专题12 对数与对数函数(课后层级训练)-2020年新高考数学一轮复习之考点题型深度剖析 (1)
2020年高考数学一轮复习考点09对数与对数函数必刷题理含解析
【答案】B
【解析】
由题意，令 ，则 ，
所以 时， ，∴ 在 上递减，
又由 ，∴ ，
则 ，
即 ，
故选：B．
18．已知函数 ，若函数 是 的反函数，则 （ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】
由函数 ，得 ，
把x与y互换，可得 ，即 ，
∴ ，则 ．
故选：B
19．设全集 ， ， ，则 （ ）
A．（2，4）B．（1，1）C．（﹣1，4）D．（1，4）
【答案】A
【解析】
A＝{x|x＜﹣1或x＞2}，B＝{x|1＜x＜4}；∴A∩B＝（2，4）．
故选：A．
16．若 ， ， ，则实数 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题得
，
，
所以a>b>c.
故选：A
17．以下四个数中，最大的是（ ）
2020年高考数学一轮复习考点09对数与对数函数必刷题理含解析
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考点09 对数与对数函数
1．设函数 ，若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，
因为 且 ，故
，又 在 上为增函数，
所以 即 ，故选D.
由对数函数的性质可得 ，
解得 ，
所以 ，
所以 .
故选B.
9．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 ，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
2020_2021年高考数学一轮复习考点专项练习指数函数与对数函数
【2020 年高考全国Ⅰ卷文数 8】设 a log3 4 2 ，则 4a
2020-2021 年新高三数学一轮复习考点 指数函数与对数函数
1.最新考试说明：
1.理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，会解决与指数函数性质有关的问题.
【2020
年高考全国Ⅲ卷文数
10】设
a
log3
2
,
b
log5
3
,
c
2 3
，则
A． a c b
B． a b c
C． b c a
（）
D． c a b
此时 f (a) f (b2) ，有 a b2 ，∴C、D 错误，故选 B．
【专家解读】本题的特点函数与方程的灵活运用，本题考查了函数与方程，考查函数的单调性，考查数学
运算、数学建模、逻辑推理等学科素养．解题关键是构造函数，应用函数的单调性解决问题．
【2020 年高考全国Ⅱ卷文数 12 理数 11】若 2x 2y 3x 3y ，则
b
log8
5 ，得 8b
5 ，结合 55
84 可得出 b
4 5
，由 c
log13 8 ，得13
c
8
，结合134 85 ，可得出 c 4 ， 5
综合可得出 a 、 b 、 c 的大小关系．
【解析】解法一：由题意可知 a 、 b 、 c 0,1 ，
a b
log5 log8
3 5
lg 3 lg 5
新高考数学一轮复习考点知识归类讲义 第12讲 对数与对数函数
新高考数学一轮复习考点知识归类讲义第12讲对数与对数函数1.对数的概念如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a 叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算性质如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN ＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R).(3)换底公式：log a b＝log c blog c a(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.它们的定义域和值域正好互换.➢考点1 对数的化简求值[名师点睛]1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 1．（2022·浙江绍兴·模拟预测）己知lg 2,10b a b a +==，则=a _______；b =_________． 【答案】 10 1【解析】10log 10=⇒=ba ab ，∴1lg log 102log 10a a a b +=+=，解得log 10110=⇒=a a ，∴1b =﹒故答案为：10；1﹒2．（2022·全国·高三专题练习）化简求值（1）()3lg1log 233536log log 32145+-+；（2）()2lg 2lg5lg 2lg5ln1+⨯++；.（3）23722ln 2log 7log 81ln 2log 2log 8e +⋅--．（4）2log 33718182log 7log 9log 6log 3-⋅++.【解】（1）)3lg1log 233536log log 3145+-+03log 921)2211=-+=-+=；（2）()2lg 2lg5lg 2lg5ln1+⨯++()lg2lg5lg2lg50lg2lg51=+⨯++=+=；（3）23722ln 2log 7log 81ln 2log log e +⋅--13422222ln 7ln 3ln 2ln ln 2log 2log 2ln 3ln 7e =++⋅---13ln 224ln 2422=++---=；（4）2log 33718182log 7log 9log 6log 3-⋅++()218lg 7lg 33log 633212lg 3lg 7=-⋅+⨯=-+=3．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算331log 2327lg 50lg 2+++；（2）已知()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，求实数x 的值； （3）若185a =，18log 9b =，用a ，b ，表示36log 45．【解】（1）原式=()23lg 510lg25lg51lg26lg5lg26lg107++⨯+=+++=++=+=；（2）因为()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，所以()3log lg 2x =，所以2lg 39x ==，所以x =109；（3）因为185a =，所以18log 5a =，所以()()()181818183618181818log 59log 45log 5log 9log 45log 36log 182log 18log 189⨯+====⨯+÷ 1818181818log 5log 9log 18log 18log 92a bb++=+--．[举一反三]1．（多选）（2021·全国·高三专题练习）设a ，b ，c 都是正数，且469a b c ==，那么（ ） A ．2ab bc ac +=B ．ab bc ac +=C ．221cab=+D ．121cba=-【答案】AD【解析】由于a ，b ，c 都是正数，故可设469a b c M ===，∴4log a M =，6log b M =，9log c M =，则1log 4M a =，1log 6M b=，1log 9M c =.log 4log 92log 6M M M +=，∴112a c b +=，即121c b a=-，去分母整理得，2ab bc ac +=. 故选AD.2．（2022·山东滨州·二模）212log sin15log cos345︒-︒=__________． 【答案】2-【解析】解：因为()cos345cos 36015cos15︒=︒-︒=︒， 所以()212222log sin15log cos345log sin15log cos15log sin15cos15︒-︒=︒+︒=︒︒2211log sin 30log 224⎛⎫=︒==- ⎪⎝⎭，故答案为：2-.3．（2022·全国·高三专题练习）（1）2log 32－log 3329＋log 38－5log 35； （2）(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 52＋log 254＋log 1258)． 【解】（1）原式＝2log 32－5log 32＋2＋3log 32－3＝－1.（2）原式35522252255log 4log 8log 25log 5log 5log 2log 4log 8log 25log 125⎛⎫⎛⎫=++⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()5522252522552log 23log 22log 5log 513log 5log 231log 53log 22log 23log 22log 53log 53⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅++=++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222log 213log 513log 5=⋅=. 4．（2022·全国·高三专题练习）化简求值： （1）()32log 533351log 5log 15log 53log 3⋅--+．（2）()92log 4lg 2lg 20lg53+⨯+；（3）ln 229lg 20lg 2log 3log 162sin 330e -+⋅-+.（4）22lg 25lg8lg5lg 20(lg 2).3++⋅+ （5）()()2539log 3log 3log 5log 5lg2+⋅+．【解】（1）()32log 533351log 5log 15log 53log 3⋅--+()()23333log 5log 53log 5log 55=⨯⨯--+ ()()23333log 51log 5log 5log 55=⨯+--+ ()()223333log 5log 5log 5log 555=+--+=；（2）()92log 4lg 2lg 20lg53+⨯+()()32log 2lg 2lg 21lg53=++⋅+ ()2lg 2lg 2lg5lg52=+⋅++()lg2lg2lg5lg52=+++lg 2lg523=++=；（3）ln 229lg 20lg 2log 3log 162sin 330e -+⋅-+︒()242320lglog 3log 222sin 302=+⋅-+-︒ 231lg10log 32log 222122102⎛⎫=+⋅⋅-+⋅-=+--= ⎪⎝⎭；（4）22lg25lg8lg5lg20(lg2)3++⋅+22lg52lg 2lg5lg(102)(lg 2)=++⋅⨯+()22(lg5lg2)lg51lg2(lg2)=++++2lg5lg 2(lg5lg 2)3=+++=；（5）()()2539log 3log 3log 5log 5lg2+⋅+lg3lg3lg5lg5lg 2lg 2lg5lg3lg9⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭lg3(lg 2lg5)lg5(lg3lg9)lg 2lg 2lg5lg3lg9++=⋅⋅⋅⋅lg 32lg 332lg 32+⋅==．5．（2022·全国·高三专题练习）（1）求23151log log 8log 2725⋅⋅的值. （2）已知9log 5=a ，37b =，试用a ，b 表示21log 35【解】（1）原式()()()1233232355log 5log 2log 32log 53log 23log 3--=⋅⋅=-⋅⋅-lg5lg 2lg31818lg 2lg3lg5=⋅⋅⋅= （2）由37b =得到3log 7b =，由9log 5=a ，得到31log 52=a ，即3log 52=a .33321333log 35log 5log 72log 35log 21log 7log 31a bb ++===++.➢考点2 对数函数的图象及应用1．（2022·山东潍坊·二模）已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）A ．0a b +<B ．1ab <-C ．01b a <<D ．log 0a b > 【答案】C【解析】由图象可知()f x 在定义域内单调递增，所以1a >，令()()log 0a f x x b =-=，即1x b =+，所以函数()f x 的零点为1b +，结合函数图象可知011b <+<，所以10b -<<，因此0a b +>，故A 错误；0-<<a ab ，又因为1a >，所以1a -<-，因此1ab <-不一定成立，故B 错误；因为10b a a a -<<，即11ba a <<，且101a<<，所以01b a <<，故C 正确；因为01b <<，所以log log 1a a b <，即log 0a b <，故D 错误， 故选：C.2．（2022·广东广州·二模）函数()sin ln 23f x x x π=--的所有零点之和为__________． 【答案】9【解析】由()0sin ln |23|x x f x π=⇔=-，令sin y x =π，ln 23y x =-， 显然sin y x =π与ln 23y x =-的图象都关于直线32x =对称， 在同一坐标系内作出函数sin y x =π，ln 23y x =-的图象，如图，观察图象知，函数sin y x =π，ln 23y x =-的图象有6个公共点，其横坐标依次为123456,,,,,x x x x x x ，这6个点两两关于直线32x =对称，有1625343x x x x x x +=+=+=，则1234569x x x x x x +++++=， 所以函数()sin ln 23f x x x π=--的所有零点之和为9. 