八年级数学上册第15章习题课件：第十五章小结与复习(人教版)
八年级数学上册 第十五章分式小结与复习课件1-5
第十五章分式小结与复习
要点梳理一、分式
1.分式的概念：
一般地，如果A 、B 都表示整式，且B 中含有字母，那么称
为分式.其中A 叫做分式的分子，B 为分式的分母.
2.分式有意义的条件：
对于分式：当_______
时分式有意义；当_______
时无意义.B≠0B=0
3.分式值为零的条件：
当___________
时，分式的值为零.
A =0且
B ≠04.分式的基本性质：0A A
C A A C C B B C B B C
（）,.⋅÷==≠⋅÷
约分的基本步骤
(1)若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂；
(2)若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式．。
2023年人教版数学八年级上册第十五章 小结与复习课件优选课件
字母，那么称 为分式.其中A叫做分式的分子， B叫做分式的分母.
当_______时分式有意义； 当_______时分式无意义.
当___________时，分式 的值为零. A A C , A A C（C 0）. B BC B BC
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母 的公因式约去，叫做分式的约分．
解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分 式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定 注意要验根．
针对训练
6.解方程：x x
2 2
1
16 x2 4 .
解：最简公分母为(x+2)(x﹣2)， 去分母，得(x﹣2)2﹣(x+2)(x﹣2)=16， 整理得﹣4x+8=16，解得x=﹣2， 经检验，x=﹣2是增根，故原分式方程无解．
针对训练
5.已知x2-5x+1=0,求x4 1 的值.
x4
解：∵x2-5x+1=0,
∴ x5
1 x
0,
即
x
1 x
5.
∴
x4
1 x4
(x2
1 x2
)2
2
[(x 1 )2 2]2 2 x
(25 2)2 2
527.
考点三 分式方程的解法
例5 解下列分式方程：
(1) 1 1 0;(2) x 4 2 3 .
针对训练
4.有一道题：“先化简，再求值：(
x x
2 2
4x x2
) 4
1 x2
4
,
其中
”.小玲做题时把
错抄成
,但
她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事?
八年级数学上册 第15章 数据的收集与表示小结与复习课件
针对训练 u数形结合(jiéhé)思想
例5 某课题小组为了解某品牌电动自行车的销售情况，对某专
卖店第一季度该品牌A 、B、C、D四种(sì zhǒnɡ)型号电动自行车的销量
做了统计，绘制成如下两幅统计图（均不完整）．
（1）该店第一季度售出这种品牌的电动自行车共多少辆？
（2）把两幅统计图补充完整；
（3）若该专卖店计划订购(dìnggòu)这四款型号的电动自行车2400辆， 求
第十六页，共二十九页。
考点四 本章数学思想和解题方法
u转化(zhuǎnhuà)思想
例4 某校对某班45名学生初中三年中戴近视眼镜人数进行了跟踪 调查，统计数据如图①所示．
（1）如果(rúguǒ)用整个圆代表该班人数，请在图②圆中画出该班七年级初 戴近视眼镜人数和未戴近视眼镜人数的扇形统计图，并标出百分比；
并绘制成不完整的条形图．已知最喜欢篮球的人数占调查人
数的32%，最喜欢排球的人数是最喜欢足球人数的1.5倍．
（1）最喜欢排球的人数是
，12
被调查的学生数是 50 ；
（2）将条形图补充完整；
（3）若用扇形图表示(biǎoshì)统计结果，
则最喜欢羽毛球的人数所对应扇 形的圆心角为 100.8 度．
第二十页，共二十九页。
第二十二页，共二十九页。
解： （1）210÷35%=600（辆）． 答：该店第一季度售出这种品牌(pǐn pái)的电动自行车共600辆．
（2）补全条形(tiáo xínɡ)统计图．
（3）2400×30%=720（辆）．
答：C型电动(diàn dònɡ)自行车应订购720辆．
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5．扇形统计图的特点
人教版八年级上册数学第15章《分式》小结与复习
