高考数学二轮复习对点练：专题七 解析几何 专题对点练22
高考数学二轮复习 专题七 解析几何 专题对点练22 直线与圆及圆锥曲线 文
专题对点练22 直线与圆及圆锥曲线1.设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.2.(2018全国Ⅱ,文20)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B 两点,|AB|=8.(1)求l的方程.(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.3.在平面直角坐标系xOy中,已知圆O1:(x+1)2+y2=1和O2:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆O1外切,与圆O2内切.(1)求圆心P的轨迹E的方程;(2)过A(-2,0)作两条互相垂直的直线l1,l2分别交曲线E于M,N两点,设l1的斜率为k(k>0),△AMN 的面积为S,求的取值范围.4.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为圆心的圆与直线x-y=4相切.(1)求圆O的方程;(2)若圆O上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=2,求直线MN的方程;(3)圆O与x轴相交于A,B两点,圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求的取值范围.5.已知点N(-1,0),F(1,0)为平面直角坐标系内两定点,点M是以N为圆心,4为半径的圆上任意一点,线段MF的垂直平分线交MN于点R.(1)点R的轨迹为曲线E,求曲线E的方程;(2)抛物线C的顶点在坐标原点,F为其焦点,过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,与曲线E交于P,Q两点,请问:是否存在直线l使A,F,Q是线段PB的四等分点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.6.(2018天津,文19)设椭圆=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,|AB|=.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l:y=kx(k<0)与椭圆交于P,Q两点,l与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,求k的值.专题对点练22答案1.解(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4,于是直线AB的斜率k==1.(2)由y=,得y'=.设M(x3,y3),由题设知=1,解得x3=2,于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2.从而|AB|=|x1-x2|=4.由题设知|AB|=2|MN|,即4=2(m+1),解得m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.2.解 (1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).设A(x1,y1),B(x2,y2).由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=;由题设知=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.3.解 (1)设动圆P的半径为r,则|PO1|=r+1,|PO2|=3-r,所以|PO1|+|PO2|=4,所以P的轨迹为椭圆,2a=4,2c=2,所以a=2,c=1,b=,所以椭圆的方程为=1(x≠-2).(2)设点M坐标为(x0,y0),直线l1的方程为y=k(x+2),代入=1,可得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.∵A(-2,0)在椭圆=1上,∴x0×(-2)=,则x0=,∴|AM|=.同理|AN|=.所以S=|AM|·|AN|=.,令k2+1=t>1,,所以∈(0,6).4.解 (1)依题意,圆O的半径r等于原点O到直线x-y=4的距离,即r==2.所以圆O的方程为x2+y2=4.(2)由题意,可设直线MN的方程为2x-y+m=0.则圆心O到直线MN的距离d=,所以+()2=22,即m=±.所以直线MN的方程为2x-y+=0或2x-y-=0.(3)设P(x,y),由题意得A(-2,0),B(2,0).由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得=x2+y2,即x2-y2=2.因为=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=2(y2-1).由于点P在圆O内,故由此得y2<1.所以的取值范围为[-2,0).5.解 (1)由题意,|RM|=|RF|,∴|RF|+|RN|=|RM|+|RN|=|MN|=4>|NF|,∴R的轨迹是以N,F为焦点的椭圆,a=2,c=1,b=,∴曲线E的方程为=1;(2)抛物线C的顶点在坐标原点,F为其焦点,抛物线的方程为y2=4x,假设存在直线l使A,F,Q是线段PB的四等分点,则|AF|=|FB|.直线l斜率显然存在,设方程为y=k(x-1)(k≠0),设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线代入抛物线方程,整理可得ky2-4y-4k=0,∴y1+y2=, ①y1y2=-4, ②∵|AF|=|FB|,∴=-2, ③∴由①②③解得k=±2.k=2时,直线l的方程为y=2(x-1),解得A,B(2,2).直线与椭圆方程联立解得P,A.∵y B≠2y Q,∴Q不是FB的中点,即A,F,Q不是线段PB的四等分点.同理可得k=-2时,A,F,Q不是线段PB的四等分点,∴不存在直线l使A,F,Q是线段PB的四等分点.6.解 (1)设椭圆的焦距为2c,由已知有.又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由|AB|=,从而a=3,b=2.所以,椭圆的方程为=1.(2)设点P的坐标为(x1,y1),点M的坐标为(x2,y2),由题意,x2>x1>0,点Q的坐标为(-x1,-y1).由△BPM 的面积是△BPQ面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,从而x2-x1=2[x1-(-x1)],即x2=5x1.易知直线AB的方程为2x+3y=6,由方程组消去y,可得x2=.由方程组消去y,可得x1=.由x2=5x1,可得=5(3k+2),两边平方,整理得18k2+25k+8=0,解得k=-,或k=-.当k=-时,x2=-9<0,不合题意,舍去;当k=-时,x2=12,x1=,符合题意.所以,k的值为-.。
高考数学(文)二轮复习对点练：专题七解析几何专题对点练24含答案
专题对点练24圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.已知动圆M恒过点(0,1),且与直线y=-1相切.(1)求圆心M的轨迹方程;(2)动直线l过点P(0,-2),且与点M的轨迹交于A,B两点,点C与点B关于y轴对称,求证:直线AC恒过定点.2.已知椭圆Γ:+y2=1(a>1)与圆E:x2+=4相交于A,B两点,且|AB|=2,圆E交y轴负半轴于点D.(1)求椭圆Γ的离心率;(2)过点D的直线交椭圆Γ于M,N两点,点N与点N'关于y轴对称,求证:直线MN'过定点,并求该定点坐标.3.已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,圆C:x2+y2-2ax+a2-4=0,直线l与抛物线E交于A,B两点,与圆C切于点P.(1)当切点P的坐标为时,求直线l及圆C的方程;(2)当a=2时,证明:|FA|+|FB|-|AB|是定值,并求出该定值.4.设点M是x轴上的一个定点,其横坐标为a(a∈R),已知当a=1时,动圆N过点M且与直线x=-1相切,记动圆N的圆心N的轨迹为C.(1)求曲线C的方程;(2)当a>2时,若直线l与曲线C相切于点P(x0,y0)(y0>0),且l与以定点M为圆心的动圆M也相切,当动圆M的面积最小时,证明:M,P两点的横坐标之差为定值.5.已知椭圆M:=1(a>b>0)的焦距为2,离心率为.(1)求椭圆M的方程;(2)若圆N:x2+y2=r2上斜率为k的切线l与椭圆M相交于P,Q两点,OP与OQ能否垂直?若能垂直,请求出相应的r的值;若不能垂直,请说明理由.6.已知椭圆=1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,已知|AB|=|OF|,且△AOB的面积为.(1)求椭圆的方程;(2)直线y=2上是否存在点Q,使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.专题对点练24答案1.