故答案为：9 [举一反三]1．（2022·浙江绍兴·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数()log a y x =-，()10a y a x-=>，且1a ≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】解：因为函数()log a y x =-的图象与函数log a y x =的图象关于y 轴对称，所以函数()log a y x =-的图象恒过定点()1,0-，故选项A 、B 错误；当1a >时，函数log a y x =在()0,∞+上单调递增，所以函数()log a y x =-在(),0∞-上单调递减， 又()11a y a x-=>在(),0∞-和()0,∞+上单调递减，故选项D 错误，选项C 正确. 故选：C.2．（2022·江苏·二模）已知实数a ，b ，c 满足12ln 2b a c -==，则下列关系式中不可能成立的是（ ） A ．a b c >>B ．a c b >> C ．c a b >>D ．c b a >> 【答案】D【解析】设12ln 2b a c t -===，0t >， 则e t a =，2log b t =，21c t =，在同一坐标系中分别画出函数e x y =，2log y x =，21y x =的图象，当1t x =时，c a b >>， 当2t x =时，a c b >>， 当3t x =时，a b c >>，由此可以看出，不可能出现c b a >>这种情况，故选：D ．➢考点3 对数函数的性质及应用1．（2022·浙江金华·三模）若函数()()22x x f x x -=-，设12a =，41log 3b =，51log 4c =，则下列选项正确的是（ ）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f a f c f b <<C ．()()()f b f a f c <<D ．()()()f c f a f b << 【答案】A【解析】由题可知()()22x x f x x -=-()x R ∈，故()()22()x xf x x f x --=--=，∴函数()f x 为偶函数；易知，当0x >时，()f x 在(0,)+∞为单调递增函数； 又441log log 33b ==-，∴44()(log 3)(log 3)f b f f =-=，同理，5()(log 4)f c f =； 又441log 2log 32=<，222524lg 4log 4lg 4lg 4(lg 4)lg51lg3log 3lg5lg3lg5lg3lg 42⋅==≥=>⋅+⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故451log 3log 42<<，故()()()f a f b f c <<. 故选：A.2．（2022·福建莆田·三模）已知0.1542,log 3,log 2a b c ===，则（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．b a c >> 【答案】C【解析】0.10221a =>=124324>>=，124411log 3log 42b ∴>=>=， 1225<12551log 2log 52c ∴=<= a b c ∴>>故选：C.3．（2022·湖北·二模）已知函数()lg(||1)22x x f x x -=-++，则使不等式(1)(2)f x f x +<成立的x 的取值范围是（ ） A ．,1(),)1(-∞-⋃+∞B ．(2,1)--C ．1,(1,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭D ．(,2)(1,)-∞-+∞【答案】D【解析】由||10x ->得()f x 定义域为,1(),)1(-∞-⋃+∞，)lg(||1)22()(x x f x f x x -+=-+-=，故()f x 为偶函数，而lg(||1)y x =-，122x xy =+在(1,)+∞上单调递增， 故()f x 在(1,)+∞上单调递增，则(1)(2)f x f x +<可化为121121x xx x ⎧+<⎪+>⎨⎪>⎩，得222141111x x x x x ⎧++<⎨+>+<-⎩或 解得12x x ><-或 故选：D4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2()log 14xf x x =+-，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 在(],0-∞上为增函数B ．函数()f x 的值域为RC ．函数()f x 是奇函数D ．函数()f x 是偶函数 【答案】D【解析】根据题意，函数()()2log 14f x x x =+-，其定义域为R ， 有()()()221log 1log 144xf x x x x f x ⎛⎫-=++=+-= ⎪⎝⎭，所以函数()f x 是偶函数，则D 正确，C 错误，对于A ，()()251log 102f f -=>=，()f x 不是增函数，A 错误， 对于B ，22()log (14)log (x f x x =+-=12)2x x +，设1222x xt =+，当且仅当0x =时等号成立，则t 的最小值为2，故2()log 21f x =，即函数的值域为[1，)+∞，B 错误， 故选：D5．（2022·全国·高三专题练习）知函数()()()2log 260,1a f x kx x a a =-+>≠（1）若函数的定义域为R ，求实数k 的取值范围； （2）若函数()f x 在[1,2]上恒有意义，求k 的取值范围；（3）是否存在实数k ，使得函数()f x 在区间[2,3]上为增函数，且最大值为2？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由 【解】解：（1）因为函数的定义域为R ， 则2260kx x -+>在R 上恒成立，当0k =时，260x -+>，得3x <，不合题意舍去； 当0k ≠时，04240k k >⎧⎨∆=-<⎩，解得16k >，综合得16k >；（2）函数()f x 在[1,2]上恒有意义，即2260kx x -+>在[1,2]上恒成立226kx x ∴>-，226k x x ∴>-恒成立， 令1t x =，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则262y t t =-+，当12t =时，2max 11162222y ⎛⎫=-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭，12k ∴>-；（3）当1a >时，()012log 92362a k k k >⎧⎪⎪≤⎨⎪-⨯+=⎪⎩或()013log 92362a k k k <⎧⎪⎪≥⎨⎪-⨯+=⎪⎩，解得21,99a k k =>，当01a <<时，()013log 92362a k k k >⎧⎪⎪≥⎨⎪-⨯+=⎪⎩或()012log 92362a k k k <⎧⎪⎪≤⎨⎪-⨯+=⎪⎩，解得21,099a k k =<<．故存在实数29a k =，使得函数()f x 在区间[2,3]上为增函数，且最大值为2．[举一反三]1．（2022·湖南·岳阳一中一模）设5log 4a =，4log 3b =，0.614c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >> 【答案】A【解析】22254lg3lg5lg 4()lg 4lg3lg 4lg3lg52log 4log 3lg5lg 4lg 4lg5lg 4lg5+---=-=≥0=>, 所以54log 4log 3>，441log 3log 22>=，而0.6 1.2111()()422=<，所以a b c >>． 故选：A ．2．（2022·北京房山·二模）已知函数2()log x f x =，则不等式()2f x 的解集为( )A ．(4,0)(0,4)-⋃B ．(0,4)C ．1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】2222()log 22l 222og f x x x x x -<⇒<<⇒∈=<⇒-<1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：C ﹒3．（2022·北京昌平·二模）已知函数2()42(0)f x ax ax a =-+<，则关于x 的不等式2()log f x x >的解集是（ ）A ．(,4)-∞B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞ 【答案】C【解析】由题设，()f x 对称轴为2x =且图象开口向下，则()f x 在(0,2)上递增，(2,)+∞上递减，由2()42(4)2f x ax ax ax x =-+=-+，即()f x 恒过(4,2)且(0)2f =， 所以(0,4)上()2f x >，(4,)+∞上()2f x ，而2log y x =在(0,)+∞上递增，且(0,4)上2y <，(4,)+∞上2y >， 所以2()log f x x >的解集为(0,4). 故选：C4．（2022·北京丰台·二模）已知偶函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递减．若()()lg 1f x f >，则x 的取值范围是（ ）A ．1,110⎛⎫⎪⎝⎭B ．()10,1,10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()10,10,10∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】解：偶函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递减，所以()f x 在区间(],0-∞上单调递增； 则()()lg 1f x f >等价于lg 1x <，即1lg 1x -<<， 即1lglg lg1010x <<，解得11010x <<，即原不等式的解集为1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭； 故选：C5．（2022·河北·高三阶段练习）已知函数()41,12log 1,11xx x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+-<<⎩，则()12f x x ≤的解集为（ ）A ．(],0-∞B ．(]1,0-C ．(][1,01,)-⋃+∞D ．[)1,+∞ 【答案】C【解析】作出函数()y f x =与12y x =的图象，如图，当1≥x 时，1122xx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，作出函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12y x =的图象，由图象可知，此时解得[1,)x ∈+∞；当11x -<<时，()41log 12x x +≤，作出函数()4log 1y x =+与12y x =的图象，它们的交点坐标为()0,0、11,2⎛⎫⎪⎝⎭，结合图象知此时(]1,0x ∈-.所以不等式1()2f x x ≤的解集为(]1,0-[1,)+∞. 故选：C6．（2022·重庆·模拟预测）若函数()2()log 341a f x x ax =-+-有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3⎫⎪⎪⎝⎭B ．3)C ．3⎛ ⎝⎭D ．(3,)+∞ 【答案】A【解析】解：依题意()()0,11,a ∈+∞且23410x ax -+->，所以216120a ∆=->，解得3a >或3a <()31,a ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，令23410x ax -+-=的根为1x 、2x 且12x x <，()2341u x x ax =-+-，log a y u =， 若()1,a ∈+∞，则log a y u =在定义域上单调递增，()2341u x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 根据复合函数的单调性可知，()2()log 341a f x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；若3a ⎫∈⎪⎪⎝⎭，则log a y u =在定义域上单调递减，()2341u x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 根据复合函数的单调性可知，()2()log 341a f x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在22,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以函数在23ax =取得最小值，所以a ⎫∈⎪⎪⎝⎭； 故选：A7．