解法二：设，，，，．．=∴当时，最大，．．∴综上所述：当矩形两个顶点在上时，坐标分别为，（2，0）；当矩形一个顶点在上时，坐标为。
二次函数及其图像教案
二次函数及其图像教案教学目标：1. 理解二次函数的概念和一般形式；2. 学会求解二次方程；3. 能够绘制二次函数的图像并理解其性质；4. 能够应用二次函数解决实际问题。
教学内容：第一章：二次函数的概念1.1 引入二次函数的概念1.2 二次函数的一般形式1.3 二次函数的图像特点第二章：求解二次方程2.1 引入二次方程的概念2.2 求解二次方程的公式2.3 求解二次方程的步骤第三章：绘制二次函数的图像3.1 绘制二次函数图像的方法3.2 二次函数图像的性质3.3 特殊情况下二次函数图像的特点第四章：二次函数的顶点4.1 顶点的概念4.2 顶点的求解方法4.3 顶点对二次函数图像的影响第五章：二次函数的单调性5.1 单调性的概念5.2 判断二次函数单调性的方法5.3 单调性对二次函数图像的影响教学方法：1. 采用讲授法，讲解二次函数的概念、一般形式、图像特点等内容；2. 采用案例分析法，通过具体例子讲解求解二次方程的步骤和方法；3. 采用实践操作法，引导学生动手绘制二次函数的图像，观察其性质；4. 采用小组讨论法，让学生分组讨论二次函数的顶点和单调性，并进行交流分享。
教学评价：1. 课堂问答：通过提问的方式检查学生对二次函数概念的理解程度；2. 练习题：布置相关的练习题，检查学生对二次方程求解方法的掌握情况；3. 图像绘制：让学生独立绘制二次函数的图像，并分析其性质，检查学生对图像特点的理解程度；4. 小组讨论：评价学生在小组讨论中的表现，检查学生对二次函数顶点和单调性的理解程度。
教学资源：1. 教学PPT：展示二次函数的概念、一般形式、图像特点等内容；2. 练习题：提供相关的练习题供学生练习；3. 图像绘制工具：如几何画板等，用于学生绘制二次函数的图像；4. 小组讨论材料：提供相关材料供学生在小组讨论中参考。
教学步骤：第一章：1.1 引入二次函数的概念：通过举例说明二次函数的定义；1.2 二次函数的一般形式：介绍一般形式的表达式；1.3 二次函数的图像特点：分析二次函数图像的开口方向、顶点位置等特点。
《二次函数》的复习教学设计
《二次函数》的复习教学设计复习教学设计：二次函数一、教学目标：1.理解二次函数的定义及其特点；2.掌握二次函数的图像、顶点、轴、对称轴等性质；3.能够根据二次函数的特点解决实际问题。
二、教学内容：1.二次函数的定义和基本形式；2.二次函数的图像和性质；3.二次函数的最值、零点及其应用。
三、教学步骤：步骤一：导入新知1.导入教学话题：“二次函数”，以回顾前几节课所学内容，引发学生对二次函数的认识和兴趣。
2.提问：“你能简单回忆一下二次函数是什么吗？”让学生简单复述二次函数的定义。
步骤二：概念及定义讲解1. 讲解二次函数的定义和基本形式，即f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为实数。
2.引导学生理解a、b和c对二次函数图像的影响，如a决定了抛物线的开口方向和宽度，b决定了抛物线的位置偏移，c决定了抛物线与y轴的交点位置。
步骤三：图像及性质讲解1.讲解二次函数图像的性质，包括图像的开口方向、顶点、对称轴等。
2.通过示例分析，引导学生找出二次函数的顶点、对称轴及其它特征，让学生能够根据函数表达式确定图像的形状。
步骤四：实例分析及概念巩固1.给出一些具体的函数表达式，引导学生根据图像的特征进行分析，并求出对应的顶点、对称轴、开口方向等。
2.提问：“当a为正数时，抛物线的开口方向是向上还是向下？当a为负数时又怎样？”让学生总结出结论。
3.给出一些特殊情况的函数表达式，让学生分析并给出对应的图像和性质。
步骤五：最值、零点及应用讲解1.讲解二次函数的最值和零点，包括二次函数最值的判断和求解，以及二次函数零点的判断和求解。
2.引导学生通过实例分析，掌握解二次函数实际问题的方法和步骤。
3.给出一些实际问题，让学生通过建立等式或不等式解决，加深对二次函数的运用和理解。
步骤六：巩固练习1.布置相应的练习题，让学生通过计算和绘图巩固所学内容。
2.引导学生将练习题的解答和图像进行对比，分析解题方法和图像的关系。
第15课时二次函数的图像 精品导学案新人教版
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二次函数的图像归纳：二次函数y=ax 2+bx+c 的图像画法，可分三步：①用配方法把函数化为()k h x a y +-=2形式，②利用顶点式确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，③利用对称点描点画图问题：对于二次函数的一般形式)0(2≠++=a c bx ax y ，怎样求对称轴、顶点坐标？()2222222222422244.24b c a a b b b c b ac b y ax bx c a x a x x a x a a a a a a b ac b a x a a +⎡⎤⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=++-+=++⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图像的性质是：1.对称轴是 ，顶点坐标是2.当a ＞0时，开口向 ，当x ＝ 时，函数有最 值为 ；当a ＜0时，开口向 当x ＝ 时，函数有最 值为 。