(1)解∵动点M到直线y=-1的距离等于到定点C(0,1)的距离,∴动点M的轨迹为抛物线,且=1,解得p=2,∴动点M的轨迹方程为x2=4y.(2)证明由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx-2,A(x1,y1),B(x2,y2),则C(-x2,y2).联立化为x2-4kx+8=0,Δ=16k2-32>0,解得k>或k<-.∴x1+x2=4k,x1x2=8.直线AC的方程为y-y2=-(x+x2),又y1=kx1-2,y2=kx2-2,∴4k-4k(kx2-2)=(kx1-kx2)x+kx1x2-k,化为4y=(x1-x2)x+x2(4k-x2),∵x1=4k-x2,∴4y=(x1-x2)x+8,令x=0,则y=2,∴直线AC恒过一定点(0,2).2.(1)解由题意得A,B两点关于y轴对称,设x B=,则圆心E到AB的距离为1,∴y B=,∴B,代入椭圆方程得=1,解得a2=4,∴e=.(2)证明设M(x1,y1),N(x2,y2),N'(-x2,y2).圆E交y轴负半轴于点D,当直线MN斜率存在时,设其方程为y=kx-消去y得(1+4k2)x2-4kx-3=0.∴x1+x2=,x1x2=,直线MN'的方程y-y1=(x-x1),依据椭圆的对称性,若直线MN'过定点,定点一定在y轴上,令x=0,y=y1-=-2.当直线MN斜率不存在时,直线MN'的方程为x=0,显然过点(0,-2).综上,直线MN'过定点(0,-2).3.(1)解由圆(x-a)2+y2=4,则圆心(a,0),半径为2,将P代入圆方程,解得a=2或a=-,∴圆的方程为(x-2)2+y2=4或+y2=4,当a=2,圆心C(2,0),则直线CP的斜率k==-,由直线l的斜率为-,则直线l的方程y-,整理得4y-3x-4=0;当a=-,圆心C,则直线CP的斜率k=,由直线l的斜率为-=-,则直线l的方程y-=-,整理得20y+15x-44=0,综上可知,直线l方程为4y-3x-4=0,圆C的方程为(x-2)2+y2=4,或直线l方程为20y+15x-44=0,圆C的方程为+y2=4;(2)证明当a=2时,圆C的方程(x-2)2+y2=4,当l垂直于x轴时,则x=4,A(4,4),B(4,-4),∴|FA|=|FB|=5,|AB|=8,∴|FA|+|FB|-|AB|=2;当l不垂直于x轴时,设直线l:y=kx+b(k≠0),直线l与圆C相切,则=2,则4kb+b2=4,结合图象知kb<b(图略).则整理得k2x2+(2kb-4)x+b2=0,由Δ=(2kb-4)2-4k2b2=-16kb+4(4kb+b2)=4b2>0,x1+x2=-,x1x2=,|AB|=====,由抛物线的性质可知|FA|+|FB|=x1+x2+p=x1+x2+2,∴|FA|+|FB|=-+2,∴|FA|+|FB|-|AB|=-+2-=2,∴|FA|+|FB|-|AB|是定值,定值为2.4.(1)解因为圆N与直线x=-1相切,所以点N到直线x=-1的距离等于圆N的半径, 所以点N到点M(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等.所以点N的轨迹为以点M(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线,所以圆心N的轨迹方程,即曲线C的方程为y2=4x.(2)证明由题意,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-y0=k(x-x0),由得y2-y-kx0+y0=0,又=4x0,所以y2-y-+y0=0.因为直线l与曲线C相切,所以Δ=1-k=0,解得k=.所以直线l的方程为4x-2y0y+=0.动圆M的半径即为点M(a,0)到直线l的距离d=.当动圆M的面积最小时,即d最小,而当a>2时,d=≥2.当且仅当=4a-8,即x0=a-2时取等号,所以当动圆M的面积最小时,a-x0=2,即当动圆M的面积最小时,M,P两点的横坐标之差为定值.5.解(1)依题意椭圆M:=1(a>b>0)的焦距为2,离心率为.得c=,e=,可得a=2,则b=1,故椭圆的方程为+y2=1.(2)设直线l的方程为y=kx+m,∵直线l与圆x2+y2=1相切,∴=r,即m2=r2(k2+1).①由可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-4)=64k2-16m2+16>0,∴m2<4k2+1,可得r2<4.令P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2,若OP与OQ能垂直,则=x1x2+y1y2=0,∴(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,(1+k2)+m2=0,整理得5m2-4(k2+1)=0,把①代入得(k2+1)(5r2-4)=0,∴r=,满足r2<4,∴OP与OQ能垂直.6.解(1)∵椭圆=1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,已知|AB|=|OF|,且△AOB的面积为,∴c, ab=,∴a=2,b=,∴椭圆方程为=1.(2)假设直线y=2上存在点Q满足题意,设Q(m,2),当m=±2时,从点Q所引的两条切线不垂直.当m≠±2时,设过点Q向椭圆所引的切线的斜率为k,则l的方程为y=k(x-m)+2,代入椭圆方程,消去y,整理得(1+2k2)x2-4k(mk-2)x+2(mk-2)2-4=0,∵Δ=16k2(mk-2)2-4(1+2k2)[2(mk-2)2-4]=0,∴(m2-4)k2-4mk+2=0.设两条切线的斜率分别为k1,k2,则k1,k2是方程(m2-4)k2-4mk+2=0的两个根,∴k1k2==-1,解得m=±,点Q坐标为(,2)或(-,2).∴直线y=2上两点(,2),(-,2)满足题意.。
2019届高考数学二轮复习小题对点练7解析几何(1)作业(全国通用)
小题对点练(七) 解析几何(1)(建议用时：40分钟)一、选择题1．设m ∈R ，则“m ＝0 ”是“直线l 1：(m ＋1)x ＋(1－m )y －1＝0与直线l 2：(m －1)x ＋(2m ＋1)y ＋4＝0垂直”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件A [由直线l 1与l 2垂直可得(m ＋1)(m －1)＋(1－m )(2m ＋1)＝0，解得m ＝0或m ＝1.所以“m ＝0”是“直线l 1：(m ＋1)x ＋(1－m )y －1＝0与直线l 2：(m －1)x ＋(2m ＋1)y ＋4＝0垂直”的充分不必要条件．选A.]2．若F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )A ．7 B.74 C.72 D.752 C [由题意得a ＝3，b ＝7，c ＝2， ∴|F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6.∵|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|cos 45° ＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8，∴(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8. 解得|AF 1|＝72.∴△AF 1F 2的面积S ＝12×72×22×22＝72.]3．直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( )A.π6或5π6 B ．－π3或π3 C ．－π6或π6D.π6A [圆(x －2)2＋(y －3)2＝4的圆心(2,3)，半径r ＝2，圆心(2,3)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|2k |k 2＋1，∵直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，∴由勾股定理得r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2322，即4＝4k 2k 2＋1＋3，解得k ＝±33，故直线的倾斜角为π6或5π6，故选A.]4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为y ＝2x ，则该双曲线的离心率等于( )A.62B. 2C. 3D. 6C [∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±ba x ， ∴由题意得ba ＝2，即b ＝2a ， ∵c 2＝a 2＋b 2＝3a 2， ∴c ＝3a ， ∴离心率e ＝ca ＝ 3.]5．Rt △ABC 中，|BC |＝4，以BC 边的中点O 为圆心，半径为1的圆分别交BC 于P ，Q ，则|AP |2＋|AQ |2＝( )A ．4B ．6C ．8D ．10D [法一：特殊法．当A 在BC 的中垂线上时， 由|BC |＝4，得|OA |＝2.所以|AP |2＋|AQ |2＝2OP 2＋2OA 2＝2(12＋22)＝10.选D.