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a x a t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（ ） A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2【答案】A【解析】由题意，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤ ⎥⎝⎦，可得函数y 的最大值为116， 当0a =时，函数2414x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭显然不存在最大值；当0a >时，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,x a⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，当1x a=时，函数y 有最大值，即12411416a a-+⎛⎫=⎪⎝⎭，解得12a =；当0a <时，22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,x a⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，此时函数y 无最大值，所以()()1122log 4log 2x xt t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立， 即402042x xx x t t t t ⎧⋅>⎪->⎨⎪⋅>-⎩在[]1,2x ∈上恒成立， 由40x t ⋅>在[]1,2x ∈上恒成立，可得0t >；由20x t ->在[]1,2x ∈上恒成立，即2x t <在[]1,2上恒成立，可得2t <；由42x x t t ⋅>-在[]1,2x ∈上恒成立，即2114122x x x xt >=++在[]1,2上恒成立，令()122x xf x =+，可得函数()f x 在[]1,2上单调递增，所以()()min512f x f ==，即25t >， 综上可得225t <<，即实数t 的取值范围是2,25⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A.8．（多选）（2022·江苏·高三专题练习）已知函数()2log f x x =-，下列四个命题正确的是（ ）.A ．函数()f x 为偶函数B ．若()()f a f b =，其中0a >，0b >，1a b <<，则1ab =C ．函数()22f x x -+在()1,3上为单调递增函数D ．若01a <<，则()()11f a f a +<- 【答案】ABD【解析】解：函数()2log f x x =-对于A ，()2log f x x =-，()()22log log f x x x f x -=--=-=，所以函数()f x 为偶函数，故A 正确；对于B ，若()()f a f b =，其中0a >，0b >，1a b <<，所以()()()f a f b f b ==-，22log log a b -=，即222log log log 0a b ab +==，得到1ab =，故B 正确；对于C ，函数()()2222log 2f x x x x -+=--+，由220x x -+>，解得02x <<，所以函数()22f x x -+的定义域为()0,2，因此在()1,3上不具有单调性，故C 错误；对于D ，因为01a <<，21110,011a a a ∴+>>-><-<，()()22log 10log 1a a ∴+>>-，故()()()()2211log 1log 1f a f a a a +--=-+---()()()2222log 1log 1log 10a a a =++-=-<，故D正确. 故选：ABD.9．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，有()()1f x f x +=-，且当[)0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+.给出下列命题，其中正确的命题的为（ ）A ．()()201620170f f +-=B ．函数()f x 在定义域上是周期为2的周期函数C ．直线y x =与函数()f x 的图像有1个交点D ．函数()f x 的值域为()1,1- 【答案】ACD【解析】根据题意，可在同一平面直角坐标系中画出直线y x =和函数()f x 的图象如图所示，根据图象可知选项A 中，()()()()20162017010f f f f +-=+=正确； 对于选项B ，函数()f x 在定义域上不是周期函数，所以B 不正确；对于选项C ，根据函数图象可知y x =与()f x 的图象有个交点，所以C 正确； 对于选项D ，根据图象，函数()f x 的值域是()1,1-，所以D 正确. 故选：ACD.10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()23=-+f x x x ，2()log g x x m =+，对任意的1x ，2[1x ∈，4]有12()()f x g x >恒成立，则实数m 的取值范围是___________.【答案】(,0)-∞【解析】函数22()23(1)2=-+=-+f x x x x 在[1，4]上单调递增，2()log g x x m =+在[1，4]上单调递增，∴()()min 12f x f ==，()()max 42g x g m ==+， 对任意的1x ，2[1x ∈，4]有12()()f x g x >恒成立， ∴()()min max f x g x >，即22m >+，解得0m <， ∴实数m 的取值范围是(),0-∞． 故答案为：(,0)-∞.11．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0),1)a f x x a a =>≠且，设1a >，函数log a y x =的定义域为[m ，n ] (m <n )，值域为[0，1]，定义“区间[m ，n ]的长度等于n －m ”，若区间[m ，n ]长度的最小值．．．为5,6求实数a 的值； 【解】画出函数log a y x =的图像，如图所示，结合图像可知，要使log a y x =的值域是[0，1]，其定义域可能是1,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦、[]1,a 、1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，且1111a a a a--=<-， 因此结合题意可知1516a -=，所以6a =.12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()log 3a f x ax =-(0a >，且1a ≠). （1）求()f x 的定义域.（2）是否存在实数a ，使函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，并且最大值为2？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由. 【解】（1）由题意可得30ax ->，即3ax <， 因为0a >，所以解得3x a<.故()f x 的定义域为3,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. （2）假设存在实数a ，使函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，并且最大值为2. 设函数()3g x ax =-，由0a >，得0a -<，所以()g x 在区间[]1,2上为减函数且()0g x >恒成立， 因为()f x 在区间[]1,2上单调递减， 所以1a >且320a ->，即312a <<.又因为()f x 在区间[]1,2上的最大值为2， 所以()()()max 1log 32a f x f a ==-=，整理得230a a +-=，解得)0a a =>.因为34<，所以31,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，所以存在实数a =，使函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，并且最大值为2. 13．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()log (2)log (4)a a f x x x =-++，其中1a >. （1）求函数()f x 的定义域； （2）求函数()f x 图像所经过的定点；（3）若函数()f x 的最大值为2，求a 的值.【解】解：（1）因为()log (2)log (4)a a f x x x =-++，所以2040x x ->⎧⎨+>⎩，解得42x -<<，所以函数()f x 的定义域{}42x x -<<.（2）因为()log (2)log (4)a a f x x x =-++， 所以()log (2)(4)a f x x x =-+，当()()241x x -+=时，即1x =-±时，()0f x =，函数图像所经过的定点()1-+，()1--.（3）令()(2)(4)g x x x =-+，()4,2x ∈-，则()22()2819g x x x x =--+=-++，所以(]()0,9g x ∈，若函数()log (2)(4)a f x x x =-+的最大值为2， 因为1a >，则()9g x =时最大值为2， 即max ()log 92a f x ==，则29a =，故3a =.14．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()()4412log 2log 2f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)当[]1,16x ∈时，求该函数的值域； (2)求不等式()2f x >的解集；(3)若()4log f x m x <于[]4,16x ∈恒成立，求m 的取值范围． 【解】(1)令4t log x =，[]1,16x ∈，则[]0,2t ∈， 函数()f x 转化为()1222y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[]0,2t ∈，则二次函数()1222y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，在10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在]1,24⎛ ⎝上单调递增，所以当14t =时，y 取到最小值为98-，当2t =时，y 取到最大值为5，故当[]1,16x ∈时，函数()f x 的值域为9,58⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.(2)由题得()4412220,2log x log x ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭，令4t log x =，则()122202t t ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭，即2230t t -->，解得32t >或1t <-，当32t >时，即432log x >，解得8x >；当1t <-时，即41log x <-，解得104x <<，故不等式()2f x >的解集为104x x ⎧<<⎨⎩或}8x >．(3)由于()4441222log x log x mlog x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭对于[]4,16x ∈上恒成立，令4t log x =，[]4,16x ∈，则[]1,2t ∈即()1222t t mt ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭在[]1,2t ∈上恒成立，所以121m t t>--在[]1,2t ∈上恒成立，因为函数1y t=-在[]1,2上单调递增，2y t =也在[]1,2上单调递增， 所以函数121y t t =--在[]1,2上单调递增，它的最大值为52， 故52m >时，()4f x mlog x <对于[]4,16x ∈恒成立。
2020届高三文理科数学一轮复习《对数与对数函数》专题汇编(学生版)