三.拓展提升1.抛物线y ＝－12x 2＋2x ＋4的顶点坐标是_______；对称轴是_______；2.二次函数y ＝ax 2＋4x ＋a 的最大值是3，求a 的值。
3、已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在y 轴上，求a 的值?若顶点在x 轴上呢？4、已知二次函数图象的对称轴是x =-3，且函数有最大值为2，图象与x 轴的一个交点是（－1，0），求这个二次函数的解析式。
5、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象如图所示，下列结论中： ①abc ＞0，②b ＝2a ；③a ＋b ＋c ＜0，④a －b ＋c ＞0，正确的个数是( ) A ．4个 B ．3个 C. 2个 D ．1个6、已知抛物线c bx x y ++=2的部分图象如右图所示，若y<0,则x 的取值范围是（ ） A ．-1<x<4 Ｂ．-1<x<3 Ｃ．x<-1或x>4 Ｄ．x<-1或x>3 四.当堂反馈1、下列抛物线，对称轴是x =21的是 ( ) A. 221x y =B. x x y 22+=C. 22++=x x yD. 22--=x x y 2、抛物线24y x x m =-+与x 轴只有一个交点，则m= 。
二次函数及其图像的复习教学设计
二次函数及其图像的复习教学设计教学目标：知识与技能目标1.理解二次函数的概念，掌握二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质；2.会用待定系数法求二次函数的解析式，能结合二次函数的图象掌握二次函数的性质。
3.发现二次函数的系数a,b,c,△的符号与图象之间的关系；a,b,c,△及相关代数式的符号；能力与程序性目标：通过具体实例，掌握函数的解决能力和分析能力教学重难点：1.能灵活的根据条件恰当地选取选择表达式，体会二次函数表达式之间的转化。
2.由抛物线确定a,b,c,△及相关代数式的符号；教学设计过程一．由于是第一轮复习，教师先归纳出知识点，让学生能回顾以前的知识。
(一）二次函数的概念和表达式的确定；a；y=ax2+bx+c（a≠0）①未知数的最高次数是2②表达式是整式③有两个未知数B;函数的表达式的确定根据不同的情况来设不同的形式1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式为_y=ax2+bx+c（a≠0）2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式为y=a(x-h)2+k(a≠0)3,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为y=a(x-x1)(x-x2)学生活动；在老师的归纳下，学生自主梳理知识，并及时巩固知识，讨论并完成下列习题1、已知二次函数的图象顶点是（-1，2），且经过（1，-3），那么这个二次函数的解析式是_______________。
(2)已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。
求二次函数表达式。
(二)二次函数的图像与字母系数的确定由学生交流自学完成1.抛物线y=ax2+bx+c 的开口方向由决定：⇒开口向上⇒开口向下.2.抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点坐标是（）.c>o⇒与y轴的交点在；c<o⇒与y轴的交点在；c=o⇒抛物线过点3.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 .b=0⇒对称轴是；0⇒对称轴在y轴的侧；a、b同号⇒－b2aa、b异号⇒－b0⇒对称轴在y轴的侧.2a4.若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点，则交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，因此抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数由决定.<⇒抛物线与x轴有两个交点；⇒抛物线与x轴有一个交点；⇒抛物线与x轴没有交点.5.a＋b＋c,a－b＋c与0的大小关系学生活动；课堂教学在师生、生生的互动氛围中，引导学生从感性认识到理性认知的过渡，培养、形成抽象思维的意识和能力，从而激发学生认识知识的运用；如图；抛物线y=ax2+bx+c的图像与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（0.5,1），下列结论：①abc<0②a＋b=0③b2－4ac>0④a＋b＋c<0⑤4ac－b2=4a其中正确结论的序号是_教师进行点评，由于函数的重要性，学生必须学会应用，它是数形结合的一种表现，通过对开口方向以及对称轴位置，与坐标轴的交点。