法二：以O 为原点，BC 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，则B (－2,0)，C (2,0)，P (－1,0)，Q (1,0)，图18设A (x 0，y 0)，由AB ⊥AC 得 y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝－1. 即x 20＋y 20＝4.所以|AP |2＋|AQ |2＝(x 0＋1)2＋y 20＋(x 0－1)2＋y 20 ＝2(x 20＋y 20)＋2＝2×4＋2＝10.即|AP |2＋|AQ |2＝10.故选D.]6．已知点M 是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点，F 为C 的焦点，MF 的中点坐标是(2,2)，则p 的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 4D [F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，又中点(2,2)，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－p 2，4，所以16＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－p 2，得p ＝4.故选D.]7．(2018·丹东市五校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为( )A ．2B. 3C.52D.62D [由题意得圆方程即为(x －3)2＋y 2＝4，故圆心为(3,0)，半径为2. 双曲线的一条渐近线为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，故圆心到渐近线的距离为d ＝|3b |a 2＋b2＝3b a 2＋b2.∵渐近线被圆截得的弦长为2， ∴⎝⎛⎭⎪⎫3ba 2＋b 22＋12＝22，整理得b 2a 2＝12.∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋12＝62.选D.]8．设斜率为22的直线l 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为( )A.33B.12C.22D.13C [由题意，b 2a c ＝22 ，得ac ＝2(a 2－c 2)， 即2e 2＋e －2＝0，所以e ＝22，故选C.]9．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，而且OA →·OB →＝6(O 为坐标原点)，若△ABO 与△AFO 的面积分别为S 1和S 2，则S 1＋4S 2最小值是( )A.732B ．6C.132D ．4 3B [设直线AB 的方程为x ＝ty ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 与x 轴交点为M (m,0)，∴联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋my 2＝x ，可得y 2＝ty ＋m ，根据根与系数的关系得y 1·y 2＝－m .∵OA →·OB →＝6，∴x 1x 2＋y 1y 2＝6，即(y 1·y 2)2＋y 1·y 2－6＝0.∵A ，B 位于x 轴的两侧， ∴y 1·y 2＝－3， ∴m ＝3，设点A 在x 轴的上方，则y 1＞0， ∵F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，∴S 1＋4S 2＝12×3×(y 1－y 2)＋4×12×14y 1 ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋3y 1＋12y 1＝2y 1＋92y 1≥6，当且仅当2y 1＝92y 1，即y 1＝32时取等号，∴S 1＋4S 2的最小值是6.]10．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，以OF 2为直径作圆C ，再以CF 1为直径作圆E ，两圆的交点恰好在已知的双曲线上，则该双曲线的离心率为( )图19A.2＋63B.42－33C.42－32D.32＋62D [由题意，F 1P ⊥CP ，CP ＝12c ，CF 1＝32c ，所以PF 1＝2c ，又cos ∠PF 1F 2＝223＝2c 2＋4c 2－PF 222×2c ×2c，得PF 2＝63c ，所以PF 1－PF 2＝2c －63c ＝2a ，所以e ＝c a ＝32＋62，故选D.]11．已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( )A.34B.32C ．1D ．2D [设AB 的中点为M ，焦点为F (0,1)，过点M 作准线l ：y ＝－1的垂线MN ，垂足为N ，过点A 作AC ⊥l 于点C ，过点B 作BD ⊥l 于点D ，则|MN |＝|AC |＋|BD |2|AF |＋|BF |2≥|AB |2＝3，当且仅当直线AB 过焦点F 时等号成立，所以AB的中点到x 轴的最短距离d min ＝3－1＝2.故选D.]12．(2018·长郡中学模拟)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，设椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1，e 2的关系为( )A ．e 1＝13e 2B ．e 21＋13e 22＝4 C.1e 21＋3e 22＝4D ．e 21＋3e 22＝4C [设椭圆与双曲线的方程分别为x 2a 21＋y 2b 21＝1，x 2a 22－y 2b 22＝1满足a 21－b 21＝a 22＋b 22＝c 2，则根据椭圆及双曲线的定义得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，所以|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2.设|F 1F 2|＝2c .又因∠F 1PF 2＝π3，则在△PF 1F 2中由余弦定理得4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos ∠F 1PF 2，化简得a 21＋3a 22＝4c 2，故1e 21＋3e22＝4.] 二、填空题13．(2018·天津模拟)圆心在直线y＝－4x上且与直线x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)的圆的标准方程为________．(x－1)2＋(y＋4)2＝8[∵圆心在直线y＝－4x上，设圆心C为(a，－4a)，圆与直线x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，则k PC＝4a－23－a＝1，∴a＝1.即圆心为(1，－4)．r＝|CP|＝(3－1)2＋(－4＋2)2＝22，∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋4)＝8.]14．若双曲线x225－y216＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于________．13[∵||PF1|－|PF2||＝2a＝10，∴|3－|PF2||＝10，∴|PF2|＝13或－7(舍)．]15．已知双曲线S与椭圆x29＋y234＝1的焦点相同，如果y＝34x是双曲线S的一条渐近线，那么双曲线S的方程为________．y2 9－x216＝1[∵椭圆方程为x29＋y234＝1，双曲线S与椭圆x29＋y234＝1的焦点相同，∴双曲线S的焦点坐标为(0，±5)，设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)，则c＝5，∵y＝34x是双曲线S的一条渐近线，∴ab＝34，∵c2＝a2－b2，∴a＝3，b＝4，∴双曲线S的方程为y29－x216＝1.]16．(2018·张掖市模拟)已知抛物线y2＝2x，A，B是抛物线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0，0)，则x0的取值范围是________．(用区间表示)(1，＋∞)[设A，B的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，∵线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0)，∴AB不平行于y轴，即x1≠x2，又|P A|＝|PB|，即(x1－x0)2＋y21＝(x2－x0)2＋y22，得(x1－x2)(x1＋x2－2x0)＝y22－y21，∵A，B是抛物线上的两点，∴y21＝2x1，y22＝2x2，代入上式，得x0＝1＋x1＋x22，∵x1≥0，x2≥0，x1≠x2，∴x1＋x2＞0，即x0＞1，故答案为(1，＋∞)．]。
2019年高考数学(文科)二轮复习对点练：七解析几何专题对点练25(含答案)
