立方和与立方差公式 课件
立方与立方差公式
立方与立方差公式
摘要：
1.立方和公式
2.立方差公式
3.公式的应用
正文：
立方和公式和立方差公式是数学中非常基础且重要的公式之一，它们可以帮助我们计算任意两个数的立方和与立方差。
在这里，我们将详细介绍这两个公式，并举例说明它们的应用。
首先，我们来了解立方和公式。
立方和公式是指，若有两个数a 和b，那么它们的立方和可以表示为(a+b)^3 - 3a^2b - 3ab^2。
换句话说，如果我们想要计算两个数的立方和，我们只需要将这两个数相加，然后将结果立方，再减去两倍的这两个数的平方乘积即可。
接下来，我们看看立方差公式。
立方差公式是指，若有两个数a 和b，那么它们的立方差可以表示为(a-b)^3 + 3a^2b + 3ab^2。
也就是说，如果我们想要计算两个数的立方差，我们只需要将这两个数相减，然后将结果立方，再加上两倍的这两个数的平方乘积即可。
这两个公式在数学中有广泛的应用。
例如，在解决一些涉及立方项的数学问题时，我们可以使用这两个公式来简化计算过程。
同时，这两个公式也是一些更复杂数学公式的基础。
总的来说，立方和公式和立方差公式是数学中非常基础且重要的公式。
立方和与立方差公式[1]
![立方和与立方差公式[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/2972a70976c66137ee061982.png)
3、计算 、 1） ( x ） A） ）
2
− y )( x + x y + y )
2 4 2 2 4 3 3
x −y
6 6
B） B） x3 + y 3 C） x − y ） D） x ）
6
+y
6
2） ( x ）
n
+ 5 y )( x − 5 x y + 25 y )
n 2n n n 2n
A） ）
3
2 2
B）( a − b)( a + b +L) ） C） C）( a + b)( a + b +L)
2 2
Q (a − b)(a + b ) = a + ab − a b − b
2 2 3 2 2
3
∴ (a − b)(L) = a b − ab
2Leabharlann 2A） ）a
B） b ） C） ab ）
) 2） ( a + b（ ）
3
− x + 75
3
D） − x + 125
3
例3 计算
(a − 2b)(a + 2b)(a + 2ab + 4b )(a − 2ab + 4b )
2 2 2 2
练习 计算 1 1）(3 x − 2 y )(9 x + 6 xy + 4 y )(27 x − 8 y )
2 2 3 3
2） x ( x − 1)
x +y
3n
3n
3n
B） x ）
−y
3n
C） x3n + 75y 3n ） D） x + 125y ）
专题2立方和差公式和差的立方公式
反过来，就可以利用上述公式对多项式进行因式分解。
例1计算:1 2 5 1 2(5x -1y )(25x +?xy +1y )；(2x+ 1)(4x 2 +2x+1)。
两项式与三项式相乘，先观察其是否满足立方和（差）公式，然后再计算 解：(1)原式=33+(2y)3 =27+8y 3 ；(2)原式=(5x)3 -(! y)3 =125x 3 -1 y 3 ；2 8(3)原式=8x 3 +4x 2 +2x +4x 2 +2x +1 =8x 3 +8x 2 +4x +1。
说明：第（1）、（ 2）两题直接利用公式计算.第（3）题不能直接利用公式计算，只好用多项 式乘法法则计算，若将此题第一个因式中“ +T 改成“ -1 ”则利用公式计算；若将第二个因 式中“ +2x ”改成“ -2x ”则利用公式计算；若将第二个因式 中“ +2x ”改成“ +4x ”,可先用完全平方公式分解因式，然后再用和的立方公式计算(2x +1)(2x +1)2 =(2x +1)3=(2X )3 +3(2X )21 +3(2)) 12+13 =8 x 3+12x 2 +6x +1。
计算:(X 3 -1)(x 6 +x 3 + 1)(x 9 +1)；(x + 1)(x-1)(x 2 +x +1)(x 2 -X +1)；(X +2y)2(x 2 -2xy +4y 2)2 ； 专题 立方和（差）公式、和（差）的立方公式 （1）立方和公式 (a + b^a 2 -ab+b 2) =a 3 + b 3 ；（2）立方差公式 (a-b)(a 2 + ab+ b 2) MQ 3 -b 3 ；（3）三数和平方公式 2 2 2 2(a + b+c) =a +b +c +2(ab + bc+ac)；（4）两数和立方公式 . .、3 3 c 2, _ . 2 . 3(a + b) =a +3ab + 3ab +b ；（5）两数差立方公式 , .、3 3 c 2. c ・ 2 . 3 (a — b) =a -3a b+3ab -b 。