《对数与对数函数》专题1．对数的概念、性质及运算2．(1)换底公式：log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1，c >0，且c ≠1，b >0)；(2)log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .(3)log am b n ＝n mlog a b3．对数函数的图象（1不论是a ＞1还是0＜a ＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大， 如图，0<c <d <1<a <b .在x 轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大；在x 轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大． （2）指数函数与对数函数的关系指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．4．对数函数的性质题型一 对数的运算1．(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝________2．2log 23＋log 43＝_______3．log 23·log 38＋(3)log 34＝________.4．log 535＋2log 122－log 5150－log 514＝________.5．(lg 3)2－lg 9＋1－lg 13＋8130.5 log 5＝________.6．[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64＝________7．⎝⎛⎭⎫lg 14－lg 25÷100-12＝________.8． lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋(3lg 2)2＋lg 16＋lg 0.06＝________.9． 2312log ＋lg 8＋32lg 25＋⎝⎛⎭⎫925-12＝________.10．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x-12等于( )A ．13 B.36 C ．33 D.2411．(log 29)(log 32)＋log a 54＋log a ⎝⎛⎭⎫45a (a >0，且a ≠1)的值为________.12．已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )．若f (3)＝1，则a ＝________.13．log 225·log 34·log 59＝________.14．已知log 62＝p ，log 65＝q ，则lg 5＝________(用p ，q 表示)．15．已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________.16．已知4a ＝5b ＝10，则1a ＋2b ＝________.17．已知log 147＝a ，log 145＝b ，则用a ，b 表示log 3528＝________.18．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎫log 312＝________.19．对任意的正实数x ，y ，下列等式不成立的是( )A ．lg y －lg x ＝lg y xB ．lg(x ＋y )＝lg x ＋lg yC ．lg x 3＝3lg xD ．lg x ＝ln xln 10题型二 对数函数的图象及应用类型一 对数函数图象的辨析 1．函数y ＝x ln|x ||x |的图象可能是( )2．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)，则函数f (x )的大致图像为( )3．函数f (x )＝|log a (x ＋1)|的大致图象是( )4．函数f (x )＝log a |x |＋1(0<a <1)的图象大致为( )5．已知lg a ＋lg b ＝0(a ＞0且a ≠1，b >0且b ≠1)，则函数f (x )＝a x 与g (x )＝－log b x 的图象可能是( )6．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝lg x ，h (x )＝log 3x ，直线y ＝a (a ＜0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )A ．x 2＜x 3＜x 1B ．x 1＜x 3＜x 2C ．x 1＜x 2＜x 3D ．x 3＜x 2＜x 1类型二 对数函数图象的应用1．已知函数y ＝log a (x －3)－1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是________．2．函数y ＝log a (x －2)＋2恒过定点P ，则点P 的坐标为________．3．函数y ＝log 3|2x －m |的图象关于x ＝12对称，则m ＝________.4．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P .若点P 也在幂函数f (x )的图象上，则f (x )＝________.5．已知函数y ＝log a (x －1)(a >0，a ≠1)的图象过定点A ，若点A 也在函数f (x )＝2x ＋b 的图象上，则f (log 23)＝_______6．已知函数f (x )＝|ln x |.若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋4b 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．[4，＋∞)C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)7．已知函数f (x )＝|log 12x |的定义域为⎣⎡⎦⎤12，m ，值域为[0,1]，则m 的取值范围为________．8．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________．题型三 对数函数的性质及应用类型一 与对数有关的函数定义域问题 1．函数y ＝log 2x －1的定义域为________．2．函数f (x )＝1ln (3x ＋1)的定义域是( )A.⎝⎛⎭⎫－13，＋∞B.⎝⎛⎭⎫－13，0∪(0，＋∞)C.⎣⎡⎭⎫－13，＋∞ D ．[0，＋∞)3．函数y ＝log 23(2x －1)的定义域是( )A ．[1,2]B ．[1,2) C.⎣⎡⎦⎤12，1 D.⎝⎛⎦⎤12，14．若函数y ＝log 2(mx 2－2mx ＋3)的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．[0,3)C ．(0,3]D ．[0,3]类型二 与对数有关的最值（值域）问题1．函数f (x )＝log 12(－x 2＋4x ＋5)的递增区间为_____，值域为________．2．函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝________.3．若函数f (x )＝log a x (0<a <1)在区间[a ，2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为____________．4．函数f (x )＝log 2 x ·log 2(2x )的最小值为________．5．已知函数f (x )＝log a 1－xb ＋x(0<a <1)为奇函数，当x ∈(－1，a ]时，函数f (x )的值域是(－∞，1]，则a ＋b 的值为________． .6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋8，x ≤2，log ax ＋5，x >2(a >0，a ≠1)的值域为[6，＋∞)，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1)∪(1,2)C ．(1,2]D ．[2，＋∞)7．若函数f (x )＝log a (x 2－26x ＋a )(a >0，且a ≠1)有最小值12，则实数a 的值等于________．类型三 与对数有关的单调性问题1．函数y ＝log 12(3x －1)的单调递减区间为________．2．函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)(a >1)的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(2，＋∞)D ．(5，＋∞)3．函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为__________，单调递增区间为__________．4．已知函数f (x )＝log a (ax －3)在[1，3]上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(0，1) C.⎝⎛⎭⎫0，13 D ．(3，＋∞)5．若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为( )A ．[1,2)B ．[1,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)6．若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫0，12上恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间是____________．7．设函数f (x )＝log a |x －1|在(－∞，1)上单调递增，则f (a ＋2)与f (3)的大小关系是( )A ．f (a ＋2)＞f (3)B ．f (a ＋2)＜f (3)C ．f (a ＋2)＝ f (3)D ．不能确定类型四 与对数有关的比较大小问题1．设a ＝log 50.5，b ＝log 20.3，c ＝log 0.32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b <a <cB ．b <c <aC ．c <b <aD ．a >b >c2．设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a3．已知a ＝log 372，b ＝⎝⎛⎭⎫1413，c ＝log 1315，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b4．已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 2 15，b ＝f (log 2 4.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <b <a D ．c <a <b5．已知a ＝log 29－log 23，b ＝1＋log 27，c ＝12＋log 213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a6．设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12a ，⎝⎛⎭⎫12b ＝log 12b ，⎝⎛⎭⎫12c ＝log 2c ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜b D ．b ＜a ＜c7．设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a8．设a ＝2 01812019，b ＝log 2 018 2 019，c ＝log 2 019 2 018，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．c >b >a9．若实数a ，b 满足a ＞b ＞1，m ＝log a (log a b )，n ＝(log a b )2，l ＝log a b 2，则m ，n ，l 的大小关系为( )A ．m ＞l ＞nB ．l ＞n ＞mC ．n ＞l ＞mD ．l ＞m ＞n10．若a ＞b ＞0,0＜c ＜1，则( )A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b类型五 与对数有关的不等式问题1．已知log a 34<1，那么a 的取值范围是________．2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12(－x )，x ＜0.若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x ＞1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧41－x，x ≤1，1－log 14x ，x ＞1，则满足不等式f (x )≤2的实数x 的取值集合为________．5．已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．6．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，1B.⎣⎡⎭⎫13，1C.⎝⎛⎭⎫23，1D.⎣⎡⎭⎫23，1类型六 对数函数性质的综合问题1．已知函数f (x )＝lg(1＋4x 2＋2x )＋2，则f (ln 2)＋f ⎝⎛⎭⎫ln 12＝________．2．已知函数f (x )＝ln (1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________.3．已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 2x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14的值等于________．4．若函数f (x )＝log 12(－x 2＋4x ＋5)在区间(3m －2，m ＋2)内单调递增，则实数m 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤43，3B.⎣⎡⎦⎤43，2C.⎣⎡⎭⎫43，2D.⎣⎡⎭⎫43，＋∞5．(理科做)设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( )A ．x 1x 2<0B ．x 1x 2＝1C ．x 1x 2>1D ．0<x 1x 2<16．(理科做)设函数f (x )＝|log a x |(0＜a ＜1)的定义域为[m ，n ](m ＜n )，值域为[0,1]，若n －m 的最小值为13，则实数a的值为________.7．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式；(2)解不等式f (x 2－1)>－2.8．已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)．(1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最小值为0，求出a 的值．9．(理科做)已知函数f (x )＝lnx ＋1x －1. (1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性；(2)对于x ∈[2,6]，f (x )＝ln x ＋1x －1＞ln m(x －1)(7－x )恒成立，求实数m 的取值范围．。