专题对点练257.1~7.3组合练(限时90分钟,满分100分)一、选择题(共9小题,满分45分)1.直线x-3y+3=0与圆(x-1)2+(y-3)2=10相交所得弦长为()A.B.C.4D.32.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A.-B.-C.D.23.圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是()A.18B.6C.5D.44.已知直线l:mx+y-1=0(m∈R)是圆C:x2+y2-4x+2y+1=0的对称轴,过点A(-2,m)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|为()A.4B.2C.4D.35.若直线2x+y-4=0,x+ky-3=0与两坐标轴围成的四边形有外接圆,则此四边形的面积为()A.B.C.D.56.已知点P(x,y)是直线kx=y+4(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B为切点,若四边形PACB面积的最小值是2,则k的值是()A.B.C.2 D.27.(2018全国Ⅲ,文10)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A.B.2C.D.28.已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O 为原点),则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.-y2=1D.x2-=19.已知离心率为的双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C的一条渐近线上的点,且OM⊥MF2,O为坐标原点,若=16,则双曲线C的实轴长是()A.32B.16C.8D.4二、填空题(共3小题,满分15分)10.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A,若∠FAC=120°,则圆的方程为.11.(2018江苏,8)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值为.12.(2018浙江,17)已知点P(0,1),椭圆+y2=m(m>1)上两点A,B满足=2,则当m=时,点B横坐标的绝对值最大.三、解答题(共3个题,满分分别为13分,13分,14分)13.已知在三角形ABC中,B(-1,0),C(1,0),且|AB|+|AC|=4.(1)求动点A的轨迹M的方程;(2)P为轨迹M上动点,△PBC的外接圆为☉O1(O1为圆心),当P在M上运动时,求点O1到x轴的距离的最小值.14.已知点A(0,-2),椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.15.已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),△EFA的面积为.(1)求椭圆的离心率;(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PM∥QN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.①求直线FP的斜率;②求椭圆的方程.专题对点练25答案1.A解析圆(x-1)2+(y-3)2=10的圆心坐标为(1,3),半径r=,圆心到直线x-3y+3=0的距离d=,故弦|AB|=2,故选A.2.A解析由x2+y2-2x-8y+13=0,得(x-1)2+(y-4)2=4,所以圆心坐标为(1,4).因为圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,所以=1,解得a=-,故选A.3.B解析由x2+y2-4x-4y-10=0,得(x-2)2+(y-2)2=18,∴圆半径r=3.圆上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离分别是d+r,d-r,其两者之差即为圆的直径,故圆的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是6,故选B.4.A解析由x2+y2-4x+2y+1=0,得(x-2)2+(y+1)2=4,∴圆心C(2,-1),r=2.由题意可得,直线l:mx+y-1=0经过圆C的圆心(2,-1),则2m-1-1=0,∴m=1,故点A(-2,1).∵|AC|=,|CB|=r=2,∴切线的长|AB|==4.5.C解析圆的内接四边形对角互补,因为x轴与y轴垂直,所以2x+y-4=0与x+ky-3=0垂直.所以2×1+1×k=0,解得k=-2,直线2x+y-4=0与坐标轴的交点为(2,0),(0,4),x+ky-3=0与坐标轴的交点为,(3,0),两直线的交点纵坐标为-,所以四边形的面积为×3××1×,故选C.6.C解析∵圆的方程为x2+(y-1)2=1,∴圆心C(0,1),半径r=1.根据题意,若四边形面积最小,当圆心与点P的距离最小时,即距离为圆心到直线l的距离最小时,切线长PA,PB最小.切线长为2,∴|PA|=|PB|=2,∴圆心到直线l的距离为d=.直线方程为y+4=kx,即kx-y-4=0,∴,解得k=±2,∵k>0,∴所求直线的斜率为2.故选C.7.D解析∵双曲线C的离心率为,∴e=,即c=a,∴a=b.∴其渐近线方程为y=±x,故(4,0)到C的渐近线的距离d==2.8.D解析∵双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),点A在双曲线的渐近线上,且△OAF是边长为2的等边三角形,不妨设点A在渐近线y=x上,∴解得∴双曲线的方程为x2-=1.故选D.9.B解析设F2(c,0),双曲线C一条渐近线方程为y=x,可得|F2M|==b.∵OM⊥MF2,∴|OM|==a,由=16,可得ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,且,解得a=8,即有双曲线的实轴长为16.故选B.10.(x+1)2+(y-)2=1解析∵抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,由题意可设圆C的方程为(x+1)2+(y-b)2=1(b>0),则C(-1,b),A(0,b).∵∠FAC=120°,∴k AF=tan 120°=-,直线AF的方程为y=-x+.∵点A在直线AF上,∴b=.则圆的方程为(x+1)2+(y-)2=1.11.2解析因为双曲线的右焦点F(c,0)到渐近线y=±x的距离为=b,所以b= c.因为a2=c2-b2=c2-c2=c2,所以a=c,e=2.12.5解析设A(x1,y1),B(x2,y2).∵P(0,1),∴=(-x1,1-y1),=(x2,y2-1).∵=2,∴即又=m,∴+(3-2y2)2=m,即+4-12y2+9=m.又=m,∴4m-12y2+9=m,即12y2=3m+9,4y2=m+3.∴=m,即=4m,即=-m-.∴当m=5时,的最大值为4,即点B横坐标的绝对值最大.13.解(1)根据题意知,动点A满足椭圆的定义,设椭圆的方程=1(a>b>0且y≠0),所以,有|F1F2|=|BC|=2c=2,|AF1|+|AF2|=|AB|+|AC|=2a=4,且a2=b2+c2,解得a=2,b=,所以,动点A的轨迹M满足的方程为=1(y≠0).(2)设P(x0,y0),不妨设0<y0≤,线段PB的垂直平分线方程为y-=-,线段BC的垂直平分线方程为x=0,两条垂线方程联立求得y=.因为=1,所以y=,所以☉O1的圆心O1到x轴的距离d=.又知y=在(0,)内是单调递减函数,所以当y0=时,y min=,所以d min=.14.解(1)设F(c,0),由条件知,得c=.又,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程为+y2=1.(2)当l⊥x轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).将y=kx-2代入+y2=1,得(1+4k2)x2-16kx+12=0.当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>时,x1,2=.从而|PQ|=|x1-x2|=.又点O到直线PQ的距离d=,所以△OPQ的面积S△OPQ=d·|PQ|=.设=t,则t>0,S△OPQ=.因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±时,等号成立,且满足Δ>0,所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-2.15.解(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得 (c+a)c=.又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.又因为0<e<1,解得e=.所以,椭圆的离心率为.(2)①依题意,设直线FP的方程为x=my-c(m>0),则直线FP的斜率为.由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=,y=,即点Q的坐标为.由已知|FQ|=c,有,整理得3m2-4m=0,所以m=,即直线FP的斜率为.②由a=2c,可得b=c,故椭圆方程可以表示为=1.由①得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0,解得x=-(舍去)或x=c.因此可得点P,进而可得|FP|=,所以|PQ|=|FP|-|FQ|==c.由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.因为QN⊥FP,所以|QN|=|FQ|·tan∠QFN=,所以△FQN的面积为|FQ||QN|=,同理△FPM的面积等于,由四边形PQNM的面积为3c,得=3c,整理得c2=2c,又由c>0,得c=2.所以,椭圆的方程为=1.。