立方和与立方差公式
第一阶梯???[例1]我们来计算（a+b）(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2,这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式，利用这个公式计算：???(1)(2x+3y)(2x-3y)??????(2)(1+2a)(1-2a)????(3)(2x3+5y2)(2x3-5y2)??(4)(-a2-b2)(b2-a2)???提示：???刚开始使用公式，运算格式可分两步走，第一步先按公式特征写出一个"框架"，如（1）（2x+3y）(2x-3y)=（）2-（）2，第二步分析哪项相当于公式中的a，哪项相当于公式中的b，并在"框架"中填数计算。
???参考答案：???(1)（2x+3y）(2x-3y)=（2x）2-(3y)2=4x2-9y2???(2)(1+2a)(1-2a)=12-(2a)2=1-4a2???(3)(2x3+5y2)(2x3-5y2)=(2x3)2-(5y2)2=4x6-25y4???(4)(-a2-b2)(b2-a2)=(-a2-b2)(-a2+b2)=(-a2)2-(b2)2=a4-b4???说明：???平方差公式（a+b）(a-b)=a2-b2的特征是：???（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。
???（2）右边是乘式中两项的平方差：即用相同项的平方减去相反项的平方，在学习平方差公式时还应注意：???①公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式???②一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整，使它变化为符合公式标准的形式，如第（4）小题。
???[例2]计算（a+b）2和（a-b）2,可知（a+b）2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2,即（a±b）2=a2±2ab+b2，这就是说，两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或者减去）它们积的2倍，这两个公式叫做乘法的完全平方公式。
立方与立方差公式
立方与立方差公式摘要：1.立方和立方差公式的定义与表示2.立方和立方差公式的性质3.立方和立方差公式的应用4.总结正文：立方和立方差公式是代数学中的基本公式之一，它们在解决各种数学问题中都有着广泛的应用。
下面，我们将详细介绍这两个公式，并探讨它们的性质和应用。
首先，我们来看立方和公式。
立方和公式是指，将一个数自乘三次，可以表示为三个相同因数的和。
具体来说，设a 为任意实数，则a 的立方和公式可以表示为：a^3 = a + a + a。
这个公式很直观，因为一个数的三次方就是该数自身加上自身两次。
接下来，我们看立方差公式。
立方差公式是指，两个数的立方差可以表示为它们的和与差的立方。
具体来说，设a 和b 为任意实数，则a 和b 的立方差公式可以表示为：(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3。
这个公式的推导需要一些代数技巧，但它在解决一些复杂的数学问题时非常有用。
那么，立方和立方差公式有哪些性质呢？首先，它们都是关于实数的恒等式，也就是说，对于任意实数，这两个公式都成立。
其次，立方和公式可以推广到多元情况，例如，四个实数的立方和可以表示为：a^3 + b^3 + c^3 +d^3 = (a + b + c + d)(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 - ab - ac - ad - bc - bd - cd)。
立方和立方差公式在数学中有着广泛的应用。
例如，在微积分中，它们可以用来求解一些复杂的积分问题；在概率论中，它们可以用来求解一些复杂的概率分布问题；在物理学中，它们可以用来求解一些复杂的物理问题。
总的来说，立方和立方差公式是代数学中的基本公式，它们在解决各种数学问题中都有着广泛的应用。
立方差与立方和公式
立方差与立方和公式【实用版】目录1.立方差公式与立方和公式的定义2.立方差公式与立方和公式的计算方法3.立方差公式与立方和公式的应用示例4.立方差公式与立方和公式的性质与特点正文立方差公式与立方和公式是数学中的基本公式之一，它们在代数运算、数据分析以及概率论等领域中有着广泛的应用。
下面，我们就来详细地了解一下这两个公式。