分式小结与复习4知识梳理1 •形如JA(A、B是，且B中含有，B M 0)的式子，叫做分式.B ---- ----------------------------2.分式有、无意义的条件：当分母__________ 时，分式有意义；当分母_________ 时，分式无意义.3•分式值为零的条件：当分式的分子________ ，分母__________ 时，分式的值为零.4•分式的基本性质是：分式的分子与分母都 __________ (或______ )同一个__________ 的整式，分式的值_______ .5 •分式的乘除法：分式乘分式，用分子的积作为积的_________ ，分母的积作为积的________ ;分式除以分式，把除式的分子、分母______________ 后，与被除式 ______ .6. _____________________________________________ 分式的乘方：分式乘方，把分子、分母________________________________________________ .7. _______________________________________________________ 同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母____________________________________ ，把分子_________ ; 异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先____ ，变为同分母的分式，然后再______ .&分母中含有_________ 的方程叫做分式方程.9 •解分式方程的步骤：(1)分式方程两边都乘以各分式的最简公分母，约去分母，转化为_方程；(2)解这个____ 方程；(3)______________________________________________________________检验，把 _方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值_________________________________ ，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，它是原方程的增根，应当舍去.10・我们规定：任何不等于零的数的零次幕都等于_______ ，即a0= ___ (a z 0)•11.一般地，当n是正整数时，a n= _________ (a z 0).即任何不等于零的数的n ( n 是正整数)次幕，等于这个数的n次幕的_______ .12 •一般地，绝对值小于1的数可以表示成a 10n的形式，其中1 a 10，即a是整数位数只有________________ 位的数；n是一个_______ 整数.考点1分式值为0的条件例1 （2013年温州）若分式 x^的值为0,则x 的值是（）x 4A . x =3B . x =0C . x =— 3D . x =— 4解析：因为分式—一3的值为0,所以x — 3=0, x +4M 0,所以x =3.故选A .x 4点评：分式的值为0的条件是分子为0，分母不为0,这两个条件缺一不可. 考点2分式的基本性质 例2 （2013年淄博）下列运算中错误的是（ ）A(a b)2 -=1 Ba b=-1 C0.5a b5a 10b D abba(ba)2a b0.2a 0.3b2a 3b abba解析： (a b)2(a b ） =1, A 选项正确； a b (a b) a b=-1 , B 选项(b a)2 (a b)2a ba ba b正确；0.5a b(0.5a b) 10 5a 10b ,C 选项正确；0.2a 0.3b (0.2a 0.3b) 102a 3ba b(b a) b a , D 选项错误 .故选D.a bb i ab a点评： 解“ 判断下列运算（或说法）错误（或正确） ”类型的选择题， 除了采用逐一验 证四个选项进行求解之外，还可以利用排除法选出符合题意的答案考点3分式的运算点评：分式的混合运算，要注意运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算考点呈现解析：（2013年凉山州） 化简： 1 1)= m二 m 1 1 m(m(m1）的结果为1)=—^ ?(m 1) = m .故填 m. m 1A. 2（2013 年泰安） 化简分式 的结果是（解析：2 x 2 1x+1 x 1x 1 x+1 x 1x+1 x+1 x 1 x 11 =2.