高考数学(文)二轮复习对点练：专题七解析几何专题对点练22含答案
专题对点练22直线与圆及圆锥曲线1.设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.2.(2018全国Ⅱ,文20)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程.(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.3.在平面直角坐标系xOy中,已知圆O1:(x+1)2+y2=1和O2:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆O1外切,与圆O2内切.(1)求圆心P的轨迹E的方程;(2)过A(-2,0)作两条互相垂直的直线l1,l2分别交曲线E于M,N两点,设l1的斜率为k(k>0),△AMN的面积为S,求的取值范围.4.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为圆心的圆与直线x-y=4相切.(1)求圆O的方程;(2)若圆O上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=2,求直线MN的方程;(3)圆O与x轴相交于A,B两点,圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求的取值范围.5.已知点N(-1,0),F(1,0)为平面直角坐标系内两定点,点M是以N为圆心,4为半径的圆上任意一点,线段MF的垂直平分线交MN于点R.(1)点R的轨迹为曲线E,求曲线E的方程;(2)抛物线C的顶点在坐标原点,F为其焦点,过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,与曲线E交于P,Q两点,请问:是否存在直线l使A,F,Q是线段PB的四等分点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.6.(2018天津,文19)设椭圆=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,|AB|=.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l:y=kx(k<0)与椭圆交于P,Q两点,l与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若△BPM 的面积是△BPQ面积的2倍,求k的值.专题对点练22答案1.解(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4,于是直线AB的斜率k==1.(2)由y=,得y'=.设M(x3,y3),由题设知=1,解得x3=2,于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2.从而|AB|=|x1-x2|=4.由题设知|AB|=2|MN|,即4=2(m+1),解得m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.2.解(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).设A(x1,y1),B(x2,y2).由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=;由题设知=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.3.解(1)设动圆P的半径为r,则|PO1|=r+1,|PO2|=3-r,所以|PO1|+|PO2|=4,所以P的轨迹为椭圆,2a=4,2c=2,所以a=2,c=1,b=,所以椭圆的方程为=1(x≠-2).(2)设点M坐标为(x0,y0),直线l1的方程为y=k(x+2),代入=1,可得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.∵A(-2,0)在椭圆=1上,∴x0×(-2)=,则x0=,∴|AM|=.同理|AN|=.所以S=|AM|·|AN|=.,令k2+1=t>1,,所以∈(0,6).4.解(1)依题意,圆O的半径r等于原点O到直线x-y=4的距离,即r==2.所以圆O的方程为x2+y2=4.(2)由题意,可设直线MN的方程为2x-y+m=0.则圆心O到直线MN的距离d=,所以+()2=22,即m=±.所以直线MN的方程为2x-y+=0或2x-y-=0.(3)设P(x,y),由题意得A(-2,0),B(2,0).由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得=x2+y2,即x2-y2=2.因为=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=2(y2-1).由于点P在圆O内,故由此得y2<1.所以的取值范围为[-2,0).5.解(1)由题意,|RM|=|RF|,∴|RF|+|RN|=|RM|+|RN|=|MN|=4>|NF|,∴R的轨迹是以N,F为焦点的椭圆,a=2,c=1,b=,∴曲线E的方程为=1;(2)抛物线C的顶点在坐标原点,F为其焦点,抛物线的方程为y2=4x,假设存在直线l使A,F,Q是线段PB的四等分点,则|AF|=|FB|.直线l斜率显然存在,设方程为y=k(x-1)(k≠0),设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线代入抛物线方程,整理可得ky2-4y-4k=0,∴y1+y2=,①y1y2=-4,②∵|AF|=|FB|,∴=-2,③∴由①②③解得k=±2.k=2时,直线l的方程为y=2(x-1),解得A,B(2,2).直线与椭圆方程联立解得P,A.∵y B≠2y Q,∴Q不是FB的中点,即A,F,Q不是线段PB的四等分点.同理可得k=-2时,A,F,Q不是线段PB的四等分点,∴不存在直线l使A,F,Q是线段PB的四等分点.6.解(1)设椭圆的焦距为2c,由已知有.又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由|AB|=,从而a=3,b=2.所以,椭圆的方程为=1.(2)设点P的坐标为(x1,y1),点M的坐标为(x2,y2),由题意,x2>x1>0,点Q的坐标为(-x1,-y1).由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,从而x2-x1=2[x1-(-x1)],即x2=5x1.易知直线AB的方程为2x+3y=6,由方程组消去y,可得x2=.由方程组消去y,可得x1=.由x2=5x1,可得=5(3k+2),两边平方,整理得18k2+25k+8=0,解得k=-,或k=-.当k=-时,x2=-9<0,不合题意,舍去;当k=-时,x2=12,x1=,符合题意.所以,k的值为-.。
2019版高考数学二轮复习 专题七 解析几何 专题对点练25 7.1~7.3组合练 文