首先，我们来看立方差公式。
立方差公式是指两个数的立方之差，可以用公式表示为：(a^3 - b^3) = (a - b)(a^2 + ab + b^2)。
这个公式可以通过因式分解的方式来求解，其中 a 和 b 是任意实数。
接着，我们看一下立方和公式。
立方和公式是指两个数的立方之和，可以用公式表示为：(a^3 + b^3) = (a + b)(a^2 - ab + b^2)。
这个公式也可以通过因式分解的方式来求解，其中 a 和 b 是任意实数。
在计算立方差公式和立方和公式时，一般采用因式分解的方法，这样可以简化计算过程。
例如，对于立方差公式，我们可以先提取公因式 (a - b)，然后再利用完全平方公式分解因式，得到 (a - b)(a^2 + ab + b^2)。
同样地，对于立方和公式，我们可以先提取公因式 (a + b)，然后再利用完全平方公式分解因式，得到 (a + b)(a^2 - ab + b^2)。
在实际应用中，立方差公式和立方和公式也有很多示例。
例如，在概率论中，立方差公式可以用来求解两个随机变量的联合分布；在物理学中，立方和公式可以用来求解物体的动能等。
总的来说，立方差公式和立方和公式是数学中的基本公式，它们在代数运算、数据分析以及概率论等领域中有着广泛的应用。
立方和与立方差公式
3n
3n
B） x ）
y
3n
C） x3n + 75y 3n ） D） x + 125y ）
3n 3n
例2 计算 ( a 1)( a
2
a + 1)
1、对于上式的计算有以下几种说法，你认为那几 对于上式的计算有以下几种说法， 种合理（ 种合理（ ） 不符合立方和或立方差公式的特征， ①不符合立方和或立方差公式的特征，因此只能 用多项式的乘法法则进行运算。 用多项式的乘法法则进行运算。 直接用立方差公式计算， 相当于公式中的“ ②直接用立方差公式计算， a相当于公式中的“a ”， 1”相当于公式中的 ” 相当于公式中的“ “1”相当于公式中的“b 。 将第一个因式变为“ ③将第一个因式变为“ ( a + b)”后，然后用立方 和公式计算。 和公式计算。
3
2 2
B）( a b)( a + b +L) ） C） C）( a + b)( a + b +L)
2 2
Q (a b)(a + b ) = a + ab a b b
2 2 3 2 2
3
∴ (a b)(L) = a b ab
2
2
A） ）
a
B） b ） C） ab ）
) 2） ( a + b（ ）
3
x + 75
3
D） x + 125
3
例3 计算
(a 2b)(a + 2b)(a + 2ab + 4b )(a 2ab + 4b )
2 2 2 2
练习 计算 1 1）(3 x 2 y )(9 x + 6 xy + 4 y )(27 x 8 y )
立方与立方差公式
立方与立方差公式
（最新版）
目录
1.立方和公式
2.立方差公式
3.立方和与立方差公式的应用
正文
立方和公式和立方差公式是数学中非常基础且重要的公式之一。
立方和公式指的是将一个数立方后与另一个数立方后相加的结果，可以表示为：
(a+b)=a+b+3ab+3ab。
而立方差公式则指的是将一个数立方后与另一个数立方后相减的结果，可以表示为：(a-b)=a-b-3ab+3ab。
立方和公式在许多数学问题中都有广泛的应用，例如在求解一些复杂的体积和表面积问题时，就可以通过立方和公式来简化计算过程。
而立方差公式则常常被用于解决一些涉及到数列求和、概率论等问题。
举个例子，如果我们需要求解一个长方体的体积，我们可以通过立方和公式来计算。
假设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c，那么长方体的体积 V 就可以表示为：V=a+b+c。
通过这个公式，我们就可以快速地计算出长方体的体积。
同样，立方差公式也有着广泛的应用。
例如，在求解一些涉及到数列求和的问题时，我们就可以利用立方差公式来简化计算过程。
假设有一个等差数列，其首项为 a，公差为 b，项数为 n，那么该等差数列的和 S 就可以表示为：
S=n/2*(2a+(n-1)b)，通过这个公式，我们就可以快速地求解出等差数列的和。
第1页共1页。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
b b
b
a
a a
a2 (a b)
b2 (a b)
ab(a b)
例1 运用立方和公式与立方差公式计算。 1） (4 a)(16 4a a2 )
2）(5x 1 y)(25x2 5 xy 1 y2 )
2
24
1、下列乘法运算中，可以运用立方 和或立方差公式计算的是（ ）
立方和与立方差公式
平方差公式： 文字表述：两数的和与这两数的差的
积等于这两个数的平方差.