故选A .括号里面的；最后结果要化成最简分式或整式.考点4分式的化简求值3x 7 1的负整数解.解：」口x x 22(x 2)(x 2) x(x 1) x 4x 4x(x 2)x 4=x 24 x 2 x (x 2)2 x(x 2) x 42x 4 (x 2) = x 2 x(x 2) x 4 x由3x 71，解得x 2 .又x 为负整数，所以x 1. 当x 1时，原式=丄二 3 .1计算.考点5科学记数法例6 （2013年茂名）PM2.5是指大气中直径小于或等于 2.5卩m （ 0.000 002 5 m ）的颗 粒物，含有大量有毒、有害物质，也称可入肺颗粒物.将 0.000 002 5用科学记数法表示为（）A . 25X 10 °B . 2.5 X 10 一6C . 0.25 X 10 一5D . 2.5 X 10 6 解析：0.000 0025=2.5 X 10 一6.故选 B.点评：把一个数写成a x 10 n 的形式（其中 K a v 10, n 为整数），称为科学记数法.当原数的绝对值》10时，n 为正整数，n 等于原数的整数位数减 1 ；当原数的绝对值v 1 时，n 为负整数，n 的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位数上的0）.考点6解分式方程例7 （2013年资阳）x 2 1解方程+-^ = -^ .x 24 x 2 x 2 解：方程两边乘(x + 2)( x — 2)，得 x + 2 (x —2)= x + 2.例5 （ 2013年重庆）先化简，再求值:x 4其中 x 2 4x 4x 是不等式x 4 x 2 4x 4点评：分式的化简求值，要根据所给式子的特点, 按照分式化简的步骤化简，最后代值解得x = 3.检验：当 x = 3 时，（x + 2） （ x — 2）工0. 所以，原分式方程的解为 x = 3.点评：解分式方程的基本思想是 “化分式方程为整式方程”，解分式方程后一定要注意 检验. 考点7根据方程的解确定字母的值或取值范围3x n例8 （ 2013年扬州）已知关于 x 的方程竺丄 2的解是负数，贝U n 的取值范围2x 1为 __________ .3x n解析：化简方程汇上 2，得x=n — 2.2x 13 根据题意，得x<0且2X +1M 0,所以n — 2<0且2 （ n — 2） +1工0,解得n 2且n .2点评：解含有字母系数的分式方程时， 通常先化为整式方程， 把未知数用其他字母表示， 进而求解•要注意分式方程增根的存在.考点8列分式方程解应用题例9 （2013年湘西）吉首城区某中学组织学生到距学校20 km 的德夯苗寨参加社会实践活动，一部分学生沿“谷韵绿道”骑自行车先走，半小时后，其余学生沿319国道乘汽车前往，结果他们同时到达（两条道路路程相同），已知汽车速度是自行车速度的 自行车学生的速度.解得x =20.经检验，x =20是原方程的解，且符合题意. 答：骑自行车学生的速度为 20 km/h .点评：分析题意，弄清楚已知量与未知量之间的关系， 得到等量关系式，进而引进未知 数，列方程解决问题2倍，求骑根据题意，得20 x20 2x解：设骑自行车学生的速度为 x km/h ，则汽车的速度为 2x km/h.易错点1分式的基本性质理解不深例1若A , B 为不等于0的整式，则下列各式成立的是（）剖析：分式的基本性质是分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变•所以B 选项明显不正确；A 选项和D 选项中E 和（x 1）2均可能为零，所以 A , D 选项错误；C 选项中x 2 1 1，C 选项正确.正解：选C.易错点2忽视分母不为0的条件x 4例2若方程 ----------- 0 ,则X •X 2 2x 8错解：填土 4.剖析：若分式的值为0,则分子为0且分母不为0，所以x 4 0，且x 2 2x 8 0， 则x 4.错解未考虑分式的分母不为0.正解：填-4. 易错点3轻易约分意义.剖析：错解约去分母中的x 2，但无法确定x 2不为零，使得未知数 x 的取值范围误区点拨A A E （E 为整式）A.B B EC.A A 2 x 1B B 2 x 1A A x 12B B x 1 2B. - （ E 为整式）B B E例3 x 取何值时，分式有意义?3 错解：原式丄.由x 30，得xx 33.所以当x3时，分式错解：选A 或D.学记数法表示飞濑岛的面积约为 平方公里.扩大，导致漏解正解：由（x+2）（ x+3）0,得x 2且x 3.