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y
x
O
课时15．二次函数及其图像
【考点链接】
1. 二次函数2
()
y a x h k
=-+的图像和性质
a＞0 a＜0
图象
开口
对称轴
顶点坐标
最值
当x＝时，y有最
值
当x＝时，y有最值增
减
性
在对称轴左侧y随x的增大而y 随x的增大而
在对称轴右侧y随x的增大而y随x的增大而
2. 二次函数c
bx
ax
y+
+
=2用配方法可化成()k
h
x
a
y+
-
=2的形式，其中h＝，k＝ .
3. 二次函数2
()
y a x h k
=-+的图像和2
ax
y=图像的关系.
4. 常用二次函数的解析式：（1）一般式：；（2）顶点式：。
5. 顶点式的几种特殊形式.
⑴，⑵，⑶，（4） .
6．二次函数c
bx
ax
y+
+
=2通过配方可得
2
2
4
()
24
b a
c b
y a x
a a
-
=++，其抛物线关于直线x=对称，顶点坐标为（，）.
⑴ 当0
a>时，抛物线开口向，有最（填“高”或“低”）点, 当
x=时，y有最（“大”或“小”）值是；
⑵ 当0
a<时，抛物线开口向，有最（填“高”或“低”）点, 当
【安徽十年中考试题】
1、（2006安徽省大纲4分）生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y 和月份n 之间函数关系式为2y n 14n 24=-+-，则该企业一年中应停产的月份是【 】
A ．1月、2月、3月
B ．2月、3月、4月
C ．1月、2月、12月
D ．1月、11月、12月
2、（2009安徽省4分）若二次函数2y x bx 5=++配方后为()2
y x 2k =-+，则b 、k 的值分别为【 】 A ．0，5 B ．0，1 C ．－4，5 D ．－4，1
3、（2004安徽省4分）写出一个当x>0时，y 随x 的增大而增大的函数解析式
4、（2005安徽省大纲4分）写出一个图象经过点（﹣1，﹣1），且不经过第一象限的函数表达式 ．
5、（2006安徽省大纲5分）请你写出一个b 的值，使得函数2y x 2bx =+在第一象限内y 的值随着x 的值增大而增大，则b 可以是 。
6、（2008安徽省5分）如图为二次函数y=ax 2
＋bx ＋c 的图象，在下列说法中：
①ac＜0； ②方程ax 2
＋bx ＋c=0的根是x 1= －1, x 2= 3 ③a＋b ＋c ＞0 ④当x ＞1时，y 随x 的增大而增大。
正确的说法有 。
(把正确的答案的序号都填在横线上)
7、（2009安徽省5分）已知二次函数的图象经过原点及点（12-，1
4
-），且图象与x 轴的另一交点到原
点的距离为1，则该二次函数的解析式为
8、（2001安徽省12分）某工厂生产的A 种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销量为100万件，为了获得更好的效益，厂家准备拿出一定的资金做广告；根据统计，每年投入的广告费是x （十万元），产品的年销量将是原销售量的y 倍，且y 是x 的二次函数，它们的关系如表：
x （十万元）
0 1 2 y
1
1.5
1.8
（1）求y 与x 的函数关系式；
（2）如果把利润看成销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S （十万元）与广告费x （十万元）的函数关系式；
（3）如果投入的年广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，工厂获得的利润最大？最大利润是多少？
9、（2002安徽省12分）心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （单位：分）之间满足函数关系：y ＝－0.1x 2
＋2.6x ＋43 （0≤x≤30）．y 值越大，表示接受能力越强． （1）x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ （2）第10分时，学生的接受能力是多少？（3）第几分时，学生的接受能力最强？
10、（2003安徽省12分）已知函数y=x 2
＋bx －1的图象经过点（3，2）
（1） 求这个函数的解析式；
（2） 画出它的图象，并指出图象的顶点坐标； （3） 当x>0时，求使y≥2的x 的取值范围。
11、（2004安徽省12分）某企业投资100万元引进一条农产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年
可创利33万元．该生产线投产后，从第1年到第x 年的维修、保养费用累计为y(万元)，且y=ax 2
+bx ，若第1年的维修、保养费为2万元，第2年的为4万元．
(1)求y 的解析式；(2)投产后，这个企业在第几年就能收回投资?
12、（2011年安徽14分）如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在四条平行线l 1、l 2、l 3、l 4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h 1、h 2、h 3（h 1＞0，h 2＞0，h 3＞0）. (1)求证h 1=h 3； 【解】