专题对点练25 7.1~7.3组合练(限时90分钟,满分100分)一、选择题(共9小题,满分45分)1.直线x-3y+3=0与圆(x-1)2+(y-3)2=10相交所得弦长为()A.B.C.4D.32.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A.-B.-C.D.23.圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是()A.18B.6C.5D.44.已知直线l:mx+y-1=0(m∈R)是圆C:x2+y2-4x+2y+1=0的对称轴,过点A(-2,m)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|为()A.4B.2C.4D.35.若直线2x+y-4=0,x+ky-3=0与两坐标轴围成的四边形有外接圆,则此四边形的面积为()A.B.C.D.56.已知点P(x,y)是直线kx=y+4(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B为切点,若四边形PACB面积的最小值是2,则k的值是()A.B.C.2 D.27.(2018全国Ⅲ,文10)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A.B.2C.D.28.已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.-y2=1D.x2-=19.已知离心率为的双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C的一条渐近线上的点,且OM⊥MF2,O为坐标原点,若=16,则双曲线C的实轴长是()A.32B.16C.8D.4二、填空题(共3小题,满分15分)10.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A,若∠FAC=120°,则圆的方程为.11.(2018江苏,8)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值为.12.(2018浙江,17)已知点P(0,1),椭圆+y2=m(m>1)上两点A,B 满足=2,则当m=时,点B横坐标的绝对值最大.三、解答题(共3个题,满分分别为13分,13分,14分)13.已知在三角形ABC中,B(-1,0),C(1,0),且|AB|+|AC|=4.(1)求动点A的轨迹M的方程;(2)P为轨迹M上动点,△PBC的外接圆为☉O1(O1为圆心),当P在M上运动时,求点O1到x轴的距离的最小值.14.已知点A(0,-2),椭圆E :=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.15.已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),△EFA的面积为.(1)求椭圆的离心率;(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PM∥QN,且直线PM 与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.①求直线FP的斜率;②求椭圆的方程.2专题对点练25答案1.A解析圆(x-1)2+(y-3)2=10的圆心坐标为(1,3),半径r=,圆心到直线x-3y+3=0的距离d=,故弦|AB|=2,故选A.2.A解析由x2+y2-2x-8y+13=0,得(x-1)2+(y-4)2=4,所以圆心坐标为(1,4).因为圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,所以=1,解得a=-,故选A.3.B解析由x2+y2-4x-4y-10=0,得(x-2)2+(y-2)2=18,∴圆半径r=3.圆上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离分别是d+r,d-r,其两者之差即为圆的直径,故圆的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是6,故选B.4.A解析由x2+y2-4x+2y+1=0,得(x-2)2+(y+1)2=4,∴圆心C(2,-1),r=2.由题意可得,直线l:mx+y-1=0经过圆C的圆心(2,-1),则2m-1-1=0,∴m=1,故点A(-2,1).∵|AC|=,|CB|=r=2,∴切线的长|AB|==4.5.C解析圆的内接四边形对角互补,因为x轴与y轴垂直,所以2x+y-4=0与x+ky-3=0垂直.所以2×1+1×k=0,解得k=-2,直线2x+y-4=0与坐标轴的交点为(2,0),(0,4),x+ky-3=0与坐标轴的交点为,(3,0),两直线的交点纵坐标为-,所以四边形的面积为×3××1×,故选C.6.C解析∵圆的方程为x2+(y-1)2=1,∴圆心C(0,1),半径r=1.根据题意,若四边形面积最小,当圆心与点P的距离最小时,即距离为圆心到直线l的距离最小时,切线长PA,PB最小.切线长为2,∴|PA|=|PB|=2,∴圆心到直线l的距离为d=.直线方程为y+4=kx,即kx-y-4=0,∴,解得k=±2,∵k>0,∴所求直线的斜率为2.故选C.7.D解析∵双曲线C 的离心率为,∴e=,即c=a,∴a=b.∴其渐近线方程为y=±x,故(4,0)到C的渐近线的距离d==2.8.D解析∵双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),点A在双曲线的渐近线上,且△OAF是边长为2的等边三角形,不妨设点A在渐近线y=x上,∴解得∴双曲线的方程为x2-=1.故选D.39.B解析设F2(c,0),双曲线C一条渐近线方程为y=x,可得|F2M|==b.∵OM⊥MF2,∴|OM|==a,由=16,可得ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,且,解得a=8,即有双曲线的实轴长为16.故选B.10.(x+1)2+(y-)2=1解析∵抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,由题意可设圆C的方程为(x+1)2+(y-b)2=1(b>0),则C(-1,b),A(0,b).∵∠FAC=120°,∴k AF=tan 120°=-,直线AF的方程为y=-x+.∵点A在直线AF上,∴b=.则圆的方程为(x+1)2+(y-)2=1.11.2解析因为双曲线的右焦点F(c,0)到渐近线y=±x 的距离为=b,所以b= c.因为a2=c2-b2=c2-c2=c2,所以a=c,e=2.12.5解析设A(x1,y1),B(x2,y2).∵P(0,1),∴=(-x1,1-y1),=(x2,y2-1).∵=2,∴即又=m,∴+(3-2y2)2=m,即+4-12y2+9=m.又=m,∴4m-12y2+9=m,即12y2=3m+9,4y2=m+3.∴=m,即=4m,即=-m-.∴当m=5时,的最大值为4,即点B横坐标的绝对值最大.13.解 (1)根据题意知,动点A满足椭圆的定义,设椭圆的方程=1(a>b>0且y≠0),所以,有|F1F2|=|BC|=2c=2,|AF1|+|AF2|=|AB|+|AC|=2a=4,且a2=b2+c2,解得a=2,b=,所以,动点A的轨迹M 满足的方程为=1(y≠0).(2)设P(x0,y0),不妨设0<y0≤,4线段PB的垂直平分线方程为y-=-,线段BC的垂直平分线方程为x=0,两条垂线方程联立求得y=.因为=1,所以y=,所以☉O1的圆心O1到x轴的距离d=.又知y=在(0,)内是单调递减函数,所以当y0=时,y min =,所以d min =.14.解 (1)设F(c,0),由条件知,得c=.又,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E 的方程为+y2=1.(2)当l⊥x轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).将y=kx-2代入+y2=1,得(1+4k2)x2-16kx+12=0.当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>时,x1,2=.从而|PQ|=|x1-x2|=.又点O到直线PQ的距离d=,所以△OPQ的面积S△OPQ =d·|PQ|=.设=t,则t>0,S△OPQ =.因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±时,等号成立,且满足Δ>0,所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-2.15.解 (1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得 (c+a)c=.又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.56 又因为0<e<1,解得e=.所以,椭圆的离心率为.(2)①依题意,设直线FP 的方程为x=my-c (m>0),则直线FP 的斜率为.由(1)知a=2c ,可得直线AE 的方程为=1,即x+2y-2c=0, 与直线FP 的方程联立,可解得x=,y=,即点Q 的坐标为. 由已知|FQ|=c ,有, 整理得3m 2-4m=0,所以m=,即直线FP 的斜率为.②由a=2c ,可得b=c ,故椭圆方程可以表示为=1.由①得直线FP 的方程为3x-4y+3c=0, 与椭圆方程联立消去y ,整理得7x 2+6cx-13c 2=0, 解得x=-(舍去)或x=c.因此可得点P ,进而可得|FP|=,所以|PQ|=|FP|-|FQ|==c.由已知,线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离,故直线PM 和QN 都垂直于直线FP. 因为QN ⊥FP ,所以|QN|=|FQ|·tan ∠QFN=, 所以△FQN 的面积为|FQ||QN|=,同理△FPM 的面积等于, 由四边形PQNM 的面积为3c ,得=3c ,整理得c 2=2c ,又由c>0,得c=2.所以,椭圆的方程为=1.。
2019年高考数学(文)二轮复习对点练：专题七 解析几何 专题对点练25
解得 a=8,即有双曲线的实轴长为 16.故选 B.
10.(x+1)2+(y- 3)2=1 解析 ∵抛物线 y2=4x 的焦点 F(1,0),准线 l 的方程为 x=-1,
由题意可设圆 C 的方程为(x+1)2+(y-b)2=1(b>0),则 C(-1,b),A(0,b).