2020届高考数学(理)一轮复习训练：考点13对数与对数函数
高三一轮真题汇编考点13对数与对数函数【考情分析】高考在本考点的常考题型为选择题，分值5分，中、低等难度【考纲要求】1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用2．理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点3．体会对数函数是一类重要的函数模型4．了解指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数一、选择题1.（2019•全国卷Ⅰ）已知a=log20.2，b=20.2，c=0.20.3，则（）A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a2. （2019•全国卷Ⅱ）若a>b,则（）A.ln(a-b)>0B.3a<3bC.a3-b3>0D.|a|>|b|3．(2018·天津高考)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝121log3，则a，b，c的大小关系为() A．a>b>c B．b>a>cC．c>b>a D．c>a>b4．(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是()A．y＝ln (1－x) B．y＝ln (2－x)C．y＝ln (1＋x) D．y＝ln (2＋x)5．(2017·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．则下列各数中与MN最接近的是(参考数据：lg3≈0．48)()A．1033B．1053C．1073D．1093 6．(2016·全国卷Ⅰ)若a>b>1，0<c<1，则()A．a c<b c B．ab c<ba cC．a log b c<b log a c D．log a c<log b c二、填空题7．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝log2(x2＋a)，若f(3)＝1，则a＝________．5 2，a b＝b a，则a＝________，b＝________．8．(2016·浙江高考)已知a>b>1．若log a b＋log b a＝参考答案1. 答案：B解析：因为a=log 20.2<log 21=0，所以a<0.因为b=20.2>20=1，所以b>1.因为c=0.20.3<0.20=1，所以0<c<1.所以a<c<b.故本题正确答案为B.2. 答案：C解析：A 项，因为a>b ，所以a -b>0，但不能确定是否满足a -b>1，当0<a -b<1时，ln(a -b )<0，故A 项错误；B 项，设f(x)=3x ，可知图象如图1，则3a >3b ，故B 项错误；C 项，设g(x)=x 3，可知图象如图2，则a 3>b 3，则a 3-b 3>0，故C 正确；D 项，假设a=1，b=﹣2，则|a|=1<|b|=2，故D 错误.故本题正确答案为C.3. 答案： D解析： 由已知得c ＝log 23，∵log 23>log 2e>1，b ＝ln 2<1，∴c >a >b ，故选D ．4. 答案： B解析： 函数y ＝ln x 过定点(1，0)，(1，0)关于x ＝1对称的点还是(1，0)，只有y ＝ln (2－x )过此点，故选B ．5. 答案： D解析： 由题意，lg M N ＝lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈361×0．48－80×1＝93．28．又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93，故与M N最接近的是1093．故选D ． 6. 答案： C解析： 解法一：由a >b >1，0<c <1，知a c >b c ，A 错误；∵0<c <1，∴－1<c －1<0，∴y ＝x c－1在x ∈(0，＋∞)上是减函数， ∴b c －1>a c －1，又ab >0，∴ab ·b c －1>ab ·a c －1，即ab c >ba c ，B 错误；易知y ＝log c x 是减函数，∴0>log c b >log c a ，∴log b c <log a c ，D 错误；由log b c <log a c <0，得－log b c >－log a c >0，又a >b >1>0，∴－a log b c >－b log a c >0，∴a log b c <b log a c ，故选C ．解法二：依题意，不妨取a ＝10，b ＝2，c ＝12．易验证A ，B ，D 均是错误的，只有C 正确．7. 答案： －7解析： 根据题意，有f (3)＝log 2(9＋a )＝1，可得9＋a ＝2，所以a ＝－7．8. 答案： 4 2解析： 令log a b ＝t ，∵a >b >1，∴0<t <1，由log a b ＋log b a ＝52得，t ＋1t ＝52，解得t ＝12或t ＝2(舍去)，即log a b ＝12，∴b ＝a ，又a b ＝b a ，∴a a ＝(a )a ，即a a ＝a a 2，亦即a ＝a 2，解得a ＝4，∴b ＝2．。
2020年浙江高考数学一轮复习：对数与对数函数
第七节对数与对数函数••>必过数材美概念如果a x= N(a>0,且a* 1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x= log g N, 其中a叫做对数的底数，N叫做真数，log a N叫做对数式性质对数式与指数式的互化：a x= N? x= log a N log a1= 0, log a a = 1, alog a N = N运算法则log a(M N)= log a M + log a Na > 0,且a * 1, M > 0, N > 0 log a N= lo g a M —log a Nlog a M n= nlog a M(n € R)换底公式换底公式：log a b= j°g：(a> 0，且a * 1, c> 0,且c* 1, b>0)y= log a x a > 10 v a v 1图象yA1=1円叫..v」o((1,0) 屛i I ! r=l叫性质定义域为(0,+^ )值域为R过定点110!，即x= 1时，y= 0当x> 1 时，y> 0;当0v x v 1 时，y v 0当x> 1 时，y v 0;当0v x v 1 时，y> 0在区间(0,+s )上是增函数在区间(0,+s )上是减函数3.反函数指数函数y= a x(a>0且a* 1)与对数函数y= log a x(a>0且a* 1)互为反函数，它们的图象关于直线y= x对称.［小题体验］1.函数f(x)= log a(x+ 2)—2(a> 0,且a* 1)的图象必过定点_____________答案：(一1,—2)2.函数f(x)= Iog5(2x+ 1)的单调增区间是答案：（-1 +8 ] 1 2,+丿3. （2015 浙江高考）计算：logT^ = ________ ，2log23+ Iog43 =解析：Io g^22= Io g2 2 —Iog22= 1—1=—2；2log23+ Iog43= 2Iog23 2Iog43= 3X 2Iog43= 3 x 2Iog2 3= 3 3.答案：—1 3 3••>必过易措美1. 在运算性质Iog a M a= aIog a M中，要特别注意条件，在无M > 0的条件下应为Iog a M =a og a|M|( a N*,且a为偶数).2. 解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1) 务必先研究函数的定义域；(2) 注意对数底数的取值范围.［小题纠偏］1.函数y= 7Iog o.5(4x—3 的定义域为_________.答案：3, 12.函数f(x) = Iog(x+1)(2x—1)的单调递增区间是答案：■，+m考点一对数式的化简与求值基础送分型考点一一自主练透［题组练透］1. （易错题）设a, b, c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（）A. Iog a b Iog c b= Iog c aB. Iog a b Iog c a = Iog c bC. Iog a（bc）= Iog a b Iog a cD. Iog a（b+ c）= log a b+ Iog a c解析：选B利用对数的换底公式进行验证，log a b Iog c a =善盍；Iog c a = Iog c b.25 5 322. （2018 台州模拟）lg16—2lg$ + lg81 等于（）解析：选 A Ig 16-2|g 9 + Ig 81= lg ff —lg 81+ Ig 8H lg 詩21 X 32y = Ig 2’ 故选 A.3•计算 Ig 1-Ig 25 moo — 2= __________答案：—20iog 2X , x >0,—x13 + 1, X w 0,解析：因为 f(1) = Iog 21 = 0，所以 f(f(1)) = f(0) = 2. 因为 Iog 32 v 0,所以 f Iog 3~ = 3 — Iog 31 + 1=3Iog 32 + 1= 2+ 1 = 3.答案：5［谨记通法］对数运算的一般思路(1) 将真数化为底数的指数幕的形式进行化简； (2) 将同底对数的和、差、倍合并；(3) 利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆 用及变形应用.考点二对数函数的图象及应用重点保分型考点一一师生共研［典例引领］设方程10x = |Ig( — x)|的两个根分别为X 1, X 2,则()A . X 1X 2V 0B . X 1X 2= 0D . 0 v x 1X2v 1解析：选D 作出y = 10x 与y = |Ig(— x)|的大致图象，如图. 显然 X 1< 0, X 2V 0.不妨令 X 1< X 2,贝U X 1V — 1 v X 2V 0,所以 10x 1= Ig( — X 1), 10x 2=— Ig(— X 2), 此时 10x 1v 10x 2, 即 Ig(— X1)v — Ig(— X 2),A • ig 2B . Ig 3 D . Ig 5解析:原式=(Ig 2 2 — Ig 52)X ioo2 = Ig •-—2X 10= Ig 10 X 10= — 2 X 10=— 20.4.已知函数f(x) = 则 f(f(1)) + f Iog 3 1 的值是所以 f(f(1)) + f Iog 31 =2 + 3= 5.C . X 1X 2 > 1由此得Ig(x1X2) v 0,所以0 v X1X2< 1,故选D.［由题悟法］应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间卜值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想.⑵一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.［即时应用］1.函数f(x)= ln|x—1|的图象大致是()解析：选 B 当x> 1 时，f(x)= ln(x—1),又f(x)的图象关于x= 1对称，故选 B.2. (2018温州适应性训练)若X1满足2x+ 2x= 5, X2满足2x+ 2log2(x—1) = 5,则刈+ X2=( )5A.QB. 3C.7D. 4解析：选 C 2x= 5—2x,2log2(x —1) = 5 —2x, 即2x—1= 5—x, log2(x —1) = | —x,作出y =2x—1,y炖-」/ 厂121Q' 5/ yy= 2 —x, y= log2(x—1)的图象(如图).由图知y= 2x—1与y= log2(x—1)的图象关于y= x—1对称，它们与y= ；—x的交点A, B的中点为y= 2—x与y= x—1的交点C, Xc = x1^x2= 7,二X1 + X2 = 2，故选 C.考点三对数函数的性质及应用题点多变型考点一一多角探明［锁定考向］高考对对数函数的性质及其应用的考查，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、 中、高档都有.常见的命题角度有： (1) 比较对数值的大小； (2) 简单对数不等式的解法； (3) 对数函数的综合问题.［题点全练］角度一：比较对数值的大小1.设 a = log 3n b = log2^3, c = log^2，贝U a , b , c 的大小关系是( )A . a >b >cB . a >c >bC . b >a >cD . b >c >a1b2lo g 23解析：选 A 因为 a = log 3 n> log 33 = 1, b = log^'3< log 22 = 1，所以 a > b ;又-=1 -------------c 12log 32 =(log 23)2> 1, c > 0,所以 b > c.故 a > b > c.角度二：简单对数不等式的解法log 2x , x > 0,2•设函数f(x) =1|iog?(— x ) x < 0.A . (— 1,0) U (0,1)C . (— 1,0)U (1 ,+s )a > 0,由题意得*|og 2a >— log 2ara < 0, 或・—log 2(— a > log 2( — a 》解得a > 1或—1 < a < 0.故选C. 角度三：对数函数的综合问题_x3.已知函数 f(x — 3)= log«63X(a >0, a ^ 1). (1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由； ⑵当0< a < 1时，求函数f(x)的单调区间. 