字母表示：(a b)(a b) a2 b2
完全平方公式： 文字表述：两数的和（或差）的平方，等
于它们的平方和，加上（或者 减去）它们的积的2倍.
字母表示：(a b)2 a2 2ab b2
(a b)2 a2 2ab b2
这两个公式是如何证明的（ ） A）整式的加减与乘法运算 B）反证法 C）图形的拼凑
平方差公式：
(a b)(a b) a2 ab ab b2
a2 b2 (a b)(a b) a2 b2
a
a
b
a
a-b
b b
完全平方差公式：
(a b)2 a2 ab ab b2 a2 2ab b2
1 2
xy
y 4
2
)
x3
1 2
y3
C）( x
y )(x2
1
xy
y2 )
x3
1
2
24
8
D）(x
y )(x2
1
xy
y2 )
x3
1
y3
2
24
8
3、计算
1） (x2 y2 )(x4 x2 y2 y4 ) A） x3 y3
B） x3 y3
C） x6 y6
D） x6 y6
2） (xn 5 yn )(x2n 5xn yn 25 y2n )
(a b)2 a2 2ab b2
a
a
b a
b b
a b
猜想 什么样的两个多项式相乘得 a3 b3
A）(a b)3
B）(a b)(a2 b2 ) C）(a b)(a2 b2 )
(a b)(a2 b2 ) a3 ab2 a2b b3
(a b)( ) a2b ab2
③将第一个因式变为“(a ”b)后，然后用立方和
公式计算。
A）① B）② C）③ D）②③
例2 计算 (a 1)(a2 a 1)
A） a3 1 B） a3 1
C） a3 1
D） a3 1
1）计算 (x 5)(x2 5x 25) =（ ）
A） x3 125 B） x3 125 C） x3 75 D） x3 125
A） a
B） b
C） ab
2） (a b（) ）= a3 b3A） a2 b2B）a2 ab b2
C）a2 ab b2
D）a2 2ab b2
立方和与立方差公式：
文字表述：两数的和（或差）乘以它 们的平方和与它们的积的 差（或和），等于这两个 数的立方和（或差）.
字母表示：(a b)(a2 ab b2 ) a3 b3
A）(m n)(m2 2mn n2 ) B）(m n)(m2 mn n2 )
C）(m 2n)(m2 4n2 2mn)
D）(m 2n)(m2 2mn 4n2 )
2、下列计算正确的是（ ）
A）(x y )(x2 xy y 2 ) x3 1 y3
2
4
8
B）( x
y )(x2 2
例3 计算 (a 2b)(a 2b)(a2 2ab 4b2)(a2 2ab 4b2)
练习 计算
1）(3x 2 y)(9x2 6xy 4 y2 )(27x3 8y3)
2）x(x 1)2 (x2 x 1)(x 1)
A） x3n y3n
B）x3n y3n
C） x3n 75y3n
D）x3n 125y3n
例2 计算 (a 1)(a2 a 1)
1、对于上式的计算有以下几种说法，你认为那几 种合理（ ）
①不符合立方和或立方差公式的特征，因此只能 用多项式的乘法法则进行运算。
②直接用立方差公式计算，a相当于公式中的“a ”， “1”相当于公式中的“b”。