∵∠FAC=120°,∴kAF=tan 120°=- 3,直线 AF 的方程为 y=- 3x+ 3. ∵点 A 在直线 AF 上,∴b= 3.则圆的方程为(x+1)2+(y- 3)2=1.
7.D 解析 ∵双曲线 C 的离心率为 2,∴e=������ ,即 c= 2a,∴a=b.∴其渐近线方程为 y=±x,故(4,0) |4|
到 C 的渐近线的距离 d= 2 =2 2. ������2 ������2 ‒
8.D 解析 ∵双曲线������2 ������2 =1(a>0,b>0)的右焦点为 F(c,0),点 A 在双曲线的渐近线上,且△OAF 是边
10,故弦|AB|=2
10
,故选 A.
2.A 解析 由 x2+y2-2x-8y+13=0,
得(x-1)2+(y-4)2=4,所以圆心坐标为(1,4).
因为圆 x2+y2-2x-8y+13=0 的圆心到直线 ax+y-1=0 的距离为 1,
|������ + 4 - 1|
所以 ������2 + 12 =1,解得 a=-,故选 A. 3.B 解析 由 x2+y2-4x-4y-10=0,得(x-2)2+(y-2)2=18,∴圆半径 r=3 2.
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2019年高考数学(文科)二轮复习对点练：七解析几何专题对点练25(含答案)
专题对点练257.1~7.3组合练(限时90分钟,满分100分)一、选择题(共9小题,满分45分)1.直线x-3y+3=0与圆(x-1)2+(y-3)2=10相交所得弦长为()A.B.C.4D.32.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A.-B.-C.D.23.圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是()A.18B.6C.5D.44.已知直线l:mx+y-1=0(m∈R)是圆C:x2+y2-4x+2y+1=0的对称轴,过点A(-2,m)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|为()A.4B.2C.4D.35.若直线2x+y-4=0,x+ky-3=0与两坐标轴围成的四边形有外接圆,则此四边形的面积为()A.B.C.D.56.已知点P(x,y)是直线kx=y+4(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B为切点,若四边形PACB面积的最小值是2,则k的值是()A.B.C.2 D.27.(2018全国Ⅲ,文10)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A.B.2C.D.28.已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.-y2=1D.x2-=19.已知离心率为的双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C的一条渐近线上的点,且OM⊥MF2,O为坐标原点,若=16,则双曲线C的实轴长是()A.32B.16C.8D.4二、填空题(共3小题,满分15分)10.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A,若∠FAC=120°,则圆的方程为.11.(2018江苏,8)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值为.12.(2018浙江,17)已知点P(0,1),椭圆+y2=m(m>1)上两点A,B满足=2,则当m=时,点B横坐标的绝对值最大.三、解答题(共3个题,满分分别为13分,13分,14分)13.已知在三角形ABC中,B(-1,0),C(1,0),且|AB|+|AC|=4.(1)求动点A的轨迹M的方程;(2)P为轨迹M上动点,△PBC的外接圆为☉O1(O1为圆心),当P在M上运动时,求点O1到x轴的距离的最小值.14.已知点A(0,-2),椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.15.已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),△EFA的面积为.(1)求椭圆的离心率;(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PM∥QN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.①求直线FP的斜率;②求椭圆的方程.专题对点练25答案1.A解析圆(x-1)2+(y-3)2=10的圆心坐标为(1,3),半径r=,圆心到直线x-3y+3=0的距离d=,故弦|AB|=2,故选A.2.A解析由x2+y2-2x-8y+13=0,得(x-1)2+(y-4)2=4,所以圆心坐标为(1,4).因为圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,所以=1,解得a=-,故选A.3.B解析由x2+y2-4x-4y-10=0,得(x-2)2+(y-2)2=18,∴圆半径r=3.圆上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离分别是d+r,d-r,其两者之差即为圆的直径,故圆的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是6,故选B.4.A解析由x2+y2-4x+2y+1=0,得(x-2)2+(y+1)2=4,∴圆心C(2,-1),r=2.由题意可得,直线l:mx+y-1=0经过圆C的圆心(2,-1),则2m-1-1=0,∴m=1,故点A(-2,1).∵|AC|=,|CB|=r=2,∴切线的长|AB|==4.5.C解析圆的内接四边形对角互补,因为x轴与y轴垂直,所以2x+y-4=0与x+ky-3=0垂直.所以2×1+1×k=0,解得k=-2,直线2x+y-4=0与坐标轴的交点为(2,0),(0,4),x+ky-3=0与坐标轴的交点为,(3,0),两直线的交点纵坐标为-,所以四边形的面积为×3××1×,故选C.6.C解析∵圆的方程为x2+(y-1)2=1,∴圆心C(0,1),半径r=1.根据题意,若四边形面积最小,当圆心与点P的距离最小时,即距离为圆心到直线l的距离最小时,切线长PA,PB最小.切线长为2,∴|PA|=|PB|=2,∴圆心到直线l的距离为d=.直线方程为y+4=kx,即kx-y-4=0,∴,解得k=±2,∵k>0,∴所求直线的斜率为2.故选C.7.D解析∵双曲线C的离心率为,∴e=,即c=a,∴a=b.∴其渐近线方程为y=±x,故(4,0)到C的渐近线的距离d==2.8.D解析∵双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),点A在双曲线的渐近线上,且△OAF是边长为2的等边三角形,不妨设点A在渐近线y=x上,∴解得∴双曲线的方程为x2-=1.故选D.9.B解析设F2(c,0),双曲线C一条渐近线方程为y=x,可得|F2M|==b.∵OM⊥MF2,∴|OM|==a,由=16,可得ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,且,解得a=8,即有双曲线的实轴长为16.故选B.10.(x+1)2+(y-)2=1解析∵抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,由题意可设圆C的方程为(x+1)2+(y-b)2=1(b>0),则C(-1,b),A(0,b).∵∠FAC=120°,∴k AF=tan 120°=-,直线AF的方程为y=-x+.∵点A在直线AF上,∴b=.则圆的方程为(x+1)2+(y-)2=1.11.2解析因为双曲线的右焦点F(c,0)到渐近线y=±x的距离为=b,所以b= c.因为a2=c2-b2=c2-c2=c2,所以a=c,e=2.12.5解析设A(x1,y1),B(x2,y2).∵P(0,1),∴=(-x1,1-y1),=(x2,y2-1).∵=2,∴即又=m,∴+(3-2y2)2=m,即+4-12y2+9=m.又=m,∴4m-12y2+9=m,即12y2=3m+9,4y2=m+3.∴=m,即=4m,即=-m-.∴当m=5时,的最大值为4,即点B横坐标的绝对值最大.13.解(1)根据题意知,动点A满足椭圆的定义,设椭圆的方程=1(a>b>0且y≠0),所以,有|F1F2|=|BC|=2c=2,|AF1|+|AF2|=|AB|+|AC|=2a=4,且a2=b2+c2,解得a=2,b=,所以,动点A的轨迹M满足的方程为=1(y≠0).(2)设P(x0,y0),不妨设0<y0≤,线段PB的垂直平分线方程为y-=-,线段BC的垂直平分线方程为x=0,两条垂线方程联立求得y=.因为=1,所以y=,所以☉O1的圆心O1到x轴的距离d=.又知y=在(0,)内是单调递减函数,所以当y0=时,y min=,所以d min=.14.解(1)设F(c,0),由条件知,得c=.又,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程为+y2=1.(2)当l⊥x轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).将y=kx-2代入+y2=1,得(1+4k2)x2-16kx+12=0.当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>时,x1,2=.从而|PQ|=|x1-x2|=.又点O到直线PQ的距离d=,所以△OPQ的面积S△OPQ=d·|PQ|=.设=t,则t>0,S△OPQ=.因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±时,等号成立,且满足Δ>0,所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-2.15.解(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得 (c+a)c=.又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.又因为0<e<1,解得e=.所以,椭圆的离心率为.(2)①依题意,设直线FP的方程为x=my-c(m>0),则直线FP的斜率为.由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=,y=,即点Q的坐标为.由已知|FQ|=c,有,整理得3m2-4m=0,所以m=,即直线FP的斜率为.②由a=2c,可得b=c,故椭圆方程可以表示为=1.由①得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0,解得x=-(舍去)或x=c.因此可得点P,进而可得|FP|=,所以|PQ|=|FP|-|FQ|==c.由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.因为QN⊥FP,所以|QN|=|FQ|·tan∠QFN=,所以△FQN的面积为|FQ||QN|=,同理△FPM的面积等于,由四边形PQNM的面积为3c,得=3c,整理得c2=2c,又由c>0,得c=2.所以,椭圆的方程为=1.。
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专题对点练22直线与圆及圆锥曲线
1.设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率;
(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.