解：令 x — 3 = u ,贝U x = u + 3,若f(a)>f(— a),则实数a 的取值范围是(B . ( — 3 — 1) U (1 ,+s )D . ( — 3, — 1) U (0,1)解析：选C3+ u于是f(u)= log a (a> 0, a M 1,—3< u< 3),3 —u所以f(x)= log (a> 0, —3v x v 3).3 —x 3+ x(1)因为f(—x) + f(x)= log a3—+ log a3—=log a1 = 0,3 十x 3—x所以f(—x)=—f(x),又定义域(-3,3)关于原点对称.所以f(x)是奇函数.人3+ x 6⑵令t=尸一1—x—3则t在(—3,3)上是增函数，当0 v a v 1时，函数y= log a t是减函数,所以f(x)= log a^—(0 v a v 1)在(一3,3)上是减函数,即函数f(x)的单调递减区间是(一3,3).［通法在握］1.解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤:“同增异诚”原则判斷歯数的单调性2.比较对数值大小的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母, 则需对底数进行分类讨论.(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较.⑶若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较.［演练冲关］1. (2019 杭州模拟)已知函数f(x) = log a(8 —ax)(a> 0,且a^ 1),若f(x) > 1 在区间［1,2］上恒成立，则实数a的取值范围为__________ .解析：当a> 1时，f(x)> 1等价于8—ax> a在［1,2］上恒成立,即a v x+，min=殳解得1v a v 8.当0 v a v 1时,f(x) > 1等价于0v 8 —ax v a在［1,2］上恒成立，即a> *二max且a vmin ,解得a>4且a v 4，故不存在.答案：1322.已知函数 f(x)= log 4(ax + 2x + 3). (1)若f(1) = 1，求f(x)的单调区间；⑵是否存在实数a ,使f(x)的最小值为0?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. 解：(1)因为 f(1) = 1,所以 log 4(a + 5) = 1, 因此 a + 5= 4, a = — 1, 这时 f(x)= log 4( - x 2+ 2x + 3). 由一x 2 + 2x + 3>0，得—1 v X V 3, 函数f(x)的定义域为(—1,3). 令 g(x)=— x 2+ 2x + 3,则g(x)在(— 1,1)上递增，在(1,3)上递减. 又y = iog 4x 在(0 ,+s )上递增，所以f(x)的单调递增区间是(一1,1)，递减区间是(1,3).⑵假设存在实数a ,使f(x)的最小值为0,则h(x)= ax 2 + 2x + 3应有最小值 1,<a> 0,因此应有 3a — 1a故存在实数a = 2，使f(x)的最小值为0.一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1. (2018金华温州台州高三开学联考 )若2a = 3b = 6：则(1 1 A, b =1 1 D.2a +2b =解析：选A 令2 = 3b = 6：= k ,综上可知，实数a 的取值范围为 =1, 1解得a = *B 2 + 2 = a b8.1 b 1 cig k lg 2’则1+b=去+需=说=:.2. （2019 舟山模拟）设a= log50.5, b= log20.3, c= log0.a2,则a, b, c 的大小关系是（）A . b < a v cB . b < c < aC ：—x e — e - f( — x)= — x 十 e x =— x 十 e —x =一 f(x),e 十e e 十e••• f(x)是单调递增的奇函数,1又 f(lo g4a) = f( — log 4a) = — f(log 4a),1则不等式 2f(log 4a) + f(log4a) + f(1)< 0 化为 f(log 4a) + f(1)< 0, 即即 f(log 4a)< — f(1) = f(— 1 11),则 log 4a < — 1 = log 4^，得 0<a w 45 b a I~t r4. (2016 浙江高考)已知 a > b > 1,若 log a b + log b a = ?, a = b ,贝V a =1 5 1 解析：■/ log a b + log b a = log a b + jog O b = 2，二 lo9a b = 2 或？.1 2 T a > b > 1,二 log a b v log a a = 1, • log a b =?，二 a = b .•/ a b = b a ,「. (b 2)b = bb 2,即 b 2b = bb 2,2•- 2b = b , • b = 2, a = 4. 答案：4 25. (2018杭州模拟)已知函数y = log1(x 2— ax + a)在区间(2,十^ )上是减函数，则实数 a 的取值范围是 ______________ .解析：令t = x 2— ax + a ，则函数f(x)在区间(2，十^)上是减函数，可得函数t 在区间(2,C . c < b < aD . a < b < c10解析：选 B a = log 50.5> log 50.2 =— 1, b = log 20.3 < Iog 20.5=— 1, c = log 0.32 > log o.r ^一 54^3, log 5°.5 =鬻lg 2 lg 2—g 〒聶2即c < a ，故b < c < a .故选B.3. (2018金华名校联考)已知函数 x — xf(x)=匕，若实数 a 满足 2f(log 4a)十 f(log~a)十f(1) w 0，贝U a 的取值范围是(A . (0,4]D . [1,4]解析：选B-f(x)=e x+ e2xe r — ""2x 1e + 12x —1" + 1p 厂2 = 1 —F 2 ，定义域为 R , e 十1 e 十1s x e x — e x,b =B .w 2,+ s)上是增函数，且t(2) > 0，所以2解得a w 4，所以实数a的取值范围t 2 = 4- a> 0,是(—8 , 4].答案：(一8，4]二保咼考，全练题型做到咼考达标1.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x> 0时，f(x)= 3x+ m(m为常数),则f( - log a5)的值为()A. 4B.- 4C . 6D . - 6解析：选B •••函数f(x)是定义在R上的奇函数，••• f(0) = 0, 即3°+ m= 0，解得m=—1,f(log35) = 3log35—1 = 4,•- f(—log35)=—f(log35) =—4.2. (2018丽水月考)函数f(x) = lg(4x—2x+1+ 11)的最小值是( )A. 10B. 1C . 11D . lg 11解析：选 B 令2x= t, t> 0,贝U 4x—2x+1+ 11 = t2—2t+ 11= (t—1)2+ 10 > 10,所以lg(4x —2x+1+ 11)> 1,即所求函数的最小值为 1.故选B.3. (2019丽水模拟)已知对数函数f(x)= log a x是增函数，则函数f(|x|+ 1)的图象大致是解析：选B由函数f(x)= log a x是增函数知，a> 1.f(|x|+ 1)= log a(|x|+ 1)=l0ga(X + 1 ), x> 0, log a[ —(x—1 J , X V 0.由对数函数性质知选 B.1 一x 14. (2018 金华模拟)已知函数f(x)= lg^^x，若f(a) = ?,则f( —a)=( )A. 2B.—21 一 x解析：选D T f(x)= Ig^L 的定义域为—1v x v 1,1十x4 _I *n *••• f (— x) = Ig =— Ig =— f(x),1—x 1 十x • f(x)为奇函数,1• f(— a) = — f(a) = — 2.5. (2016 浙江高考)已知 a , b >0 且 1, 1,若 log a b > 1,则( )A . (a —1)(b — 1)v0 B . (a — 1)(a — b)>0 C . (b — 1)(b — a) vD .(b — 1)(b — a)>0解析：选 D T a , b > 0 且 a z 1, b ^ 1,•••当 a > 1,即 a — 1> 0时，不等式 log a b > 1 可化为 alog a b >a 1,即卩 b >a > 1, • (a — 1)(a — b)v 0, (b — 1)(a — 1)>0, (b — 1)(b — a)>0.当 0v a v 1, 即a — 1 v 0时，不等式log a b > 1可化为alog a b v a 1, 即 0 v b v a v 1,• (a — 1)(a — b)v 0, (b — 1)(a — 1)>0, (b — 1)(b — a)>0.综上可知，选D.6. (2018杭二月考)已知2x = 72y = A ,且^十y = 2，则A 的值是 _____________ . 1 11 1 2解析：由 2x = 72y = A 得 x = lo g 2A , y = 2log 7A ，则［十 y =耐诅十^gA = lo g A 2+ 2log A 72=log A 98= 2, A = 98.又 A >0,故 A = 98= 7 2. 答案：7 27.若方程2log 2X — log 2(x — 1) = m + 1有两个不同的解，则实数m 的取值范围是 ________ 2 2即x > 1,方程化简为log 2亠 =m + 1,故亠 =2m +1,即x — 1x — 1-m2 >1,1 —2 十 2 > 0,］△= 22m + 2— 4X 2m +1> 0,解得m > 1.答案：(1，十^ )28.已知函数 f(x)= |log 3x|,实数 m , n 满足 0v m v n ，且 f(m)= f(n)，若 f(x)在［m ,n ］上的最大值为2,则m =—解析：由题意知'>0,lx —1> 0, x 2— 2m 十1x + 2m +1= 0,当x > 1时，此方程有两个不同的解,所以$［—log 3x , O v x V 1,解析：因为f(x)= |log 3x|=所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1, +|lOg 3X , x > 1,O v m v 1,O v m v 1, g )上单调递增，由 O v m v n 且f(m) = f(n)，可得n > 1,贝U n > 1,所log j n =— log ^m,mn = 1,以O v m 2v m v 1,则f(x)在［m 2,i )上单调递减，在(1 , n ］上单调递增，所以f(m 2)>f(m)= f(n), 则f(x)在［m 2, n ］上的最大值为f(m 2)=— log 3m 2= 2,解得m =1，则n = 3，所以十=9.答案：99.已知f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x > O 时，f(x) = log a (x + 1)(a >O ,且a 丰1). (1) 求函数f(x)的解析式；⑵若一1 v f(1) v 1,求实数a 的取值范围. 解：(1)当 x v O 时，一x >O , 由题意知 f(— x)= log a ( — x + 1),又f(x)是定义在 R 上的偶函数，••• f( — x) = f(x). • ••当 x v O 时，f(x) = log a (— x + 1),loga(x + 1 , x > O ,•函数f(x)的解析式为f(x)=*'‘l !oga ( — x + 1), x v O.(2) •••— 1 v f(1)v 1, •— 1v log a 2v 1, •- log a ~v log a 2v log a a.a、a > 2,a v 2, 1解得O v a v 1综上，实数a 的取值范围为O , 1 U (2, + g ).1O .设 f(x)= log a (1 + x) + log a (3 — x)(a > O , a 丰 1)，且 f(1)= 2. (1)求a 的值及f(x)的定义域； ⑵求f(x)在区间O , ； 上的最大值.①当a >1时，原不等式等价于la v 2,解得a > 2;②当O v a v 1时，原不等式等价于1> 2 <a解：(1) •/ f(1) = 2,•- log a4= 2(a>O, a M 1),a = 2.•••函数f(x)的定义域为(一1,3). (2)f(x) = log 2(1 + x) + log 2(3 — x) =log 2(1 + x)(3 — x) =log 2[ — (x — 1) + 4],•••当x € (— 1,1]时，f(x)是增函数； 当x € (1,3)时，f(x)是减函数，故函数f(x)在 0, 3上的最大值是f(1) = log 24 = 2. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1. (2018杭州五校联考)定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x + 1) = f( — x),当x € (0,1)时, ,log 2 1 1-x 1,X M ,f(x)= i d则f(x)在区间(1, 2 /内是()[0 , x 1=2 ,A .增函数且 f(x)> 0B .增函数且 f(x) VC •减函数且 f(x)> 0D •减函数且f(x) V0 解析：选D 由f(x)为奇■函数，f(x +1) = f( — X)得，f(x)=— f(x + 1) = f(x + 2); • f(x)= f(x + 2),• f(x)是周期为2的周期函数.