所以当x 2且x 3时，分式一有意义.x 2 x 3易错点4分式的运算顺序错误 例4计算壬T^g" 错解：原式=学 x —x 1x1x1剖析：分式的乘除运算是同一级运算, 算简便而颠倒顺序，导致结果出现错误2正解：原式=严 g __1_g xx 1 x易错点5分式的增根认识不清因为原分式方程有增根，所以 x-12所以^1，解得a M -1.a 1剖析：分式方程的增根应是最简公分母分母为0的x 值，即x=1而不是X M 1.，得 ax+1- (x-1 ) =0.解得 x=a 12所以^1，解得a=-1.a 1跟踪训练面积约为 4.3平方公里，最小的岛是飞濑岛，面积约为 0.000 8平方公里，请用科应按照从左向右的顺序依次计算，不可因为计 2x 2 4x 2x 1例5若关于x 的方程竺」1x 10有增根，则 a 的值为错解：原方程两边乘（x-1 ），得ax+1- (x-1 ) =0.解得 x=a 1正解：原方程两边乘（x-1 ） 因为原分式方程有增根，所以x-1=0，即卩 x=1.1. （2013年攀枝花）若分式x 1的值为0,则实数x 1x 的值为2.（2013年永州）钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由 8个岛屿组成，其中最大的岛是钓鱼岛,3.（2013年大连）化简：x + 1 —-一空x 14. （ 2013年德阳）已知关于 x 的方程 竺卫 3的解是正数，贝U m 的取值范围是 x 25. （2013年盘锦）小成每周末要到距离家5千米的体育馆打球，他骑自行车前往体育馆比乘汽车多用10分钟，乘汽车的速度是骑自行车速度的2倍. x 千米/时，根据题意列方程为8. （2013年三明）兴发服装店老板用 4500元购进一批某款式 T 恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完.老板又用4950元购进第二批该款式 T 恤衫，所购数量与第一批相同， 但每件进价比第一批多了 9元.（1） 第一批该款式 T 恤衫每件进价是多少元？4（2） 老板以每件120元的价格销售该款式 T 恤衫，当第二批T 恤衫售出4时，出现了滞5 销，于是决定降价促销， 若要使第二批的销售利润不低于 650元，剩余的T 恤衫每件售价至少要多少元？（利润=售价—进价）6. （2013年宁夏回族自治区）解方程亠1.x 37.（2013年普洱）先化简，再求值:2a 2a 2 2a 12aa，其中 a=2013.a 1设骑自行车的速度为知识梳理：略.2a a = aa 1 a 1当a=2013时，原式=20132013 12014设第一批T 恤衫每件进价x 元.解得x 90 .T 恤衫 495050 （件）. 99设剩余的T 恤衫每件售价y 元，根据题意，得分式小结与复习跟踪训练：1. 1 2.8 10 43 4. m>- 6 且 m^-4 5.x 15 空丄 x 2x 66.解：方程两边乘（ x — 2) (x+3)，得 6(X 3) x(x 2) (x 2)(x3).4 解得x= .34 检验：当x=时, 3(x — 2) (x+3)工 0.所以，原分式方程的解为 x=7. 解：aa 2 2a 12 aa =2(a 1) a 1 a 2a (a 1)2a = 2a a 1 a 12013 根据题意，得 4500 4950 x 98.解：（1） 经检验，x 90是原方程的解, 且符合题意. 答：第一批T 恤衫每件进价是90元.（2）由（1）知，第二批购进4 1120 50 y 50 4950》650.5 5解得y》80.答：剩余的T恤衫每件售价至少要80元.。
人教八年级数学上册《第十五章 小结与复习》课件
典型例题
例1 计算： （ 1） 2 3m n（ 3pn） 2 m pn 2；（ 2） a2b3（ ab2） -2； （ 3） aa -b（ a-2aba-b2） ； （ 4） 1 -aa+-2bba2+a42a-bb+24b2．
典型例题
例2 解下列分式方程： （ 1 ） 5 x x 2 + + x 2=x 3 + 1 ； （ 2 ） 2 2 x - x 5-2 x2 5= 1 ．
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
例说明分式的约分、通分与分数的约分、通分有 什么相同和不同之处. （5）如何用式子的形式表示分式的运算法则？在分式 四则运算中要注意什么？ （6）你能举例说明解分式方程的基本步骤吗？解分式 方程需要注意什么？为什么解分式方程要检验？
体系建构
问题2 请同学们整理一下刚才回顾的主要知识，
根据它们之间的联系画本章的知识结构图.