(2) 设正方形ABCD 的面积为S.求证S=（h 2+h 3）2＋h 12
； 【解】
(3)若
123
12
h h +=,当h 1变化时，说明正方形ABCD 的面积为S 随h 1的变化情况. 【解】
第23题图
13、（2006安徽省大纲12分）某公司年初推出一种高新技术产品，该产品销售的累积利润y （万元）与销售时间x （月）之间的关系（即前x 个月的利润总和y 与x 之间的关系）为2
1y x 2x x 02
>=-（）。
（1）求出这个函数图象的顶点坐标和对称轴；
（2）请在所给坐标系中，画出这个函数图象的简图；
（3）根据函数图象，你能否判断出公司的这种新产品销售累积利润是从什么时间开始盈利的？
（4）这个公司第6个月所获的利润是多少？
14、（2006安徽省课标12分）抛物线2y x m 1x m =-+
-+（）与y 轴交于（0，3）点。
（1）求出m 的值并画出这条抛物线；
（2）求它与x 轴的交点和抛物线顶点的坐标； （3）x 取什么值时，抛物线在x 轴上方？
（4）x 取什么值时，y 的值随x 值的增大而减小？
15、（2008安徽省12分）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端
A 处弹跳到人梯顶端椅子
B 处，其身体(看成一点)的路线是抛物线
23
y=x 3x 15
－＋＋的一部分，如图。
（1）求演员弹跳离地面的最大高度；
（2）已知人梯高BC ＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由。
16、（2007安徽省14分）按如图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：
（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；
（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。
（1）若y与x的关系是y=x＋p（100－x），请说明：当p=1
2
时，这种变换满足上述两个要求；
（2）若按关系式y=a（x－h）2+k（a＞0）将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。
（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）
17、（2009安徽省14分）已知某种水果的批发单价与批发量的函数关
系如图（1）所示．（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．
（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的函
数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，
以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．
（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数
关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，且当日
零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得
的利润最大．
18、（2009安徽省12分）春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用20天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售．九（1）班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第x天（1≤x≤20且x为整数）的捕捞与销售的相关信息如表：
鲜鱼销售单价（元/kg）20
单位捕捞成本（元/kg）
x 5
5
捕捞量（kg）950－10x
（1）在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一末的捕捞量相比是如何变化的？
（2）假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出，求第x天的收入y（元）与x （天）之间的函数关系式？（当天收入=日销售额-日捕捞成本）
（3）试说明（2）中的函数y随x的变化情况，并指出在第几天y取得最大值，最大值是多少？
19、（2012安徽省14分）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m。
（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）
（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围。