根据条件，x € 2，1 时，f(x)= log x —1 ,• x — 2 € — 3，— 1 , — (x — 2) € 1, 2 ,设 2 — x = t , t € 1, , x = 2— t , • - f (t )=碣 2- t , • f(t)=— log^3—t , • f (x )=- |o g^ 2—x ,x €1, 3,,1 + x > 0, 由3 — x > 0, 得 x € (— 1,3),• f(x)= f(x — 2) =— f(2 — x) = l 1.可以看出x 增大时，3 — x 减小，logl x 增大，f(x)减小，•••在区间1, 3内，f(x)是减函数， 而由 1 V X V 3得 0< 3— X V 1, •嗨 2 - x >1, • f(x)< 0.2.已知函数 f(x)= log a (3 — ax)(a >0,且 a * 1).(1) 当x € ［0,2］时，函数f(x)恒有意义，求实数 a 的取值范围；(2) 是否存在这样的实数 a ,使得函数f(x)在区间［1,2］上为减函数，并且最大值为 1?如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由.解：(1) ■/ a >0 且 a 丰 1，设 t(x)= 3 — ax ,则 t(x)= 3 — ax 为减函数，当 x € ［0,2］时，t(x) 的最小值为3— 2a ,•••当x € ［0,2］时,f(x)恒有意义，即 x € ［0,2］时，3— ax > 0恒成立.3--3— 2a > 0,.. a < 3.3又 a > 0 且 a * 1 ,• 0< a < 1 或 1 < a <_, 2•实数a 的取值范围为(0,1) U 1, 3 . (2)由(1)知函数t(x) = 3 — ax 为减函数. ••• f(x)在区间［1,2］上为减函数，• y = log a t 在［1,2］上为增函数，• a > 1,当x € ［1,2］时，t(x)的最小值为3 — 2a , f(x)的最大值为f(1) = log a (3 — a),「 3 a< 2,即3.a=2a ,使得函数f(x)在区间［1,2］上为减函数，并且最大值为 1.3 — 2a > 0, log a 3 — a = 1,故不存在这样的实数。
新高考2024版高考数学一轮复习：对数与对数函数
专练11对数与对数函数[基础强化]一、选择题1．lg 52＋2lg ＝()A．1B．－1C．3D．－32．函数y )C．23，1，13．函数f (x )＝log 12(x 2－2x )的单调递增区间是()A．(－∞，0)B．(1，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－∞，1)4．若函数f (x )＝(m －2)x a 是幂函数，则函数g (x )＝log a (x ＋m )(a >0且a ≠1)的图象过点()A．(－2，0)B．(2，0)C．(－3，0)D．(3，0)5．已知55<84，134<85，设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则()A．a <b <c B．b <a <cC．b <c <a D．c <a <b6．若a >b ，则()A．ln (a －b )>0B．3a <3bC．a 3－b 3>0D．|a |>|b |7．已知函数f (x )＝ln x ＋ln (2－x )，则()A．f (x )在(0，2)单调递增B．f (x )在(0，2)单调递减C．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D．y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称8．若函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()9．若函数f(x log a x，x>3，－2x＋8，x≤3存在最小值，则实数a的取值范围为()A．(1，＋∞)B．[3，＋∞)C．(1，3]D．(0，3 3 ]二、填空题10．已知函数f(x)＝log2(x2＋a).若f(3)＝1，则a＝________.11．函数f(x)＝13x－log2(x＋4)在区间[－2，2]上的最大值为________．12．函数f(x)＝log2(－x2＋22)的值域为________．[能力提升] 13．若2a＋log2a＝4b＋2log4b则()A．a>2b B．a<2bC．a>b2D．a<b214．(多选)对于函数f(x)＝lg1|x－2|＋1，下列说法正确的有()A．f(x＋2)是偶函数B．f(x＋2)是奇函数C．f(x)在区间(－∞，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增D．f(x)没有最小值15．(多选)[2023·新课标Ⅰ卷]噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级L p ＝20×lg p p 0，其中常数p 0(p 0>0)是听觉下限阈值，p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m 声压级/dB燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为p 1，p 2，p 3，则()A．p 1≥p 2B．p 2>10p 3C．p 3＝100p 0D．p 1≤100p 216．已知函数f (x )＝log a (－x ＋1)(a >0且a ≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]，若函数g (x )＝a x ＋m －3的图象不经过第一象限，则m 的取值范围为________．专练11对数与对数函数1．B 原式＝lg 52＋lg 4－2＝lg (52×4)－2＝1－2＝－1．2．D 由题意得log 12(3x －2)≥0，即0<3x －2≤1.∴23<x ≤1.3．A 函数f (x )＝log 12(x 2－2x )的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)，由复合函数的单调性可知，函数f (x )＝log 12(x 2－2x )的单调增区间为(－∞，0).4．A ∵f (x )＝(m －2)x a 为幂函数，∴m －2＝1，m ＝3，∴g (x )＝log a (x ＋3)，又g (－2)＝0，∴g (x )的图象过(－2，0).5．A a ＝log 53∈(0，1)，b ＝log 85∈(0，1)，则a b ＝log 53log 85＝log 53·log 5＝<1，∴a <b .又∵134<85，∴135<13×85，两边同取以13为底的对数得log 13135<log 13(13×85)，即log 138>45，∴c >45.又∵55<84，∴8×55<85，两边同取以8为底的对数得log 8(8×55)<log 885，即log 85<45，∴b <45.综上所述，c >b >a ，故选A.6．C 通解：由函数y ＝ln x 的图象(图略)知，当0<a －b <1时，ln (a －b )<0，故A 不正确；因为函数y ＝3x 在R 上单调递增，所以当a >b 时，3a >3b ，故B 不正确；因为函数y ＝x 3在R 上单调递增，所以当a >b 时，a 3>b 3，即a 3－b 3>0，故C 正确；当b <a <0时，|a |<|b |，故D 不正确．故选C.优解：当a ＝0.3，b ＝－0.4时，ln (a －b )<0，3a ＞3b ，|a |<|b |，故排除A，B，D.故选C.7．C f (x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln x ＋ln (2－x )＝ln [x (2－x )]＝ln (－x 2＋2x ).设u ＝－x 2＋2x ，x ∈(0，2)，则u ＝－x 2＋2x 在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减．又y ＝ln u 在其定义域上单调递增，∴f (x )＝ln (－x 2＋2x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减．∴选项A、B 错误；∵f (x )＝ln x ＋ln (2－x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴选项C 正确；∵f (2－x )＋f (x )＝[ln (2－x )＋ln x ]＋[ln x ＋ln (2－x )]＝2[ln x ＋ln (2－x )]，不恒为0，∴f (x )的图象不关于点(1，0)对称，∴选项D 错误．8．B 由y ＝log a x 的图象可知所以a ＝3.对于选项A：y ＝3－x 为减函数，A 错误；对于选项B：y ＝x 3，显然满足条件；对于选项C：y ＝(－x )3＝－x 3在R 上为减函数，C 错误；对于选项D：y ＝log 3(－x )，当x ＝－3时，y ＝1，D 错误．故选B.9．C 当x ≤3时，f (x )＝－2x ＋8单调递减，则f (x )≥f (3)＝2；当x >3时，f (x )＝log a x ，必须满足a >1，且log a 3≥2，得1<a ≤ 3.故选C.10．－7解析：∵f (3)＝log 2(9＋a )＝1，∴9＋a ＝2，a ＝－7.11．8y ，y ＝－log 2(x f (x )－log 2(x ＋4)在区间[－2，2]上单调递减，所以函数f (x )的最大值为f －log 2－∞，32解析：∵0<－x 2＋22≤22，∴log 2(－x 2＋22)≤log 222＝32.13．B 2a ＋log 2a ＝22b ＋log 2b <22b ＋log 2(2b )，令f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (a )<f (2b )，又易知f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以a <2b ，故选B.14．AD 对于f (x f (x ＋2)＝lg又f (－x ＋2)＝lg f (x ＋2)为偶函数，故A 正确，B 错误．对于C，因为f (x )＝lg x ＞2，x ＜2，当x ∈(2，＋∞)时，因为y ＝1x －2在x ∈(2，＋∞)时单调递减，故y ＝1x －2＋1单调递减，所以y ＝lg 错误．x ∈(2，＋∞)时，y ＝lg x ∈(－∞，2)时，y＝lg x →＋∞时，y →0，当x →－∞时，y →0，故f (x )没有最小值．故D 正确．15．ACD 因为L p ＝20×lg p p 0随着p 的增大而增大，且L p 1∈[60，90]，L p 2∈[50，60]，所以L p 1≥L p 2，所以p 1≥p 2，故A 正确；由L p ＝20×lg p p 0，得，因为L p 3＝40，所以＝100p 0，故C 正确；假设p 2>10p 3，则，所以，所以L p 2－L p 3>20，不可能成立，故B 不正确；因为≥1，所以p 1≤100p 2，故D 正确．综上，选ACD.16．[－1，＋∞)解析：∵函数f (x )＝log a (－x ＋1)(a a ≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]，而f (0)＝0，∴f (－2)＝log a 3＝－1，∴a ＝13，∴g (x ＋m －3，令g (x )＝0，得x ＝－m －1，则－m －1≤0，求得m ≥－1，故m 的取值范围为[－1，＋∞).。
2020年高考数学一轮复习重点突破必刷题——对数函数【解析版】
直于 x 轴的直线交 y
k （k
0 ）的图象于 C ， D 两点，则直线 CD 的斜率（
）
x
A ．与 m 有关 B．与 a 有关 C．与 k 有关 D．等于 1
【答案】 C
【解析】由题意， log a x
m ，所以 xA
a m ，x B
a
m
，又过点
A ，B 作垂直于
x 轴的直线交
y
k
（
k
0）
x
的图象于 C ，D 两点，所以 yC
log a π
9
2
B． log a π
log a 9
a 2a
D． a2a
2 log a
log a π
9
【答案】 A
【解析】由 a 0 且 a 1可得 a 1 2 a 0 ，∵ log a (a 1) log a (2 a ) ，
∴0
a
1．又由 log a (2 a)
0 ，得 2 a
1
1 ，∴
a 1．
一、选择题
2020 年高考数学一轮复习 重点突破必刷题——对数函数
1.已知函数 f (x) ln x ln( a x) 的图象关于直线 x 1 对称，则函数 f ( x) 的值域为 ( )
A ． (0, 2)
B． [0, )
C． ( 2]
D． ( ,0]
【答案】 D
【解析】∵函数 f ( x) ln x ln( a x) 的图象关于直线 x 1 对称，∴ f (1 x) f (1 x) ，
即 a 3 ,所以 1 a 3．
5.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述
.两颗星的星等与亮度满足
m2 –m1
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课下层级训练(十二) 对数与对数函数
[A 级 基础强化训练]
1．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( )
A ．log 2x
B ．12x
C ．log 12x
D ．2x －
2 【★答案★】A [由题意知f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，∵f (2)＝1，∴log a 2＝1，∴a ＝2.∴f (x )＝log 2x .]