类比分
类比分
实 列式 分式 数性质 分式基本性质 数运算 分式的运算
际
问 题
列方程
分式方程
去分母
整式方程
目标
实际 问题 的解
目标
解整式方程
分式方程的解
整式方程的解
检验
体系建构
问题3 结合本章知识结构图，再思考以下问题： （1）本章研究的重点内容是什么，它们之间有什么
联系？在分式的运算和解分式方程的过程中需要 注意什么？解分式方程为什么要检验？ （2）如何列分式方程解决实际问题？
布置作业 教科书复习题15第5、6、8、9、11题．
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
人教版数学八年级上册 第十五章 分式(小结与复习)课件
ab
4.计算：
（1）
x
2
4
4
x
1
2
原式=
4 ( x 2) x2 4
= 1
x2
（2）
x
2
x2
y2 2x
1
3x2 x
3 xy 1
原式= ( x y)( x y)· x 1
( x 1)2
3x( x y)
=
x y 3x( x 1)
= x y
3x2 3x
解得 : x 1 2
经检验，x 1
2
是原原分式方程的解;
练一练
(2)某市为进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到机场 的轻轨铁路．实际施工时，每月的工效比原计划提高了20%，结果提 前5个月完成这一工程．求原计划完成这一工程的时间是多少个月．
解：设原计划完成这一工程的时间为x个月，则
练一练
1.
已知
x y
2 3
，
求 x2
x2 y2 2xy
y2
xy y2 2x2 2xy
的值.
解:
由
x2 y3
，得
x2y 3
，
x2 y2 xy y2 x2 2xy y2 2x2 2xy
(x
y)(x (x y)2
y)
2x(x y) y(x y)
本题还可以由已知 条件x=2m， y=3m.
(1 20%) 1 1 x x5
，解得: x=30.
经检验，x=30是原方程的根．
答：原计划完成这一工程的时间是30个．
专题复习
专题五 本章数学思想和解题方法
主元法
例5.(1)已知： 2a b 3 a 2b 14
人教版八年级数学上册第15章 分式 小结与复习
因为 ( 3)2 ( 3)2 3，所以小玲的计算结果也正确.
例4
解析：本题若先求出 a 的值，再代入求值，显
然比较复杂；但是如果将分式
的分子、
分母颠倒过来，即求
的值，
再利用完全平方公式变形求解就简单多了．
归纳总结 利用 A 和 1 互为倒数的关系，构造已知
A
条件与所求式子的关系，并运用整体代换，可使一 些分式求值问题的思路豁然开朗，简化解题过程．
第十五章 分 式
小结与复习
一、分式 1. 分式的概念：
一般地，如果 A、B 都表示整式，且 B 中含有
字母，那么称 为分式. 其中 A 叫做分式的分子，
B 叫做分式的分母. 2. 分式有意义的条件：
对于分式 ：当__B_≠__0__时分式有意义； 当__B__=_0__时分式无意义.
3. 分式值为零的条件： 当 A = 0 且 B≠0 时，分式
的值为零.
4. 分式的基本性质：
A A C ， A A C（C 0）. B BC B BC
5. 分式的约分： 约分的定义
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母
的公因式约去，叫做分式的约分．
最简分式的定义 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.
注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有 的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.
此方法是在众多未知元之中选取某一元为主元， 其余视为辅元，并将辅元用含有主元的式子表示，从 而达到减元的目的，最终实现化繁为简，化难为易.
针对训练
9.
已知
x y
2 3
，求
x2
x2 y2 2xy
y2
xy 2x2
y2 2xy
八年级数学上册第十五章分式单元小结与复习作业课件新版新人教版0824446
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/42021/9/4Saturday, September 04, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/42021/9/42021/9/49/4/2021 8:00:46 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/42021/9/42021/9/4Sep-214-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/42021/9/42021/9/4Saturday, September 04, 2021