第三章 随机变量的数字特征

随机变量的数字特征
习题
1．设X 服从参数为1的指数分布，求(
)X
e
X E 22-+．
2．设随机变量X 的分布律为
,32}3)
1({1
j j j j X P =-=+ ,2,1=j ， 证明X 的数学期望
不存在． 3．设),(~p n B X ，已知412==DX ，EX ，求n 和p ．
4．设)(~λP X ，求)
11
(X E +．
5．甲，乙两人各自独立地向同一目标射击一次，命中率分别为1p 和2p ，以X 表示命中目标的人数，求DX EX ,．
6．设随机变量)(~λP X ，已知()1)]2(1[=--X X E ，求λ．
7．将n 只球（编号为,,,1n ）随机地放进n 只盒子（编号为,,,1n ）中去，一只盒子装一只球，若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，设X 为总的配对数，求()X E ．
8．随机变量X 的概率密度为
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=,,0,,2
cos 21
)(其余πx o x x f ， 对X 独立重复观察4次，用Y 表示察观值大于3π
的次数，求2EY ．
9．设随机变量X 服从指数分布，其概率概率密率为
⎪⎩⎪
⎨⎧>=-,,0,0,
1)(其余x e x f x
θθ，其中
0>θ，求EX 和DX ． 10．设X 为随机变量，c 为常数，证明 2
)(c X E DX -≤．
11．设随机变量X 的期望存在，概率密度函数为)(x f ，若对任意x ，有
)()(x a f x a f -=+， 证明 a EX =．
12．设随机变量X 的概率密度函数为
⎪⎩⎪
⎨⎧≤<-≤≤-+=,,0,
10,
1,01,
1)(其余x x x x x f ，求EX 和DX ．
13．设随机变量),(Y X 的联合概率密率函数为
⎪⎩⎪⎨⎧-≤<=其余,010,
4
3
),(2
x y y x f ， 求
EX 、EY 、)(XY E 和XY ρ．
14．设),(Y X 服从二维正态分布，且)4,0(~),3,
1(~22N Y N X ，
21
-
=XY ρ，设
23Y X Z +
=
， 求)(Z E 、)(Z D 和XZ ρ．
15．设),(Y X 服从圆：422≤+y x 上的均匀分布，（1） 求XY ρ；（2）X 与Y 独立吗？
16．设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障仍可获利润5万元；发生两次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元，求一周内期望利润是多少．
17．设),(Y X 的联合密度函数为
()⎩⎨
⎧≤≤≤=其它，，0,
10,
,x y cy y x f ，求c 及XY ρ．
18．X 与Y 相互独立同分布，且) ,0(~2
σN X ，令Y X U βα+=，
,Y X V βα-=βα,为常数，求
V U ρ．
19．一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，求XY ρ．
20．设Y X ,相互独立且均服从) ,0(2
σN ，证明
()[]πσ=
Y X E ,max ．
21．某人有n 把钥匙，其中只有一把能打开门，从中任取一把试开，试就下列两种情况，求试开次数X 的期望和方差．（1） 不能打开的钥匙不放回钥匙中；（2）不能打开的钥匙仍放回钥匙中．
22．设Y X ,相互独立，且均服从)1,0(N ，求)(XY D ．
23．设随机变量X 的概率密度函数为
⎪⎩⎪
⎨⎧≥=-,,0,
0,
!)(其余x e m x x f x
m 求EX 和DX ．
24．设),(Y X 的联合密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤=其它，，0,
1,1,8
3,2x x y y x f ， 试判断X 与Y 是
否独立？是否相关？。