2．(2019·山东烟台月考)函数f (x )＝x a 满足f (2)＝4，那么函数g (x )＝|log a (x ＋1)|的图象大致为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【★答案★】C [方法一 函数g (x )＝|log a (x ＋1)|的定义域为：{x |x ＞－1}，从而排除D ；由g (x )＝|log a (x ＋
1)| ≥0，排除B ；x ＝0时，g (x )＝0，排除A ．
方法二 由f (2)＝4，即2a ＝4，得a ＝2.先作出y ＝log 2x 的图象，再将此函数图象向左平移1个单位，得函数y ＝log 2(x ＋1)的图象，最后将此函数图象x 轴上方部分不变，下方部分关于x 轴对称进行翻折，即得g (x )＝|log a (x ＋1)|的图象．]
3．(2019·山西晋中月考)已知a ＝2-13 ，b ＝log 213，c ＝log 13
，则( ) A ．a ＞b ＞c
B ．a ＞c ＞b
C ．c ＞b ＞a
D ．c ＞a ＞b
【★答案★】D [∵0＜2－13＜20＝1，b ＝log 213＜log 21＝0，c ＝log 1213
＝log 23＞log 22＝1，∴c ＞a ＞B ．] 4．(2019·福建龙岩月考)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝lg x ，h (x )＝log 3x ，直线y ＝a (a ＜0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )
A ．x 2＜x 3＜x 1
B ．x 1＜x 3＜x 2
C ．x 1＜x 2＜x 3
D ．x 3＜x 2＜x 1
【★答案★】A [分别作出三个函数的大致图象，如图所示，
由图可知，x 2＜x 3＜x 1.]
5．(2019·山东济南月考)已知log 23＝a ，log 35＝b ，则lg 6＝( )
A ．11＋ab
B ．a 1＋ab
C ．b 1＋ab
D ．a ＋11＋ab 【★答案★】D [∵log 23＝a ，log 35＝b ，∴lg 3lg 2＝a ，lg 5lg 3＝1－lg 2lg 3＝b ，解得lg 2＝11＋ab ，lg 3＝a 1＋ab
.∴lg 6＝lg 2＋lg 3＝11＋ab ＋a 1＋ab ＝1＋a 1＋ab
.] 6．若函数f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为( )
A ．[1，2)
B ．[1，2]
C ．[1，＋∞)
D ．[2，＋∞)
【★答案★】A [令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]
上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧ g 1>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧
2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1，2)．] 7．(2019·山东青岛月考)已知函数y ＝log a (x －1)(a >0，a ≠1)的图象过定点A ，若点A 也在函数f (x )＝2x ＋b 的图象上，则f (log 23)＝________.
【★答案★】－1 [由题意得A (2，0)，因此f (2)＝4＋b ＝0，b ＝－4，从而f (log 23)＝3－4＝－1.]
8．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.
(1)求a 的值及f (x )的定义域；
(2)求f (x )在区间⎣
⎡⎦⎤0， 32上的最大值． 【★答案★】解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，
∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧
1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1，3)， ∴函数f (x )的定义域为(－1，3)．
(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]，
∴当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数；
当x ∈(1，3)时，f (x )是减函数，
故函数f (x )在⎣
⎡⎦⎤0， 32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 9．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12
x . (1)求函数f (x )的解析式；
(2)解不等式f (x 2－1)>－2.
【★答案★】解 (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12
(－x )． 因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )．
所以函数f (x )的解析式为
(2)因为f (4)＝log 12 4＝－2，f (x )是偶函数，
所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)．
又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5，即不等式的解集为{x |－5<x <5}．
[B 级 能力提升训练]
10．(2019·山东青岛二中月考)设函数f (x )＝log a |x －1|在(－∞，1)上单调递增，则f (a ＋2)与f (3)的大小关系是
( )
A ．f (a ＋2)＞f (3)
B ．f (a ＋2)＜f (3)
C ．f (a ＋2)＝ f (3)
D ．不能确定
【★答案★】A [由函数f (x )＝log a |x －1|，可知函数关于x ＝1对称，且f (x )在(－∞，1)上单调递增，易得0＜a ＜1.∴2＜a ＋2＜3.又∵函数在(1，＋∞)上单调减函数，∴f (a ＋2)＞f (3)．]
11．已知函数f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －m ，若对∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f (x 1) ≥g (x 2)，则实数m
的取值范围是( )
A ．⎣⎡⎭
⎫14，＋∞ B ．⎝⎛⎦⎤－∞，14 C ．⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D ．⎝
⎛⎦⎤－∞，－12 【★答案★】A [当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1，2]时，g (x )min ＝g (2)＝14
－m ，由题意可知原条件等价于f (x )min ≥g (x )min ，即0≥14－m ，所以m ≥14
.] 12．(2019·山东临沂月考)已知2x ＝72y ＝A ，且1x ＋1y
＝2，则A 的值是________. 【★答案★】72 [由2x ＝72y ＝A 得x ＝log 2A ，y ＝12log 7A ，则1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A
＝log A 2＋2log A 7＝log A 98
＝2，A 2＝98.又A ＞0，故A ＝98＝7 2.] 13．(2019·福建三明月考)设函数f (x )＝|log a x |(0＜a ＜1)的定义域为[m ，n ](m ＜n )，值域为[0，1]，若n －m 的
最小值为13
，则实数a 的值为________. 【★答案★】23
[作出y ＝|log a x |(0＜a ＜1)的大致图象如图．
令|log a x |＝1，得x ＝a 或x ＝1a
. 又1－a －⎝⎛⎭⎫1a －1＝1－a －1－a a ＝1－a a －1a ＜0，故1－a ＜1a
－1， 所以n －m 的最小值为1－a ＝13，解得a ＝23
.] 14．(2019·山东东营月考)已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x .
(1)当x ∈[1，4]时，求函数h (x )＝[f (x )＋1]·g (x )的值域；
(2)如果对任意的x ∈[1，4]，不等式f (x 2)·f (x )>k ·g (x )恒成立，求实数k 的取值范围．
【★答案★】解 (1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2，因为x ∈[1，4]，所以log 2x ∈[0，2]， 故函数h (x )的值域为[0，2]．
(2)由f (x 2)·f (x )>k ·g (x )，
得(3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ，
令t ＝log 2x ，因为x ∈[1，4]，所以t ＝log 2x ∈[0，2]，
所以(3－4t )(3－t )>k ·t 对一切t ∈[0，2]恒成立，
①当t ＝0时，k ∈R ；
②当t ∈(0，2]时，k <3－4t
3－t t 恒成立，即k <4t ＋9t －15，因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号，所以4t ＋9t
－15的最小值为－3， 综上，k ∈(－∞，－3)．
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