2.(2018全国Ⅱ,文20)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.
(1)求l的方程.
(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.
3.在平面直角坐标系xOy中,已知圆O1:(x+1)2+y2=1和O2:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆O1外切,与圆O2内切.
(1)求圆心P的轨迹E的方程;
(2)过A(-2,0)作两条互相垂直的直线l1,l2分别交曲线E于M,N两点,设l1的斜率为k(k>0),△AMN的面积为S,求的取值范围.
4.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为圆心的圆与直线x-y=4相切.
(1)求圆O的方程;
(2)若圆O上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=2,求直线MN的方程;
(3)圆O与x轴相交于A,B两点,圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求的取值范围.
5.已知点N(-1,0),F(1,0)为平面直角坐标系内两定点,点M是以N为圆心,4为半径的圆上任意一点,线段MF的垂直平分线交MN于点R.
(1)点R的轨迹为曲线E,求曲线E的方程;
(2)抛物线C的顶点在坐标原点,F为其焦点,过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,与曲线E交于P,Q两点,请问:是否存在直线l使A,F,Q是线段PB的四等分点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
6.(2018天津,文19)设椭圆=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为
,|AB|=.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线l:y=kx(k<0)与椭圆交于P,Q两点,l与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若△BPM 的面积是△BPQ面积的2倍,求k的值.
专题对点练22答案
1.解(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4,于是直线AB的斜率k==1.
(2)由y=,得y'=.
设M(x3,y3),由题设知=1,解得x3=2,于是M(2,1).
设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.
将y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.
当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2.
从而|AB|=|x1-x2|=4.
由题设知|AB|=2|MN|,即4=2(m+1),
解得m=7.
所以直线AB的方程为y=x+7.
2.解(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).
设A(x1,y1),B(x2,y2).
由
得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.
所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=;
由题设知=8,解得k=-1(舍去),k=1.
因此l的方程为y=x-1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.
设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则
解得
因此所求圆的方程为
(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.
3.解(1)设动圆P的半径为r,则|PO1|=r+1,|PO2|=3-r,所以|PO1|+|PO2|=4,
所以P的轨迹为椭圆,2a=4,2c=2,所以a=2,c=1,b=,
所以椭圆的方程为=1(x≠-2).
(2)设点M坐标为(x0,y0),直线l1的方程为y=k(x+2),代入=1,
可得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.∵A(-2,0)在椭圆=1上,
∴x0×(-2)=,则x0=,
∴|AM|=.
同理|AN|=.
所以S=|AM|·|AN|=.
,令k2+1=t>1,
,所以∈(0,6).
4.解(1)依题意,圆O的半径r等于原点O到直线x-y=4的距离,
即r==2.
所以圆O的方程为x2+y2=4.
(2)由题意,可设直线MN的方程为2x-y+m=0.
则圆心O到直线MN的距离d=,
所以+()2=22,即m=±.
所以直线MN的方程为2x-y+=0或2x-y-=0.
(3)设P(x,y),由题意得A(-2,0),B(2,0).
由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,
得=x2+y2,即x2-y2=2.
因为=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=2(y2-1).
由于点P在圆O内,故
由此得y2<1.
所以的取值范围为[-2,0).
5.解(1)由题意,|RM|=|RF|,∴|RF|+|RN|=|RM|+|RN|=|MN|=4>|NF|,
∴R的轨迹是以N,F为焦点的椭圆,a=2,c=1,b=,
∴曲线E的方程为=1;
(2)抛物线C的顶点在坐标原点,F为其焦点,抛物线的方程为y2=4x,
假设存在直线l使A,F,Q是线段PB的四等分点,则|AF|=|FB|.
直线l斜率显然存在,设方程为y=k(x-1)(k≠0),
设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线代入抛物线方程,整理可得ky2-4y-4k=0,
∴y1+y2=,①
y1y2=-4,②
∵|AF|=|FB|,∴=-2,③
∴由①②③解得k=±2.
k=2时,直线l的方程为y=2(x-1),解得A,B(2,2).
直线与椭圆方程联立解得P,A.
∵y B≠2y Q,∴Q不是FB的中点,即A,F,Q不是线段PB的四等分点.
同理可得k=-2时,A,F,Q不是线段PB的四等分点,
∴不存在直线l使A,F,Q是线段PB的四等分点.
6.解(1)设椭圆的焦距为2c,由已知有.又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由|AB|=,从而a=3,b=2.
所以,椭圆的方程为=1.
(2)设点P的坐标为(x1,y1),点M的坐标为(x2,y2),由题意,x2>x1>0,点Q的坐标为(-x1,-y1).由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,从而x2-x1=2[x1-(-x1)],即x2=5x1.
易知直线AB的方程为2x+3y=6,由方程组消去y,可得x2=.由方程组消去y,可得x1=.由x2=5x1,可得=5(3k+2),两边平方,整理得18k2+25k+8=0,解得k=-,或k=-.当k=-时,x2=-9<0,不合题意,舍去;当k=-时,x2=12,x1=,符合题意.
所以,k的值为-.。